RLC-vaihtovirtapiiri: resonanssi

Transkriptio

1 vrap4.nb RL-vahovrapr: resonanss Olkoon arkaselun koheena avallnen RL-vahovrapr. Prssä on kolme komponena, R ohmn vasus, L henryn ndukanss ja faradn kapasanss. Prn syöeyyn jänneeseen kohdsuu kolme er pudousa, E L = L dihl d käämn yl, E R = RIHL vasuksen yl sekä E = IHL kondensaaorn yl. Näden summasa synyy prn Krchhoffn lan mukanen sähkömoornen voma EHL. Mkäl prn syöey jänne on snmuoosa vahovraa EHL = E 0 snhw L, saadaan prlle yhälö EHL = L dihl d + RIHL + IHL = E 0 snhw L. Inegraalermsä pääsään eroon dervomalla yhälö ajan suheen: L d2 IHL d 2 + R dihl d + IHL = E 0 w coshw L. Tämä on dfferenaalyhälö pakoeulle värähelylle, jossa ulkonen pakoava jänne on snmuoonen ampludna E 0. Jos E()=0, kyseessä vapaa värähelypr ja dfferenaalyhälö on homogeennen. Jos prssä e ole vasusa, s. R = 0, pr on vamenamaon. Vasuksen olemassaolo merksee, eä prssä on vamennnus. Tarkasellaan dfferenalyhälön rakasuja vakoden L, R,, E 0 ja w er arvolla. Aluks häveään mahdollssa aemmsa laskusa jäänee muuuja: Remove@"Global` "D Vraa kuvaava osen keraluvun yhälö:

2 vrap4.nb 2 yhalo = L''@D + R'@D + ωe0 os@ω + + E0 ω os@ ωd Vamenamaon apaus Vamenamaomassa apauksessa prssä e ole vasusa ja yhälö on yhalo = yhalo ê. R + E0 ω os@ ωd Alkuehona olkoon, eä prssä e apahdu mään: alkueho = 8@0D 0, '@0D 0< 8@0D 0< Tämän rakasu on rk = DSolve@8yhalo, D 99@D + Lω 2 je0ωosa k E E0ω osa L L E2 os@ ωd E0ω os@ ωd SnA y L E2 z== Täsmällnen symbolnen ulos on arpeen jakon ovalluksa varen, joen sevenneään rakasu: rakasu ê. Frs@rkD êêfullsmplfy E0ωIosA!! E os@ ωdm L + Lω 2 Rakasu muodosuu kahdesa kosnermsä: cosi ë!!!!! L M on peräsn homogeenyhälön ylesesä rakasusa ja cosh wl epähomogeenyhälön yksäsrakasusa. Edellnen kuvaa prn ssäsä värähelyä, jälkmmänen ulkosen jänneen aajuudella apahuvaa värähelyä. Rakasu ässä muodossa e kuenkaan ole päevä, jos nmäjä ulee nollaks: resaajuus = Solve@ + Lω 2 0, ωd 99ω L =, 9ω L == Nollaks uloa vasaavaa pakoeen aajuua kusuaan resonanssaajuudeks. Tällön prn ssänen värähelyaajuus ja pakoeen aajuus ova sama. Kyseessä on lanne, mssä epähomogeensen yhälön yksäsrakasu saakn erlasen muodon:

3 vrap4.nb 3 yhalo2 = yhalo ê. + E0 osa!! E L L rk2 = DSolve@8yhalo2, D 99@D j E0 L osa 4L k L E + E0 L osa L E osa 2 L E + 2 E0 SnA L E + E0 L SnA L E SnA 2 L Ey z== rakasu2 ê. Frs@rk2D êêfullsmplfy E0 SnA!! E L Tämä on ulkavssa värähelyermks, jossa vrran amplud E 0 ê H2 LL kasvaa rajaa muuujan mukana. Käyännössä ämä johas prn palamseen. Arvolla L = 0. H, = 0.00 mf, E 0 = 230 V saadaan resonanssaajuudella seuraava kuvo: numrakasu2 = rakasu2 ê. 8L 0., 0.00, E0 230< 50. Sn@00. D Plo@numrakasu2, 8, 0,.5<D Graphcs Resonanssaajuus on ê Sqr@L Dê. 8L 0., 0.00< 00. Jos pakoeen aajuus on lähellä resonanssaajuua, saadaan erkonen värähely: numrakasu = rakasu ê. 8L 0., 0.00, E0 230, ω 90< H os@90 D + os@00. DL

4 vrap4.nb 4 Plo@numrakasu, 8, 0,.5<D Graphcs Tässä pakoe aluks vahvsaa prssä kulkevaa vraa kuen resonanssaajuuden apauksessakn, mua koska aajuude evä olekaan äsmälleen sama, värähely sryvä vähellen vasakkasn vahesn, ja pakoe alkaa sammuaa prn vraa. Synyny värähely vodaan myös ymmärää snvärähelyks, jolla on snmuoonen vaheleva amplud: os@00 D os@90 D 2 Sn@5 D Sn@95 D êêsmplfy True Vamenneu apaus Ylesen vamenneun apauksen rakasu on + + E0 ω os@ ωd rk = D I R!!!!!!!!!!!!!! 4 L+!!!!!!! R2 M I R+!!!!!!!!!!!!!! 4 L+!!!!!!! R2 M H4 H E0L 2 ω os@ ωd + 2 E0 L 3 ω 3 os@ ωd 2 E0 L 2 R ω 2 Sn@ ωdll ë II 2 L+ R 2 R!!!!!!!!!!!!! 4 L+ R!!!!!!! ω 2 MI + R 2 + R!!!!!!!!!!!!! 4 L+ R!!!!!!! ω 2 MM== rakasu ê. Frs@rkD êêsmplfy 4 L+ R2 y jr+! z + k 4 L+ R2 y jr! + E0ωHH Lω2 L os@ ωd + RωSn@ ωdl ω ω 2 HR 2 + L 2 ω 2 L Rakasu koosuu kahdesa ermsä:

5 vrap4.nb 5 ssanen = Selec@rakasu,! &D + Selec@rakasu,! &D 4 L+ R2 y jr+! z + k 4 L+ R2 y jr! ulkonen = rakasu ê. 8@D 0< E0ωHH Lω 2 L os@ ωd + RωSn@ ωdl ω ω 2 HR 2 + L 2 ω 2 L Ssäsen värähelyn erm esää vamenevaa värähelyä, sllä muuujan kerron kummassakn eksponenssa on joko negavnen reaalluku a kompleksluku, jonka reaalosa on negavnen. Nämä erm ss kuoleva vähellen pos. Ulkosen värähelyn erm vodaan muokaa seuraavas. Pyrään saaamaan se muooon, jossa on van yks snfunko keromena sopva amplud A ja argumenssa sopva vahesro d. uusmuoo = A Sn@ω +δdêêtrgexpand A os@ ωd Sn@δD + A os@δd Sn@ ωd Vaamalla eä sn- ja kosnermen kerome vanhassa ja uudessa esysmuodossa ova sama, saadaan ehdo, josa pyrään rakasemaan A ja d. ehdo = MapThread@Equal, 8oeffcen@ulkonen, 8Sn@ω D, os@ω D<D, oeffcen@uusmuoo, 8Sn@ω D, os@ω D<D<D 9 2 E0 R ω 2 ω ω 2 HR 2 + L 2 ω 2 L A os@δd, E0ωH Lω 2 L ω ω 2 HR 2 + L 2 ω 2 L A Sn@δD= rak = Solve@ehdo, 8A, δ<d êê FullSmplfy êê PowerExpand êê FullSmplfy General::spell : Possble spellng error: new symbol name "rak" s smlar o exsng symbol "rk". More Solve::fun : Inverse funcons are beng used by Solve, so some soluons may no be found; use Reduce for complee soluon nformaon. More E0ω 99A + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL, δ ArcosA Rω + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL E=, E0ω 9A + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL, δ ArcosA Rω + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL E=, E0ω 9A + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL, δ ArcosA Rω + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL E=, E0ω 9A + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL, δ ArcosA Rω + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL E== Pakoeen aheuama vra on ss snmuoonen ampludna amplud = A ê. Las@rakD E0ω + ω 2 HR 2 + L H 2 + Lω 2 LL Amplud rppuu pakoeen aajuudesa. Pyrään määrämään maksmamplud ja vasaava aajuus:

6 vrap4.nb 6 dervaaa = D@amplud, ωd êêsmplfy E0 3 E0 L 2 ω 4 H ω ω 2 HR 2 + L 2 ω 2 LL 3ê2 maksmkoha = Solve@dervaaa 0, ωd 99ω =, 9ω L =, 9ω L L =, 9ω L == maksmamplud = amplud ê. Las@maksmkohaD êê Smplfy êê PowerExpand E0 R Maksmarvo saadaan ss resonanssaajuudella. Prreään pakoeen (ulkosen jänneen) ja resonanssaajuua vasaavan vrran kuvaaja: numulkonen = ulkonen ê. 8L 0., 0.000, R > 5.0, E0 230< ω HH ω 2 L os@ ωd ω Sn@ ωdl ω ω 2 H ω 2 L janne = E0 Sn@ω D ê.e Sn@ ωd res = ê Sqr@LDê. 8L 0., 0.000, R > 5.0, E0 230< Plo@Evaluae@8janne, numulkonen< ê. ω resd, 8, 0, 0.<, PloSyle 8RGBolor@0, 0, 0D, RGBolor@0,, 0D<D Graphcs Kuvossa on jänne musalla ja vra vhreällä. Vasaava kuvo, kun kyseessä e ole resonanssaajuus:

7 vrap4.nb 7 Plo@Evaluae@8janne, numulkonen< ê. ω 280D, 8, 0, 0.<, PloSyle 8RGBolor@0, 0, 0D, RGBolor@0,, 0D<D Graphcs Tehävä Tuk, men alkuehojen muuamnen vakuaa rakasuun vamenamaomassa apauksessa. Men rakasun luonne muuuu, kun ollaan resonansskohdan lähellä? Prrä kuvaaja, joka esää vamenneun apauksen vraa pakoeen aajuuden funkona. Onko vamenneun prn apauksessa sellanen rakasu mahdollnen, jossa vrran amplud rajaa kasvaa, s. pr palaa? Lnk vahovraprn pakoeu värähely (vrap3.nb) epähomogeennen vakokeromnen lneaaryhälö JP & SKK