1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä

Transkriptio

1 1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä 1.1 Vuontiheys ja pintakirkkaus Vuontiheys ( flux density ) kertoo, kuinka paljon säteilyenergiaa taajuskaistassa [ν,ν+1hz] virtaa 1 m 2 pinta-alan läpi sekunnissa. Vuontiheyttä merkitään tällä kurssilla symbolilla F ν (usein käytetään myös merkintää S ν ). Vuontiheyden SI-järjestelmän mukainen yksikkö on W m 2 Hz 1. Kosmiset radiosignaalit ovat erittäin heikkoja, ja radioastronomiassa käytetään yleensä vuontiheyden yksikkönä janskya [Jy]: 1 jansky = 1 Jy = 1 26 W m 2 Hz 1. Tietyn taajuuskaistan ν yli integroitua vuontiheyttä kutsutaan kokonaisvuontiheydeksi ( flux ) F (ilman alaindeksiä); F = F ν dν. Sen yksikkö on W m 2. Pintamaista tta kartoitettaessa halutaan selvittää sen kunkin pintaalkion pintakirkkaus ( surface brightness ) I ν eli vuontiheys avaruuskulmayksikköä kohti. I ν määritellään seuraavan kaavan avulla: dw = I ν da cos θ dω dν, (1) missä dw [yksikkö watti] on pinnan da läpi kulkevan, suunnasta θ ja avaruuskulmasta dω tulevan säteilyn teho taajuuskaistan ollessa dν. Näin F ν = Iν cos(θ)dω. Pintakirkkaus on yhtäsuuri kuin kohteesta lähtevän säteilyn intensiteetti ( (specific) intensity ). Pintakirkkauden ja intensiteetin yksikkö on W m 2 Hz 1 sr 1 (eli Jy sr 1 ). Lämpötilassa T olevan mustan kappaleen pintakirkkaus 1 I ν taajuudella ν on Planckin lain mukaan I ν B ν = 2hν3 c 2 1 e hν/kt 1 [Wm 2 Hz 1 sr 1 ], (2) missä h on Planckin vakio J s, k on Boltzmannin vakio J K 1 ja c on valon nopeus tyhjiössä m s 1. Matalilla taajuuksilla, eli kun hν kt, mustan kappaleen säteilyn spektrille pätee Rayleigh-Jeansin approksimaatio: B ν 2kT ν2 c 2 = 2kT λ 2. (3) 1 Mustan kappaleen ( Black body ) säteilyn ollessa kysymyksessä I ν :n sijasta pintakirkkaus merkitään usein B ν :llä. 1

2 Tämän perusteella määritellään kirkkauslämpötila ( brightness temperature ) T B seuraavasti: T B λ2 2k I ν. (4) Kirkkauslämpötila kuvaa kohteen lähettämän säteilyn intensiteettiä, eikä siis välttämättä edusta sen fysikaalista lämpötilaa. Esimerkki 1 Mikä on Auringon pintakirkkaus aallonpituudella λ = 1 cm (ν = 3 GHz), jos oletetaan sen säteilevän kuten lämpötilassa 6 K oleva musta kappale? Tässä voidaan käyttää Rayleigh-Jeansin approksimaatiota, sillä hν/kt = Tällöin B ν = 2kT λ 2 = Wm 2 Hz 1 sr 1. Säteilylähteen vuontiheys F ν saadaan integroimalla lähteen pintakirkkaus sen virittämän avaruuskulman yli: F ν = I ν (θ, φ) dω (5) Esimerkki 2 Mikä on Auringon säteilyn vuontiheys Maassa aallonpituudella λ = 1 cm, ellei oteta huomioon ilmakehän vaimennusta? Aurinko näkyy tasaisena kiekkona, jonka läpimitta on.5. Pintakirkkaus B ν aallonpituudella λ = 1 cm (joka siis on vakio) laskettiin Esimerkissä 1. Vuontiheys voidaan tällöin kirjoittaa seuraavasti: F ν = B ν (θ, φ) dω = B ν Ω 2π = B ν dφ.25 = B ν 2π [ cos θ].25 = B ν sr sin θ dθ 1 19 Wm 2 Hz 1 = 1 7 Jy. Kuten laskimme yllä Auringon avaruuskulma siis noin sr. Tätä arvoa voimme käyttää myös Kuulle. 2

3 Käytännössä vuontiheyksiä mitataan integroituna tietyn taajuuskaistan ν yli. Näin saadaan kokonaisvuontiheys F, jonka laatu on W m 2. Esimerkki 3 Mikä on Auringon säteilyn kokonaisvuontiheys taajuskaistalla ν 1 = 29.5GHz ν 1 = 3.5GHz? F = ν2 ν 1 = 2kT c 2 = 2kT c 2 F ν dν Ω ν2 ν 1 Ω [ ν3 3 ]ν 2 ν 1 ν 2 dν = 2kT 3c 2 Ω (ν 3 2 ν 3 1) 1 1 Wm 2. Jos taajuusväli sisältää säteilyn maksimin, täytyy käyttää Planckin funktiota Rayleigh-Jeans -approksimaation sijaan. Esimerkki 4 Laske Auringon säteilyn kokonaisvuontiheys taajusvälillä 2 MHz 3 THz (λ 15 m 1 nm). F = Ω ν2 ν 1 14 Wm 2. B ν (T ) dν Kokonaisvuo, ns. aurinkovakio, on saatu integroimalla numeerisesti. Saman tuloksen saa käyttämällä hyväksi Stefan-Boltzmannin lakia: F = πi = σt 4, missä F auringon pinnalta lähtevä kokonaivuo, I on kokonaispintakirkkaus, ja σ = Wm 2 K 4 on Stefan-Boltzmannin vakio. Vuontiheyden ja pintakirkkauden yhteys seuraa oletuksesta, että säteily on isotrooppista. Auringon luminositeetille voidaan kirjoittaa L = 4πR 2 F = 4πr 2 F, missä R on Auringon säde (7 1 8 m), F on maassa mitattava kokonaisvuontiheys, ja r on maan etäisyys auringosta (1 AU = m). Vielä eräs tapa laskea sama asia on käyttää suoraan Auringon luminositeettia, L = W: F = L /(4πr) = 137 Wm 2. Radiotaajuksilla kohteen vuontiheys mitataan antennilla. Antennin kykyä kerätä eri suunnista tulevaa säteilyä kuvaa suuntakuvio eli keila. Kuten 3

4 Kuva 1: Auringon vuontiheys Maan pinnlla olettaen, että se säteilee kuten musta kappale. monisteessa on esitetty, keila on periaattessa antennin projektion diffraktiokuvio. Esimerkiksi paraboloidiantennin keila muistuttaa pyöreän raon diffraktiokuviota eli ns. Airy-kiekkoa. Laskuissa käytetään normeerattua suuntakuviota, P n, joka saavuttaa suurimman arvonsa 1 antennin optisen akselin suunnassa: P n (, ) = 1. Cassegrain-teleskoopilla diffraktiokuviolle tyyppilliset sivukeilat voidaan minimoida (keilan leveyden kustannuksella) sopivalla apupeili-ja syöttötorvikonstruktiolla, jolloin keilaa voidaan approksimoida gaussin funktiolla: P n (θ) = exp{ 4 ln 2 (θ/hpbw) 2 }, (6) missä keilan puoliarvoleveys HPBW (half-power beam width) riippuu aallonpituudesta, λ, ja antennin läpimitasta, D, seuraavasti: HPBW 1.22 λ D. (7) Kohteen havaittu vuontiheys, F ν,obs, kun antenni on suunnattu sen keskelle, saadaan kaavasta F ν,obs = I ν P n dω (8) 4

5 Esimerkki 5 Mikä on Auringon havaittu vuontiheys aallonpituudella λ = 1 cm paraboloidiantennilla, jonka läpimitta on 1 m? (Ilmakehän vaimenusta ei oteta huomioon.) F ν,obs = B ν P n dω = B ν P n dω = Wm 2 Hz 1 sr sr Wm 2 Hz 1 = Jy. Tässä integrointi gaussisen keilan yli on suoritettu numeerisesti. Keilan puoliarvoleveys, HPBW, on ylläolevan kaavan mukaan radiaania eli.7 - siis vähän suurempi kuin auringon näennäinen halkaisija. Antenni ei näe koko auringon pintaa täydellä teholla, ja havaittu vuontiheys on pienempi kuin todellinen. Jos pienennämme antennia, eli suurennamme keilan kokoa, normeerattu keila on lähellä arvoa 1 koko auringon kiekon alueella, jolloin mitattu vuontiheys on lähellä todellista. 1.2 Antennia kuvaavia parametreja Antennin avaruuskulma ( beam solid angle ) Ω A määritellään integraalina Ω A = 4π P n dω = 2π π P n (θ, φ) sin θ dθ dφ. (9) Se edustaa avaruuskulmaa jonka antennin suuntakuvio täyttäisi jos tämä olisi =1 Ω A :n sisällä ja nolla sen ulkopuolella. Esimerkiksi isotrooppisesti lähettävän (vastaanottavan) antennin avaruuskulma on 4π, koska sen suunta kuvio on vakio (=1) joka suuntaan. Usein kuitenkin halutaan Ω A :n olevan pieni koska silloin säteilyä vastaanotetaan vain pieneltä taivaan osalta jolloin antennin erotuskyky ja vahvistus paranee. Antennin efektiivinen pinta-ala ( effective aperture ) A e kuvaa antennin vaikutusalaa sen vastaanottaessa säteilyä. Se määritellään antennin pinnalle lankeavan, kaistan ν yli integroidun kokonaisvuontiheyden F ja antennin keräämän tehon W A suhteena: A e = W A F = W A F ν ν. (1) Antennin aukkohyötysuhde ( aperture efficiency ) η A on antennin efektiivisen pinta-alan ja geometrisen pinta-alan A g suhde: 5

6 η A = A e A g. (11) Luennoilla johdetaan seuraava relaatio antennin efektiivisen pinta-alan A e, antennin avaruuskulman Ω A ja vastaanotetun säteilyn aallonpituuden λ välillä: A e Ω A = λ 2 (12) Esimerkki 6. Hertzin dipolin normeerattu suuntakuvio on P n = sin 2 θ. Laske antennin avaruuskulma, Ω A, ja tehollinen pinta-ala A e aallonpituudella λ = 1 m. Ω A = P n dω = = 2π 2π = 2π dϕ dϕ π π π sin 3 θdθ. P n sin θdθ sin 2 θ sin θdθ Kuten koulussa on opetettu, ylläoleva integraali voidaan laskea käyttämällä hyväksi osittainintegraointia: f g = fg g f. Muutamien vaiheiden jälkeen saamme π sin 3 θdθ = 4 3. Yhdistämällä nämä tulokset antennin avaruuskulmalle saadaan: Ω A = 8π 3. Tehollinen pinta-ala saadaan yhtälöstä A e Ω A = λ 2 : A e = λ2 Ω A = 3 1m2 8π.12m 2. 6

7 1.3 Antennilämpötila Kuva 2: Hertzin dipoli. Antennin vastaanottamaa tehoa kuvaa antennilämpötila ( antenna temperature ), T A, joka määritellään seuraavasti: T A = A e 2k I ν P n dω = A e 2k F ν,obs. (13) Kirkkauslämpötilan T B määritelmän ja relaation A e Ω A = λ 2 avulla saadaan antennilämpötilan ja kirkkauslämpötilan välille seuraava yhteys: T A = 1 T B P n dω. (14) Ω A Esimerkki 7. Antenni, jonka efektiivinen pinta-ala on A e ja jonka avaruuskulma on Ω A, on suunnattu pistemäiseen lähteeseen, esim. kvasaariin, jonka vuontiheys on F ν. Mitattava antennilämpötila on silloin T A = A e 2k = A e 2k = A e 2k F ν. I ν P n dω I ν dω Pistelähteen tapauksessa I ν on nollasta poikkeva vain teleskoopin akselin suunnassa, jossa P n = 1. Jäljelle jäävä integraali on määritelmän mukaan lähteen vuontiheys F ν (kaava 5). 7

8 Esimerkki 8. Laske auringosta mitattava antennilämpötila esimerkin 5 tapauksessa, kun antennin aukkohyötysuhde, η A, on.5. Efektiivinen pinta-ala on tällöin η A π(d/2) 2 =.39 m 2, ja suure A e /2k saa arvon m 2 KW 1 s 1 (Boltzmannin vakion laatu on JK 1 eli WsK 1 ). T A, = A e 2k F ν,obs (15) = m 2 W 1 s 1 K Wm 2 Hz 1 12K. Kuva 3: Auringolle mitattu vuontiheys ja antennilämpötila aallonpituudella λ = 1 cm antennin läpimitan funktiona. Pienellä antennilla (suurella keilalla) mitataan todellinen vuontiheys, kun taas antennin koon kasvaessa (keilan pienentyessä) antennilämpötila lähestyy kohteen kirkkauslämpötilaa. Auringon kirkkauslämpötila on radioalueessa n. 6 K. Oheisessa kuvassa T A saavuttaa kuitenkin vain arvon 4 K. Tämä johtuu siitä, että numeerinen integrointi kattaa vain gaussisen pääkeilan, eli laskussa on implisiittisesti oletettu sivukeilojen osoittavan kohteen ulkopuolelle. Tämän mukaisesti T A lähestyy arvoa Ω MB /Ω A T B. Pääkeilan avaruuskulma voidaan arvioida kaavasta Ω MB = 1.133FWHM 2 = sr (monisteen kaava 5.1), ja antennin avaruuskulma saadaan kaavasta Ω A = λ 2 /A e. 8