2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).
|
|
- Väinö Halonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2 Mekaaninen aalto Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 1 Mekaanisten aaltojen vastakohtana ovat sähkömagneettiset allot, jotka kulkevat myös tyhjiössä, eli ne eivät tarvitse välittäjäkeen mitään väliainetta. Aallon edetessä väliaineessa väliaineen hiukkaset poikkeutuvat paikoiltaan (ja palaavat mahdollisesti takaisin paikalleen). Aalto siis kuljettaa energiaa, mutta ei materiaa.
2 2 Mekaanisia aaltoja on kahta tyyppiä: Poikittainen (transverse). Väliaineen hiukkaset poikkeutuvat suuntaan joka on kohtisuora aallon etenemissuuntaa vastaan. Pitkittäinen (longitudinal). Väliaineen hiukkaset poikkeutuvat suuntaan joka on samansuuntainen aallon etenemissuunnan kanssa. Jotkin aallot ovat näiden kahden komponentin summia. Aalto on siis eräänlainen häiriö joka etenee väliaineessa. Aalto etenee vakionopeudella, jota kutsutaan aallon etenemisnopeudeksi (wave speed). Aallon etenemisnopeudelle käytetään tässä symbolia v. On huomattava että näitä kahta ei sekoita toisiinsa: Aallon etenemisnopeutta v, ja sitä nopeutta millä jokin väliaineen hiukkanen hetkellisesti liikkuu tämän "häiriön"vaikutuksesta! Aallon nopeus voi tapauksesta riippuen olla joko suurempi tai pienempi kuin väliaineen hiukkasten (maksimi)nopeus.
3 2.1 Jaksollinen aalto (Periodic wave) Jos väliaineeseen aiheutetaan yksi yksittäinen häiriö, kuten vaikka heilauttamalla maassa suorana lojuvaa narua yhden kerran ylös ja alas, saadaan aikaan niin sanottu aaltopulssi (wave pulse). 3 Jos sen sijaan toinen pää saatetaan jatkuvaan edestakaiseen liikkeeseen, saadaan aikaan tilanne missä väliaineeseen muodostuu jaksollinen aalto. Erityistapaus: jos toinen pää saatetaan sinimuotoiseen liikkeeseen (harmoninen liike, harmonic motion), muodostuu väliaineeseen jatkuva sinimuotoinen etenevä aaltorintama. Tämä erityistapaus on sikäli tärkeä, että kaikki muut aaltomuodot voidaan esittää sinimuotoisten aaltojen summana. Tällaista tarkastelua kutsutaan harmoniseksi analyysiksi (harmonic analysis).
4 4 Jännitettyyn metallilankaan on kiinnitetty (vasemmassa laidassa) laite joka on jaksollisessa sinimuotoisessa liikkeessä. Kappaleen värähtely etenee lankaan, ja langan jokainen piste alkaa värähdellä samalla taajuudella ja tamalla amplitudilla (ei samassa vaiheessa!) kuin vasemman laidan kappale.
5 Langan muoto näyttää millä tahansa ajanhetkellä jaksolliselta (sinifunktio). Aika joka toisessa päässä olevalta värähtelijältä menee yhteen kokonaiseen jaksoon on T. Tiedetään, että siinä ajassa aalto on liikkunut yhden aallonpituuden, λ, verran. Aallonpituus on siis kahden aallonpohjan (tai vastaavasti aallonharjan) etäisyys toisiinsa. 5 Tiedetään siis että aalto kulkee yhden aallonpituuden verran kohti yhtä värähtelijän jaksonaikaa. Näin ollen aallon etenemisnopeus v = λ T = fλ. Huomataan siis että aallon etenemisnopeus ei riipu värähtelyn tuottavan lähteen taajuudesta; aallon etenemisnopeus riippuu vain väliaineen parametreista.
6 2.2 Aallon matemaattinen kuvaus Tarkastellaan sinimuotoisen etenevän aaltorintaman esitystä matemaattisena mallina. 6 Tarkastellaan esimerkin vuoksi systeemiä jossa väliaineena toimii pingotettu metallilanka. Langan toinen pää on kiinnitetty laitteeseen joka tekee sinimuotoista edestakaista liikettä. Langan toisella päällä ei ole nyt väliä; tarkastellaan vain minkälainen etenevä aaltorintama syntyy. Se, mitä tapahtu langan toisessa päässä ja miten sen kiinnitys vaikuttaa, tarkastellaan hetken päästä. Merkitään langan toiseen päähän kiinitetyn harmonisen värähtelijän jaksonaikaa (aikaa mikä siltä kuluu yhteen sinimuotoiseen jaksoon) symbolilla T. Vastaavasti merkitään taajuutta f ja kulmataajuus ω. Tiedetään T = 1 f ja ω = 2πf.
7 Merkitään sitä pystysuuntaista poikkeamaa jonka aalto tekee symbolilla y. Vastaavasti ajatellaan että lanka on pingotettu x-akselille, ja aallot etenevät positiivisen x-akselin suuntaan. 7 Langan y-suuntainen poikkeama on siis sekä ajan t, että paikan x funktio, ts. poikkeama on tietty kussakin paikassa ja kullakin ajanhetkellä. Näin ollen aaltofunktio tulee olemaan kahden muuttujan funktio, y = y(x, t). Poikkeama pisteessä x = 0, eli aaltoliikettä tuottavan värähtelijän kohdalla, on y(x = 0, t) = A cos(ωt) = A cos(2πft) Tiedetään että häiriö etenee pisteestä x = 0 johonkin pisteeseen x ajassa x/v. Näin ollen liike mainitussa pisteessä (värähtelijän oikealla puolella) on sama kuin se oli pisteessä x = 0 hetkeä aiemmin, ajanhetkenä t x/v.
8 Näin ollen saadaan y-suuntainen poikkeama langan pisteessä x ajanhetkellä t korvaama edellisen yhtälön t lausekkeella (t x/v), jolloin saadaan [ ( y(x, t) = A cos ω t x )]. v Vielä kun määritellään kulma-aaltoluku k seuraavasti: 8 k = 2π λ, saadaan äskeinen lauseke muotoon y(x, t) = A cos(kx ωt). Tämä lauseke on siis aaltofunktio (wave function), ja se kertoo meille minkä tahansa langan pisteen (x), paikan millä tahansa ajanhetkellä (t).
9 9 Kuvassa (a) on värähtelevä lanka, joka on pysäytetty ajassa (ajattele vaikka että ajan suhteen muuttuvasta systeemistä on otettu valokuva). Aalto näyttää sinimuotoiselta. Kuvassa (b) on yhden hiukkasen paikka ajan funktiona. Ajattele vaikka aalloilla kelluvan korkin y-suuntaista paikkaa ajan suhteen. Tämäkin aalto on sinimuotoinen.
10 Langan pisteen x nopeus ajanhetkellä t saadaan aaltoyhtälöstä yksinkertaisesti osittaisderivoimalla aaltoyhtälö ajan suhteen: 0 ẏ(x, t) = y(x, t) t = ωa sin(kx ωt) Vastaavasti pisteen x kiihtyvyys ajanhetkellä t saadaan osittaisderivoimalla edellinen lauseke uudelleen ajan suhteen: ÿ(x, t) = ẏ(x, t) t = ω 2 A cos(kx ωt) = ω 2 y(x, t)
11 1 Vastaavasti voitaisiin laskea aaltoyhtälön ensimmäinen ja toinen derivaatta paikan x suhteen, vaikka näillä lausekkeilla ei olekaan vastaavaa relevanssia kuin ajan suhteen lasketuilla. Toinen derivaatta x:n suhteen on muotoa: 2 y(x, t) x 2 = k 2 y(x, t) Yhdistämällä toisen derivaatan lausekkeet (x:n ja t:n suhteen lasketut) saadaan 2 y(x, t) x 2 = 1 v 2 2 y(x, t) t 2. Tämä yhtälö on aaltoyhtälö (wave equation). Yhtälö on yksi fysiikan tärkeimpiä yhtälöitä. Mikä tahansa systeemi joka toteuttaa tämän yhtälön, tiedetään että häiriö voi edetä aaltona x-akselia pitkin, nopeudella v.
12 2 Aallon etenemisnopeus pingotetussa langassa jonka jännitys on F ja F massa per pituusyksikkö on µ, voidaan laskea yhtälöllä v = µ.
13 2.3 Aallon teho ja energia Poikittaisen aallon teho (power) on yleisessä tapauksessa P (x, t) = F y (x, t) v y (x, t) = F y(x, t) y(x, t) x t Sinimuotoisen aallon hetkellinen teho saadaan yhtälöstä 3 P (x, t) = F kωa 2 sin 2 (kx ωt). Termi sin 2 vaihtelee 0:n ja 1:n välillä. Huomataan siis että tehon lauseke ei ole koskaan negatiivinen. Aalto ei koskaan siirrä tehoa aallon kulkusuuntaa vastaan! Maksimaalinen teho saadaan siis silloin kun sin 2 -termi = 1. Keskimääräinen teho on puolet tästä, eli siis P av = 1 2 F kωa2 = 1 2 µf ω 2 A 2
14 Tähän asti on tarkasteltu vain 1-ulotteista tapausta. On kuitenkin monia tapauksia joissa aaltoliike kuljettaa energiaa, ja aalto ei etene 1-ulotteisesti kuten metallilangassa, vaan vaikkapa 2-ulotteisesti (väreet veden pinnalla) tai 3-ulotteisesti (ääniaallot). 4 Tarkastellaan 3-ulotteista tapausta, jossa meillä on pistemäinen äänilähde, josta aaltorintamat säteilevät pallonkuoren muotoisina rintamina. Kolmessa ulottuvuudessa eteneville aalloille määritellään intensiteetti (intensity) I seuraavasti: Intensiteetti on se keskimääräinen teho jolla aalto kuljettaa energiaa, per yksikköpinta-ala (pinta-ala määriteltynä niin että se on aallon kulkusuuntaa vastaan kohtisuorassa).
15 Jos äänilähteen teho on P, on intensiteetti etäisyyden r 1 päässä äänilähteestä I 1 = P 4πr1 2. Huomaa että 4πr 2 1 on palloaallon pinta-ala etäisyydellä r 1 äänilähteestä. 5 Vastaavanlaisella yhtälöllä voitaisiin määritellä intensiteetti I 2 etäisyydellä r 2 äänilähteestä. Olettaen että tehoa ei ole absorboitunut väliaineeseen tai muuten kadottut matkalla, tiedetään että teho P on molemmissa tapauksissa sama. Näin ollen voidaan merkitä 4πr1I 2 1 = 4πr2I 2 2, toisaalta I 1 = r2 2. I 2 Intensiteetti siis tippuu kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. r 2 1
16 2.4 Aallon heijastuminen, superpositio, seisovat aallot Tähän asti on tarkasteltu vain sitä kuinka aaltorintama etenee eteenpäin langassa kohtaamatta koskaan langan toista päätä. Kun aalto kohtaa väliaineen laidan, se heijastuu takaisin (reflection). 6 Kun aalto kohtaa kahden väliaineen rajapinnan, se heijastuu rajapinnasta osin tai kokonaan. Heijastuksessa aallon taajuus (eikä näin ollen myöskään aallonpituus) ei muutu, mutta sen vaihekulma voi muuttua, riippuen rajapinnan muodostavien aineiden materiaaliominaisuuksista. Näitä materiaalien rajapintaan liittyviä tekijöitä kutsutaan reunaehdoiksi (boundary conditions). Esimerkkinä mainittakoon seinään tukevasti kiinnitetty värähtelevä lanka; siinä aalto muuttaa vaihettaan 180 (inversion). Jos langan pää pääsee vapaasti liikkumaan y-suunnassa, vaihesiirtoa ei tapahdu.
17 Kun kaksi etenevää aaltoa on päällekkäin samassa kohdassa väliainetta, ne interferoivat (interference). Tätä ilmiötä tullaan tarkastelemaan yhdessä aallon heijastuksen kanssa, koska saapuva aalto ja heijastunut aalto interferoivat keskenään. 7 Kun kaksi tai useampia aaltoja on päällekkäin, poikkeama väliaineessa missä tahansa pisteessä on näiden yksittäisten aaltojen aiheuttamien poikkeamien algebrallinen summa. Tämä ilmiö on nimeltään superpositioperiaate (principle of superposition). Superpositioperiaate yhtälön muodossa: olkoon y 1 ja y 2 kaksi etenevää aaltoa. Nyt kokonaispoikkeama pisteessä x ajanhetkellä t saadaan yksinkertaisesti y(x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t).
18 8 Kaksi selkeintä tapausta (keskenään samantaajuisten ja samanamplitudisten) aaltojen interferenssistä ovat konstruktiivinen interferenssi (kuva (a)) ja destruktiivinen interferenssi (kuva (b)). Konstruktiivisessa interferenssissä summa-aallon amplitudi on kaksi kertaa niin suuri kuin yksittäisellä aallolla, ja destruktiivisessa interferenssissä summa-aalto on kaikkialla nolla.
19 9 Toinen tärkeä esimerkkitapaus aaltojen interferenssistä on huojunta (beat). Kuvassa y 1 ja y 2 ovat kaksi aaltoa, joiden tajuus on melkein sama keskenään, mutta ei ihan.
20 Näiden summa-aallolla on mielenkiintoinen ominaisuus: sen amplitudi vaihtelee ajan funktiona taajuudella joka voi olla hyvinkin pieni verrattuna aaltojen taajuuteen. Summa-aallon taajuus on 0 f sum = f 1 + f 2, 2 ja huojontataajuus (beat frequency) eli taajuus jolla summa-aallon amplitudi oskilloi, on f beat = f 1 f 2 Esimerkki: Jos meillä kaksi äänirautaa, joiden taajuudet ovat f 1 = 5002 Hz ja f 2 = 5000 Hz, pistetään soimaan samassa tilassa, niiden summa-aallon taajuus on 5001 Hz ja huojuntataajuus 2 Hz. Huojuntataajuus on siis sitä pienempi, mitä lähempänä f 1 ja f 2 ovat toisiaan.
21 Tarkastellaan nyt tapausta jossa värähtelevät langan molemmat päät on kiinnitetty tukevasti paikoilleen. Oletetaan että systeemiin syötetään energiaa ja lanka saadaan värähtelemään (vaikka magneetilla, kuten Fysiikan laboratoriotöiden eräässä mittaustyössä). 1 Nyt, sen sijaan että langassa havaittaisiin kumpaankaan suuntaan etenevä aaltorimtama, koko lanka näyttää värähtelevän samassa vaiheessa. Riippuen energiaan syöttävän systeemin taajuudesta, lanka jakautuu joko yhteen tai useampaan edestakaisin värähtelevään segmenttiin, ja niiden välissä on pisteitä jotka eivät liiku ollenkaan. Aalto ei näytä etenevän kumpaankaan suuntaan, ja sen takia sitä kutsutaankin seisovaksi aalloksi (standing wave).
22 2
23 Selityksenä on superpositioperiaate: syöttävän systeemin kohdalta lankaan muodostuu aaltorimtama joka liikkuu oikealla ja toinen vastaava aaltorintama joka liikkuu vasemmalle, ja näiden aaltojen interferoidessa syntyy seisova aalto. 3 Seisova aalto ei kuljeta energiaa kumpaankaan suuntaan (voidaan ajatella että vasemmalle liikkuva ja oikealle liikkuva kuljettavat keskenään samansuuruisen määrän energiaa eri suuntiin, jolloin kokonaisenergiansiirto on nolla). Pisteitä jotka ovat paikallaan kutsutaan solmuiksi (nodes). Pisteitä joissa edestakaisen liikkeen amplitudi on maksimissaan kutsutaan kuvuiksi (antinodes).
24 Seisovan aallon muodostaa siis kaksi aaltoa, y 1 (x, t) ja y 2 (x, t), joista toinen kulkee oikealle ja toinen vasemmalle. Aalloilla on sama amplitudi, jaksonaika ja aallon nopeus. Toinen aalloista edustaa heijastunutta aaltoa, ja tiedetään että tukevasti kiinnitetystä pisteestä heijastunut aalto muutta muuttaa vaihekulmansa päinvastaiseksi, eli toisinsanoen vaihtaa etumerkkiään. Näin ollen 4 y 1 (x, t) = A cos(kx + ωt) y 2 (x, t) = A cos(kx ωt) Summa-aalto voidaan nyt esittää y(x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) = A[ cos(kx + ωt) + cos(kx ωt)] Muistetaan sääntö cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b, saadaan y(x, t) = (2A sin kx) sin(ωt) = (A SW sin(kx)) sin(ωt)
25 Edellisessä siis A SW = 2A, eli seisovan aallon maksimiamplitudi on 2 kertaa niin suuri kuin vasemmalle kulkevan tai oikealle kulkevan aallon amplitudi. 5 Äskeisestä yhtälöstä nähdään että seisovan aallon muotoa paikan ja ajan suhteen määrittelevät selkeästi kaksi termiä: Aalto näyttää koko ajan samanmuotoiselta, mutta sen amplitudi värähtelee ajassa termin sin(ωt) sanelemana (siis langan jokainen piste värähtelee samassa vaiheessa tämän termin mukaisesti). Termi A SW sin(kx) sen sijaan sanelee solmujen ja kupujen paikat. Solmut (pisteet jossa poikkeama on nolla millä tahansa ajanketkellä) ovat siis pisteissä x = 0, π k, 2π k, 3π k, = 0, λ 2, 2λ 2, 3λ 2,
26 Jos langan pituus on L, ovat saadaan kaikki mahdolliset lankaan muodostuvat seisovat aallot kaavasta L = n λ 2 = λ n = 2L n (n = 1, 2, 3, ) 6 Kun muistetaan yhtälö f = v/λ, saadaan kaikkien lankaan muodostuvien seisovien aaltojen taajuudet f n = v λ n Matalin muodostuva taajuus f 1 = v 2L on niin kutsuttu perustaajuus (fundamental frequency), ja korkeampia muodostuvia taajuuksia kutsutaan harmonisiksi (harmonics). n:nnen seisovan aallon yhtälö on muotoa y n (x, t) = A SW sin(k n x) sin(ω n t)
27 7 Kun esimerkiksi kitaran kieltä vedetään plektralla tai pianonkoneiston vasara lyö pianon kieltä, muodostuva seisova aalto on usean harmonisen aallon summa.
28 8 Tässä on käyty matemaattinen käsittely vain yksiulotteiselle seisovalle aallolle. Seisovan aallon käsite kuitenkin löytyy korkeampidimensioisistakin tapauksista. Kaksiulottaisina esimerkkeinä mainittakoon rumpukalvo (kiinnitetty reunoilta) ja symbaali (kiinnitetty keskeltä, reunat värähtelevät). Kolmiulotteisena esimerkkinä mainittakoon atomien elektronirakenne (elektronit muodostavat ytimen ympärille kolmiulotteisia pallomaisia seisovia aaltoja).
Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa
LisätiedotLuento 15: Mekaaniset aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Ajankohtaista Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus
LisätiedotSEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA
1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus
LisätiedotLuento 15: Ääniaallot, osa 2
Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa
LisätiedotYLEINEN AALTOLIIKEOPPI
YLEINEN AALTOLIIKEOPPI KEVÄT 2017 1 Saana-Maija Huttula (saana.huttula@oulu.fi) Maanantai Tiistai Keskiviikko Torstai Perjantai Vk 8 Luento 1 Mekaaniset aallot 1 Luento 2 Mekaaniset aallot 2 Ääni ja kuuleminen
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys12 Kevät 21 Jukka Maalampi LUENTO 11 Mekaaninen aaltoliike alto = avaruudessa etenevä järjestäytynyt häiriö. alto altoja on kahdenlaisia: Poikittainen aalto - poikkeamat kohtisuorassa
LisätiedotIhmiskorva havaitsee ääniaallot taajuusvälillä 20 Hz 20 khz.
3 Ääni ja kuulo 3.1 Intro e1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat
Lisätiedot3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.
3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
Lisätiedot2 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN
1 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN Kun aalto osuu väliaineen rajapintaan, se heijastuu siitä takaisin joko osittain tai kokonaan. Esimerkiksi äänen osuessa talon seinään se palaa takaisin kaikuna. Missä määrin
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotFYS03: Aaltoliike. kurssin muistiinpanot. Rami Nuotio
FYS03: Aaltoliike kurssin muistiinpanot Rami Nuotio päivitetty 24.1.2010 Sisältö 1. Mekaaninen aaltoliike 2 1.1. Harmoninen voima 2 1.2. Harmoninen värähdysliike 2 1.3. Mekaaninen aalto 3 1.4. Mekaanisen
Lisätiedot16 Ääni ja kuuleminen
16 Ääni ja kuuleminen Ääni on väliaineessa etenevää pitkittäistä aaltoliikettä. Ihmisen kuuloalue 20 Hz 20 000 Hz. (Infraääni kuuloalue ultraääni) 1 2 Ääniaallon esittämistapoja: A = poikkeama-amplitudi
Lisätiedot4 Optiikka. 4.1 Valon luonne
4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee
LisätiedotLuento 18: Kertausluento
Luento 18: Kertausluento Värähdysliike Harmoninen värähtely Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Mekaaniset aallot Eteneminen Seisovat aallot Ääniaallot Luennon sisältö Värähdysliike Harmoninen värähtely
Lisätiedot1 PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 AALTOJEN TYYPIT
1 1 PERUSKÄSITTEITÄ Luonto on täynnä aaltoja. Aaltoliikettä voi syntyä kimmoisissa systeemeissä, jotka poikkeutettuna tasapainotilastaan pyrkivät palaamaan siihen takaisin. Aalto etenee, kun poikkeama
Lisätiedot- 3 välikoetta, jokaisessa 4 tehtävää, yht. 12 teht. - 6 pistettä yhdestä tehtävästä - max pisteet 72 (+ lisät harjoituksista)
1/2 KURSSIN ARVOSTELU - 3 välikoetta, jokaisessa 4 tehtävää, yht. 12 teht. - 6 pistettä yhdestä tehtävästä - max pisteet 72 (+ lisät harjoituksista) pisteet arvosana 00,00 35,25-35,50 41,25 1 1/2 maksimista
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotAaltoliike ajan suhteen:
Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
Lisätiedot2.1 Ääni aaltoliikkeenä
2. Ääni Äänen tutkimusta kutsutaan akustiikaksi. Akustiikassa tutkitaan äänen tuottamista, äänen ominaisuuksia, soittimia, musiikkia, puhetta, äänen etenemistä ja kuulemisen fysiologiaa. Ääni kuljettaa
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
Lisätiedot25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto
5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Aalto köydessä Kohdassa x olevan ainehiukkasen poikkeama tasapainosta y ajan funktiona on y( x, t) Asin( kx t 0) Ketjusääntö: Ainehiukkasen
LisätiedotLuento 14: Ääniaallot ja kuulo
Luento 14: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Miksi pikajohdanto? Osa ääniaaltojen käsittelystä perustuu elastisuusteoriaan
Lisätiedot4 Optiikka. 4.1 Valon luonne
4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee
LisätiedotLuento 16: Ääniaallot ja kuulo
Luento 16: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 1 / 48 Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen
LisätiedotLuento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r
Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotScanned by CamScanner
Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
Lisätiedot, tulee. Käyttämällä identiteettiä
44 euraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 4) B =- dp /( dv / V ). Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,). aamme siten dv yxt (,) p(,) x t =- B =-B. (3.3.3) V x Kun tähän
LisätiedotSinin muotoinen signaali
Sinin muotoinen signaali Pekka Rantala.. Sini syntyy tasaisesta pyörimisestä Sini-signaali syntyy vakio-nopeudella pyörivän osoittimen y-suuntaisesta projektiosta. y u û α positiivinen pyörimissuunta x
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotLuento 16: Ääniaallot ja kuulo
Luento 16: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot*
LisätiedotRatkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava,
8 Ratkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava 3 3 y = =, ( x- vt) + 1 ( x- t) + 1 missä siis v = m/s. Tulos on SI-yksiköissä, joten x ja y ovat metreinä
LisätiedotKompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa
Kompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa 13 i( kx-w t) %, y = Ae joka Eulerin kaavalla avautuu muotoon y% = Acos( kx- wt) + iasin( kx-wt). Kompleksiesitys sisältää siis sekä
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotÄänen eteneminen ja heijastuminen
Äänen ominaisuuksia Ääni on ilmamolekyylien tihentymiä ja harventumia. Aaltoliikettä ja värähtelyä. Värähtelevä kappale synnyttää ääntä. Pistemäinen äänilähde säteilee pallomaisesti ilman esteitä. Käytännössä
Lisätiedothavainnollistaa Dopplerin ilmiötä ja interferenssin aiheuttamaa huojuntailmiötä
FYSP0 / K3 DOPPLERIN ILMIÖ Työn tavoitteita havainnollistaa Dopplerin ilmiötä ja interferenssin aiheuttamaa huojuntailmiötä harjoitella mittausarvojen poimimista Capstonen kuvaajalta sekä kerrata maksimiminimi
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby 8.6 8.11) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto
LisätiedotHARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE
HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
Lisätiedot+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden
5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kaaleissa olemme tutkineet valon heijastumista eileissä ja taittumista linsseissä geometrisen otiikan aroksimaation avulla Aroksimaatiossa valon aaltoluonnetta
LisätiedotFy3, Aallot. Ope: Kari Rytkönen (kari.rytkonen@jamsa.fi) Aallot kurssilla tutustutaan aaltoliikkeen kuten äänen ja valon syntyyn ja ominaisuuksiin.
Fy3, Aallot Ope: Kari Rytkönen (kari.rytkonen@jamsa.fi) Aallot kurssilla tutustutaan aaltoliikkeen kuten äänen ja valon syntyyn ja ominaisuuksiin. 1. Mekaaninen aaltoliike Eri liiketyyppejä ovat esimerkiksi
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Värähtelyfysiikkaa 1 Luennot: Heikki Pitkänen Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Periodic motion Mechanical waves Sound and hearing Muuta - Diffraktio, interferenssi,
LisätiedotLuento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli
Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
Lisätiedot16 ÄÄNI JA KUULEMINEN (Sound and Hearing)
8 16 ÄÄNI JA KUULEMINEN (Sound and Hearing) Ihmisen kannalta yksi tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves)
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
Lisätiedot3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE
3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotLuento 14: Ääniaallot ja kuulo
Luento 14: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Miksi pikajohdanto? Osa ääniaaltojen käsittelystä perustuu elastisuusteoriaan
LisätiedotFononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa
Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan
Lisätiedot= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus)
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 7: MEKAANINEN VÄRÄHTELIJÄ Teoriaa Vaimeneva värähdysliike y ŷ ŷ ŷ t T Kuva. Vaimeneva värähdysliike ajan funktiona.
LisätiedotSinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla
LIITE I Vaihtosähkön perusteet Vaihtojännitteeksi kutsutaan jännitettä, jonka suunta vaihtelee. Vaihtojännite on valittuun suuntaan nähden vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Samalla tavalla määritellään
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 8 Sähkömagneettiset aallot (YF 32) Maxwellin
Lisätiedot= 0.175m, 0.525m, 0.875m,...
9 (a) Esitä seisovan aallon aaltofunktio. (b) Paikallista ne köyden pisteet, jotka eivät liiku ollenkaan. (c) Paikallista ne köyden pisteet, jotka liikkuvat eniten ja laske vastaavat maksimipoikkeamat,
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotÄäni, akustiikka. 1 Johdanto. 2.2 Energia ja vaimeneminen (1) 2 Värähtelevät järjestelmät
Ääni, akustiikka Lähdemateriaali: Rossing. (1990). The science of sound. Luvut 2-4, 23. Sisältö: 1. Johdanto 2. Värähtelevät järjestelmät 3. Aallot 4. Resonanssi 5. Huoneakustiikka 1 Johdanto Akustiikka
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2
Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα
LisätiedotAaltoputket analyyttinen ratkaisu. Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun.
Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun. Lähd etään hakem aan ratkaisua y htälöistä (2 ) ja (3 ), kuten T E M -siirtolinjojen y htey d essä. N y t aaltoputkien tapauksessa z-kom
LisätiedotInfrapunaspektroskopia
ultravioletti näkyvä valo Infrapunaspektroskopia IHMISEN JA ELINYMPÄ- RISTÖN KEMIAA, KE2 Kertausta sähkömagneettisesta säteilystä Sekä IR-spektroskopia että NMR-spektroskopia käyttävät sähkömagneettista
LisätiedotKenttäteoria. Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen
Kenttäteoria Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen Tämän viikon sisältöä Todellinen aalto vai tasoaalto Desibelit Esitehtävä Kohtisuora heijastus metalliseinästä Kohtisuora heijastus ja läpäisy
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 1 / versio 8. syyskuuta 2015 Johdanto (ti) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Aallot ja osoittimet
Lisätiedot3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu
3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään,
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
Lisätiedot3.1 PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA
37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves) Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä
LisätiedotKuuloaisti. Korva ja ääni. Melu
Kuuloaisti Ääni aaltoliikkeenä Tasapainoaisti Korva ja ääni Äänen kulku Korvan sairaudet Melu Kuuloaisti Ääni syntyy värähtelyistä. Taajuus mitataan värähtelyt/sekunti ja ilmaistaan hertseinä (Hz) Ihmisen
Lisätiedot- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen
3 Dynamiikka 3.1 Voima (force) - Jos työnnät jotain kevyttä kappaletta, se alkaa liikkua - jos työnnät sitä kovemmin, se liikkuu nopeammin Kyseinen suure on voima - suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 3A (Vastaukset) Alkuviikolla
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
Lisätiedot