MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

Transkriptio

1 MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen vuodelta 215. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

2 Newtonin menetelmä Newtonin menetelmällä voidaan löytää (vähintäänkin derivoituvan) funktion f : R R nollakohta eli yhtälön f (x) = ratkaisu. Silloin kun menetelmä toimii, se suppenee hyvin nopeasti. Silloin kun ei, niin... Lähdetään liikkeelle jostakin pisteestä x, joka on alkuarvaus yhtälön ratkaisulle. Arvioidaan funktiota f sen tangenttisuoralla pisteessä, eli funktiolla l(x) = f (x ) + f (x )(x x ). Ratkaistaan yhtälö l(x 1 ) =. Toistetaan edellinen käyttäen alkuarvauksena lukua x 1 luvun x : sijasta j.n.e. Tämä menettely johtaa algoritmiin, jossa iteraatioaskeleet saadaan kaavasta x n+1 = x n f (x n) f n =, 1, 2,.... (x n ) Suppeneminen ja löytyvä nollakohta riippuvat alkuarvauksesta x. Piirrä kuva iteraation etenemisestä! Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

3 Esimerkki 1 Etsitään likiarvo luvulle 5. Koska 2 = 4 < 5 < 9 = 3, niin valitaan x = 2 läheltä ratkaisua. Tässä f (x) = x 2 5, joten f (x) = 2x. Saadaan x 1 = x f (2) f (2) = = 9 4. x 2 = x 1 f (9/4) f (9/4) = /16 5 = / Huomaa, että , eli jo kahdella iteraatiolla saatiin varsin hyvä likiarvo. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

4 Esimerkki 2 Etsitään funktion f (x) = x 3 x + 1 nollakohdat. Piirtämällä kuvaaja nähdään, että funktiolla on vain yksi nollakohta jossain pisteiden 2 ja 1 välissä. Asetetaan x = 1. Koska f (x) = 3x 2 1 iteratioksi saadaan Saadaan x n+1 = x n x3 n x n + 1 3x 2 n 1. x = 1, x 1 = 1.5, x 2 = , x 3 = x 4 = , x 5 = ,... Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

5 Newtonin menetelmä monen muuttujan tapauksessa Newtonin menetelmä toimii myös funktion f : R n R n tapauksessa. Tällöin iteraatiokaavassa oleva derivaatta pitää korvata Jacobin matriisilla Iteraatioaskeleeksi saadaan f(x) =. f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1 f m x 1 x 2 x 2. f m x 2 f 1 x n f 2 x n. f m x n. x n+1 = x n f(x n ) 1 f(x n ), n =, 1, 2,..., missä f(x n ) 1 on f(x n ):n käänteismatriisi. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

6 Esimerkki 3 Etsitään f(x) =, kun x = (1,, 1) ja f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 3)i + (x 2 + y 2 z 1)j + (x + y + z 3)k. Hahmottele kuvaa! Saadaan Voidaan laskea 2x 2y 2z f(x, y, z) = 2x 2y x 1 = (3/2, 1/2, 1), x 2 = (5/4, 3/4, 1) ja x 2 = (9/8, 7/8, 1) mikä on terveellisintä tehdä tietokoneella. Nähdään, että iteraatiot konvergoivat kohti pistettä (1, 1, 1), joka on tehtävän tarkka (ja kaikesta päätellen ainoa) ratkaisu. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

7 Tasointegraali Olkoon R 2 joukko tasossa ja f : R skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali f (x, y) da. Integraalin arvo on pinnan z = f (x, y) ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus. Tutkitaan aluksi erikoistapausta = [a, b] [c, d]: Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

8 Yhden muuttujan tapaus Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona Formaalisti ˆ b a f (x) dx = lim n n f (x i ) x, missä a = x, x 1,..., x n = b on välin [a, b] tasavälinen jako ja x on jakovälin pituus. i=1 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

9 Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, R 2 ) Jaetaan tason osajoukko = [a, b] [c, d] tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on n jakopistettä: Nyt voidaan määritellä n f (x, y) da = lim n i=1 j=1 n f (x i, y j ) x y, missä x ja y vastaavat jakovälien pituutta x ja y-suunnassa: x = b a n, y = d c. n Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

10 Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali R 3 ) Tason tapauksessa edellä määriteltyä integraalia kutsutaan tasointegraaliksi. Samaan tapaan voidaan määritellä avaruusintegraali: f (x, y, y) dv = lim n n n i=1 j=1 k=1 n f (x i, y j, z k ) x y z, kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R 2 ja f : R. Tässä x = b 1 a 1, y = b 2 a 2 n n ja z = b 3 a 3. n Vieläkin useamman muuttujan funktioita f : R n R, missä n 2, voi integroida samaan tapaan. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

11 Huomautuksia Yhden muuttajan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin peruslause: f (x) = d dx ˆ x c f (t) dt, kun c, x [a, b] ja f : [a, b] R on jatkuva funktio. Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Valitettavasti Analyysin peruslauseelle ei ole yksikäsitteistä, selkeää vastinetta usean muuttujan tapauksessa. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

12 Moninkertainen integraali Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakaide) f (x, y) da = ˆ d ˆ b c a f (x, y) dx dy, kun = [a, b] [c, d]. Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) f (x, y, z) dv = ˆ b3 ˆ b2 ˆ b1 kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. a 3 a 2 a 1 f (x, y, z) dx dy dz, Mikäli funktio f : R n R (n = 2, 3,...) on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä integraalin arvon kannalta. Laskujen helppouden kannalta väliä kuitenkin on. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

13 Esimerkki 4 Olkoon f (x, y) = xy 2. Lasketaan f (x, y) da, missä = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}. Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan xy 2 da = xy 2 dx dy = = [ x 2 y 2 2 y 2 2 dy = ] 1 dy x= ] 1 [ y 3 6 y= = 1 6. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

14 Esimerkki 5 Olkoon f (x, y, z) = xye z. Lasketaan f (x, y, z) dv, missä = [, 2] [, 1] [ 1, 1]. Kirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan ˆ 2 xye z dv = xye z dx dy dz = 1 = x 2 ye z x= y 2 e z 1 1 dy dz = y= dz = 1 1 = e z 1 = e z= 1 e 1. e z dz 2ye z dy dz Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

15 Integrointi yleisemmissä alueissa 1/2 Tutkitaan funktiota f : R, joka on määritelty tason (tai avaruuden) osajoukossa. Tähän asti on oletettu, että on suorakaide (vast. suorakulmainen särmiö). Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota ˆ, jolle ˆ. Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla siisti (esim. riittää, että reuna on paloittain sileä) Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

16 Integrointi yleisemmissä alueissa 2/2 Määritellään funktio ˆf : ˆ R seuraavasti: { f (x, y), kun (x, y), ˆf (x, y) =, kun (x, y) ˆ \. Nyt voidaan määritellä f (x, y) da := ˆ ˆf (x, y) da. Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: f (x, y, z) dv := ˆf (x, y, z) dv, kun ˆ on suorakulmainen särmiö ja ˆ. ˆ Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

17 Esimerkki 6 1/2 Olkoon = {(x, y) R 2 : < x < 1, < y < x}. Lasketaan funktion f (x, y) = xy integraali yli alueen = xy 2 2 xy da = x y= dx = ( ˆ x x 3 2 ) xy dy dx dx = x4 8 1 x= = 1 8. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

18 Esimerkki 6 2/2 Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: ( ) xy da = xy dx dy = = x 2 y 2 1 x=y ] 1 [ y 2 4 y 4 8 dy = y= y y 2 y 3 2 dy = = 1 8. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

19 Esimerkki 7 Lasketaan funktion f (x, y) = e x2 e x2 da = ( ˆ x Sijoituksella t = x 2, dt = 2x dx saadaan 1 2 e t dt = 1 2 et 1 integraali Esimerkin 6 alueessa. ) e x2 dy dx = t= = e Huom. Integroimisjärjestyksellä on väliä. Integraali ( ) e x2 dx dy on hyvin vaikea laskea. y xe x2 dx Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19