9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
|
|
- Jutta Uotila
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta ei oteta huomioon ja valon eteneminen ymmärretään sädemallin avulla Valo on kuitenkin aaltoliikettä Tässä ja seuraavissa kappaleissa tutkimme millaisia ilmiöitä (interferenssi, diffraktio, ) valon aaltoluonteesta seuraa Aaltoluonteesta johtuvat optiset ilmiöt kuuluvat ns fysikaalisen optiikan (physical optics) aihepiiriin 9 VALOAALTO Yleisesti positiivisen x-akselin suuntaan etenevää harmonista aaltoa (esim köydessä) olemme esittäneet funktiolla y( x, t) = Asin( kx- wt+ j ) Valoaalto muodostuu kahdesta komponentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B Kentät riippuvat toisistaan yksikäsitteisellä tavalla ja siten riittää tarkastella vain toista, esimerkiksi sähkökenttää E Positiivisen x-akselin suuntaan etenevän harmonisessa valoaallossa sähkökentän suuruudelle E = E pätee E( x, t) = E sin( kx- wt+ j ) (9) 0 0 On huomattava, että funktion esittämä valoaalto on 3-ulotteinen Näin on, koska ensinnäkin matemaattisesti se toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön E Ñ E = (9) v t ja toiseksi se täyttää koko 3-ulotteisen avaruuden 0
2 0 Aaltoyhtälössä (9) paikkaderivaattaoperaattori Ñ Ñ = + + x y z on ns Laplacen operaattori ja yhtälöä voidaan pitää -ulotteisen aaltoyhtälön E E = x v t yleistyksenä On suoraviivaista todeta, että aalto (9) todellakin toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön Miten sitten aalto (9) täyttää koko avaruuden? Tarkastellaan aaltoa kiinnitetyllä ajan hetkellä (valitaan t = 0 ja lisäksi j 0 = 0), jolloin aalto on "jähmettynyt" avaruuteen muotoon E( x) = E sin( kx) 0 Tutkitaan tätä aaltoa kohdassa x = vakio (kuva alla) Matemaattisesti kysymyksessä on x-akselia vastaan kohtisuorassa oleva pinta, joka tässä tapauksessa on taso Tällä äärettömän suurella tasolla (millä tahansa y:n ja z:n arvoilla) aallon vaiheella j = kx on vakioarvo ja siten myös sähkökentän E arvo on vakio Tämä vakiovaiheen pinta on juuri aallon aaltorintama Aalto muodostuu äärettömän monesta äärettömän tiheään pitkin x-akselia olevasta vakiovaiheen pinnasta täyttäen siten koko avaruuden Aalto on ns tasoaalto, koska vakiovaiheen pinnat ovat tasoja Kun aika vapautetaan juoksemaan, vakiovaiheen tasot etenevät pitkin x-akselia
3 Esimerkki: Harmoninen tasoaalto E( x, t) = E sin( kx- wt), 0 missä E 0 = 0, k = 0 ja w = 30 etenee positiivisen x-akselin suuntaan Laske E:n arvo avaruuden pisteissä a) (x, y, z) = (, 0, 0) b) (x, y, z) = (, 3, 4) hetkellä t = 0 Huomaa, että molemmat pisteet ovat tasolla x = vakio =, joka on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan Ratkaisu: a) E = 0sin(0-30 0) = 0sin(0) = 084 b) E = 0sin(0-30 0) = 0sin(0) = 084 Aalto todellakin täyttää koko avaruuden (3-dim) ja sen vaihe tasolla x = on vakio (0 ajan hetkellä t = 0) ja siten myös E:n arvo on vakio (084) Tähän saakka olemme tarkastelleet aaltoja, jotka etenevät vain koordinaattiakseleiden (x, y, tai z) suuntaan Yleistetään suunta Vektorin k suuntaan etenevä harmoninen tasoaalto on muotoa E( r, t) = E0sin( k r - wt+ j0), (93) missä k = k ˆ ˆ ˆ xi+ kyj+ kzk (94) on ns aaltovektori, jonka suuntaan aalto siis etenee, k = k = k + k + k = p l (95) x y z / on jo tuttu aaltoluku, joka on nyt aaltovektorin pituus ja r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ (96) on paikkavektori (radiusvektori), jonka osoittamassa paikassa kenttä E lasketaan
4 Esimerkki: Sähkömagneettinen harmoninen tasoaalto etenee amplitudilla E 0, kulmataajuudella w ja aallonpituudella l Kirjoita aaltoa kuvaava funktio, kun aalto etenee a) y-akselin suuntaan b) 30 o :n kulmassa x-akselista mitattuna y-akselin suuntaan Ratkaisu: Yleinen muoto on E( r, t) = E0sin( k r - wt+ j0) a) Tässä k = k ˆ ˆ ˆ xi+ kyj+ kzk = 0ˆi+ k ˆ 0ˆ ˆ yj+ k = kyj k = k = ky = p / l r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ ja pistetuloksi laskemme k r = kxx + k yy + kzz = k yy = ky joten E( r, t) = E0sin( ky- wt+ j0) b) Nyt 3 k= kx + ky + kz = k + k = k (ok!, pelkkä tarkistus) 4 4 r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ ja 3 k r= kxx + k yy + kzz = kx + ky = k ( 3 x + y ), æ ö joten E( r, t) = E0sin ç k( 3 x+ y) - wt+ j0, missä k = p / l è ø
5 3 Kätevä merkintätapa: Yleisessä tapauksessa funktio (93) E( r, t) = E sin( k r- wt+ j ) 0 0 esittää etenevää harmonista tasoaaltoa alla esitetyn kuvan mukaisesti, jossa siis aaltovektori k kertoo aallon etenemissuunnan ja paikkavektori r osoittaa pisteen P, jossa kentän E arvo lasketaan Kuvassa referenssikohta (-piste) on sopivasti valittu piste (eräänlainen nollakohta), jonka kautta aalto etenee tarkastelupisteeseen P Yleisessä tapauksessa koordinaatiston origo ei ole referenssipisteessä Kuvasta perusteella k r= k ( r0+ r ), ja jos origo asetetaan referenssipisteeseen, niin r 0 = 0 ja k r= k r =kr Tässä pistetulo k r on suoraan vektoreiden pituuksien tulo kr, koska vektorit ovat saman suuntaisia Aalto (93) voidaan kirjoittaa muodossa E= E sin( kr - wt+ j ), (97) 0 0
6 4 Esimerkiksi, jos referenssipiste on asetettu koordinaatiston origoon ja aalto etenee x-akselin suuntaan, niin r = x ja päädymme tuttuun aaltoon E = E0sin( kx- wt+ j0) Monissa sovellutuksissa tarkastella pelkästään aallon (97) E= E sin( kr - wt+ j ) 0 0 aikariippuvuutta pisteessä P, jolloin on tapana kirjoittaa missä on riippumaton ajasta E = E0 sin( a - wt), (98) a = + kr j 0 9 SUPERPOSITIO Jo aikaisemmin olemme todenneet, että jos useampi aaltoliike vaikuttaa samanaikaisesti määrätyssä pisteessä, niin aaltojen yhteisvaikutus saadaan laskemalla yhteen eri aaltojen erikseen aiheuttamat vaikutukset Valoaaltojen tapauksessa on huomattava, että kysymyksessä on vektoriyhteenlasku Kahden sähkömagneettisen aallon (sähkövektorit E ja E ) superpositio on siis E= E+ E, missä tulos riippuu hyvin merkittävästi vektoreiden keskinäisistä suunnista Resultanttikentän suuruudelle saamme E= E = E E= ( E + E ) ( E + E ) = E + E + E E
7 5 Jos esimerkiksi E ^ E, ts kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, pistetulo on nolla, E E = 0, ja saadaan E= E + E Jos taas kentät ovat paralleeleja keskenään ( EP E), pistetulo antaa E E =±EE, missä (+)-merkki tarkoittaa saman suuntaisia kenttiä ja (-)-merkki vastakkaissuuntaisia Kokonaiskentän suuruudeksi tulee E= E + E ± EE = E ± E Jatkossa tarkastelemme (ellei toisin mainita) tapauksia, joissa kentät ovat samansuuntaisia ja siten superpositio on "voimakkaimmillaan" ja se voidaan esittää skalaariyhtälöllä E = E+ E 93 SAMATAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Viereisessä kuvassa kaksi aaltoa, joilla on sama taajuus ( n = n ) kohtaavat pisteessä P w = w = w l = l = l ( l = c / n ) k = k = k ( k = p / l) Huom! k ¹ k, koska suunnat poikkeavat Kirjoitetaan ensin aallot erikseen P:ssä yhtälön (98) muodossa E = E0sin( a- wt), a = kr + j0 E = E0sin( a - wt), a = kr + j0
8 Aaltojen vaihe-ero pisteessä P on 6 ( a -wt)-( a- wt) = a -a = k( r - r ) + ( j0 - j0) Vaihe-ero syntyy siis kahdesta termistä Ensimmäinen k( r - r) muodostuu aaltojen matkaerosta lähteistään ja toinen niiden alkuperäisestä vaiheerosta ( j0 - j0), kun aallot lähtevät lähteistään Aaltojen aikariippuvuudet (erikseen) pisteessä P ovat E = E0sin( a-wt) E = E0sin( a -wt) ja resultantiksi tulee E E E = E sin( a - wt) + E sin( a - wt) R = Soveltamalla trigonometrian identiteettiä sin( A- B) = sin Acos B- cos Asin B, saadaan helposti tulos ER = ( E0 sina + E0 sin a)coswt -( E0 cosa + E0 cos a)sinwt Kun vielä merkitään E sina + E sina = E sina E cosa + E cosa = E cosa saadaan, soveltamalla yllä esitettyä identiteettiä uudelleen, tulos ER = E+ E = E0sin( a - wt), (93) missä E0 = E0 + E0 + E0E0 cos( a - a) (93) E0sina+ E0sina tana = (933) E0cosa+ E0cosa Tässä kannattaa huomata, että resultantilla on sama muoto ja sama taajuus kuin osa-aalloilla Irradianssi pisteessä P ( I µ E 0 ) riippuu vaihe-erosta a - a termin E E cos( a - a ) välityksellä Sovellutus: interferenssi-ilmiöt 0 0
9 Esimerkki: Kaksi samataajuista tasoaaltoa, joiden molempien sähkökentät värähtelevät z-suunnassa, etenevät toistensa suhteen ristiin, toinen x-suuntaan ja toinen y-suuntaan SI-yksiköissä aaltoja edustaa funktiot ép ù E( x, t) = 4sin x- 0t+ p ë3 ú û ép ù E( y, t) = sin y- 0t+ p ë3 ú û Laske aaltojen superpositio avaruuden pisteessä (x, y, z) = (5,, 0) Ratkaisu: é5p ù é8p ù E(5, t) = 4sin - 0t+ p = 4sin -0t ë 3 ú û ë 3 ú û On siis ép ù é5p ù E(, t) = sin - 0t + p = sin -0t ë 3 ú û ë 3 ú û 0 [ a w ] [ a w ] E = E sin - t, missä E 0 = 4 ja a = 8 p /3 E = E sin - t, missä E 0 = ja a = 5 p /3 0 ja näissä molemmissa w = 0 Resultantti on ER = E0 sin( a - wt), missä E = E + E + E E cos( a -a ) ja = cos(5 p /3 8 p /3) = 0 + 6cos( - p) = 0-6 = 4
10 tana E E 0 0 = = sina + E sina 4 sin(8 p /3) + sin(5 p /3) cosa + E cosa 4 cos(8 p /3) + cos(5 p /3) 4 3/+ - ( 3/) 3 = = =- 4 (- /) + (/) - p p Þ a =- tai 3 3 ja lopulta siis ER ép ù = sin -0t ë 3 úû é p ù tai ER =-sin - -0t ë 3 úû Merkit ja kulmat on valittava siten, että ehdot (ks sivu 6) E0sina = E0sina+ E0sina E0 cosa = E0 cosa + E0 cosa ERITAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Nyt w ¹ w, joten myös k ¹ k (esim tyhjiössä k = w/ c) ja E = E0sin( a- wt), a = kr + j0 E = E0sin( a - wt), a = kr + j0 Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi (ei muuta ilmiötä), että E0 = E0 = E0 ja j0 = j0 = 0 ja lisäksi a = kx ja a = kx, ts molemmat etenevät x-suuntaan ja molemmilla on sama origo: Siis
11 ja resultantti pisteessä P on R 9 E = E sin( k x- w t) (94) 0 E = E sin( k x- w t) (94) 0 [ sin( w ) sin( w )] E = E + E = E k x- t + k x- t 0 Sovelletaan seuraavaksi identiteettiä [ ] [ ] sin A+ sin B= cos ( A- B) sin ( A+ B) Tässä tapauksessa ( A+ B) = ( k + k ) x- ( w + w ) t ( A- B) = ( k -k ) x- ( w -w ) t ja otetaan (kaukoviisaasti) käyttöön merkinnät ( ) = - w ( ) p = w+ w wg w w ( ) kg = k-k k ( ) p = k+ k jolloin saadaan E = E cos( k x-w t)sin( k x- w t) (943) R 0 g g p p Tulos (943) esittää kosiniaallon ja siniaallon tuloa Siniaallon kulmataajuus on w p ja aaltoluku k p, jotka ovat summautuvien aaltojen vastaavien suureiden keskiarvoja Kosiniaallon w g ja kg ovat puolestaan alkuperäisten suureiden erotusten puolikkaita ja siten pienempiä kuin siniaallolla Voidaan siis kirjoittaa w p > wg ja kp kg missä on oletettu, että w > w ja k > k >, Kun alkuperäisillä aalloilla on lähes sama kulmataajuus ( w» w ), niin wp? wg ja kiinnitetyssä avaruuden pisteessä x= x0 saadaan kuvaajat (seuraavalla sivulla):
12 0 Ylemmässä kuvassa resultantin (943) kosini- ja sinikomponenttien aikariippuvuudet on piirretty erikseen kiinnitetyssä avaruuden pisteessä x= x0 Suurempitaajuinen ( w p) sini värähtelee nopeammin Alemmassa kuvassa komponenttien tulo on piirretty yhtenäisellä viivalla Verhokäyrä edustaa amplitudin vaihtelua Resultanttiaalto on siis kahden aallon tulo: Matalan taajuuden aalto moduloi korkean taajuuden aaltoa Seurauksena on huojunta, jonka taajuus (huojuntataajuus, engl beat frequency) on kaksinkertainen moduloivan aallon taajuuteen verrattuna (vrt huojunta äänellä): w = w = w - w b g Ryhmänopeus Edellistä tarkastelua voidaan soveltaa optiikassa dispersioon Koska v =c/ n, valon eri aallonpituudet etenevät eri nopeuksilla dispersiivisessä väliaineessa, siis aineessa, jossa n= n( l) Herää kysymys, mikä on useammasta aallonpituudesta muodostuneen valon etenemisnopeus?
13 Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi väliaineessa etenevää valoa, joka muodostuu vain kahdesta eri aallonpituisesta (eri taajuisesta) säteestä Oletetaan, että säteiden aallonpituudet (taajuudet) poikkeavat vain vähän toisistaan, ts k ¹ k ja w ¹ w, mutta siten, että k» k = k ja w» w = w Säteitä edustaa yhtälöt (94) ja (94), jotka yhdessä muodostavat resultantin (943) ja tilanne on edellisen sivun kuvien (ja teorian) mukainen Valon vaihenopeus v p on itse resultanttiaallon (943) nopeus Edellisen sivun alemmassa kuvassa sitä edustaa yhtenäinen käyrä, jonka kulmataajuus on w p ja aaltoluku k p Vaihenopeudelle laskemme siis wp ( w+ w) w v p = (944) kp ( k+ k) k missä viimeinen approksimaatio voidaan tehdä koska w = w k = k ja Valon ryhmänopeus v g on moduloivan aallon (ns aaltopaketin) nopeus Sitä edustaa kuvassa verhokäyrä, jonka kulmataajuus on w g ja aaltoluku k g Saadaan wg ( w-w) dw v g = (945) kg ( k-k) dk missä derivaatta voidaan kirjoittaa koska taajuudet ja aaltoluvut poikkeavat vain vähän toisistaan Ryhmänopeus v g = dw / dk ja vaihenopeus v p = w / k eivät yleisessä tapauksessa ole samat: dw d dvp vg = = ( k vp) = v p + k dk dk dk
9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kaaleissa olemme tutkineet valon heijastumista eileissä ja taittumista linsseissä geometrisen otiikan aroksimaation avulla Aroksimaatiossa valon aaltoluonnetta
Lisätiedotja siis myös n= nk ( ). Tällöin dk l l
Tästä havaitaan, että jos nopeus ei riipu aallonpituudesta, ts. ei ole dispersiota, vg = v p. Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg = v p = c. Dispersiivisessä väliaineessa v p = c/ n, missä
Lisätiedotjonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin yhtälöön.
71 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN AALTO Sähköön ja magnetismiin liittyvät havainnot yhdistettiin noin 1800luvun puolessa välissä yhtenäiseksi sähkömagnetismin teoriaksi, jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin
Lisätiedot- 3 välikoetta, jokaisessa 4 tehtävää, yht. 12 teht. - 6 pistettä yhdestä tehtävästä - max pisteet 72 (+ lisät harjoituksista)
1/2 KURSSIN ARVOSTELU - 3 välikoetta, jokaisessa 4 tehtävää, yht. 12 teht. - 6 pistettä yhdestä tehtävästä - max pisteet 72 (+ lisät harjoituksista) pisteet arvosana 00,00 35,25-35,50 41,25 1 1/2 maksimista
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys12 Kevät 21 Jukka Maalampi LUENTO 11 Mekaaninen aaltoliike alto = avaruudessa etenevä järjestäytynyt häiriö. alto altoja on kahdenlaisia: Poikittainen aalto - poikkeamat kohtisuorassa
Lisätiedot25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto
5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan
Lisätiedot7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI
67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotLuento 15: Ääniaallot, osa 2
Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotYLEINEN AALTOLIIKEOPPI
YLEINEN AALTOLIIKEOPPI KEVÄT 2017 1 Saana-Maija Huttula (saana.huttula@oulu.fi) Maanantai Tiistai Keskiviikko Torstai Perjantai Vk 8 Luento 1 Mekaaniset aallot 1 Luento 2 Mekaaniset aallot 2 Ääni ja kuuleminen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotRatkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava,
8 Ratkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava 3 3 y = =, ( x- vt) + 1 ( x- t) + 1 missä siis v = m/s. Tulos on SI-yksiköissä, joten x ja y ovat metreinä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Lisätiedot2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).
2 Mekaaninen aalto Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 1 Mekaanisten aaltojen vastakohtana ovat sähkömagneettiset allot, jotka kulkevat
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotLuento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
LisätiedotKompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa
Kompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa 13 i( kx-w t) %, y = Ae joka Eulerin kaavalla avautuu muotoon y% = Acos( kx- wt) + iasin( kx-wt). Kompleksiesitys sisältää siis sekä
Lisätiedot7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 7.1 Valon luonne Valon mallit: Hiukkasmalli: Valo koostuu pienistä hiukkasista Aaltomalli: Valo on aaltoliikettä Aaltohiukkasdualismi: Valoa voidaan tarkastella sekä
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu
3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 8 / versio 3. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
Lisätiedot4 Optiikka. 4.1 Valon luonne
4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee
LisätiedotMikroskooppi yksinkertaisimmillaan muodostuu kahdesta positiivisesta linssistä. Lähellä tutkittavaa esinettä eli objektia sijaitsee
201 8.6 MIKROSKOOPPI Mikrskppi yksinkertaisimmillaan mudstuu kahdesta psitiivisesta linssistä. Lähellä tutkittavaa esinettä eli bjektia sijaitsee hyvin lyhytplttvälinen bjektiivilinssi ja lähellä silmää
LisätiedotLuento 15: Mekaaniset aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Ajankohtaista Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus
Lisätiedot4 Optiikka. 4.1 Valon luonne
4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 3A (Vastaukset) Alkuviikolla
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedote =tyhjiön permittiivisyys
75 4.3 ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ On tuttu tosiasia, että sähkömagneettinen aalto kuljettaa mukanaan energiaa. Esimerkiksi auringon säteet lämmittävät ihoa. Liikkuvaan energiaan liittyy aina myös liikemäärä.
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotScanned by CamScanner
Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotSEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA
1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot2 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN
1 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN Kun aalto osuu väliaineen rajapintaan, se heijastuu siitä takaisin joko osittain tai kokonaan. Esimerkiksi äänen osuessa talon seinään se palaa takaisin kaikuna. Missä määrin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
Lisätiedotd+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen
MEI-55100 Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä,
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotF x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään
31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
LisätiedotFYS03: Aaltoliike. kurssin muistiinpanot. Rami Nuotio
FYS03: Aaltoliike kurssin muistiinpanot Rami Nuotio päivitetty 24.1.2010 Sisältö 1. Mekaaninen aaltoliike 2 1.1. Harmoninen voima 2 1.2. Harmoninen värähdysliike 2 1.3. Mekaaninen aalto 3 1.4. Mekaanisen
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
Lisätiedot1 PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 AALTOJEN TYYPIT
1 1 PERUSKÄSITTEITÄ Luonto on täynnä aaltoja. Aaltoliikettä voi syntyä kimmoisissa systeemeissä, jotka poikkeutettuna tasapainotilastaan pyrkivät palaamaan siihen takaisin. Aalto etenee, kun poikkeama
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden
5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
Lisätiedot3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE
3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby 8.6 8.11) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
Lisätiedot. Lasketaan muutamia pisteitä ja piirretään kuvaajat:
RATKAISUOHJEET Harjoitus 1 1. a) Tässä paikka x ja aika t esiintyvät muodossa xv t, joten funktio etenee muotonsa säilyttäen. Nopeus on 1 m/s positiivisen x-akselin suuntaan. b) Tässä paikka z ja aika
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
Lisätiedot, tulee. Käyttämällä identiteettiä
44 euraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 4) B =- dp /( dv / V ). Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,). aamme siten dv yxt (,) p(,) x t =- B =-B. (3.3.3) V x Kun tähän
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot