ln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella.

Transkriptio

1 S , Fysiikka III (S 2. välikoe Yksi mooli yksiatomista ideaalikaasua on alussa lämpötilassa 0. Kaasu laajenee tilavuudesta 0 tilavuuteen 2 0 a isotermisesti, b isobaarisesti ja c adiabaattisesti. Laske kaasun saama lämpömäärä ja kaasun tekemä työ kussakin tapauksessa. a Isotermisessä laajenemisessa työ on 2 2 d 2 0 0ln 0 1 W pd νr νr νr ln2, missä ν 1mol. Lämpötila on vakio, joten ideaalikaasun tapauksessa sisäenergia on myös vakio ja I pääsäännön perusteella U Q W 0 Q W ν R0 ln 2 b Isobaarisessa laajenemisessa työ on ( 2 W p p ν R Kaasua lämmitetään laajenemisen aikana siten, että paine on vakio. Ideaalikaasun tilanyhtälön perusteella saadaan loppulämpötilaksi p0 20 ν R 20. Sisäenergian muutos saadaan yksiatomiselle ideaalikaasulle yhtälöstä U ( 3 νr ( 0 ( 3 νr0 ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella 3 νr Q W Q νr. ( ( 0 0 c Adiabaattisessa laajenemisessa tehty työ on yksiatomiselle ideaalikaasulle 3 W ν R 2 ( Loppulämpötila on adiabaattiselle tilanmuutokselle 0 02! 0.630, joten 20 työksi saadaan W 0,ν R0. Adiabaattisessa prosessissa kaasu on lämpöeristetty, joten Q 0. 1

2 2. Lämpövoimakone toteuttaa oheisen kuvan Carnotin prosessia. Koneessa on työaineena yksi mooli ideaalikaasua. Laske yksiatomisen kaasun kierroksen aikana tekemän työn suhde kaksiatomisen kaasun kierroksen aikana tekemään työhön. Yksiatomista ideaalikaasua käyttävälle koneelle ( ln ( W R Y A missä Y 40 ja A 0 ovat ylemmän ja alemman lämpövaraston lämpötilat ja 2 on yksiatomisen kaasun tilavuus pisteessä 2. Olkoon vastaavasti 2 kaksiatomisen kaasun tilavuus pisteessä 2. ällöin kaksiatomisen kaasun W R ln tekemä työ on ( ( Y A Kaasujen tekemien töiden suhde on siis ( ( W ln / W ln / (1 Kaasujen tilavuudet pisteessä 2 ovat siis erilaiset. ämä johtuu siitä, että adiabaattivakiot ovat erilaiset ja kaasuilla on keskenään sama tilavuus pisteissä 1 ja 3. Olkoon yksi- ja kaksiatomisen kaasun adiabaattivakiot 1,667 ja 1,400 vastaavasti. ällöin adiabaattisesta laajenemisesta saadaan Ratkaisemalla tästä tilavuudet pisteessä 2 ja sijoittamalla ne suhteeseen (1 ja saamme 1/ ( / ( Sijoittamalla nämä ja yhtälöön (1 ( ( W 3+ 1/ 1 W 3+ 1/ 1 W Sijoittamalla adiabaattivakiot saamme lopulta 3 W.

3 3. Laske entropian muutos, kun määrä ν 1 moolia yksiatomista ideaalikaasua (kaasun lämpötila 1 ja paine p 1 sekoitetaan määrään ν 2 moolia kaksiatomista ideaalikaasua (kaasun lämpötila 2 ja paine p ratkaisutapa ilanyhtälöstä saadaan p ν1r1, p22 ν2r2, missä moolimäärät ovat ν 1 m1 M1 ja ν 2 m2 M 2. Ajatellaan, että kaasujen sekoittuminen tapahtuu kahdessa vaiheessa: ensin kumpikin kaasu laajenee isotermisesti lopputilavuuteen ja sitten lämpötila tasaantuu loppuarvoon isokoorisesti. Lasketaan ensin isotermisen laajenemisen aikana tapahtuva entropiaan muutos. Käyttämällä ensimmäistä pääsääntöä ja ideaalikaasun tilanyhtälöä ds δ Q/ ( du + pd / ν Rd / sillä ideaalikaasun isotermisessä prosessissa du 0. Integroimalla saadaan isotermiselle laajenemiselle entropian muutokseksi d d S ν R + ν R ν Rln + ν Rln ( Seuraavaksi lasketaan entropian muutos lämpötilan tasaantumiselle kaasujen ollessa vakiotilavuudessa. Lasketan aluksi loppulämpötila. Lämpötilan tasaantumisessa saadaan energian säilymislain perusteella ν1c1( 1 ν2c2( 2, missä c 1 ja c 2 ovat kaasujen ominaislämmöt. ästä saadaan loppulämpötilaksi ν c + ν c ν c + ν c (2 Entropian muutos on isokooriselle laajenemiselle S Si νc ln ( / i muutokseksi tälle osaprosessille saadaan , joten entropian S ν c ln + ν c ln. (3 ovat virittyneet, ts. n, ( ( 1 2 Entropian kokonaismuutos saadaan laskemalla yhteen muutokset (1 ja (2. ilanyhtälöstä p 1 p2 saadaan:,. Kun vielä sijoitetaan komponenttien ominaislämpökapasiteetit (oletetaan, että kaksiatomisella kaasulla vain translaatio- ja rotaatiovapausasteet 1 p1 2 p2 c 3 R, c R, saadaan entropian kokonaismuutokseksi p1 p2 S ν1rln + ν2rln. (4 p 1 p 2

4 2. ratkaisutapa Yllä entropian muutos laskettiin kahden kuvitellun tilanmuutoksen entropian muutoksista. Entropian muutos voidaan kuitenkin laskea myös suoraan ideaalikaasun entropian lausekkeesta ln ( / S ν R ν + νc, missä c on moolimäärästä riippumaton vakio. Sijoittamalla alku- ja lopputilavuudet ja lämpötilat saadaan entropian muutokseksi 1 1 ( S1 S1i + ( S2 S2i ν1rln ( / ν1 ν1rln ( / ν ν2r ( ν2 ν2r ( 22 ν2 Laskemalla logaritmit yhteen ln / ln /. ( S1 S1i + ( S2 S2i ν1rln ( / 1( / 1 + ν2rln ( / 2( / 2 1/ 2 2, josta sijoittamalla 1 3 (1-atominen molekyyli ja 2 (2-atominen molekyyli saadaan yhtälö (4 korvaamalla tilavuuksien suhde painesuhteella samaan tapaan kuin yhtälössä ( moolia helium kaasua on alussa 27 Celsius-asteen lämpötilassa, ja paineessa N m. Kaasu kuljetetaan oheisen kuvan mukaisen prosessin A-B-C mukaisesti lopputilaan. oit käsitellä heliumia ideaalikaasuna. a Kuinka paljon työtä kaasu tekee laajetessaan isobaarisesti A:sta B:hen? b Mikä on kaasun sisäenergian muutos osaprosessissa A-B? c Kuinka paljon lämpöä absorboituu osaprosessissa A-B? d Jos osaprosessi B-C on adiabaattinen, mitkä ovat entropian muutos ja kaasun lopullinen paine? a Ulkoinen työ on työn määritelmän perusteella W pa( B A b Loppulämpötilaksi saadaan tilanyhtälöstä ( / J. B B A A. Sisäenergian muutos on yksiatomiselle ideaalikaasulle U ( 3 νr ( B A ( 3 pa( B A J. c ermodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaisesti absorboitunut lämpö on W + U J. d Adiabaattisessa prosessissa yksiatominen ideaalikaasu toteuttaa yhtälön p vakio, missä Cp C 3. Nyt siis p B p C 2 B C C B C B eli ( p p N m. Adiabaattisessa prosessissa entropian muutos on nolla, sillä kaasu ei saa lämpöä laajenemisen aikana..

5 . arkastellaan kuvan esittämää lämpöeristettyä säiliötä, joka sisältää ideaalikaasua kahdessa lämpöä johtavalla väliseinällä eristetyssä osassa. Kuvassa on annettu tilanmuuttujien arvot kaasun alkutilassa. äliseinän annetaan seuraavaksi liikkua kitkatta siten, että paine-ero tasoittuu. Kun tasapaino on muodostunut, mikä on a lämpötila, b paine? c Laske myös sisäenergian ja entropian muutos. a Olkoon moolimäärät säiliön vasemman- ja oikeanpuoleisissa osissa ν 1 ja ν 2 vastaavasti. Ideaalikaasun tilanyhtälön perusteella 6 p ν1r ja p ν2r, josta ν1 6ν 2. Koska kyseessä on ideaalikaasu ja tasapainon muodostuminen tapahtuu lämpöeristetysti, sisäenergia ei muutu ja näin ollen lämpötila on vakio. Loppulämpötila on siis sama kuin alkulämpötila. b Lopussa paine on sama säiliön osien paine on sama. Ideaalikaasun tilanyhtälön perusteella paineiden yhtäsuuruudesta seuraa p ν1r / 1 ν2r / 2, (1 josta sijoittamalla ν1 6ν 2 saadaan lopputilavuuksille yhtälö Lopputilavuuksien summa on 3, joten 2 (3/7. Sijoittamalla tämä yhtälöön (1 p ν R / 7/3 p. saadaan loppupaineeksi ( 2 2 c Sisäenergia ei muutu, koska tasapainon muodostuminen tapahtuu lämpöeristetysti. Lämpötila on vakio samoin sisäenergia. d Entropian muutos voidaan laskea, joko ideaalikaasun entropian lausekkeen avulla, tai muodostamalla kuviteltu kvasitaattinen tilanmuutos, jolla päädytään samaan lopputilaan. alitaan isoterminen prosessi, joka johtaa samaan lopputilaan: S δq + δq pd i i 2 2 p d 1 2 Integroimalla S ν1rln + ν2rln. Sijoittamalla 2 (3/7 2 1 (3/7 /6 (18/7 saadaan S ν1rln(9 / 7 + ν2rln(3/ 7.