766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

Transkriptio

1 A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen viritetyn tilan energia riippuu neutronien lukumäärästä. Kun tämä lukumäärä on joku maagisista luvuista, viritysenergia on poikkeuksellisen korkea. Tämä osoittaa, että maagisen luvun kohdalla ylin miehitetty energiataso ja sen yläpuolella oleva seuraava (ensimmäinen tyhjä) energiataso ovat poikkeuksellisen kaukana toisistaan. Spin-rata-vuorovaikutus: Maagisten lukujen selittämiseksi on oletettava, että jokainen nukleoni kokee keskimääräisen potentiaalienergian u(r) lisäksi voimakkaan spin-rata-vuorovaikutuksen (engl. spin-orbit interaction). Sen on oltava suoraan verrannollinen nukleonin rataimpulssimomentin l ja spinimpulssimomentin s skalaarituloon l s. Koska nukleonin kokonaisimpulssimomenttivektori j on l:n ja s:n vektorisumma, j = l + s, j:n itseisarvon neliö (ts., j:n skalaaritulo itsensä kanssa) on j = j j = (l + s) (l + s) = l + s + l s. (M5.1)

2 Yhtälön (3.1) mukaan impulssimomenttien itseisarvojen neliöt voidaan kirjoittaa muodossa j = j(j + 1) h, l = l(l + 1) h, s = s(s + 1) h, (M5.a) (M5.b) (M5.c) missä j, l ja s ovat ko. impulssimomenttien kvanttilukuja. Nukleonin (protonin tai neutronin) spinkvanttiluku on s = 1, joten s(s + 1) = 3. Kvanttimekaniikan yleisten sääntöjen mukaan kahden mielivaltaisen impulssimomentin J 1 ja J (kvanttiluvut J 1 ja J ) summan J = J 1 + J kvanttiluvun J mahdolliset arvot ovat J 1 +J, J 1 +J 1,..., J 1 J. Nyt tarkasteltavassa tapauksessa J 1 = l (J 1 = l) ja J = s (J = s = 1 ), joten kokonaisimpulssimomentin kvanttiluvun J = j mahdolliset arvot ovat j = l + 1 (l ja s ovat samansuuntaiset ) ja j = l 1 (l ja s ovat vastakkaissuuntaiset ). Näin ollen yhtälöstä (N5.1) ratkaistu l s on l s = 1 [ j l s ] = 1 h [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] = 1 [( h l ± 1 ) (l ± 1 ) + 1 l(l + 1) 3 ] = 1 [ h l ± 1 l + l ± 1 l + 1 ± 1 l l 3 ] = 1 [ h ±l ± 1 1 ] = { 1 l h j = l (l + 1) h j = l 1 (M5.3) Koetulosten mukaan tilalla j = l + 1 on alempi energia kuin tilalla j = l 1 (kun l on sama), joten ko. vuorovaikutus suosii l:n ja s:n samansuuntaista orientaatiota. Tämä on päinvastoin kuin atomin elektronin spin-rata-vuorovaikutuksessa ja osoittaa, että nukleonin spin-rata-vuorovaikutus ei johdu sähkömagneettisista voimista. Nukleonin tila: Nukleonin tila osoitetaan symbolilla nx j, missä n on pääkvanttiluku (n = 1,, 3,...) ja j = l ± 1 on kokonaisimpulssimomenttivektorin j kvanttiluku (j = 1, 3, 5,...). Rataimpulssimomentin l kvanttiluku l osoitetaan kirjaimella x siten, että l:n arvoja 0, 1,, 3,, 5,... vastaavat samassa järjestyksessä kirjaimet s, p, d, f, g, h,.... Tila voi olla esimerkiksi 1s 1/ (n = 1, l = 0, j = 1 ), 1p 1/ (n = 1, l = 1, j = 1 ), p 3/ (n =, l = 1, j = 3 ) jne. Parittoman nukleonin magneettinen momentti: Kuten kappaleessa 3- on osoitettu, nukleonin rataliike aiheuttaa magneettisen momentin l = e M p g l l N h g ll, (M5.) missä protonilla g l = 1 ja neutronilla g l = 0 (koska neutronilla ei ole sähkövarausta). Myös nukleonin spin aiheuttaa oman magneettisen momenttinsa, joka on yhtälön (3.1) mukaan s = e M p g s s N h g ss, (M5.5)

3 missä g s on nukleonin Landén tekijä (protonilla +5, 5855 ja neutronilla 3, 863). Nukleonin magneettinen momentti on osuuksien (M5.) ja (M5.5) vektorisumma: = l + s = N h (g ll + g s s). (M5.6) Tästä yhtälöstä nähdään, että magneettinen momentti ei ole samansuuntainen kuin kokonaisimpulssimomenttivektori j = l + s. Sen voidaan ajatella olevan nopeassa prekessioliikkeessä j:n suunnan ympäri. Tällöin efektiiviseksi magneettiseksi momentiksi jää :n aikakeskiarvo, joka on sama kuin :n komponentti vektorin j suunnassa. Jos vektorien ja j välinen kulma on θ, :n komponentin pituus j:n suunnassa on cos θ = n, missä n = j/ j on j:n suuntainen yksikkövektori. Näin ollen :n komponenttivektori impulssimomenttivektorin j suunnassa (= j:n suuntainen vektori, jonka pituus on n) on = ( n) n = ( j j ) j j = j j j. 3 (M5.7) Tämän vektorin komponentti z-akselin (esimerkiksi ulkoisen magneettikentän) suunnassa on z = j j j z = j j m j h. (M5.8) Tämän komponentin suurin mahdollinen arvo saadaan m j :n maksimiarvolla m j = j: z max = j j j h. (M5.9) Kuten kappaleen 3- lopussa todettiin, taulukoissa annetuilla ydinten magneettisilla momenteilla ei tarkoiteta vektorin pituutta vaan sen z-komponentin maksimiarvoa. Näin ollen yhtälön (M5.9) mukaista suuretta z max voidaan pitää nukleonin magneettisena momenttina. Jos ytimen magneettinen momentti aiheutuu sen yhdestä parittomasta nukleonista, lauseke (M5.9) approksimoi koko ytimen magneettista momenttia. Yhtälöitä (M5.a), (M5.6) ja (M5.9) käyttäen magneettiselle momentille saadaan lauseke N = z max = (j + 1) h (g ll j + g s s j). (M5.10) Lausekkeiden s = j l ja l = j s skalaaritulot itsensä kanssa ovat s = j + l j l ja l = j + s j s, joten yhtälössä (M5.10) esiintyvät skalaaritulot ovat l j = 1 ( j + l s ) = 1 [ j(j + 1) + l(l + 1) 3 ] h, (M5.11a) s j = 1 ( j l + s ) = 1 [ j(j + 1) l(l + 1) + 3 ] h. (M5.11b) Jos j = l + 1, kvanttiluvun l paikalle on sijoitettava l = j 1. Tällöin lausekkeet (M5.11) saavat muodon l j = 1 [ ( j(j + 1) + j 1 ) ( j + 1 ) 3 ] h = 1 ( j + j + j 1 3 ) h = 1 ( j + j 1 ) h = 1 (j 1) (j + 1) h, (M5.1a) s j = 1 [ ( j(j + 1) j 1 ) ( j + 1 ) + 3 ] h = 1 ( j + j j ) h = 1 (j + 1) h. (M5.1b)

4 Tässä tapauksessa magneettinen momentti (M5.10) on (yksikköä N käyttäen) ( = j 1 ) g l + 1 N g s, kun j = l + 1. (M5.13) Toisena vaihtoehtona on j = l 1 (l = j + 1 ), jolloin saadaan tulokset l j = 1 [ ( j(j + 1) + j + 1 ) ( 3 ] h = 1 ( j + j + j + 3 j + 1 j ) h = 1 ( j + 3j ) h = 1 j (j + 3) h, (M5.1a) s j = 1 [ ( j(j + 1) j + 1 ) ( + 3 ] h = 1 ( j + j j 3 j 1 j ) h = 1 j h. (M5.1b) Nämä tulokset antavat magneettisen momentin (M5.10) lausekkeeksi = j [( g l 1 ] N j + 1 g s, kun j = l 1. (M5.15) Kuten edellä todettiin, ytimessä olevan parittoman nukleonin magneettisen momentin (M5.13) tai (M5.15) voidaan olettaa kuvaavan koko ytimen magneettista momenttia. Samalla tavalla ko. parittoman nukleonin kokonaisimpulssimomentin j (kvanttiluku j) voidaan olettaa kuvaavan itse ytimen impulssimomenttia, ts. spinimpulssimomenttia I (kvanttiluku I, joka on ytimen spin). Näin ollen yhtälöistä (M5.13) ja (M5.15) saadaan sijoituksella j = I ennusteet parittoman massaluvun A omaavan ytimen magneettiselle momentille. Nämä ennusteet, ns. Schmidtin viivat, on esitetty kuvassa Jos pariton nukleoni on protoni, saadaan kuvan ylempi osa. Tällöin g l = 1 ja g s = 5, Jos tässä tapauksessa I = j = l + 1, yhtälöstä (M5.13) saadaan ylempi Schmidtin viiva N = I g s = I +, 98, kun j = l + 1. (M5.16) Se on suora, jonka kulmakerroin on 1. Jos I = j = l 1, yhtälöstä (M5.15) saadaan alempi Schmidtin viiva. Se on käyrä, joka lähestyy suurilla spinin I arvoilla suoraa, jonka kulmakerroin on 1. Jos pariton nukleoni on neutroni, ennusteita esittää kuvan alempi osa. Tällöin g l = 0 ja g s = 3, 863. Tässä tapauksessa ylempi Schmidtin viiva saadaan, kun I = j = l 1. Kuvasta nähdään, että useimpien ydinten todelliset kokeelliset magneettiset momentit eivät asetu Schmidtin viivoille, vaan niiden väliin. Tämä osoittaa, että kuorimallin antama kuvaus ydinten magneettisista momenteista on varsin karkea approksimaatio.

5 5