Transkriptio

1 M M5: Lineaarialgebra 1/76 M5: Lineaarialgebra Fysa115 (3 op) Syksy 2016, Fysiikan laitos, Jyväskylän yliopisto Luennot Juha Merikoski ma&ke (FYS3) Laskuharjoitukset 7 kertaa, ke, max 12 p (pisteet ok vuoden ajan) 1. tentti Perjantaina , max 48 p 2. tentti Perjantaina Yleinen tenttipäivä Oletetut esitiedot Fysp111 ja Fysp112 Avuksi myös Lineaarinen algebra ja geometria 1&2 (matem) Kirjallisuutta Adams&Essex: Calculus s (ei kattava) Lay: Linear Algebra and its applications (alkuosa) Muita: Arfken, Boas, Riley&Hobson&Bence Taulukkokirjat Alan Jeffrey s Päivitetty luentorunko ja uusimmat tehtävät suoraan Kopasta: Muu materiaali (malliratkaisuja yms) Kopassa salasanan takana.

2 M Kurssin tavoitteet 2/ Kurssin tavoitteet Kurssi sisältää seuraavia asioita: lineaariset yhtälöryhmät matriisit ja matriisioperaatiot determinantti ja käänteismatriisi vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset matriisin ominaisarvot ja -vektorit diagonalisointi ja neliömuodot kompleksiset vektoriavaruudet Kurssin vaativuustaso on asetettu siten, että sen tiedoilla (näiltä osin) voi aloittaa esim. Mekaniikan ja Kvanttimekaniikan kurssit. Kurssi on luonteeltaan laskennallinen (ei teoreettinen). Kurssin asiat käsitellään pääosin (ja tarkoin todistuksin) myös matematiikan kursseilla Lineaarinen algebra ja geometria 1&2. Nämä luentokalvot ovat verrattain tiiviit ja rakentuvat pääosin Jouni Suhosen tekemän luentomonisteen (2012) mukaisesti. Aihetta käsitellään myös Markku Lehdon monisteessa (2001).

3 M Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 3/76 1. Matriisit ja matriisioperaatiot 1.1. Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariseksi yhtälöksi kutsumme muotoa a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b (1) olevaa yhtälöä muuttujille x 1,..., x n, missä a i ja b ovat vakioita. Lineaarinen yhtälöryhmä on useamman sellaisen lineaarisen yhtälön ryhmä, joissa on samat tuntemattomat muuttujat x i, i = 1,..., n. Esimerkiksi kahden muuttujan (n = 2) yhtälöryhmä on { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 (2) ja vakioista a ij ja b i riippuen tällä yhtälöryhmällä joko ei ole yhtään ratkaisua, on täsmälleen yksi ratkaisu (yksi piste) tai äärettömän monta ratkaisua (suora). Esim Esimerkit kustakin em. tapauksesta kahden yhtälön ryhmälle.

4 M Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 4/76 Useammankin kuin kahden muuttujan yhtälöryhmälle pätee Lause: Lineaarisella yhtälöryhmällä joko ei ole yhtään ratkaisua, on täsmälleen yksi ratkaisu tai on äärettömän monta ratkaisua. Pieniä yhtälöryhmiä olemme koulussa oppineet ratkaisemaan eliminointimentelmällä. Se helpottuu huomattavasti (paperilla ja tietokoneessa, kts. 2) ottamalla käyttöön matriisit. Esim Yhtälöryhmä x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 voidaan esittää täydentämällä yhtälöryhmän kerroinmatriisi A ns. täydennetyksi matriisiksi B seuraavasti: A = B = (4) (3)

5 M Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 5/76 Määritelmä Jatkossa m n matriisilla A tarkoitetaan kaari- tai hakasulkujen sisällä olevaa lukukaaviota, jossa on m riviä (vaakariviä) ja n saraketta (pystyriviä) alkiot (matriisielementit) a ij, i = 1,..., m ja j = 1,...n eli a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =..., (5) a m1 a m2 a mn missä alkiot a ij R (tai a ij C). Käytämme myös merkintöjä A = (a ij ) [A] ij = a ij. (6) Sanomme myös, että n n matriisi on neliömatriisi (jolle siis yllä m = n) 1 n matriisi on rivivektori eli vaakavektori eli rivimatriisi m 1 matriisi on sarakevektori eli pystykevektori eli sarakem.

6 M Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 6/76 m n matriisin A transpoosi A T on n m-matriisi, jolle [A T ] ij = [A] ji i, j. (7) Matriisin (5) transpoosi (eli transponoitu matriisi) on siis a 11 a 21 a m1 A T a 12 a 22 a m2 =.... (8) a 1n a 2n a mn Esim Vaakavektorin transpoosi on pystyvektori: a ( ) T a b c d = b c d Huom (x 1, x 2, x 3 ) R 3 tarkoittaa joskus pystyvektoria x 2. x 3 x 1

7 M Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 7/76 Neliömatriisin (n n) transpoosi on neliömatriisi (n n). Neliömatriisi A=(a ij ) on symmetrinen, jos A=A T eli a ij =a ji i, j. Neliömatriisi A = (a ij ) on diagonaalinen, jos a ij = a ij δ ij, missä δ ij = { 1, kun i = j 0, kun i j on Kroneckerin delta. Diagonaalimatriisille käytetään merkintää a a 22 0 A = = diag(a 11, a 22,..., a nn ). (10) 0 0 a nn Huom Matriisin diagonaalisuus viittaa nimenomaan vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan kulkevaan diagonaaliin ja sen symmetrisyys peilisymmetrisyyteen kyseisen diagonaalin suhteen. (9)

8 M Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen 8/ Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Yhtäsuuruus m n matriisit A = (a ij ) ja B = (b ij ) ovat samat, jos A = B a ij = b ij i = 1,..., m, j = 1,..., n. (11) Yhteenlasku m n matriisien A = (a ij ) ja B = (b ij ) summa on m n matriisi C = (c ij ), jolle C = A + B c ij = a ij + b ij i = 1,..., m, j = 1,..., n. (12) Skalaarilla kertominen Kertomalla m n matriisi A = (a ij ) vakiolla c R saadaan m n matriisi B = (b ij ) B = ca = Ac b ij = ca ij i = 1,..., m, j = 1,..., n. (13) Merkinnällä A tarkoitamme matriisia, joka saadaan kun c = 1: A = ( 1)A [ A] ij = [A] ij i = 1,..., m, j = 1,..., n. (14) Huom Nämä määrittelyt yleistyvät sellaisinaan myös kompleksiseen tapaukseen, jossa matriisien alkiot tai skalaari c ovat kompleksisia.

9 M Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen 9/76 Määritelmät edellä tuottavat matriisien yhteenlaskulle ja skalaarilla kertomiselle laskusäännöt 1 A + B = B + A (15) (A + B) + C = A + (B + C) (16) 0, jolle A + 0 = A A (17) A A siten, että A + ( A) = 0 (18) (c 1 c 2 )A = c 1 (c 2 A) (19) 1A = A (20) c(a + B) = ca + cb (21) (c 1 + c 2 )A = c 1 A + c 2 A, (22) missä esiintyvät c, c 1, c 2 ovat skalaareja ja kaikki matriisit ovat m n matriiseja, mukaanlukien nollamatriisi: [0] ij = 0 i, j. 1 Todistukset menevät alkioittain ja huomaten, että alkioille pätevät samat laskusäännöt kuin muillekin skalaareille eli c:lle ja c i :lle. Tässä muodossaan laskusäännöt vastaavat vektoriavaruudelle (kts. myöh.) annettuja ehtoja.

10 M Matriisikertolasku 10/ Matriisikertolasku Matriiseille voi määritellä useammankinlaisia tuloja; nyt käsitellään niistä sitä, jota tavallisimmin kutsutaan matriisikertolaskuksi. Olkoon annetut m p matriisi A=(a ij ) ja p n matriisi B=(b ij ). Niiden tulomatriisi on m n matriisi C = (c ij ), jonka alkiot ovat p C = AB c ij = a ik b kj k=1 i = 1,..., m j = 1,..., n (23) Siis C:n alkio c ij on A:n i:nnen rivin ja B:n j:nnen sarakkeen vastinalkioiden tulojen summa. Oleellista: A:ssa yhtä monta saraketta kuin rivejä B:ssa (p kpl). Jos m = n, voidaan laskea myös BA, joka on p p matriisi. Jos m n, niin käänteinen tulo BA ei ole määritelty. Huom Tulo on helppo laskea; kokeile vaikka m = 3, p = 2, n = 4.

11 M Matriisikertolasku 11/76 Neliömatriisien kertolaskusta Jos A ja B ovat kumpikin n n matriiseja, niin sekä AB että BA ovat n n matriiseja. Fysiikassa on käyttöä kommutaattorille [A, B] = AB BA. (24) Jos [A, B] = 0, niin sanomme, että A ja B kommutoivat. Yleensä BA AB eli A ja B eivät kommutoi, jolloin niiden kommutaattori on nollasta poikkeava (kiinnostavakin) matriisi. Erityisen hyödyllinen on n n yksikkömatriisi I =..... = diag(1, 1,..., 1). (25) Neliömatriisille A määritellään myös sen k:s potenssi (k 0) A 0 = I A 1 = A A 2 = AA A k = AA A. (26)

12 M Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia 12/ Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia Olettaen matriisien dimensiot ja luvut j, k sellaisiksi, että kaikki tulot ja summat ovat määriteltyjä (c on skalaari), pätee yleisesti ja neliömatriiseille erityisesti A(BC) = (AB)C (27) A(B + C) = AB + AC (28) (A + B)C = AC + BC (29) c(ab) = A(cB) (30) AI = A = IA (31) A0 = 0 = 0A (32) A j A k = A j+k (33) (A j ) k = A jk. (34) Huom Matriisin potenssin kautta voidaan määritellä esimerkiksi e A = I + A A A3 +...

13 M Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia 13/76 Transpoosille asianmukaisin oletuksin (matriisien dimensioista) on (AB) T = B T A T (35) (A + B) T = A T + B T (36) (ca) T = ca T (37) (A T ) T = A (38) I T = I. (39) Vielä määritellään n n neliömatriisin A = (a ij ) jälki (trace) sen diagonaalialkioiden summana Tr(A) = n a ii. (40) i=1 Matriisitulon syklinen permutaatio jättää jäljen samaksi; esim: Tr(AB) = Tr(BA) Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA) (41) kunhan matriisitulot ovat neliömatriiseja (jolloin jälki määritelty).

14 M Lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys 14/76 2. Yhtälöryhmien ratkaiseminen eliminointimenetelmällä 2.1. Lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys Yleinen m lineaarisen n tuntemattoman yhtälön ryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (42).... a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m Yhtälöryhmä (42) voidaan esittää m n kerroinmatriisin A = (a ij ) sekä tuntemattoman sarakevektorin x = (x 1 x 2... x n ) T ja tunnetun sarakevektorin b = (b 1 b 2... b m ) T avulla kompaktisti: Ax = b. (43) Tässä x on ratkaistava tuntematon vektori ja A sekä b tunnetaan. Yhtälöryhmä (43) on homogeeninen, jos b = 0 on nollavektori.

15 M Lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys 15/76 Matriisimuodossa auki kirjoitettuna (43) on a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 12 x = b 2.. (44) a m1 a m2 a mn x n b m Sitä vastaava täydennetty matriisi a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 12 b 2 (A b) =.... a m1 a m2 a mn b m. (45) Yhtälöryhmää vastaava täydennetty matriisi (45) sisältää tiivistetyssä muodossa kaiken informaation ongelmasta ja pyrimmekin seuraavassa käyttämään sitä 2 ratkaisemiseen menetelmällä, joka soveltuu hyvin kynälle ja tietokoneelle. 2 Täydennetty matriisi voidaan esittää myös käyttäen merkintää (A b).

16 M Alkeisrivitoimitukset 16/ Alkeisrivitoimitukset Ratkaistessamme yhtälöryhmää sellaisenaan olemme tottuneet käyttämään seuraavia operaatioita: yhtälön kertominen vakiolla, yhtälön lisääminen toiseen, yhtälöiden järjestyksen vaihtaminen. 3 Näiden kolmen operaation tarkoituksena on saattaa yhtälöryhmä yksinkertaisemmaksi, ratkaisultaan ekvivalentiksi yhtälöryhmäksi, kunnes ratkaisu lopulta löytyy. Nämä operaatiot ovat suoraan siirrettävissä täydennetyn matriisin käsittelyyn kutsumme seuraavia alkeisrivitoimituksiksi: 1) Lisää yhteen riviin VAKIO jokin toinen rivi 2) Vaihda kaksi riviä keskenään 3) Kerro yksi rivi nollasta poikkeavalla vakiolla 3 Lisäksi olemme ehkä käyttäneet yhdestä yhtälöstä ratkaistun muuttujan sijoittamista toiseen yhtälöön silloin kun se on näyttänyt auttavan. Pyrimme nyt kuitenkin algoritmiin, joka on helposti toteutettavissa matriisien avulla.

17 M Alkeisrivitoimitukset 17/76 Esim Vasemmalla on yhtälöryhmä sellaisenaan, oikealla sen esitys täydennettynä matriisina B = (A b). x 1 2x 2 + x 3 = x 2 8x 3 = x 1 + 5x 2 + 9x 3 = Pyritään ensin ratkaisemaan x 3 ja sitä käyttäen sitten x 2 jne. Lisätään Y3:een 4 Y1 eli Y3 Y3+4 Y1 (Ym on m:s yhtälö) : x 1 2x 2 + x 3 = x 2 8x 3 = x x 3 = Seuraavaksi ensin Y2 1 2Y2 ja sitten Y3 Y3+3 Y2: x 1 2x 2 + x 3 = x 2 4x 3 = x 3 =

18 M Alkeisrivitoimitukset 18/76 Näin saatiin kerroinmatriisi A on yläkolmiomuotoon eli A = 0 B = 0, missä on mikä tahansa luku. Tämä oli välitavoitteemme. Palaten esimerkkiin: Seuraavaksi Y2 Y2+4 Y3 ja Y1 Y1 1 Y3: x 1 2x 2 = x 2 = x 3 = Vielä kerroinmatriisi yksikkömatriisiksi operaatiolla Y1 Y1+2 Y2: x 1 = x 2 = , x 3 = jolloin A = diag(1,1,1) ja esimerkkiyhtälöryhmä on ratkaistu.

19 M Alkeisrivitoimitukset 19/76 Määritelmä Lause Matriisit B ja B ovat riviekvivalentit, mikäli ne saadaan toisistaan alkeisrivitoimituksin. Tällöin merkitään B B. Jos kahden yhtälöryhmän täydennetyt matriisit ovat riviekvivalentit, niin yhtälöryhmillä on samat ratkaisut. Huom Alkeisrivitoimitusten kannalta täydennettyä matriisia (A b) kirjoittettaessa edellä käytetty pystyviiva on epäoleellinen, se vain muistuttaa viimeisen sarakkeen erityismerkityksestä yhtälöryhmiä ratkaistaessa. Tarvittavat alkeisrivitoimitukset määrää matriisi A. Huom Edellisten sivujen esimerkissä yhtälöitä oli yhtä monta kuin tuntemattomia. Tällöin kerroinmatriisi A on neliömatriisi ja se on mahdollista saattaa yläkolmiomuotoon ja lopulta diagonaaliseksi. Yleisessä tapauksessa yhtälöiden ja tuntemattomien määrä ei välttämättä ole sama, jolloin kannattaa määritellä...

20 M Porrasmatriisit 20/ Porrasmatriisit Määritelmä m n matriisi B porrasmatriisi, jos 1) matriisin mahdolliset nollarivit ovat alimpana, 2) jokaisen nollasta eroavan rivin ensimmäinen eli johtava alkio on 1 ja 3) alemman rivin johtava alkio sijaitsee aina ylemmän rivin johtavan alkion oikealla puolella Määritelmä Lause Porrasmatriisi B on redusoitu, jos lisäksi 4) jokaisen rivin johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta poikkeava alkio. Jokainen m n matriisi on riviekvivalentti jonkin (yksikäsitteisen) redusoidun porrasmatriisin kanssa.

21 M Porrasmatriisit 21/76 Porrasmatriisi ( mikä tahansa luku) on siis muotoa ja redusoitu porrasmatriisi muotoa Esim Alkeisrivitoimituksin päästään redusoituun porrasmuotoon

22 M Yhtälöryhmän ratkaiseminen porrasmatriiseilla 22/ Yhtälöryhmän ratkaiseminen porrasmatriiseilla Seuraavassa esitetään kaksi algoritmia lineaarisen yhtälöryhmän Ax = b ratkaisemiseksi. Täydennetty matriisi olkoon B = (A b). Gaussin eliminointi 1) Etsitään B:n kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi B = (A b ). 2) Ratkaistaan yhtälöryhmä A x = b takaisinsijoituksin. Gaussin-Jordanin eliminointi 1) Etsitään B:n kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi B = (A b ). 2) Luetaan suoraan yhtälöryhmän A x = b ratkaisut. Huom Kummassakin algoritmissa vaihe 2) edellyttää, että ratkaisuja on. Niiden olemassaoloon palataan tuotapikaa. Huom Mikäli yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, vaihe 2) on helppo. Jos ratkaisuja on äärettömän paljon (esimerkiksi jos ne muodostavat suoran tai tason) saadaan parametrisoitu ratkaisu.

23 M Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki 23/ Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki Vektoreiden a 1, a 2,..., a m lineaarikombinaatio on c 1 a 1 + c 2 a c m a m, c i R (tai c i C). (46) Vektorit a 1, a 2,..., a m ovat lineaarisesti riippumattomia (LI), jos vain kun c 1 = c 2 = = c m = 0. c 1 a 1 + c 2 a c m a m = 0 (47) Jos (47) toteutuu siten, että kaikki c i :t eivät ole nollia, sanomme vektoreiden a 1, a 2,..., a m olevan lineaarisesti riippuvia (LD) ja ainakin yksi niistä voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa. Lineaarisen yhtälöryhmän tapauksessa sen rivivektorien lineaarinen riippuvuus tarkoittaa sitä, että yhtälöitä on tarpeettoman monta. Yksinkertaisimmillaan näin käy, jos kaksi yhtälöä ovat samat. Yhtälöryhmässä voi olla myös keskenään ristiriitaan johtavia rivejä.

24 M Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki 24/76 Määritelmä Matriisin A ranki r(a) on sen LI rivivektoreiden maksimilukumäärä. Lause Riviekvivalenteille matriiseille A B pätee r(a) = r(b). Seuraus Ranki r(a) on A:ta vastaavan porrasmatriisin nollasta poikkeavien rivien lukumäärä. Lause Lause Otetaan m kappaletta n-komponenttisia vektoreita ja muodostetaan niitä rivivektoreina käyttäen m n matriisi A. Vektorit ovat LI, jos r(a) = m, ja LD, jos r(a) < m. r(a) on A:n LI sarakevektoreiden maksimilukumäärä. Seuraus Transpoosille pätee r(a T ) = r(a). Lause Olkoon annettu m kappaletta n-komponenttisia vektoreita. Jos m > n, niin vektorit ovat LD.

25 M Yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo 25/ Yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo Tutkitaan n tuntemattoman, m yhtälön lineaarista yhtälöryhmää Ax = b, missä A on m n matriisi ja yhtälöryhmää vastaava täydennetty matriisi B = (A b) on m (n+1) matriisi. Lause: ratkaisujen olemassaolo Yhtälöryhmällä on ratkaisuja r(a) = r(b). Lause: ratkaisujen yksikäsitteisyys Yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu r(a) = r(b) = n. Jos r(a) = r(b) = r < n, on yhtälöryhmällä äärettömän monta ratkaisua. Tällöin voidaan löytää r kappaletta riippumattomia tuntemattomia x i, jotka voidaan ilmaista jäljelle jäävien n r tuntemattoman x j = t j avulla parametrisoitu ratkaisu. Lause: ratkaisujen löytyminen Mikäli yhtälöryhmällä on ratkaisuja, ne kaikki saadaan Gaussin tai Gaussin-Jordanin eliminoinnilla.

26 M Lineaarinen yhtälöryhmä ja determinantit 26/76 3. Determinantit 3.1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja determinantit Determinanteille kuten matriiseillekin on monenmoista käyttöä, mutta haemme motivaatiota edelleen yhtälöryhmistä, nyt n n: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (48).... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n matriisein ilmaistuna Ax = b, missä kerroinmatriisi A = (a ij ) on tässä tapauksessa neliömatriisi. Neliömatriisin determinantti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n D = det(a) = (49)... a n1 a n2 a nn on yksi reaaliluku (kun a ij R), jonka opimme pian laskemaan.

27 M Lineaarinen yhtälöryhmä ja determinantit 27/76 Yhtälöryhmään Ax = b liittyen määrittelemme myös determinantit b 1 a 12 a 1n a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 2n a 21 a 22 b 2 D 1 =,..., D n =, (50) b n a n2 a nn a n1 a n2 b n joissa D i saatiin D:stä korvaamalla sarake i luvuilla b 1,..., b n. Lause: Cramerin sääntö Jos D 0, niin yhtälöryhmän Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on Lisäksi: x 1 = D 1 /D, x 2 = D 2 /D,..., x n = D n /D. (51) Homogeeniselle yhtälöryhmälle Ax = 0 (ja siis b = 0) pätee: D 0 triviaaliratkaisu x = 0 D = 0 äärettömän monta ratkaisua Esim Nämä tulokset on helppo todistaa entuudestaan tutuille 2 2-determinanteille eli tapaukselle n = 2. Lasketaan...

28 M Determinanttien laskeminen 28/ Determinanttien laskeminen Tapauksessa n = 1 determinantti on triviaalisti D (1) = a 11 = a 11, (52) missä pystyviivat eivät ole itseisarvomerkkejä vaan determinantin merkintätapa. Determinantin ominaisuuksiin alamme päästä kiinni tapauksessa n = 2, jossa määrittelemme: D (2) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. (53) Tämän lausekkeen voi ajatella muodostuvan seuraavasti: D (2) = ( 1) 1+1 a 11 a 22 + ( 1) 1+2 a 12 a 21 eli kuljetaan pitkin ylempää vaakariviä ja kerrotaan sen kullakin alkiolla vastaava alideterminantti 4 ja summataan etumerkkiä vuorotellen. Tästä pääsemme eteenpäin:

29 M Determinanttien laskeminen 29/76 Kun n = 3, otamme (nyt aluksi) lähtökohdaksi ylimmän rivin: D (3) a 11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 (54) a 31 a 32 a 33 = ( 1) 1+1 a a 22 a a 32 a 33 + a ( 1)1+2 a 21 a a 31 a 33 + a ( 1)1+3 a 21 a a 31 a 32 = ( 1) 1+1 a 11 D (2) (a 11 ) + ( 1) 1+2 a 12 D (2) (a 12 ) + ( 1) 1+3 a 13 D (2) (a 13 ), missä D (2) (a ij ) on alkiota a ij vastaava 2 2 alideterminantti. 4 Yllä 3 3 determinantti on kehitetty 1. rivinsä suhteen. Osoittautuu, että juuri tämä on oikea 5 tapa määritellä isommat determinantit pienempien determinanttien kautta. 6 4 Poistettu alkuperäisestä determinantista rivi i ja sarake j. 5 Seuraa Cramerin sääntö ja paljon muuta, katso esimerkiksi 3.4 ja Kuin venäläiset sisäkkäiset maatuska-puunuket avataan isoimmasta alkaen paitsi että nyt n-nuken sisällä on n sitä välittömästi pienempää nukkea.

30 M Determinanttien laskeminen 30/76 Saamme aiheen määritellä kutakin (n+1) (n+1) determinantin alkiota a ij vastaavan kofaktorin cof n (a ij ) = ( 1) i+j D (n) (a ij ). (55) Sen avulla voimme kirjoittaa suhteellisen kompaktisti yleisen kaavan eli kehityssäännön n n determinantille D1) D (n) = n a kj cof n 1 (a kj ) = j=1 n a ik cof n 1 (a ik ), (56) i=1 missä ensimmäisessä summassa on kehitetty determinantti k:nnen rivin ja jälkimmäisessä k:nnen sarakkeen suhteen. Käytännössä se kannattaa tehdä sen rivin/sarakkeen suhteen, jossa on eniten nollia. Huom Muistutamme itseämme vielä siitä, että determinantti on jokin luku, 7 joka nyt on laskettavissa 8 kaavoista (55-56). 7 Determinantin voi ajatella kuvauksena matriisien avaruudelta reaaliluvuille. 8 Mutta laskutoimitusten määrä kasvaa nopeasti n:n kasvaessa.

31 M Determinanttien laskeminen 31/76 Determinanttien (alla D) laskemisessa ovat avuksi myös seuraavat: D2) D vaihtaa merkkiä, kun sen kaksi riviä tai kaksi saraketta vaihdetaan keskenään. D3) Kertomalla D:n mikä tahansa rivi tai sarake vakiolla c saadaan determinantti, jonka arvo on cd. D4) Jos D:n jokin rivi/sarake = VAKIO toinen rivi/sarake, niin D = 0. D5) D:n arvo ei muutu jos sen jollekin riville/sarakkeelle lisätään muiden rivien/sarakkeiden lineaarikombinaatio. D6) Kaksi determinanttia, joilla vain yksi rivi/sarake ovat erilaiset, voidaan laskea yhteen. Näin saadaan determinantti, joka on muuten sama kuin alkuperäiset, mutta sanottu rivi/sarake on alkuperäisten rivien/sarakkeiden summa. D7) Transpoosille pätee det(a T ) = det(a). Huom Operaatioilla (2,5) voidaan determinantti saattaa ylä- tai alakolmiomuotoon, joilloin sen arvo on diagonaalielementtien tulo.

32 M Determinantit ja matriisiranki 32/ Determinantit ja matriisiranki Olkoon A m n matriisi. Silloin voidaan osoittaa seuraavat: Lause r(a) = r 0 1 A:n suurin alimatriisi, jota vastaava determinantti on nollasta poikkeava, on r 0 r 0 matriisi. Lause Jos r(a) = r 0 1, niin A:n kaikkien sellaisten alimatriisien, joiden ranki > r 0, determinantit ovat nollia. Lisäksi n n neliömatriisille A pätee: Lause r(a) = n det(a) 0. (57) Huom Lauseista yllä heijastuu lineaarisen riippumattomuuden yhteys lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisuihin ja determinantin nollasta poikkeavuuteen. Todistusten ideaa kannattaa miettiä.

33 M Determinanteista vielä 33/ Determinanteista vielä Johdattelimme n n determinanttiin formaalia ja jälkiviisasta reittiä. Yleisesti determinantti on sarakkeidensa n-lineaarikuvaus (tarkastelemme tavallisia lineaarikuvauksia myöhemmin). Tämä ominaisuus takaa, että kahdessa/kolmessa/... ulottuvuudessa determinantilla on geometrinen tulkinta sarakkeidensa määräämien vektoreiden virittämän suunnikkaan/särmiön/... tilavuutena. Tällä geometrisella tulkinnalla on ilmeistä, miksi determinantti tulee kerrotuksi samalla luvulla kuin millä yksi sen sarake kerrotaan, kts. luvun 3.2 laskusääntö D3. Samaten on ilmeistä, että laskusääntö D6 pätee. Jos determinantin kaksi saraketta ovat samat, niin yllä mainittu tilavuus on nolla, kuten determinanttikin D4:stä. Determinantin alternoivuus, eli kertoimet ( 1) i+j, seuraa kolmesta mainitusta säännöstä. Täten tapamme määritellä determinanti ei ole suinkaan mielivaltainen, vaan lopulta ainoa mahdollinen.

34 M Käänteismatriisin ominaisuuksia 34/76 4. Neliömatriisin käänteismatriisi 4.1. Käänteismatriisin ominaisuuksia Olkoot A ja C n n neliömatriiseja ja I n n yksikkömatriisi. Määritelmä Jos on olemassa n n neliömatriisi B, jolle AB = I, niin B on A:n käänteismatriisi, merkitään B = A 1. Determinanteille pätee: Lause det(ac) = det(a)det(c). (58) Jos nyt on AB = I, niin det(ab) = det(a)det(b) = det(i) = 1, joten det(b) = 1/det(A). Täten olletinkin Lause det(a) 0 yksikäsitteinen A 1. (59) Jos A 1, niin A on säännöllinen eli ei-singulaarinen matriisi. Jos det(a) = 0, niin A on singulaarinen.

35 M Käänteismatriisin ominaisuuksia 35/76 Edelleen (57) ja (59) Lause r(a) = n A 1. (60) Olkoon B = A 1 olemassa. Tällöin det(b) = 1/det(A) 0 ja on olemassa B 1 ja BA = BABB 1 = BIB 1 = BB 1 = I, joten Lause AA 1 = A 1 A = I. (61) Olettaen A ja C säännöllisiksi n n matriiseiksi (c 0 skalaari) on Merkitsemme myös (AC) 1 = C 1 A 1 (62) (ca) 1 = c 1 A 1 (63) (A 1 ) 1 = A (64) (A 1 ) T = (A T ) 1. (65) A p = (A 1 ) p p = 1, 2, 3,... (66) Näillä eväillä kertolaskut käänteismatriisilla sujuvat.

36 M Käänteismatriisi ja yhtälöryhmä 36/ Käänteismatriisi ja yhtälöryhmä Tarkastellaanpa yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 Ax = b. (67).... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Jos A 1 ja b tunnetaan, (67):n muodollinen ratkaisu saadaan kertomalla Ax = b puolittain A 1 :llä eli A 1 Ax = A 1 b, mistä x = A 1 b. (68) Huom Käänteismatriisin A 1 laskeminen on yleisesti työlästä, 9 mutta kun se on kerran laskettu, yhtälöryhmän Ax = b ratkaisu kaikilla annetuilla b saadaan matriisikertolaskulla x = A 1 b. 9 Havaitsemme, että A 1 saadaan laskettua (67):stä ratkaisemalla x i :t tähän tarkoitukseen vapaina muuttujina pidettävien b j :den lineaarikombinaatioina. Käytännöllisemmät tavat laskea käänteismatriisi esitellään 4.3:ssa ja 4.4:ssä.

37 M Käänteismatriisi adjungoidun matriisin kautta 37/ Käänteismatriisi adjungoidun matriisin kautta Määritelmä Säännöllisen n n matriisin adjungoitu matriisi 10 on adj(a) = [cof(a)] T, (69) missä cof(a) on A:n kofaktorimatriisi cof n 1 (a 11 ) cof n 1 (a 12 ) cof n 1 (a 1n ) cof n 1 (a 21 ) cof n 1 (a 22 ) cof n 1 (a 12 ) cof(a) =..., (70) cof n 1 (a n1 ) cof n 1 (a n2 ) cof n 1 (a nn ) missä kofaktorit eli luvut cof n 1 (a ij ) määriteltiin (55):ssa. Nyt voimme kirjoittaa käänteismatriisin kaavan A 1 = adj(a)/det(a). (71) 10 Varo: Tällä termillä on lineaarialgebrassa muutakin käyttöä.

38 M Käänteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta 38/ Käänteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta Käytännössä (71):ssa pitää laskea A:n alideterminantteja kaikissa kertaluvuissa, joten menetelmä ei ole tehokas suurille matriiseille. Haemme siksi ratkaisua alkeisrivitoimituksin (vrt. 2.2), jotka matriisikertolaskuja varten esitämme alkeismatriiseina: 1) R(i 1 + ci 2 ) lisää riviin i 1 rivi i 2 kerrottuna c:lla 2) R(i 1, i 2 ) vaihda rivit i 1 ja i 2 3) R(ci) kerro rivi i luvulla c 0. Esimerkiksi 3 3 matriiseille seuraavat alkeisrivitoimitukset R saadaan kertomalla A vastaavalla R-matriisilla: R(2+c3) = c R(1, 2) = R(c3) = c Oletetaan nyt A säännölliseksi n n matriisiksi. Tällöin pätee: A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Säännöllisyys & neliömatriisiys A I.

39 M Käänteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta 39/76 Edellisen perusteella löytyy alkeisrivitoimitukset eli alkeismatriisit R 1, R 2,..., R N, joiden tulo R = R N R 2 R 1 siten, että RA = I. Täten A = R 1 A 1 = RI. Siis R N R 2 R 1 A = RA = I (72) R N R 2 R 1 I = RI = A 1 (73) Nämä yhtälöt voidaan tulkita algoritmiksi: Otetaan lähtökohdaksi n 2n matriisi (A I). Valitaan R 1, R 2,..., R N siten, että A muuntuu I:ksi. Tällöin I muuntuu A 1 :ksi. = Gaussin-Jordanin menetelmä käänteismatriisin laskemiseksi Huom Meillä on nyt kaava determinantille (56), sen kautta käänteismatriisille (71), ja edelleen yhtälöryhmän ratkaisulle (68). Kun n on suuri, on silti aihetta turvautua alkeisrivitoimituksiin perustuviin algoritmeihin. Numeriikkaa varten on kehitetty lisäksi approksimatiivisia menetelmiä (kurssi Numeeriset menetelmät).

40 M Vektoriavaruus 40/76 5. Vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset 5.1. Vektoriavaruus Joukko olioita (esimerkiksi tavalliset R n :n vektorit) v 1, v 2, v 3,... muodostaa vektoriavaruuden V, jos niiden joukossa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen (skalaarit c, c 1, c 2 ), joille v 1 + v 2 = v V (74) cv 1 = v V (75) v 1 + v 2 = v 2 + v 1 (76) (v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + (v 2 + v 3 ) (77) 0 V siten, että v + 0 = v v V (78) v V v V, jolle v + ( v) = 0 (79) c 1 (c 2 v) = (c 1 c 2 )v (80) 1v = v (81) c(v 1 + v 2 ) = cv 1 + cv 2 (82) (c 1 + c 2 )v = c 1 v + c 2 v (83)

41 M Vektoriavaruus 41/76 Jos c i R (C), niin on V reaalinen (kompleksinen) vektoriavaruus. Vektoreiden v i V mielivaltainen lineaarikombinaatio kuuluu V:hen: c 1 v 1 + c 2 v c m v m V c i. (84) Vektorijoukko v i V, i = 1, 2,..., m, on LI mikäli (muutoin LD) c 1 v 1 + c 2 v c m v m = 0 c i = 0 i (85) Määritelmä Vektoriavaruus V on n-ulotteinen, jos siitä löytyy korkeintaan n kpl LI vektoreita. Tämä n vektorin joukko virittää V:n ja on V:n kanta. Joukon vektorit ovat kantavektoreita. Vektoriavaruuden kanta ei ole yksikäsitteinen. Myös (äärettömän) moni muu n vektorin joukko voi olla LI ja toimia kantana. Jokainen vektori v V voidaan ilmaista valitussa kannassa {v i } kantavektoreiden lineaarikombinaationa v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n. (86)

42 M Sisätuloavaruus 42/ Sisätuloavaruus Määritelmä Vektoriavaruus V on reaalinen sisätuloavaruus, jos kaikilla v 1, v 2 V on olemassa v 1 :n ja v 2 :n sisätulo (v 1, v 2 ) R, jolle kaikilla v, v i V ja c i R pätee: (v 1, v 2 ) = (v 2, v 1 ) (87) (c 1 v 1 + c 2 v 2, v 3 ) = c 1 (v 1, v 3 ) + c 2 (v 2, v 3 ) (88) (v, v) 0 ja: (v, v) = 0 v = 0. (89) Vektorit v 1, v 2 V ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ne ovat ortogonaaliset, jos (v 1, v 2 ) = 0. Vektorin v V pituus eli normi on v = (v, v) 0. (90) Nollasta poikkeava v V voidaan normittaa yksikkövektoriksi: Tällöin ˆv:n sanotaan olevan normitettu. ˆv = v/ v ˆv = 1. (91)

43 M Sisätuloavaruus 43/76 Lauseita Kaikille v 1, v 2 V pätevät Cauchyn-Schwartzin epäyhtälö kolmioepäyhtälö sekä suunnikassääntö (v 1, v 2 ) v 1 v 2, (92) (v 1 + v 2 ) v 1 + v 2 (93) (v 1 + v 2 ) 2 + (v 1 v 2 ) 2 = 2( v v 2 2 ) (94) Huom Määritelmät ja lauseet yllä tuntuvat järkeenkäypäisiltä, kun ajatelemme avaruuksia R n pienillä n. Ne pätevät kuitenkin kaikissa R n sekä muunkinlaisille vektoriavaruuksille, joita ovat esimerkiksi: P n = {p p on polynomi R R astetta n} F = {f f on funktio R R} M m n = {A A on m n matriisi} Sisätulon keksiminen näille avaruuksille saa(ttaa) mietityttää vielä.

44 M Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 44/ Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi Määritelmiä Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä v V ja w W. Kuvauksessa (muunnoksessa) F : V W lähtöjoukon vektori v kuvautuu maalijoukon vektoriksi w, merkitään v w tai w =F (v). Tällöin sanomme, että vektori w on vektorin v kuva kuvauksessa F. F on lineaarikuvaus, mikäli v, v 1, v 2 V ja c R pätee F (v 1 + v 2 ) = F (v 1 ) + F (v 2 ) (95) F (cv) = cf (v) (96) Lineaarikuvauksilla on mukavia ominaisuuksia, mm. F (0 V ) = 0 W, (97) missä teimme eron lähtö- ja maalipuolen nollavektorien välillä, ja F (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 F (v 1 ) + c 2 F (v 2 ). (98) Nämä on helppo todistaa lineaarikuvauksen määritelmästä lähtien.

45 M Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 45/76 Tarkastelemme seuraavaksi lineaarikuvauksia F : R n R m. Lineaarikuvaus voidaan esittää matriisina, kunhan valitsemme avaruuksille V = R n ja W = R m kantavektorit. Valitaan niille nyt luonnolliset kannat eli standardikannat î 1 = î 2 = î n = (99) ĵ 1 = ĵ 2 = ĵ m = (100) Kumpikin kanta on ortonormitettu eli kantavektorit ovat keskenään ortogonaaliset ja kunkin kantavektorin pituus on 1, sisätulona tuttu pistetulo (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n.

46 M Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 46/76 Lineaarikuvauksen matriisiesityksen F (v) = Av saamme tarkastelemalla kantavektorien 11 kuvia w (k) = F (î k ) = A î k. (101) Esimerkiksi lähtöpuolen kantavektorin î 1 (eli yllä k=1) kuva on w (1) 1 a 11 a 12 a 1n 1 a 11 w (1) w (1) = 2. = a 21 a 22 a = a 21.. w m (1) a m1 a m2 a mn 0 a m1 Nyt alkiot a i1 ovat ratkaistavissa: a 11 = w (1) 1,..., a m1 = w m (1) samaan tapaan kaikilla k = 1,..., n on ja a 1k = w (k) 1, a 21 = w (k) 2,..., a mk = w (k) m (102) 11 Matriisin A alkiot a ij riippuvat valituista kannoista ja myös kantavektoreiden järjestyksestä.

47 M Lineaarikuvaus ja sitä vastaava matriisi 47/76 Lineaarikuvausta F : R n R m vastaava matriisi A saadaan siis asettamalla kantavektoreiden î k kuvat A:n sarakkeiksi: w (1) 1 w (2) 1 w (n) 1 w (1) A = 2 w (2) 2 w (n) 2 (103)... w m (1) w m (2) w m (n) Kun vektorit î k olivat kantavektoreita ja kun esitimme niiden kuvat w (k) kannassa ĵ k, on (103) matriisin A esitys kannoissa {î k } ja {ĵ l }. Näin saamme Lauseen: Jokaista lineaarikuvausta F : R n R m vastaa yksikäsitteinen muotoa (103) oleva matriisi A siten, että F (v) = Av v R n. Tämä vastaavuus on yksikäsitteinen niin kauan kun pidämme kannat samoina. Palaamme myöhemmin kantojen vaihtoon neliömatriisien tapauksessa; todettakoon determinantin ja jäljen sellaisessa toimituksessa tietyin ehdoin säilyvän.

48 M Käänteiskuvauks ja yhdistetty kuvaus 48/ Käänteiskuvauks ja yhdistetty kuvaus Jos nyt lineaarikuvausta F : R n R n vastaava neliömatriisi A on säännöllinen, niin on olemassa A 1, joka vastaa käänteiskuvausta F 1 : R n R n. Siten myös F 1 on lineaarikuvaus ja w = Av v = A 1 w. (104) Jos taasen F : R p R m ja G : R n R p, ja näitä kuvauksia vastaavat matriisit ovat A (s.e. Av = w) ja B (s.e. By = v), niin yhdistettyä kuvausta F G : R n R m vastaa matriisi C siten että w = Av = A(By) = ABy = Cy. (105) Siis yhdistettyä kuvausta vastaa tulomatriisi C = AB ja täten kahden lineaarikuvauksen yhdistetty kuvaus on lineaarikuvaus Matriisiesityksen kannalta on oleellista, että keskimmäiselle avaruudelle R p käytetään samaa kantaa kummassakin kuvauksessa. Lisäksi olemme jo oppineet, että neliömatriisien tapauksessa pätee det(c) = det(a)det(b).

49 M Ominaisarvo-ongelma 49/76 6. Neliömatriisin ominaisarvo-ongelma 6.1. Ominaisarvo-ongelma Johdannoksi: Ominaisarvo-ongelma 13 näyttää äkkipäätään kaukaa haetulta mutta kuten tulemme näkemään se antaa avaimen siihen mitä annettu matriisi (tai sitä vastaava lineaarikuvaus) tekee. Lisäksi sille on monta suoraa käyttökohdetta fysiikassa (mm. ominaistaajuudet, ominaistilat). Kysymyksenasettelu kuuluu: Annetulle neliömatriisille A jossain kannassa mitkä vektorit x vain venyvät ja kuinka paljon, kun niihin operoidaan ko. matriisilla? Osoittautuu, että jos löydämme kyseiset ns. ominaisvektorit, saamme niiden kautta vektoriavaruudelle kannan, jossa A on yksinkertaisimmassa muodossaan. Määritelmä Olkoon A n n matriisi. Vektori x 0 on A:n ominaisvektori, jos Ax = λx, missä λ on jokin luku (skalaari R tai C). Tällöin x on ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori. 13 On muitakin kuin ominaisarvo-ongelmia kuin matriisin oao.

50 M Ominaisarvo-ongelma 50/76 Ratkaistavana on siis ominaisarvo-yhtälö Ax = λx. (106) Jos on Ax i = λ i x i eli on löydetty ominaisarvo λ i ja sitä vastaava ominaisvektori x i, saattaa olla muitakin ominaisvektoreita, jotka vastaavat samaa ominaisarvoa. Jos ominaisarvoa λ i vastaa k kpl LI ominaisvektoreita, λ i on k kertaisesti degeneroitunut. Huom Jos x i on ominaisvektori, niin myös esim. 5x i on samaa ominaisarvoa vastaava ominaisvektori, mutta nämä ovat LD. Kirjoitetaanpa (106) toisin käyttäen n n yksikkömatriisia I: (A λi)x = 0 (107) Tämä on n lineaarisen yhtälön homogeeninen yhtälöryhmä (a 11 λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + (a 22 λ)x a 2n x n = 0. (108).... a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = 0

51 M Ominaisarvo-ongelma 51/76 Muistamme ( 3.1), että homogeenisella yhtälöryhmällä on ei-triviaaleja ratkaisuja, jos kerroindeterminantti on nolla. Vaadimme siis, että det(a λi) = 0 eli a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 12 P n (λ) = = 0 (109)... a n1 a n2 a nn λ Selvästi P n (λ) = det(a λi) on λ:n n:nnen asteen polynomi, A:n ominaisarvo-ongelman karakteristinen polynomi. Yhtälöä P n (λ) = 0 kutsumme A:n karakteristiseksi yhtälöksi, jonka ratkaisuina saamme A:n ominaisarvot λ 1, λ 2,... Ratkaistuamme ominaisarvot λ i syötämme ne yksi kerrallaan (108):een ja ratkaisemme niitä vastaavat ominaisvektorit. Ominaisarvoa λ i vastaavien LI ominaisvektoreiden virittämä vektoriavaruus on kyseisen ominaisarvon ominaisavaruus.

52 M Ominaisarvo-ongelma 52/76 Ominaisarvo-ongelma ratkeaa 14 siis seuraavin askelin: 1) Muodosta polynomi P n (λ) = det(a λi) 2) Hae yhtälön P n (λ) = 0 juuret λ 1 (m 1 ), λ 2 (m 2 ),..., λ l (m l ) 3) Etsi yhtälöryhmän (A λ i I)x = 0 ratkaisujoukko {x} i eli ominaisvektorit kullekin i = 1, 2,..., l. Algebran peruslauseen nojalla P n (λ):lla on kompleksitasossa n nollakohtaa, 15 joten se voidaan saattaa muotoon P n (λ) = ( 1) n (λ λ 1 ) m 1 (λ λ 2 ) m2 (λ λ l ) m l, missä λ 1, λ 2,..., λ l ovat yhtälön P n (λ) = 0 erisuuret juuret, m i on λ i :n (algebrallinen) multiplisiteetti ja m m l = n. 14 Karakteristisen yhtälön ratkaiseminen ei yleisessä tapauksessa ole helppoa; ratkaisukaavatkin ovat olemassa vain 4. asteen yhtälöön saakka. Fysiikassa voidaan kuitenkin usein hyödyntää symmetrioita ongelman pilkkomisessa paloihin. Lisäksi monissa tilanteissa A on harva eli sisältää paljon nollia. 15 Lineaarialgebran teorian (johon emme mene) näkökulmasta laajennamme jo 6.2-4:ssä käsittelyä kompleksisen tapauksen (lisää 8:ssa) suuntaan.

53 M Joitakin tuloksia ominaisarvoille 53/ Joitakin tuloksia ominaisarvoille Olkoon A edelleen n n matriisi. Sen ominaisarvoille pätee: Lause Jos A on yläkolmio- tai alakolmio- tai diagonaalimatriisi, det(a λi) = (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ) eli tällöin ominaisarvot ovat A:n diagonaalialkiot. Lause Lause Lause Eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat LI. Siis: Jos λ 1, λ 2,..., λ p, ovat eri ominaisarvoja ja x 1, x, 2,..., x p vastaavia ominaisvektoreita, niin x 1, x, 2,..., x p ovat LI. Olkoon ominaisarvon λ multiplisiteetti m. Olkoon k kpl sitä vastaavia LI ominaisvektoreita, missä 1 k m. Tällöin λ:aa vastaavan kyseisten ominaisvektoreiden virittämän ominaisavaruuden dimensio on k. Sanomme, että λ:n degeneraatio (eli geometrinen multiplisiteetti) on k. Matriiseilla A ja A T on samat ominaisarvot.

54 M Joitakin tuloksia ominaisarvoille 54/76 Lause Lause Lause Seuraus λ i ovat A:n ominaisarvot cλ i ovat ca:n ominaisarvot, missä c R. ca:n ominaisvektorit = A:n ominaisvektorit. λ i m i = Tr(A) (m i on juuren λ i multiplisiteetti) i i λ m i i = det(a) (m i on juuren λ i multiplisiteetti) Karakteristisen polynomin P n (λ) vakiotermi on det(a) eli edellisessä lauseessa oleva juurten λ i tulo. Viimeisiä kahta lausetta ja seurausta voi hyödyntää esim. saadun ratkaisun tarkistamisessa (huomaa myös sivun 52 alaviite 15). Esim Luentoesimerkkejä: ( )

55 M Karakteristisen polynomin kompleksisista juurista 55/ Karakteristisen polynomin kompleksisista juurista Olkoon A = (a ij ) n n neliömatriisi, jossa a ij R i, j. Tällöin karakteristinen polynomi P n (λ) on reaalilukukertoiminen ja siten algebran peruslauseen mukaan sen juuret λ k ovat reaalisia ja/tai esiintyvät kompleksilukupareina λ k = a + bi, λ k = a bi, a, b R. (110) Tällöin pätee Ax k = λ k x k A x k = λ k x k, (111) missä matriisin A = (a ij ) kompleksikonjugaatti on A = (a ij ). Nyt eli 6:ssa A on kuitenkin reaalialkioinen, joten A = A Ax k = λ k x k, (112) jolloin kompleksisessa tapauksessa (katso 8) sanomme, että A:n ominaisarvoa λ k vastaa ominaisvektori x k.

56 M Erityisistä reaalisista matriisesista 56/ Erityisistä reaalisista matriisesista Olkoon lineaarikuvausta F : R n R n vastaava n n matriisi A = (a ij ) edelleen reaalinen eli A = A. Tällöin matriisi A on symmetrinen, jos A T = A. matriisi A on antisymmetrinen, jos A T = A. matriisi A on ortogonaalinen, jos A T = A 1. Antisymmetrisen matriisin A diagonaalialkioille a ii = a ii, joten a ii = 0. (113) Jos nyt B on mielivaltainen n n matriisi, niin B = S + A, (114) missä S on symmetrinen ja A on antisymmetrinen ja S = 1 2 (B + BT ) A = 1 2 (B BT ). (115)

57 M Erityisistä reaalisista matriisesista 57/76 Lause Lause Symmetrisen n n matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormitettu kanta. Eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. Antisymmetrisen matriisin karakteristisen polynomin juuret λ ovat joko nollia tai täysin imaginaarisia eli λ = ±bi. Olkoon A sitten ortogonaalinen. Tällöin pätevät Lauseet: 1) A säilyttää sisätulon eli u = Aa ja v = Ab u v = a b, missä a b = (a, b) = a T b. A säilyttää myös normin a. 2) Olkoon a 1, a 2,..., a n matriisin A sarakevektorit. A on ortogonaalinen (a i, a j ) = δ ij. Sama pätee rivivektoreille. 3) A:n determinantti on det(a) = ±1. 4) Karakteristisen polynomin juuret λ = a ± bi ja λ = 1. Huom Yllä olemme sallineet reaalisille matriiseille kompleksiset ominaisarvot (katso alaviitettä 15) sekä ominaisvektorit ( 6.3). Jälkimmäiset asustavat kompleksisessa vektoriavaruudessa ( 8).

58 M Similaariset matriisit 58/76 7. Neliömatriisin diagonalisointi ja neliömuodot 7.1. Similaariset matriisit Seuraavassa A, B ja U ovat n n matriiseja. Määrittelemme: Neliömatriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa neliömatriisi U siten, että Tätä kutsutaan similariteettimuunnokseksi. B = U 1 AU. (116) Similaaristen matriisien karakteristisille polynomeille pätee det(b λi) = det(u 1 AU λu 1 IU) = det(u 1 (A λi)u) = det(u 1 )det(a λi)det(u) = det(a λi), koska det(u 1 ) = 1/det(U). Täten similaarisilla matriiseilla on sama karakteristinen polynomi, joten saadaan: Lause Similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot. (117)

59 M Reaalisen matriisin diagonalisointi 59/ Reaalisen matriisin diagonalisointi Seuraavassa A, U ja D ovat n n matriiseja. Määritelmä: Neliömatriisi A on diagonalisoituva, jos on olemassa säännöllinen neliömatriisi U siten, että U 1 AU = diag(d 1, d 2,..., d n ). (118) Diagonaalimatriisille D diag(d 1, d 2,..., d n ) pätee det(d λi) = 0 (d 1 λ)(d 2 λ) (d n λ) = 0, joten (117) D:n ja A:n ominaisarvot ovat d 1, d 2,..., d n. Lause Lause Similariteettimuunnoksen matriisi U sisältää sarakkeinaan A:n LI ominaisvektorit (oltava LI jotta det(u) 0). A on diagonalisoituva A:lla on n LI ominaisvektoria. Seuraus A:lla on n eri ominaisarvoa A on diagonalisoituva.

60 M Reaalisen matriisin diagonalisointi 60/76 Huom Diagonalisoiminen ominaisarvo-ongelma ratkaiseminen. Koska oli D = U 1 AU = diag(d 1, d 2,..., d n ), saamme myös AU = UD (119) millä voi helposti (vain matriisituloja) tarkistaa saamansa tuloksen. Esim Sivun 54 ensimmäiselle esimerkkimatriisille on ( ) 1 1 U = 3 ja U 1 = 2 ( ) Matriisiteorian keskeinen tulos on spektraalilause: Lause Reaalisen matriisin A diagonalisoi ortogonaalimatriisi U A on symmetrinen. Todistus suuntaan on helppo, suuntaan käytetään luvun 6.4 ensimmäistä lausetta symmetriselle matriiseille. Huom Symmetriset matriisit tulevat fysiikassa vastaan usein (hitausmomentti ja kytketyt värähtelyt kurssilla Mekaniikka); tärkeä ominaisuus: ominaisarvojen ja -vektoreiden reaalisuus.

61 M Neliömuodot 61/ Neliömuodot Määritelmä Funktio q : R n R on neliömuoto, jos q(x 1, x 2,..., x n ) = x T A x, x 2 x =., (120) x n missä kerroinmatriisi A on symmetrinen n n neliömatriisi. Similariteettimuunnoksen (U on ortogonaalimatriisi: U 1 =U T ) D = U 1 AU = diag(d 1, d 2,..., d n ), tuottamat uudet koordinaatit y 1, y 2,..., y n ovat joten y = U T x, x = Uy, q(x 1, x 2,..., x n ) = x T Ax = (Uy) T AUy = y T U T AUy = y T Dy = λ 1 y λ 2 y λ n y 2 n. x 1

62 M Neliömuodot 62/76 Täten olemme saaneet neliömuodon pääakseliesityksen eli kanonisen muodon n n q(x 1, x 2,..., x n ) = x i a ij x j = n i=1 i=1 j=1 λ i y 2 i Q(y 1, y 2,..., y n ). (121) missä λ i :t ovat alkuperäisen kerroinmatriisin A ominaisarvot. Esim Tarkastellaan funktiota (huomaa A-matriisin symmetrisointi) q(x 1, x 2 ) = 4x x 1 x 2 + 7x2 2 = ( ) ( ) ( ) 4 2 x1 x 1 x x 2 Nyt diagonalisoivaksi matriisiksi saadaan U = 1 ( ) 2 1, missä etutekijä takaa sarakkeiden normituksen, ja pääakselimuodoksi Q(y 1, y 2 ) = ( ) ( ) ( ) 3 0 y1 y 1 y 2 = 3y y y 2

63 M Neliömuodot ja tasokäyrät 63/ Neliömuodot ja tasokäyrät Esim Jatketaan esimerkkiä edellä kirjoittamalla q(x 1, x 2 ) = 24, mikä määrittelee (x 1, x 2 )-tasossa käyrän, jonka yhtälö on 4x x 1 x 2 + 7x 2 2 = 24. ( ) Edellisen esimerkin perusteella tämän pääakselimuoto on 3y y 2 2 = 24 y 2 1 (2 2) 2 + y 2 2 ( 3) 2 = 1, mikä on (y 1, y 2 )-tason ellipsin yhtälö. Tämä olisi vaikea nähdä alkuperäisestä yhtälöstä ( ): vinossa oleva ellipsi (x 1, x 2 )-tasossa. Yleinen toisen asteen tasokäyrä (kartioleikkaus) on muotoa q(x 1, x 2 ) = Ax Bx 1 x 2 + Cx Dx 1 + Ex 2 + F = 0. (122) Kolme ensimmäistä termiä ovat neliömuoto, jonka pääakseliesitys on diagonaalinen. Ne määräävät koordinaatiston kierron. Termit Dx 1 ja Ex 2 muunnetaan uusiin koordinaatteihin samalla kierrolla.

64 M Neliömuodot ja tasokäyrät 64/76 Yhtälön (122) mahdollinen ratkaisu on (yksi piste, suora tai) yksi neljästä standardikartioleikkauksesta: 1) Ympyrä (säde r): 2) Ellipsi (puoliakselit a ja b): y y 2 2 = r 2 y 2 1 a 2 + y 2 2 b 2 = 1 3) Hyperbeli (puoliakselien pituudet c ja d): y 2 1 c 2 y 2 2 d 2 = 1 tai y 2 2 c 2 y 2 1 d 2 = 1 4) Paraabeli (etäisyys kärjestä polttopisteeseen e): y 2 1 = ey 2 tai y 2 2 = ey 1 Huom Tapauksessa n = 3 neliömuodot johtavat toisen asteen pintoihin (joskus yhdeksi pisteeksi, suoraksi tai tasoksi).

65 M Kompleksinen sisätuloavaruus 65/76 8. Kompleksiset vektoriavaruudet 8.1. Kompleksinen sisätuloavaruus Olkoon V vektoriavaruus siten, että luvun 5.1 ehdot täyttyvät, mutta skalaarilla kertominen tapahtuu kompleksiluvulla. Kyseessä on tällöin kompleksinen vektoriavaruus. Siitä saadaan kompleksinen sisätuloavaruus varustamalla se sisätulolla (v 1, v 2 ) C, jolle kaikilla v, v i V ja c i C on: (v 1, v 2 ) = (v 2, v 1 ) (123) (c 1 v 1 + c 2 v 2, v 3 ) = c 1 (v 1, v 3 ) + c 2 (v 2, v 3 ) (124) (v, v) 0 ja: (v, v) = 0 v = 0. (125) Nytkin sanotaan v 1 :n ja v 2 :n olevan ortogonaaliset, jos (v 1, v 2 )=0. Lisäksi sisätulon ominaisuuksista (123,124) seuraa, että c C (v 1, cv 2 ) = (cv 2, v 1 ) = [c (v 2, v 1 )] = c(v 2, v 1 ) = c(v 1, v 2 ). (126)

66 M Kompleksinen sisätuloavaruus 66/76 Se on 1. argumentin suhteen antilineaarinen: (cv 1, v 2 )=c (v 1, v 2 ) ja 2. argumentin suhteen lineaarinen: (v 1, cv 2 ) = c(v 1, v 2 ). Sisätulo kokonaisuutena on seskilineaarinen. Olkoon A kompleksialkioinen n n matriisi. Määritelmä: Matriisin A Hermiten konjugaatti 16 A on matriisi A = (A ) T (127) Avaruus, jossa liikumme, on C n. Sen mielivaltaisille vektoreille a, b sisätuloksi kelpaa eli ehdot ( ) toteuttaa (a, b) = a b = ( a1 a2 an ) b 2. = a 1b 1 +a2b anb n, b jolloin vektorin a normi on n (128) a = (a, a) = a a a n 2 0. (129) 16 Terminologiaa: Tätä(kin) kutsutaan usein adjungaatiksi. b 1

67 M Kompleksialkioisia matriiseja 67/ Kompleksialkioisia matriiseja Olkoon A = (a ij ), a ij C, kompleksialkioinen matriisi. Tällöin A = R + is, R = (r ij ), S = (s ij ), (130) missä r ij, s ij R. Matriisin A kompleksikonjugaatti on A = R is. (131) Kompleksialkioisille matriiseille A ja B pätee (c C) (AB) = B A (132) (A + B) = A + B (133) (ca) = c A (134) (A ) = A (135) I = I (136) Neliömatriisille eli n n matriisille A, jos sen käänteismatriisi on olemassa, pätee (A 1 ) = (A ) 1 (137)

68 M Kompleksialkioisia matriiseja 68/76 Olkoon A n n neliömatriisi. Tällöin matriisi A on hermiittinen, jos A = A. matriisi A on antihermiitttinen, jos A = A. matriisi A on unitaarinen, jos A = A 1. Unitaariselle matriisille A on Hermiten konjugaatin determinantti on AA = I = A A. (138) det(a ) = [det(a)]. (139) Huom Nyt nähdään vastaavuudet aiempaan (vrt. 6.4): Reaalialkioiselle matriisille on A = A, joten reaalinen......hermiittinen matriisi on symmetrinen eli A T = A....antihermiittinen matriisi on antisymmetrinen eli A T = A....unitaarinen matriisi on ortogonaalinen A T = A 1.

69 M Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia 69/ Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia Seuraavassa kaikki matriisit ovat n n neliömatriiseja. Lause Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset: λ i R. Lause Lause Antihermiittisen matriisin ominaisarvot ovat joko nollia tai täysin imaginaarisia: λ i = ±bi. Unitaarisen matriisin ominaisarvot ovat joko reaalisia tai kompleksisia mutta aina ykkösen pituisia: λ i = 1 i. Olkoon A sitten unitaarinen. Tällöin pätevät Lauseet: 1) A säilyttää sisätulon eli u = Aa ja v = Ab (u, v) = (a, b) u v = a b. Siten A säilyttää myös normin a. 2) Olkoon a 1, a 2,..., a n matriisin A sarakevektorit. A on unitaarinen (a i, a j ) = δ ij. Sama pätee rivivektoreille. 3) A:n determinantti on det(a) = 1.

70 M Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia 70/76 Jos B on mielivaltainen n n matriisi, niin B = H + A, (140) missä H on hermiittinen ja A on antihermiittinen ja Lisäksi voidaan osoittaa, että: Lause Lause H = 1 2 (B + B ) A = 1 2 (B B ). (141) Hermiittisen, antihermiittisen ja unitaarisen n n matriisin ominaisvektoreista x i, i = 1, 2,..., n voidaan muodostaa C n :n ortonormitettu kanta, jolle (x i, x j ) = δ ij. Hermiittisen ja antihermiittisen matriisin eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. Nyt spektraalilause saa muodon (vrt. sivu 60) Lause A:n diagonalisoi unitaarinen matriisi U AA = A A A = A.

71 M Hermiittiset neliömuodot 71/ Hermiittiset neliömuodot Määritelmä Funktio q : C n C on hermiittinen neliömuoto, jos q(x 1, x 2,..., x n ) = x A x = xi x 2 a ij x j, x = ij., (142) missä kerroinmatriisi A on hermiittinen n n neliömatriisi. Similariteettimuunnoksen (U on unitaarimatriisi: U 1 = U ) D = U 1 AU = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) tuottamat uudet koordinaatit ovat y = U x, x = Uy, joten q(x 1, x 2,..., x n ) = x Ax = (Uy) AUy = y U AUy = y Dy = λ 1 y λ 2 y λ n y n 2. x 1 x n

72 M Hermiittiset neliömuodot 72/76 Täten olemme saaneet hermiittisen neliömuodon pääakseliesityksen eli kanonisen muodon n n q(x 1, x 2,..., x n ) = xi a ij x j = i=1 j=1 n λ i y i 2 Q(y 1, y 2,..., y n ). (143) i=1 missä λ i :t ovat alkuperäisen kerroinmatriisin A ominaisarvot. Pääakselimuodosta, muistaen hermiittisen matriisin ominaisarvot reaalisiksi, seuraa, että q(x 1, x 2,..., x n ) R. Huom Neliömuodot ovat hyvä esimerkki siitä, että ominaisarvot ja ominaisvektorit tavoittavat jotain A:lle ja sitä vastaavalle lineaarikuvaukselle ominaista/karakteristista. Huom Hermiittisten matriisien ominaisarvojen reaalisuus on oleellista kvanttimekaniikassa: hermiittisiä operaattoreita vastaavat fysikaaliset observaabelit ovat reaalisia.