Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sarjat ja differentiaaliyhtälöt"

Transkriptio

1 Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä, että ensisijaisesti omatoimiseen opiskeluun monistetta ei ole suunniteltu. Ideana on siis säästää luennoilla mekaaniseen kirjoittamiseen kuluvaa aikaa toivottavasti vähemmän mekaaniseen ajatteluun. Ilman kynän käyttöä matematiikkaa on kuitenkin vaikea oppia. Sen vuoksi on erittäin tärkeää ratkoa itsenäisesti luentoihin liittyviä harjoitustehtäviä. Tätä ei mikään moniste korvaa, vaikkakin aion kirjoittaa myös harjoitustehtävien ratkaisuista jonkinmoisen monisteentapaisen. Lisää harjoitusaineistoa saa tämän monisteen lauseista, joiden todistukset on kirjoitettu hyvin yksityiskohtaisesti ehkä detaljeja on näkyvillä enemmän kuin yleensä luentomonisteissa on tapana. Monisteen lauseista syntyy harjoitustehtäviä näin: Peitä lauseen todistus ja yritä kirjoittaa se itsellesi. Jos et osaa, katso mistä oli kyse ja yritä huomenna uudestaan. Jos osaat tehdä mielestäsi oikean todistuksen, joka on mahdollisesti erilainen kuin monisteessa, tarkista ratkaisusi. Jos olet edelleen varmasti sitä mieltä, että ratkaisusi on oikein, alat olla jyvällä asioista. Jos olet epävarma, tule juttelemaan, niin katsotaan yhdessä, mistä on kyse. Näissä luennoissa pääpaino kohdistuu sarjoihin ja kurssin lopussa tutustutaan lyhyesti yksinkertaisimpiin differentiaaliyhtälöihin. Ehkä on syytä huomauttaa, että tällä kurssilla nolla on luonnollinen luku, ts. N = {0,, 2,...}. Kirjallisuusviitteitä löytyy runsaasti, koska asiat ovat aivan peruskamaa analyysissä. En ryhdy tässä oppikirjoja luettelemaan, vaan viittaan vain opintooppaan lähteisiin, joista löytyy viitteitä edelleen. Lisäksi on syytä mainita Jouni Parkkosen kirjoittama luentomoniste, joka löytyy hänen kotisivuiltaan. Tämä moniste löytyy omilta kotisivuiltani nimikkeellä sarjat. Otsikot sarjademot ja sarjaratkaisut puolestaan tulevat sisältämään harjoitustehtäviä ja niiden ratkaisuja Lassi Kurittu i

2 Jonot Kuten [A]:n kurssilla määriteltiin, mielivaltaisen joukon A jono on kuvaus φ : N A. Yleensä tällaista jonoa merkitään symbolilla missä kaikille n N (a n ) n N tai lyhyesti (a n ), a n = φ(n) A. Huomaa, että tässä määritelmässä joukko A voi olla mikä tahansa. Esimerkki. Olkoon A = {kissa, koira} ja määritellään kuvaus φ : N A asettamalla { kissa, jos n on parillinen φ(n) = koira, jos n on pariton. Koska jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton ja mikä on myös tärkeää ei molempia yhtaikaa, näin todella syntyy kuvaus φ : N A eli joukon A jono. Jos jonon määritelmässä on A = R, niin puhutaan reaalilukujonosta. Tällaiset jonot ovat analyysissä keskeisessä asemassa. Toinen tärkeä jonoluokka syntyy, kun A = {f : I R}, missä I on jokin (kiinteä) R:n osajoukko. Esimerkki.2 Olkoon I = [0, ] ja A = {f : I R}. Jos määritellään φ : N A siten, että φ(n) = f n A, missä f n on kuvaus f n (x) = sin nx kaikille x I, niin näin ilmeisesti syntyy joukon A jono (f n ) n N. Tärkeä jonoihin liittyvä seikka on kysymys jonojen suppenemisesta. Reaalilukujonon (a n ) suppeneminen määritellään [A]:ssä näin: Jono (a n ) suppenee kohti lukua a R, jos kaikille ɛ > 0 löytyy n ɛ N siten, että a n a < ɛ kaikille n n ɛ. Voiko tämän määritelmän yleistää koskemaan muitakin jonoja kuin reaalilukujonoja? Yllä oleva määritelmä perustuu oleellisesti reaalilukujen a n ja a välisen etäisyyden mittaamiseen eli itseisarvoon a n a. Jos siis merkitään reaalilukujen a ja b välistä etäisyyttä a b symbolilla d(a, b), niin esitetty reaalilukujonon suppenemisen määritelmä tarkoittaa sitä, että a n a d(a n, a) 0.

3 Tällainen määritelmä voidaan heti yleistää minkä tahansa joukon jonoille, kunhan tässä joukossa on ensin määritelty etäisyysmittari d, jolla jonon alkioiden etäisyyttä mahdollisesta rajapisteestä mitataan. Tällöin siis voidaan määritellä, että a n a, jos d(a n, a) 0. Esimerkin. tilanteessa ei ole oikein olemassa järkevää tapaa mitata joukon A alkioiden välistä etäisyyttä, joten jonon suppenemisenkin järkevä määritteleminen on vähän kyseenalaista. Entä sitten esimerkin.2 tilanne? Mikä olisi järkevä tapa mitata joukon A alkioiden eli funktioiden f : I R välistä etäisyyttä? Luonnollinen vaatimus tälle mahdolliselle etäisyysmittarille d on, että se käyttäytyy kuten metriikka (ks. [EA]), ts. että se on kuvaus d : A A R siten että kaikille f, g, h A pätee d(f, g) 0, d(f, g) = 0 f = g, d(f, g) = d(g, f) ja d(f, h) d(f, g) + d(g, h). (M) Eräs yritys etäisyysmittariksi on asettaa kaikille f, g A d(f, g) = max{ f(x) g(x) x I}. () Tämä viritelmä näyttäisi ensi katsomalta toteuttavan yllä olevat neljä metriikkaehtoa. Karu totuus paljastuu, kun esimerkiksi I = ]0, [ ja määritellään f, g : I R siten, että f 0 ja g(x) = x. Tällöin määritelmä () ei toimi, koska siinä tarkoitettua maksimia ei saavuteta. [A]:ssä totuttuun tapaan tämmöisessä tilanteessa on syytä korvata maksimi supremumilla. Tehdään uusi yritys määrittelemällä kaikille f, g A d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I}. (2) Tämäkin näyttäisi toteuttavan mainitut metriikkaehdot ja yllämainittujen funktioiden f ja g etäisyydeksi tulee näin mitaten. Tämäkään yritys ei kuitenkaan ole riittävän hyvä, mikä paljastuu, kun määritellään h(x) = x kaikille x I. Tällöin muodostuu ongelmaksi mitata etäisyyksiä d(f, h) ja d(g, h). Ratkaisu etäisyyden mittaamiseen saadaan lopulta siitä, että pienennetään joukkoa A sillä tavalla, että tarkastellaan vain rajoitettuja funktioita, ts. merkitään A = {f : I R f on rajoitettu}. Tällöin määritelmä (2) antaa metriikan, kuten seuraava lause sanoo: 2

4 Lause.3 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Tällöin määritelmä d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} antaa metriikan joukossa A. Todistus. Pitää ensin todeta, että kyseessä on todella kuvaus d : A A R, ts. että mielivaltaisille f, g A reaaliluku d(f, g) on määritelty ja yksikäsitteinen. Tämä perustuu nyt siihen, että f ja g ovat tehdyn oletuksen mukaan rajoitettuja, ts. on olemassa vakiot M ja M 2 siten, että f(x) M ja g(x) M 2 kaikille x I. Tällöin kaikille x I pätee f(x) g(x) f(x) + g(x) M + M 2, joten joukko { f(x) g(x) x I} on rajoitettu. Toisaalta oletuksen mukaan joukko I on epätyhjä ja näin myös { f(x) g(x) x I} =. [A]:stä tiedetään, että jokaisella epätyhjällä rajoitetulla joukolla on yksikäsitteinen reaalinen supremum ja näin reaaliluku d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} on määritelty ja yksikäsitteinen, ts. d : A A R on todella kuvaus. Siirrytään sitten todistamaan varsinaisia metriikan karakteristisia ehtoja (M). Ensimmäinen ehto eli d(f, g) 0 kaikille f, g A seuraa siitä, että joukon { f(x) g(x) x I} alkiot ovat kaikki positiivisia ja supremumin määritelmän mukaan joukon supremum on aina vähintään ko. joukon alkioiden suuruinen. Toinen metriikan ehto eli d(f, g) = 0 f = g nähdään oikeaksi näin: Jos f = g, niin f(x) = g(x) kaikille x I ja siten f(x) g(x) = 0 kaikille x I. Tällöin { f(x) g(x) x I} = {0} ja siten d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} = sup{0} = 0, missä viimeinen yhtälö seuraa suoraan supremumin määritelmästä. Oletetaan sitten kääntäen, että d(f, g) = 0; pitää osoittaa, että f = g, ts. että f(x) = g(x) kaikille x I. Nyt siis sup{ f(x) g(x) x I} = 0, jolloin supremumin määritelmän mukaan f(x) g(x) 0 kaikille x I. Toisaalta itseisarvo on aina positiivinen 3

5 eli f(x) g(x) 0 kaikille x I ja näin f(x) g(x) = 0 kaikille x I eli f(x) = g(x) kaikille x I. Kolmas metriikan karakteristinen ehto eli symmetria eli vaatimus siitä, että d(f, g) = d(g, f) kaikille f, g A seuraa siitä, että f(x) g(x) = g(x) f(x) = kaikille x I, jolloin { f(x) g(x) x I} = { g(x) f(x) x I} ja siten d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} = sup{ g(x) f(x) x I} = d(g, f). Neljäs metriikan ehto eli kolmioepäyhtälö d(f, h) d(f, g) + d(g, h) kaikille f, g, h A nähdään oikeaksi näin: Kaikille x I pätee reaalisen kolmioepäyhtälön nojalla f(x) h(x) = f(x) g(x) + g(x) h(x) f(x) g(x) + g(x) h(x). Toisaalta supremumin määritelmän nojalla f(x) g(x) + g(x) h(x) d(f, g) + d(g, h) kaikille x I, joten f(x) h(x) d(f, g) + d(g, h) kaikille x I, jolloin edelleen supremumin määritelmän nojalla d(f, h) = sup{ f(x) h(x) x I} d(f, g) + d(g, h). Nyt on järkevää asettaa funktiojonon suppenemisen (eräs) määritelmä: Määritelmä.4 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) jono joukon A alkioita ja f A. Sanotaan, että jono (f n ) suppenee tasaisesti kohti funktiota f, jos d(f n, f) 0. Tällöin merkitään joko lim n f n = f tai lyhyesti f n f. Huomautus. Tässä käytetään termiä tasainen suppeneminen erotukseksi myöhemmin määriteltävästä (ks. määritelmä.0) pisteittäisestä suppenemisesta. Esimerkki.5 Olkoon I = ]0, 2 [ ja määritellään kaikille n N f n : I R, f n (x) = x n kaikille x I sekä f 0. Tällöin f n f. Tämän väitteen perustelemiseksi arvioidaan etäisyyksiä d(f n, f), n N. 4

6 Koska kuvaukset f n ovat kasvavia välillä I, niin d(f n, f) = sup{ x n 0 x I} = sup{x n x ]0, 2 [} ( 2 )n. Siten 0 d(f n, f) ( 2 )n kaikille n N. Koska ( 2 )n 0, niin [A]:n tietojen perusteella ( suppiloperiaate ) pätee myös d(f n, f) 0 eli määritelmän.4 mukaisesti f n f. Esimerkki.6 Muutetaan esimerkin.5 tilannetta niin, että funktioiden määrittelyväliksi I valitaankin I = ]0, [; muuten tilanne pidetään ennallaan. Onko edelleen f n f? Intuitio ehkä sanoisi, että näin on, koska jokaisessa pisteessä x I pätee f n (x) f(x). Tämmöinen intuitio on kuitenkin väärässä, minkä näkee taas arvioimalla etäisyyksiä d(f n, f). Koska jokaiselle n pätee n 2 ]0, [ ja f n( n 2 ) = 2, niin d(f n, f) f n ( n 2 ) f( n 2 ) = 2 0 = 2 kaikille n. Tällöin ei voi olla d(f n, f) 0 eikä siten myöskään f n f. Huomautus.7 Esimerkkien.5 ja.6 opetus on se, että tarkasteltava funktioiden määrittelyjoukko I on oleellisessa merkityksessä funktiojonojen suppenemistarkasteluissa. Siispä aina, jos asiasta on pienintäkään epäselvyyttä, joukko I on mainittava. Toisin sanoen: jos kaikki on selvää, voidaan kirjoittaa lyhyesti f n f, mutta jos on vähäisintäkään väärinkäsityksen varaa, on parempi kirjoittaa (ja sanoa) pitkän kaavan mukaan: f n f tasaisesti joukossa I. Esimerkin.6 tilanteessa nähtiin, että f n f. On luonnollista kysyä, voiko ylipäätään olla mitään välillä I = ]0, [ määriteltyä funktiota, jota kohti jono (f n ) konvergoisi. Tähänhän ei esimerkin.6 tarkastelu riitä vastaamaan. Tietenkin esimerkin.6 kaltainen laskelma voidaan suorittaa jollekin toiselle rajafunktioehdokkaalle g ja näin nähdä, että f n g tälle kyseiselle g. Tämä ei tietenkään vastaa yleisellä tasolla rajafunktion olemassaolokysymykseen ei, vaikka tarkastelu tehtäisiin kuinka monelle tahansa yksittäiselle funktiolle g. Tähän ongelmaan onkin varsin vaikea vastata suoraan konvergenssin määritelmän perusteella; siis kysymys kuuluu jotenkin niin, että miten voidaan funktiojonosta päätellä sen mahdollinen suppeneminen tuntematta rajafunktiota. Tähän pulmaan antaa kätevän ratkaisun seuraava lause, jota kutsutaan Cauchyn ehdoksi funktiojonon tasaiselle suppenemiselle: 5

7 Lause.8 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono. Tällöin on olemassa f A siten, että f n f jos ja vain jos seuraava ehto on voimassa: Kaikille ɛ > 0 löytyy jokin (mahdollisesti ɛ:sta riippuva) luku N N siten, että kaikille n, m N, joille n, m N, pätee d(f n, f m ) < ɛ. Todistus.. Osoitetaan ensin, että lauseen ehto on välttämätön. Oletetaan tätä varten, että on olemassa f A siten, että f n f, jolloin tehtävänä on osoittaa, että lauseen ehto pätee. Olkoon siis ɛ > 0 mielivaltainen. Koska f n f, niin määritelmän mukaan d(f n, f) 0. Reaalilukujonon suppenemisen määritelmän mukaan tällöin löytyy N N siten, että d(f n, f) < ɛ kun n N. 2 Tämä luku N kelpaa lauseen ehdossa olevaksi luvuksi, sillä kun n, m N, niin d(f n, f m ) i) d(f n, f) + d(f, f m ) ii) = d(f n, f) + d(f m, f) iii) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Tässä epäyhtälö i) seuraa siitä, että d toteuttaa metriikkana kolmioepäyhtälön (lause.3), yhtälö ii) metriikan symmetriaominaisuudesta (myös lause.3) ja epäyhtälö iii) seuraa luvun N valinnasta.. 2. Pitää vielä osoittaa lauseen ehdon riittävyys. Olkoon tätä varten (f n ) joukon A jono, joka toteuttaa lauseen ehdon, jolloin tehtävänä on osoittaa, että on olemassa f A siten, että f n f. Olkoon x I mielivaltainen, mutta kiinteä. Olkoon myös ɛ > 0 mielivaltainen ja N lauseen ehdon mukainen (ɛ:sta riippuva) luku. Olkoon lisäksi n, m N. Tällöin f n (x) f m (x) sup{ f n (y) f m (y) y I} = d(f n, f m ) < ɛ. Tämä tarkoittaa sitä (ks. [A]), että reaalilukujono (f n (x)) on Cauchy-jono. Tällöin (ks. [A, lause 4.9]) tämä jono suppenee, ts. on olemassa (x:stä riippuva) reaaliluku a x siten, että lim n f n(x) = a x. Koska x I valittiin täysin mielivaltaisesti, tällainen luku a x saadaan aikaan kaikille x I. Lisäksi, koska reaalilukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, jokaiselle x I löytyy täsmälleen yksi tällainen a x. Tällöin, määrittelemällä f(x) = a x kaikille x I syntyy kuvaus f : I R. Tämä kuvaus f on nyt haluttu jonon (f n ) raja-arvo. Ennen kuin lähdetään tätä todistamaan, pitää huomata, että f A. 6

8 Tämä nähdään seuraavasti. Lauseen ehdon (joka siis nyt oletuksen mukaan on voimassa) nojalla on olemassa lukua ɛ = vastaava luonnollinen luku N siten, että d(f n, f m ) <, kun n, m N. Erityisesti siis d(f n, f N ) < kun n N. () Koska f N A, niin f N on rajoitettu, ts. on olemassa M R siten, että f N (x) M kaikille x I. (2) Kuvauksen f rajoittuneisuuden osoittamiseksi riittää osoittaa, että f(x) M + 2 kaikille x I. (3) Olkoon tätä varten x I mielivaltainen. Koska kuvauksen f määritelmän mukaan pätee f n (x) f(x), niin on olemassa n 0 N siten, että Valitaan nyt n max{n, n 0 }. Tällöin pätee f n (x) f(x) < kun n n 0. (4) f(x) = f(x) f n (x) + f n (x) f N (x) + f N (x) i) f(x) f n (x) + f n (x) f N (x) + f N (x) ii) < + f n (x) f N (x) + f N (x) iii) < + + f N (x) iv) 2 + M. Tässä epäyhtälö i) seuraa reaalisesta kolmioepäyhtälöstä, epäyhtälö ii) ehdosta (4) ja siitä, että n n 0, epäyhtälö iii) ehdosta () ja siitä, että n N sekä epäyhtälö iv) ehdosta (2). Näin on nähty, että väite (3) pätee, mikä siis riittää osoittamaan, että f A. Sitten on osoitettava, että f n f eli että d(f n, f) 0. Olkoon sitä varten ɛ > 0 mielivaltainen. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että kaikille n N pätee d(f n, f) < ɛ, mihin riittää se, että d(f n, f) < ɛ, sillä d(f n, f) on lauseen.3 mukaan positiivinen. Koska d(f n, f) = sup{ f n (x) f(x) x I}, niin supremumin määritelmän perusteella riittää osoittaa, että on olemassa N N siten, että pätee f n (x) f(x) ɛ 2 kaikille n N ja kaikille x I. (5) Koska nyt on oletettu, että lauseen ehto on voimassa, niin on olemassa N N siten, että pätee d(f n, f m ) < ɛ kaikille n, m N. (6) 4 7

9 Osoitetaan, että tämä N kelpaa ehdossa (5) halutuksi luvuksi N. Olkoot sitä varten n N ja x I mielivaltaisia. Koska kuvauksen f määritelmän perusteella f n (x) f(x), niin on olemassa n 0 N siten, että Valitaan nyt m max{n, n 0 }. Tällöin f m (x) f(x) < ɛ 4, kun m n 0. (7) f n (x) f(x) = f n (x) f m (x) + f m (x) f(x) i) f n (x) f m (x) + f m (x) f(x) ii) d(f n, f m ) + f m (x) f(x) iii) ɛ 4 + f m(x) f(x) iv) < ɛ 4 + ɛ 4 = ɛ 2, joten ehto () todellakin pätee. Yllä epäyhtälö i) perustuu reaaliseen kolmioepäyhtälöön, epäyhtälö ii) metriikan d(f n, f m ) määritelmään, epäyhtälö iii) ehtoon (6) ja siihen, että n, m N sekä epäyhtälö iv) ehtoon (7) ja siihen, että m n 0. Näin on nähty, että ehto (5) toimii, joten lause on todistettu. Esimerkki.9 Osoitetaan yllä todistetun Cauchyn ehdon nojalla, että esimerkin.6 funktiojono ei konvergoi. Tähän siis riittää nyt se, että osoitetaan, että ko. jono ei toteuta lauseen.8 Cauchyn ehtoa. Tehdään tämä epäsuorasti, ts. oletetaan, että Cauchyn ehto pätisi ja osoitetaan, että tämä oletus johtaa ristiriitaan. Jos ehto pätee, on olemassa N N \ {0} siten, että Merkitään m = 2N +, jolloin m > N ja d(f n, f m ) <, kun n, m N. () 4 4 m = 4 2N+ < 4 2N = 2 N, ( 2 ) N < ( 4 ) m. Tällöin voidaan valita x I = ]0, [ siten, että ( 2 ) N < x < ( 4 ) m. joten Koska funktiot f N ja f m ovat kasvavia, saadaan tällöin f N (( 2 ) N ) fn (x) ja f m (x) f m (( 4 ) m )) 8

10 eli jolloin 2 f N (x) ja f m (x) 4, f N (x) f m (x) 2 4 = 4. Mutta tällöin metriikan d(f N, f m ) määritelmän mukaan pätee d(f N, f m ) 4. Tämä on vastoin ehtoa (), sillä N, m N. Näin haluttu ristiriita on saatu aikaan ja väite on todistettu. Esimerkin.6 tilanteessa funktiojono (f n ) kuitenkin jossakin mielessä konvergoi nollaan, sillä jokaiselle pisteelle x I pätee f n (x) 0. Tällaisissa tilanteissa puhutaan ns. pisteittäisestä konvergenssista ja sille on oikein oma määritelmäkin: Määritelmä.0 Olkoon = I R ja A = {f : I R} sekä (f n ) joukon A jono ja f A. Sanotaan, että funktiojono (f n ) konvergoi pisteittäin kohti funktiota f välillä I, jos kaikille x I pätee f n (x) f(x). Huomautus. Määritelmässä.0 ei tarvitse olettaa, että esiintyvät funktiot olisivat rajoitettuja. Lause. Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Tällöin jono (f n ) konvergoi pisteittäin kohti funktiota f välillä I. Todistus. Olkoon x I mielivaltainen. Määritelmän.0 mukaan riittää osoittaa, että f n (x) f(x). Reaalilukujonojen konvergenssin määritelmän mukaan tähän riittää se, että f n (x) f(x) 0. Tämä seuraa nyt suppiloperiaatteesta ([A]), sillä metriikan d(f n, f) määritelmän mukaan pätee 0 f n (x) f(x) d(f n, f) ja oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0. Huomautus.2 Lauseen. mukaan funktiojonon tasainen konvergenssi implikoi sen pisteittäisen konvergenssin kyseisellä välillä. Toisaalta esimerkki.9 osoittaa, että pisteittäinen konvergenssi ei välttämättä riitä takaamaan tasaista konvergenssia. Näin voidaan perustellusti sanoa, että tasainen konvergenssi on vahvempi ominaisuus kuin pisteittäinen konvergenssi. 9

11 Esimerkki.3 Muutetaan esimerkin.6 (tai.5) tilannetta niin, että funktioiden määrittelyväliksi valitaan I = ]0, ]; muuten tilanne pidetään ennallaan. Onko tässä f n f? Ei varmasti, sillä määritelmän nojalla on selvää, että jos (f n ) konvergoi tasaisesti joukossa ]0, ], niin se konvergoi tasaisesti myös pienemmässä joukossa ]0, [, ja sitähän tämä jono ei tee, kuten esimerkissä.9 todettiin. Huomautuksen.2 valossa voi tällöi kysyä, konvergoiko (f n ) edes pisteittäin välillä I kohti f:ää. Tähänkin vastaus on kielteinen, sillä pisteessä x = I haluttua konvergenssia ei tapahdu. Sen sijaan (f n ) konvergoi pisteittäin välillä ]0, ] kohti funktiota g : ]0, ] R, missä { 0 kun x ]0, [ g(x) = kun x =. Tasaista tämäkään konvergenssi ei voi olla, kuten siis esimerkissä.9 nähtiin. Esimerkki.4 Olkoon I = ]0, 2[ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Määritellään joukon A jono (f n ) asettamalla kaikille n N { x n kun x ]0, ] f n (x) = 2 (2 x) n kun x ], 2[. Tällöin funktiot (f n ) ovat ilmeisesti jatkuvia. Lisäksi jono (f n ) konvergoi pisteittäin kohti funktiota f A, missä 0 kun x ]0, [ f(x) = kun x = 2 kun x ], 2[. Edellisessä esimerkissä on merkillepantavaa se, että f n :t ovat kaikki jatkuvia, mutta rajafunktio f ei ole. Tämä merkitsee sitä, että jatkuvuus ei periydy pisteittäisessä konvergenssissa. Toisin on laita tasaisessa konvergenssissa, kuten seuraava lause sanoo. Lause.5 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Oletetaan lisäksi, että funktiot f n ovat jatkuvia joukossa I. Tällöin myös rajafunktio f on jatkuva joukossa I. Todistus. Olkoon x 0 I ja ɛ > 0 mielivaltaisia. Pitää osoittaa, että on olemassa δ > 0 siten, että kun x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, niin f(x) f(x 0 ) < ɛ. () Koska oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0, niin on olemassa N N siten, että d(f N, f) < ɛ 3. Metriikan d määritelmän mukaan tämä tarkoittaa sitä, että f N (x) f(x) < ɛ 3 kaikille x I. (2) 0

12 Toisaalta f N on oletuksen mukaan jatkuva joukossa I, joten on olemassa δ > 0 siten, että kun x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, niin f N (x) f N (x 0 ) < ɛ 3. (3) Tämä luku δ kelpaa ehdossa () peräänkuulutetuksi δ:ksi, sillä kun x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, niin f(x) f(x 0 ) = f(x) f N (x) + f N (x) f N (x 0 ) + f N (x 0 ) f(x 0 ) i) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x 0 ) + f N (x 0 ) f(x 0 ) ii) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Tässä epäyhtälö i) seuraa reaalisesta kolmioepäyhtälöstä ja epäyhtälö ii) ehdoista (2) ja (3). Huomautus. Lauseen.5 nojalla nähdään välittömästi, että esimerkin.4 pisteittäinen konvergenssi ei voi olla tasaista. Esimerkki.6 Esimerkin.4 mukaan jatkuvuus ei siis periydy pisteittäisessä konvergenssissa. Nyt konstruoitava esimerkki osoittaa, että myöskään Riemannintegroituvuus ei periydy pisteittäisessä konvergenssissa. Tunnetusti(?) joukko Q [0, ] on numeroituva, ts. on olemassa bijektio ϕ : N Q [0, ]. Kiinnitetään tällainen bijektio ϕ. Määritellään funktiot f n : [0, ] R, n N asettamalla { kun x = ϕ(k) jollekin k {0,,..., n} f n (x) = 0 muuten. Tällöin jono f n konvergoi pisteittäin kohti funktiota f : [0, ] R, missä { kun x Q [0, ] f(x) = 0 kun x [0, ] \ Q. Tässä funktiot f n ovat jatkuvia lukuunottamatta äärellistä pistejoukkoa {ϕ(0), ϕ(),..., ϕ(n)}, joten ne ovat Riemann-integroituvia, ks. [A2]. Toisaalta rajafunktio f on epäjatkuva koko välillä [0, ], joten se ei ole Riemannintegroituva Lebesguen ehdon nojalla. Integroitumattomuuden näkee helposti myös suoraan ylä- ja alaintegraalien avulla, sillä f:n yläintegraali =, mutta alaintegraali = 0. Lauseen.5 ja esimerkin.6 valossa voidaan kysyä, periytyykö Riemannintegroituvuus tasaisessa konvergenssissa. Vastaus on myönteinen; tämän sanoo seuraava lause. Lause.7 Olkoon a, b R, a < b, I = [a, b] ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Oletetaan lisäksi, että funktiot f n ovat Riemann-integroituvia yli välin I. Tällöin myös rajafunktio f on Riemann-integroituva yli välin I.

13 Todistus. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Riemann-integroituvuuden määritelmän mukaan pitää osoittaa, että on olemassa porrasfunktiot g, h : I R siten, että ja g(x) f(x) h(x) kaikille x I () b a h b a g < ɛ. (2) Koska oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0, niin on olemassa N N siten, että ɛ d(f N, f) < 2(b a) +. Metriikan d määritelmän mukaan pätee tällöin ɛ f N (x) f(x) < 2(b a) + kaikille x I. (3) Koska f N on oletuksen mukaan Riemann integroituva, niin määritelmän mukaan on olemassa porrasfunktiot g N, h N : I R siten, että g N (x) f N (x) h N (x) kaikille x I (4) ja b b ɛ h N g N < a a 2(b a) +, (5) Määritellään nyt porrasfunktiot g, h : I R siten, että g(x) = g N (x) ɛ 2(b a) + ja h(x) = h N (x) + ɛ 2(b a) + kaikille x I. On selvää, että näin määritellyt g ja h todella ovat porrasfunktioita. Jos nyt osoitetaan, että ne toteuttavat ehdot () ja (2), niin lause on todistettu. Ehto () toteutuu, sillä kaikille x I pätee f(x) i) f N (x) + ɛ ii) ɛ h N (x) + 2(b a) + 2(b a) + = h(x), missä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (3) ja epäyhtälö ii) ehdosta (4), ja vastaavasti g(x) = g N (x) ɛ 2(b a) + i) f N (x) ɛ ii) f(x), 2(b a) + missä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (4) ja epäyhtälö ii) ehdosta (3). Myös ehto (2) toteutuu, sillä b a b a h h N b a b a g = b a g N + 2 ɛ (h N (x) + 2(b a) + )dx b a ɛ 2(b a) + dx = b a b a h N (g N (x) b a ɛ 2(b a) + )dx = ɛ g N + 2(b a) 2(b a) + ɛ 2(b a) + + 2(b a) ɛ 2(b a) + = (2(b a) + ) ɛ 2(b a) + = ɛ. i) < 2

14 Tässä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (5).. Huomautus. Lauseen.7 nojalla nähdään välittömästi, että esimerkin.6 konvergenssi ei voi olla tasaista. Lauseen.7 valossa on luonnollista kysyä, että periytyykö tasaisessa konvergenssissa paitsi Riemann-integroituvuus, myös integraalin arvo, ts. päteekö lauseen.7 tilanteessa aina b a f n b a f? Tarkastellaan tilannetta ensin esimerkin valossa. Esimerkki.8 Olkoon I = [0, ] ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille n N { n kun x ]0, f n (x) = n ] 0 kun x {0} ] n, ]. Tällöin f n :t ovat integroituvia ja 0 f n = kaikille n N. Tällöin 0 f n. Toisaalta koska funktiojono (f n ) konvergoi selvästi ainakin pisteittäin kohti nollafunktiota f 0 ja koska nollafunktion integraali on nolla, niin tässä tapauksessa pätee b a f n Huomautus. Esimerkissä.8 kyseessä on vain pisteittäinen konvergessi, ei tasainen. Esimerkki ei siis vastaa sitä edeltävään kysymykseen oikeastaan millään tavalla. Tässä on vain ilmoitus siitä, että vaikka pisteittäisessä konvergenssissa rajafunktio sattuisi olemaankin integroituva (vrt. esimerkki.6), voi hyvinkin olla b a f n Tasaisessa konvergenssissa näin ei voi käydä. Tämän sanoo seuraava lause. Lause.9 Olkoon a, b R, a < b ja A = {f : [a, b] R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Oletetaan lisäksi, että funktiot f n ovat Riemann-integroituvia yli välin [a, b]. Tällöin pätee b a f n b a b a b a f. f. f. 3

15 Huomautus. Lauseen.9 tulos kirjoitetaan usein muodossa lim b a f n = b a lim f n, ts. lause antaa luvan vaihtaa integroinnin ja rajankäynnin järjestyksen. Tämä lupa siis edellyttää nimenomaan tasaista konvergenssia. Todistus. Lauseen.7 nojalla f on integroituva, joten väite on siinä suhteessa mielekäs. Riittää osoittaa, että b f n b a a f = 0 eli b a (f n (x) f(x))dx = 0. () Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Väite () seuraa, jos osoitetaan, että on olemassa N N siten, että b a (f n (x) f(x))dx ɛ kaikille n N. (2) Koska oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0, niin on olemassa N N siten, että d(f N, f) < ɛ b a. Metriikan d määritelmän mukaan pätee tällöin f N (x) f(x) < ɛ b a kaikille x I. (3) Tämä luku N on väitteessä (2) peräänkuulutettu N, sillä kaikille n N pätee b a (f n (x) f(x))dx i) b a f n (x) f(x) dx ii) b ɛ dx = ɛ. a b a Tässä epäyhtälö i) seuraa [A2]:n lauseesta.2 ja epäyhtälö ii) ehdosta (3) sekä [A2]:n lauseesta.8. Näin väite (2) ja siten koko lause on todistettu. Edellä on käsitelty jatkuvuuden ja integroituvuuden periytymistä rajafunktiolle tasaisessa/pisteittäisessä suppenemisessa. Jatketaan tarkasteluja kysymällä derivaatan periytymisominaisuuksista. Pisteittäisessä konvergenssissa derivoituvuus ei periydy. Tämä näkyy esimerkin.4 tilanteesta; siinähän funktiot f n ovat paitsi jatkuvia myös derivoituvia toisin kuin rajafunktio, joka ei ole edes jatkuva. Lauseiden.5 ja.7 valossa voisi arvata, että tasaisessa konvergenssissa derivoituvuus periytyy. Tämmöinen arvaus on kuitenkin väärä, kuten seuraava esimerkki kertoo. 4

16 Esimerkki.20 Olkoon I = ], [ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että kaikille n N \ {0} n 2 x2 + 2n kun x [ n, n ] { f n (x) = x kun x [, n [ x kun x ], 0[ ja f(x) = x kun x ] n, ]. x kun x [0, [. Tällöin funktiot f n ovat jatkuvia, myös pisteissä ± n ja sen lisäksi myös derivoituvia (pisteissä ± n derivaatat ovat ±). Funktiojono (f n) konvergoi selvästi pisteittäin kohti rajafunktiota f, ja tässä tapauksessa konvergenssi on jopa tasaista, minkä näkee näin: Funktioiden f n ja f määritelmien perusteella d(f n, f) = sup{ f n (x) f(x) x ], [ } = sup{ f n (x) f(x) x [ n, n ]} = max{n 2 x2 + 2n x x [ n, n ]} = 2n, joten d(f n, f) 0 eli f n f eli konvergenssi on tasaista. Kuitenkin on niin, että rajafunktio f ei ole derivoituva pisteessä x = 0, joten on nähty, että derivoituvuus ei periydy tasaisessakaan konvergenssissa. Esimerkissä.8 tarkasteltiin tilannetta, jossa integroituva funktiojono konvergoi pisteittäin, rajafunktio sattui olemaan integroituva, mutta integraalien arvot eivät konvergoineet sinne minne pitäisi ts. kävi niin, että b a f n Tämän ja esimerkin.20 valossa voi kysyä seuraavaa: Voiko käydä niin, että että derivoituva funktiojono (f n ) konvergoi tasaisesti kohti funktiota f, joka sattuu olemaan derivoituva, mutta derivaatat eivät konvergoi sinne minne pitäisi, ts. voiko olla niin, että f n f? Näin todellakin voi käydä. Esimerkissä.20 derivaatat tosin konvergoivat sinne minne pitääkin niissä pisteissä, missä f on derivoituva eli kun x 0. Vähän mutkikkaammalla esimerkillä voidaan rakentaa yllä kuvattu tilanne: Esimerkki.2 Olkoon I = ], [, A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille n N pätee b a f. f n (x) = xe nx2 kaikille x I ja olkoon f A nollafunktio, f 0. On melko selvää, että jono (f n ) konvergoi kohti funktiota f pisteittäin, mutta konvergenssi on lisäksi tasaista. Tämän osoittaa seuraava tarkastelu: Ensinnäkin d(f n, f) = sup{ f n (x) f(x) x I} = sup{ xe nx2 x I} = max{xe nx2 x [0, ]} 5

17 ja tämä maksimi löytyy joko derivaatan nollakohdista tai välin [0, ] päätepisteistä. Päätepisteissä arvot ovat 0 ja e n. Derivaatta on e nx2 2nx 2 e nx2 = ( 2nx 2 )e nx2, jonka välillä [0, ] oleva ainoa nollakohta on pisteessä x, jossa 2nx 2 = 0 eli pisteessä x = Koska 2n, kun n. Siten kaikille n pätee d(f n, f) = max{xe nx2 x [0, ]} = max{0, e n, max{e n, 2n e 2 } = 2n e 2. lim n 2n e 2 = 0, 2n e n( 2n )2 } = niin d(f n, f) 0 eli todellakin f n f tasaisesti (ja siten tietysti myös pisteittäin lauseen. nojalla). Tarkastellaan sitten derivaattajonoa (f n). Kuten yllä jo todettiin kaikki f n :t ovat derivoituvia ja kaikille n N pätee f n(x) = ( 2nx 2 )e nx2. Rajafunktion f 0 derivaatta on tietysti nollafunktio ja nyt kysymys kuuluu, päteekö f n 0? Näin ei ole. Jos näin olisi, konvergoisi jono (f n) nollaan myös pisteittäin lauseen. nojalla. Näin ei kuitenkaan käy ainakaan pisteessä x = 0, sillä f n(0) = kaikille n N. Siten on oltava f n f, ja näin siis on konstruoitu halutunlainen esimerkkijono (f n ). Päätetään tämä luku vielä yhteen havaintoon derivaattajonojen konvergenssista. Voidaan kysyä, aiheuttaako derivaattajonon konvergenssi itse funktiojonon konvergenssin? Vastaus on heti selvä: ei tietenkään. Tämä johtuu siitä, että derivaattojen muuttumatta itse funktioihin voidan lisäillä mielivaltaisia vakioita, ja tämä voidaan tietysti hoitaa niin, että minkäänlaista konvergenssia ei tapahdu. Jos tämmöinen mielivaltainen vakioiden lisäily jollakin sopivalla tavalla estetään, niin silloin käy (ehkä vähän yllättäen) niin, että derivaattajonon tasainen konvergenssi aiheuttaa itse funktiojonon tasaisen konvergenssin. Itse asiassa pätee enemmänkin: funktiojono ei suppene minne tahansa, vaan juuri sinne minne pitääkin. Toisin sanoen, jos f n g jollekin g, niin f n G, missä G = g. Tämän sanoo seuraava lause, jota tarvitaan jatkossa lauseen 4.29 todistuksessa. Lause.22 Olkoon a, b R, a < b, I = ]a, b[ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja oletetaan, että funktiot f n ovat jatkuvasti derivoituvia välillä I. Oletetaan edelleen, että f n A kaikille n N ja että on olemassa g A siten, että f n g. 6

18 Oletetaan vielä, että on olemassa x 0 I siten, että reaalilukujono (f n (x 0 )) suppenee (kohti jotain reaalilukua y R). Tällöin on olemassa G A siten, että f n G ja lisäksi G on derivoituva välillä I ja kaikille x I pätee G (x) = g(x). Huomautus. Tässä vaatimus jonon (f n (x 0 )) suppenemisesta on juuri se lisäehto, jota tarvitaan, jotta voidaan estää mielivaltaisten vakioiden lisäily, mistä oli yllä puhetta. Termi jatkuvasti derivoituva tarkoittaa kuten yleensäkin sitä, että funktio on derivoituva ja sen derivaatta on jatkuva. Todistus. Määritellään kaikille n N kuvaus F n : I R asettamalla F n (x) = x x 0 f n(t)dt kaikille x I. Huomaa, että tämä on järkevä määritelmä, sillä f n on integroituva jatkuvuusoletuksen nojalla (ks.[a2], lause.2). Analyysin peruslauseen ([A2], lause 3.; tässä taas tarvitaan kuvausten f n jatkuvuutta!) nojalla funktiot F n ovat derivoituvia välillä I ja kaikille x I pätee F n(x) = f n(x). Siten sekä F n että f n ovat funktion f n primitiivejä välillä I, joten (ks. [A2], lause 3.2) kaikille x I pätee F n (x) = f n (x) + C n jollekin vakiolle C n R. () Funktioiden F n määritelmän mukaan F n (x 0 ) = 0 kaikille n N, joten ehdon () ja oletuksen lim n f n (x 0 ) = y nojalla pätee Määritellään kuvaus H : I R asettamalla H(x) = lim C n = y R. (2) n x x 0 g(t)dt kaikille x I. Huomaa, että lauseen.7 nojalla funktioiden f n integroituvuus periytyy tasaisen konvergenssin kautta rajafunktiolle g, joten H on järkevästi määritelty. Lisäksi, koska g A eli g on rajoitettu, ja toisaalta väli I on rajoitettu, niin myös H on rajoitettu, siis H A. Toisaalta, koska f n A ja F n = f n +C n, niin myös F n A kaikille n N ja voidaan tässä mielessä järkevästi esittää väite F n H. (3) 7

19 Todistetaan tämä. (Huomaa, että pisteittäinen konvergenssi seuraa suoraan lauseesta.9.) Olkoon tätä varten ɛ > 0 annettu. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että d(f n, H) < ɛ kaikille n N. (4) Koska oletuksen mukaan f n g, niin on olemassa N N siten, että d(f n, g) < ɛ b a kaikille n N. (5) Osoitetaan, että tämä luku N on väitteessä (4) peräänkuulutettu N. Kaikille n N pätee d(f n, H) = i) sup{ F n (x) H(x) x I} ii) = x x sup{ f n(t)dt g(t)dt x I} iii) = sup{ (f n(t) g(t))dt x I} iv) x 0 x 0 x 0 x sup{ f n(t) g(t) dt x I} v) x sup{ d(f n, g)dt x I} vi) = x 0 x 0 sup{ x x 0 d(f n, g) x I} vii) (b a)d(f n, g) viii) ɛ < (b a) b a = ɛ, joten tämä N todella kelpaa väitteeseen (4) ja siten väite (4) ja näin myös väite (3) on todistettu. Yllä yhtälöt i) ja ii) seuraavat suoraan määritelmistä. Yhtälö iii) seuraa siitä, että f n g = (f n g). Epäyhtälö iv) seuraa siitä, että (f n g) f n g kaikille x (huomaa, että voi olla myös x < x 0, mikä selittää jälkimmäisen integraalin ympärillä tarvittavat itseisarvomerkit). Epäyhtälö v) perustuu siihen, että metriikan d määritelmän mukaan f n (t) g(t) d(f n, g) kaikille t, jolloin f n (t) g(t) dt d(f n, g)dt, huomaa, että itseisarvomerkkien kanssa tämä pätee myös kun x < x 0. Yhtälössä vi) on integroitu vakiota. Epäyhtälö vii) seuraa siitä, että x, x 0 I =]a, b[, jolloin x x 0 < b a. Epäyhtälö viii) seuraa ehdosta (5). x Määritellään nyt kuvaus G : I R asettamalla kaikille x I G(x) = H(x) + y. Tässä y on lauseen oletuksissa ja ehdossa (2) esiintyvä vakio. Koska ehdon () nojalla kaikille n N pätee f n = F n C n, ehdon (2) nojalla C n y ja ehdon (3) nojalla F n H, niin saadaan (ks. todistuksen jälkeinen huomautus ja lause.23) f n H + y, ts. f n G. 8

20 Näin väitteen ensimmäinen osa on todistettu. Pitää vielä todistaa jälkimmäinen osa eli väite G (x) = g(x) kaikille x G. Koska G = H + vakio, niin riittää osoittaa, että H (x) = g(x) kaikille x G. (6) Koska derivaatat f n ovat oletuksen mukaan jatkuvia ja f n g, niin lauseen.5 nojalla myös g on jatkuva. Koska funktion H määritelmän mukaan pätee H(x) = x x 0 g(t)dt kaikille x I, niin g:n jatkuvuuden nojalla analyysin peruslauseesta ([A2], lause 3.) seuraa välittömästi väite (6), joten koko lause on todistettu. Huomautus. Edellisessä todistuksessa pääteltiin vähän huolimattomasti, että jos F n H ja C n y, niin tällöin f n = F n C n H +y. Tässä pitää huomata, että konvergessi C n y voidaan tulkita joko reaalilukujonon konvergenssiksi tai tai sitten vakiofunktioiden tasaiseksi konvergenssiksi kohti vakiofunktiota näillähän ei käytännössä ole eroa. Tämä vaatisi ehkä vähän tarkemman analyysin. Toisaalta tämäntapaisia tilanteita tulee vastaan tuon tuosta. Näitä varten todistetaan vielä tämän luvun lopuksi lause, jonka perusteella voidaan monet tapaukset kuitata käsitellyiksi. Lause.23 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoot (f n ) (g n ) joukon A jonoja, f, g A ja a, b R. Oletetaan, että f n f ja g n g. Tällöin af n + bg n af + bg ja f n g n fg. Huomautus. Tässä esimerkiksi funktio af + bg A tarkoittaa kuvausta x af(x) + bg(x) ja funktio fg A kuvausta x f(x)g(x) jne. Todistus.. Todistetaan aluksi ensimmäinen väite siinä erikoistapauksessa, että a = b =. Olkoon tätä varten ɛ > 0. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että d(f n + g n, f + g) < ɛ kaikille n N. () Koska f n f, niin on olemassa N N siten, että d(f n, f) < ɛ 2 kaikille n N. (2) Koska g n g, niin on olemassa N 2 N siten, että d(g n, g) < ɛ 2 kaikille n N 2. (3) Valitaan nyt N = max{n, N 2 } 9

21 ja osoitetaan, että tämä on väitteessä () peräänkuulutettu luku N. Olkoon siis n N. Tällöin d(f n + g n, f + g) = sup{ (f n (x) + g n (x)) (f(x) g(x)) x I} = sup{ f n (x) f(x) + g n (x) g(x) x I} sup{ f n (x) f(x) + g n (x) g(x) x I} sup{d(f n, f) + d(g n, g) x I} = d(f n, f) + d(g n, g) i) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ 2, joten ehto () todellakin toimii. Tässä ehto i) seuraa ehdoista (2) ja (3), sillä nyt N:n valinnan nojalla sekä n N että n N Todistetaan sitten jälkimmäinen väite eli että f n g n fg. Olkoon tätä varten ɛ > 0. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että d(f n g n, fg) < ɛ kaikille n N. (4) Koska f, g A, niin ne ovat rajoitettuja. Tällöin on olemassa M R siten, että f(x) < M ja g(x) < M kaikille x I. (5) Koska f n f, niin on olemassa N N siten, että d(f n, f) < kaikille n N. Tällöin pätee kaikille x I ja kaikille n f n (x) = f n (x) f(x) + f(x) f n (x) f(x) + f(x) (6) + f(x) i) < M +, missä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (5). Koska f n f, niin on olemassa N 2 N siten, että ɛ d(f n, f) < kaikille n N 2. (7) 2M + Vastaavasti, koska g n g, niin on olemassa N 3 N siten, että Valitaan nyt d(g n, g) < ɛ 2M + N = max{n, N 2, N 3 } kaikille n N 3. (8) 20

22 ja osoitetaan, että tämä on väitteessä (4) peräänkuulutettu luku N. Olkoon siis n N. Tällöin d(f n g n, fg) = sup{ f n (x)g n (x) f(x)g(x) x I} = sup{ f n (x)g n (x) f n (x)g(x) + f n (x)g(x) f(x)g(x) x I} sup{ f n (x)g n (x) f n (x)g(x) + f n (x)g(x) f(x)g(x) x I} = sup{ f n (x) g n (x) g(x) + f n (x) f(x) g(x) x I} i) sup{ f n (x) g n (x) g(x) x I} + sup{ f n (x) f(x) g(x) x I} ii) sup{(m + ) g n (x) g(x) x I} + sup{m f n (x) f(x) x I} = (M + )d(g n, g) + Md(f n, f) iii) ɛ (M + ) 2M + + M ɛ 2M + = ɛ, joten ehto (4) todellakin pätee, ja näin väite on todistettu. Yllä epäyhtälö i) seuraa siitä, että kaikille x I pätee f n (x) g n (x) g(x) + f n (x) f(x) g(x) sup{ f n (x) g n (x) g(x) x I} + sup{ f n (x) f(x) g(x) x I}. Epäyhtälö ii) seuraa ehdoista (5) ja (6) sekä siitä, että n N N. Epäyhtälö iii) seuraa ehdoista (7) ja (8) sekä siitä, että n N N 2 ja n N N On vielä todistettava ensimmäinen väite yleisessä tapauksessa. Tämä seuraa nyt kohdista. ja 2. tähän tapaan: Määritellään kaikille n N g n a ja myös g a, jolloin g n g. (Huomaa, että tässä on siis kyse funktiojonon tasaisesta suppenemisesta.) Kohdan 2. nojalla saadaan nyt Vastaavasti kohdan 2. nojalla nähdään, että Väite af n = g n f n gf = af. (9) bf n bf. (0) af n + bf n af + bf seuraa nyt kohdasta. sekä ehdoista (9) ja (0). 2 Taylorin polynomit Monissa sovelluksissa on hyödyllistä approksimoida annettua pahaa funktiota polynomilla, joka on tietenkin monessa mielessä mahdollisimman siisti funktio. Tällainen approksimaatio onnistuu sitä paremmin, mitä korkemman asteista polynomia käytetään, edellyttäen, että alkuperäinen funktio ei ole aivan mahdoton käytännössä vaaditaan, että annettu funktio on niin ja niin monta kertaa derivoituva: 2

23 Määritelmä 2. Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n kertaa derivoituva funktio. Sanotaan, että funktio T n,x0 f : R R, T n,x0 f(x) = k=0 k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k on f:n kertalukua n oleva Taylorin polynomi pisteessä x 0. Huomautus 2.2 Tässä merkintä f (k) (x 0 ) tarkoittaa tavalliseen tapaan funktion f k:nnen derivaatan arvoa pisteessä x 0. Tämähän on oletuksen mukaan olemassa, kun k {0,..., n}. Erityisesti kun k = 0, kyseessä on f:n arvo pisteessä x 0, eli sovitaan, että f (0) (x 0 ) = f(x 0 ). Huomaa, että Taylorin polynomi on todella polynomi ja sen asteluku on korkeintaan n. Määritelmässä 2. esiintyvä summasymboli määritellään tarkasti vasta sarjojen yhteydessä luvussa 3, mutta sen intuitiivinen merkitys lienee selvä. Eksaktisti määritelmä voidaan asettaa rekursiivisesti sopimalla ensin, että T 0,x0 = 0! f(x 0)(x x 0 ) 0 = f(x 0 ) ja jos oletetaan, että k {0,,..., n } ja että T k,x0 f(x) on jo määritelty, niin asetetaan T k+,x0 f(x) = T k,x0 f(x) + (k + )! f (k+) (x 0 )(x x 0 ) k+, () jolloin rekursioperiaatteen mukaisesti T k,x0 f(x) tulee määritellyksi kaikille k {0,,..., n} ja lisäksi ehto () pätee kaikille k {0,,..., n }. Esimerkki 2.3 Olkoon I = R ja f : I R, f(x) = e x. Tällöin f äärettömän monta kertaa derivoituva, joten sen kaikkien kertalukujen Taylorin polynomit (esimerkiksi) origossa voidaan muodostaa. Koska f (k) (0) = kaikille k N, niin saadaan huomatuksen 2.2 mukaisesti seuraavanlaiset polynomit: T 0,0 f(x) = 0! f(0)(x 0)0 T,0 f(x) = T 0,0 f(x) +! f (0)(x 0) = + x T 2,0 f(x) = T,0 f(x) + 2! f (0)(x 0) 2 = + x + 2 x2 T 3,0 f(x) = T 2,0 f(x) + 3! f (3) (0)(x 0) 2 = + x + 2 x2 + 6 x3 jne. Yleisesti nähdään määritelmästä 2. heti, että kaikille n N pätee T n,0 f(x) = k=0 k! xk. 22

24 Taylorin polynomin luonteeseen kuuluu siis se, että se approksimoi annettua funktiota. Approksimaatio on tarkimmillaan juuri valitussa pisteessä x 0, sillä kaikille n N pätee T n,x0 f(x 0 ) = f(x 0 ). Tämä pätee siis myös arvolle n = 0, jolloin Taylorin polynomi on pelkkä vakio. Taylorin polynomin antama approksimaatio huononee sitä mukaa, mitä kauemmas annetusta pisteestä x 0 mennään. Toisaalta approksimaatio paranee sitä mukaa, kun Taylorin polynomin kertaluku kasvaa. Tämä ilmiö näkyy selvästi esimerkistä 2.3 piirtämällä f:n ja joidenkin Taylorin polynomien kuvaajat. Sama koskee esimerkkejä 2.4 ja 2.5. Esimerkki 2.4 Olkoon I = R ja f : I R, f(x) = sin x. Tässäkin f äärettömän monta kertaa derivoituva, joten sen kaikkien kertalukujen Taylorin polynomit (esimerkiksi) origossa voidaan muodostaa. Koska 0 kun n on parillinen f (k) (0) = + kun n on muotoa n = 4k +, k N kun n on muotoa n = 4k + 3, k N, niin saadaan seuraavanlaiset polynomit T 0,0 f(x) 0 T,0 f(x) = T 2,0 f(x) = x T 3,0 f(x) = T 4,0 f(x) = x 6 x3 T 5,0 f(x) = T 6,0 f(x) = x 6 x x5 jne. Esimerkki 2.5 Olkoon I = R ja f : I R, f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x +. Lasketaan vaihtelun vuoksi Taylorin polynomit pisteessä x 0 =. Tässä f() = 5, f () = 0, f () = 20, f (3) () = 30, f (4) () = 24 ja f (k) () = 0, kun k 5. Tällöin saadaan seuraavanlaiset polynomit T 0, f(x) 5 T, f(x) = 5 + 0(x ) = 0x 5 T 2, f(x) = 0x (x )2 = 0x 5 + 0x 2 20x + 0 = 0x 2 0x + 5 T 3, f(x) = 0x 2 0x (x )3 = 0x 2 0x x 3 5x 2 + 5x 5 = 5x 3 5x 2 + 5x T 4, f(x) = 5x 3 5x 2 + 5x (x )4 = x 4 + x 3 + x 2 + x + T n, f(x) = T 4, f(x) kun n 5. 23

25 Huomautus 2.6 Esimerkissä 2.5 kävi niin, että T n, f(x) = f(x), kun n 4. Tämä ei ole sattumaa, sillä lauseessa 2. tullaan todistamaan, että jos f on astetta m oleva polynomi, niin T n, f(x) = f(x), kun n m. Tämä on yllä puhuttua approksimointia ajatellen luonnollinen tulos: m-asteista polynomia voidaan aivan täsmälleen approksimoida m-asteisella polynomilla, eikä tarkkuus voi enää parantua, vaikka appoksimoivan polynomin astetta nostettaisiinkin. Seuraava lause sanoo, että f:n Taylorin polynomin derivaattojen arvot pisteessä x 0 ovat täsmälleen samat kuin f:n derivaattojen vastaavat arvot. Lause 2.7 Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n kertaa derivoituva funktio. Tällöin kaikille k {0,,..., n} pätee d k dx k T n,x 0 f(x 0 ) = f (k) (x 0 ). Todistus. Koska määritelmän mukaan T n,x0 f(x 0 ) = f(x 0 ), niin asia on selvä kun k = 0, joten voidaan olettaa, että k. Jos k = n, niin T n,x0 f voidaan huomautuksen 2.2 mukaan esittää muodossa T n,x0 f(x) = T k,x0 f(x) = P (x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k, missä P on korkeintaan astetta k oleva (Taylorin) polynomi. Koska tällöin P (k) 0, niin d k dx k T n,x 0 f(x) = dk dx k k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k = k! f (k) (x 0 ) dk dx k (x x 0) k = k! f (k) (x 0 )k! = f (k) (x 0 ), joten väite pätee. Oletetaan sitten, että k n. Tällöin huomautuksen 2.2 ja määritelmän 2. mukaan T n,x0 f voidaan esittää muodossa T n,x0 f(x) = P (x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + j=k+ j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j, missä P on korkeintaan astetta k oleva polynomi. Koska nytkin P (k) 0, niin d k dx k T n,x 0 f(x) = dk dx k k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + dk dx k j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j = k! f (k) (x 0 ) dk dx k (x x 0) k + k! f (k) (x 0 )k! + j=k+ j=k+ j=k+ j! f (j) (x 0 ) dk dx k (x x 0) j = j! f (j) (x 0 )j(j ) (j k + )(x x 0 ) j k. 24

26 Tällöin d k dx k T n,x 0 f(x 0 ) = k! f (k) (x 0 )k! + j=k+ f (k) (x 0 ) + 0 = f (k) (x 0 ), joten väite pätee tässäkin tapauksessa. j! f (j) (x 0 )j(j ) (j k + )(x 0 x 0 ) j k = Esitetään tässä välissä pieni aputulos, joka koskee kaikkia polynomeja: Lemma 2.8 Olkoon n N, x 0 R ja Q korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolle pätee Q (k) (x 0 ) = 0 kaikille k {0,,..., n}. Tällöin Q 0. Todistus. Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Kun n = 0, Q on vakio, jolloin oletus Q(x 0 ) = 0 riittää takaamaan, että Q 0. Oletetaan sitten induktiivisesti, että n ja että väite pätee kaikille korkeintaan astetta n oleville polynomeille. Olkoon Q(x) = a k x k. k=0 Tällöin d n dx n Q(x) n!a n, jolloin oletuksen nojalla a n = 0. Tällöin n Q(x) = a k x k k=0 ja näin Q on korkeintaan astetta n. Väite seuraa tällöin induktio-oletuksesta. Lause 2.7 siis kertoo, että T n,x0 f on korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolla on samat derivaatan arvot pisteessä x 0 kuin itse funktiolla f ainakin kertalukuun n asti. Seuraava lause sanoo, että muita tällaisia polynomeja ei sitten olekaan: Lause 2.9 Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n kertaa derivoituva funktio. Olkoon P korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolle pätee P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ) kaikille k {0,,..., n}. Tällöin P = T n,x0 f 25

27 Todistus. Määritellään Q(x) = P (x) T n,x0 f(x). Tällöin Q on korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolle oletuksen ja lauseen 2.7 nojalla päte Q (k) (x 0 ) = 0 kaikille k {0,,..., n}. Tällöin lemman 2.8 nojalla Q 0. Koska Q = P T n,x0 f, niin väite seuraa. Jos ajatellaan edelleen Taylorin polynomia funktion f approksimaationa, niin approksimaatiossa syntyvä virhe on f T n,x0 f. Tätä virhettä olisi hyvä päästä arvioimaan. Seuraava lause antaa kyseiselle virheelle eksplisiittisen lausekkeen, josta virhearvioita on hyvä lähteä tekemään. Tässä tosin tarvitaan sellainen lisäoletus, että f on n + kertaa derivoituva ja vielä, että derivaatta f (n+) on jatkuva. Lause 2.0 Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n + kertaa jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin kaikille x I pätee f(x) T n,x0 f(x) = n! x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt. Huomautus. Lauseen 2.0 esitys virheelle f T n,x0 f tunnetaan nimellä Taylorin kaava. Itse virheelle käytetään nimitystä n:s jäännöstermi ja merkintää R n,x0 f(x) = n! x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt. Huomaa myös, että tässä voi olla x x 0, jolloin käytetään [A2]:sta tuttuja sopimuksia x 0 x 0 = 0 ja x x 0 = x 0 x. Todistus. Koska f (n+) on oletuksen mukaan jatkuva, on myös funktio t f (n+) (t)(x t) n jatkuva ja siten integroituva, joten väite on mielekäs. Osoitetaan induktiolla k:n suhteen, että kaikilla k {0,,..., n} pätee f(x) T k,x0 f(x) = k! x x 0 f (k+) (t)(x t) k dt, () josta varsinainen väite seuraa k:n arvolla k = n. Huomaa, että tässäkin kuvaukset t f (n+) (t)(x t) n ovat jatkuvia, joten kaavassa () esiintyvät integraalit ovat määriteltyjä. Kun k = 0 väite () tulee muotoon f(x) f(x 0 ) = x x 0 f (t)dt. (2) 26

28 Jos x = x 0, niin tämä pätee tehdyn merkintäsopimuksen nojalla. Jos x > x 0, niin f :n oletuksen mukaisen jatkuvuuden nojalla väite (2) seuraa suoraan [A2]:n lauseesta 3.4. Jos taas x < x 0, niin samalla tavalla [A2]:n lauseen 3.4 nojalla f(x 0 ) f(x) = x0 x f (t)dt, jolloin väite (2) seuraa tehdystä merkintäsopimuksesta. Näin induktion ensimmäinen askel on otettu. Oletetaan sitten induktiivisesti, että k n ja että f(x) T k,x0 f(x) = (k )! x Jos x = x 0, niin induktioväite () tulee muotoon f(x) T k,x0 f(x) = 0, x 0 f (k) (t)(x t) k dt. (3) joka pätee lauseen 2.7 nojalla. Siten voidaan olettaa, että x x 0. Oletetaan ensin, että x > x 0. Lasketaan induktio-oletuksessa (3) esiintyvä integraali osittaisintegroinnilla, jolloin saadaan x x 0 f (k) (t)(x t) k dt = / x x 0 f (k) (t) k (x t)k k f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + x f k+ (t)(x t) k dt. k x 0 Yhdistämällä tämä induktio-oletukseen (3) saadaan f(x) T k,x0 f(x) = k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + k! josta edelleen f(x) (T k,x0 f(x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k ) = k! Koska huomautuksen 2.2 mukaan x x 0 f (k+) (t) k (x t)k dt = x x T k,x0 f(x) = T k,x0 f(x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k, niin kaavasta (5) saadaan välittömästi induktioväite (). x 0 f k+ (t)(x t) k dt, (4) x 0 f k+ (t)(x t) k dt. (5) 27

29 Pitää vielä tutkia tapaus x < x 0. Tämä tarkastelu on melkein identtinen edellä olevan kanssa, merkki vain vaihtuu: Osittaisintegroinnilla saadaan ensin x x 0 f (k) (t)(x t) k dt = / x0 f (k) (t) x k (x t)k + k f (k) (x 0 )(x x 0 ) k k k f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + k x0 x x0 x x0 x x f (k) (t)(x t) k dt = f (k+) (t) k (x t)k dt = f k+ (t)(x t) k = x 0 f k+ (t)(x t) k dt, joten kaava (4) pätee tässäkin tapauksessa. Tästä voidaan päätellä edelleen kaava (5) ja lopulta induktioväite () täsmälleen samoin kuin yllä. Näin induktioaskel on otettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. Lause 2. Olkoon f astetta m oleva polynomi ja x 0 R. Tällöin T n,x0 f f kaikille n m. Todistus. Olkoon n m mielivaltainen. Riittää osoittaa, että T n,x0 f f 0. Lauseen 2.0 nojalla tähän riittää se, että x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt = 0 kaikille x R. Tämä seuraa välittömästi siitä, että f (n+) 0, sillä n + > m ja f on astetta m oleva polynomi. Lauseen 2.0 mukaisesti siis Taylorin kaavan jäännöstermiä merkitään symbolilla R n,x0 f(x) = f(x) T n,x0 f(x) = n! x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt. Tälle jäännöstermille eli approksimoinnissa syntyvälle virheelle voidaan antaa muunkinlaisia esityksiä. Lauseissa 2.2 ja 2.3 on kaksi tällaista esitystä. Lause 2.2 (Cauchyn esitys) Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n+ kertaa jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin kaikille x I\{x 0 } on olemassa ξ ]x, x 0 [ ]x 0, x[ siten, että R n,x0 f(x) = n! f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). Todistus. Tässä täytyy taas tutkia erikseen tapaukset x > x 0 ja x < x 0. Olkoon ensin x > x 0. Oletuksen mukaan funktio f (n+) (t) on jatkuva ja siten myös 28

30 funktio t f (n+) (t)(x t) n on jatkuva välillä [x 0, x], joten integraalilaskennan väliarvolauseen ([A2], lause.4) nojalla on olemassa ξ ]x 0, x[ siten, että x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). () Sijoittamalla tämä Taylorin kaavaan (lause 2.0) saadaan väite R n,x0 f(x) = n! R n,x0 f(x) = x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt (n + )! f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). Tarkastellaan sitten tapausta x < x 0, joka on (kuten voi arvatakin) lähes identtinen yllä olevan kanssa. Oletuksen mukaan funktio f (n+) (t) on jatkuva ja siten myös funktio t f (n+) (t)(x t) n on jatkuva välillä [x, x 0 ], joten integraalilaskennan väliarvolauseen ([A2], lause.4) nojalla on olemassa ξ ]x, x 0 [ siten, että jolloin x x0 x f (n+) (t)(x t) n dt = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x 0 x), x 0 f (n+) (t)(x t) n dt = x0 x f (n+) (t)(x ξ) n dt = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x 0 x) = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). Siten kaava () pätee myös tässä tapauksessa, jolloin varsinainen väite seuraa täsmälleen samalla tavalla kuin yllä. Esimerkki 2.3 Palataan esimerkkiin 2.3, jossa laskettiin eksponenttifunktion f(x) = e x Taylorin polynomit T n,0 f(x) = k=0 k! xk. Paljonko on approksimoinnissa syntyvä maksimivirhe (mitä se sitten tarkoittaakin) esimerkiksi välillä I = ], [? Kysymys voidaan asettaa myös vähän täsmällisemmin niin, että paljonko on sup{ R n,x0 f(x) x I} eli sup{ T n,x0 f(x) f(x) x I} d(t n,x0 f, f), eli missä d on lauseessa.3 määritelty metriikka välillä I. Lause 2.2 antaa keinon arvoida tätä metriikkaa. Koska lauseen 2.2 merkinnöin (tässä siis x 0 = 0) 29

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Funktion approksimointi

Funktion approksimointi Funktion approksimointi Päivikki Vesterinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Päivikki Vesterinen, Funktion approksimointi (engl.

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot