Yleisiä integroimissääntöjä

Transkriptio

1 INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla. Mutta: Oli keino mikä hyvänsä, aina voi tarkistaa menikö oikein, nimittäin derivoidaan saatu integraalifunktio F. Derivoinnin avulla voidaan osoittaa seuraavat integroimissäännöt: 1. k d = k + C, vakion k integraali. Huom d = 1 d Esim. න π π Suoran yhtälö, kulmakerroin d = + C kk. vastaa suoran derivaattaa. π 17, F F 2. k g d = k g d = k G + C = k G + ถk C =vakio = k G + C, vakiotekijäin siirto ohi int.merkin. Esim. න 5 3 d = 5 න 3 1 d = C = C. 3. f + g d = f d + g d = F + G + C, summan integraali on yhteenlaskettavien, f :n ja g :n, integraalien summa. MUTTA!!! Tulon integraali ei ole integraalien tulo. Kohdat 2. ja 3. yhdistäen saadaan: polynomifunktio sekä alkeisfunktioista muodostettu summafunktio voidaan integroida termeittäin. 4. 4f + 1 g 17h k m d = 5 4 f d g d 17 h d k d m d. Esim. න e 3 d = e 3 + C. 1

2 Tarkistus/todistus Derivoidaan D e 3 + C = e 3, OK 5.Potenssifunktion f: f = a, kun a N, a 1 integroimiskaava: න a d = 1 a + 1 a+1 + C, a N, a 1 ja kun a = 1, niin න 1 d = න 1 d = ln + C, 0. Tarkistus/todistus Derivoi tai katso kirja. Differentiaali d voidaan merkitä myös osoittajaan teki- Huomautus jäksi. න 1 d d = න, f න f d = න f d f Huomautus Muista juurilausekkeiden laskumenetelmä: muutetaan murtopotenssimuotoon tehdään temput (esim. sievennykset tai integrointi) palataan juurimuotoon. Esimerkki න d = 5 න 3 4 d = 5 න d = = = = Tarkastellaan vielä tapausta 1 d = ln + C. Aiemmin: integraalifunktio määriteltiin jollakin välillä I Nyt esimerkiksi funktio f: f = 1 ei ole määritelty kohdassa = 0. Täsmällisesti, pitäisi siis integroida erikseen väleillä, 0 ja 0,. Kun > 0: න 1 >0 d = ln + C ฏ= ln + C. 2

3 Kun < 0: න 1 <0 d = ln + D ฏ= ln + D. Huomautus Vakioiden C ja D ei tarvitse olla samoja (ja harvoin ne ovatkin). Esimerkiksi, jos on annettu alkuehto F e = 6, niin tällöin F e = ln e + C = 6 C = 5, mutta D on vapaa. Lisäksi vakioita voi merkitä joko C, D, E, jne. tai C 1, C 2, C 3, jne. Tapana on pitää luvallisena esitystä න 1 d = ln + C, 0 ja vakion C arvot valitaan väleillä, 0 ja 0, toisistaan riippumattomalla tavalla. Edellä käyty tarkastelu ei vain 1 :lle, vaan kaikille funktioille, joilla nimittäjän nollakohta, kuten 1 4, 1, 1, jne Lopuksi: Milloin funktiolla f sitten ylipäänsä on integraalifunktio? Onko integraalifunktiota aina edes olemassa? Lause, integraalifunktion F jatkuvuus ja olemassaolo: Jokaisella jatkuvalla funktiolla f on integraalifunktio F. Tämä integraalifunktio on aina jatkuva. Todistus Eka lause vaikeahko sivuutetaan. Toinen seuraa siitä, että koska määritelmän mukaan F = f, niin tällöin F on myös jatkuva. Huomautus Myös epäjatkuvalla funktiolla f voi olla integraalifunktio, tosin nämä ovat harvinaisia tapauksia katso moniste, jossa tarkastellaan funktiota (myöhemmin, paloittaisen funktion integraali) f: f = 2 sin 1, kun 0 0, kun = 0. Läheskään aina ei osata määrittää jatkuvienkaan funktioiden integraalifunktioita ns. alkeisfunktioiden avulla. Esimerkiksi, jos f on muotoa e 2 tai 1 + 3, niin mitä on F? 3

4 Esimerkkejä a) න d = න 1 2 d = න( 1 2 1) d = C. b) Käyrän pisteeseen, y piirretyn tangentin kulmakerroin on Muodosta käyrän yhtälö, kun lisäksi tiedetään käyrän kulkevan pisteen 3, 0 kautta. Tangentin kk. pisteessä, y on 2 + 1, eli derivaatta pisteessä, y on Näin ollen kysytyn käyrän yhtälö saadaan integroimalla derivaattaa, siis F = න f d = න d = C. Lisäksi tiedetään, että F 3 = 0, eli F 3 = C = 6 + C = 0 C = 6. Käyrän yhtälö on y = y = Esimerkki Osoita, että funktio f: f = 2 sin 1, kun 0 on kaikkialla derivoituva, mutta f on epäjatkuva kohdassa = 0. 0, kun = 0 Derivoituvuus kaikkialla: Kun 0: Tällöin suora derivointi antaa D 2 sin 1 = 2 sin cos 1 1 = 2 sin 1 2 cos 1, eli derivaatta f on olemassa. Kun = 0: Määritelmä antaa =0 f f ฑ 0 lim 0 0 1,1 2 sin 1 = lim = lim sin ฑ1 0 0 = 0, koska sini-funktio on rajoitettu. Eli f on olemassa myös, kun = 0. Derivaatan epäjatkuvuus kohdassa = 0: Osoitetaan, että raja-arvo lim 0 f = lim 2 sin 1 0 cos 1 ei ole olemassa. 4

5 Tehdään vastaoletus, että on olemassa. Koska f :n lausekkeen perusteella cos 1 = 2 sin 1 f kaikilla 0, niin saadaan lim cos 1 0 = lim 2 sin 1 0 f = lim 2 sin 1 0 lim 0 f = 0 lim 0 f = lim 0 f. Tämä on ristiriita, sillä edellä käydyn nojalla lim 0 f = 0, eli on olemassa, mutta raja-arvoa lim cos 1 ei ole olemassa. 0 HUOM! Integraalifunktion määritelmässä riittää, että F on derivoituva ja F = f kaikilla R/I.Näin ollen F :n jatkuvuutta ei vaadita. Sen sijaan F on aina jatkuva (koska on derivoituva). Yllä olevassa esimerkissä valitse F = f ja F = f. 5

6 Huomaa, kuinka funktio f heilahtelee käyrien y = 2 ja y = 2 välissä. 6