Poistumislause Kandidaatintutkielma

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Poistumislause Kandidaatintutkielma"

Transkriptio

1 Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä helmikuuta 2011

2 Sisältö 1 Johdanto Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa Esitietoja Maksimaalinen ratkaisu Poistumislause Sovelluksia Lähteet

3 1 Johdanto Tässä kandidaatintutkielmassa esitetään tavallisen differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävälle y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (1.1) poistumislause, joka on eräs olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden tyyppi. Sen mukaan jossakin R n+1 :n alueessa D määritellyn funktion f toteuttaessa tietyt jatkuvuuteen liittyvät ehdot, alkuarvotehtävän (1.1) maksimaalisen ratkaisun y kuvaaja poistuu jokaisesta alueen D kompaktista joukosta K. Näin saadaan laajennettua kyseisen ratkaisun kuvaajaa yksikäsitteisesti alueen D reunalta reunalle. Luvussa 2 esitellään olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden tutkimukseen liittyvää historiaa käyttäen lähteenä Kolmogorovin ja Yushkevichin kirjaa [2, luku 2.2]. Luvussa 3 määritellään poistumislauseen todistamisessa tarvittavat käsitteet ja esitetään myöhemmissä todistuksissa tarvittava lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause, jonka todistus esitetään esimerkiksi matematiikan ja tilastotieteen laitoksen kurssilla Differentiaaliyhtälöt II, ja se löytyy myös Gyllenbergin, Olan ja Piiroisen luentomateriaalista [1, luku 4]. Luvussa 4 määritellään alkuarvotehtävän (1.1) maksimaalinen ratkaisu sekä todistetaan sen olemassaolo ja yksikäsitteisyys muutamin muutoksin Martion ja Sarvaksen kirjaan [3, luku II.1]. Luvussa 5 todistetaan poistumislause. Lisäksi määritellään differentiaaliyhtälösysteemin hyödyllinen erikoistapaus autonominen systeemi ja esitetään korollaarina poistumislause autonomisille systeemeille. Lopuksi luvussa 6 annetaan muutamia esimerkkejä poistumislauseen soveltamisesta. 2

4 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseet ovat differentiaaliyhtälöiden teorian tärkeimpiä tuloksia. Erilaisia alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden takaavia lauseita on kehitetty erilaisilla todistusmenetelmillä 1800-luvun alkupuolelta lähtien. Tuloksia on edelleen paranneltu koko 1800-luvun ajan ja niistä on johdettu hyödyllisiä seurauksia, kuten esimerkiksi poistumislause. Tässä luvussa esitellään olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden historiaa. Augustin Louis Cauchy ( ) esitti vuosina Pariisin École Polytechniquessa pitämällään luentosarjalla todistuksen alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (2.1) ratkaisun olemassaololle ja lokaalille yksikäsitteisyydelle välillä I = [x 0, X] funktioiden f ja f/ y ollessa jatkuvia. Cauchyn todistuksessa väli I jaetaan n osaväliin, joiden päätepisteet ovat x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = X. Alkuarvotehtävän (2.1) ratkaisukäyrän y-koordinaatit pystytään laskemaan näissä pisteissä. Kun annetaan välin I osavälien määrän kasvaa rajatta, jono (y n ) suppenee kohti alkuarvotehtävän (2.1) ratkaisua y ja välin I osavälien pituus lähestyy nollaa. Ratkaisun olemassaolon todistus jatkuu samankaltaisena kuin Riemannin integraalin olemassaolon todistus. Cauchy myös laajensi todistuksen koskemaan yhden differentiaaliyhtälön lisäksi usean yhtälön systeemin alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. (2.2) Cauchyn ja Niels Henrik Abelin ( ) töiden ansiosta 1830-luvun puoliväliin mennessä sarjateorian ja erityisesti potenssisarjojen tutkimus oli alkanut kehittyä. Cauchy perehtyi funktioiden esittämiseen potenssisarjojen avulla ja Torinon yliopistossa vuonna 1831 hän esitteli olemassaololauseen kompleksimuuttujan funktion potenssisarjaesitykselle sekä muita tunnettuja tuloksia. Tämän uudentyyppisen analyysin avulla Cauchy todisti vuonna 1835 alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun olemassaolon majorantteihin perustuvalla menetelmällä ja laajensi differentiaaliyhtälöiden teorian kompleksitasoon. Cauchy ei myöhemmin juurikaan palannut parantelemaan ensimmäistä todistusmenetelmäänsä luvun lopulla Rudolf Lipschitz ( ) todisti, että differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävällä (2.2) oli olemassa ratkaisu. Hän käytti samaa menetelmää kuin Cauchy oli käyttänyt ensimmäisessä todistuksessaan, vaikka ei ilmeisesti ollutkaan tietoinen Cauchyn tuloksesta. Hänen todistuksessaan oletetaan funktiolta f niin sanottuja Lipschitz-ehtoja, mikä tekee tuloksesta hieman Cauchyn todistusta yleisemmän. 3

5 Cauchyn majoranttimenetelmän takia Lipschitzin tuloksesta ei kuitenkaan oltu juurikaan kiinnostuneita, kunnes Charles Émile Picard ( ) otti sen esille. Hän sai Paul Painlevén ( ) kanssa osoitettua Cauchyn ja Lipschitzin tulokselle vuonna 1899 tärkeän seurauksen, jonka mukaan alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun kuvaaja poistuu mielivaltaisen lähelle lauseen oletukset toteuttavan alueen reunaa. Osoittautui, ettei olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen oletusten Lipschitzehdoista ole mahdollista luopua vaarantamatta alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun yksikäsitteisyyttä. Useat matemaatikot ovat kuitenkin kehittäneet lauseesta erilaisia muunnelmia. 4

6 3 Esitietoja Olkoon D R n+1 alue ja I R reaalilukuväli, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu. Välin I päätepisteissä kyse on toispuolisesta derivaatasta. Tutkitaan normaalimuotoista differentiaaliyhtälösysteemiä y 1(x) = f 1 (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)) y 2(x) = f 2 (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)). y n(x) = f n (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)), jossa y i : I R ja f i : D R, i = 1, 2,..., n. Kun merkitään y : I R n, y(x) = (y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)), ja f : D R n, f(x, y(x)) = (f 1 (x, y(x)),..., f n (x, y(x))), systeemi voidaan kirjoittaa muodossa y (x) = f(x, y(x)). Olkoon x 0 R. Asettamalla alkuehto y(x 0 ) = y 0, jossa (x 0, y 0 ) D, saadaan alkuarvotehtävä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. Määritellään seuraavaksi Lipschitz-jatkuvuuden tyyppejä, joita tarvitaan lokaalin olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen sekä poistumislauseiden oletuksissa. Määritelmä 3.1. Olkoon A R m joukko. Funktio f : A R n on Lipschitzjatkuva joukossa A, jos on olemassa sellainen positiivinen reaalilukuvakio M, että kaikilla x 1, x 2 A. f(x 1 ) f(x 2 ) M x 1 x 2 Määritelmä 3.2. Olkoon D R m alue. Funktio f : D R n on lokaalisti Lipschitzjatkuva alueessa D, jos jokaisella x D on avoin ympäristö U x, jossa funktio f on Lipschitz-jatkuva. Määritelmä 3.3. Olkoon A R n+1 joukko. Funktio f : A R n on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa A, jos on olemassa sellainen positiivinen reaalilukuvakio M, että kaikilla (x, y i ) A, i = 1, 2. f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) M y 1 y 2 5

7 Määritelmä 3.4. Olkoon D R n+1 alue. Funktio f : D R n toteuttaa lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen alueessa D, jos jokaisella z = (x, y) D on avoin ympäristö U z, jossa funktio f on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen. Esitetään vielä tulevissa todistuksissa paljon käytetty lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause alkuarvotehtävälle. Lause 3.5 (Lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause). Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Olkoon (x 0, y 0 ) D. Olemassaolo: Tällöin on olemassa sellainen positiivinen reaaliluku δ, että alkuarvotehtävällä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (3.1) on ratkaisu y : I R n välillä I = ]x 0 δ, x 0 + δ[. Yksikäsitteisyys: Olkoot y k : I k R n, k = 1, 2, kaksi alkuarvotehtävän (3.1) sellaista ratkaisua välillä I k x 0, joiden kuvaajat kulkevat D:ssä eli {(x, y k (x)) x I k } D, k = 1, 2. Tällöin y 1 (x) = y 2 (x) kaikilla x I 1 I 2 ja funktio y : I 1 I 2 R n, { y1 (x), kun x I y(x) = 1 y 2 (x), kun x I 2 \ I 1, on välillä I 1 I 2 alkuarvotehtävän (3.1) ainoa ratkaisu. 6

8 4 Maksimaalinen ratkaisu Tässä luvussa esitetään differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävän maksimaalisen ratkaisun käsite ja todistetaan sen olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Määritelmä 4.1. Funktiota y M : I M R n kutsutaan alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (4.1) maksimaaliseksi ratkaisuksi ja väliä I M R alkuarvotehtävään (4.1) liittyväksi maksimaaliseksi ratkaisuväliksi, jos y M on alkuarvotehtävän (4.1) ratkaisu ja kaikilla muilla ratkaisuilla y i : I i R n pätee I i I M. Seuraavasta lauseesta seuraa maksimaalisen ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Lause 4.2. Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Tällöin jokaista (x 0, y 0 ) D vastaa sellainen avoin väli I M, että x 0 I M, ja alkuarvotehtävällä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (4.2) on yksikäsitteinen ratkaisu y M : I M R n, jonka kuvaaja kulkee alueessa D. Jos lisäksi y i : I i R n on välillä I i alkuarvotehtävän (4.2) sellainen ratkaisu, jonka kuvaaja kulkee alueessa D, niin (a) I i I M ja (b) y M on funktion y i jatke eli y M (x) = y i (x), kun x I i. Todistus. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen 3.5 mukaan alkuarvotehtävällä (4.2) on ratkaisu jollakin välillä. Olkoot alkuarvotehtävän (4.2) kaikki ratkaisut y i : I i R, jossa x 0 I i, i J ja J on indeksijoukko. Merkitään I M = i J I i. Nyt kaikilla i J pätee I i I M. Määritellään y M : I M R n, y M (x) = y i (x), kun x I i. Lauseen 3.5 nojalla y M on hyvin määritelty ja se todella on alkuarvotehtävän (4.2) ratkaisu. Muut ratkaisut ovat selvästi sen rajoittumia. Siis I M on alkuarvotehtävän (4.2) maksimaalinen ratkaisuväli. On todistettava vielä, että väli I M on avoin. Merkitään sen päätepisteitä x = inf I M ja x + = sup I M. Jos x + I M, niin tarkastellaan alkuarvotehtävää z (x) = f(x, z(x)), z(x + ) = y M (x + ). (4.3) 7

9 Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen 3.5 mukaan on olemassa sellainen δ > 0, että alkuarvotehtävällä (4.3) on ratkaisu z välillä I + = ]x + δ, x + + δ[. Tällöin z(x) = y M (x), kun x I + I M. Funktio u: I M I + R n, { ym (x), kun x I u(x) = M z(x), kun x I + \ I M, on alkuarvotehtävän (4.2) ratkaisu ja erityisesti maksimaalisen ratkaisun y M jatke, mikä on ristiriita. Näin ollen päätepiste x + ei sisälly maksimaaliseen ratkaisuväliin I M. Jos x I M, voidaan suorittaa samanlainen tarkastelu päätepisteen x ympäristössä ja havaitaan, ettei sekään sisälly maksimaaliseen ratkaisuväliin I M. Koska x I M ja x + I M, on väli I M avoin. 8

10 5 Poistumislause Tässä luvussa todistetaan poistumislause. Lopuksi määritellään mitä tarkoitetaan autonomisella systeemillä ja esitetään poistumislause autonomisille systeemeille. Lause 5.1 (Poistumislause). Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Olkoon (x 0, y 0 ) D ja olkoon K D kompakti joukko. Olkoon funktio y : I R n alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, maksimaalinen ratkaisu, jonka ratkaisuväli on I = ]x, x + [, jossa x R { } ja x + R {+ }. Tällöin (a) on olemassa sellainen x 1 < x +, että (x, y(x)) K kaikilla x ]x 1, x + [, ja (b) on olemassa sellainen x 2 > x, että (x, y(x)) K kaikilla x ]x, x 2 [. Todistus. Todistetaan ratkaisuvälin I ylärajaa x + koskeva tapaus. Alarajaa x koskeva tapaus todistuu vastaavasti. Jos x + = +, on asia selvä. Oletetaan siis, että x + R. Tehdään vastaoletus: on olemassa sellainen jono (x k ), että x k x +, kun k +, ja (x k, y(x k )) K. Koska joukko K on kompakti, tarvittaessa siirtymällä osajonoon voidaan olettaa, että (x k, y(x k )) (x +, y + ) K, jossa y + R n. On olemassa sellainen η > 0, jolla Q = {(x, y) R n+1 x x + η, y y + η} D, ja funktio f on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa Q. Lisäksi on olemassa sellainen k, että (xk, y(x k )) (x +, y + ) < η 2. Alkuarvotehtävällä z (x) = f(x, z(x)), z(x k ) = y(x k ), on ratkaisu z: ]x k δ, x k + δ[ R n, jossa δ = min η 2, η > 0 2 max f(x, y) + 1 (x,y) Q riippuu vain η:sta, ei k:sta [1, luku 4]. Yksikäsitteisyyden nojalla funktio z on funktion y rajoittuma. Siten x + x k + δ. Voidaan kasvattaa k:ta, kunnes x k > x + δ/2. Tällöin x k + δ/2 > x + x k + δ. Tästä seuraa δ < 0, mikä on ristiriita. 9

