7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI"

Eeva-Kaarina Hyttinen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli V :ssä ja ulostulotaso vastaavasti viimeisen linssin viimeisessä pinnassa eli V 2 :ssa. asketaan ensin lausekkeet etäisyyksille p, r ja, jotka antavat etupolttopisteen F ja esinepääpisteen H sijainnit. Kuvassa alla tarkastellaan polttopisteestä F lähtevää sädettä, joka leikkaa sisäänmenotason korkeudella y 0.

2 68 Systeemimatriisista saamme ìy = Ay0 + Ba0 í. îa = y0 + Da0 Nyt a = 0, josta seuraa: a 0 =- y 0. D Pienillä kulmilla tana0 = a0 ja kuvasta saamme (huomaa merkki) y0 a 0 =. - p Siten y0 D - y0 =- Þ p =. D p Tämä on etupolttopisteen etäisyys V :stä. Kuvasta näemme myös, että a 0 = y (- ), joten y Ay0 + Ba0 a a =- =- 0 0 Tässä y 0 a 0 =- D(ks. yllä), joten æ y ö ç B a è 0 ø 0 =- A + AD = - B. Tämä on etupolttopisteen etäisyys etupääpisteestä H. Edelleen laskemalla AD - B Det M n 0 = = =. n Kuvassa positiivinen etäisyys r (H :n etäisyys V :stä) on nyt r p D n n = - = - 0 æ n0 ö = ç D-. è n ø

3 69 asketaan seuraavaksi lausekkeet etäisyyksille q, s ja 2, jotka antavat takapolttopisteen F 2 ja kuvapääpisteen H 2 sijainnit. Kuvassa alla tarkastellaan optisen akselin suuntaisena tulevaa sädettä, joka okusoituu polttopisteeseen F 2. Säde leikkaa sisäänmenotason korkeudella y 0 kulmassa a 0 = 0. Suoraviivainen laskeminen (laskuharjoitus) antaa tulokset: A - A q =-, s =, 2 =-. Alla esitetyn kuvan avulla saadaan vielä solmupisteiden etäisyydet v ja w. Nyt a0 = a = a. Merkit huomioiden kirjoitetaan ensin a - y 0 = v

4 70 ja koska a = y0 + Da0 eli nyt a = y0 + Da saadaan y0 - D = a ja siten D - v =. Vastaavasti saadaan ( n0 n) -A w=. askennan tulokset on koottu oheiseen taulukkoon: Taulukosta kannattaa huomata vielä seuraavat seikat:. Jos n0 = n, niin r =v ja s= w, ts. pääpisteet ja solmupisteet ovat samassa paikassa. 2. Jos n0 = n, niin =- 2, ts. molemmat eektiiviset polttovälit ovat yhtä pitkiä. 3. Aina pätee r- s= v -w, ts. pääpisteiden väli on aina sama kuin solmupisteiden väli.

5 7 7.5 SOVEUTUSESIMERKKEJÄ Esimerkki: Tutkitaan kahden ohuen linssin muodostamaa systeemiä. inssit voivat olla joko kokoavia tai hajottavia. Systeemimatriisiksi tulee M = BT A, missä A on linssin A matriisi, T on siirto linssistä A linssiin B ja on linssin B matriisi. Kirjoitetaan: B 0 0 M é ù é ù =ê ú é ù ê 0 úê ú ë - B ûë ûë - A û é - ù A =ê ú. êë - (- ) B - A - A Búû é 0ùé- ù ê ú ë ûëê A úû A = ê - ú - B Systeemin eektiivinen polttoväli = 2 =-, joten =- = + -. A B A B Edelleen esinepuolen pää- ja solmupisteiden paikat ovat D- -/ B r = v = = = -/ ja vastaavat esinepuolella - A / A s = w= = =- -/ A B

6 72 Esimerkki: Huygensin okulaari. Sovelletaan edellisen esimerkin tuloksia ns. Huygensin okulaariin, joka muodostuu kahdesta positiivisesta linssistä, joiden välimatka on linssien polttovälien keskiarvo. Olkoon A = 3,25 cm ja B = 2,083 cm. inssien välimatkaksi on säädettävä = ( ) 2,604 2 A + B = cm. Eektiiviselle polttovälille 2,604 = + - = + - = 0,4000 A B AB 3,25 2,083 (3,25)(2,083) josta = 2,500 cm. Edelleen 2,500 r = v= = 2,604 =+ 3,25 cm B 2,083 2,500 s = w=- =- 2,604 =- 2,083 cm A 3,25 Okulaari peruspisteineen ja kolme tärkeää sädettä on esitetty karkeasti mittakaavassa seuraavassa kuvassa: Okulaarin jälkeen divergoivien säteiden jatkeet muodostavat suurennetun valekuvan (ei esitetty kuvassa), joka näkyy silmällä, kun okulaariin katsotaan. Okulaari = Eyepiece.

7 73 Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on,50: Kaarevuussäteet R = 3 cm ja R 2. Systeemimatriisi on M = R2TR, missä R on taittomatriisi. pinnassa, T on siirto pinnasta pintaan 2 ja R 2 on taittomatriisi pinnassa 2. Kirjoitetaan: é 0 ùé 3ùé ù é 0ùé 2 3 ù é 2 3 ù = ê ú= ê 3 2 ë ûë ûë û 0 úê ú = ë 2ûë - ê 9 3û ú. ë- 6 û M ê 0,5 0,5 úê 0 ú -,5 3,5 Tarkistus: 2 æ ö Det( M) = -ç - 2= (ok!) 3 è 6ø Eektiivinen polttoväli: = 2 =- = 6 (cm) ja edelleen: D- - r = v = = = 0 -/6 2 - A - 3 s= w= = =-2 (cm) -/6 Pääpisteet ja -tasot on piirretty kuvaan.

8 74 Esimerkki: Paksun linssin yleiset kaavat (katso kappale 7.). Matriisitulosta (7.2.8) paksun linssin systeemimatriisiksi tulee éa Bù M = ê D ú ë û, missä ( n - n) t A = -, n R n B= t, n ( n -n') ( n -n) ( n -n')( n -n) t = - -, n' R n' R n' n RR n æ ( n - n') t ö D = ç +. n ' è n R 2 ø 2 2 Sivun 70 taulukon avulla nämä matriisielementit johtava tuloksiin: n' n -n' n -n = = - n nr nr 2 D-n/ n' n -n' r= = t ja nr D- æ n' n -n' ö v = = t ç - + n nr. è 2 ø 2 ( n -n')( n -n) t -, nn RR Vastaavat yhtälöt kuvapuolen suureille 2, s ja w saadaan suoraviivaisesti samalla periaatteella. 2

9 75 8 OPTISIA INSTRUMENTTEJA Tässä kappaleessa tarkastellaan yksinkertaisia optisia instrumentteja, joiden toiminta voidaan ymmärtää geometrisen optiikan periaatteilla. 8. KAIHTIMET, PUPIIT JA IKKUNAT Kaikki esinepisteestä kohti optista systeemiä lähtevät säteet eivät osallistu kuvan muodostukseen. Säteiden kulkua rajoittaa mm. linssien ja peilien koot (aukot) ja tarkoituksella systeemiin asetetut himmentimet eli kaihtimet. Kaihtimilla vähennetään mm. kuvausvirheitä ja ne ovat tarpeen myös hajavalon rajoittamiseksi. Aukkokaihdin (Aperture Stop, AS) on se systeemin elementti, joka määrää kuinka suuri optisella akselilla olevasta esinepisteestä lähtevä valokartio voi läpäistä systeemin. Se siis kontrolloi kuvan kirkkautta, ei kokoa. Aukkokaihdin voi olla todellinen (esimerkiksi kameran objektiivissa on erillinen säädettävä kaihdin) tai jonkin kuvaavan elementin määräämä (esimerkiksi linssin halkaisija).

10 76 Tulopupilli (Entrance Pupil, E n P) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemiin tuleva säde sen näkee ts. aukkokaihtimen kuva aukkokaihdinta edeltävällä optiikalla muodostettuna. Edellisissä esimerkeissä tulopupilli on itse aukkokaihdin (AS). ähtöpupilli (Exit Pupil, E x P) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemistä lähtevä säde sen näkee, ts. aukkokaihtimen kuva muodostettuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Pääsäde (hie Ray) on mikä tahansa säde, joka ei lähde esineen optisella akselilla olevasta pisteestä ja joka kulkee aukkokaihtimen keskipisteen kautta. Kenttäkaihdin (Field Stop, FS) määrää näkökentän suuruuden. Esimerkiksi katsottaessa ikkunasta ulos ikkunat karmit toimivat kenttäkaihtimena. Kamerassa kenttäkaihtimena on ilmikehikko. Kenttäkaihdin löydetään "kiertämällä" aukkokaihtimen keskipisteen kautta kulkevaa pääsädettä kunnes jokin komponentti rajoittaa sen kulkua. Kyseinen komponentti on kenttäkaihdin. Edellisessä esimerkissä (Esim. 3) kenttäkaihdin on linssi, koska se rajoittaa pääsädettä ensimmäisenä.

11 77 Tuloikkuna (Entrance Window, E n W) on kenttäkaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. ähtöikkuna (Exit Window, E x W) on kenttäkaihtimen kuva kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Kenttäkaihdin FS rajoittaa näkökulmaa, joka on pääsädekartion kulma, esine puolella kulma a (ks. kuva yllä) tulopupillin (E n P) kohdalla ja kuva puolella kulma a ' lähtöpupillin (E x P) kohdalla. Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 2 cm, sijaitsee 0 cm:n etäisyydellä linssistä, jonka polttoväli on +5 cm ja halkaisija 5 cm. inssin edessä 2 cm:n etäisyydellä sijaitsee kaihdin, jonka halkaisija on 2 cm. a) aske kuvan paikka ja koko. b) Määritä aukkokaihdin ja laske tulo- ja lähtöpupillin paikka ja koko. c) Piirrä aukkokaihtimen määräämä valokartio systeemin läpi ja esineen kärjestä lähtevä pääsäde. Ratkaisu: a) s = 0cm ja = 5cm, joten kuvan paikaksi saadaan s 05 s' = = cm = 0 cm s- 0-5 ja suurennukseksi tulee m=- s'/ s =-, joten kuva on kääntynyt ja 2 cm:n korkuinen. Kuvaaja mittakaavassa:

12 78 b) Kuvaajan perusteella nähdään suoraan, että esineen optiselta akselilta olevasta pisteestä piirrettyä valokartiota rajoittaa kaihdin, joten se on nyt systeemin aukkokaihdin. Tulopupilli on aukkokaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. Nyt edeltävää optiikkaa ei ole, joten itse aukkokaihdin on samalla tulopupilli. Tulopupilli on siis 2 cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on 2 cm. ähtöpupilli on aukkokaihdin kuvattuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Tässä kuvauksessa s = 2cm ja = 5cm, joten s 25 s ' = = =-0/3 cm ja s- 2-5 s' 0 m=- = = 5/3 s 3 2 ähtöpupilli on siis noin 3,33 cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on (2cm) 5/3» 3,33 cm. c) valokartio ja pääsäde: Valokartio (tai sen jatke) kulkee AS:n ja myös E n P:n ja E x P:n reunojen kautta. Pääsäde (tai sen jatke) kulkee AS:n, E n P:n ja E x P:n keskipisteiden kautta.

Samankaltaiset tiedostot

Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50:

173 ------------------------------------------------Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: Kaarevuussäteet R1 3 cm ja R. Systeemimatriisi on M R T R1,