FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit
|
|
- Johanna Järvinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten elektronit ovat vain heikosti sidottuja tiettyyn ytimeen ja voivat liikkua melko vapaasti koko systeemin sisällä. Ne vuorovaikuttavat toistensa sekä atomiytimien kanssa pitkän kantaman Coulombin vuorovaikutuksen kautta, jossa taustakentän muutokset ovat varsin pieniä ja hitaita. Siispä elektronien voidaankin approksimoida liikkuvan vakiokentässä, eikä takaisinkytkentää tarvitse huomioida. Kvanttimekaaniset efektit sen sijaan ovat huomattavia, koska (kuten tuonnempana huomataan) normaalioloissa metallin johtavuuselektronien muodostama systeemi on varsin kylmä ja tiheä verrattuna sen luonnollisiin energia- ja pituusskaaloihin. Lämpötila T = Tarkastellaan aluksi formaalisti täysin degeneroitunutta fermikaasua, jolle pätee >, /T. Rajalla T = miehityslukufunktio n = e β(ε ) + selvästi redusoituu askelfunktioksi n = θ( ε) θ(ε F ε) missä olemme merkinneet symbolilla ε F n T = ns. Fermi-energiaa, ε F =. Tämä erittäin merkittävä suure kirjoitetaan usein muodossa T = pieni ε ε F = = p F m ħ k F m, jossa olemme määritelleet myös ns. Fermi-impulssin ja -aaltovektorin. Nollalämpötilan rajalla siis kaikki tilat relaation p F = m määrittelemään Fermipintaan asti ovat miehitettyjä ja sen ulkopuolella täysin miehittämättömiä.
2 Siirrytään seuraavaksi aiempia tuloksia käyttäen suoraan jatkumoapproksimaatioon, jossa yksihiukkastilatiheys on tunnetusti ω (ε) = πgv ( m h ) 3/ ε, missä elektroneille spindegeneraatio g =. Häviävän lämpötilan rajalla tästä saadaan systeemin kokonaishiukkasmääräksi N = n (ε)ω (ε)dε = 4πV ( m 3 ε F h ) εdε = 8π 3 (mε F h ) 3 V eli fermienergia ε F voidaan kirjoittaa hiukkastiheyden n avulla muodossa ε F = h /3 m (3n 8π ). On mielenkiintoista todeta, että tässä tapauksessa kemiallisen potentiaalinen fysikaalinen merkitys on poikkeuksellisen selkeä: se on tiettyä multiplikatiivista vakiota vaille vain hiukkastiheys potenssiin /3. Vastaavasti saadaan laskettua systeemin sisäinen energia E = n (ε)ω (ε)εdε = 4πV ( m 3 ε F h ) ε 3/ dε = 8π 3 5 (m h ) 5/ εf V = 3 5 Nε F ja paine suuren potentiaalin kautta pv = Ω = T ln Z G = T 4π ( m 3 h ) V ε ln [ + e ε T ] dε, joista jälkimmäisessä = ε F ja nollalämpötilaraja on vielä ottamatta. Jälkimmäisen yhtälön voisi liittää aiempiin tuloksiin suorittamalla yksi osittaisintegrointi, mutta tuloksen näkee suoremminkin: kun T, pätee selvästi joten saamme ln[ + e (ε ε F)/T ] { (ε F ε)/t, ε < ε F, ε > ε F ε F
3 pv = 4π ( m h ) 3/ ε F V ε(ε F ε)dε. Vertaamalla tätä tulosta N:n ja E:n lausekkeisiin nähdään, että mikä on tuttu ideaalikaasutulos. pv = Nε F E = Nε F 3 5 Nε F = 5 Nε F = 3 E, Saatuja tuloksia on mielenkiintoista verrata aluksi esitettyyn väitteeseen, että systeemi on normaalioloissa kylmä ja tiheä (mikä oikeutti T = approksimaation). Jos määritellään tiettyä fermienergiaa vastaava ns. degeneraatiolämpötila T F = ε F ja edelleen elektronikaasun tiheyttä kuvaava parametri r i s.e. 4πr i 3 = V/N, niin tyypillisille metalleille T F ~ 5 K ja r i on puolestaan vain tekijällä -5 isompi kuin Bohrin säde, a.5å. Varsinkin approksimaatio /T on siis normaalioloissa erittäin tarkkaan pätevä. Esimerkkitehtävä: Osoita, että nollalämpötilassa ideaaliselle Fermikaasulle terminen kokoonpuristuvuus κ T ~ n 5 V ( p 3. Vertaa tulosta matalan lämpötilan V ) T,N bosekaasun tapaukseen korkeilla tiheyksillä. 3 Matalat lämpötilat Voidaksemme tarkastella fermionisen kaasun ominaisuuksia pienillä, mutta nollasta poikkeavilla lämpötiloilla (sekä esim. löytääksemme lämpökapasiteetin nollalämpötilarajalla) on ylläoleva tarkastelu ulotettava askelfunktiomuodon omaavan miehityslukufunktion ympärillä suoritettavaksi matalan lämpötilan kehitelmäksi. Tätä silmälläpitäen tarkastellaan nyt tasaiseksi ja analyyttiseksi oletetun funktion f(ε) integraalia 3 f(ε) I = dε f(ε)n (ε) = dε e β(ε ) + ja erityisesti sen käytöstä, kun suhde T/ on pieni mutta nollasta poikkeava. Merkitsemällä β(ε ) = z saadaan
4 I = T dz /T f( + Tz) e z + f( + Tz) = T dz e z + /T + T dz f( Tz) e z + missä jälkimmäisessä termissä on vaihdettu z z. Seuraavaksi käytetään tulosta jonka avulla T I = T dz f( Tz) + T dε f(ε) + T dz e z + = e z + [ dz f( + Tz) e z + T f( + Tz) f( Tz) e z + f( Tz) dz e z + ] Tässä on ensimmäisessä termissä kirjoitettu Tz ε ja jälkimmäisessä hyödynnetty sitä, että T rajalla voidaan eksponentiaalisella tarkkuudella viedä kolmannen integraalin yläraja /T. Selvästikin ensimmäinen termi edustaa koko integraalin nollalämpötilarajaa, kun taas jälkimmäinen tuottaa korjauksia siihen. Kehitetään seuraavaksi jälkimmäisen termin integrandi sarjaksi muodossa. jolloin saadaan I:lle f( + Tz) f( Tz) = f ()Tz + 3 f ()(Tz) 3 +, I dε f(ε) + T dz f ()Tz + 3 f ()(Tz) 3 e z + +. Tässä esiintyy muotoa dz z x e z + 4
5 olevia integraaleja, joissa x on parillinen kokonaisluku. Nämä voidaan laskea (yleisellä x:llä) hyvin samankaltaisin metodein kuin bosonisessa tapauksessa: dz e z + = dz z x = ( ) n dz z x e z(n+) n= = Γ(x) ( ) n+ n= z x e z + e z = dz zx e z ( e z ) n n x = ( ) n n= n= (n + ) x dt tx e t Summa voidaan laskea erottelemalla siitä parilliset ja parittomat luvut ( ) n+ n= n x = (m + ) x m= (l) x l= = (m + ) x + (m) x (l) x m= m= l= = n x x l x n= l= = ( x )ζ(x). Kaikkiaan on siis saatu dz e z + = ( x )Γ(x)ζ(x), z x josta tarvitsemme käytännössä vain pari ensimmäistä parillista x:n arvoa (joille ζ() = π 6 dε, ζ(4) = π4 ). Lopputuloksena on ns. Sommerfeldin kehitelmä 9 f(ε) e β(ε ) + = f(ε)dε + π T 6 f () + 7π4 T 4 36 f () +, jota tulemme seuraavaksi käyttämään laskiessamme fermikaasujen ominaisuuksia matalissa lämpötiloissa 5
6 Hiukkasmäärä ja kemiallinen potentiaali Systeemin hiukkasten kokonaismääräksi saadaan ε / N = C V e β(ε ) dε; + C = 4π ( m h ) 3/ = C V ( ε / dε + π T 6 = C V ( 3 3/ + π T dε / dε + ). + ) Koska systeemin kokonaishiukkasmäärä ja tilavuus ovat lähes aina vakioita, on tulos tulkittava siten, että ääreellisessä lämpötilassa :n arvo eroaa sen nollalämpötilarajasta, joka on määritelmällisesti Fermi-energia (T = ) = ε F. Kirjoitetaan siis = ε F +, jossa on lämpötilan aikaansaama siirtymä, jolloin yltä saadaan N = C V ( 3 (ε F + ) 3/ π T + ε F + + ) = C V ( 3 ε 3/ F + ε / F + π T / ε + ), F missä olemme jättäneet korkeamman kertaluvun termejä (esim. ~ T ) pois. Koska ensimmäinen termi vastaa T = tulosta N = C V ε 3/ 3 F, voidaan identifioida = π T ε F ja siten kirjoittaa ε F π T = ε ε F [ π F ( T ) ], T F missä T F = ε F on aiemmin määritelty Fermilämpötila. Sisäinen energia ja lämpökapasiteetti Seuraavaksi lasketaan systeemin sisäinen energia, joka saadaan integraalista 6
7 ε 3/ E = C V dε e β(ε ) = C + V ( 5 5/ + π T ) = C V ( 5 ε 5/ F + ε 3/ F + π T 4 ε / F + ) = C V ( 5 ε 5/ F + π T 6 ε / F + ), missä olemme kolmannen yhtäsuuruusmerkin kohdalla käyttäneet yllä johdettua kemiallisen potentiaalin lauseketta lämpötilan funktiona. Tästä saadaan edelleen helposti laskettua energiaksi hiukkasta kohti sekä lämpökapasiteetiksi E N = 3 5 ε F + π T 4 T F C V = ( E T ) V = N π joka riippuu lineaarisesti lämpötilasta. Tätä kannattaa verrata vastaavaan tulokseen klassiselle MB-ideaalikaasulle, jolle C V on vakio. Matalan lämpötilan fermisysteemin pienen lämpökapasiteetin voi ymmärtää Paulin kieltosäännön kautta: suurin osa elektroneista on sidottuina fermipallon sisälle, ja vain fermipinnan lähellä olevat moodit kontribuoivat suureeseen termisten fluktuaatioiden kautta. Matalan lämpötilan rajalla fermisysteemin ominaisuudet siis riippuvat vain suhteellisen heikosti T:stä. T T F, Paulin paramagnetismi Elektronien spinin ja magneettikentän välinen vuorovaikutus tuottaa aineeseen magnetoituman, jota kutsutaan Paulin paramagnetismiksi. Sille on ominaista magnetoituman välitön häviäminen magneettikentän poistuessa, mikä erottaa sen ferromagnetismista, jossa magnetoituma jää aineeseen myös sen jälkeen kun ulkoinen kenttä häviää. 7
8 Paramagnetismi voidaan johtaa lähtien yksittäisen elektronin potentiaalienergiasta magneettikentässä, V = B, missä on elektronin magneettinen momentti. Spinin avulla lausuttuna voidaan kirjoittaa = γs γ s, missä γ = e on ns. klassinen gyromagneettinen suhde (se saa pieniä QED:n kautta laskettavissa olevia vuorovaikutuskorjauksia), ja spinin magneettikentän suuntainen komponentti saa toisaalta arvot s z = ± ħ. Määritellään nyt ns. Bohrin magnetoni 8 B = eħ m, jolloin potentiaalienergiaksi tulee B = ± B B ja yksihiukkasenergioiksi edelleen ε p± = p m ± BB ε p ± B B. Magneettikenttä siis poistaa spiniin liittyvän degeneraation lisäten samalla antiparalleelien elektronien määrää magneettikentän suuntaisiin spineihin verrattuna. Tämä nähdään helpoimmin miehitysluvuista n p± = e β(εp± ) + = e β(ε p± B B ) +, mikä luonnollisesti aiheuttaa systeemiin magnetoituman. Tarkastellaan ilmiötä seuraavaksi suuren potentiaalin avulla, joka saa muodon Ω = T ln[ + e β(ε l ) ] l = T (ln [ + e β(ħ k m + BB ) ] + ln [ + e β( ħ k m BB ) ]). k Koska magneettikenttä effektiivisesti vain muuttaa kemiallista potentiaalia, voidaan Ω lausua nollakentän suuren potentiaalin Ω avulla muodossa: Ω = Ω ( B B) + Ω ( + B B) Ω + ( BB) Ω m + Oletetaan nyt, että kenttä on heikko, B B, jolloin riittää tarkastella sarjan kahta ensimmäistä termiä. Koska ( Ω ) V,T = N, saadaan
9 josta relaation Ω Ω ( BB) ( N ) V,T ( Ω B ) T,V = B B ( N ), V,T dω = SdT VM db + avulla saadaan magnetoituma kirjoitettua muodossa M = V ( Ω B ) T,V = B B V ( N ) T,V Tästä saadaan edelleen paramagnaattinen suskeptiivisuus = B H V ( N ). T,V χ para = ( M H ) = B T,V V ( N ). B= T,V Nollalämpötilan rajalla hiukkasmäärä voidaan toisaalta kirjoittaa muodossa N = ω (ε)dε V ( N ) T,V = V ω () D(), jossa olemme merkinneet tilatiheyttä fermipinnalla symbolilla D. Paulin paramagneettinen suskeptiivisuus saa siis Curien laista huomattavasti poikkeavan muodon χ para = B D(). Tulos saa lisäksi merkittävän korjauksen elektronien liikkeestä magneettikentässä, joka aiheuttaa diamagneettisen magnetoituman χ dia = 3 χ para. Yhteensä pätee siis (tällä tarkkuudella) χ = 3 B D(). 9
10 Relativistinen elektronikaasu Tarkastellaan seuraavaksi elektronikaasua relativistisella rajalla, jossa hiukkasten kineettinen energia on samaa suuruusluokkaa tai suurempi kuin niiden lepomassa. Elektronin relativistinen energia on m c 4 + p c = mc + ( p mc ) = mc + p m +, missä m on sen lepomassa ja mc =.5 MeV vastaava lepoenergia, ja viimeisessä vaiheessa olemme ekspandoineet tulosta epärelativistisella rajalla. Elektronin Compton-aallonpituus on puolestaan λ c = π =.43 m, missä k c k c = mc =.59 ħ m, joten käyttämällä yhtälöä p = ħk saadaan elektronin energia kirjoitetuksi muotoon ε k = ( ħk c c ) c 4 + c (ħk) = ħc k c + k. Vapaiden hiukkasten tasoaallot vastaavat k-avaruudessa samaa pistejoukkoa k = π L (n x, n y, n z ) kuin epärelativistisessa tapauksessa, joten degeneroituneella rajalla (T = ) on hiukkastiheydelle edelleen voimassa tuttu tulos n = N V = 8π 3 ( k F 3 3 k F 4π ) = 3π. Myös Fermienergia ε F voidaan jälleen määritellä, mutta se ei riipu enää Fermiimpulssista relaation ε F p F = ħ k F m m laskun yksinkertaisemman suureen k F avulla. kautta; seuraavassa parametrisoimmekin Suhteellisuusteoreettiset korjaukset on otettava huomioon rajalla k F k c tai n F n c, jossa n c = k c 3 3π = m 3. Vertailun vuoksi mainittakoon, että metallin elektronikaasulle n 9 m 3, joten tämä arkipäiväinen systeemi on hyvin epärelativistinen.
11 Määritetään nyt joitakin termodynaamisia suureita kylmälle ja tiheälle reletivistiselle elektronisysteemille, jolle T T F = ε F. Elektronien keskimääräiseksi energiaksi saadaan ε = 4π k F dk k ħc k + k c k 4π F dk k X dx x x + = ħck c X dx x X = 3mc X 3 dx x x + jossa olemme merkinneet k = k c x, k F = k c X. Integrandille x x + saadaan toisaalta sarjakehitelmät x : x + x4 8 x6 + O(x 8 ), x : x 3 + x 8x + O ( x 3), joista saadaan (huomaa, että isoilla X:n arvoilla integraali saa ylivoimaisesti suurimmat kontribuutionsa suurilta x:ltä) X dx x x + = { 3 X3 + X5 56 X7 + O(X 9 ) 4 (X4 + X ) 8 ln X + O ( X 4) Erikoistutaan nyt ultrarelativistiseen tapaukseen, jossa k F k c ja n n c eli X. Energia per hiukkanen on tällöin ε = 3mc X 3 [ 4 (X4 + X ) 8 ln X + O ( X 4)] = mc [ 3 4 X + 3 4X 3 ln X + ] 8X3 3 4 mc k F k c = 3 4 ħc k F = 3 4 ħc (3π n) /3. Energiatiheydelle saadaan puolestaan
12 E V = Nε V = nε = 3 4 ħc (3π ) /3 n 4/3 ja paineelle p = E V = V [3 4 ħc (3π ) /3 N 4/3 V /3 ] = 4 ħc (3π ) /3 n 4/3 = E 3 V, kuten ultrarelativistiselle systeemille pitääkin (vrt. fotonikaasun paine). Toisin kuin bosonisessa tapauksessa, kylmän fermiaineen paine riippuu vahvasti tilavuudesta. Ylläkuvatun kaltaista kylmää ja tiheää elektroniainetta löytyy ns. valkoisten kääpiötähtien sisältä, jotka syntyvät kun tavallinen tähti on kuluttanut polttoainevarantonsa loppuun ja luhistunut kasaan. Valkoisissa kääpiöissä vain elektronien fermipaine estää tähden luhistumisen edelleen joko neutronitähdeksi tai mustaksi aukoksi. Valkoisten kääpiöiden sisärakenne voidaan selvittää varsin tarkasti tarkastelemalla hydrostaattista tasapainotilaa, jossa elektronien degeneraatiopaineen ja painovoiman aikaansaamat voimat balansoivat toisensa.
13 LOPPUKOKEESTA Kurssi on nyt päättymässä, ja sen loppukoe järjestetään tiistaina 8.5. klo 3-7 Physicumin salissa E7. Aivan kuten Statistisen mekaniikan kurssilla koe tulee sisältämään 4 tehtävää (sekä suomen että englannin kielellä), ja minkäänlaisia lunttilappuja ei sallita. Sen sijaan koepaperi tulee sisältämään kaikki sellaiset monimutkaiset kaavat, joita tehtävien ratkaisemiseksi vaaditaan. Kaikki relevantti informaatio loppukokeesta tulee myös löytymään kurssin kotisivulta. Koealue sisältää: Nämä luentomuistiinpanot kokonaisuudessaan Laskuharjoitustehtävissä käsitellyt asiat, mukaan lukien tehtävät joiden ratkaisemiseen tarvitaan materiaalia prujujen ulkopuolelta Muilta osin kurssikirjan (Arponen-Honkonen) lukeminen ei ole välttämätöntä, mutta erittäin suositeltavaa, sillä luentomonisteissa hyvin kompaktisti esitetyt asiat on selitetty siellä huomattavasti perusteellisemmin. Kurssin loppuarvosana määräytyy funktion laskaripisteet (-) + koepisteet (-3) perusteella. Tarkkoja arvosanarajoja ei ilmoiteta etukäteen, mutta tyypillisesti arvosanaan 5 on riittänyt n. 35 pistettä ja läpipääsyyn n. 5. 3
FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit
FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotKLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1)
KLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1) Palaamme kurssin lopuksi vielä hetkeksi tasapainosysteemien pariin, mutta tarkastelemme nyt todellisten systeemien kannalta realistisempaa tilannetta, jossa hiukkasten
Lisätiedot10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL24. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 26. Kvanttikaasu Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Tunnettua kvanttimekaniikasta
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMaxwell-Boltzmannin jakauma
Maxwell-Boltzmannin jakauma Homogeenisessa tasapainotilassa redusoidut yksihiukkastodennäköisyydet f voivat olla vain nopeuden funktioita, f = f(v ), ja H-funktio ei toisaalta voi riippua ajasta, eli dh
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotBOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio
BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotE p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis
763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotP = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotS , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta
S-11435, Fysiikka III (ES) entti 4113 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue 1 Viiden tunnistettavissa olevan identtisen hiukkasen mikrokanonisen joukon käytettävissä on neljä tasavälistä energiatasoa,
LisätiedotS , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta
S-114.45, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta.11.4 1. välikokeen alue 1. Osoita, että hyvin alhaisissa lämpötiloissa elektronin FD systeemin energia on U = (3/ 5) ε F. Opastus: oleta, että kaikki tilat
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotLämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.
Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,
LisätiedotIntegrointialgoritmit molekyylidynamiikassa
Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin
LisätiedotYdinfysiikkaa. Tapio Hansson
3.36pt Ydinfysiikkaa Tapio Hansson Ydin Ydin on atomin mittakaavassa äärimmäisen pieni. Sen koko on muutaman femtometrin luokkaa (10 15 m), kun taas koko atomin halkaisija on ångströmin luokkaa (10 10
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()
LisätiedotS , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut
S-4.35, Fysiikka III (S) I välikoe 9.0.000 Malliratkaisut Tehtävä Kuution uotoisessa säiliössä, jonka särän pituus on 0,0, on 3,0 0 olekyyliä happea (O) 300 K läpötilassa. a) Kuinka onta kertaa kukin olekyyli
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1 AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa.
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotFyMM IIa Kertausta loppukoetta varten
Tiistai 27.2.2018 1/11 FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten 2018 Tiistai 27.2.2018 2/11 1 Kokeesta yleisesti 2 3 4 5 6 Koealue jakaantuu neljään pääalueeseen: 1 Ensimmäisen kertaluvun ODY:t 2 Toisen kertaluvun
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby 8.6 8.11) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotKäyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on
766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua
LisätiedotS , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta
S-445, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta 43 välikokeen alue ristetyssä astiassa, jonka lämötila idetään, kelvinissä, on nestemäistä heliumia tasaainossa helium kaasun kanssa Se on erotettu toisesta
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6
Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan
Lisätiedot(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa
LisätiedotAtomien rakenteesta. Tapio Hansson
Atomien rakenteesta Tapio Hansson Ykköskurssista jo muistamme... Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Demokritos päätteli alunperin, että jatkuva aine ei voi koostua äärettömän pienistä alkeisosasista
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz
LisätiedotLuento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli
Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotKiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet
Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet Peruskäsite: Yhdisteessä elektronien orbtaaliliike ja spin vaikuttavat magneettisiin ominaisuuksiin (spinin vaikutus on merkittävämpi) Diamagnetismi Kaikki
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!
ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä
LisätiedotWien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:
1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
Lisätiedot