= 0.175m, 0.525m, 0.875m,...
|
|
- Ella Kokkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 9 (a) Esitä seisovan aallon aaltofunktio. (b) Paikallista ne köyden pisteet, jotka eivät liiku ollenkaan. (c) Paikallista ne köyden pisteet, jotka liikkuvat eniten ja laske vastaavat maksimipoikkeamat, -nopeudet ja -kiihtyvyydet. Ratkaisu: Alkuperäisen aallon ominaisuudet: -3 A = m, -1-1 w = p f = p 1s = 754s -1 p p f w 4ps -1 k = = = = = 8.98m l v v 84.m/s l v 84.m/s = = =.7m 1 f 1s - (a) Seisova aalto (.3.4) y( x, t) = (Asin kx)coswt = (3. 1 m)sin(8.98m x)cos(754s t) On vielä varmistettava, että tällä on solmu kohdassa x = : -3-1 y(, t) = (3. 1 m)sin() cos(754s t) =, ts. solmu on!! (b) Köysi ei liiku solmukohdissa (.3.5) x= m l =,.35m,.7m, 1.5m,... (c) Köysi liikkuu eniten kupukohdissa (.3.6) æ 1 öl x= ç m+ =.175m,.55m,.875m,... è ø Kupukohdissa sin( kx ) =± 1, joten y( t) =± Acoswt v y( t) = dy / dt =mawsinwt ay( t) = dvy/ dt =maw coswt Näiden maksimiarvot saadaan, kun cosw t =± 1ja sinw t =± 1:
2 m max 3 - y = A= (pieni) v y ay = Aw =.6m/s (suuri) max = Aw = 171m/s (valtava, vrt. g) max Lisäpohdintaa: Miten seisovan aallon yhtälö (.3.4) pitäisi kirjoittaa, jos köyden pää olisi kiinnitetty pisteeseen ( x= x, y= )? Vastaus: y( x, t) = [Asin k( x- x)]cosw t..4 NORMAALIMUODOT Edellisessä tarkastelussa vain toinen köyden päistä oli kiinnitetty ja köysi oletettiin (periaatteessa) äärettömän pitkäksi. Tässä tapauksessa systeemiin sinänsä ei rajoittanut syntyvän seisovan aallon aallonpituutta. Olipa tulevan aallon aallonpituus mikä tahansa aina syntyy seisova aalto. Tarkastellaan nyt miten tilanne muuttuu, kun köyden molemmat päät on kiinnitetty. Molemmista päistä kiinnitettyjä köysiä esiintyy paljon musiikki instrumenteissa, esimerkiksi kitarassa. Kun kitaran kieli saatetaan värähtelemään aalto etenee edestakaisin heijastuen kiinnitetyistä päistä. Nytkin muodostuu seisova aalto eri suuntiin etenevien aaltojen superpositiona. Molemmista päistään kiinnitettyyn köyteen syntyvällä seisovalla aallolla täytyy olla solmupiste köyden molemmissa päissä. Toisaalta, edellisessä kappaleessa totesimme, että seisovan aallon solmupisteet ovat l /:n päässä toisistaan. Tästä seuraa, että köyden pituuden L täytyy olla l /, tai ( l / ), tai 3( l / ), jne.... Saamme siis ehdon L= n l, ( n = 1,, 3, K). (.4.1)
3 31 Tämä tarkoittaa sitä, että jos köyden molemmat päät on kiinnitetty, köysi voi värähdellä vain ehdon (.4.1) mukaisilla aallonpituuksilla. Aallonpituudet ovat L l n =, ( n = 1,, 3, K). (.4.) n Neljä ensimmäistä tämän yhtälön mukaista ns. normaalivärähdysmuotoa on esitetty kuvassa alla. Aallonpituuksia l n vastaavat taajuudet saadaan puolestaan yhtälöstä v v fn = = n ( n = 1,, 3, K). (.4.3) l L n
4 3 Matalin taajuus f 1 vastaa suurinta aallonpituutta ja se saadaan, kun n = 1. Tätä taajuutta sanotaan perustaajuudeksi (fundamental frequency). Kaikki muut taajuudet ovat perustaajuuden monikertoja f 1, 3 f 1, 4 f 1,... ja niitä sanotaan harmonisiksi (harmonics) tai musiikkipiireissä yliääniksi (overtones). Perustaajuus f 1 on ensimmäinen harmoninen, taajuus f = f1 on toinen harmoninen tai ensimmäinen yliääni, f3 = 3 f1 on kolmas harmoninen tai toinen yliääni, jne. Jos köysi on kiinnitetty pisteissä x = ja x= L, niin sen n: nnen seisovan aallon aaltofunktioksi tulee (katso.3.4) y ( x, t) = A sin( k x)cos( w t), (.4.4) n sw n n missä A sw on seisovan aallon amplitudi ( = A), k n = p / ln ja w = p f. n n Värähtelevän systeemin normaalimuoto (normal mode) on sellainen liike, missä systeemin kaikki hiukkaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella siten, että kaikki hiukkaset ohittavat tasapainoasemansa samanaikaisesti ja toisaalta ovat poikkeamansa maksimissa samanaikaisesti. Molemmista päistä kiinnitetty köysi värähtelee siis normaalimuotoisesti ja esimerkiksi edellisen sivun kuva esittää normaalimuotoja arvoilla n = 1,, 3 ja 4. Köydessä (esim. kitaran kielessä) eri normaalimuodot värähtelevät tavallisesti yhtäaikaa. Värähtely voi siis olla hyvinkin monimutkaista. Eri normaalimuotojen virittyminen värähtelemään riippuu alkuehdoista, ts. siitä miten kieli alun perin saatetaan värähtelemään.
5 33 Toisaalta mikä tahansa köyden liikemuoto voidaan esittää normaalimuotojen lineaarikombinaationa. Monimutkaisen värähtelyn purkamista eri normaalimuodoiksi sanotaan Fourieranalyysiksi. Edellisen sivun kuvassa (alakuvassa) L : n pituista kitaran kieltä näpäytetään etäisyydeltä L /4 vasemmasta reunasta. Kieleen syntyvä monimutkainen värähtely voidaan esittää sinimuotoisten normaalimuotojen kombinaationa (yläkuva). Esimerkki: Erään jättiläissellon kielen pituus on 5. m, lineaarinen massatiheys 4. g/m ja perustaajuus. Hz (alin ihmisen kuulema taajuus). Laske a) aallon nopeus kielessä ja kielen jännitys, b) toisen harmonisen taajuus ja aallonpituus ja c) kielen synnyttämän ääniaallon taajuus ja aallonpituus, kun kieli värähtelee perustaajuudellaan ja toisella harmonisellaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 344 m/s. Ratkaisu: Värähtelevästä kielestä on annettu seuraavat tiedot: L = 5.m, -3 m = 4. 1 kg/m ja f 1 =. Hz. a) Kielen pituus on 5. m, joten yhtälön (.4.) l n = L/ n mukaan perustaajuutta ( n = 1) vastaava aallonpituus on 1. m. Nyt aallon nopeus kielessä saadaan laskemalla v= lf= 1.m.Hz = m/s 1 1 ja jännitys yhtälöstä (1.4.1) ratkaisemalla -3kg æ mö F = mv = 4. 1 ç = 16N m è s ø b) Toisen harmonisen ( n = ) taajuus on yhtälön (.4.3) mukaan f = v m/s 4.Hz f L = 1.m = = 1
6 34 ja aallonpituus yhtälön (.4.) mukaan l = L / = 5.m. c) Kieli hakkaa ilmaa sillä taajuudella, jolla se värähtelee, joten taajuus ilmassa on sama kuin kielessä. Perusvärähdys f 1 =. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 17.m f =.Hz = Toinen harmoninen f = 4. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 8.6m f = 4.Hz =.5 FOURIER-SARJOISTA Kappaleessa 1.1 totesimme, että mikä tahansa jaksollinen aalto (myös ei-harmoniset) voidaan esittää harmonisten sini- ja kosiniaaltojen lineaarikombinaationa. Jaksollisen aallon purkamista sen harmonisiin komponentteihin sanotaan Fourier-analyysiksi. Fourier-sarja: Olkoon y( x-v t) mikä tahansa rajoitettu jaksollinen aalto, jonka aallonpituus on l. Voidaan osoittaa (ei johdeta tässä), että sarja A ì é p ù é p ùü + å íamcos m ( x- t) + Bmsin m ( x- t) ý m= 1î ê ë l v ú û ê ë l v ú ûþ (.5.1)
