Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Transkriptio

1 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä

2 Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä

3 Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa 2 aaltoa Ei tarvitse seisovaa aaltoa Lasketaan summaamalla aaltojen amplitudien y(x, t) lausekkeet Esimerkiksi jos kaksi lähdettä lähettää samalla taajuudella ja samassa vaiheessa Interferenssi tarkastelupisteessä P Konstruktiivinen (vahvistava), kun aaltojen matkaero lähteistä P:hen 0, λ, 2λ,... Destruktiivinen (sammuttava), kun matkaero λ/2, 3λ/2, 5λ/2,...

4 Interferenssi tarkemmin = Kahden tai useamman aallon superpositio jossain tietyssä paikassa Aaltojen amplitudit summataan Ilmiöt erottuvat parhaiten yhdistämälla sinimuotoisia aaltoja A sin(ω 1 t k 1 r 1 + δ 1 ) + A sin(ω 2 t k 2 r 2 + δ 2 ) (sama amplitudi yksinkertaisuuden vuoksi) Tarkastellaan kahta lähdettä S 1 ja S 2 b c S 1 S 2 a

5 Interferenssi ja matkaero b c r 1 = 4λ r 2 = 2λ S 1 S 2 a Vahvistava interferenssi kun (ω 2 ω 1 )t (k 2 r 2 + k 1 r 1 ) + (δ 2 δ 1 ) = mπ, m = 0, ±1, ±2,... Sammuttava interferenssi kun (ω 2 ω 1 )t (k 2 r 2 + k 1 r 1 ) + (δ 2 δ 1 ) = ( m + 1 2) π

6 Interferenssiehdot Jos lähteet identtisiä: amplitudit samoja, aallonpituudet samoja λ = 2π/k, taajuudet ω samoja ja alkuvaiheet samoja δ (Alkuvaihe vakio = koherentti lähde - näistä lisää kevään kurssilla) Interferenssiehdoiksi saadaan: r 2 r 1 = mλ r 2 r 1 = (2m + 1) λ 2 (Konstruktiivinen i.) (Destruktiivinen i.) Huomaa rajoitukset, jolla edellinen pätee!

7 Harjoitus Kaksi kaiutinta lähettää samanvaiheista sinimuotoista ääniaaltoa. Millä taajuuksilla pisteessä P syntyy konstruktiivinen ja destruktiivinen interferenssi? Äänen nopeus olkoon 350 m s 1.

8 Huojunta Tarkastellaan edelleen aaltojen interferenssiä Aaltojen amplitudit ovat samat Taajuudet hieman erilaiset x = 0 ja t = 0 aallot samassa vaiheessa = konstruktiivinen interferenssi Ajan kuluessa aaltojen välille syntyy vaihe-ero Lopulta vaihe-ero on π = destruktiivinen interferenssi Normaalin värähtelyn lisäksi syntyy toinen, matalammalla taajuudella tapahtuva amplitudin huojunta (beat) Huojuntaa voidaan käyttää vaikkapa soittimien tarkkaan viritykseen

9 Huojunnan matemaattista tarkastelua Lasketaan yhteen kaksi aaltofunktiota tietyssä pisteessä Aalloilla vaihe-ero δ = y 1 = sin(ω 1 t) ja y 2 = sin(ω 2 t + δ) Aaltofunktioiden summa y(t) = y a (t) + y b (t) = A [sin ω 1 t + sin(ω 2 t + δ)] Pienellä ähertämisellä [(ω1 y(t) = 2A sin( + ω 2 )t δ ] ) [(ω1 /2 cos( ω 2 )t δ ] ) /2

10 Huojunnan matemaattista tarkastelua [(ω1 Amplituditekijä 2A sin( + ω 2 )t δ ] ) /2 värähtelee pienellä taajuudella (f a f b )/2 Kosinitekijä värähtelee taajuudella (f a + f b )/2 Huojunnan aiheuttamien aaltojen taajuuden keskiarvo Korva reagoi intensiteettiin aaltomuodon neliöön, joten se kuulee huojuntaintensiteetin taajuudella f a + f b ja missä minimit ja maksimit toistuvat taajuudella f a f b Huojunta psykofyysinen reaktio, suuremmilla taajuuserotuksilla korva erottaa taajuudet toisistaan

11 Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä

12 Dopplerilmiö Aaltoliikkeen lähde ja havaitsija liikkuvat toistensa suhteen Muutos havaitussa aaltoliikkeen aallonpituudessa ja taajuudessa Tilanne: äänilähde ja havaitsija suoraviivaisessa liikkeessä samalla akselilla Havaitsijan L nopeus v L (> 0 havaitsijasta lähteeseen päin) Lähteen S nopeus v S (> 0 havaitsijasta poispäin) L v L + S v S

13 Havaitsija liikkuu Vain havaitsija liikkuu Havaitsijan mielestä aalto lähestyy nopeudella v + v L Äänen taajuus f L = v + v L λ = v + v L f S v Liiketilat Lähdettä kohti liikkuva havaitsija v L > 0 = f L > f S Lähteestä poispäin liikkuva: v L < 0 = f L < f S L v L + S

14 Äänilähde liikkuu poispäin Äänilähde liikkuu poispäin havaitsijasta Lähde emittoi siirtymämaksimin (esim) kun t = 0 paikassa x = 0 Seuraava siirtymämaksimi emittoituu ajan hetkellä t = T = 1/f S, mutta kohdassa x = v S T Edellinen siirtymämaksimi on tällä välin edennyt matkan vt Lähteen takana äänen aallonpituus λ = vt + v S T = v + v S f S L + S v S

15 Molemmat liikkuvat Havaitsija liikkuu kohti lähdettä Tällöin havaitsijan kuulee taajuuden f L = v + v L λ = v + v L v + v S f S Pätee kaikkiin tapauksiin lähteen ja havaitsijan liikesuunnasta riippumatta Nopeuksien merkit pitää mennä oikein! L v L + S v S

16 Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä

17 Esimerkki 1 Kaiuttimen lähettämä ääniaalto, jonka taajuus on 200 Hz, heijastuu lähes täydellisesti seinästä luoden seisovan aallon. Missä pisteessä ei ääntä kuulla lainkaan? Ratkaisu Ihmiskorva aistii painevaihtelut, eli ääntä ei kuulla kun paineella solmukohta = siirtymän kupukohta. Seinässä on siirtymän solmukohta, joten kupukohdat ovat (2m 1)λ/4 päässä seinästä. Ensimmäinen kupukohta: λ = v f = 1.72 m = ei ääntä, kun d = λ 4 = 0.43 m

18 Esimerkki 2 Poliisiauton sireenin taajuus on 300 Hz ja äänen nopeus 340 m s 1. Mikä on tarkkailijan kuuleman äänen taajuus kun 1. Tarkkailija paikallaan ja poliisiauto liikkuu nopeudella 30 m s 1 poispäin tarkkailijasta? 2. Poliisiauto paikallaan ja tarkkailija liikkuu nopeudella 30 m s 1 poispäin poliisiautosta? 3. Tarkkailija liikkuu kohti poliisiautoa nopeudella 15 m s 1 ja samalla poliisiauto liikkuu nopeudella 45 m s 1 poispäin tarkkailijasta?

19 Ratkaisut 1. v L = 0 ja v S = 30 m s 1. f L = v + v L f S = Hz = 276 Hz v + v S v L = 30 m s 1 ja v S = 0. f L = v + v L f S = 300 Hz = 274 Hz v + v S v L = 15 m s 1 ja v S = 45 m s 1. f L = v + v L f S = 300 Hz = 277 Hz v + v S

20 Esimerkki 3: tupla-doppler Poliisiauton sireenin taajuus on 300 Hz ja äänen nopeus 340 m s 1. Poliisiauto liikkuu nopeudella 30 m s 1 kohti talon seinää. Sireenin aiheuttamat ääniaallot heijastuvat talon seinästä takaisin. Mikä on poliisiauton ajajan kuulema heijastuneen äänen taajuus?

21 Ratkaisu Ensimmäinen Doppler-siirtymä: seinä kuuntelijana. Merkkisäännöt = v W = 0 ja v S = 30 m s 1 f W = v + v W f S = Hz = 329 Hz v + v S Toinen Doppler-siirtymä: poliisi kuuntelee Merkkisäännöt = v W = 0 ja v L = 30 m s 1 f W = v + v L f W = 329 Hz = 358 Hz v + v W 340