11 Määritelmä 5.2. Olkoon D R n alue ja I R reaalilukuväli, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu. Välin I päätepisteissä kyse on toispuolisesta derivaatasta. Autonominen systeemi on differentiaaliyhtälösysteemi, joka on muotoa y (x) = f(y(x)), jossa y : I R n ja f : D R n. Olkoon x 0 R. Asettamalla alkuehto y(x 0 ) = y 0, jossa y 0 D, saadaan alkuarvotehtävä y (x) = f(y(x)), y(x 0 ) = y 0. Lauseesta 5.1 seuraa suoraan vastaava tulos myös autonomisille systeemeille. Korollaari 5.3 (Poistumislause autonomisille systeemeille). Olkoon D R n alue ja olkoon funktio f : D R n siinä lokaalisti Lipschitz-jatkuva. Olkoon K D kompakti joukko. Olkoon x 0 R ja y 0 D. Olkoon funktio y : I R n alkuarvotehtävän y (x) = f(y(x)), y(x 0 ) = y 0, maksimaalinen ratkaisu, jonka ratkaisuväli on I = ]x, x + [, jossa x R { } ja x + R {+ }. Tällöin (a) x + = + tai on olemassa sellainen x 1 < x +, että y(x) K kaikilla x ]x 1, x + [, ja (b) x = tai on olemassa sellainen x 2 > x, että y(x) K kaikilla x ]x, x 1 [. 10

12 6 Sovelluksia Tässä luvussa esitetään esimerkkejä poistumislauseen soveltamisesta autonomisessa sekä epäautonomisessa tapauksessa. Esimerkki 6.1. Tarkastellaan autonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(y(x)) = 1 y(x) 2 (6.1) y (x) = f(y(x)) = 1 y(x) 2, y(0) = y 0, (6.2) jossa 1 < y 0 < 1. Poistumislauseen 5.3 oletukset ovat voimassa koko alueessa R. Yhtälöllä (6.1) on triviaaliratkaisut y 1 ja y 1. Alkuarvotehtävällä (6.2) on maksimaalinen ratkaisu y M : I R, I = ]x, x + [, jonka kuvaaja kulkee pisteen (0, y 0 ) kautta, ja yksikäsitteisyyden nojalla se ei voi leikata triviaaliratkaisuiden ratojen kanssa, joten 1 < y M (x) < 1 kaikilla x I. Joukko K = [ 1, 1] on kompakti, ja koska y M (x) K kaikilla x I, niin poistumislauseen 5.3 mukaan x = ja x + = +. Siis I = R. Esimerkki 6.2. Tarkastellaan epäautonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)) = x sin(xy(x) 2 ) (6.3) y (x) = f(x, y(x)) = x sin(xy(x) 2 ), y(0) = y 0 > 0. (6.4) Poistumislauseen 5.1 oletukset ovat voimassa koko tasossa R 2. Yhtälöllä (6.3) on triviaaliratkaisu y 0. Olkoon y M : I R, I = ]x, x + [, alkuarvotehtävän (6.4) maksimaalinen ratkaisu. Sen kuvaaja kulkee pisteen (0, y 0 ) kautta. Koska y 0 > 0, niin yksikäsitteisyyden nojalla y M (x) > 0 kaikilla x I. 11

13 Jaetaan ongelma kahteen osaan. Olkoon ensin x 0 ja x I. Nyt y M(x) = x sin(xy M (x) 2 ) x sin(xym (x) 2 ) x, joten integraalin monotonisuuden nojalla saadaan josta saadaan y M (x) y M (0) = x 0 y M(t) dt y M (x) y 0 + x2 2, sillä y M (0) = y 0. Kun x < 0 ja x I, saadaan vastaavasti x 0 t dt = x2 2, eli y M (0) y M (x) = Nyt kaikilla x I pätee 0 x y M(t) dt y M (x) y 0 + x x t dt = x2 2 Olkoon a > 0. Joukko 0 < y M (x) y 0 + x2 2. K a = {(x, y) R 2 a x a, 0 y y 0 + x2 2 } on kompakti. Poistumislauseen 5.1 mukaan on olemassa sellainen x 1 < x +, jolla (x, y M (x)) K a kaikilla x ]x 1, x + [. Siten täytyy päteä a x 1 < x +. Voidaan kuitenkin antaa a:n kasvaa rajatta, mistä seuraa x + = +. Samaa menettelyä käyttäen saadaan x =. Siis I = R. 12

14 Esimerkki 6.3. Tarkastellaan epäautonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)) = x 2 + y(x) 2 y (x) = f(x, y(x)) = x 2 + y(x) 2, y(0) = 0. (6.5) Tätä on vaikea ratkaista suljetussa muodossa, mutta poistumislauseen 5.1 oletukset ovat voimassa koko tasossa R 2. Olkoon y M : I R, I = ]x, x + [, alkuarvotehtävän (6.5) maksimaalinen ratkaisu. Osoitetaan, että [ 1, 1] I ] 4, 4[. (6.6) Kaikilla x I \{0} pätee y M (x) = x2 +y M (x) 2 > 0, joten y M on aidosti kasvava funktio. Siten y M (x) > y M (0) = 0 kaikilla x > 0, kun x I, ja y M (x) < y M (0) = 0 kaikilla x < 0, kun x I. Erityisesti y M (x) 0, kun x 0. Olkoon x [ 1, 1] I. Nyt y M (x) = x2 + y M (x) y M (x) 2, joten y M (x) 1 + y M (x) 2 1. Tarkastellaan tapaus x [0, 1] I ensin. Tällöin x 0 y M (t) 1 + y M (t) 2 dt 13 x 0 dt

15 eli yhtäpitävästi siis eli arc tan y M (x) x, y M (x) tan x. Tapauksessa x [ 1, 0] I vastaavasti jonka kanssa on yhtäpitävää ja 0 Olkoon 0 < a 1. Joukot x y M (t) 1 + y M (t) 2 dt 0 arc tan y M (x) x, y M (x) tan x. K a = {(x, y) R 2 a x 0, tan x y 0} K + a = {(x, y) R 2 0 x a, 0 y tan x} ovat kompakteja, joten myös niiden yhdiste K a = K a K + a on kompakti. Poistumislauseen 5.1 mukaan on olemassa sellainen x 1 < x +, jolla (x, y M (x)) K a kaikilla x ]x 1, x + [. Siten a x 1 < x +, josta valitsemalla a = 1 saadaan x + > 1. Vastaavasti x < 1. Siispä [ 1, 1] I. x dt 14

16 Integraalin monotonisuudesta ja epäyhtälöstä y M (x) = x2 + y M (x) 2 x 2 seuraa, että välin [ 1, 1] päätepisteissä funktiolle y M pätee y M (1) = y M (1) y M (0) = 1 0 y M(t) dt 1 0 t 2 dt = 1 3 ja 0 0 y M ( 1) = y M ( 1) y M (0) = y M(t) dt t 2 dt = Toisaalta kaikilla x I pätee y M (x) = x2 + y M (x) 2 y M (x) 2, joten y M (x) y M (x) 2 1, kun x I \ {0}. Siten, kun x 1 ja x I, x y M (t) x y M (t) dt dt 2 1 eli joten Nyt 1 y M (x) 1 1 y M (1) 1 y M (x) x 1, c x, jossa c = y M (1) = 4. y M (x) 1 c x +, kun x c 4. Vastaava pätee, kun x 1 ja x I. Tällöin y M (x), kun x d = 1 + 1/y M ( 1) 4. Siten I ] 4, 4[, joten (6.6) on todistettu. 15

17 Lähteet [1] M. Gyllenberg, P. Ola, P. Piiroinen, Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, fi/download/attachments/ /draftversionoct2008.pdf. [2] A. N. Kolmogorov, A. P. Yushkevich, Mathematics of the 19th Century, vol. 3. Birkhäuser, ISBN [3] O. Martio, J. Sarvas, Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Gaudeamus, 2. painos, ISBN

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia

Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tapio Lind Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n. Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot