5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)
|
|
- Hannu Lehtonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä f(x) = c + c 1 e ix + c 1 e ix + c 2 e 2ix +. Tästä nousee useita tärkeitä kysymyksiä, esimerkiksi suppeneeko sarja kohti funktiota f ja missä mielessä suppeneminen tapahtuisi? Lisäksi voidaan kysyä, määrääkö Fourier-sarja funktion f yksikäsitteisesti ja miten kertoimet c n kuvaavat funktion f ominaisuuksia? Nämä kysymykset ovat olleet keskeisiä (koko) analyysin kehityksessä. Tutkimme seuraavaksi, mitä voidaan Hilbertin avaruus-metodeilla tässä tapauksessa saada aikaan. Esitarkasteluja. Olkoon L 2 = L 2 (, ) ja f L 2. Kun n Z, on f:n n:s Fourier kerroin mukavinta määritellä kaavalla Nimittäin, jos f(x) = N n= N f(n) = 1 c n e inx = N n= N eli f on trigonometrinen polynomi, tällöin c n = 1 f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), f(x) e inx dx = f(n) kuten summauksen ja integroinnin järjestyksen vaihtamalla helposti huomaa. Fourier-kertoimet liittyvät tietysti myös ortonormaaliin jonoon (5.1) e n (x) = 1 e inx, n Z. Nimittäin f(n) = 1 f(x) e inx dx = 1 ( f e n ) Tässä sisätulo ( f g ) = f(x) g(x) dx on otettu avaruudessa L2 (,). Jos f L 2 (tai jos f L p (, ), 1 p < ), sen n:s Fourier-osasumma on s n (x) s n (f; x) := n f(k) e ikx, x [,], Huomaa, että summafunktio s n (f; x) on pisteittäin määritelty, koska funktio e ikx on jatkuva kaikilla k Z.
2 74 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5.2. Lemma. Fourier-osasummalle s n on integraaliesitys missä s n (f; x) = 1 D n (x) = n on n:s Dirichlet n ydin, kun n N. f(t) D n (x t) dt, e ikx = sin (( n sin (x/2) ) x ) Todistus. Fourier-kertoimen f(n) määritelmän nojalla n n ( ) s n (f; x) = ˆf(k) e ikx = f(t) e ikt dt kun merkitään = 1 ( n f(t) D n (x) = n e ik(x t) ) dt = 1 e ikx = e inx 2n k= ( e ix )k. e ikx f(t) D n (x t) dt, Soveltamalla geometrisen summan kaavaa saadaan ( ) 1 e D n (x) = e inx i(2n+1)x = e inx e i(n+1)x, 1 e ix 1 e ix joten kertomalla edellinen identiteetti puolittain termillä e ix/2 (e ix 1), saadaan ( e ix/2 e ix/2) D n (x) = e i(n+ 1 2)x e i(n+ 1 2)x. Eulerin kaava e iz e iz = 2i sin z antaa lopuksi 2i sin(x/2)d n (x) = 2i sin ( (n )x) Lemma. Olkoon Tällöin i) kaikilla n N 1 K n (x) = 1 n + 1 K n (x) dx = n D k (x). k= D n (x) dx = 1 ii) funktio K n (x) kaikilla x [, ]. Lisäksi kun < δ < x < δ. K n (x) 2 (n + 1)(1 cos δ), ja
3 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 75 Huomautus. Aritmeettinen keskiarvo K n on n:s Fejérin ydin. Ominaisuus (ii) kertoo, että Fejérin ytimet K n ovat positiivisia ja K n tasaisesti, kun n, kunhan x ei ole lähellä päätepisteitä tai. Dirichlet ytimillä D n ei ole näitä ominaisuuksia. Tästä syystä Fourier-sarjojen pisteittäisen suppenemisen teoria on vaikeaa! Todistus. i) Koska on 1 e int dt = δ n,, 1 D n (x) dx = n 1 e ikx dx = 1 kaikilla n N. Siispä sama väite pitää paikkaansa Dirichlet n ytimien aritmeettiselle keskiarvolle K n. ii) Edellä osoitimme, että (e ix 1)D n (x) = e i(n+1)x e inx. Tämän vuoksi (n + 1)K n (x)(e ix 1)(e ix 1) = (e ix 1) n ( e i(k+1)x e ikx). Yhtälön oikean puolen summa on kaksi geometrista summaa, joten edelleen hieman sieventämällä saadaan (n + 1)K n (x)(e ix 1)(e ix 1) = e i(n+1)x + 1 e i(n+1)x + 1 k= = 2 2 cos ((n + 1)x). Koska (e ix 1) (e ix 1) = 2 (1 cos x), saamme lopuksi K n (x) = 1 cos ((n + 1)x) (n + 1)(1 cos x) Huomaa, että koska cos(t) 1 kaikilla t, Fejérin ydin on tosiaankin positiivinen. Edelleen, Fejérin ytimelle löydetystä esityksestä seuraa että K n (x) kun < δ < x < δ <. 2 (n + 1)(1 cos δ)
4 76 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI y = D 8 (x) 8 y = K 8 (x) Kuva 8. Dirichlet n ja Fejérin ytimet (n = 8) Seuraavaksi tutkimme Fejérin ytimien käyttäytymistä konvoluutioissa Lause. Olkoon f : [, ] C jatkuva, f() = f(), sekä K n f(x) := 1 kun x [, ] ja n N. Silloin K n f f = eli K n f(x) f(x) tasaisesti, kun n. f(t) K n (x t) dt sup K n f(x) f(x), x [,] Todistus. (vrt Reaalianalyysi I) Oletuksen nojalla f on tasaisesti jatkuva ja se voidaan jatkaa -periodisena koko reaalilukujen joukkoon R. Myös K n on periodinen ja jatkuva, joten muuttujanvaihtoa u = x t soveltamalla saadaan K n f(x) = 1 = 1 f(t) K n (x t) dt u=x t = f(x t) K n (t) dt 1 x x ( = f K n (x)) f(x u) K n (u) du Olkoon ε > annettu. Koska f on tasaisesti jatkuva, niin löytyy sellainen δ >, että f(x u) f(x) < ε 2 kaikilla u < δ ja x [, ]. Merkitään M = sup f(u) <. u (,) Lemman 5.3 kohdan ii) nojalla on olemassa sellainen n N, että K n (u) < ε 4M,
5 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 77 kun δ u δ ja n n. Lemman 5.3 kohdan ii) ja konvoluutiokaavan K n f = f K n avulla saadaan nyt K n f(x) f(x) = 1 (f(x u) f(x)) K n (u) du 1 = δ f(x u) f(x) K n (u) du +... } δ {{ } =I 1 δ +... δ } {{ } =I 2 Käsittelemme erikseen integroinnit yli edellä määrättyjen välien. Nyt Lemman 5.3 kohdan i) ja vakion δ määritelmän nojalla nojalla δ δ f(x t) f(x) K n (t) dt ε 2 δ δ K n (t) dt < ε 2. Koska f ja K n ovat -periodisia, niin tästä seuraa, että I 1 ε/2. Vielä tulee käsitellä termi I 2. Nyt 1 δ δ f(x t) f(x) K n (t) dt ( ) 2 f(x) K n (x) 2M sup [,] sup [ δ, δ] ε 4M = ε 2. Siispä jokaisella x [, ] on voimassa K n f(x) f(x) I 1 +I 2 < ε + ε = ε, 2 2 joten väite seuraa. Huomautus. Lemmojen 5.2 ja 5.3 sekä integraalin lineaarisuuden nojalla ( 1 n ) K n f(x) = D k f(x) = 1 n D k f(x) = 1 n s k (f; x) n + 1 n + 1 n + 1 k= kun x [, ] ja n N. Lause 5.4 tunnetaan Fejérin lauseen nimellä. Lauseen 5.4 perusteella jatkuvan -periodisen funktion f Fourier-osasummien aritmeettinen keskiarvo suppenee tasaisesti kohti f:ää välillä [, ] ja siten myös pisteittäin kaikilla x [, ]. Seurauksena tästä saadaan tärkeä yksikäsitteisyysominaisuus Seuraus. Jos f C (, ) on -periodinen ja f(k) = kaikilla k Z, niin f. Todistus. Jos f(k) = kaikilla k Z, niin s n (f; x) = f(k) e ikx = kaikilla n N. Lauseen 5.4 jälkeisen huomautuksen nojalla f(x) = lim K n f(x) = kaikilla x [, ]. k= k=
6 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siis jatkuvien funktioiden tapauksessa Fourier-kertoimet määräävät funktion eli jos f ja g ovat jatkuvia ja -periodisia, niin f(k) = ĝ(k) kaikilla k Z = f = g. Todistamme seuraavaksi keskeisen approksimaatiotuloksen L p -funktioille. 5 Tämä tulos kertoo sen, että sileät funktiot ovat tiheässä avaruudessa L p [, ], kun p Lause. Olkoon f L p [, ], kun 1 p <, ja ε >. Tällöin on olemassa -periodinen C -funktio g, jolle (A) f g p = ( f(x) g(x) p dx) 1 p < ε. Todistus. Havaitaan, että K n g on C -funktio, sillä se on Lauseen 5.4 jälkeisen huomautuksen nojalla äärellinen summa trigonometrisistä funktioista, jotka ovat C -funktioita. Lauseen 5.4 nojalla riittää siis löytää jatkuva funktio g, jolle (A) on voimassa, sillä missä g K n g p = f K n g p f g p + g K n g p, ( g(x) K n g(x) dx kun n. Etsitään haluttu jatkuva funktio g asteittain : ) 1 p c g K n g, 1.) Olkoon f = χ F suljetun joukon F [,] karakteristinen funktio. Asetetaan 1 g n (x) =, kun x [, ] ja n N. 1 + n dist(x, F ) Etäisyysfunktio x dist(x, F ) on jatkuva (tarkista!), joten g n : [, ] R on jatkuva kaikilla n N. Lisäksi g n (x) = 1 kaikilla n N, jos x F ja g n (x), kun x / F ja n, sillä tällöin dist(x, F )) >. Siis g n χ F pisteittäin, kun n. Koska g n (x) 1 kaikilla x [, ] ja n N, niin Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen nojalla, lim g n χ n F p p = lim = n g n (x) χ F (x) p dx lim g n(x) χ n F (x) p dx =. Lisäksi muuttamalla funktiota g n pienessä välissä [, 1 n] voi olettaa että g n () = g n (). 5 Vertaa Reaalianalyysi I
7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 79 tähän tulee kuva!! 2.) Olkoon f = χ A avoimen joukon A [, ] karakteristinen funktio. Tämä seuraa kohdasta 1.), koska komplementti A c = [, ] \ A on suljettu ja χ A = 1 χ A c. 3.) Olkoon f = χ A, kun A [, ] Lebesgue-mitallinen joukko. Tällöin Lebesguen mitan määritelmä nojalla löytyy sellainen jono avoimia joukkoja G n [, ], että G n A kaikilla n N ja lim µ(g n \ A) =, n kun µ on Lebesguen mitta. Olkoon ε >. Valitaan n N niin suureksi, että µ(g n \ A) < (ε/2) p. Edelleen kohdan 2.) nojalla löytyy sellainen jatkuva -periodinen funktio g, jolle g χ Gn p < ε. Siispä 2 g χ A p g χ Gn p + χ Gn χ A p ε 2 + µ(g n \ A) 1 ε p < 2 + ε 2 = ε 4.) Olkoon f L p (, ) mielivaltainen. Tällöin Lebesguen integraalin määritelmä nojalla löytyy sellainen yksinkertainen funktio n g = a j χ Aj, j=1 että f g p < ε. Soveltamalla kohtaa 3.) kuhunkin karakteristiseen funktioon χ Aj löydetään sellainen jatkuvat -periodiset funktiot g j, että χ Aj g j p < ε nm, missä M = max{ a 1,..., a n }. Siispä kolmioepäyhtälön nojalla n p n f a j g j f g p + a j g j χ Aj p j=1 < ε + j=1 n ε a j nm 2ε. j=1 Koska a j g j on myös -periodinen jatkuva funktio, väite seuraa.
8 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5.7. Huomautus. 1) Lauseen 5.6 nojalla sileiden C -funktioiden muodostama aliavaruus on tiheä myös avaruudessa L p (a, b), kun a < b ja 1 p <, mikä seuraa lineaarisesta muuttujanvaihdosta [a, b] [, ]. 2) Lause 5.6 ei päde tapauksessa p = (HT). 3) Jos f L p (R), kun 1 p < ja ε >, niin on olemassa sellainen M >, että f(x) p dx < ε, J M kun J M = { x > M}. Siispä vektorialiavaruus C (R) L p (R) on tiheä avaruudessa L p (R), kun 1 p <. 4) Jos R on mitallinen, µ() > ja f L p (), niin asetetaan f = f χ eli f(x), x, f(x) =, x R \, jolloin f L p (R). Tämän avulla voidaan päätellä, että C on tiheä avaruudessa L p (), kun 1 p <. 5) Voidaan myös osoittaa, että p-integroituvat C (R n ) funktiot muodostavat tiheän aliavaruuden avaruudessa L p (R n ) (1 p < ), katso Reaalianalyysi I, luku 2.4. (n-ulotteinen tapaus on vähän hankalampi, koska käytimme edellä Fejérin ytimien K n = 1 n+1 n k= D k erikoisominaisuuksia). Saadaan yksikäsitteisyys myös L 2 -funktioiden Fourier-sarjoille: 5.8. Seuraus. Jos f L 2 (, ) ja f(k) = 1 niin f =. Erityisesti, jos f(t) e ikt dt = kaikilla k Z, e n (x) = 1 e inx, x [, ], n Z, niin (e n ) n on ortonormaali kanta avaruudessa L 2. Todistus. Olkoon ε > mielivaltainen. Lauseen 5.6 nojalla on olemassa sellainen jatkuva g C(, ), että g on -periodinen ja f g 2 < ε. Lauseen 5.4 sivulla 76 mukaan konvoluutio K n g g tasaisesti välillä [, ], kun n, joten g K n g 2 1 g K n g < ε
9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 81 jollakin n N. Sivun 77 huomautuksen nojalla n K n g = a k e k (trigonometrinen polynomi), missä e k (x) = 1 e ikx. Koska (e k ) k ortonormaali jono, niin Huomautuksen 4.35 sivulla 66 nojalla n 2 n 2 f ( f e k ) e k f a k e k. Tästä kolmioepäyhtälön ja edellisten arvioiden nojalla seuraa, että n 2 n 2 f ( f e k ) e k f g 2 + g a k e k < 2ε. Oletuksen nojalla ( f e k ) = f(k) = kaikilla k Z, joten f 2 < 2ε. Koska ε > mielivaltainen, niin f =. Lauseen 4.39 sivulla 67 ehdon b ) nojalla jono (e n ) n on Hilbertin kanta avaruudessa L 2 (, ). Yhteenveto (Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta) Kokoamme lyhyesti saamamme tulokset Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta. 1.) Jos e n = 1 e inx, n Z, niin (e n ) n on ortonormaali jono avaruudessa L 2. 2.) Jos f L 2 ja f(n) = 1 ( f e n ) = kaikilla n Z, niin f =. (Seuraus 5.8) 3.) Jos f L 2, niin f = n= ( f e n ) e n = n= f(n)e inx, missä sarja suppenee L 2 -mielessä. Konkreettisesti n f(x) f(k)e ikx 2 dx =. lim n (Lause 4.39 sivulla 67 ja Seuraus 5.8) 4.) Parsevalin identiteetin eli Lauseen 4.39 sivulla 67 kohdan e ) nojalla 1 f(x) 2 dx = f(n) 2, kun f L 2, k= koska f(n) = 1 ( f e n ) kaikilla n Z.
10 82 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5.) Kääntäen, jos (λ k ) k l 2 (Z), niin tällöin on olemassa f L 2 (, ), jolle f(k) = λ k kaikilla k Z. Tämä on Riesz Fischerin lause eli Seuraus 4.37 sivulla 67. Pisteittäisen suppenemisen teoriasta esitämme seuraavan sovelluksen, joka toimii esimerkiksi jatkuvasti derivoituville funktioille Lause. Jos f : R R on -periodinen ja toteuttaa Lipschitz-ehdon f(x) f(y) L x y kaikilla x, y R, niin S n (f; x) = n f(k)e ikx f(x), kun n kaikilla x R. Todistus. Jos h L 2, niin Besselin epäyhtälön nojalla kun n. Samoin Valitaan nyt h(t) cos(nt) dt = 1 ( ( h e in ) + ( h e in ) ) 2 = 2 (( h e n ) + ( h e n )), lim n h(t) sin(nt) dt =. (*) h x (t) = f(x t) f(x). sin(t/2) L [, ] L 2 [, ]. Lem- Tällöin Lipschitz-ehdon nojalla funktio h x man 5.2 nojalla S n (f; x) f(x) = 1 = 1 D n (x t)f(t) dt f(x) D n (t)f(x t) dt f(x) = 1 D n (t) (f(x t) f(x)) dt. Toinen identiteeteistä seuraa Lauseen 5.4 sivulla 76 todistuksessa olevasta konvoluutiokaavasta ja viimeinen siitä, että Lemman 5.3 sivulla 74 nojalla Dirichletin ytimen intgraali Dn (t) dt = 1. Koska 1 D n (t) = sin ( (n )t) sin(t/2) = cos(nt) + sin(nt) cos(t/2), sin(t/2)
11 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 83 niin soveltamalla edellisiä identiteettejä yhteen saadaan S n (f; x) f(x) = cos(nt) (f(x t) f(x)) dt h x (t) cos(t/2) sin(nt) dt. Koska kiinteällä x R sekä f(x ) f(x) L 2 että h x (t) cos(t/2) L 2, niin todistuksen alkuosan kahden raja-arvokaavan perusteella lim S n(f; x) f(x) =. n Sobolev-avaruudet Olkoon f C 1 (, ) jatkuvasti derivoituva, f() = f(). Tällöin f (k) = 1 + ik f (t)e ikt dt = 1 / f(t)e ikt dt = ik f(k), f(t)e ikt kaikilla k Z. Joten Parsevalin identiteetin (Lause 4.39 sivulla 67) nojalla (5.1) 1 ( f(t) 2 + f (t) 2 ) dt = k= (1 + k 2 ) f(k) 2. Riesz Fischerin lause (Seuraus 4.37 sivulla 67) vihjaa, että kaava (5.1) voisi olla voimassa yleisemmille funktioille f ja että on olemassa avaruuden L 2 vastine derivoituville funktioille; siis avaruus, joka koostuu funktioista f L 2, joille f L 2. Ongelma. Mikä on derivaatta f, jos f L 2? Tarkastellaan aluksi testifunktioiden avaruutta D(), missä = (a, b) R on avoin väli (voi olla = R). Palautetataan mieleen, että jos ψ : R R on jatkuva, niin on ψ:n kantaja. Asetetaan nyt supp(ψ) := {x R : ψ(x) } D() = { ψ C (R) : supp(ψ) on kompakti }. Huomautus. Jos ψ D(), niin sen derivaatat ψ (k) D() kaikilla k N.
12 84 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Olkoon f C 1 () jatkuvasti derivoituva. Tällöin osittaisintegroinmalla saadaan (5.11) f ϕ dx = fϕ dx kaikilla ϕ D(). Edellisessä identiteetissä ei ole sijoitustermiä, sillä testifunktio ϕ on häviää joukon reunalla. Identiteetin (5.11) avulla voimme samaistaa derivaatan f ja sitä vastaavan lineaarikuvauksen L f : ϕ f(x)ϕ (x) dx, missä ϕ D() ja f C 1 (). Seuraavksi näytämme, että samaistus on järkevä (eli jos tunnemme lineaarikuvauksen L f, niin voimme selvittää funktion f yksikäsitteisesti -mittaista joukkoa vaille) Lemma. Olkoon f C 1 () ja rajoitettu avoin väli. Jos g L 2 () ja g ϕ dx = f ϕ dx kaikilla ϕ D(), niin f (x) = g(x) m.k. x. Todistus. Oletuksen ja identiteetin (5.11) nojalla g ϕ dx = f ϕ dx = eli f ϕ dx, (f g)ϕ dx = ϕ D(). Siis (f g) D() avaruudessa L 2 (). Riittää siis näyttää, että D() = L 2 () normin 2 suhteen, sillä tällöin testifunktioiden ortokomplementti D() =, joten f = g avaruuden L 2 () alkioina. Olkoon = (, 1) (yleinen tapaus = (a, b) voidaan palauttaa tähän lineaarisella muunnoksella). Etsimme kiinteällä < ε < 1 2 funktion η ε C (), jolle pätee 1. kun x, niin η ε (x) 1, 2. nollan ja ykkösen ympäristöissä funktio η ε on identtisesti nolla, eli η ε (x), kun < x < ε tai 1 ε < x < 1, 3. funktio η ε (x) 1, kun 2ε < x < 1 2ε Tämän etsiminen jää harjoitustehtäväksi. Voit käytää apuna tietoa, että e 1/x2, x > h(x) =, x
13 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 85 on C -funktio, vrt. Reaalianalyysi I. Jos f C (), niin η ε f D() ja Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen nojalla f η ε f 2 = 1 η ε (x) 2 f (x) 2 dx, kun ε +. Koska Lauseen 5.6 sivulla 78 nojalla tiedetään, että C () = L 2 (), niin edellisen nojalla myös D() = L 2 (). Huomautus. Lemman 5.12 todistus toimii sellaisenaan vain, jos f L 2 (). Tämä lisärajoitus voidaan helposti kiertää, sillä jos j on kompakti, niin soveltamalla todistusta derivaatan f rajoittumaan kompaktiin joukkoon j nähdään, että f = g m.k x j. Siirtyminen kompakteihin joukkoihin takaa, että jatkuva funktio on neliöintegroituva. Valitsemalla jono kompakteja osajoukkoja 1 2 siten, että = j, niin edellisestä seuraa, että f = g m.k. x Määritelmä. Olkoon = (a, b) avoin väli ja f L 2 (). Funktio g L 2 () on f:n distribuutioderivaatta (eli heikko tai yleistetty derivaatta), jos L g (ϕ) := g ϕ dx = f ϕ dx = L f (ϕ ) kaikilla ϕ D() Huomautus. Jos distribuutioderivaatta g on olemassa, niin g on yksikäsitteinen L 2 -funktiona. Tämä seuraa soveltamalla Lemman 5.12 todistusta. Jos f C 1 (), niin identiteetin (5.11) nojalla g = f tavallisessa mielessä. Jos f:lla on distribuutioderivaatta, niin merkitään g = f Huomautus. Yllä olevien heikkojen derivaattojen tarkastelu johtaa distribuutioihin (eli yleistettyihin funktioihin). Näihin joudutaan esimerkiksi seuraavista vaatimuksista: (a) jokainen jatkuva funktio on distribuutio, (b) distribuutioilla on kaikkien kertalukujen derivaatat, jotka ovat edelleen distribuutioita. Jos f C 1, niin distribuutioderivaatta = tavallinen derivaatta. (c) derivaatan tavallisten laskusääntöjen tulee olla voimassa (distribuutioiden tulo on ongelma!). (d) distribuutioilla tulee olla riittävän hyviä konvergenssin ominaisuuksia (rajaprosesseja varten). Määritellään distribuutio lineaarikuvauksena Λ: D() K. Jokainen jatkuva f C() määrää lineaarikuvauksen Λ f (ϕ) = f(ϕ) dx. Jos asetamme
14 86 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI identiteetin (5.11) sivulla 84 motivoimana, että Λ (ϕ) = Λ(ϕ ), ϕ D(), niin ehdot (b) ja (c) tulevat täytetyiksi. Kohtaa (d) varten testifunktioiden joukko D() pitää varustaa sopivalla topologialla, jolloin distribuutiot ovat tarkalleen jatkuvat lineaarikuvaukset D() K. Tämän topologian määrittely sekä karakterisointi vaatii lisätarkasteluja, joten se sivuutetaan tällä kurssilla Esimerkki. Olkoon = ( 1, 1) ja, x < H(x) = (Heavisiden funktio). 1, x Tällöin H L 2 (), mutta kaikilla ϕ D() pätee 1 ϕ (x)h(x) dx = ϕ (x) dx = ϕ() ϕ(1) = ϕ() }{{} = eikä voi olla olemassa funktiota g L 2 (), jolle g(x)ϕ(x) dx = ϕ() kaikilla ϕ D() Huomautus. Heavisiden funktion H derivaatta distribuutiona on ns. Diracin deltafunktionaali δ, jolle δ(x) = kun x ja δ(x) dx = 1. Siis δ ei voi olla tavallinen funktio, vaan se on aito distribuutio Määritelmä. Olkoon = (a, b) avoin väli. Sobolev-avaruus H 1 = H 1 () koostuu niistä avaruuden L 2 funktioista f, joilla on distribuutioderivaatta f L 2 eli H 1 = { f L 2 () : funktiolla f on distribuutioderivaatta f L 2 () }. Huomautus. Merkintä H 1 viittaa derivaatan kertalukuun ja H Hilbertin avaruuteen. Usein merkitään myös H 1 = W 1 2 = W 1, Lause. H 1 on Hilbert-avaruus varustettuna sisätulolla ( f h ) = f(x)h(x) + f (x)h (x) dx, f, g H 1. Todistus. HT 8/26. Tarvitsemme myöhemmissä esimerkeissä Sobolev-funktioiden perusominaisuuksia ja näitä varten tarvitaan seuraava versio analyysin peruslauseesta heikoille derivaatoille. 6 katso esimerkiksi Walter Rudin: Functional Analysis.
15 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Lemma. Jos f L 2 () ja f ϕ dx = kaikilla ϕ D(), niin f(x) C (vakio) m.k. x eli joukko { x : f(x) C } on -mittainen. Todistus. Olkoon ψ D() funktio, jolle ψ dx = 1. Jos w D() on mielivaltainen, niin asetetaan x ( ( ) ) ϕ(x) = w(t) w(y) dy ψ(t) dt. a Tällöin ϕ D(). Tämän havaitsemiseksi lasketaan ensin ϕ derivaatta, joka on ϕ (t) = w(t) ( w dx)ψ(t). Olkoon nyt väli [c, d] = (a, b) sellainen, että supp(ψ) supp(w) [c, d], niin kaikilla c [a, c] on ϕ(c ) = ja edelleen d ϕ(d ) = ϕ(d ) ϕ(c ) = ϕ (t) dt = c = w(t) dt ( ( ) ) w(t) w dx ψ(t) dt c ψ(t) dt w(x) dx = d kaikilla d [d, b], sillä ψ dx = 1. Siispä supp(ϕ) ja on kompakti. Oletuksen ja Fubinin lauseen 7 nojalla on siis ( ( ) ) = f ϕ dx = f(t) w(t) w dx ψ(t) dt ( ) = w(x) f(x) f(t)ψ(t) dt dx. Koska w D() on mielivaltainen ja D() = L 2 () (Lauseen 5.12:n todistus), niin tästä seuraa, että f(x) f ψ dt = m.k. x }{{} =C=vakio Analyysin peruslauseen (Lemma 5.2) avulla voimme osoittaa, että Sobolevfunktiot ovatkin hieman sileitä myös tavallisessa mielessä. Tarkemmin sanoen seuraava tulos on voimassa Lause. Jos = (a, b) on rajoitettu väli, f H 1 (a, b) ja f on sen distribuutioderivaatta, niin a) f on jatkuva (tarkemmin: on olemassa f C(a, b), jolle f(x) = f(x) m.k. x eli funktion f määräämä L 2 -luokka sisältää jatkuvan edustajan) 7 integroimisjärjestyksen vaihto, kts. Mitta ja integraali
16 88 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI b) Huomautus. f(x) = x x f (t) dt + f(x ) m.k. x, x (a, b) (1) Ominaisuus on olemassa jatkuva edustaja on vahvempi kuin ominaisuus m.k. jatkuva. Esimerkiksi välin [, 1] karakteristinen funktio χ [,1] on jatkuva m.k. x R, mutta ei ole olemassa sitä vastaavaa jatkuvaa edustajaa. (2) Jos f on jatkuva funktio, jolle löytyy f (x) m.k. x (tavallisessa mielessä) ja f L 2 (), niin tällöin b) ei aina päde (Reaalianalyysi I: on olemassa jatkuva ns. Cantorin funktio f : [, 1] [, 1], jolle f (x) = m.k. x [, 1], f() =, f(1) = 1). Lauseen 5.21 todistus. Voidaan vapaasti olettaa, että (a, b) = (, 1). Olkoon x (, 1). Määritellään funktio h(x) = x x f (t) dt, joka on hyvin määritelty, sillä f L 2 (, 1) L 1 (, 1) Schwarzin tai Hölderin epäyhtälön nojalla. Jos x, y (, 1), niin Hölderin nojalla (jos x < y) x y y h(x) h(y) = f (t)dt f (t)dt = f (t)dt x x x ( y ) 1 ( f (t) 2 2 y ) 1 2 dt 1dt f H 1 x y 1 2, x x }{{} = y x 1 2 eli h on tasaisesti jatkuva (, 1) K ja siten myös jatkuva välillä [, 1]. Väite: f(x) h(x) = C (vakio) m.k. x (, 1) (Huom: (a) ja (b) seuraavat tästä heti). Olkoon ϕ D(, 1) mielivaltainen ja olkoon x = (merkintöjen helpottamiseksi). Tällöin Fubinin lauseen, distribuutioderivaatan määritelmän sekä tiedon, että ϕ(1) =, saadaan ( x ) ϕ (x)h(x) dx = ϕ (x) f (t) dt dx Fub. = = ( f (t) f(t)ϕ (t) dt, t ) ϕ (x) dx }{{} =ϕ(1) ϕ(t)= ϕ(t) dt = f (t)ϕ(t) dt
17 joten FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 89 ϕ (t)(h(t) f(t)) dt = kaikilla ϕ D(, 1). Siispä Lemman 5.2 nojalla f(x) h(x) C m.k. x (, 1). Seuraavassa oletetaan aina, että Sobolev-funktio f H 1 (a, b) on jatkuva (siis edustajana Lauseen 5.21 kohdan a) mielessä) ja erityisesti f(a) = lim f(x) ja f(b) = lim f(x) x a+ x b ovat olemassa (katso Lauseen 5.21 todistus). Siis tässä mielessä H 1 (a, b) C(a, b) (= { f : [a, b] K : f on jatkuva }). Kirjoitetaan näkyviin pari seurausta Lauseelle Seuraus. Jos f H 1 (a, b) ja f C(a, b), niin f C 1 (a, b). Todistus. Lauseen 5.21 ja derivaatan f jatkuvuuden nojalla f(x) f(x ) = kaikilla x, x [a, b]. x x f (t) dt Seuraus. Joukko H 1 (a, b) = { f H 1 (a, b) : f(a) = f(b) = } on avaruuden H 1 (a, b) suljettu aliavaruus (ja siis Hilbert avaruus). Todistus. HT 9/26 Huomautus. Koska avaruuden H 1 funktiot ovat jatkuvia, niin -periodisessa tapauksessa H 1 (, ) voidaan karakterisoida Fourier-kertoimien avulla: eli funktio f H 1 (, ) ja f() = f() jos ja vain jos f L 2 (, ) ja (1 + k 2 ) f(k) 2 <. k= Tämä seuraa sivulla 83 olevasta johdantotekstistä Sobolev-avaruuksiin, kun lisäksi yhdistämme tähän päättelyyn HT 9/26 tehtävässä 2 osoitettua tulosta. Sovelluksista differentiaaliyhtälöihin Hilbertin avaruus-metodeja voidaan käyttää apuna myös differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Tarkastellaan esimerkkinä Sturmin Liouvillen yhtälöitä: Oletetaan, että on annettu funktiot p C 2 (, 1), q C(, 1) ja etsitään funktiota u C 2 (, 1), joka toteuttaa seuraavat ehdot (p(x)u (x)) (x) + q(x)u(x) =, kun x (, 1) (SL) u() = α, u(1) = β.
18 9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Teemme seuraavat lisäoletukset: on olemassa sellainen δ >, että (5.24) p(x) δ ja q(x) δ aina, kun x [, 1] Seuraava tärkeä heikkon ratkaisun käsite kytkee yhteen differentiaaliyhtälöt ja Hilbertin avaruudet Määritelmä. Funktio u H 1 (, 1) on yhtälön (SL) heikko ratkaisu, jos u() = α, u(1) = β sekä p(x)ϕ (x)u (x) dx + kaikilla testifunktiolla ϕ D(, 1). q(x)ϕ(x)u(x) dx = Toisin sanoen, funktio u on Sturmin Liouvillen yhtälön (SL) heikko ratkaisu, jos funktion pu distribuutioderivaatta on qu. Todistamme nyt Hilbertin avaruusmenetelmillä seuraavan tuloksen, jonka tarkennuksiin palaamme myöhemmin kurssilla, kunhan olemme saaneet uusia ja tehokkaampia työkaluja Lause. Kun p ja q ovat alhaalta rajoitettuja (eli kun ehto (5.24) toteutuu), niin yhtälöllä (SL) on yksikäsitteinen ratkaisu u C 2 (, 1). Todistus. Todistamme väitteen useissa pienissä askeleissa. 1. askel: Ensimmäisenä askeleen osoitetaan, että Väite. Jos u C 2 on yhtälön (SL) klassinen ratkaisu 8, niin u on myös heikko ratkaisu. Todistus. Olkoon ϕ D(, 1). Nyt osittaisintegroimalla saadaan 1/ (p ϕ u + q uϕ)(x) dx = p(x)ϕ(x)u (x) + ϕ(x) ( (p u ) + q u ) (x) dx =. }{{} Sijoitustermi häviää, sillä ϕ() = ϕ(1) =. Siis u on Määritelmän 5.25 nojalla myös heikko ratkaisu. 2. askel: Asetetaan avaruuteen H 1 (, 1) uusi sisätulo u v = p(x)u (x)v (x) dx + q(x)u(x)v(x) dx. Selvästi u v on funktion u suhteen lineaarinen, u v = v u ja lisäksi on aidosti positiviinen, sillä p δ ja q δ. Siispä on todella sisätulo avaruudessa H 1 (, 1). 8 siis u C 2 ja toteuttaa reuna-arvotehtävän (SL)
19 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 91 Väite. Joukko H 1 (, 1) varustettuna sisätulolla on Hilbertin avaruus. Todistus. On siis vielä näytettävä, että H 1 (, 1) on täydellinen normissa u := u u. Olemme olettaneet, että δ p, q ja koska p sekä q ovat jatkuvina funktioina rajoitettuja välillä [, 1], niin jollakin vakiolla M > on Nyt u v 2 = < δ p(x) M <, < δ q(x) M <. M p(x) u (x) v (x) 2 + q(x) u(x) v(x) 2 dx u (x) v (x) 2 + u(x) v(x) 2 dx = M u v 2 H 1. Samoin nähdään, että δ u v 2 H u v 2. Siis, jos (u 1 n ) on Cauchyn jono avaruudessa (H 1, ), niin se on Cauchyn jono myös avaruudessa (H 1, H 1). Koska (H 1, H 1) on täydellinen (Lause 5.19 sivulla 86), niin löytyy sellainen u H 1, että u n u H 1, kun n. Tällöin u n u M u n u H 1, ja siis myös avaruus (H 1, ) on täydellinen. 3. askel: Seuraava askel on näyttää, kuinka yhtälölle (SL) löydetään heikko ratkaisu. Väite. Yhtälöllä (SL) on heikko ratkaisu. Todistus. Olkoon E = (H 1, ), missä sisätulo on sama kuin askeleessa 2. Nyt toisen askeleen mukaan avaruus E on Hilbertin avaruus. Valitaan nyt jokin f E, jolle f() = α ja f(1) = β, esimerkiksi funktio f(x) = α + x(β α) kelpaa. Seurauksen 5.23 sivulla 89 nojalla H 1 on avaruuden H 1 suljettu aliavaruus ja edelliseen askeleen todistuksen nojalla H 1 on myös avaruuden E suljettu aliavaruus. Siispä voimme soveltaa luvun 4 normin minimoijatuloksia ja siten Seurauksen 4.18 sivulla 6 nojalla on olemassa yksikäsitteinen g H 1, jolle f g = inf{ f h : h H 1 }. Edelleen Lauseen 4.2 sivulla 61 nojalla (f g) H 1 sisätulon suhteen. Jos nyt merkitään u = f g, niin u() = f() g() = α = α ja u(1) = f(1) g(1) = β.
20 92 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Koska selvästi D(, 1) H 1 (, 1), niin jokaisella ϕ D(, 1) on = f g ϕ = eli funktio u on yhtälön (SL) heikko ratkaisu! p(x)u (x)ϕ (x) + q(x)u(x)ϕ(x) dx Huomautus. Edellä esitetty heikon ratkaisun konstruointi voidaan tulkita myös Dirichlét n periaatteena: Jos I(u) = p(x) u (x) 2 + q(x) u(x) 2 dx, niin yhtälön (SL) heikko ratkaisu on funktio u H 1 (, 1), joka toteuttaa reunaehdot u () = α, u (1) = β ja jolle pätee I(u ) = inf{ I(u) : u() = α ja u(1) = β }. 4. askel: Tässä askeleessa osoitamme, että yhtälöllä (SL) on korkeintaan yksi ratkaisu. Yhdessä edellisen askeleen kanssa tämä takaa sen, että yhtälöllä on tarkalleen yksi heikko ratkaisu. Tätä varten tarvitsemme seuraavan lemman, joka osoittaa, että testifunktiot ovat tiheässä avaruudessa H 1 (mutta eivät siis koko Sobolev-avaruudessa H 1!!) Lemma. Testifunktioiden sulkeuma D() = H 1 (), kun on rajoitettu väli ja sulkeuma otetaan H 1 -normin suhteen. Todistus. Oletetaan seuraavassa laskujen yksinkertaistamiseksi, että = (, 1). Ensiksi, sillä D() H() 1 ja avaruus H() 1 on suljettu, niin D() H(). 1 Kääntäen, jos f H(), 1 niin Lauseen 5.21 sivulla 87 nojalla f(x) = x f (t) dt. Edelleen Lemman 5.12 sivulla 84 todistuksessa osoitettiin, että D() = L 2 (), joten löytyy sellainen g D(), jolle f g 2 < ε. Koska väli [, 1] on rajoitettu, niin tiedämme, että f g 1 f g 2 < ε. Siten ( ) g(x) dx = g(x) f (x) dx g f 1 < ε. Ensimmäinen identiteetti seuraa siitä, että = f(1) = f (t) dt. Väitteen osoittamiseksi haluaisimme nyt konstruoida funktion h D(, 1), jolle sekä f h 2 ja f h 2 olisivat pieniä. Hyvä kandidaatti vaikuttaisi
21 olevan funktion g integraalifunktio ( ) h(x) := FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 93 x g(t) dt. Onko tämä integraalifunktio h kuitenkaan D(, 1):ssä? Jotta se olisi, on oltava h(1) =, mikä tarkoittaa, että vakio β := g(x) dx =, mutta me tiedämme vain arvion ( ). Korjataksemme tämän puutteen, valitsemme jonkin kiinteän testifunktion ϕ D(, 1), joka toteuttaa ehdot ϕ, ϕ 1 = 1. Olkoon nyt funktio g := g βϕ. Nyt g D(, 1), sen integraali on nolla ja lisäksi arvion ( ) nojalla g g 2 = β ϕ 2 < ε ϕ 2. Voimme nyt vaihtaa funktion g funktioksi g, joten voimme siis olettaa, että kaavan ( ) määräämä integraalifunktio h D(, 1). Nyt loppuosoitus on suoraviivainen, sillä f h 2 H = f(x) h(x) 2 dx + 1 = x f (t) g(t) dt 2 dx + f (x) h (x) 2 dx f (x) g(x) 2 dx ( x ) 2 f (t) g(t) dt dx + f g 2 f (t) g(t) 2 dt + f g 2 2 2(1 + ϕ 2) 2 ε 2. Toiseksi viimeinen arvio seuraa Cauchy Schwarzin (tai Hölderin) epäyhtälön nojalla. Siispä H() 1 D(). Edeltävän lemman avulla voimme nyt osoittaa askeleen 4. väitteen: Väite. Yhtälön (SL) heikko ratkaisu on yksikäsitteinen. Todistus. Osoitimme 3. askeleessa, että jos g H 1 on se yksikäsitteinen alkio, jolle f g H 1, niin u = f g toteuttaa yhtälön (SL). Kääntäen, jos u 1 toteuttaa yhtälön (SL), niin reunaehdon nojalla u 1 = f g 1, missä g 1 H 1(, 1). Heikon ratkaisun määritelmän nojalla u 1 ϕ = jokaisella ϕ D(, 1) eli f g 1 D(, 1). Mutta Lemman 5.27 mukaan D(, 1) = H 1, joten f g 1 H 1. Siispä Lauseen 4.2 sivulla 61 nojalla f g 1 = dist(f, H), 1 joten Lauseen 4.17 sivulla 59 nojalla u 1 = f g 1 = f g = u, joten ratkaisu on yksikäsitteinen. 2
22 94 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. askel: Viimeisenä askeleena osoitamme, että edellisissä askeleissa konstruoitu yksikäsitteinen heikko ratkaisu on lisäksi klassinen. Väite. Yhtälön (SL) heikko ratkaisu u on klassinen ratkaisu eli u C 2 [, 1]. Todistus. Alkujaan tiedetään, että u H 1, joten u L 2 (, 1). Koska p C 2 (, 1), niin tulo pu L 2 (, 1). Koska tulon pu distribuutioderivaatta on qu L 2, niin tiedämmekin siis, että pu H 1 (, 1), joten Lauseen 5.21 nojalla funktio pu on jatkuva. Edelleen, koska p δ >, niin u C(, 1), joten olemme johtaneet, että itse asiassa u C 1 (, 1). Nyt (pu ) = qu C(, 1) myös klassisessa mielessä, joten pu C 1 (, 1), mistä seuraa edellleen, että u C 2 (, 1). Yhdessä kaikki askeleet osoittavat Lauseen 5.26 väitteen. Lisätietoja: 1. Sama koneisto voidaan rakentaa korkeammissakin dimensioissa ja L p -avaruuksissa: kun R n on alue ja 1 p <, voidaan myös määritellä Sobolev-avaruus W 1 p () = {f Lp () : f:n heikot osittaisderivaatat 1 f,..., n f L p ()}. Vastaavasti vaatimalla, että L p -funktion f kaikkien korkeintaan astetta 9 k olevat heikot distribuutioderivaatat α f L p, voimme myös määritellä Sobelev-avaruudet Wp k() sekä Hk () W2 k (). Tällöin voidaan osoittaa Lauseen 5.21 sivulla 87 vastine eli erikoistapaus Sobolevin upotuslauseesta: Jos k > n ja 2 Rn on riittävän sileäreunainen, niin H k () C(). 2. Edellä esitetty Sturmin Liouvillen yhtälöiden ratkaisumenetelmää voidaan soveltaa korkeammissa dimensioissa ns. elliptisiin yhtälöihin, joiden prototyyppi on u + u =, u = f, missä R n on alue. Ratkaisumenetelmä toimii kuten edellä: i) Klassinen ratkaisu on heikko ratkaisu ii) On olemassa heikko ratkaisu iii) Heikko ratkaisu on yksikäsitteinen (joten myös klassinen ratkaisu on yksikäsitteinen) iv) Heikon ratkaisun u säännöllisyys, eli u C 2 9 sanomme, että α f = α αn n f on astetta k, jos α 1 + α α n = k
23 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 95 Tästä yhtälöstä päästään Laplacen yhtälöön u = Fredholm-operaattoreiden tai Fredholmin teorian avulla. Siis tässä luovumme oletuksesta, että q δ >!! 3. Historiallisesti, Bernhard Riemann ( ) ratkaisi yhtälön u = f juuri edellä mainitun Diriclét n periaatteen avulla. Karl Weierstraß ( ) aiheutti suuren sensaation kriittisellä artikkelillaan Über das Sogerannte Dirichletsche Princip, jossa hän esitti seuraavan vastaesimerkin: Jos J(u) = 1 x 2 u (x) 2 dx, niin ei ole jatkuvaa funktiota u, jolle u (1) = 1, u ( 1) = 1 ja J(u) = inf{ J(u) : u( 1) = 1, u(1) = 1 } Todistus. Jos niin joten kun ε +. ϕ(x) = arctan x ε arctan 1, ε >, ε ϕ (x) = J(ϕ) < ε (arctan 1 ε )(x2 + ε 2 ), 2ε arctan 1 ε, Missä Vika!? Miksi Dirichlét n periaate ei toimikaan? Syy (joka ymmärrettiin vasta paljon myöhemmin 19-luvulla) on se, ettei H 1 (tai H 1) ole täydellinen normissa u = 1 x 2 u (x) 2 dx. Tästä samasta syystä oletettiin, että p, q δ yhtälössä (SL). 1 Weierstrassin kritiikillä on ollut huomattava merkitys differentiaaliyhtälöiden teorialle ja variaatiolaskennalle, vaikka Dirichlét n periaate nyt pystytään perustelemaan täsmällisesti Hilbertin avaruuksien teorian avulla. 1 tämä normi vastaa Sturmin Liouvillen yhtälöiden normia, kun q ja p(x) = x 2!! Koska aikaisemmin totesimme, että oletuksesta q δ voidaan luopua, niin se, että funktiolla p on vain yksi nollakohta muuttaa tilanteen radikaalisti!!
5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π
78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotHILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS
HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotSobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen
Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007 Sisältö 1. Johdattelua 1 1.1. Perusmerkintöjä.............................. 8 2. L p -avaruudet 9 2.1. Yleistä...................................
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot