HILBERTIN AVARUUDET S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS"

Transkriptio

1 HILBRTIN AVARUUDT S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS

2 Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet Normi- ja L p -avaruudet L p -avaruuksien täydellisyys Sisätuloavaruudet Ortogonaalinen kehitelmä Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta

3 Luku 1 Hilbertin Avaruudet 1.1 Normi- ja L p -avaruudet Olkoon X vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla "Lineaarialgebra"määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet, mutta kompleksikertoimiset avaruudet määritellään täysin analogisesti. Avaruudessa X on yhteenlaskun x + y lisäksi annettu kuvaus C X X, (λ, x) λx, joka toteuttaa ehdot λ(x + y) = λx + λy α(λx) = (αλ)x (α + λ)x = αx + λx kaikilla vektoreilla x, y X ja λ, α C. simerkki. Avaruus C n = {u = (u 1,..., u n ) : u j C} on vektoriavaruus yli kunnan C. Vektorin u = (u 1,..., u n ) C n tavallinen normi on ei-negatiivinen reaaliluku (u 1,..., u n ) = u u n 2. Sen avulla määritellään pisteiden (u 1,..., u n ) C n ja (v 1,..., v n ) C n välinen etäisyys (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v u n v n 2 Annamme nyt vektoriavaruudelle X aksiomaattisesti normin, jolla on samat perusominaisuudet kuin esim. avaruuden C n normilla. Määritelmä. Vektoriavaruuden X normi on kuvaus : X R, joka kaikille alkioille x, y X ja λ K (tässä K on joko R tai C) täyttää ehdot 3

4 1.1 Normi- ja L p -avaruudet 4 (N1) x 0, (N2) x = 0 jos ja vain jos x = 0, (N3) λx = λ x, (N4) x + y x + y. Paria (X, ) sanotaan normiavaruudeksi. Siinä määritellään kahden pisteen x, y X välinen etäisyys kaavalla d(x, y) = x y. Huomautus. Kuten aikaisemmin, merkitään L 1 = L 1 () = {f : R : f on mitallinen ja f dm < }. Jos määrittelemme funktioiten yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen pisteittäin, ts. (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λf)(x) = λf(x), λ R, niin f + λg L 1 () aina, kun f, g L 1 () ja λ R. Näin ollen L 1 () on reaalikertoiminen vektoriavaruus. Merkitään f 1 = f dm, kun f L1 (). On helppo todistaa, että 1. f 1 0, 2. λf 1 = λ f 1 kaikille λ R, 3. f + g 1 f 1 + g 1, 4. f 1 = 0 jos ja vain jos f = 0 m.k. joukossa, joten 1 ei ole normi, sillä ehdosta f 1 = 0 ei aina seuraa f = 0. simerkki. Jos = R ja f = χ Q, niin f = 0, mutta f 0. Määritellään joukkoon L 1 () ekvivalenssirelaatio asettamalla f g jos ja vain jos f(x) = g(x)m.k.x. Merkitään [f] = {g L 1 () : g f}, eli [f] on funktion f määräämä ekvivalenssiluokka. Huomataan, että jos f 1 g 1 ja f 2 g 2, niin f 1 + f 2 g 1 + g 2. Tämä seuraa siirtymällä komplementteihin inkluusiossa {x : f 1 (x) = g 1 (x)} {x : f 2 (x) = g 2 (x)} {x : f 1 (x)+f 2 (x) = g 1 (x)+g 2 (x)}.

5 1.1 Normi- ja L p -avaruudet 5 Samoin λf 1 λg 1, jos f 1 g 1 ja λ R. Näin ekvivalenssiluokat muodostavat vektoriavaruuden: Määritellään nyt [λf + βg] = λ[f] + β[g], kun f, g L 1 () ja λ, β R. L [1] () = {[f] : f L 1 ()}. Huomataan, että f 1 = g 1 aina, kun f g, joten [f] 1 = f 1, f L [1] () on hyvin määritelty. Avaruus L [1] () on normiavaruus, sillä kohtien (1.)-(3.) lisäksi pätee: 4. [f] 1 = 0 jos ja vain jos [f] = [0], missä siis [0] = {f L 1 () : f = 0 m.k. x }. Jatkossa luovumme merkinnästä L [1] () ja puhumme normiavaruudesta L 1. Samoin puhumme L 1 -funktioista eikä ekvivalenssiluokista, t.s. samaistamme funktiot jotka yhtyvät m.k. Olkoon R n mitallinen joukko ja 1 p <. Määritellään L p = L p () = {f : R : f on mitallinen ja f p dm < }. Merkitään f p )( f p dm) 1/p. Kun tehdään vastaavat samaistukset kuin aiemmin, niin saadaan normiavaruus L p. ksponentti p vaikuttaa suuresti siihen, mitkä funktiot kuuluvat avaruuteen L p. Lause 1.1. Olkoon R n mitallinen joukko, jolle m() <. Jos 1 q p <, niin L p () L q (). Todistus. Olkoon f L p (). Nyt f(x) q dm max{1, f(x) p } dm dm + f(x) p = m() + f(x) p dm joten f L q (). <,

6 1.1 Normi- ja L p -avaruudet 6 Osoitamme seuraavaksi, että L p () on normiavaruus (edellä mainituilla samaistuksilla). Tätä varten tarvitsemme muutamia aputuloksia. Lemma 1.2 (Youngin epäyhtälö). Jos a, b 0, α, β > 0 ja α + β = 1, niin a α b β αa + βb. Todistus. Tapaus a = 0 tai b = 0 on selvä. Voidaan siis olettaa, että a, b > 0. Olkoon b = ax, missä x > 0. Tällöin a α b β αa + βb a α+β x β αa + βb ax β a(α + βx) x β 1 β + βx (a > 0, α + β = 1) 0 x β + 1 β + βx. Olkoon f(x) = 1 β + βx x β, kun x > 0. Tällöin f (x) = β βx β 1, joten f (x) < 0 kun 0 < x < 1 ja f (x) > 0, kun x > 1. Siis f saa pienimmän arvonsa, kun x = 1. Näin ollen kaikille x > 0 pätee 0 = f(1) f(x) = 1 β + βx x β. Seuraavaksi tärkeä epäyhtälö: Lause 1.3 (Hölderin epäyhtälö). Jos p, q > 1 ja = 1, f L p () ja p q g L q (), niin fg L 1 () ja fg 1 f p g q, ts. fg dm ( f p dm) 1/p ( f q dm) 1/q. Todistus. Jos f p = 0, niin f(x) = 0 m.k. x. Tällöin (fg)(x) = 0 m.k. x, joten fg 1 = 0 ja väite on selvä. Vastaavasti, jos g q = 0, niin väite on selvä. Voidaan siis olettaa, että f p > 0 ja g q > 0. Samoin voidaan olettaa, että f(x) R ja g(x) R kaikille x. Sovelletaan Youngin epäyhtälöä tapaukseen a = f(x)p f p p jolloin saadaan Youngin epäyhtälön nojalla f(x) p f p p g(x) q g q q, b = g(x) q g q, α = 1 q p, β = 1 q, 1 f(x) p p f p + 1 p q g(x) q g q. q

7 1.1 Normi- ja L p -avaruudet 7 Kun integroidaan yli joukon (yllä olevassa epäyhtälössä esiintyvät funktiot ovat mitallisia), niin saadaan fg 1 1 f p p f p g q p f p + 1 g q q p q g q q Siis fg 1 f p g q. = 1 p + 1 q = 1. Kun p = q = 2, saadaan Seuraus (Schwarzin epäyhtälö). Olkoon f, g L 2 (). Tällöin f(x)g(x) dm ( f(x) 2 dm) 1/2 ( g(x) 2 dm) 1/2. Lause 1.4 (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon 1 p <. Jos f, g L p (), niin f + g L p () ja f + g p f p + g p. Todistus. Tapaus p = 1 on ollut aikaisemmin. Olkoon p > 1 ja q = = 1. Jos a, b 0, niin 1 p + 1 q (a + b) p (2 max{a, b}) p = 2 p (max{a, b}) p 2 p (a p + b p ). Voidaan olettaa, että f(x), g(x) R kaikilla x, jolloin f(x) + g(x) p ( f(x) + g(x) ) p 2 p ( f(x) p + g(x) p. Näin ollen f + g L p (). Toisaalta, ja f(x) + g(x) p = f(x) + g(x) f(x) + g(x) p 1 f(x) f(x) + g(x) p 1 + g(x) f(x) + g(x) p 1 ( f(x) + g(x) p ) q 1 ) = f(x) + g(x) p. Tästä seuraa, että (f + g) p 1 L q () ja Hölderin epäyhtälön nojalla f + g p p = f + g p dm f f + g p 1 dm + g f + g p 1 dm f p ( ( f + g p 1 ) q ) 1/q + g p ( ( f + g p 1 ) q dm) 1/q = f p ( f + g p dm) 1/q + g p ( f + g p dm) 1/q = ( f p + g p ) f + g p/q p. p p 1, jolloin

8 1.2 L p -avaruuksien täydellisyys 8 Koska p/q = p 1, saadaan f + g p f p + g p. Olemme todistaneet seuraavan tuloksen: Lause 1.5. Jos 1 p <, niin L p () on normiavaruus, normina p. Huomautus. (a) Kun m() =, voi olla L p () L q (), kun 1 q < p. Olkoon = [0, [ ja f(x) = 1. Tällöin f 1+x Lp (), kun p > 1, mutta f / L 1 (). (b) Yleensä L p () L q (), kun p q. Yllä on tapaus 1 q < p, kun m() =. Olkoon =]0, 1[ ja f(x) = 1 x. Tällöin f L p (), kun 1 p < 2, ja f / L q (), kun q L p -avaruuksien täydellisyys Todistamme nyt, että normiavaruudet L p, 1 p <, ovat Banachin avaruuksia, eli täydellisiä normiavaruuksia. Olkoon (X, ) normiavaruus. Sanomme, että avaruuden X jono (x n ) on Cauchyjono, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa N Z + siten, että x i x j < ε kun i, j N. Jono (x n ) suppenee avaruudessa X, jos on olemassa x 0 X siten, että x i x 0 0, kun i. Normiavaruus (X, ) on Banachin avaruus, eli täydellinen, jos jokainen avaruuden X Cauchy-jono suppenee kohti jotakin avaruuden X alkiota. Merkitsemme f j f avaruudessa L p, jos f j, f L p jokaiselle j Z + ja f j f 0, kun f. Lause 1.6. Jos (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p, 1 p <, niin on olemassa osajono (f ik ) joka suppenee m.k. joukossa. Todistus. Olkoon k Z +. Valitaan i k Z + siten, että f j f i p < 1 2 k, kun i, j i k. Voidaan olettaa, että i 1 < i 2 < i 3 <.... Voidaan olettaa, että kaikki esiintyvät funktiot ovat reaaliarvoisia. Määritellään g k = f i1 + f i2 f i fik+1 f ik.

9 1.2 L p -avaruuksien täydellisyys 9 jokaiselle k Z +. Tällöin 0 g k kaikilla k Z + ja jono (g k ) on kasvava. Näin ollen raja-arvo g(x) = lim k g k (x) [0, ] on olemassa kaikilla x. Minkowskin epäyhtälöstä seuraa, että k g k p = f i 1 + f v+1 f v f i1 p + f i1 p + f i1 + 1 v=1 p k fiv+1 f p iv kaikilla k Z +. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla g p dm = lim gk k p dm = lim g k p p ( f i 1 p + 1) p <, k v=1 k v=1 joten g(x) < m.k. x. Näin ollen sarja f i1 (x) v (f iv+1 (x) f iv (x)) v=1 suppenee m.k. x. Merkitään tätä summaa termillä f(x). Saatiin siis, että f ik+1 = f i1 + k (f iv+1 f ) f i v v=1 m.k. x, kun k. Lause 1.7. Olkoon R n mitallinen joukko. Tällöin L p () on Banachin avaruus, kun 1 p <. Todistus. Olkoon (f i ) Cauchyn jono avaruudessa L p (). dellisen lauseen nojalla on olemassa osajono (f ik ) siten, että f ik (x) f(x) m.k. x. Tällöin f on mitallinen joukossa. Osoitetaan, että f L p () ja että f i f avaruudessa L p (). Olkoon ε > 0. Tällöin on olemasa i 0 Z + siten, että

10 1.3 Sisätuloavaruudet 10 f i f j p < ε kun i, j i 0. Jos i i 0, niin Fatoun Lemman nojalla saadaan f i f p dm = lim f i f ik p dm k lim inf f i f ik p dm k = lim inf k ε p <. f i f ik p p Siis f i0 f L p () ja f i f p 0, kun i, eli f = f i0 (f i0 f) L p () ja f i f avaruudessa L p (), kun i. 1.3 Sisätuloavaruudet Olkoon H vektoriavaruus skalaarikuntana K = R tai C. Määritelmä. Kuvausta ( ) : H H K sanotaan sisätuloksi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (S1) (y x) = (x y) aina, kun x, y H. (S2) (x x) 0 aina, kun x H. (S3) (x x) = 0 jos ja vain jos x = 0. (S4) (x + y z) = (x z) + (y z) aina, kun x, y, z H. (S5) (λx y) = λ (x y) aina, kun x, y H ja λ K. Paria (H, ( ) sanotaan sisätuloavaruudeksi. Ominaisuuksien (S4) ja (S5) nojalla sisätulo on ensimmäisen tekijän suhteen lineaarinen. Ominaisuuksista (S1), (S4) ja (S5) seuraa, että (x λy + µz) = λ (x y) + µ (x y) aina, kun x, y, z H ja λ, µ K. Sisätulo on siis toisen tekijän suhteen konjugaattilineaarinen. delleen, (0 y) = (x 0) = 0 kaikille x, y H, koska 2 (0 y) = (2 0 y) = (0 y). Merkitään x := (x x), x H. Tällöin x 0 kaikilla x H ja x = 0 jos ja vain jos (x x) = 0. Jos λ K ja x H, niin λx = (λx λx) = λλ (x x) = λ 2 x 2 = λ x. Jos vielä näytämme, että toteuttaa kolmioepäyhtälön, on se normi.

11 1.3 Sisätuloavaruudet 11 Lause 1.8 (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö). Sisätuloavaruudessa H pätee (x y) x y kaikilla x, y H. Yhtäsuuruus on voimassa jos ja vain jos vektorit x ja y ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Voidaan olettaa, että x 0 ja y 0. Jokaisella λ K pätee Valitaan 0 (x + λy x + λy) = (x x) + λ (x y) + λ (y x) + λ 2 (y y) = x 2 + λ(x y) + λ (x y) + λ 2 y 2. λ = (x y) y 2. On hyvä huomata että tapauksessa K = R tämä on polynomin minimikohta. Nyt saadaan λ x 2 + 2λ (x y) + λ 2 y 2 0 x 2 2 (x y) 2 y 2 + (x y) 2 y 4 y 2 = x 2 (x y) 2 y 2. Tästä saadaan (x y) 2 x 2 y 2 mistä ensimmäinen väite seuraa. Yhtäsuuruus on voimassa jos ja vain jos 0 = x + λy. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että x + λy = 0, eli yhtäsuuruus on voimassa jos ja vain jos x ja y ovat lineaarisesti riippuvia. Lause 1.9. Jokainen sisätuloavaruus on myös normiavaruus, kun normi määritellään kaavalla x = (x x) aina kun x H. Todistus. dellä nähtiin, että (N1), (N2) ja (N3) ovat voimassa. Riittää siis todeta, että kolmioepäyhtälö on tosi. Olkoon x, y H. Nyt x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (x y) + (y y) = x 2 + 2Re (x y) + y 2

12 1.3 Sisätuloavaruudet 12 Koska jokaiselle kompleksiluvulle z pätee Rez z, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla saadaan x + y 2 x (x y) 2 + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2. Ottamalla neliöjuuri saadaan x + y x + y, joten on normi. Huomautus. Kuvaus : H R + on jatkuva, koska x y x y, kun x, y H. Sisätulon määräämä normi on sikäli erikoinen, että se toteuttaa ns. suunnikasyhtälön x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. Tämä todetaan seuraavasti: x + y 2 + x y 2 = (x + y x + y) + (x y x y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) + (x x) (x y) (y x) + (y y) = 2 x y 2. Kääntäen, jos normi toteuttaa suunnikasyhtälön, niin voidaan osoittaa, että kaava (x y) = 1 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2) 4 määrittelee sisätulon ja x 2 = (x x). Tämä on ns. polarisaatiokaava (reaalisessa tapauksessa sen vastine on (x y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 )). Lause Olkoon H sisätuloavaruus. Jos x n x ja y n y avaruudessa H, niin (x n y n ) (x y) avaruudessa K, ts. ( ) : H H K on jatkuva kuvaus. Todistus. Oletetaan, että x n x 0 ja y n y 0 kun n. Tällöin (x n y n ) (x y) = (x n y n ) (x y n ) + (x y n ) (x y) (x n x y n ) + (x y n y) x n x y n + x y n y x n x M + x y n y jollekin M 0, sillä jono (y n ) on suppenee ja on siten rajoitettu. Tästä nähdään, että (x n y n ) (x y) 0 kun n.

13 1.3 Sisätuloavaruudet 13 Jos erityisesti (H, ( )) on täydellinen normin x = (x x) suhteen, eli Banachin avaruus, sanomme että (H, ( )) on Hilbertin avaruus. Hilbertin avaruuden nimitys tulee David Hilbertin mukaan. simerkki. kuvaus 1. Jos x = (x 1,..., x n ) K n ja y = (y 1,..., y n ) K n, niin (x y) = x i y i on vektoriavaruuden K n sisätulo. Vastaava normi x 2 = (x x) = x x n 2 on avaruuden K n tavallinen uklidinen normi. 2. Avaruudessa l 2 = {x = (x i ) : x i K ja määritellään sisätulo kaavalla (1.1) (x y) = x i 2 < } x i y i kun x = (x i ) l 2, y = (y i ) l 2. Sisätulon määärämä normi on x 2 = ( x i 2) 1/2, kun x = (xi ) l 2. Tämän normin suhteen l 2 on täydellinen, eli (l 2, 2 ) on Hilbertin avaruus. Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla saadaan x k y k ( x k 2 ) 1/2 ( y k 2 ) 1/2 <, k=1 k=1 kun x = (x k ) l 2 ja y = (y k ) l 2, joten sarja k=1 x ky k suppenee itseisesti avaruudessa K ja (1.1) on täten järkevä. simerkki. Jos avaruus C([a, b]) = {f : [a, b] K : f on jatkuva} varustetaan sisätulolla (f g) = b a k=1 f(t)g(t)dt,

14 1.3 Sisätuloavaruudet 14 kun f, g C([a, b]), niin (C([a, b]), 2 ) ei ole Hilbertin avaruus, missä f 2 = (f f) = ( sillä (C([a, b]), 2 ) ei ole täydellinen. b a f(t) 2 dt) 1/2, Olkoon a = 0 ja b = 1. Olkoon 1, jos 0 t < 1/2 f n (x) = nx + n/2 + 1, jos 1/2 t 1/2 + 1/n 0, jos 1/2 + 1/n < t 1 ja f(x) = { 1, jos 0 t 1/2 0, jos 1/2 < t 1. Tällöin f n C([0, 1]) jokaiselle n Z + ja jono (f n ) approksimoi epäjatkuvaa funktiota f 2 -normissa. simerkki. Olkoon R n mitallinen joukko. Tällöin avaruus L 2 () varustettuna sisätulolla (1.2) (f g) = f(x)g(x)dm, kun f, g L 2 (), on Hilbertin avaruus normissa f 2 = ( f(x) 2 dm) 1/2. Katso Lause 1.7. Huomaa, että Schwarzin epäyhtälön nojalla tulofunktio f(x)g(x) on integroituva ja (1.2) on siis hyvin määritelty, kun f, g L 2 (). simerkki. Avaruus varustettuna normilla l 1 = {(x i ) : x i K i Z + ja x 1 = x i x i < } on Banachin avaruus. Avaruus (l 1, 1 ) ei kuitenkaan ole Hilbertin avaruus. Olkoon e 1 = (1, 0, 0,...) l 1 ja e 2 = (0, 1, 0, 0,...) l 1. Tällöin e 1 + e 2 1 = e 1 e 2 1 = 2 ja e 1 1 = e 2 1 = 1

15 1.3 Sisätuloavaruudet 15 joten e 1 + e e 1 e = = 8 4 = 2( e e ). Siispä (l 1, 1 ) ei ole sisätuloavaruus. simerkki. Avaruus (C([0, π/2], ), missä f = sup f(t), i [0,π/2] on Banachin avaruus, mutta ei Hilbertin avaruus. Olkoon f(t) = cos(t), g(t) = sin(t). Tällöin f = g. Lisäksi ja f + g = f g = sup cos(t) + sin(t) = (2) t [0,π/2] sup cos(t) sin(t) = 1, t [0,π/2] joten f + g 2 + f g 2 = 3 4 = 2( f 2 + g 2 ). Siispä (C(0, π/2), ) ei ole sisätuloavaruus. Määritelmä. Sisätuloavaruuden H vektorit x ja y ovat ortogonaaliset (eli kohtisuorat), jos (x y) = 0. Tätä merkitään x y. Vektorijoukko S H on ortogonaalinen, jos x y kaikille x, y S, x y. Ortogonaalinen vektorijoukko on ortonormaali, jos x = 1 kaikille x S. Osoitetaan, että ortogonaalinen vektorijoukko S, joka ei sisällä nollavektoria, on lineaarisesti riippumaton. Olkoot x 1,... x p S ja λ 1,..., λ p K siten, että p λ j x j = 0, j=1 Tällöin jokaiselle 1 k p pätee ( p ) 0 = (0 x k ) = λ j x j x k = j=1 p λ j (x j x k ) = λ k x k 2, j=1 joten λ k = 0. Jos H on sisätuloavaruus ja S H, niin merkitään span(s) = { λ k x k : n Z +, λ k K, x k S}, k=1 jolloin span(s) on joukon S virittämä lineaarinen aliavaruus.

16 1.3 Sisätuloavaruudet 16 Lause 1.11 (Pythagoras). Olkoon H sisätuloavaruus. Jos {x 1,..., x n } H ja vektorit x i, 1 i k, ovat keskenään ortogonaaliset, eli x i x j kun i j, niin Todistus. Harjoitustehtävä. x x n 2 = x x n 2. Huomautus. Olkoon (X, ) normiavaruus ja A X joukko. (a) Joukon A sulkeuma A saadaan, kun joukkoon A lisätään kaikki sen kasautumispisteet. (b) Piste x on joukon A kasautumispiste jos ja vain jos on olemassa jono (x n ) siten, että x n A ja x n x kaikille n Z + sekä x n x, kun n. (c) Joukko A on suljetu jos ja vain jos A = A. Määritelmä. Olkoon S H vektorijoukko, missä H on Hilbertin avaruus. Joukkoa S = {x H : (x y) = 0 aina, kun y S} sanotaan joukon S ortogonaaliseksi komplemtiksi. Joukko S on totaali, jos S = {0}. Lause Olkoon S H vektorijoukko, missä H on Hilbertin avaruus. Joukko S on avaruuden H suljettu lineaarinen aliavaruus. Todistus. Selvästi 0 S, joten S. Olkoot x 1, x 2 S ja λ K. Jos y S, niin (λx 1 + x 2 y) = λ (x 1, y +) (x 2, y =) 0, joten λx 1 + x 2 S. Siten S on aliavaruus. Osoitetaan nyt, että S on suljettu. Olkoon x S, jolloin on olemassa jono (x n ) siten, että x n S jokaiselle n Z + ja x n x, kun n. Koska x n S kaikilla n Z +, niin sisätulon jatkuvuuden nojalla saamme jokaiselle y S, että ( ) (x y) = lim x n y n Näin ollen x S, ja siten S on suljettu. On helppo todeta, että H = {0},{0} = H = lim n (x n y) = 0. jos S 1 S 2, niin S 2 S 1 S S {0} (yhtäsuuruus esim. jos 0 S)

17 1.3 Sisätuloavaruudet 17 Jos L, M H ovat avaruuden H lineaarisia joukkoja, niin niiden summa L + M = {x + y : x L, y M}, on myös lineaarinen. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa yleinen kaava: (L + M) = L M. Seuraavaksi alamme tarkastella minimointitehtäviä. Kun tilanteita mallinnetaan Hilbertin avaruuksilla, tulee usein tehtäväksi selvittää, millä ehdoin joukosta löytyy normin minimoivia alkioita. On itse asiassa yllättävää, että Hilbertin avaruuksissa minimointitehtävä ratkeaa suhteellisen yleisesti. Olennainen ominaisuus tällaisissa minimointitehtävissä on konveksisuus. Muistetaan, että pisteiden x ja y välinen yhdysjana on joukko {x + t(y x) : t [0, 1]} = {tx + (1 t)y : t [0, 1]}. Vektoriavaruuden H osajoukko S on konveksi, jos pisteiden x, y S välinen yhdysjana aina sisältyy joukkoon S, eli jos tx + (1 t)y S aina, kun x, y S ja 0 t 1. Seuraava ns. miniminormilause on tärkeä peruslause Hilbertin avaruuksien teoriassa ja sillä on paljon käyttöä myös optimointiteoriassa. Lause 1.13 (Miniminormilause). Olkoon S Hilbertin avaruuden H suljettu konveksi osajoukko sekä x H. Silloin on olemassa täsmälleen yksi alkio y 0 S, jolle x y 0 = inf{ x y : y S}. Todistus. Infimumin määritelmän mukaan on olemassa jono (y n ) S siten, että x y n d := inf{ x y : y S}, kun n. Koska S on konveksi, niin 1/2(y n + y m ) S kaikille n, m Z +, joten x 1 2 (y n + y m ) d, eli 2x (y n + y m ) 2d. Suunnikassäännön nojalla saamme y n y m 2 = (y n x) + (x y m ) 2 = 2( x y n 2 + x y m 2 ) 2x (y m + y n ) 2 2( x y n 2 + x y m 2 ) 4d 2.

18 1.3 Sisätuloavaruudet 18 Koska 2( x y n 2 + x y m 2 ) 4d 2 0 kun n, m, niin (y n ) on Cauchyn jono avaruudessa H. Koska H on täydellinen, on olemassa y 0 H siten, että lim n y n = y 0. Koska S on suljettu, saadaan y 0 S. delleen, koska normi on jatkuva funktio, niin x y 0 = lim n x y n = d. Oletetaan, että y 1 S on toinen vektori, jolle x y 1 = d. Tällöin 1 2 (y 0+y 1 ) S ja suunnikassäännön nojalla saadaan y 0 y 1 2 2( x y x y 1 2 ) 4d 2. Koska x y 0 = d ja x y 1 = d, niin y 0 y 1 2 0, joten y 0 = y 1. Lemma Olkoon M sisätuloavaruuden H lineaarinen aliavaruus ja x H. Silloin x M jos ja vain jos x y x kaikilla y M. Todistus. Oletetaan ensin, että x M. Jos y M, niin (x y) = 0. Siis eli x y x. x y 2 = x 2 + y 2 x 2, Oletetaan sitten, että x y x jokaiselle y M. Koska λy M aina, kun y M ja λ K, niin x λy x. Tässä joten Oletetaan, että y 0. Olkoon Nyt saadaan x λy 2 = x 2 λ (x y) λ (y x) + λ 2 y 2, λ (x y) λ(x y) + λ 2 y 2 0. λ := (x y) (x y) 2, jolloin λ = y y 2. (x y) 2 y 2 (x y) 2 y 2 + (x y) 2 y 2 0, eli (x y) 2 y 2 0. Siis (x y) = 0 kaikilla y M, eli x M. (Tämä pätee selvästi myös kun y = 0.)

19 1.3 Sisätuloavaruudet 19 Lause Olkoon M Hilbertin avaruuden H suljettu vektorialiavaruus. Silloin jokaisella vektorilla x H on olemassa yksikäsitteinen esitys x = y + z, missä y M ja z M. Todistus. Jos M = {0}, niin lause on triviaali, koska M = H ja x = 0+x kaikilla x H. Voidaan siis olettaa, että M {0}. Olkoon x H. Joukko M on konveksi ja suljettu. Miniminormilauseen mukaan on olemassa y M, jolle x y x u kaikilla u M. Olkoon z := x y, jolloin x = y+z. Koska M on lineaarinen aliavaruus, y+u M jokaiselle u M, ja siten z = x y x (y + u) = x y u = z u. Näin ollen z z u kaikilla u M, joten Lemman 1.14 nojalla z M. Vektori x voidaan siis esittää muodossa x = y + z missä y M ja z M. Oletetaan, että x = y + z = y 1 + z 1, missä y, y 1 M ja z, z 1 M. Tällöin y y 1 = z z 1, y y 1 M ja z z 1 M, joten y y 1 M M ja z z 1 M M. Selvästi M M = {0}, joten y = y 1 ja z = z 1. Seuraus. Jos M on Hilbertin avaruuden H suljettu vektoriavaruus ja M H, niin on olemassa z 0, z H, siten, että z M. Todistus. Koska H M, niin on olemassa x H siten, että x / M. Lauseen 1.15 nojalla x = y + z, missä y M ja z M. Jos z = 0, niin x = y M, mikä on ristiriita. Siispä z 0. Jos L, M H ovat Hilbertin avaruuden H vektorialiavaruuksia, sanomme, että H on niiden suora summa ja käytämme merkintää H = L M, mikäli L M = {0} ja jokaisella x H on olemassa esitys x = y + z, missä y L ja z M. Seuraus. Olkoon H Hilbertin avaruus ja M avaruuden H suljettu vektorialiavaruus. Tällöin H = M M. Lause Olkoon S Hilbertin avaruuden H osajoukko. Tällöin span(s) = H jos ja vain jos S = {0}. Todistus. Oletetaan ensin, että span(s) = H. Selvästi {0} S. Olkoon x S. Koska x H = span(s), on olemassa jono (x n ) siten, että x n span(s) jokaiselle n Z + ja x n x, kun n. Jokainen m n x n = λ (n) i y (n) i,

20 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 20 missä λ (n) i K, y (n) i S, i = 1,... m n, n Z +. Kaikilla n Z + pätee m n (x n x) = ( ) y (n) i x = 0. Sisätulon jatkuvuuden nojalla saadaan ( ) (x x) = x lim x n = lim (x x n ) = 0, n n joten x = 0 ja siten x = 0. Näin ollen S {0}, ja täten S = {0}. Oletetaan nyt, että S = {0}. Mikäli spans H, on Seurauksen 1.3 nojalla olemassa z 0 siten, että z (span(s)). Siispä (z y) = 0 kaikilla s span(s). rityisesti (z y) = 0 kaikilla y S, joten z Z. Näin ollen z = 0, mikä on ristiriita. Siten täytyy olla span(s) = H. 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä Olkoon x = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) R 3. Jos e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) ja e 3 = (0, 0, 1), joka on ortonormaali vektorijoukko avaruudessa R 3, niin saadaan x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + ξ 3 e 3, missä ξ i = (x e i ), i = 1, 2, 3. Tällöin saadaan, että x 2 = (x e 1 ) 2 + (x e 2 ) 2 + (x e 3 ) 2. Tarkoituksenamme on nyt noudattaa samaa prosessia Hilbertin avaruudessa. i-triviaalilla Hilbertin avaruudella H {0} on aina ortonormaaleja joukkoja, esim jos x 0, x H, niin joukko {x/ x } on aina sellainen. Yleisemmin, jos {x 1,... x n } H on äärellinen tai numeroituva lineaarisesti riippumaton vektorijoukko, niin voidaan osoittaa, että seuraava ns. Gram-Schmidtin prosessin antamat vektorit {y 1, y 2,...} ovat ortogonaalisia ja nollasta eroavia: y 1 = x 1 y 2 = x 2 (x 2 y 1 ) (y 1 y 1 ) y 1 y 3 = x 3 (x 3 y 1 ) (y 1 y 1 ) y 1 (x 3 y 2 ) (y 2 y 2 ) y 2 Suorittamalla vielä normeeraus e n = y n / y n saadaan äärellinen tai numeroituva ortonormaali vektorijoukko {e 1, e 2,...}.

21 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 21 Lemma Olkoon {e 1,..., e n } ortonormaali vektorijoukko sisätuloavaruudessa H sekä λ 1,... λ n K. Jos x H, niin 2 x λ i e i = x 2 + λ i c i 2 i = 1 n c i 2, missä c i = (x e i ). Todistus. Helposti nähdään, että ( λ i e i Näin ollen x λ i e i 2 = ( x = (x x) = x 2 = x 2 + = x 2 + = x 2 + ) λ i e i = λ i e i x λ i λ i. ) λ i e i λ i (e i x) λ i c i λ i (x e i ) + λ i c i + λ i λ i (λ i λ i λ i c i λ i c i + c i c i ) (λ i c i )(λ i c i ) λ i c i 2 c i 2. c i 2 λ i λ i c i c i Oletetaan nyt, että x ja kaikki vektorit e i, 1 i n, ovat kiinnitettyjä. Tällöin { λ i e i : λ i K, i = 1,..., n, n Z + } = span{e 1,..., e n } on suljettu aliavaruus. Koska c 0 = (x e i ) on kiinnitetty, niin edellisestä lemmasta seuraa, että lauseke x λ i e i saa pienimmän arvonsa, kun λ i = c i, i = 1,..., n. Tuloksena saamme

22 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 22 Lause Olkoon {e 1,,..., e n } ortonormaali vektorijoukko sisätuloavaruudessa H ja olkoon x H. Se piste y span{e 1,..., e n }, jonka etäisyys pisteestä x on pienin, on y = (x e i ) e i ja etäisyys d = x y saadaan kaavalla d 2 = x 2 Seuraus. Jos x span{e 1,..., e n }, niin x = (x e i ) 2. (x e i ) e i. Lause 1.19 (Besselin epäyhtälö). Jos (e k ) k=1 on ortonormaali jono sisätuloavaruudessa, niin (x e k ) 2 x 2 ja lim (x e k ) = 0 k aina, kun x H. Todistus. Olkoon y n saadaan, että joten k=1 = n k=1 (x e k) e k jokaiselle n Z +. dellisestä lauseesta x y n = x 2 (x e k ) 2, k=1 (x e k ) 2 = x 2 x y n 2 x 2. k=1 Kun n, saadaan, että k=1 (x e k) 2 x 2. Koska kyseessä oleva sarja suppenee, täytyy olla lim k (x e k ) = 0. Toivomme, että muodollisesta sarjasta (x e n) e n tulisi vektorin x esitys. Siksi meidän täytyy seuraavaksi määritellä, mitä tarkoitetaan sillä, että ääretön sarja suppenee normiavaruudessa. Määritelmä. Olkoon (X, ) normiavaruus ja (x n ) jono avaruudessa X. Olkoon x n normiavaruuden X alkioiden muodostama sarja. Mikäli osasummien jono ( kx n)k = 1 suppenee kohti vektoria x X, eli k x n x 0, kun k, niin sanotaan, että sarja x suppenee avaruudessa X ja sen summa on x. Tällöin merkitään x = x n.

23 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 23 Lause Olkoon {e n : n Z + } ortonormaali vektorijoukko Hilbertin avaruudessa H. Jos λ n K kaikilla n Z +, niin sarja λ ne n suppenee avaruudessa H jos ja vain jos λ n 2 <, eli (λ n ) l 2. Todistus. Olkoon S k = k λ n e n ja S k = k λ n 2 jokaiselle k Z +. Olkoon k, l Z +. Koska vektorit e n, n Z +, ovat ortonormaalit, niin vektorit λ n e n, n Z + ovat ortogonaaliset, joten Pythagoraan lauseen nojalla saadaan, että S k+l S k 2 = k+l n=k+1 λ n e n = k+l n=k+1 λ n e n 2 = k+l n=k+1 λ n 2 = S k+l S k. Tästä nähdään, että (S k ) k=1 on Cauchyn jono avaruudessa H jos ja vain jos (S k ) k=1 on Cauchyn jono avaruudessa K. Koska H ja K ovat täydellisiä, niin väite seuraa tästä. Besselin epäyhtälön ja edellisen lauseen nojalla saadaan, että sarja (x e n) e n suppenee kaikille x H. mme voi kuitenkaan olla varmoja, että tämä raja-arvo on aina x. simerkki. Tarkastellaan avaruutta l 2 = {x = (x n ) : x n < }, missä sisätulo on annettu kaavalla (x y) = x n y n. Olkoon e n = (0,..., 0, 1, 0,...), missä luku 1 esiintyy koordinaatissa n. Tällöin {e n : n Z + } on ortonormaali joukko. Olkoon f n = e n+1 jokaiselle n Z +. Tällöin myös {f n : n Z + } on ortonormaali joukko. Jos x = (x n ) l 2, niin (x f n ) f n = (x e n ) e n = (0, x 2, x 3,...) x, n=2 kun x 1 0. Muodostetaan virhe Kun j Z +, niin y = x (y e j ) = (x e j ) (x e n ) e n. (x e j ) (e n e j ) = 0.

24 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 24 Jos joukko {e n : n Z + } on totaali, ts. ainoa vektori y H, joka toteuttaa yhtälön (y e n ) = 0 jokaiselle n Z 0, on y = 0, niin toivottu esitys pätee. Lause Olkoon (e n ) totaali ortonormaali jono Hilbertin avaruudessa H. Tällöin x = (x e n ) e n ja x 2 = (x e n ) 2 jokaiselle x H. Todistus. nsimmäisen osan lauseesta olemme jo todistaneet. Jos N Z +, niin Pythagoraan lauseen nojalla saamme, että N 2 N (x e n ) e n = (x e n ) 2. Koska normi on jatkuva, niin saamme x 2 2 N = (x e n ) e n = lim N (x e n ) e n 2 = lim N N (x e n ) 2. Määritelmä. Olkoon H Hilbertin avaruus. Vektorijono (e n ) on avaruuden H ortonormaali kanta, jos se on ortonormaali ja totaali. Lause Olkoon H Hilbertin avaruus ja (e n ) ortonormaali jono avaruudessa H. Silloin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Jono (e n ) on totaali, eli ortonormaali kanta. (b) span{e n : n Z + } = H. (c) Kaikilla x H pätee x = (x e n) e n. (d) Kaikilla x H pätee x 2 = (x e n) 2. Todistus. (a) (b): Lauseen 1.16 mukaan span(s) = H jos ja vain jos S = {0}, missä S H on mielivaltainen joukko. Olkoon S = {e n : n Z + }. Nyt S = {0} jos ja vain jos ainoa vektori x H, mikä toteuttaa (x e n ) = 0 jokaiselle n Z +, on x = 0. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jono (e n ) on totaali. (a) (c): Olkoon x H. Lauseen 1.21 mukaan x = (x e n) e n. (c) (d): Tämä seuraa Lauseen 1.21 todistuksesta. (d) (a): Oletetaan, että (e n ) ei ole totaali, eli on olemassa x H, x 0, siten, että (x e n ) = 0 kaikilla n Z +. Tällöin x = 0, mutta (x e n) 2 = 0, mikä on ristiriita kohdan (d) kanssa.

25 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 25 simerkki. (a) (b) ja Olkoon l 2 = {x = (x i ) : x i K ja (x y) = x i y i. x i < } Tällöin jono (e k ) k=1, missä e 1 = (1, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0, 0,...) jne., on ortonormaali jono avaruudessa l 2. delleen, jos x = (x i ) l 2, niin (x e k ) = x k jokaiselle k Z + ja x 2 = x k 2 = (x e k ) 2. k=1 Näin ollen Lauseesta 1.22 seuraa, että (e k ) k=1 on avaruuden l2 ortonormaali kanta ja x = (x e k ) e k = x k e k. Olkoon ja k=1 k=1 k=1 L 2 ([a, b]) = {f : [a, b] K : f on mitallinen ja (f g) = b a f(x)g(x)dx b a f(x) 2 dx < } aina, kun f, g L 2 ([a, b]). Tällöin L 2 ([a, b]) on Hilbertin avaruus. Tällä avaruudella on useita ortonormaaleja kantoja. Olkoot a =, b = π sekä (e k ) k=, missä Tällöin (e k e n ) = 1 π e k (t) = 1 e ikt, k = 0, ±1, ±2,... e ikt e int dt = 1 { π e i(k n)t 1, kun k = n dt = 0, kun k n. Näin ollen (e k ) k= on ortonormaali jono avaruudessa L2 ([, π]). Toinen ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]) on 1 2x, 1 π cos t, 1 π sin t, 1 π cos(2t),...

26 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 26 Myöhemmin todistamme, että (e k ) k= on myös totaali, eli ortonormaali kanta. Jos (e k ) k=1 on Hilbertin avaruuden H ortonormaali kanta, niin jokaisella vektorilla x H on esitys Fourier-sarjana x = (x e k ) e k. k=1 Tässä esiintyviä lukuja (x e k ) sanotaan vektorin x Fourier-kertoimiksi jonon (e k ) k=1 suhteen. Lauseen 1.22 (d) kohdan nojalla pätee ns. Parsevalin kaava x 2 = (x e k ) 2. k=1 Koska jono (e k ) k=1, missä e k(t) = 1 e ikt, on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]), voimme kirjoittaa tuloksen: Seuraus. Jos f L 2 ([, π]), niin f(t) = k= (f e k ) e k (t) = k= ( π Merkinnällä ˆf(t) = 1 π f(t)eikt saadaan Fourier-sarja f(t) = k= f(t)e ikt, ) f(t) e ikt 1 dt e ikt missä sarja suppenee L 2 -mielessä. Konkreettisesti tämä tarkoittaa π m lim m f(t) 2 f(k)e ikt dt = 0. k= m Parsevalin kaava on koska kaikilla k Z +. 1 π f(t) 2 dt = k= f(k) 2, f(t) = 1 π f(t)e ikt dt = 1 (f e k )

27 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 27 Määritelmä. Hilbertin avaruuden H sanotaan olevan separoituva, jos sillä on totaali ortonormaali jono (voi olla äärellinen). Todistamme seuraavaksi, että kaikki ääretönulotteiset separoituvat Hilbertin avaruudet ovat avaruuden l 2 näköisiä. Määritelmä. Olkoot H ja K Hilbertin avaruuksia. Kuvaus T : H K on unitaarinen, jos se on lineaarinen, bijektiivinen ja toteuttaa (säilyttää sisätulon) (T x T y) K = (x y) H kaikille x, y H. Hilbertin avaruudet H ja K ovat isomorfisia, jos on olemassa unitaarinen kuvaus T : H K. Lause Olkoot H ja K Hilbertin avaruuksia ja T : H K lineaarinen surjektio. Tällöin T on unitaarinen jos ja vain jos T x = x kaikilla x H. Todistus. Oletetaan, että T x = x kaikilla x H. Selvästi T on injektio. Polarisaatiokaavan avulla saadaan kaikille x, y H, että (T x T y) K = 1 4 ( T (x + y) 2 T (x y) 2 + i T (x iy) 2 i T (x iy) 2 ) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ) = (x y) H. Kääntäen, jos (T x T y) K = (x y) H kaikilla x, y H, niin (T x T x) K = (x x) H kaikilla x H, joten T x = x kaikilla x H. Lause Olkoon H separoituva Hilberin avaruus ja olkoon (e n ) totaali ortonormaali jono avaruudessa H. Tällöin H on isomorfinen avaruuden l 2 kanssa. Todistus. Määritellään T : H l 2 kaavalla T x = T ( (x e n ) e n ) = (ξ n ), missä ξ n = (x e n ). Parsevalin kaavan nojalla saadaan, että kun x H, niin T x 2 = (T x T x) = ξ n 2 = (x e n ) 2 = x 2 <, joten T x l 2 ja edelleen T x = x kaikilla x H. Selvästi kuvaus T on lineaarinen. Lauseen 1.23 nojalla riittää osoittaa, että T on surjektio. Olkoon

28 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 28 (η n ) l 2, ts. η n 2 <. Tällöin Lauseesta 1.20 seuraa, että sarja η ne n suppenee avaruudessa H, ts. on olemassa x H siten, että x = η n e n. Siis η n = (x e n ) kaikilla n Z + ja T x = (η n ). Näin ollen H ja l 2 ovat isomorfisia. 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta Tässä pykälässä osoitamme vihdoin, että e n (x) = 1 e inx, n Z +, on ortonormaali kanta avaruudessa L 2 ([, π]). Tulemme huomaamaan, että tämä vaatii paljon työtä ennen kuin tulos on saavutettu. Lause Olkoon e n (x) = 1 e inx, x π, n Z. Tällöin (e n ) n= on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]). Todistus. Olemme aikaisemmin nähneet, että (e n ) n= Lauseen 1.22 nojalla riittää osoittaa, että on ortonormaali jono. span{e n : n Z} = L 2 ([, π]), missä sulkeuma otetaan L 2 -normin mielessä. Tarvitsemme seuraavan tuloksen, jonka esitämme ilman todistusta: Olkoon X = {f : [, π] C : f on jatkuva ja -perioidinen}, ts. f X jos ja vain jos f on jatkuva ja f(x + ) = f(x) kaikilla x R. Tällöin X = L 2 ([, π]), eli jatkuvat -perioidiset funktioit ovat tiheässä avaruudessa L 2 ([, π]). Näin ollen riittää osoittaa, että X span{e n ; n Z}. Olkoon f X. Haluaisimme konstruoida jonon avaruudessa span{e n : n Z}, joka suppenee avaruudessa L 2 ([, π]) kohti funktiota f. On olemassa luonnollinen ehdokas, nimittäin m f m = (f e n ) e n. n= m Selvästi f m span{e n : n Z}. Meidän on todistettava, että f m f avaruudessa L 2 ([, π]), kun m.

29 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 29 Osoittautuu kuitenkin helpommaksi muodostaa aritmeettinen keskiarvo F m = 1 m + 1 (f 0 + f f m ), m = 0, 1, 2,..., joka kuuluu avaruuteen span{e n : n Z}, ja osoittaa, että F m f avaruudessa L 2 ([, π]), kun m. Nyt (f e n ) = 1 π f(x)e inx dx. Siis Näin ollen Merkitään f m (y) = m n= m = 1 = 1 F m (y) = 1 m + 1 = 1 m + 1 = 1 π (f e n ) e n (y) m ( π n= m π f(x) f j (y) j=0 m j=0 1 π ) f(x)e inx dx e iny m n= m 1 f(x) m + 1 K m (t) = 1 m + 1 f(x) m m e in(y x) dx. j e in(y x dx n= j j=0 n= j j=0 n= j Tämä on ns. Fejerin ydin. Tällöin saadaan, että F m (y) = 1 π j e in(y x) dx. j e int. f(x)k m (y x)dx =: (K m f)(y), missä funktion K m f sanotaan olevan funktioiden K m ja f konvoluutio. Lemma Kaikilla t R, t n, n Z, on K m (t) = 1 sin 2 ( (m+1)t ) 2 m + 1 sin 2 ( t ). 2

30 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 30 Todistus. Saadaan 2j j e int = e ijt (eit) n. n= j n=2 Soveltamalla geometrisen sarjan kaavaa, saadaan j n= j e int = e ijt ( 1 e i(2j+1)t 1 e it ) = e ijt e i(j+1)t 1 e it. Jos merkitään z = e it, niin z 1 kun t n, n Z, ja saadaan, että Nyt delleen, (m + 1)K m (t) = j n= j = m e int = zj z j+1. 1 z j j=0 n= j m j=0 e int z j z j+1 1 z = 1 ( m m ) z j z j+1 1 z j=0 j=0 = 1 ( 1 z m+1 z(1 zm+1 ) ) 1 z 1 z 1 z = 1 ( 1 z m+1 zz(1 zm+1 ) ) 1 z 1 z z(1 z) = 1 ( 1 z m+1 (1 zm+1 ) ) 1 z 1 z z 1 = 1 ( 1 z m ) zm+1 1 z 1 z 1 z = zm z m+1 1 z 2. 1 z = 1 e it = e it/2 (e it/2 e it/2 ) = e it/2 e it/2 = 2 sin(t/2),

31 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 31 missä ulerin kaavalla e ix e ix = 2i sin x. Lisäksi Näin ollen saadaan, että z m z m+1 = e i(m+1)t 2 + e i(m+1)t = (e i(m+1)t/2 e i(m+1)t/2 ) 2 = (2i sin( (m + 1)t )) 2. 2 (m + 1)K m (t) = 4 sin2 ( (m+1)t 2 ) 2 sin 2 ( t 2 ). Lemma Fejerin ytimellä on seuraavat ominaisuudet: (i) (ii) K m (t) 0 kaikilla t R, m = 0, 1, 2,.... π K m(t)dt =, m = 0, 1, 2,.... (iii) Kaikilla δ > 0, 0 < δ < π, on δ K m (t)dt + π δ K m (t)dt 0 kun m. Todistus. (i) Lemmasta 1.26 seuraa, että K m (t) 0 kaikille t R, t n, n Z. Koska K m (t) on jatkuva, saadaan, että K m (t) 0 kaikille t R. (ii) π e int dt = {, jos n = 0 0, jos n 0 joten π K m (t)dt = 1 m + 1 m j j=0 n= j π e int dt = 1 (m + 1) =. m + 1 (iii) Jos < t < δ tai δ < t < π, niin sin 2 (t/2) sin 2 (δ/2). Lemmasta 1.26

32 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 32 seuraa, että 0 K m (t) = 1 sin 2 ( (m+1)t ) 2 m + 1 sin 2 ( t ) m + 1 sin 2 ( t ) m + 1 sin 2 ( δ ), 2 kun < t < δ tai δ < t < π. Jos δ, 0 < δ < π, on kiinnitetty, niin saadaan kun m. 0 δ K m (t)dt + π δ K m (t)dt 2δ (m + 1) sin 2 (δ/2) + (m + 1) sin 2 (δ/2) (m + 1) sin 2 (δ/2) 0, Palataan päälauseen todistukseen. Tarkoituksenamme on todistaa, että F m f avaruudessa L 2 ([, π]), kun m, missä F m (y) = 1 π f(x)k m (y x)dx kaikilla y [, π]. Kiinnitetään y [, π] ja olkoon t = y x Lemmassa 1.27 kohdassa (ii). Tällöin y+π y K m (y x)dx = Kerrotaan puolittain termillä f(y)/, jolloin saadaan Kun t R ja r Z, niin f(y) = 1 y+π f(y)k m (y x)dx. y K m (t + r) = 1 m + 1 m j=0 k= j j e int e inr = K m (t).

33 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 33 Nyt f(x + r)k m (y x r) = f(x)k m (y x), joten funktio x f(x)k m (y x) on -perioidinen. Siten F m (y) = 1 π joten tästä seuraa, että F m (y) f(y) = 1 f(x)k m (y x)dx = 1 y+π y y+π y f(x)k m (y x)dx, [f(x) f(y)]k m (y x)dx. Tämä integraali on pieni, kun m, koska f(x) f(y) on pieni, kun x y ja kun x y on iso, niin K x (y x) on pieni. Seuraavassa todistamme tämän yksityiskohtaisesti. Kaikilla y [, π] ja 0 < δ < π pätee F m (y) f(y) 1 y+π f(x) f(y) K m (y x)dx = y y δ y y+δ y δ y+π y+δ f(x) f(y) K m (y x)dx f(x) f(y) K m (y x)dx f(x) f(y) K m (y x)dx. Olkoon ɛ > 0. Yritämme löytää sellaisen m 0 Z +, että kun m m 0, niin F m (y) f(y) < ɛ kaikille y [, π]. Koska f on jatkuva ja -perioidinen, on olemassa M > 0 siten, että f(x) M kaikilla x R. Analyysistä tiedämme, että jatkuva funktio kompaktilla välillä on tasaisesti jatkuva. Näin ollen f on tasaisesti jatkuva välillä [, 2, π], joten on olemassa sellainen δ, 0 < δ < π, että jos y π ja x y < δ, niin tällöin f(x) f(y) < ɛ/2. Lemman 1.27 kohdan (iii) mukaan on olemassa sellainen m 0 Z +, että kun m m 0, niin δ Olkoon t = y x. Tällöin y δ y K m (y x)dx + K m (t)dt + y+π y+δ π δ K m (t)dt < π 2M ɛ. K m (y x)dx < π ɛ kun m m 0.

34 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 34 Koska f(x) f(y) f(x) + f(y) 2M kaikilla x, y R, saadaan jokaiselle m m 0, että 1 y δ f(x) f(y) K m (y x)dx + 1 y+π f(x) f(y) K m (y x)dx y y+δ < 1 2M π 2M ɛ = ɛ 2. Toisaalta, f(x) f(y) < ɛ/2 kun x (y δ, y + δ) ja y [, π], joten 1 y+δ ɛ 1 2 y δ y+δ f(x) f(y) K m (y x)dx y δ y+π K m (y x)dx ɛ 1 K m (y x)dx 2 y = ɛ 1 2 = ɛ 2. Siis jokaiselle y [, π] ja jokaiselle m m 0 pätee F m (y) f(y) < ɛ/2+ɛ/2 = ɛ. Olemme todistaneet, että tai sup F m (y) f(y) 0, kun m, y [,π] F m f 0, kun m, eli F m f avaruudessa (C([, π], ). Mutta 0 F m f 2 2 = π F m (y) f(y) 2 dy F m f 2 π = F m f 2, joten F m f L 2 -normin mielessä, kun m ja f span{e n : n Z}. Siis X span{e n : n Z} ja siten X = span{e n : n Z} = L 2 ([, π]). Suppeneminen avaruudessa L 2 ([, π]) on tosi heikko, joten palaamme edellisen lauseen todistukseen ja mainitsemme mitä me oikeastaan todistimme: dy

35 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 35 Lause Olkoon f : R C jatkuva -perioidinen funktio. delleen, olkoot s n (f, x) = k= n f(k)e ikx, missä f(k) = 1 π f(x)e ikx dx, ja Tällöin σ n (f, x) = 1 n + 1 s k (f, x). k=0 sup σ n(f, x) f(x) 0, kun n. x R Todistus. Merkinnöillä s n (f, x) = f n (x) ja σ n (f, x) = F n (x) osoitimme edellisen lauseen todistuksessa, että sup F n (x) f(x) 0, kun n. x [,π] Koska f ja kaikki funktiot F n ovat -perioidisia, seuraa tästä, että F n f tasaisesti koko avaruudessa R, kun n. Huomautus. Koska jatkuvan -perioidisen funktion Fourier-osasummien aritmeettinen keskiarvo suppenee tasaisesti kohti funktiota f avaruudessa R, seuraa tästä, että tämä keskiarvo suppenee myös pisteittäin kaikilla x R. Lause Olkoot f, g L 2 (π, π]) ja niiden Fourier-sarjat f(x) = n= f(n)e inx, g(x) = n= ĝ(n)e inx. Tällöin 1 π f(x)g(x)dx = n= f(n)ĝ(n). Todistus. Olkoon l 2 Z Hilbertin avaruus, joka koostuu kaikista jonoista (ξ n) n Z, ξ n C kaikille n Z, joille n= ξ n 2 < varustettuna sisätulolla ((ξ n ) (η n )) = n= ξ n η n.

36 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 36 Tiedämme, että e n (x) = 1 e inx, n Z, on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]). Tällöin voidaan osoittaa (katso Lause 1.24), että T : L 2 ([, π]) l 2 Z, T f = (ξ n ) n Z, missä ξ n = (f e n ) kaikilla n Z, on unitaarinen. Siis kaikilla f, g L 2 ([, π]). Nyt f(n) = 1 (f g) L 2 ([,π]) = (T f T g) l 2 Z. π f(x)e inx dx = 1 (f e n ), joten T f = ( f(n)) n Z ja T g = (ĝ(n)) n Z. Näin ollen π f(x)g(x)dx = (f g) L 2 ([,π]) = (T f T g) l 2 Z = n= f(n)ĝ(n). Seuraus. Jos funktion f L 2 ([, π]) Fourier-sarja on f(x) = f(n)e inx, niin n= 1 π f(x) 2 dx = n= f(n) 2. simerkki. Olkoon f L 2 ([, π]). Tällöin 1, n = 0 e n (x) = 1 π cos(nx), n = 2k, k Z + x [, π], 1 π sin(nx), n = 2k 1, k Z + on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]) (harjoitustehtävä). Lauseen 1.22 nojalla f(x) = n=0 (f e n) e n (yhtäsuuruus L 2 -normin mielessä). Jokaiselle n Z + on voimassa (f e 2n ) = 1 π π (f e 2n 1 ) = 1 π π (f e 0 ) = 1 π f(x) cos(nx)dx f(x) sin(nx)dx f(x)dx

37 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 37 joten Olkoon f(x) = (f e 0 ) e 0 + (f e 2n ) e 2n + = 1 π f(x)dx + ( 1 π + π jolloin voidaan kirjoittaa π (f e 2n 1 ) e 2n 1 ( 1 ) f(x) cos(nx)dx cos(nx) π ) f(x) sin(nx)dx sin(nx). a 0 = 1 a n = 1 π b n = 1 π f(x) = a 0 + π π π f(x)dx f(x) sin(nx) f(x) cos(nx), (a n sin(nx) + b n cos(nx)). Tämä yhtälö pätee siis L 2 -normin mielessä. Parsevalin kaavan nojalla eli joten tai f 2 = f 2 = (f e 0 ) 2 + π (f e k ) 2, k=0 ( (f e2n 1 ) 2 + (f e 2n ) 2) = a π a n 2 + π b n 2, [ f(x) 2 dx = a π f(x) 2 dx = a ( an 2 + b n 2)] ( an 2 + b n 2).

38 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 38 Koska π f(x) 2 dx <, niin ( a n 2 + b n 2 ) <, joten lim n a n = lim n b n = 0. Siis a n 0 ja b n 0, kun n, eli π lim n π f(x) sin(nx)dx = lim f(x) cos(nx)dx = 0. n Kirjallisuutta P. Hästö: Analyysi III, luentomoniste 2007 W. Rudin: Real and complex analysis, third edition, McGraw-Hill, 1987 N. Young: An Introduction to Hilbert Spaces, Reprinted, Cambridge University Press, 1995

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström

Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille Joona Lindström HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n) FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............

Lisätiedot

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x? 102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

Simpleksiset kompleksit. Marjo-Riitta Kuha

Simpleksiset kompleksit. Marjo-Riitta Kuha Simpleksiset kompleksit Marjo-Riitta Kuha 17. toukokuuta 2013 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä/Författare Author Laitos/Institution Department Matematiikan

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot