FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit"

Transkriptio

1 FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten elektronit ovat vain heikosti sidottuja tiettyyn ytimeen ja voivat liikkua melko vapaasti koko systeemin sisällä. Ne vuorovaikuttavat toistensa sekä atomiytimien kanssa pitkän kantaman Coulombin vuorovaikutuksen kautta, jossa taustakentän muutokset ovat varsin pieniä ja hitaita. Siispä elektronien voidaankin approksimoida liikkuvan vakiokentässä, eikä takaisinkytkentää tarvitse huomioida. Kvanttimekaaniset efektit sen sijaan ovat huomattavia, koska (kuten tuonnempana huomataan) normaalioloissa metallin johtavuuselektronien muodostama systeemi on varsin kylmä ja tiheä verrattuna sen luonnollisiin energia- ja pituusskaaloihin. Lämpötila T = Tarkastellaan aluksi formaalisti täysin degeneroitunutta fermikaasua, jolle pätee >, /T. Rajalla T = miehityslukufunktio n = e β(ε ) + selvästi redusoituu askelfunktioksi n = θ( ε) θ(ε F ε) missä olemme merkinneet symbolilla ε F n T = ns. Fermi-energiaa, ε F =. Tämä erittäin merkittävä suure kirjoitetaan usein muodossa T = pieni ε ε F = = p F m ħ k F m, jossa olemme määritelleet myös ns. Fermi-impulssin ja -aaltovektorin. Nollalämpötilan rajalla siis kaikki tilat relaation p F = m määrittelemään Fermipintaan asti ovat miehitettyjä ja sen ulkopuolella täysin miehittämättömiä.

2 Siirrytään seuraavaksi aiempia tuloksia käyttäen suoraan jatkumoapproksimaatioon, jossa yksihiukkastilatiheys on tunnetusti ω (ε) = πgv ( m h ) 3/ ε, missä elektroneille spindegeneraatio g =. Häviävän lämpötilan rajalla tästä saadaan systeemin kokonaishiukkasmääräksi N = n (ε)ω (ε)dε = 4πV ( m 3 ε F h ) εdε = 8π 3 (mε F h ) 3 V eli fermienergia ε F voidaan kirjoittaa hiukkastiheyden n avulla muodossa ε F = h /3 m (3n 8π ). On mielenkiintoista todeta, että tässä tapauksessa kemiallisen potentiaalinen fysikaalinen merkitys on poikkeuksellisen selkeä: se on tiettyä multiplikatiivista vakiota vaille vain hiukkastiheys potenssiin /3. Vastaavasti saadaan laskettua systeemin sisäinen energia E = n (ε)ω (ε)εdε = 4πV ( m 3 ε F h ) ε 3/ dε = 8π 3 5 (m h ) 5/ εf V = 3 5 Nε F ja paine suuren potentiaalin kautta pv = Ω = T ln Z G = T 4π ( m 3 h ) V ε ln [ + e ε T ] dε, joista jälkimmäisessä = ε F ja nollalämpötilaraja on vielä ottamatta. Jälkimmäisen yhtälön voisi liittää aiempiin tuloksiin suorittamalla yksi osittaisintegrointi, mutta tuloksen näkee suoremminkin: kun T, pätee selvästi joten saamme ln[ + e (ε ε F)/T ] { (ε F ε)/t, ε < ε F, ε > ε F ε F

3 pv = 4π ( m h ) 3/ ε F V ε(ε F ε)dε. Vertaamalla tätä tulosta N:n ja E:n lausekkeisiin nähdään, että mikä on tuttu ideaalikaasutulos. pv = Nε F E = Nε F 3 5 Nε F = 5 Nε F = 3 E, Saatuja tuloksia on mielenkiintoista verrata aluksi esitettyyn väitteeseen, että systeemi on normaalioloissa kylmä ja tiheä (mikä oikeutti T = approksimaation). Jos määritellään tiettyä fermienergiaa vastaava ns. degeneraatiolämpötila T F = ε F ja edelleen elektronikaasun tiheyttä kuvaava parametri r i s.e. 4πr i 3 = V/N, niin tyypillisille metalleille T F ~ 5 K ja r i on puolestaan vain tekijällä -5 isompi kuin Bohrin säde, a.5å. Varsinkin approksimaatio /T on siis normaalioloissa erittäin tarkkaan pätevä. Esimerkkitehtävä: Osoita, että nollalämpötilassa ideaaliselle Fermikaasulle terminen kokoonpuristuvuus κ T ~ n 5 V ( p 3. Vertaa tulosta matalan lämpötilan V ) T,N bosekaasun tapaukseen korkeilla tiheyksillä. 3 Matalat lämpötilat Voidaksemme tarkastella fermionisen kaasun ominaisuuksia pienillä, mutta nollasta poikkeavilla lämpötiloilla (sekä esim. löytääksemme lämpökapasiteetin nollalämpötilarajalla) on ylläoleva tarkastelu ulotettava askelfunktiomuodon omaavan miehityslukufunktion ympärillä suoritettavaksi matalan lämpötilan kehitelmäksi. Tätä silmälläpitäen tarkastellaan nyt tasaiseksi ja analyyttiseksi oletetun funktion f(ε) integraalia 3 f(ε) I = dε f(ε)n (ε) = dε e β(ε ) + ja erityisesti sen käytöstä, kun suhde T/ on pieni mutta nollasta poikkeava. Merkitsemällä β(ε ) = z saadaan

4 I = T dz /T f( + Tz) e z + f( + Tz) = T dz e z + /T + T dz f( Tz) e z + missä jälkimmäisessä termissä on vaihdettu z z. Seuraavaksi käytetään tulosta jonka avulla T I = T dz f( Tz) + T dε f(ε) + T dz e z + = e z + [ dz f( + Tz) e z + T f( + Tz) f( Tz) e z + f( Tz) dz e z + ] Tässä on ensimmäisessä termissä kirjoitettu Tz ε ja jälkimmäisessä hyödynnetty sitä, että T rajalla voidaan eksponentiaalisella tarkkuudella viedä kolmannen integraalin yläraja /T. Selvästikin ensimmäinen termi edustaa koko integraalin nollalämpötilarajaa, kun taas jälkimmäinen tuottaa korjauksia siihen. Kehitetään seuraavaksi jälkimmäisen termin integrandi sarjaksi muodossa. jolloin saadaan I:lle f( + Tz) f( Tz) = f ()Tz + 3 f ()(Tz) 3 +, I dε f(ε) + T dz f ()Tz + 3 f ()(Tz) 3 e z + +. Tässä esiintyy muotoa dz z x e z + 4

5 olevia integraaleja, joissa x on parillinen kokonaisluku. Nämä voidaan laskea (yleisellä x:llä) hyvin samankaltaisin metodein kuin bosonisessa tapauksessa: dz e z + = dz z x = ( ) n dz z x e z(n+) n= = Γ(x) ( ) n+ n= z x e z + e z = dz zx e z ( e z ) n n x = ( ) n n= n= (n + ) x dt tx e t Summa voidaan laskea erottelemalla siitä parilliset ja parittomat luvut ( ) n+ n= n x = (m + ) x m= (l) x l= = (m + ) x + (m) x (l) x m= m= l= = n x x l x n= l= = ( x )ζ(x). Kaikkiaan on siis saatu dz e z + = ( x )Γ(x)ζ(x), z x josta tarvitsemme käytännössä vain pari ensimmäistä parillista x:n arvoa (joille ζ() = π 6 dε, ζ(4) = π4 ). Lopputuloksena on ns. Sommerfeldin kehitelmä 9 f(ε) e β(ε ) + = f(ε)dε + π T 6 f () + 7π4 T 4 36 f () +, jota tulemme seuraavaksi käyttämään laskiessamme fermikaasujen ominaisuuksia matalissa lämpötiloissa 5

6 Hiukkasmäärä ja kemiallinen potentiaali Systeemin hiukkasten kokonaismääräksi saadaan ε / N = C V e β(ε ) dε; + C = 4π ( m h ) 3/ = C V ( ε / dε + π T 6 = C V ( 3 3/ + π T dε / dε + ). + ) Koska systeemin kokonaishiukkasmäärä ja tilavuus ovat lähes aina vakioita, on tulos tulkittava siten, että ääreellisessä lämpötilassa :n arvo eroaa sen nollalämpötilarajasta, joka on määritelmällisesti Fermi-energia (T = ) = ε F. Kirjoitetaan siis = ε F +, jossa on lämpötilan aikaansaama siirtymä, jolloin yltä saadaan N = C V ( 3 (ε F + ) 3/ π T + ε F + + ) = C V ( 3 ε 3/ F + ε / F + π T / ε + ), F missä olemme jättäneet korkeamman kertaluvun termejä (esim. ~ T ) pois. Koska ensimmäinen termi vastaa T = tulosta N = C V ε 3/ 3 F, voidaan identifioida = π T ε F ja siten kirjoittaa ε F π T = ε ε F [ π F ( T ) ], T F missä T F = ε F on aiemmin määritelty Fermilämpötila. Sisäinen energia ja lämpökapasiteetti Seuraavaksi lasketaan systeemin sisäinen energia, joka saadaan integraalista 6

7 ε 3/ E = C V dε e β(ε ) = C + V ( 5 5/ + π T ) = C V ( 5 ε 5/ F + ε 3/ F + π T 4 ε / F + ) = C V ( 5 ε 5/ F + π T 6 ε / F + ), missä olemme kolmannen yhtäsuuruusmerkin kohdalla käyttäneet yllä johdettua kemiallisen potentiaalin lauseketta lämpötilan funktiona. Tästä saadaan edelleen helposti laskettua energiaksi hiukkasta kohti sekä lämpökapasiteetiksi E N = 3 5 ε F + π T 4 T F C V = ( E T ) V = N π joka riippuu lineaarisesti lämpötilasta. Tätä kannattaa verrata vastaavaan tulokseen klassiselle MB-ideaalikaasulle, jolle C V on vakio. Matalan lämpötilan fermisysteemin pienen lämpökapasiteetin voi ymmärtää Paulin kieltosäännön kautta: suurin osa elektroneista on sidottuina fermipallon sisälle, ja vain fermipinnan lähellä olevat moodit kontribuoivat suureeseen termisten fluktuaatioiden kautta. Matalan lämpötilan rajalla fermisysteemin ominaisuudet siis riippuvat vain suhteellisen heikosti T:stä. T T F, Paulin paramagnetismi Elektronien spinin ja magneettikentän välinen vuorovaikutus tuottaa aineeseen magnetoituman, jota kutsutaan Paulin paramagnetismiksi. Sille on ominaista magnetoituman välitön häviäminen magneettikentän poistuessa, mikä erottaa sen ferromagnetismista, jossa magnetoituma jää aineeseen myös sen jälkeen kun ulkoinen kenttä häviää. 7

8 Paramagnetismi voidaan johtaa lähtien yksittäisen elektronin potentiaalienergiasta magneettikentässä, V = B, missä on elektronin magneettinen momentti. Spinin avulla lausuttuna voidaan kirjoittaa = γs γ s, missä γ = e on ns. klassinen gyromagneettinen suhde (se saa pieniä QED:n kautta laskettavissa olevia vuorovaikutuskorjauksia), ja spinin magneettikentän suuntainen komponentti saa toisaalta arvot s z = ± ħ. Määritellään nyt ns. Bohrin magnetoni 8 B = eħ m, jolloin potentiaalienergiaksi tulee B = ± B B ja yksihiukkasenergioiksi edelleen ε p± = p m ± BB ε p ± B B. Magneettikenttä siis poistaa spiniin liittyvän degeneraation lisäten samalla antiparalleelien elektronien määrää magneettikentän suuntaisiin spineihin verrattuna. Tämä nähdään helpoimmin miehitysluvuista n p± = e β(εp± ) + = e β(ε p± B B ) +, mikä luonnollisesti aiheuttaa systeemiin magnetoituman. Tarkastellaan ilmiötä seuraavaksi suuren potentiaalin avulla, joka saa muodon Ω = T ln[ + e β(ε l ) ] l = T (ln [ + e β(ħ k m + BB ) ] + ln [ + e β( ħ k m BB ) ]). k Koska magneettikenttä effektiivisesti vain muuttaa kemiallista potentiaalia, voidaan Ω lausua nollakentän suuren potentiaalin Ω avulla muodossa: Ω = Ω ( B B) + Ω ( + B B) Ω + ( BB) Ω m + Oletetaan nyt, että kenttä on heikko, B B, jolloin riittää tarkastella sarjan kahta ensimmäistä termiä. Koska ( Ω ) V,T = N, saadaan

9 josta relaation Ω Ω ( BB) ( N ) V,T ( Ω B ) T,V = B B ( N ), V,T dω = SdT VM db + avulla saadaan magnetoituma kirjoitettua muodossa M = V ( Ω B ) T,V = B B V ( N ) T,V Tästä saadaan edelleen paramagnaattinen suskeptiivisuus = B H V ( N ). T,V χ para = ( M H ) = B T,V V ( N ). B= T,V Nollalämpötilan rajalla hiukkasmäärä voidaan toisaalta kirjoittaa muodossa N = ω (ε)dε V ( N ) T,V = V ω () D(), jossa olemme merkinneet tilatiheyttä fermipinnalla symbolilla D. Paulin paramagneettinen suskeptiivisuus saa siis Curien laista huomattavasti poikkeavan muodon χ para = B D(). Tulos saa lisäksi merkittävän korjauksen elektronien liikkeestä magneettikentässä, joka aiheuttaa diamagneettisen magnetoituman χ dia = 3 χ para. Yhteensä pätee siis (tällä tarkkuudella) χ = 3 B D(). 9

10 Relativistinen elektronikaasu Tarkastellaan seuraavaksi elektronikaasua relativistisella rajalla, jossa hiukkasten kineettinen energia on samaa suuruusluokkaa tai suurempi kuin niiden lepomassa. Elektronin relativistinen energia on m c 4 + p c = mc + ( p mc ) = mc + p m +, missä m on sen lepomassa ja mc =.5 MeV vastaava lepoenergia, ja viimeisessä vaiheessa olemme ekspandoineet tulosta epärelativistisella rajalla. Elektronin Compton-aallonpituus on puolestaan λ c = π =.43 m, missä k c k c = mc =.59 ħ m, joten käyttämällä yhtälöä p = ħk saadaan elektronin energia kirjoitetuksi muotoon ε k = ( ħk c c ) c 4 + c (ħk) = ħc k c + k. Vapaiden hiukkasten tasoaallot vastaavat k-avaruudessa samaa pistejoukkoa k = π L (n x, n y, n z ) kuin epärelativistisessa tapauksessa, joten degeneroituneella rajalla (T = ) on hiukkastiheydelle edelleen voimassa tuttu tulos n = N V = 8π 3 ( k F 3 3 k F 4π ) = 3π. Myös Fermienergia ε F voidaan jälleen määritellä, mutta se ei riipu enää Fermiimpulssista relaation ε F p F = ħ k F m m laskun yksinkertaisemman suureen k F avulla. kautta; seuraavassa parametrisoimmekin Suhteellisuusteoreettiset korjaukset on otettava huomioon rajalla k F k c tai n F n c, jossa n c = k c 3 3π = m 3. Vertailun vuoksi mainittakoon, että metallin elektronikaasulle n 9 m 3, joten tämä arkipäiväinen systeemi on hyvin epärelativistinen.

11 Määritetään nyt joitakin termodynaamisia suureita kylmälle ja tiheälle reletivistiselle elektronisysteemille, jolle T T F = ε F. Elektronien keskimääräiseksi energiaksi saadaan ε = 4π k F dk k ħc k + k c k 4π F dk k X dx x x + = ħck c X dx x X = 3mc X 3 dx x x + jossa olemme merkinneet k = k c x, k F = k c X. Integrandille x x + saadaan toisaalta sarjakehitelmät x : x + x4 8 x6 + O(x 8 ), x : x 3 + x 8x + O ( x 3), joista saadaan (huomaa, että isoilla X:n arvoilla integraali saa ylivoimaisesti suurimmat kontribuutionsa suurilta x:ltä) X dx x x + = { 3 X3 + X5 56 X7 + O(X 9 ) 4 (X4 + X ) 8 ln X + O ( X 4) Erikoistutaan nyt ultrarelativistiseen tapaukseen, jossa k F k c ja n n c eli X. Energia per hiukkanen on tällöin ε = 3mc X 3 [ 4 (X4 + X ) 8 ln X + O ( X 4)] = mc [ 3 4 X + 3 4X 3 ln X + ] 8X3 3 4 mc k F k c = 3 4 ħc k F = 3 4 ħc (3π n) /3. Energiatiheydelle saadaan puolestaan

12 E V = Nε V = nε = 3 4 ħc (3π ) /3 n 4/3 ja paineelle p = E V = V [3 4 ħc (3π ) /3 N 4/3 V /3 ] = 4 ħc (3π ) /3 n 4/3 = E 3 V, kuten ultrarelativistiselle systeemille pitääkin (vrt. fotonikaasun paine). Toisin kuin bosonisessa tapauksessa, kylmän fermiaineen paine riippuu vahvasti tilavuudesta. Ylläkuvatun kaltaista kylmää ja tiheää elektroniainetta löytyy ns. valkoisten kääpiötähtien sisältä, jotka syntyvät kun tavallinen tähti on kuluttanut polttoainevarantonsa loppuun ja luhistunut kasaan. Valkoisissa kääpiöissä vain elektronien fermipaine estää tähden luhistumisen edelleen joko neutronitähdeksi tai mustaksi aukoksi. Valkoisten kääpiöiden sisärakenne voidaan selvittää varsin tarkasti tarkastelemalla hydrostaattista tasapainotilaa, jossa elektronien degeneraatiopaineen ja painovoiman aikaansaamat voimat balansoivat toisensa.

13 LOPPUKOKEESTA Kurssi on nyt päättymässä, ja sen loppukoe järjestetään tiistaina 8.5. klo 3-7 Physicumin salissa E7. Aivan kuten Statistisen mekaniikan kurssilla koe tulee sisältämään 4 tehtävää (sekä suomen että englannin kielellä), ja minkäänlaisia lunttilappuja ei sallita. Sen sijaan koepaperi tulee sisältämään kaikki sellaiset monimutkaiset kaavat, joita tehtävien ratkaisemiseksi vaaditaan. Kaikki relevantti informaatio loppukokeesta tulee myös löytymään kurssin kotisivulta. Koealue sisältää: Nämä luentomuistiinpanot kokonaisuudessaan Laskuharjoitustehtävissä käsitellyt asiat, mukaan lukien tehtävät joiden ratkaisemiseen tarvitaan materiaalia prujujen ulkopuolelta Muilta osin kurssikirjan (Arponen-Honkonen) lukeminen ei ole välttämätöntä, mutta erittäin suositeltavaa, sillä luentomonisteissa hyvin kompaktisti esitetyt asiat on selitetty siellä huomattavasti perusteellisemmin. Kurssin loppuarvosana määräytyy funktion laskaripisteet (-) + koepisteet (-3) perusteella. Tarkkoja arvosanarajoja ei ilmoiteta etukäteen, mutta tyypillisesti arvosanaan 5 on riittänyt n. 35 pistettä ja läpipääsyyn n. 5. 3

FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit

FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

KLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1)

KLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1) KLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1) Palaamme kurssin lopuksi vielä hetkeksi tasapainosysteemien pariin, mutta tarkastelemme nyt todellisten systeemien kannalta realistisempaa tilannetta, jossa hiukkasten

Lisätiedot

10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL24. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 26. Kvanttikaasu Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Tunnettua kvanttimekaniikasta

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1) HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1

Lisätiedot

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0, 76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti

Lisätiedot

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka 1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Maxwell-Boltzmannin jakauma

Maxwell-Boltzmannin jakauma Maxwell-Boltzmannin jakauma Homogeenisessa tasapainotilassa redusoidut yksihiukkastodennäköisyydet f voivat olla vain nopeuden funktioita, f = f(v ), ja H-funktio ei toisaalta voi riippua ajasta, eli dh

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio

BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis 763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet

Lisätiedot

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä

Lisätiedot

8. Klassinen ideaalikaasu

8. Klassinen ideaalikaasu Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään

Lisätiedot

Ydin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1

Ydin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1 Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =

Lisätiedot

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot

Lisätiedot

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta S-11435, Fysiikka III (ES) entti 4113 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue 1 Viiden tunnistettavissa olevan identtisen hiukkasen mikrokanonisen joukon käytettävissä on neljä tasavälistä energiatasoa,

Lisätiedot

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta S-114.45, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta.11.4 1. välikokeen alue 1. Osoita, että hyvin alhaisissa lämpötiloissa elektronin FD systeemin energia on U = (3/ 5) ε F. Opastus: oleta, että kaikki tilat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)

Lisätiedot

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka 1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko 1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on

Lisätiedot

y + 4y = 0 (1) λ = 0

y + 4y = 0 (1) λ = 0 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi. Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1

Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1 Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

Ydinfysiikkaa. Tapio Hansson

Ydinfysiikkaa. Tapio Hansson 3.36pt Ydinfysiikkaa Tapio Hansson Ydin Ydin on atomin mittakaavassa äärimmäisen pieni. Sen koko on muutaman femtometrin luokkaa (10 15 m), kun taas koko atomin halkaisija on ångströmin luokkaa (10 10

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2008

Elektrodynamiikka, kevät 2008 Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()

Lisätiedot

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut S-4.35, Fysiikka III (S) I välikoe 9.0.000 Malliratkaisut Tehtävä Kuution uotoisessa säiliössä, jonka särän pituus on 0,0, on 3,0 0 olekyyliä happea (O) 300 K läpötilassa. a) Kuinka onta kertaa kukin olekyyli

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1 AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa.

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten

FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten Tiistai 27.2.2018 1/11 FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten 2018 Tiistai 27.2.2018 2/11 1 Kokeesta yleisesti 2 3 4 5 6 Koealue jakaantuu neljään pääalueeseen: 1 Ensimmäisen kertaluvun ODY:t 2 Toisen kertaluvun

Lisätiedot

LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä

LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby 8.6 8.11) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto

Lisätiedot

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on 766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua

Lisätiedot

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta S-445, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta 43 välikokeen alue ristetyssä astiassa, jonka lämötila idetään, kelvinissä, on nestemäistä heliumia tasaainossa helium kaasun kanssa Se on erotettu toisesta

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan

Lisätiedot

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d) BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa

Lisätiedot

Atomien rakenteesta. Tapio Hansson

Atomien rakenteesta. Tapio Hansson Atomien rakenteesta Tapio Hansson Ykköskurssista jo muistamme... Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Demokritos päätteli alunperin, että jatkuva aine ei voi koostua äärettömän pienistä alkeisosasista

Lisätiedot

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz

Lisätiedot

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen

Lisätiedot

y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.

y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu. Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet

Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet Peruskäsite: Yhdisteessä elektronien orbtaaliliike ja spin vaikuttavat magneettisiin ominaisuuksiin (spinin vaikutus on merkittävämpi) Diamagnetismi Kaikki

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33: 1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan

Lisätiedot