S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta"

Leena Virtanen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 S-11435, Fysiikka III (ES) entti 4113 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue 1 Viiden tunnistettavissa olevan identtisen hiukkasen mikrokanonisen joukon käytettävissä on neljä tasavälistä energiatasoa, joiden energiat ovat 1ε, ε, 3ε ja 4ε asojen degeneraatiot ovat vastaavasti g 1 = 1, g = 3, g 3 = 4 ja g 4 = 5 Systeemin kokonaisenergia on 1ε a) Esitä kaikki mahdolliset artitiot ja määritä niiden todennäköisyydet b) Määritä energiatasojen keskimääräiset miehitysluvut Ratkaisu Side-ehdot ovat U = 1ε, N = 5 a) Mahdolliset artitiot ja niiden todennäköisyydet ovat seuraavassa taulukossa: i ε i g i k = ε ε ε ε P k = Maxwell - Boltzmann - statistiikassa artition todennäköisyys eli artitioon liittyvien mikilojen lukumäärä saadaan yhtälöstä i n i gi Pk = N! n! i Partitiolle 1 saadaan Partitiolle : P1 = 5! = 5! = 5! 1!!! P = 5! = 5! = 4!!! 1! 4

2 Samoin saadaan muut taulukon alimmalla rivillä esitetyt todennäköisyydet Nähdään, että todennäköisin artitio on artitio numero 6 Se siis vastaa termodynaamista tasaainotilaa (siinä mielessä kun se näin ienelle systeemille on ymmärrettävissä) b) Energiatasojen keskimääräiset miehitysluvut saadaan yhtälöstä P Pk n = W n W = = 5635 k i k k, i, missä k 6 k Pk k= 1 Energiatasolle 1 saadaan 1 n 1 = ( ), Samoin saadaan muut ulokset on koottu oheiseen taulukkoon i n i 4, ,395 1,917 1,9339 n i 5 Kaksiatomisen ideaalikaasun molekyylien aation artitiofunktio on ( ) ll+ 1 θr ( 1), Z = l+ e l= kun molekyyli koostuu kahdesta eri atomityyistä Partitiofunktionlausekkeessa θ = ħ Ik on aation kynnyslämötila a) Osoita, että matalissa lämötiloissa θ aation osuus sisäenergiasta voidaan kirjoittaa muotoon U = Nkθ e θ (Oastus: Huomaa, että artitiofunktion sarjakehitelmä suenee r 6 r noeasti ) b) Laske aation osuus ominaislämmössä, c, tässä taauksessa r r Ratkaisu ässä tehtävässä tarkastellaan yörimisenergian matalien lämötilojen raja-arvoa Siksi vain artitiofunktion alimmat termit ovat tärkeitä Huomaa, että yörimisenergia on kylläkin ieni, mutta ei tarkkaan nolla rajalla θ!! r Ensimmäinen termi artitiofunktion summasta:

3 θ 6θ 1θ r r r Z = 1+ 3e + 5e + 7e + Kun << θ r, sarja suenee noeasti, joten aroksimoidaan ottamalla siitä vain kaksi ensimmäistä termiä: r Z 1+ 3e θ Rotaation osuus kaasun sisäenergiassa on θ r ( ) θ r d d 6Nkθre = ln ln 1+ 3 = θ U Nk Z Nk e d d 1+ 3e e θ r Koska nimittäjässä 3 1, voidaan kirjoittaa r (ar 1) r 6 θr U Nk e θ qed (ar ) Edellinen lauseke on astetta aremi aroksimaatio Se voidaan kirjoittaa muotoon 6Nkθr U r e θ + 3 Näitä lausekkeita verrataan graafisesti seuraavan sivun kuvassa 1 U b) Rotaation osuus ominaislämmössä on c, V = ν Matalissa lämötiloissa saadaan (kumikin em aroksimaatioista johtaa samaan tulokseen) V θr θr θ θr ( r ) c, V 6 R e 1 R = = e V Huomaa, että käyttämällä artitiofunktion summalauseketta sellaisenaan saadaan aatioenergialle molekyyliä kohden lauseke U kθr l( + 1) θr = l( l+ 1)( l+ 1) e N Z l= ämä on laskettu molekyyliä kohti ottamalla 5 termiä Z :n ja U :n summalausekkeista ja iirretty oheiseen kuvioon yhdessä eo aroksimaatioiden kanssa Rotaation karakteristiselle lämötilalle on käytetty vedyn arvoa 85 K Kuvasta nähdään, että jälkimmäinen aroksimaatio on lähellä tarkkaa kuvaajaa laajemmalla

4 lämötila-alueella kuin ensimmäinen aroksimaatio 3 Systeemissä hiukkasten mahdolliset tilat ovat E 1 =, E = ε ja E 3 = ε Oletetaan, että g i = 1, i = 1,,3 Miehitysluvut ovat n 1 =, n = 8 ja n 3 = (a) Mikä on jakauman todennäköisyyden muutos, kun ylimmältä ja alimmalta tilalta siirretään yksi hiukkanen keskimmäiselle tilalle? (b) Laske systeemin todennäköisin jakauma annetulle kokonaishiukkasmäärälle ja sisäenergialle Oastus: kokonaishiukkasmäärän ja sisäenergian säilyminen antaa kaksi side-ehtoa tuntemattomille suureille n 1, n ja n 3 Ratkaisu: (a) Systeemissä on yhteensä N = 3 hiukkasta Alkueräisen artition todennäköisyys on P 1 = Hiukkasten siirtämisen jälkeen P = Jakaumien! 8!! 1999! 8! 199! todennäköisyyksien suhde on P1 1999! 8! 199! P =! 8!! = =1,6 Siis alkueräinen artitio oli 1,6 kertaa todennäköisemi Koska ienellä miehitysluvun muutoksella saadaan suuri mikilojen lukumäärän muutos, systeemi on ilmeisesti hyvin kaukana termodynaamisesta tasaainosta (b) odennäköisimmän artition määrääminen Maxwell-Boltzman -jakauma on N / k N ε / k N ε / k n1 = e, n = e, n3 = e Z Z Z missä Z on artitiofunktio Systeemissä on 3 hiukkasta joiden kokonaisenergia on 1 ε Merkitään / k e ε x=, jolloin n = xn 1 ja n 3 x n1 = Hiukkasmäärän säilyminen voidaan tällöin kirjoittaa n1+ n1x+ n1x = 3 ja energian säilyminen ( nx 1 ) ε + ( nx 1 )( ε) = 1ε Suistamalla ε jälkimmäisestä yhtälöstä saamme yhtälöarin n1 (1 + x+ x ) = 3 (1) n1 ( x+ x ) = 1 Jakamalla (1) uolittain ja suistamalla n 1 saadaan 8x + 3x =, josta x =,3465 (vain ositiivinen juuri kelaa) Sijoittamalla yhtälöön (1) saamme n 1 = 46, n = 78 n 3 = 46 ulos on yöristetty lähimiin kokonaislukuihin Huomaa, että jos näihin miehityslukuihin tehdään muutos n 1 n 1 1 n n + ja n3 n3 1 on artition todennäköisyyden muutos varsin ieni (Periaatteessa äärettömän ieni jos hiukkasia on tareeksi)

5 II Välikokeen alue 4 Kahdessa astiassa on kummassakin ν moolia samaa nestettä oisessa lämötila on 1, toisessa Nesteet sekoitetaan keskenään vakioaineessa Systeemi on lämöeristetty Osoita, että entroia kasvaa tällöin määrän 1+ S = ν c ln 1 Osoita myös, että S on aina ositiivinen Ratkaisu Ennen sekoittumista systeemissä on kaksi erillistä osaa: ν, 1 ja ν, Nyt sekoittuminen on isobaarinen rosessi, jolloin δ Q ν cd ds = = Koska systeemi on lämöeristetty, toinen neste saa täsmälleen saman lämömäärän kuin toinen luovuttaa (energiaeriaate): Q = Q ν c = ν c, ( ) ( 1) ( ) ( 1) missä on loulämötila Loulämötilaksi saadaan ( ) = + 1 / Lasketaan seuraavaksi nesteiden entroianmuutokset: d d S = ν c = ν c ln ; S = ν c = ν c ln 1 1 Systeemin entroian muutos on 1 S = S1+ S = ν c ln + ln = ν cln 1 1 Sijoittamalla edellä saatu loulämötilan lauseke saadaan ( ) S = ν cln = ν cln S >, jos + > Kotamalla toiseen otenssiin saadaan 1 1 ( ) = + =

6 Jos alkulämötilat ovat erisuuret, on S >, jos ne ovat yhtäsuuret, on S = 5 Berthelot on esittänyt reaalikaasuille tilanyhtälön R a = V b V, missä a ja b ovat emiirisiä vakioita (eivät samoja kuin Van der Waalsin vakiot) a) Määritä tätä tilanyhtälöä noudattavan kaasun kriittiset arametrit, ja V b) Selitä lyhyesti mikä on kriittisen isteen fysikaalinen merkitys Ratkaisu: a) Derivoidaan :n lauseke kahdesti tilavuuden suhteen (V on tässä moolitilavuus) lämötilan ollessa vakio ja asetetaan kumikin derivaatta nollaksi: R a = + = (1) V V b V ( ) 3 R 6a = = V ( V b) 3 3 V Jaetaan yhtälöt (1) ja () uolittain Suistamisen jälkeen saadaan V b V =, 3 josta kriittiselle tilavuudelle saadaan arvo V = 3b () Sijoitetaan saatu kriittinen tilavuus yhtälöön (1): a R a R = = V V b 7b 4b 3 ( ) 3 josta ratkaisemalla saadaan kriittinen lämötila, = 8a a 7bR = 3 3bR Sijoitetaan louksi ja V Berthelot n tilanyhtälöön ja ratkaistaan kriittinen aine: a R R a 3 3 a = = br V b V b a 9b 3 3bR josta tekemällä samannimisiksi ja sieventämällä saadaan, = 1 3aR 18b b b) Kriittisessä isteessä aine ysyy vakiona tilavuuden ienentyessä ämä on mahdollista vain, jos kaasusta oistuu molekyylejä Molekyylit oistuvat kaasusta tiivistymällä nesteeksi Kriittinen iste on ylin lämötila, jossa tämä ilmiö (tiivistyminen havaitaan) 6 Kilo vettä lämmitetään vakioaineessa sähkövastuksella lämötilasta lämötilaan 99 Arvioi (a) veden sisäenergian muutos (b) veden entroian muutos (c) mahdollisten mikilojen muutos (MB-

7 statistiikan mukaan) (d) maksimaalinen mekaaninen työ, kun näin lämmitettyä vettä käytetään lämövarastona koneelle, jonka alemi lämövarasto on lämötilassa Veden ominaislämö on c = 4,18 J/kgK Ratkaisu: Merkitään A = 93,15K ja Y = 37,15K (a) Veden ominaislämö massan yksikköä kohden on lämötilan muutoksen avulla 3 U = mc = 1kg 4,18 1 J 79K = 33J 33kJ kgk 3 J kgk c = 4,18 1 Sisäenergian muutos saadaan Huomaa, että tehtävässä ominaislämö on annettu massan yksikköä (kg) eikä moolia kohden - tämä käy ilmi ominaislämmön yksiköstä! (b) Entroian muutos saadaan laskemalla integraali (isobaarinen rosessi) mc S = d = mcln ( Y A) 997J (c) Entroia saadaan mikilojen lukumäärästä kaavalla S = kln( P), joten mikilojen muutos on P Sk 5 = e ex( 7 1 ) (makroskooisten systeemien mikilojen lukumäärien muutokset ovat P1 yleensä valtavia hiukkasten suuresta määrästä johtuen!) (d) Vastuksella lämmitettyä vettä käytetään maksimihyötysuhteella työn tekoon Veden lämöä otetaan ieninä erinä arnotin kiertorosessiin, jossa alemman lämövaraston lämötila on kiinteä arkastellaan ienen differentiaalisen erän tekemää työtä Ylemmän lämövaraston lämötila (merkitty seuraavassa suureella ) on aluksi 99, mutta alenee jatkuvasti A W = η Q A Y = QY = mc (1) Huomaa - merkki oikealla - jos ylemmästä lämövarastosta saatu lämömäärä on ositiivinen lämötilan differentiaali on negatiivinen!! Seuraavaksi integroidaan (1) alkulämötilasta loulämötilaan (koneen ajatellaan tekevän äärettömän monta kierrosta, joiden työt lasketaan yhteen)

8 W A dw W mc 1 A = = d Y ( ) ln Y = mc Y A A 38kJ A VAKIOIA e = = n = = m 9,191 1 kg m 1, kg m 1, kg amu 1, kg c ħ µ B e = 1, 61 1 =, m/s = 1, Js = 9, 73 1 J = Ke = = Km = ε 8, N m 1/ 4πε µ 1, mkg µ / 4π A γ = 6, 67 1 Nm kg N = 6, 5 1 mol R = 8, 3143 JK mol k=1,385 1 JK

Samankaltaiset tiedostot

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat