16 ÄÄNI JA KUULEMINEN (Sound and Hearing)

Transkriptio

1 8 16 ÄÄNI JA KUULEMINEN (Sound and Hearing) Ihmisen kannalta yksi tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves) Ihmisen korva on erittäin herkkä ja pystyy havaitsemaan hyvinkin pieniä intensiteettejä (siis heikkoja ääniä) Tästä seuraa, että ihminen elää rikkaassa äänimaailmassa, jossa suoranainen puhekommunikointi on vain pieni (tosin tärkeä) osa äänten muodostamasta kokonaisuudesta Aivot prosessoivat jatkuvasti ympäristöstä saapuvia äänivihjeitä, joista muodostuu (yhdessä näkemisen kanssa) monipuolinen kuva ympäristön tapahtumista Tämä kappale on omistettu äänelle ja kuulemiselle 161 Ääniaallot (Sound Waves) Yleisen määritelmän mukaan ääni on väliaineessa etenevää pitkittäistä aaltoliikettä Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä ilmassa, mutta yleisesti ottaen ääni voi edetä myös muissa kaasuissa, nesteissä ja kiinteissä aineissa Esimerkiksi naapurin stereoiden pauhu on joutunut kulkemaan betoniseinän läpi Luonnon äänet leviävät äänilähteestä kaikkiin suuntiin moninaisilla amplitudella Yksinkertaiset ääniaallot ovat kuitenkin sinimuotoisia (harmonisia) aaltoja, joilla on yksikäsitteinen taajuus, amplitudi ja aallonpituus Ihminen havaitsee ääntä taajuusalueella 0 Hz 0000 Hz Aluetta sanotaan kuuloalueeksi (audible range) Kuuloalueen yläpuolinen taajuusalue on ultraäänialue (ultrasonic) ja alapuolinen infraäänialue (infrasonic) 9 Tarkastellaan ideaalista positiivisen x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa, jonka aaltofunktio on (15-7), ts yxt (, ) = Acos( kx ω t) (16-1) Tässä on muistettava, että ääni on pitkittäistä aaltoliikettä ja poikkeamat tapahtuvat aallon etenemissuunnassa Yhtälössä (16-1) poikkeama-akseli y on siis samansuuntainen x-akselin kanssa Amplitudi A on "ilmahiukkasten" ns poikkeama-amplitudi Ääniaaltoja voidaan kuvata myös paineen vaihteluina ilmanpaineen p a molemmin puolin Ihminen kuulee nimenomaan paineen vaihtelut, joten on hyödyllistä esittää (16-1) niiden avulla Kuvatkoon p( xt, ) äänen paineen vaihtelua pa : n ympäristössä, ts kokonaispaine on pa + pxt (, ) Sitä, miten paineen vaihtelu p( xt, ) ja hiukkasten poikkeamat yxt (, ) riippuvat toisistaan, selvitellään viereisen kuvan avulla Kuvitteellinen ilmassa oleva sylinteri on x-akselin suuntainen ja sen poikkipinta-ala on S Tasapainotilassa sylinterin pituus on x Kohdalle tuleva ääniaalto siirtää sylinterin vasemman pään paikasta x paikkaan y 1 ja oikean pään paikasta x + x paikkaan y Sylinterin tilavuus muuttuu määrän V = S( y y1) = S[ y( x+ x, t) y( x, t)] Muutokset ovat pieniä ja rajalla x 0 saamme dv yx ( + xt, ) yxt (, ) yxt (, ) = lim = (16-) V x 0 x x

2 30 Seuraavaksi käytämme kaasun (nesteen) kimmomodulia (bulk modulus) B, joka kertoo miten paljon paine kaasussa nousee, kun tilavuutta pienennetään Sen määritelmä on dp B =, dv / V missä dp on paineen muutos, joka nyt on p( xt, ) Saamme siten dv y( x, t) pxt (, ) = B = B (16-3) V x Kun tähän sijoitetaan (16-1), tulee p( x, t) = BkAsin( kx ω t) (16-4) Seuraavassa kuvassa on esitetty hiukkasten poikkeamat yxt (, ) ja paineen vaihtelut p( xt, ): Tuloksesta (16-4) nähdään, että painevaihtelun maksimiarvo on pmax 31 = BkA (16-5) Tämä on ns paineamplitudi (pressure amplitude) Esimerkki: Keskivoimakkaassa äänessä paineen vaihtelut ovat suuruusluokkaa Pa ilman paineen ( Pa) molemmin puolin Laske poikkeama-amplitudi, kun äänen taajuus on 1000 Hz Normaaleissa olosuhteissa äänen nopeus on 344 m/s ja 5 ilman kimmomoduli Pa Esimerkki: Korvassa ääniaallot saattavat tärykalvon (eardrum) värähtelemään Tärykalvosta värähtely siirtyy kuuloluiden (ossicles), joita ovat vasara (hammer), alasin (anvil) ja jalustin (stirrup), välityksellä kuulosimpukkaan (cochlea), josta edelleen sähköisessä muodossa aivoihin Kuulosimpukka on täynnä nestettä, jossa äänen nopeus on 1500 m/s Havaitaan, että käyrien vaihe-ero on 1/4 jaksosta Kun paineella on maksimi, poikkeamat ovat nollassa ja päinvastoin Tärykalvon liikkuvan osan pinta-ala on noin 43 mm Tärykalvon värähtelyn sisäkorvan nesteeseen siirtää viimekädessä jalustin, jonka pinta-ala on 3 mm Laske edellisen esimerkin äänen a) paineamplitudi ja b) poikkeamaamplitudi sisäkorvan nesteessä

3 3 16 Äänen nopeus (Speed of Sound Waves) 1/ Kuten poikittaisen aallon tapauksessa ( v = ( F / µ ) ) myös pitkittäisen aallon nopeus riippuu väliaineen fysikaalisista ominaisuuksista Tarkastellaan nyt pitkittäisen aallon etenemistä sylinterissä (kuva) olevassa nesteessä (kaasussa) Nesteen tiheys olkoon ρ ja sylinterin poikkipinta-ala A Tasapainotilanteessa neste on levossa ja vakiopaineessa p Hetkellä t = 0 mäntään kohdistetaan voima ( p) A ja mäntä lähtee liikkeelle vakionopeudella v y Syntyy pulssi, joka etenee kuvassa oikealle nopeudella v Tilanne ajanhetkellä t on esitetty kuvassa (b) Pisteen P vasemmalla puolella nesteen nopeus on v y ja oikealla puolella vielä nolla Mäntä on liikkunut matkan v y t ja piste P matkan v t Sovelletaan nytkin impulssiteoreemaa Liikkuvaan nesteosaan vaikuttava voima on ( p) A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, ajassa t, on ( ρvta) v y 0, missä ( ρv ta) on nesteosan massa Tulee siis ( p) At = ( ρvta) v y 33 Kirjoitetaan seuraavaksi liikkuvaan nesteosaan kohdistuva lisäpaine p nesteen kimmomodulin B (bulk modulus, sivu 39) avulla: p B =, V / V missä p on paineen muutos, kun tilavuutta V muutetaan määrällä V Nyt alkuperäinen tilavuus Av t on pienentynyt määrällä Av y t, joten p y B = p = B v A v yt/ A v t v Tulee v y B At = ( ρvta) vy, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan B v = (16-7) ρ Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä (kaasussa) riippuu siis nesteen kimmomodulista B ja tiheydestä ρ Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä aineessa saadaan myös kaavasta (16-7), kunhan nesteen kimmomoduli korvataan kiinteän aineen kimmomodulilla Y (Young s modulus): Y v = (16-8) ρ Kannattaa huomata nopeuskaavojen (15-13), (16-7) ja (16-8) samankaltaisuus Kaikkien kaavojen osoittajassa esiintyy väliaineen elastisuutta kuvaava ominaisuus, joka kertoo palauttavan voiman suuruudesta Nimittäjissä kaikilla on väliaineen hitautta kuvaava ominaisuus

4 34 Ääniaallot kaasussa (Speed of Sound in Gases) 1/ Nopeusaava (16-7) v = ( B / ρ) pätee pitkittäisille aalloille kaasuissa Tarkastellaan nyt miten kaavaa voidaan kehittää ideaalikaasuissa Kimmomodulin B (infinitesimaalinen) määritelmä on dp B= V, dv joten on selvitettävä miten ideaalikaasun paine riippuu tilavuudesta Oletetaan, että äänen eteneminen ideaalikaasussa on adiabaattinen prosessi, ts lämmön vaihtoa puristumisten ja laajentumisten aikana ei ehdi tapahtua Näissä olosuhteissa paineen p ja tilavuuden V välillä vallitsee yhteys (muistele lämpöoppia) pv γ = vakio, missä γ = Cp/ CV on ominaislämpökapasiteettien (vakio paineessa ja vakiotilavuudessa) laaduton suhde Derivoimaalla V:n suhteen dp V γ pv γ 1 + γ = 0, dv josta γ 1 dp γ pv γ p = = γ dv V V Kimmomodulille saamme B= γ p ja äänen nopeudeksi tulee γ p v = ρ Käyttämällä vielä ideaalikaasun tiheyttä ρ = pm /( RT) päädytään yhtälöön γ RT v =, (16-10) M missä R on yleinen kaasuvakio, M moolimassa ja T lämpötila 35 Esimerkki: Laske äänen nopeus ja ihmisen kuuloaluetta vastaava aallonpituusalue huoneenlämpöisessä ( T = 0 C) ilmassa, kun ihminen kuulee taajuuksia Hz Ilman keskimääräinen moolimassa on M = 88 g/mol ja ominaislämpökapasiteettien suhde γ = Äänen intensiteetti (Sound Intensity) Aallon intensiteetti I (intensity) on keskimääräinen energia, jonka aalto kuljettaa pinta-alayksikön läpi aikayksikössä: J/(m s) Intensiteetti on siis teho pinta-alayksikköä kohti: W/m Äänen intensiteetti on kätevää esittää äänen painevaihtelun ja sitä vastaavan ilmahiukkasten nopeuden avulla: paine = voima / pinta-ala teho = voima x nopeus intensiteetti = teho/pinta-ala = paine x nopeus Ääniaallosta (16-1) yxt (, ) = Acos( kx ωt) ilmahiukkasten nopeudeksi laskemme v y ( x, t) = y/ t = ωasin( kx ωt) ja paineen (16-4) p( x, t) = BkAsin( kx ωt) avulla kirjoitamme p xtv xt = BωkA kx ωt (, ) y(, ) sin ( ) Intensiteetti määritellään tämän tuloksen aikakeskiarvona Koska sin :n aikakeskiarvo on 1/, saadaan 1 I = BωkA (1611) Käyttäen relaatioita ω =v k ja v = B / ρ saadaan 1 I = ρbω A, (16-1)

5 36 missä ρ on tiheys Parempi esitysmuoto saadaan paineamplitudin p = BkA avulla Lyhyt lasku antaa max v pmax pmax I = = (16-14) B ρb Huomaa: Nopeus v on ääniaallon etenemisnopeus, kun taas nopeus v y on ilmahiukkasten nopeus niiden edestakaisessa liikkeessä Esimerkki: Keskivoimakkaan äänen paineamplitudi on luokkaa Pa Laske intensiteetti, kun äänen nopeus on 344 m/s, ilman tiheys 10 kg/m 3 5 ja kimmomoduli Pa (ks esimerkki sivulla 40) Esimerkki: Edellisen esimerkin äänen taajuus on 1000 Hz Oletetaan nyt, että 0 Hz:n äänellä on sama intensiteetti Laske poikkeama-amplitudi ja paineamplitudi 37 Desibeli (db) on (1/10)-osa yksiköstä beli, joka on nimetty puhelimen keksijän Aleksander Graham Bell in mukaan 10 1 Kuulokynnystä (1000 Hz) vastaavan äänen intensiteetti on W/m ja se vastaa intensiteettitasoa on 0 db Intensiteetti 1 W/m vastaa intensiteettitasoa 10 db, joka on kuulemisen kipukynnys (threshold of pain) Esimerkki: Noin 10 minuutin altistuminen 10 db:n äänelle nostaa 1000 Hz:n äänen kuulokynnystä tilapäisesti 0 db:stä arvoon 8 db Kymmenen vuoden altistuminen 9 db:n äänelle aiheuttaa saman, mutta pysyvän kuulokynnyksen nousun Laske intensiteettitasoja 8 db ja 9 db vastaavat intensiteetit Esimerkki: Kuinka paljon intensiteettitaso muuttuu, kun etäisyys pistelähteestä kaksinkertaistuu Desibeliasteikko Korva on herkkä hyvin laajalle intensiteettiskaalalle, aina heikosta 1 10 W/m :stä valtavaan yhteen W/m :iin Tämän vuoksi on järkevää käyttää intensiteetille logaritmista asteikkoa Äänen intensiteettitaso β (sound intensity level) määritellään β = (10dB) log I, (16-15) I 0 1 missä vertailuintensiteetiksi I 0 on valittu 10 W/m, joka vastaa suurinpiirtein ihmisen kuulokynnystä (threshold of hearing) taajuudella 1000 Hz Kaavassa I on tutkittavan äänen intensiteetti ja log tarkoittaa 10-kantaista logaritmia 164 Seisovat ääniaallot ja normaalimuodot (Standing Sound Waves and Normal Modes) Kaasussa (nesteessä) etenevää tai seisovaa pitkittäistä aaltoa voidaan kuvata joko paineen vaihteluina tai kaasuhiukkasten poikkeamina Seisovan aallon sanastoa: - poikkeaman solmu (displacement node) - poikkeaman kupu (displacement antinode) - paineen solmu (pressure node) - paineen kupu (pressure antinode) Seisovaa ääniaaltoa voidaan demonstroida seuraavan sivun kuvan mukaisella koejärjestelyllä Putkeen syntyy seisova aalto, jossa on ilmahiukkasten poikkeaman solmu ja kupukohtia Putkessa oleva

6 38 kevyt pulveri kerääntyy niihin kohtiin, joissa kaasu ei ole liikkeessä, ts poikkeaman solmukohtiin 39 Pohditaan edellisen perusteella seisovan aallon olemusta putkessa olevassa kaasussa Putken päät voivat olla avoimia tai suljettuja Jos heijastuminen tapahtuu suljetusta putken päästä, hiukkasten poikkeamat ovat nollia (analogisesti köyden kanssa) ja kyseessä on siis poikkeamien solmukohta ja paineen kupukohta Jos taas heijastuminen tapahtuu avoimesta putken päästä, paine on ulkoilman paine, ts paineella on solmukohta ja poikkeamilla kupu Poikkeaman solmukohdan (displacement node) ympäristössä hiukkaset liikkuvat vastakkaisiin suuntiin Kun ne lähestyvät toisiaan, syntyy painemaksimi, kupu (pressure antinode) ja kun ne loittonevat toisistaan syntyy paineminimi, kupu (pressure antinode) Esimerkki: Suuntaavalla kovaäänisellä (kuva) kohdistetaan 00 Hz:n taajuinen ääniaalto seinään Kuinka kaukana seinästä, seinän ja kovaäänisen välissä, voit seisoa kuulematta mitään? Ohje: Ihmisen korva kuulee paineen vaihtelut, ei ilmahiukkasten poikkeamia Urkupillit ja puhallinsoittimet Pitkittäisten seisovien aaltojen tärkeä sovellutusalue on puhallinsoittimet ja erilaiset (urku)pillit Urkupillejä on periaatteessa kahdenlaisia: avoimia ja suljettuja Edellisen perusteella voidaan todeta, että poikkeamilla on kupu (displacement antinode) silloin, kun paineella on solmu (pressure node) ja päinvastoin, siis kun paineella on kupu (pressure antinode) niin poikkeamilla on solmu (displacement node) Vasemmanpuoleinen kuvasarja esittää avoimia pillejä ja oikeanpuoleinen sarja suljettuja Avoimessa pillissä pillin molemmat päät (huomaa myös vasen pää) ovat avoimia Suljetussa pillissä toinen pää on suljettu ja toinen on avoin

7 40 Kuvissa (punaiset) käyrät esittävät ilmahiukkasten poikkeamia Huomaa kuitenkin, että poikkeamat ovat pitkittäisesti pillin suunnassa, ei poikittain niin kuin käyrät on piirretty ja fn 41 = n v ( n = 1,, 3, ) (16-18) L Suljettu pilli: 4L λ n =, ( n = 1, 3, 5, ) (16-1) n fn = n v ( n = 1, 3, 5, ) (16-) 4 L Avoimella pillillä arvo n = 1 vastaa perustaajuutta, n = toista harmonista (ensimmäistä yliääntä) jne Myös suljetulla pillillä n = 1 vastaa perustaajuutta, mutta nyt parilliset harmoniset puuttuvat Vain parittomat harmoniset 3 f 1, 5 f 1 jne ovat mahdollisia Esimerkki: Eräänä päivänä äänennopeus on 345 m/s ja suljetun urkupillin taajuus on 0 Hz (a) Kuinka pitkä pilli on? (b) Pillin toinen yliääni on samantaajuinen kuin avoimen pillin kolmas harmoninen Kuinka pitkä on avoin pilli? Seisovassa aaltoliikkeessä solmukohdan etäisyys viereisestä kupukohdasta on λ /4 Suljetun pillin pisin mahdollinen aallonpituus, kuva (a) oikealla, on siten λ = 4L, missä L on pillin pituus Vastaavaksi taajuudeksi laskemme f1 = v/ λ = v /(4 L) Vastaavat tarkastelut johtavat tuloksiin: Avoin pilli: L λ n =, ( n = 1,, 3, ) (16-17) n Pohdittavaa: Kun pilliin puhalletaan ilmaa, siitä kuuluu tietyn taajuinen ääni Jos ilman sijasta pilliin puhalletaankin saman lämpöistä ja paineista heliumia, pillin äänen taajuus on korkeampi Miksi? Muuttuuko kitaran kielen taajuus kun kieli siirretään heliumiin? 165 Resonanssi (Resonance) Värähtelevillä systeemeillä on normaalimuotoja, ts värähdysmuotoja, joissa kaikki systeemin hiukkaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella Hyviä esimerkkejä ovat molemmista päistä kiinnitetyssä köydessä tai pilleissä esiintyvät seisovat aallot

8 4 Jos normaalimuotoisesti värähtelevään systeemiin ohjataan lisäenergiaa jollakin muulla taajuudella (siis muulla kuin systeemin normaalitaajuudella), niin systeemi on haluton ottamaan sitä vastaan Jos taas lisäenergia tuodaan normaalitaajuudella, systeemi ottaa sen mielellään vastaan ja värähtelyn amplitudi (energiasisältö) kasvaa rajusti Syntyy resonanssitilanne Esimerkkinä heiluri Kun yksinkertainen matemaattinen heiluri värähtelee vapaasti, se värähtelee normaalimuotoisesti Jos heiluriin tönitään lisäenergiaa väärässä tahdissa ts väärällä taajuudella, heiluri saattaa jopa pysähtyä Jos töniminen tehdään tarkasti oikea-aikaisesti (siis heilurin normaalitaajuudella), niin heilurin amplitudi kasvaa Ollaan resonanssitilanteessa Viereisessä kuvassa avoin urkupilli on sijoitettu kaiuttimen viereen siten, että ääni kaiuttimesta voi edetä pillin sisään Kaiutin lähettää puhdasta siniaaltoa, jonka taajuutta f voidaan säätää Ilmapatsas pillin sisällä pakotetaan näin värähtelemään kaiuttimen lähettämällä taajuudella Kun kaiuttimen taajuutta säädetään, amplitudi putkessa on melko alhainen, paitsi silloin kun taajuus sattuu olemaan jokin putken normaalivärähdystaajuuksista (alempi kuva) Taas esimerkki resonanssista Resonanssi-ilmiöitä havaitaan jatkuvasti jokapäiväisessä elämässä Esimerkiksi Koskilinjan bussin jokin penkeistä saattaa moottorin kierrosluvun vähetessä aloittaa yhtäkkiä hillittömän värähtelyn ja tärinän Moottorin taajuus vastaa penkin normaalitaajuutta ja siihen siirtyy värähdysenergiaa tehokkaasti Resonanssi ilmiönä on hyvin tärkeä fysiikan lähes kaikilla aloilla 43 Esimerkki: Suljettua urkupilliä soitetaan lähellä kitaraa, jolloin eräs kitaran kielistä alkaa värähdellä Säätämällä kitaran kielen jännitystä löydetään tilanne, jossa värähtelyn amplitudi on maksimissaan Kitaran kielen pituus on 80% urkupillin pituudesta Oletetaan, että molemmat instrumentit värähtelevät perustaajuuksillaan Laske kielessä etenevän aallon nopeuden suhde äänen nopeuteen ilmassa 166 Aaltojen interferenssi (Interference of Waves) Ilmiöitä, joita syntyy kahden tai useamman aallon samanaikaisessa esiintymisessä samassa tilassa, sanotaan interferenssi-ilmiöiksi Seisovat aallot ovat yksi esimerkki interferenssistä Viereisessä kuvassa on esitetty toisentyyppinen interferenssikoe Kaksi kaiutinta lähettävät identtisiä sinimuotoisia ääniaaltoja samalla vakiotaajuudella ja samassa vaiheessa Ääniaallot täyttävät kaiuttimien etupuolisen tilan ja esiintyvät siinä siis yhtäaikaa Piste P on yhtä kaukana molemmista kaiuttimista, joten aaltojen maksimit tulevat siihen yhtä aikaa Amplitudi on kaksinkertainen osa-aaltojen amplitudiin verrattuna eli syntyy ns konstruktiivinen interferenssi Mikrofoni havaitsee äänen voimakkaana Piste Q on paikassa, johon matka toisesta kaiuttimesta on puoli aallonpituutta pitempi kuin toisesta Toisen aallon maksimi ja toisen aallon minimi tulevat pisteeseen yhtä aikaa ja kumoavat toisensa Syntyy ns destruktiivinen interferenssi ja ääntä ei kuulu

9 Seuraavassa vielä hieman toisenlainen koejärjestely: Huojunta (Beats) Aikaisemmin olemme todenneet, että kaksi aaltoa, jotka esiintyvät samanaikaisesti samassa tilassa, synnyttävät ns interrenssi-ilmiöitä Katsotaan nyt mitä tapahtuu, kun kaksi ääniaaltoa, joilla on sama amplitudi A, mutta hieman eri taajuudet f a ja f b, yhdistetään Konstruktiivinen interferenssi tapahtuu kun aaltojen matkaero on aallonpituuden monikerta, ts 0, λ, λ, 3 λ, Kaikissä näissä tapauksissa aallot saapuvat mikrofonille samassa vaiheessa Tarkastellaan aaltojen yhteisvaikutusta kiinnitetyssä avaruuden pisteessä Valitaan pisteeksi x = 0, jolloin aaltofunktioiksi voidaan kirjoittaa: ya() t = Asin( π fat) ja yb() t = Asin( π fbt) Jälkimmäiseen aaltoon on valittu miinusmerkki, jolloin sen poikkeama ajanhetkellä t = 0 lähtee eri suuntaan kuin ensimmäisen aallon Viereisessä kuvassa a-aaltoa edustaa punainen käyrä ja b- aaltoa sininen käyrä (yläkuvassa, f a = 18 Hz ja f b = 16) Destruktiivinen interferenssi syntyy kun aaltojen matkaero on pariton määrä aallonpituuden puolikkaita, ts λ /, 3 λ/, 5 λ /, Aallot saapuvat mikrofonille vastakkaisissa vaiheissa ja kumoavat toisensa Superpositioperiaatteen mukaisesti osa-aaltojen yhteisvaikutus saadaan niiden summana (käyrä alakuvassa) Alussa ( t = 0 ja kun t = 050s ja t = 100s) osa-aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa Summa-aalto on nollassa Vähitellen aallot tulevat samaan vaiheeseen ( t = 05s ja t = 075s) ja summa-aalto on maksimissa, jne

10 46 Resultanttiaalto on siniaalto, jolla on ajanfunktiona vaihteleva amplitudi Amplitudin vaihtelu aiheuttaa puolestaan äänen voimakkuuden vaihtelua, joka kuullaan ns huojuntana (beats) Se taajuus, jolla äänen voimakkuus vaihtelee on ns huojuntataajuus (beat frequency) Osoitamme seuraavassa, että syntyvän siniaallon taajuus on osaaaltojen taajuuksien keskiarvo 1 ( ) fa + fb ja huojuntataajuus on osa-aaltojen taajuuksien erotus fa fb Tässä on oletettu fa > fb Kokonaisaaltofunktio on siis summa: ya() t + yb() t = A[sin( π fa t) sin( π fb t)] Kun tähän sovellamme trigonometrista identiteettiä a b a+ b sin a sinb= sin cos, saamme (kotitehtävä) 1 1 ya() t + yb() t = Asin ( π)( fa fb) t cos ( π)( fa + fb) t Näemme, että amplituditekijä (aaltosuluissa) vaihtelee hitaasti taajuudella 1 ( ) fa fb Kosinitekijän (varsinainen aalto) taajuus on keskiarvo 1 ( ) f + f a b Dopplerin ilmiö (The Doppler Effect) Lähestyvän auton moottorin ääni kuulostaa paljon korkeammalta kuin loittonevan auton Mistä on kysymys? Kysymys on ns Dopplerin ilmiöstä (Doppler effect), jota ensimmäisenä kuvasi itävaltalainen Christian Doppler Kun äänilähde ja havaitsija ovat toistensa suhteen liikkeessä, havaitsija kuulee äänen eri taajuisena kuin millä lähde sitä lähettää Tarkastellaan seuraavassa yksinkertaisuuden vuoksi tapauksia, missä lähde ja havaitsija liikkuvat vain toisiaan yhdistävän janan suuntaisesti Liikkuva havaitsija Viereisessä kuvassa äänilähde (S) pysyy paikoillaan ja havaitsija (L) liikkuu sitä kohti nopeudella v L Lähteen taajuus on f S ja aallonpituus λ =v f, missä v on äänen nopeus ilmassa / S Korva kuulee intensiteetin, joka on verrannollinen amplitudin neliöön Amplitudin neliön taajuus on kaksinkertainen amplitudin taajuuteen verrattuna, joten huojuntataajuudeksi tulee fa fb Edellisen sivun kuvassa yhdistetään aallot, joiden taajuudet ovat f a = 18 Hz ja f b = 16 Hz Summa-aallon taajuudeksi tulee 17 Hz ja huojunnan taajuudeksi Hz Huojunnan jaksonaika on siis 05 s (katso kuvaa) Aallon harjat lähestyvät havaitsijaa suhteellisella nopeudella v + v ), joten havaitsija kuulee taajuuden ( L

11 48 v + vl v + vl v + vl fl = = = fs (16-6) λ v/ fs v Äänilähdettä kohti liikkuva havaitsija ( v > L 0) kuulee siis korkeamman taajuuden ja äänilähteestä poispäin liikkuva havaitsija ( v 0) matalammman taajuuden kuin paikoillaan pysyvä kuulija L < Liikkuva lähde ja liikkuva havaitsija Oletetaan nyt, että havaitsijan lisäksi myös lähde liikkuu (kuva alla) Olkoon lähteen nopeus v S Aallon nopeus suhteessa väliaineeseen eli ilmaan on edelleen sama eli v, koska se määräytyy väliaineen ominaisuuksien perusteella, eikä muutu lähteen liikkuessa λ 49 v v v v, (16-7) S S = = fs fs fs ja lähteen vasemmalla puolella (eli takana) aallonpituudeksi tulee v vs v + v S λ = + = (16-8) fs fs fs Lähteen edessä ja takana olevat aallot puristuvat siis kokoon ja venyvät johtuen lähteen liikkeestä Lähteen takana olevan havaitsijan kuulemaksi taajuudeksi saadaan nyt v+vl v+vl fl = = fs (16-9) λ v + v S Yleinen tapaus: Vastaavilla tarkasteluilla voidaan johtaa yhtälöt kaikille erilaisille tilanteille, joissa havaitsija ja lähde joko liikkuvat eri tavalla toisiinsa nähden tai ovat paikallaan Yleiseksi Dopplerin ilmiötä kuvaavaksi yhtälöksi saadaan näiden tarkastelujen perusteella v + vl fl = fs, v + vs missä siis f L on havaitsijan kuulema ja f S lähteen lähettämä taajuus, v on äänen nopeus ilmassa, v L on havaitsijan nopeus ja v S lähteen nopeus Aallonpituus ei kuitenkaan enää ole sama kuin edellisessä tapauksessa Aika, jonka kuluessa lähde lähettää yhden jakson ääntä on jakson aika T = 1/ fs Tämän ajan kuluessa aalto etenee matkan vt = v / fs ja lähde etenee matkan vst = v S / fs Aallonpituus on samassa vaiheessa olevien aallon osien välimatka ja kuvasta nähdään, että liikkuvan lähteen lähettämät aallot puristuvat kokoon lähteen edessä ja venyvät lähteen takana Aallonpituus lähteen edessä on siis pienempi kuin sen takana Lähteen oikealla puolella (eli edessä) aallonpituudeksi saadaan Jos havaitsija tai lähde on levossa, nopeudet v L ja v S ovat vastaavasti nollia Nopeuksien v L ja v S merkit muistetaan sen perusteella, että liike, joka pyrkii pienentämään havaitsijan ja lähteen välimatkaa, kasvattaa taajuutta f L ja vastaavasti liike, joka pyrkii kasvattamaan välimatkaa, pienentää taajuutta Esimerkki: Poliisiauton sireeni lähettää sinimuotoisia ääniaaltoja taajuudella f S = 300 Hz Äänen nopeus ilmassa on v = 340 m/s (a) Jos auton nopeus on v S = 30 m/s, mikä on äänen aallonpituus auton edessä ja takana

12 50 (b) Minkä taajuisena paikallaan pysyvä havaitsija kuulee sireenin äänen auton ohitettua hänet? (c) Jos poliisiauto on levossa ( v S = 0), minkä taajuisena nopeudella v L = 30 m/s liikkuvassa autossa oleva havaitsija kuulee sireenin äänen, kun auto liikkuu poispäin poliisiautosta? (d) Poliisiauto ajaa nopeudella v S = 45 m/s sellaisen auton edessä, jonka nopeus on v L = 15 m/s Minkä taajuisena jälkimmäisessä autossa oleva havaitsija kuulee sireenin äänen? 169 Shokkiaallot (Shock Waves) Tarkastellaan nyt kuvan mukaista tilannetta, jossa lentokone liikkuu nopeudella v S Lentokoneen lentäessä syntyy ääniaaltoja, joiden nopeus on v Jos lentokoneen nopeus on pienempi kuin äänen nopeus, ääniaallot pakkautuvat yhteen lentokoneen edessä ja ääniaaltojen aallonpituus on Dopplerin ilmiöstä tutun tarkastelun perusteella λ = ( v v )/ f Kun lentokoneen nopeus lähestyy äänen S S 51 suuntaisen voiman Ilman vastus kasvaa näin voimakkaasti lentokoneen nopeuden lähestyessä äänen nopeutta Tätä kutsutaan äänivalliksi Jos lentokoneen nopeus on suurempi kuin äänen nopeus, ei koneen edessä olevan ääniaallon aallonpituutta ja taajuutta enää voida kuvata Dopplerin ilmiön käsittelyssä käytetyillä yhtälöillä Kuvassa (b) on esitetty poikkileikkauksena, mitä tällaisessa tilanteessa tapahtuu Lentokoneen edetessä syntyy edelleen ääniaaltoja Ääniaallot etenevät palloaaltoina siten, että jokaisen "äänipallon" keskipiste on siinä kohdassa, jossa lentokone oli sillä hetkellä kun ääni syntyi Ajan t kuluttua pisteestä S 1 matkaan lähtenyt aalto on levinnyt v t - säteiselle pallopinnalle ja lentokone on kulkenut matkan v S t paikkaan S Eri kohdista matkaan lähteneet palloaallot interferoivat keskenään ja niiden interferenssi on konstruktiivinen pitkin kuvaan (b) merkittyä viivaa, joka muodostaa kulman α lentokoneen nopeuden v S kanssa Pitkin tätä viivaa summa-aallon amplitudi on hyvin suuri ja tätä aaltoa kutsutaankin shokkiaalloksi Kuvasta (b) saadaan yhtälö vt v sinα = = vst v (16-31) S Suhdetta vs / v, joka kertoo lentokoneen nopeuden äänennopeuksina, sanotaan Machin luvuksi Jos lentokone liikkuu ääntä nopeammin, Machin luku on suurempi kuin yksi nopeutta, aallonpituus lähestyy nollaa ja aallot pakkautuvat yhä lähemmäksi toisiaan, kuten kuvassa (a) Lentokone puristaessaan ilmaa kokoon edessään kohdistaa siihen suuren voiman Ilma kohdistaa puolestaan lentokoneeseen yhtä suuren, mutta vastakkais- Esimerkki: Lentokone lentää 8000 m:n korkeudella nopeus 175 Machia Äänen nopeus kyseisellä korkeudella on 30 m/s Kuinka kauan lentokoneen ohituksen jälkeen kuulet "äänivallin pamauksen"?