7 35 suppenee kohti funktiota y( x-v t) kaikissa pisteissä, joissa funktio on jatkuva. Epäjatkuvuuskohdissa sarja suppenee kohti funktion toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa. Sarjassa harmonisten termien amplitudit A m ja periodin ( x x + l) ulottuvista integraaleista B m saadaan yli A x + l = y( x) dx l ò, (.5.) x x + l æ p ö Am = y( x)cos m x dx l ò ç è L ø, (.5.3) x x + l æ p ö Bm = y( x)sin m x dx l ò ç è L ø. (.5.4) x Näissä yx ( ) = yxt (, = ). Jos siis funktio yx ( ) tunnetaan, amplitudit A, A m ja B m voidaan laskea ja Fourier-analyysi on suoritettu. Esimerkki: Tee Fourier-analyysi suorakaideaallolle ì M ï, kun - l/ < x <-l/ 4 ï yx (,) = í1, kun - l/ 4 x + l/ 4 ï, kun + l/ 4 < x<+ l/ ï ïî M
8 36 Analyysi: Kannattaa valitan x =- l /, jolloin integroimisväliksi tulee - l/ l/, ts. se sijoittuu symmetrisesti origon suhteen. Edelleen, koska yx ( ) on parillinen funktio ja sini-funktio on pariton, integraali (.5.4) on aina nolla. Riittää, kun laskemme integraalit (.5.) ja (.5.3). Siis ensin l/ l/4 l A = y( x) dx dx 1 l ò = l ò = = l -l/ -l/4 ja sitten l/ l/4 æ p ö æ p ö Am = y( x)cosç m x dx = cosç m x dx l è l ø l è l ø ò ò. -l/ Tässä hyödynnettiin tulon y cos... parillisuutta. Edelleen tulee 4 1 l l/4 æ p ö æ p ö Am = sin ç m x = sin ç m l m p è l ø mp è ø. Ensimmäisille A = 1, A1 Am -kertoimille saadaan: = 1 1 p, A =, A 3 =- 1 3 p, A =, A 4 5 = 1 5 p,... Jaksollinen suorakaideaalto voidan siis esittää harmonisten kosiniaaltojen summana (.5.1) 1 æ p ö é ù y( x, t) = + åç sin m cos m ( x- t) m= 1 mp ê v è ø ë p û ú 1 é æp ö 1 æ p ö = + cos ( x t) cos 3 ( x t) p ê ç -v - ç -v ë è l ø 3 è l ø 1 æ p ö 1 æ p ö ù + cosç 5 ( x-vt) - cosç 7 ( x- vt) + L 5 l 7 l ú è ø è ø û
9 37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves). Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä ilmassa, mutta yleisesti ottaen ääni voi edetä myös muissa kaasuissa, nesteissä ja myös kiinteissä aineissa. Tässä kappaleessa tarkastelemme ensin yleisesti pitkittäisten aaltojen ominaisuuksia ja tämän jälkeen keskitymme ääniaaltoihin ja erilaisiin kuulemiseen liittyviin ilmiöihin. 3.1 PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA Kuten poikittaisen aallon tapauksessa myös pitkittäisen aallon nopeus riippuu väliaineen fysikaalisista ominaisuuksista. Tarkastellaan nyt pitkittäisen aallon nopeutta sylinterissä olevassa nesteessä (tai kaasussa). Johto on täysin analoginen kappaleessa 1.4 esitetyn johdon kanssa. Nesteen tiheys olkoon r ja sylinterin poikkipinta-ala A. Tasapainotilanteessa neste on levossa ja vakiopaineessa p. Hetkellä t = mäntään kohdistetaan voima ( D p) A ja mäntä lähtee liikkeelle vakionopeudella v y. Syntyy pulssi, joka etenee kuvassa oikealle nopeudella v.
10 38 Tilanne ajanhetkellä t on esitetty kuvassa (b). Pisteen P vasemmalla puolella nesteen nopeus on v y ja oikealla puolella vielä nolla. Mäntä on liikkunut matkan v ja piste P matkan v t. y t Sovelletaan nytkin impulssiteoreemaa. Liikkuvaan nesteosaan vaikuttava voima on ( D p) A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, ajassa t, on ( rvta) v y -, missä ( rv ta) on nesteosan massa. Tulee siis ( D p) At= ( rvta) v y. Kirjoitetaan seuraavaksi liikkuvaan nesteosaan kohdistuva lisäpaine D p nesteen tilavuusmodulin B (bulk modulus tai modulus of compression eli puristuvuuskerroin) avulla. Aineen tilavuusmoduli B (Pa = N/m ) kertoo miten paljon paine muuttuu ( D p ), kun suhteellista tilavuutta muutetaan ( D V / V ). Se määritellään yhtälöllä ædv ö D p=-bç è V ø. Alkuperäinen tilavuus Av t on pienentynyt määrällä -( Avyt) vy D p=- B = B At v v. Tulee v y B At = ( rvta) vy, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan Av y t, joten B v =. (3.1.1) r Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä (kaasussa) riippuu siis nesteen tilavuusmodulista B ja tiheydestä r.
11 39 Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä aineessa saadaan myös yhtälöstä (3.1.1), kunhan nesteen tilavuusmoduli korvataan kiinteän aineen kimmomodulilla Y (Young s modulus): Y v =. (3.1.) r Kannattaa huomata nopeuskaavojen (1.4.1), (3.1.1) ja (3.1.) samankaltaisuus. Kaikkien kaavojen osoittajassa esiintyy väliaineen kimmoisuutta kuvaava ominaisuus, joka kertoo palauttavan voiman suuruudesta. Nimittäjissä kaikilla on väliaineen hitautta kuvaava ominaisuus. Vastaavaa analogiaa voidaan käyttää myös pitkittäisen aallon energiansiirtonopeuteen. Kappaleessa 1.5 johdimme köydessä etenevän poikittaisen aallon keskimääräiselle teholle lausekkeen 1 Pav = mfw A, missä F on köyden jännitysvoima (edustaa kimmoisuutta) ja m massa pituusyksikköä kohti (edustaa hitautta). Vastaava suure pitkittäisille aalloille nesteissä tai kaasuissa on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti eli intensiteetti I, joka saadaan korvaamalla m r ja F B: 1 I B A josta kiinteille aineille korvaamalla B = r w, (3.1.3) Y: 1 I = ryw A. (3.1.4) Esimerkki: Laivan kaikuluotain käyttää vedessä eteneviä ääniaaltoja. Laske äänen nopeus ja aallonpituus 6 Hz:n taajuiselle äänelle vedessä. Veden ( C) tilavuusmoduli on B = Pa ja tiheys r = 1. 1 kg/m 3.
12 Ratkaisu: N/m Nm kg/m kg B v = = = = 148m/s r l = v = m/s = m = 5.64m f 6 1/s Esimerkki: Matalahkon puheäänen taajuus on noin 1 Hz ja intensiteetti noin W/m. Laske äänen nopeus ja amplitudi, 5 kun ilman tilavuusmoduli on Pa ja tiheys 1. kg/m 3. Ratkaisu: Nopeus: B v = = = = r N/m m m kg/m s s Amplitudi yhtälöstä (3.1.3): I A = rb( p f) -6 Tässä: I = 3 1 W/m r = 1. kg/m 3 5 B = N/m f = 1 1/s joilla -9 A = m =.19mm!! (aika pieni) Yksikkötarkastelu: W/m Ws /m Js/m Nms = = = = m = m kg N 1 kg kg kg 3 4 m m s ms ms
13 41 3. ÄÄNEN NOPEUS IDEAALIKAASUSSA 1/ Yhtälö (3.1.1) v = ( B / r) pätee pitkittäisille aalloille kaasuissa. Tarkastellaan nyt miten yhtälöä voidaan kehittää ideaalikaasuissa. Tilavuusmodulin B tarkka (infinitesimaalinen) määritelmä on dp B=- V, dv joten nyt on selvitettävä miten ideaalikaasun paine riippuu tilavuudesta. Oletetaan, että äänen eteneminen ideaalikaasussa on adiabaattinen prosessi, ts. lämmön vaihtoa puristumisten ja laajentumisten aikana ei ehdi tapahtua. Näissä olosuhteissa paineen p ja tilavuuden V välillä vallitsee yhteys (tarkemmin termofysiikan kurssilla) pv g = vakio, (3..1) missä g = Cp / CV on ominaislämpökapasiteettien (vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa) laaduton suhde. Derivoimaalla V:n suhteen dp V g pv g -1 + g =, dv josta g -1 dp g pv g p =- =-. g dv V V Tilavuusmodulille saamme B = g p ja äänen nopeudeksi tulee Edelleen ideaalikaasun tilanyhtälöstä m pv = nrt = RT M saamme tiheydelle r = m pm V = RT, g p v =. (3..) r
14 jonka avulla päädytään yhtälöön 4 g RT v =, (3..3) M missä R on yleinen kaasuvakio, M moolimassa ja T lämpötila. Esimerkki: Laske äänen nopeus ilmassa ( C), kun ilman moolimassa on 8.8 g/mol ja g = 1.4. Ratkaisu: g RT v = M missä g = 1.4 R = J mol -1 K -1 T = 93 K ( C) -3 M = kg/mol J tulee v = = 344 m/s kg 3.3 ÄÄNIAALLOT Luonnon äänet leviävät äänilähteestä kaikkiin suuntiin moninaisilla amplitudella. Yksinkertaiset ääniaallot ovat kuitenkin sinimuotoisia (harmonisia) aaltoja, joilla on yksikäsitteinen taajuus, amplitudi ja aallonpituus. Ihminen havaitsee ääntä taajuusalueella Hz Hz. Aluetta sanotaan kuuloalueeksi (audible range). Kuuloalueen yläpuolinen taajuusalue on ultraäänialue (ultrasonic) ja alapuolinen infraäänialue (infrasonic). Tarkastellaan ideaalista positiivisen x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa ja kirjoitetaan sen aaltofunktio muodossa
15 43 y( x, t) = Asin( kx- w t). (3.3.1) Tässä on muistettava, että ääni on pitkittäistä aaltoliikettä ja poikkeamat tapahtuvat aallon etenemissuunnassa. Kaavassa (3.3.1) poikkeama-akseli y on siis samansuuntainen x-akselin kanssa. Amplitudi A on ilmaosasten poikkeama-amplitudi. Ääniaaltoja voidaan kuvata myös paineen vaihteluina ilmanpaineen p a molemmin puolin. Ihminen kuulee nimenomaan paineen vaihtelut, joten on hyödyllistä esittää (3.3.1) niiden avulla. Kuvatkoon pxt (,) äänen paineen vaihtelua pa : n ympäristössä, ts. kokonaispaine on pa + pxt (,). Sitä, miten paineen vaihtelu pxt (,) ja hiukkasten poikkeamat yxt (,) riippuvat toisistaan, selvitellään viereisen kuvan avulla. Kuvitteellinen ilmassa oleva sylinteri on x-akselin suuntainen ja sen poikkipinta-ala on S. Tasapainotilassa sylinterin pituus on D x. Kohdalle tuleva ääniaalto siirtää sylinterin vasemman pään paikasta x paikkaan y 1 ja oikean pään paikasta x+d x paikkaan y. Sylinterin tilavuus V = SD x muuttuu määrän V D V= Sy ( - y1) = [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)], Dx josta D V [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)] =. V Dx Muutokset ovat pieniä ja rajalla, kun D x, saamme dv yx ( +Dxt,)- yxt (,) yxt (,) = lim =. (3.3.) V D x D x x
3.1 PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA
37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves) Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä
Lisätiedot2 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN
1 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN Kun aalto osuu väliaineen rajapintaan, se heijastuu siitä takaisin joko osittain tai kokonaan. Esimerkiksi äänen osuessa talon seinään se palaa takaisin kaikuna. Missä määrin
LisätiedotYLEINEN AALTOLIIKEOPPI
YLEINEN AALTOLIIKEOPPI KEVÄT 2017 1 Saana-Maija Huttula (saana.huttula@oulu.fi) Maanantai Tiistai Keskiviikko Torstai Perjantai Vk 8 Luento 1 Mekaaniset aallot 1 Luento 2 Mekaaniset aallot 2 Ääni ja kuuleminen
Lisätiedot766329A Aaltoliike ja optiikka
76639A Aaltoliike ja optiikka Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Kevät 5 Perustuu oppikirjoihin: H. D. Young and R. A. Freedman University Physics, Addison-Wesley th ed., and th ed., 4 F. L.
Lisätiedot3 ÄÄNI. Sovelletaan nytkin impulssiteoreemaa. Liikkuvaan nesteosaan vaikuttava A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, on nesteosan massa.
37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves). Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä
LisätiedotLuento 15: Mekaaniset aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Ajankohtaista Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus
LisätiedotLuento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa
Lisätiedot16 Ääni ja kuuleminen
16 Ääni ja kuuleminen Ääni on väliaineessa etenevää pitkittäistä aaltoliikettä. Ihmisen kuuloalue 20 Hz 20 000 Hz. (Infraääni kuuloalue ultraääni) 1 2 Ääniaallon esittämistapoja: A = poikkeama-amplitudi
Lisätiedot16 ÄÄNI JA KUULEMINEN (Sound and Hearing)
8 16 ÄÄNI JA KUULEMINEN (Sound and Hearing) Ihmisen kannalta yksi tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves)
Lisätiedot, tulee. Käyttämällä identiteettiä
44 euraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 4) B =- dp /( dv / V ). Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,). aamme siten dv yxt (,) p(,) x t =- B =-B. (3.3.3) V x Kun tähän
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys12 Kevät 21 Jukka Maalampi LUENTO 11 Mekaaninen aaltoliike alto = avaruudessa etenevä järjestäytynyt häiriö. alto altoja on kahdenlaisia: Poikittainen aalto - poikkeamat kohtisuorassa
LisätiedotLuento 15: Ääniaallot, osa 2
Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa
LisätiedotRatkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava,
8 Ratkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava 3 3 y = =, ( x- vt) + 1 ( x- t) + 1 missä siis v = m/s. Tulos on SI-yksiköissä, joten x ja y ovat metreinä
LisätiedotKompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa
Kompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa 13 i( kx-w t) %, y = Ae joka Eulerin kaavalla avautuu muotoon y% = Acos( kx- wt) + iasin( kx-wt). Kompleksiesitys sisältää siis sekä
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat
Lisätiedot1 PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 AALTOJEN TYYPIT
1 1 PERUSKÄSITTEITÄ Luonto on täynnä aaltoja. Aaltoliikettä voi syntyä kimmoisissa systeemeissä, jotka poikkeutettuna tasapainotilastaan pyrkivät palaamaan siihen takaisin. Aalto etenee, kun poikkeama
LisätiedotLuento 14: Ääniaallot ja kuulo
Luento 14: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Miksi pikajohdanto? Osa ääniaaltojen käsittelystä perustuu elastisuusteoriaan
LisätiedotSEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA
1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Aalto köydessä Kohdassa x olevan ainehiukkasen poikkeama tasapainosta y ajan funktiona on y( x, t) Asin( kx t 0) Ketjusääntö: Ainehiukkasen
LisätiedotP = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotLuento 14: Ääniaallot ja kuulo
Luento 14: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Miksi pikajohdanto? Osa ääniaaltojen käsittelystä perustuu elastisuusteoriaan
Lisätiedot2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).
2 Mekaaninen aalto Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 1 Mekaanisten aaltojen vastakohtana ovat sähkömagneettiset allot, jotka kulkevat
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedot3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.
3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotLuento 16: Ääniaallot ja kuulo
Luento 16: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot*
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
LisätiedotDEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi
DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
Lisätiedota(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta
LisätiedotFYS03: Aaltoliike. kurssin muistiinpanot. Rami Nuotio
FYS03: Aaltoliike kurssin muistiinpanot Rami Nuotio päivitetty 24.1.2010 Sisältö 1. Mekaaninen aaltoliike 2 1.1. Harmoninen voima 2 1.2. Harmoninen värähdysliike 2 1.3. Mekaaninen aalto 3 1.4. Mekaanisen
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotIhmiskorva havaitsee ääniaallot taajuusvälillä 20 Hz 20 khz.
3 Ääni ja kuulo 3.1 Intro e1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedot- 3 välikoetta, jokaisessa 4 tehtävää, yht. 12 teht. - 6 pistettä yhdestä tehtävästä - max pisteet 72 (+ lisät harjoituksista)
1/2 KURSSIN ARVOSTELU - 3 välikoetta, jokaisessa 4 tehtävää, yht. 12 teht. - 6 pistettä yhdestä tehtävästä - max pisteet 72 (+ lisät harjoituksista) pisteet arvosana 00,00 35,25-35,50 41,25 1 1/2 maksimista
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotK = Q C W = T C T H T C. c = 1 dq. f) Isokoorinen prosessi: prosessi joka suoritetaan vakiotilavuudessa
Sallitut apuvälineet: kijoitusvälineet ja gaafinen laskin. Muun oman mateiaalin tuominen ei sallittu. Tämä on fysiikan kussi, joten desimaalilleen oikeaa numeeista vastausta täkeämpää on että osoitat ymmätäneesi
LisätiedotLuento 16: Ääniaallot ja kuulo
Luento 16: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 1 / 48 Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen
LisätiedotPuheen akustiikan perusteita Mitä puhe on? 2.luento. Äänet, resonanssi ja spektrit. Äänen tuotto ja eteneminen. Puhe äänenä
Puheen akustiikan perusteita Mitä puhe on? 2.luento Martti Vainio Äänet, resonanssi ja spektrit Fonetiikan laitos, Helsingin yliopisto Puheen akustiikan perusteita p.1/37 S-114.770 Kieli kommunikaatiossa...
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotHARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE
HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
LisätiedotAaltoliike ajan suhteen:
Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,
Lisätiedotln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella.
S-114.42, Fysiikka III (S 2. välikoe 4.11.2002 1. Yksi mooli yksiatomista ideaalikaasua on alussa lämpötilassa 0. Kaasu laajenee tilavuudesta 0 tilavuuteen 2 0 a isotermisesti, b isobaarisesti ja c adiabaattisesti.
LisätiedotTyössä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.
TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja
LisätiedotPuhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p
KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotLuvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
Lisätiedot= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotKAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]
KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
LisätiedotÄänen eteneminen ja heijastuminen
Äänen ominaisuuksia Ääni on ilmamolekyylien tihentymiä ja harventumia. Aaltoliikettä ja värähtelyä. Värähtelevä kappale synnyttää ääntä. Pistemäinen äänilähde säteilee pallomaisesti ilman esteitä. Käytännössä
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Lisätiedot+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden
5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa
Lisätiedot