Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Transkriptio

1 Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016

2 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo 12 1

3 Johdanto Derivaatta on yksi analyysin keskeisimpiä työkalu, jolla on paljon sovelluksia funktion kulkuun liittyvissä teorioissa. Kuitenkaan, derivaattaa ei aina ole olemassa. Joillain funktioilla derivaatta on olemassa vain tietyissä pisteissä, toisilla ei yhdessäkään. Tällaisiin tilanteisiin on kehitetty korvikkeita derivaatalle. Korvikkeiden avulla voidaan kuvata sellaistenkin funktioiden kulku, joilla ei ole olemassa tavallista derivaattaa. Tässä Luk-tutkielmassa käsittelen yhtä tällaista derivaatan korviketta, Dini derivaattaa. Se on yksinkertainen kätevä derivaatan korvike. Dini derivaatta on myös erittäin monikäyttöinen, sillä se on olemassa jokaisessa pisteessä jokaiselle avoimella välillä määritellylle funktiolle. Työn teorian todistusten ymmärtämiseksi on hyvä tuntea analyysin tavallisimpia käsitteitä, kuten derivaatta, funktion tkuvuus monotonisuus. Lähes kaikki tutkielman ymmärtämiseksi tarvittavat määritelmät lauseet on kuitenkin esitetty ensimmäisessä kappaleessa, joten pohksi ei välttämättä tarvitse muuta kuin matemaattisen tekstin attelun ymmärtämistä. Tutkielman ensimmäisessä kappaleessa määrittelen myöhempiä todistuksia lauseita varten tarpeellisia käsitteitä. Toisessa kappaleessa olen määritellyt työn varsinaisen aiheen mukaiset käsitteet esittänyt niihin liittyviä lemmo. Viimeisessä kappaleessa on useita esimerkkejä funktioiden Dini derivaatoista kaksi lausetta todistuksineen. Lemman 2.8 todistuksen sekä esimerkin 3.3 olen keksinyt itse. Dini derivaatta on nimetty italialaisen matemaatikon Ulisse Dinin ( ) mukaan. Hän tutki erityisesti funktioiden tkuvuutta, derivaatto, derivaatan olemassaolon ehto, sarjo äärellisiä integraale. Dini oli yksi suurimpia mestareita teorioiden yleistämisessä vastaoletusten rakentamisessa. Hän todisti tarkasti lauseita, jotka oli siihen mennessä pystytty osoittamaan vain epätäsmällisin keinoin. 1 Taustaa Tässä LuK-tutkielmassa keskitytään reaalilukujen analyysiin, joten määritelmien esimerkkien funktiot on määritelty R R. Määritelmä 1.1. Olkoon funktio f määritelty välillä I x 0 I. Funktion f derivaatta pisteessä x 0 on f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0, 2

4 mikäli tämä ra-arvo on olemassa tai saa arvon tai. Mikäli funktion derivaatta on äärellinen, funktio on derivoituva pisteessä x 0. Yleensä, kun sanotaan, että derivaatta on olemassa, tarkoitetaan sen olevan äärellinen. Vaikka funktio f ei olisi derivoituva pisteessä x 0, voi erotusosamäärän ra-arvo saada toispuoleisia arvo. Määritelmä 1.2. Olkoon funktio f määritelty välillä I x 0 I. Funktion f oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä x 0 on f +(x 0 ) = x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0, kun toispuoleinen ra-arvo on olemassa. Samoin funktion f vasemmanpuoleinen derivaatta pisteessä x 0 on f (x 0 ) = x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Huomautus 1.3. Funktion f derivaatta pisteessä x 0 on olemassa jos vain jos f +(x 0 ) = f (x 0 ). Määritelmä 1.4. Olkoon funktio f määritelty välillä I. Olkoon x 1 x 2 sellaiset pisteet väliltä I, että x 1 < x 2. (1) Jos kaikille x 1 x 2 pätee f(x 1 ) f(x 2 ), funktio f on kasvava välillä I. (2) Jos kaikille x 1 x 2 pätee f(x 1 ) < f(x 2 ), funktio f on aidosti kasvava välillä I. (3) Jos kaikille x 1 x 2 pätee f(x 1 ) f(x 2 ), funktio f on vähenevä välillä I. (4) Jos kaikille x 1 x 2 pätee f(x 1 ) > f(x 2 ), funktio f on aidosti vähenevä välillä I. Lause 1.5 (Bolzano-Weierstrassin lause). Jokaisella rajoitetulla lukujonolla, on suppeneva osajono. Todistus. Lauseen [1, Theorem 2.39] nolla, jokaisella lukujonolla on monotoninen osajono. Tällainen osajono on siis sekä monotoninen, että rajoitettu siten suppeneva. 3

5 2 Määritelmät Esimerkki 2.1. Olkoon f(x) = x R. Tarkastellaan funktion f derivoituvuutta pisteessä x 0 = 0. Erotusosamääräksi saadaan { 1, x > 0 Siten f(x) f(0) x 0 = x x = f +(0) = x x + 0 f (0) = x x 0 1, x < 0. x x = 1 x x = 1. Funktiolla f on siis erisuuret oikean- vasemmanpuoleiset derivaatat pisteessä x 0 = 0, joten funktio f ei ole derivoituva pisteessä x 0 = 0. Aina funktiolla ei kuitenkaan ole edes toispuoleisia derivaatto. Esimerkki 2.2. Tarkastellaan funktiota { x cos x 1, x 0 f(x) = 0, x = 0. Koska cos x 1 1 kaikilla x 0, f(x) = 0 = f(0), x 0 joten funktio f on tkuva pisteessä x = 0. Selvästi nähdään, että f on tkuva kaikissa muissa pisteissä x R, joten f on tkuva funktio. Funktion f heilahteleva käyttäytyminen johtaa siihen, että molemmilla jonoilla {x : cos x 1 = 1} {x : cos x 1 = 0} ra-arvo, kun x lähestyy nollaa, on nolla. Täten myös jonoilla {x : f(x) = x } {x : f(x) = 0} on ra-arvona nolla. Erotusosamäärän tarkastelu osoittaa, että sup x x + 0 f(x) f(0) x 0 = 1, kun taas inf x x + 0 f(x) f(0) x 0 = 0, eli funktiolla f ei ole olemassa oikeanpuoleista derivaattaa f + pisteessä x = 0. Samoin voidaan osoittaa, ettei funktiolla f ole vasemmanpuoleista derivaattaa. 4

6 Derivaatalla on tärkeä rooli analyysissä, minkä vuoksi on kehitetty korvikkeita tilanteisiin, joissa derivaattaa ei ole olemassa. Yksi yksinkertaisimmista tällaisista derivaatan korvikkeista on Dini-derivaatta. Dini-derivaatta on olemassa jokaisessa pisteessä jokaiselle funktiolle, joka on määritelty avoimella välillä. Määritellään aluksi funktion derivaattaluku. Määritelmä 2.3. Luku α [, + ] on funktion f derivaattaluku, jos on olemassa sellainen lukujono h k 0, että f(x + h k ) f(x) = α. k h k Huomautus 2.4. Jos f on derivoituva pisteessä x, niin sillä on tasan yksi derivaattaluku, joka on sen derivaatta f (x). Määritelmä 2.5. Luku α [, + ] on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku, jos on olemassa sellainen lukujono h k 0, missä h k > 0, että f(x + h k ) f(x) = α. k h k Vastaavasti luku α on funktion f vasemmanpuoleinen derivaattaluku, jos on olemassa samat ehdot täyttävä lukujono h k < 0. Dini derivaatto kutsutaan myös äärimmäisiksi toispuoleisiksi derivaattaluvuiksi. Dini derivaatto on olemassa neljä: ylempi alempi oikeanpuoleinen ylempi alempi vasemmanpuoleinen Dini derivaatta. Määritelmä 2.6. Funktion f oikeanpuoleiset Dini derivaatat pisteessä x ovat D + f(x) = sup{α [, ] α on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x} D + f(x) = inf{α [, ] α on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x}. Vastaavasti määritellään funktion f vasemmanpuoleiset Dini derivaatat pisteessä x D f(x) = sup{α [, ] α on funktion f vasemmanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x} 5

7 D f(x) = inf{α [, ] α on funktion f vasemmanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x}. Sovitaan, että jos A [, + ] ei ole ylhäältä rajoitettu, niin sup A = +. Vastaavasti, jos A [, + ] ei ole alhaalta rajoitettu, niin inf A =. Osoitetaan seuraavaksi, että määritelmä (2.6) on hyvin asesettu. Lemma 2.7. Funktiolla f on jokaisessa pisteessä x R ainakin yksi oikeanpuoleinen derivaattaluku. Vastaavasti funktiolla f on jokaisessa pisteessä x R ainakin yksi vasemmanpuoleinen derivaattaluku. Todistus. Valitaan sellainen mielivaltainen jono x k > x, että x k x. Tarkastellaan jonoa α k = f(x k) f(x). x k x Jos jono (α k ) k on rajoitettu, sillä on Bolzano-Weierstrassin lauseen nolla suppeneva osajono (α km ) m. Tällöin α = α f(x km ) f(x) k m = m m x km x on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x. Jos (α k ) k ei ole ylhäältä rajoitettu, sillä on sellainen osajono (α km ) m, että α km +, jolloin + on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x. Jos (α k ) ei ole alhaalta rajoitettu, vastaavasti on funktion f oikeanpuolinen derivaattaluku pisteessä x. Vasemmanpuoleisen derivaattaluvun olemassaolon todistus on analoginen oikeanpuoleiselle. Lemma 2.8. Funktion f oikeanpuoleiset Dini derivaatat pisteessä x = x 0 ovat samat jos vain jos funktiolla f on oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä x = x 0 eli D + f(x) = D + f(x) = f +. Vastaava yhteys pätee vasemmanpuoleiselle derivaatalle. Todistus. Olkoon α funktion f oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä x 0. Tällöin erotusosamäärän ra-arvo x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = α. 6

8 Huomautuksen 2.4 nolla luku α on funktion oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x 0. Tällöin Dini-derivaatan määritelmän nolla D + f(x) = sup{α [, ] α on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x} = α D + f(x) = inf{α [, ] α on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x} = α. Olkoon α funktion f ylempi alempi oikeanpuoleinen Dini derivaatta pisteessä x 0. Tällöin α on Dini derivaatan määritelmän nolla funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x 0. Oikeanpuoleinen derivaattaluku on nyt yksikäsitteinen, jolloin Huomautuksen 2.4 nolla α on funktion f oikeanpuoleinen derivaatta. Lemma 2.9. Lemman 2.8 mukaisesti pätee myös seuraava yhteys. D + f(x) = D + f(x) = jos vain jos f(y) f(x) y x + y x =. Vastaavasti pätee myös, että D f(x) = D f(x) = jos vain jos f(y) f(x) y x y x =. 3 Esimerkkejä lauseita Esimerkki 3.1. Määritetään Dini-derivaatat funktiolle f(x) = x sin( 1 x ) pisteessä x = 0. Funktio f on tkuva kaikkialla R. Nyt sin 1 x = 1 1 x = π 2 + k 2π sin 1 x = 0 1 x = k π. 7

9 Tällöin on olemassa lukujonot 1 x k = π + k 2π 0 2 y k = 1 k 1 π 0, kun k. Tällöin f(x k ) = x k = x k f(y k ) = 0. Täten sup x 0 + f(x) f(0) x 0 k f(x k ) x k = 1. Toisaalta jokaiselle lukujonolle (x k ), jolle k x k = x pätee ( ) f(x k ) f(0) 1 = sin 1. x k 0 Tästä seuraa, että D + (0) = D (0) = 1. Vastaavasti, koska ( ) f(x k ) f(0) 1 = sin 1, x k 0 niin D + (0) = D (0) = 1. x k x k Kuva 1: Funktion x sin(1/x) kuvaa 8

10 Esimerkki 3.2. Tarkastellaan funktiota { 1, x Q f(x) = 0, muulloin. Määritetään funktion Dini derivaatat. Kaikilla rationaaliluvuilla x D + f(x) = 0, D + f(x) =, D f(x) = D f(x) = 0. Dini derivaatat kaikille irrationaalisille luvuille x ovat D + f(x) =, D + f(x) = 0, D f(x) = 0 D f(x) =. Kuva 2: Esimerkin 3.2 funktion f(x) kuvaa. Dini derivaattojen avulla on helppo selvittää, onko funktiolla derivaatta pisteessä x 0. Derivaatta on olemassa jos vain jos kaikki neljä Dini derivaattaa ovat samat pisteessä x 0. Tämä on seuraus Lemmasta 2.8. Esimerkki 3.3. Määritetään Dini derivaatat funktiolle f(x) = 3 x pisteessä x = 0. Kun lähestytään nollaa positiiviselta puolelta x > 0, niin Joten f(x) f(0) x 0 x 0 + = f(x) x 3 x x =. = 3 x x. 9

11 Kun nollaa lähestytään negatiiviselta puolelta x < 0, Joten f(x) f(0) x 0 x 0 = f(x) x 3 x x =. = 3 x x. Täten lemman (2.9) nolla D + f(0) = D + f(0) = D f(0) = D f(0) =. Kuva 3: Funktion 3 x kuvaa Lause 3.4. Olkoon funktio f tkuva välillä [a, b]. Jos D + f(x) > 0 jokaisessa pisteessä x [a, b[, niin f on aidosti kasvava välillä [a, b]. Todistus. Osoitetaan aluksi, että funktio f on kasvava. Tämä osoitetaan vastaoletuksella. Jos f ei ole kasvava välillä [a, b], on olemassa pisteet c d, joilla a c < d b f(c) > f(d). Olkoon y mielivaltainen piste välillä ]f(d), f(c)[. Koska f on tkuva välillä [a, b], sillä on väliarvo-ominaisuus. Lauseen [1, Theorem 5.52] nolla on olemassa sellainen piste t ]c, d[, että f(t) = y. Täten joukko {x : f(x) = y} [c, d] on epätyhjä. Olkoon x 0 = sup{x : c x d f(x) = y}. Nyt f(d) < y f on tkuva, mistä seuraa, että x 0 < d. Siten f(x) < y, kun x ]x 0, d]. Lisäksi, koska f on tkuva, joukko {x : f(x) = y} on suljettu, joten f(x 0 ) = y. 10

12 Tämä kuitenkin edellyttäisi, että D + f(x 0 ) 0. Tämä on ristiriidassa oletuksen D + f(x) > 0 kaikilla x [a, b[ kanssa. Tämä ristiriita osoittaa, että f on kasvava. Nyt osoitetaan, että funktio f on aidosti kasvava. Jos f ei ole aidosti kasvava, on oltava jokin alaväli, jossa f on vakio. Jokaisessa pisteessä tällaisella välillä funktion f derivaatta olisi f (x) = 0. Tällöin ei olisi mahdollista, että D + f(x) > 0 näissä pisteissä. Funktio f on siis aidosti kasvava välillä [a, b]. Huomautus 3.5. Vastaavasti, lauseen 3.4 mukaisesti funktio f on aidosti kasvava, jos D f(x) > 0 kaikissa pisteissä x. Jos taas D + f(x) < 0 kaikissa pisteissä x tai jos D f(x) < 0 kaikissa pisteissä x, niin funktio f on aidosti vähenevä. Lause 3.6. Jos funktio f on tkuva a b ovat funktion f oikeanpuoleisia derivaattaluku pisteessä x, niin jokainen luku c [a, b] on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x. Todistus. Olkoon a b ovat funktion derivaattaluku pisteessä x. Tällöin on olemassa lukujonot a k x b k x a k > x b k > x. Tällöin f(a k ) f(x) k a k x = a f(b k ) f(x) = b. k b k x Nyt jokaiselle luvulle c, jolle pätee a < c < b, on voimassa (1) k f(a k ) f(x) a k x (2) k f(b k ) f(x) b k x < c > c. Olkoon g(y) = f(y) f(x). Kohdista (1) (2) seuraa, että g(a y x k ) < c g(b k ) > c. Koska g on tkuva, on olemassa lukujono z k ]a k, b k [, jolle g(z k ) = c. Nyt z k x z k > x. Täten f(z k ) f(x) = c, z k x jolloin f(z k ) f(x) = c. k z k x Joten c on funktion oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x. 11

13 Lähdeluettelo [1] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Elementary Real Analysis; Second edition, [2] Kuva 1: [3] Kuva 3: [4] history/biographies/dini.html 12