4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
|
|
- Mari Mikkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä keskeistä Brownin liikkeen ominaisuutta Martingaalit. Siinä missä Markovin ominaisuus kertoi, että tulevaisuuden käyttäytymisen ennustamiseksi riittää tuntea pelkästään systeemin tila nykyhetkellä koko historian sijaan, niin martingaaliominaisuus kertoo, että odotuksemme tulevaisuudesta, jos tunnemme historian, on se, että mikään ei muutu. Määrittelemmekin 4.1. Määritelmä. Olkoon (X t ) reaaliarvoinen stokastinen prosessija (F t ) jokin filtraatio. Sanomme, että X on martingaali filtraation (F t ) suhteen (tai (F t )- martingaali), jos E X t < jokaisella t T, prosessi X on (F t )-adaptoitu ja lisäksi (4.2) E (X s F t )=X t jokaisella ajanehetkellä s > t T. Jos yhtäsuuruuden = korvaa ehdossa (4.2) merkillä (vastaavasti ), niin tällaista prosessia nimitetään alimartingaaliksi (vastaavasti ylimartingaaliksi). Tarkastelemme aluksi muutamia esimerkkejä martingaaleista sekä prosesseista, jotka ovat lähes martingaaleja, mutteivat kuitenkaan Lause. Brownin liike on martingaali (täydennetyn) historiansa suhteen. Todistus. Tiedämme jo, että B on adaptoitu sekä integroituva. Koska Brownin liikkeellä on riippumattomat lisäykset, niin E (B s H t )=E (B s B t + B t H t )=B t + E (B s B t )=B t Esimerkki. Prosessi X t := Bt 2 t on myös martingaali Brownin liikkeen historian suhteen, sillä selvästi X on adaptoitu, ja E X t t+e Bt 2 =2t<. Martingaaliominaisuuden (4.2) osoittaminen on seuraavanlainen lasku: E (X s H t )=E (B s (B s B t + B t ) H t ) s = E (B s (B s B t ) H t )+B 2 t s = E ( (B s B t ) 2 + B t (B s B t ) H t ) + Xt + t s = s t + B t E (B s B t H t )+X t + t s = B t E (B s B t )+X t = X t
2 46 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Seuraava esimerkki esittelee, mitä voimme martingaaliomainaisuudesta esimerkiksi kaivaa ulos Esimerkki. Edellisen esimerkin martingaaliominaisuus voidaan helposti yleistää tämän useampiulotteiseen tilanteeseen, sillä jos B on d-ulotteinen Brownin liike, niin Y t := B(t) 2 td = d (B j (t) 2 t) on d:n martingaalin summana martingaali. Olkoon nyt τ = inf{ t : B t = r }, mikä on ensimmäinen osumishetki r-säteisen pallon reunaan. Tiedämme siis, että Jos τ olisi tavallinen ajanhetki, niin j=1 E x Y (τ) =E x ( r 2 τd) =r 2 de x τ. E x Y (t) =E x E (Y (t) H s ) = E x Y (s) jokaisella s < t, joten erityisesti E x Y (t) = E x Y (0) = E x B(0) 2 = x 2. Jos voisimme jotenkin yleistää tämän koskemaan myös pysähdyshetkiä, niin olisimme päätelleet seuraavaa x 2 = E x Y (τ) =r 2 de x τ = E x τ = r2 x 2. d Tämä yleistys ei luonnollisestikaan ole täysin itsetään selvyys, vaan martingaalien tärkeä ominaisuus, johon siis palaamme piakkoin Esimerkki. Jos f on konveksi funktio ja X on martingaali, niin f(x t ) on alimartingaali, jos E f(x t ) < jokaisella t T.Tästä näemme, että B(t), B(t) +, e B(t), jne. ovat alimartingaaleja, mutta ne eivät ole martingaaleja. Luettelemme seuraavassa muutamia diskreettien martingaalien perustuloksia ja todistamme niistä muutaman. Seuraavassa (F n ) on annettu filtraatio ja X n on adaptoitu sen suhteen. Käytämme niissä hyväksi esiversiota stokastisesta integraalista eli summaa n (H X) n := H k + X k 1 missä H on ennustettava prosessi eli H n F n 1 jokaisella n 1. k= Lemma. Jos X n on ylimartingaali (alimartingaali, martingaali) ja H n 0 on rajoitettu, niin H X on myös ylimartingaali (alimartingaali, martingaali). Todistus. Helppo harjoitustehtävä.
3 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 47 Tämän tuloksen avulla on helppo osoittaa, että pysäytetty prosessi X τ n := X(τ n) on alimartingaali, jos X on alimartingaali. Tämä seuraa siitä, että jos Y n = X(τ n), niin + Y k =[τ > k ] + X k. Siispä Y n = X 0 +(H X) n, kun H n =[τ n ]. Koska [ τ n ]=1 [ τ < n ], niin H on ennustettava ja rajoitettu. Lemman avulla voimme myös osoittaa ensimmäisen version optinaalisen pysäyttämisen lauseesta. Muiden versioiden todistukset perustuvat samaan ajatukseen, mutta niitä emme käy läpi Lemma. Jos N(ω) M(ω) < K < ovat pysähdyshetkiä ja X on alimartingaali, niin X N E (X M F N ) melkein varmasti. Jos X on martingaali on edellisessä yhtäsuuruus. Lisäksi adaptoitu ja integroituva prosessi X on martingaali jos ja vain jos E X N = E X M jokaisella rajoitetulla pysähdyshetkellä N ja M. Todistus. Oletetaan aluksi, että X on martingaali. Olkoon Y n := X(M n) X(N n) =X M (n) X N (n). Kun n K, niin Y n = X M X N. Toisaalta Y 0 = 0. Koska kahden martingaalin erotus on martingaali ja (X N n ) sekä (X M n ) ovat martingaaleja, niin Y on martingaali. Erityisesti siis 0=E Y 0 = E Y K = E X M E X N joten E X N = E X M. Eli olemme osoittaneet yhden osan väitteestä. Oletetaan nyt, että E X N = E X M jokaisella rajoitetulla pysähdyshetkellä N ja M ja että X on adaptoitu ja integroituva, mutta muuta oletusta prosessista X emme tee. Oletetaan, että N M < K ja olkoon A F N.Tällöin N A := N[ A ]+ K[ A C ] ja M A := M[ A ]+K[ A C ] ovat kaksi rajoitettua pysähdyshetkeä. (HT. Miksi?) Siispä oletuksen nojalla E X(N A )=EX(N)[ A ]+KE ( X(K)[ A C ] ) = E X(M A )=E X(M)[ A ]+KE ( X(K)[ A C ] ) joten jokaisella A F N on voimassa E ( X(N)[ A ] ) = E ( X(M)[ A ] ) = E ( E (X(M) F N )[A ] ) Siispä ehdollisen odotusarvon määritelmän nojalla X(N) =E (X(M) F N ). Jos N ja M ovat tavallisia ajanhetkiä, niin X on martingaali. Yhdistettynä alkuosaan olemme osoittaneet koko väitteen ja alkuosan, kun X on martingaali.
4 48 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Jos X on alimartingaali, niin väiteen todistus on samanlainen, paitsi emme voi vedota siihen että kahden alimartingaalin erotus olisi alimartingaali. Toisaalta + Y n =[N n < M ] + X n =: H n+1 + X n ja prosessi H n =[n M ] [ n N ] on ennustettava, joten Y n on alimartingaali. Loppu meneekin samalla tavoin. Seuraava tulos on kertoo, kuinka hyvin osakemarkkinoilla strategia: osta halvalla, myy kalliilla toimii, jos markkinoita (tai hyödykkeen hintaa) kuvaa alimartingaali. Sitä varten määrittelemme jonon pysähdyshetkiä sekä niiden avulla kaksi storkastista prosessia. N 0 := 0, h > 0 N 2k 1 := inf{ n > N 2k 2 : X m a } N 2k := inf{ n > N 2k 1 : X m a + h } H m := [ N 2k 1 m 1 <N 2k jollakin k ] U n := sup{ k : N 2k n } 4.9. Lemma (Ylitysepäyhtälö). Jos (X m ) on alimartingaali, niin he U n E (X n a) + E (X 0 a) + Todistus. Koska Y n = (X n a) + on alimartingaali, joka ylittää välin [0,h] samalla kun X n ylittää välin [a, a + h], joten voimme olettaa, että a = 0 ja X n 0. Tällöin hu n (H X) n, sillä jos N 2K n < N 2K 1, niin hu n = hk ja edelleen (H X) n = m [ N 2k 1 m 1 <N 2k,m n ](X m X m 1 ) =(X(N 2 ) X(N 1 )) + +(X(N 2K ) X(N 2K 1 )) Kh. Siispä hu n (H X) n ainakin, jos N 2K n < N 2K 1. Jos taas N 2K+1 n< N 2K+2, niin hu n = hk, mutta (H X) n Kh + X(n) X(N 2K+1 ) Kh määritelmän nojalla, sillä a = 0 ja X n 0. Jos K m =1 H m, niin X n X 0 =(H X) n +(K X) n, joten E X n E X 0 he U n + E ( K X) n E ( K X) 0 = he U n edellisen lemman avulla. Tämän tuloksen avulla voimme osoittaa helposti tärkeän martingaalien suppenemistuloksen Lause (Martingaalikonvergenssilause). Jos (X n ) on alimartingaali ja sup E X + n <, n
5 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 49 niin X n X melkein varmasti ja rajasatunnaismuuttuja X on integroituva. Todistus. Olkoon a ja h > 0 vapaasti valittuja rationaalilukuja. Nyt E U n ( a + E X n )/h joten jos U = lim U n, niin E U < eli U< melkein varmasti. Siispä Jos siis tarkastelemme tapahtumaa {lim inf X n < a < a + h<lim sup X n } niin havaitsemme, että tämä on nollatapahtuma, koska tämä on mahdollista vain, kun U =. Voimme siten päätellä, että {lim inf X n < a < a + h<lim sup X n } a,h Q on nollatapahtuma, joten lim sup X n lim inf X n melkein varmasti. Fatoun lemman nojalla E X + lim inf E X + n < joten ainakin X<. Koska E X n = E X n + E X n E X n + E X 0, joten Fatoun lemma osoittaa edelleen, että E X <. Tämän seurauksena saamme seuraavan yleisen tuloksen martingaalien suppenemisominaisuuksista Lause. Jos (X t ) on càdlàg martingaali, T = R + niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. i) X t suppenee avaruudessa L 1, kun t ii) löytyy sellainen X L 1, että X t = E (X F t ) iii) perhe { X t : t T } on tasaisesti integroituva Jos mikä tahansa ehdoista toteutuu, niin X = lim t X t melkein varmasti. Lisäksi jos sup E X t p <, t T niin ylläolevat ehdot täyttyvät ja lisäksi X t X myös avaruudessa L p. Tässä lauseessa esiintynyt tasasisesti integroituvan perheen käsite on seuraava Määritelmä. Joukko satunnaismuuttjia { X t : t T } on tasaisesti integroituva, jos lim sup E ( X t [ X t M ] ) =0 M t T
6 50 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus. Jos X on martingaali, niin lim E ( X t [ X t M ] ) =0 M jokaisella t T. Jos merkitsemme väitteet formaalisti, niin jokainen martingaali toteuttaa ehdon ε > 0, t T, N >0, M > N : E ( X t [ X t M ] ) ε. Jos martingaali toteuttaa ehdon iii) edellisessä lauseessa, eli se on tasaisesti integroituva, niin se toteuttaa ehdon ε > 0, N >0, t T, M > N : E ( X t [ X t M ] ) ε. missä olemassaolokvanttori ja universaalikvanttori ovat vaihtaneet paikkaa. Tämä viittaa jonkinlaiseen kompaktisuuteen ja todellakin, tasainen integroituvuus on yhtäpitävää heikon (pre)kompaktisuuden kanssa avaruudessa L 1. Lauseen lopussa ollut oletus siitä, että jos martingaali on rajoitettu L p :ssä, niin väite seuraa myös tällöin vastaa funktionaalianalyysistä tutun tiedon mukaan heikkoa kompaktisuutta avaruudessa L p. Koska Banachin avaruuksissa heikko kompaktisuus takaa suppenevan osajonon löytymisen, niin martingaaleille heikosti suppenevan osajonon olemassaolo jo takaa sekä vahvan (normin mielessä) suppenevuuden että melkein varman suppenemisen. Tarvitsemme vielä Joseph Leo Doobin martingaaliepäyhtälöitä sekä optionaalisia pysähtymisen lauseita Lause (Doobin maksimaali-l p -epäyhtälöt). Jos (X m ) on alimartingaali ja X m = sup j m X j, niin Edelleen, kun p>1, niin λp ( X λ ) E X + n. E (X n) p ( ) p p E (X n + ) p. p 1 Nämä tulokset yleistyvät mukavasti myös jatkuvaan tilanteeseen Lause (Doobin maksimaali-l p -epäyhtälöt (osa II)). Jos (X t ) on càdlàg positiivinen alimartingaali ja T R on väli ja X t = sup s t X s, niin Edelleen, kun p>1, niin λp ( X t λ ) E X t. E (X t ) p ( ) p p E X p t. p 1
7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Lause (Optionaalisen pysäyttämisen lause). Jos (X n N ) on tasaisesti integroituva alimartingaali, niin tällöin jokaisella pysähdyshetkellä M N on voimassa E X M E X N Myös tämä tulos yleistyy jatkuvaan aikaan, mutta muotoilemme sen vain martingaaleille. Yhdistämme siihen myös martingaalikonvergenssituloksen Lause (Optionaalisen pysäyttämisen lause (Osa II)). Jos X on càdlàg martingaali ja τ 1 τ 2 < ovat kaksi pysähdyshetkeä, niin X τ1 = E (X τ2 F τ1 ) melkein varmasti. Jos X on tasaisesti integroituva, niin myös perhe { X τ : τ on pysähdyshetki } on tasaisesti integroituva ja jos τ<, niin X τ = E (X F τ ) 4.2. Lokaalit martingaalit. Kohta tulemme määrittelemään lokaalin martingaalin. Lokalisointi viittaa aina jonkinlaisen katkaisemisen tai osiin pilkkomisen periaatteeseen. Optionaalisen pysäyttämisen lauseen nojalla voimme osoittaa, että pysäytetty martingaali on martingaali. Tarkoitamme tällä seuraavaa. Määrittelemme X τ (t) := X(t τ) kun τ on pysähdyshetki. Kun tarkastelemme tätä prosessia, niin huomaamme, että hetken τ jälkeen prosessi pysähtyy tilaan X(τ). Osoitamme, että tämä pysäyttäminen ei tuhonnut martingaaliominaisuutta Lemma. Kun X on càdlàg martingaali filtraation (F t ) suhteen, niin pysäytetty prosessi Y := X τ on càdlàg martingaali filtraation (F t ) suhteen jokaisella pysähdyshetkellä τ. Tämän tuloksen voisi osoittaa suoraan käyttämällä optionaalisen pysäyttämisen lauseen (HT), mutta sen voi osoittaa käyttämällä seuraavaa lemmaa apuna Lemma. Adaptoitu càdlàg-prosessi X on martingaali filtraation (F t ) suhteen jos ja vain jos jokaisella rajoitetulla pysähdyshetkellä τ satunnaismuuttuja X τ on integroituva ja lisäksi E X τ = E X 0.
8 52 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tämän lemman todistus on toiseen suuntaan suora seuraus optinaalisen pysäyttämisen lauseesta ja toinen suunta on samanlainen kuin vastaavan diskreettiaikaisen tuloksen osoitus. Lemman 4.18 todistus. Olkoon η jokin rajoitettu pysähdyshetki. Tällöin Y (η) = X(η τ), joten tiedämme, että E Y (η) < ja E Y (η) =E X(η τ) =E X(0) = E Y (0). Koska pysäyttäminen säilyttää càdlàg-ominaisuuden, niin Y on martingaali.
X k+1 X k X k+1 X k 1 1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,
Lisätiedot5. Stokastinen integrointi
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 55 5. Stokastinen integrointi Olemme lopulta käyneet läpi tarvittavat tiedot peruskäsitteistä ja voimme aloittaa stokastisen integroinnin (ja siten stokastisen derivoinnin
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5 1. Näytä, että X t := Bt 3 3tB t on martingaali Brownin liikkeen B historian suhteen. Ratkaisuehdotus:
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot6. Sovelluksia stokastiselle integroinnille
92 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 6. Sovelluksia stokastiselle integroinnille 6.1. Uusia martingaaleja. Tähän mennessä olemme löytäneet vain kourallisen martingaaleja eli tiedämme, että B t on martingaali,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 115
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 115 7. Stokastiset differentiaaliyhtälöt Kävimme läpi edellisessä kappaleessa kaksi reuna-arvotehtävää, jotka voidaan ratkaista stokastisen integroinnin avulla käyttäen
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot6.4. Feynmanin Kacin kaava. Edellisessä osassa näytimme, että tietyin oletuksin. on Dirichlet n reuna-arvotehtävän.
14 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 6.4. Feynmanin Kacin kaava. Edellisessä osassa näytimme, että tietyin oletuksin on Dirichlet n reuna-arvotehtävän w = u(x) =E x f(b τ ) w = f alueessa G reunalla Γ
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot3. Teoriaharjoitukset
3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
Lisätiedot= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Lisätiedot6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot