ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K"

Transkriptio

1 ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K

2 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI Moduli; alimoduli Modulihomomorfia; tekijämoduli Modulien summa Vapaa moduli Vapaan modulin aste TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA Jaottomat alkiot ja UFD Syt ja pyj Eukleideen alue POLYNOMIT Polynomin nollakohdat Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri Polynomin derivaatta KUNTALAAJENNUKSET Kuntalaajennuksen aste Yksinkertainen laajennus Algebrallinen laajennus Algebrallinen sulkeuma Sovellus: geometriset konstruktiot Laajennusten isomorfia Polynomin hajoamiskunta Normaali laajennus Äärellisen laajennuksen yksinkertaisuus ÄÄRELLISET KUNNAT Äärellisen kunnan perusominaisuuksia Kaikki äärelliset kunnat GALOIS N TEORIAA Kuntalaajennuksen automorfismit Galois n laajennus; Galois n ryhmä Galois n vastaavuus Konjugaattilaajennukset Yhtälön algebrallinen ratkaiseminen

3 SISÄLTÖ 2 7 MODULI YLI EUKLEIDEEN ALUEEN Matriisin Smithin normaalimuoto Vapaan modulin alimoduli Modulin torsioalkiot Äärellisesti generoitu moduli Sovellus: äärellisesti generoitu Abelin ryhmä RYHMÄTEORIAA Ryhmien isomorfiasta Vastaavuuslause Yksinkertainen ryhmä Normaali- ja kompositiosarjat Ratkeava ryhmä Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö Sylowin ryhmät (2004)

4 JOHDANTO 3 JOHDANTO Kertauksena eräiden algebrallisten systeemien postulaatit: Monoidi (G, ) : 1. (ab)c = a(bc) a, b, c G, 2. 1 G : a 1 = 1 a = a a G. Jos lisäksi a G a 1 G : aa 1 = a 1 a = 1, niin G on ryhmä. Abelin ryhmä (A, +) : 1. (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c A, 2. 0 A : a + 0 = 0 + a = a a A, 3. a A a A : a + ( a) = ( a) + a = 0, 4. a + b = b + a a, b A. Abelin ryhmän alkioiden a ja b erotus a b = a + ( b). Rengas (R, +, ) : 1. (R, +) on Abelin ryhmä, 2. (R, ) on monoidi, 3. a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc a, b, c R. Jos kertolasku lisäksi on kommutatiivinen, R on kommutatiivinen rengas. Kunta (K, +, ) : 1. (K, +, ) on kommutatiivinen rengas, 2. a K {0} a 1 K : aa 1 = a 1 a = 1. Kunnan alkioiden a ja b 0 osamäärä a b = ab 1. Esimerkki. Todetaan, että (Z +, ) on monoidi, (2Z, +) on Abelin ryhmä, Z on rengas (kommutatiivinen), Q on kunta.

5 1 MODULI 4 1 MODULI 1.1 Moduli; alimoduli Modulin käsite on vektoriavaruuden välitön yleistys. Määritelmä. Olkoon R rengas. Abelin ryhmää (M, +) sanotaan (vasemmaksi) R-moduliksi, jos siinä on määritelty modulikertolasku joka täyttää seuraavat ehdot: RM0. ax M a R, x M, (a, x) a x merk. = ax a R, x M, RM1. a(x + y) = ax + ay a R, x, y M, RM2. (a + b)x = ax + bx a, b R, x M, RM3. (ab)x = a(bx) a, b R, x M, RM4. 1x = x x M. Esimerkki Jos K on kunta, niin K-moduli = vektoriavaruus yli K:n. Esimerkki Jokainen Abelin ryhmä (M, +) on Z-moduli, jossa modulikertolaskun määrittelee alkion monikerta kx (k Z, x M). Postulaatti k(x + y) = kx + ky on laskulaki, joka ryhmän multiplikatiivisessa merkinnässä saa muodon (xy) k = x k y k ; tämä on tosiaan voimassa kommutatiivisuuden nojalla. Esimerkki Renkaan R ihanne I (tarkemmin (I, +)) on R-moduli, modulikertolaskuna ri (r R, i I) renkaan oma kertolasku. Postulaatti RM0 seuraa ihanteen määritelmästä, muut postulaatit suoraan rengaspostulaateista. Erityisesti siis R itse on R-moduli. Merkintä: R R. Modulien teoria rakentuu samaan tapaan kuin vektoriavaruuksien. Erityisesti kaikki vektoriavaruuksia koskevat tulokset, joiden todistuksessa ei tarvita skalaarikunnan jakolaskua (eikä kertolaskun kommutatiivisuutta), pätevät myös moduleihin. Tällaisia tuloksia ovat ensinnäkin seuraavat laskulait: 1 ax = 0, jos a = 0 tai x = 0, 2 a(nx) = (na)x = n(ax) n Z, 3 a(x y) = ax ay, (a b)x = ax bx.

6 1.1 Moduli; alimoduli 5 Huomautus 1.1. (i) Sekä R:n että M:n nolla-alkiosta käytetään yleensä merkintää 0 (ks. 1 ). (ii) Sääntö 1 ei päde kääntäen; esimerkiksi Z-modulissa Z 6 on 2 3 = 0. (Vrt. vektoriavaruuksiin.) Määritelmä. R-modulin M osajoukkoa N sanotaan M:n (R-)alimoduliksi, jos N on R- moduli (samojen operaatioiden suhteen kuin M). Alimodulikriteeri. R-modulin M osajoukko N on M:n alimoduli, jos se täyttää seuraavat ehdot: AM1. N, AM2. x, y N = x + y N, AM3. a R, x N = ax N. Todistus. Ryhmä (N, +) on (M, +):n aliryhmä, koska x, y N = x y N (AM2, AM3). Postulaatti RM0 seuraa AM3:sta. Muut postulaatit ovat voimassa N:ssä, koska ne ovat voimassa M:ssä. Esimerkki (i) K = kunta: K-modulin V eli vektoriavaruuden V alimodulit = V :n aliavaruudet. (ii) M = Abelin ryhmä: Z-modulin M alimodulit = M:n aliryhmät. (iii) Modulin R R alimodulit = renkaan R vasemmat ihanteet. Jos erityisesti R on kommutatiivinen, nämä ovat = R:n ihanteet. Alimodulikriteerin nojalla R-modulin M alimodulien N α leikkaus α N α on M:n alimoduli. Tämän perusteella määritellään tavalliseen tapaan joukon S M generoima M:n alimoduli S = N (N on M:n alimoduli, S N). Kuten vektoriavaruuksilla, tämä koostuu kaikista S:n alkioiden lineaarikombinaatioista: S = { a 1 s a k s k k 1; a i R, s i S i }. Perustelu: Oikea puoli on M:n alimoduli alimodulikriteerin nojalla; muu triviaalia. Jos S on äärellinen, S = {s 1,..., s n }, niin merkitään S = s 1,..., s n. Edellisen nojalla { n ( ) s 1,..., s n = a i s i a i R i=1 } i.

7 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli 6 Erityisesti s = { as a R } merk. = Rs on ns. alkion s generoima syklinen moduli. Modulia s 1,..., s n sanotaan äärellisesti generoiduksi. Esimerkki Z-modulin M syklinen alimoduli Zs = s:n generoima M:n syklinen aliryhmä. Siis esimerkiksi M = Z 6 : Z2 = {0, 2, 4} (ord(2) = 3); M = Q : Z( 1) = Z (ord( 1) = ). Esimerkki K = kunta: K-moduli V on äärellisesti generoitu sjvsk dim V <. Esimerkiksi R-moduli R n = e 1,..., e n, missä e 1 = (1, 0,..., 0) T, e 2 = (0, 1, 0,..., 0) T jne. Esimerkki Abelin ryhmä R 2 on M 2 (R)-moduli, kun modulikertolasku ( ) ( ) a b x1 Ax, A = M c d 2 (R), x = R 2, määritellään tavallisena matriisikertolaskuna. Tämä on äärellisesti generoitu, vieläpä syklinen: esimerkiksi R 2 = e 1, sillä ( ) ( ) ( ) y1 0 1 y1 = y y , y 2 R. Esimerkki Moduli R R on syklinen: R R = R Modulihomomorfia; tekijämoduli Olkoot M ja M R-moduleja. Kuvausta y 2 f : M M sanotaan (R-)modulihomomorfismiksi tai R-homomorfismiksi, jos se täyttää ehdot MH1. f(x + y) = f(x) + f(y) x, y M, MH2. f(ax) = af(x) a R, x M. Ehto MH1 merkitsee, että f on ryhmähomomorfismi (M, +) (M, +). Esimerkki Vektoriavaruudet V ja V yli kunnan K: K-homomorfismit = lineaarikuvaukset V V. Esimerkki Z-modulit M ja M : Z-homomorfismit = ryhmähomomorfismit M M. x 2

8 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli 7 Esimerkki Kuvaus f : R R R R, f(r) = 2r on R-homomorfismi (mutta ei rengashomomorfismi). Tavalliseen tapaan määritellään R-isomorfismi = bijektiivinen R-homomorfismi. R-homomorfismin f : M M ydin ja kuva: Ker(f) = { x M f(x) = 0 }, Im(f) = { f(x) x M } = f(m). Nämä ovat R-moduleja (sovella alimodulikriteeriä). Määritelmä. R-modulin M tekijämoduli alimodulin N suhteen on tekijäryhmä varustettuna modulikertolaskulla M/N = { x + N x M }, (x + N) + (y + N) = x + y + N a(x + N) = ax + N a R, x M. Tekijämodulin alkioita x + N sanotaan N:n sivu- tai jäännösluokiksi M:ssä. Tätä määritelmää varten on ensiksikin varmistuttava, että ko. modulikertolasku on hyvinmääritelty: x 1 + N = x 2 + N = x 1 x 2 N = a(x 1 x 2 ) N = ax 1 + N = ax 2 + N ( a R). Toiseksi se toteuttaa postulaatit RM0 RM4. Täten M/N on R-moduli. Esimerkki Z-modulit: tekijämodulit = tekijäryhmät. Esimerkki Vektoriavaruuden tapauksessa tekijämodulia sanotaan tekijäavaruudeksi. Jos esimerkiksi V = R 2 ja aliavaruudeksi valitaan x x+x_ 2x_ U = { (u, 2u) u R }, x_ niin tekijäavaruus on R 2 /U = { x + U x R 2 }, (x + U) + (x + U) = x + x + U, a(x + U) = ax + U. x+u U x+x_+u x_+u 2x_+U

9 1.3 Modulien summa 8 Homomorfialause. Jos f : M M on R-homomorfismi, niin Tarkemmin: f indusoi R-isomorfismin M/ Ker(f) Im(f). F : M/ Ker(f) Im(f), F (x + Ker(f)) = f(x). Todistus. Ryhmäteorian homomorfialauseen nojalla F on Abelin ryhmien M/ Ker(f) ja Im(f) välinen isomorfismi. Lisäksi (merkitään K = Ker(f)) F (a(x + K)) = F (ax + K) = f(ax) = af(x) = af (x + K), joten F on R-homomorfismi ja siis R-isomorfismi. Huomautus 1.2. Kuvaus f = F π, missä π on projektiokuvaus M M/ Ker(f), π(x) = x + Ker(f) (R-homomorfismi). f M Im(f) M π F M/ Ker(f) Esimerkki Lineaarikuvaus f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 2 2x 1 : Ker(f) = { (x, 2x) x R } = U, Im(f) = R Homomorfialause antaa isomorfismin (esim. f(0, x) = x). F : R 2 /U R, F ((x 1, x 2 ) + U) = x 2 2x 1. Katso kuvaa esimerkissä 1.2.5: jokainen suora kuvautuu siksi pisteeksi, jossa se leikkaa y-akselin. 1.3 Modulien summa Määritellään R-modulin M alimodulien N 1,..., N k summa N N k = { x x k x i N i i }. Tämä nähdään alimoduliksi alimodulikriteeristä. Huomaa myös, että oikea puoli on = N 1 N k generoinnin määrittelyn nojalla; siis Erityisesti (vrt. pykälän 1.1 kaavaan ( )) N N k = N 1 N k. s 1,..., s k = Rs Rs k (s i M i).

10 1.3 Modulien summa 9 Määritelmä. R-modulin M alimodulien summaa N = N N k sanotaan suoraksi summaksi, merkitään N = N 1 N k, jos jokaisen alkion x N esitys muodossa on yksikäsitteinen. x = x x k (x i N i i) Lause 1.1. R-modulin M alimodulien summa N = N N k on suora sjvsk N j i j N i = {0} (j = 1,..., k). Todistus. 1) Silloin. Jos x x k = x x k (x i, x i N i ), niin x j x j = i j (x i x i ) merk. = x (1 j k). Siis x N j i j N i = {0}, joten x = 0. Täten x j = x j. Summaesitys x x k on siis yksikäsitteinen. 2) Vain silloin. Oletetaan, että x N j i j N i (1 j k). Silloin x = x j, x = i j x i (x 1 N 1,..., x k N k ). Tästä saadaan x j i j x i = 0 = 0 + i j 0. Esityksen yksikäsitteisyyden nojalla x j = 0. Siis x = 0, joten ko. leikkaus = {0}. Esimerkki Vektoriavaruuksilla edellä mainitut käsitteet yhtyvät aliavaruuksien summan ja suoran summan käsitteisiin. Jos vektoriavaruuden V (yli kunnan K) virittää joukko {x 1,..., x n }, niin Jos ko. joukko on V :n kanta, niin V = Kx Kx n. V = Kx 1 Kx n. Esimerkki Z-modulissa eli Abelin ryhmässä puhutaan vastaavasti aliryhmien summasta ja suorasta summasta. Esimerkiksi ryhmässä (R, +) Z Z = 1 2 Z (ei suora, koska esim. 3 Z 3 2 Z), Z + 2Z = { a + b 2 a, b Z } = Z 2Z.

11 1.3 Modulien summa 10 Määritelmä. Olkoot M 1,..., M k R-moduleja. Karteesinen tulo on R-moduli, kun määritellään M 1 M k = { (x 1,..., x k ) x i M i i } (x 1,..., x k ) + (y 1,..., y k ) = (x 1 + y 1,..., x k + y k ), a(x 1,..., x k ) = (ax 1,..., ax k ) a R (todistus suoraan modulin määritelmästä). Tätä sanotaan modulien M 1,..., M k (ulkoiseksi) suoraksi summaksi; myös sitä merkitään M 1 M k. Tällä modulilla M = M 1 M k on alimodulit ja M on näiden suora summa, M i = { (0,..., 0, x i, 0,..., 0) x i M i } kuten todetaan ajattelemalla summaesitystä M = M 1 M k, (i = 1,..., k), (x 1,..., x k ) = (x 1, 0,..., 0) + + (0,..., 0, x k ). Esitykset M = M 1 M k ja M = M 1 M k voidaan samaistaa samaistamalla keskenään isomorfiset modulit M i ja M i (i = 1,..., k), siis samaistamalla alkiot x i ja (0,..., 0, x i, 0,..., 0). Esimerkki Vektoriavaruus R n = R R (n kertaa; ulkoinen suora summa). Esimerkki Z-modulina C R R, isomorfismina esimerkiksi a + bi (a, b). Kun C ajatellaan R-modulina, niin C = R 1 Ri (alimodulien suora summa). Lopuksi alimodulien summan sovelluksena eräs isomorfialaki: Suunnikassääntö. Jos N 1 ja N 2 ovat R-modulin M alimoduleja, niin Todistus. Kuvaus N 1 /(N 1 N 2 ) (N 1 + N 2 )/N 2. N 1 + N 2 N 1 N 2 N 1 N 2 f : N 1 (N 1 + N 2 )/N 2, f(x) = x + N 2 on R-homomorfismi. Sen ydin Ker(f) = N 1 N 2, sillä x Ker(f) x N 1 ja x + N 2 = N 2 x N 1 N 2. Edelleen Im(f) = (N 1 + N 2 )/N 2, sillä z + N 2 (N 1 + N 2 )/N 2 = z = x 1 + x 2 (x 1 N 1, x 2 N 2 ) = f(x 1 ) = x 1 + N 2 = x 1 + x 2 + N 2 = z + N 2. Väite seuraa homomorfialauseesta.

12 1.4 Vapaa moduli Vapaa moduli Määritelmä. R-modulin M alkiot x 1,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos n a 1,..., a n R, a i x i = 0 = a 1 = = a n = 0. Vastakohta: lineaarisesti riippuvia. i=1 Jos alkiot ovat lineaarisesti riippuvia, ei välttämättä päde (kuten vektoriavaruudessa), että jokin niistä on muiden lineaarikombinaatio. Ajattele esimerkiksi Z-modulissa Z lineaarista relaatiota = 0. Määritelmä. R-modulin M osajoukko {x 1,..., x n } on M:n kanta, jos 1) M = x 1,..., x n, 2) x 1,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia. Modulia M sanotaan vapaaksi, jos sillä on kanta. Kannan {x 1,..., x n } määritelmästä seuraa välittömästi, että jokaisella modulin M alkiolla x on yksikäsitteinen kantaesitys x = a 1 x a n x n, missä a i R i. Huomautus 1.3. Sopimus: R-moduli {0} on vapaa, kanta =. Lineaarisen riippumattomuuden ja kannan määritelmät voidaan yleistää äärettömiin joukkoihin. Esimerkki Lineaarialgebrasta tiedetään, että jokaisella n-ulotteisella vektoriavaruudella V on kanta {z 1,..., z n }; V on siis vapaa. Huomaa myös, että Yleisemmin: R-moduli V K n = { (x 1,..., x n ) x i K i }. R n = { (x 1,..., x n ) x i R i } on vapaa, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta {e 1,..., e n }, missä e i = (0,..., 0, 1 i:s, 0,..., 0) (i = 1,..., n). Erityisesti (n = 1) siis myös moduli R R on vapaa, kantana {1}. Esimerkki Äärellinen Abelin ryhmä M ei ole Z-modulina vapaa, sillä siinä ei ole lineaarisesti riippumattomia alkioita: kx = 0 esimerkiksi kun k on x:n kertaluku. Lause 1.2. Olkoot M 1 ja M 2 R-moduleja, M 1 vapaa, kantana {x 1,..., x n } ja olkoot y 1,..., y n modulin M 2 alkioita. On olemassa yksikäsitteinen R-homomorfismi f : M 1 M 2, joka täyttää ehdon f(x i ) = y i (i = 1,..., n).

13 1.5 Vapaan modulin aste 12 Todistus. Väitetty kuvaus on ( n ) f a i x i = i=1 n a i y i a i R (i = 1,..., n) i=1 (vrt. vektoriavaruuksien lineaarikuvausten teoriaan). Lause 1.3. Jokainen äärellisesti generoitu R-moduli on isomorfinen jonkin vapaan R- modulin tekijämodulin kanssa. Todistus. Olkoon M = s 1,..., s n R-moduli. Verrataan tätä esimerkissä mainittuun vapaaseen moduliin R n. Määritellään lauseen 1.2 mukainen R-homomorfismi f : R n M, f(e i ) = s i (i = 1,..., n), missä {e 1,..., e n } on R n :n luonnollinen kanta. Nyt Im(f) = M, sillä n ( n y M = y = b i s i (b i R) = y = f b i e i ). Homomorfialause antaa siis i=1 M R n / Ker(f). i=1 Modulien teorian päätuloksiin kuuluu kaikkien äärellisesti generoitujen R-modulien luokittelu, kun R on pääihannealue (PID). Tämä tulos, joka perustuu edelliseen lauseeseen, esitetään luvussa 7. Koska Z on PID, tuloksesta seuraa edelleen kaikkien äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelu (myös luvussa 7). 1.5 Vapaan modulin aste Tässä pykälässä oletetaan, että rengas R on kommutatiivinen. Otetaan avuksi matriisit kuten lineaarialgebrassa. Matriiseilla a a 1n A = (a ij R i, j) a m1... a mn määritellään summa, tulo ja R:n alkioilla kertominen kuten tavallisessa matriisilaskennassa. Ne toteuttavat normaalit laskulait (tähän tarvitaan vain R:n rengasominaisuuksia). Itse asiassa kaikkien m n-matriisien joukko M m n (R) on R-moduli ja erityisesti joukko M n (R) = M n n (R) on rengas. Neliömatriisia A M n (R) sanotaan säännölliseksi, jos sillä on käänteismatriisi, ts. sellainen matriisi B = A 1 M n (R), että AB = BA = I n. Neliömatriisin A determinantti det(a) määritellään tavalliseen tapaan: se on siis renkaan R alkio ja täyttää lisäksi ehdon det(ab) = det(a) det(b).

14 1.5 Vapaan modulin aste 13 Lemma 1.1. Olkoon R kommutatiivinen rengas. Matriisi A M n (R) on säännöllinen sjvsk det(a) on renkaan R yksikkö (ts. det(a):lla on R:ssä käänteisalkio). Todistus. 1) AB = I = det(a) det(b) = 1 = (det(a)) 1 = det(b). 2) Jos det(a) on yksikkö, niin matriisi 1 ( ) T Cij (C ij on a ij :n komplementti i, j) det(a) kuuluu joukkoon M n (R). Tämä matriisi on A:n käänteismatriisi, sillä det(a) I = ( C ij ) T A = A ( C ij ) T kuten klassisessa matriisiteoriassa. Huomautus 1.4. Lemmasta seuraa: Jos A, B M n (R) ja AB = I, niin B = A 1. Olkoon M vapaa R-moduli ja olkoot E = {e 1,..., e m }, F = {f 1,..., f n } kaksi M:n kantaa (seuraavassa näytetään, että m = n). Kannanvaihdon E F matriisi A määritellään kuten lineaarialgebrassa: a a 1n f 1 = a 11 e 1 + a 21 e a m1 e m A = , kun a m1... a mn f n = a 1n e 1 + a 2n e a mn e m. Kannanvaihdon E F G matriisi saadaan kertomalla kannanvaihtojen E F ja F G matriisit (ks. lineaarialgebran kurssia; huomaa että tässä tarvitaan R:n kommutatiivisuus). Tarkastelemalla kannanvaihtoja E F E ja F E F saadaan AB = I m, BA = I n, missä B on kannanvaihdon F E matriisi (tyyppiä n m). Tapauksessa m = n tästä seuraa erityisesti, että kannanvaihdon matriisi A on säännöllinen. Lause 1.4. Olkoon M vapaa moduli yli kommutatiivisen renkaan R. Silloin jokaisessa M:n kannassa on yhtä monta alkiota. Todistus. Olkoot E ja F kuten edellä M:n kantoja sekä A ja B kannanvaihtomatriisit E F ja F E. Oletetaan, että m > n, ja johdetaan ristiriita. Kirjoitetaan A ja B lohkomatriiseina ( ) A1 A =, B = ( ) B 1 B 2, missä A 1 ja B 1 ovat n n-matriiseja. Koska AB = I m, saadaan ( ) ( ) A1 B (1) 1 A 1 B 2 In 0 =. A 2 B 1 A 2 B 2 0 I m n A 2

15 1.5 Vapaan modulin aste 14 Erityisesti siis (2) A 1 B 1 = I n. Tästä seuraa edellisen huomautuksen nojalla, että A 1 1 = B 1. Yhtälö (1) antaa A 2 B 2 = I, A 2 B 1 = 0. Kun kerrotaan jälkimmäinen yhtälö oikealta A 1 :llä, saadaan tulos A 2 = 0. Tämä on ristiriidassa edellisen yhtälön kanssa. Määritelmä. Vapaan R-modulin M (missä R kommutatiivinen) kanta-alkioiden lukumäärää sanotaan M:n asteeksi (rank). Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli ja F sen kiinnitetty kanta, niin R-homomorfismit ϕ : M M vastaavat bijektiivisesti matriiseja A M n (R) kuten lineaarialgebrassa. Kannanvaihdossa F F, jonka matriisi on P, matriisi A muuttuu matriisiksi P 1 AP. Lause 1.5. Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli, niin M R n. Todistus. Olkoon {x 1,..., x n } M:n kanta ja {e 1,..., e n } R n :n luonnollinen kanta. Ehdon f(x i ) = e i (i = 1,..., n) määrittelemä R-homomorfismi M R n (ks. lausetta 1.2) on bijektio, siis R-isomorfismi. Esimerkki Vapaata Z-modulia sanotaan vapaaksi Abelin ryhmäksi; nämä ovat siis muotoa Z n, n 0 (isomorfiaa vaille). Ryhmän (Q, ) aliryhmä kanta esimerkiksi {2, 3}. 2, 3 = { 2 h 3 k h, k Z } Z 2, Jos erityisesti R on PID, lause 1.5 on äärellisesti generoitujen R-modulien rakennelauseen (luku 7) pieni osatulos. Vertaa myös esimerkkiin pykälässä 1.4. Seuraava lause, jota myös tarvitaan luvussa 7, antaa keinon hallita vapaan modulin kaikki kannat. Lause 1.6. Olkoon M vapaa n-asteinen R-moduli ja E = {e 1,..., e n } jokin sen kanta. Merkitään f 1 = a 11 e 1 + a 21 e a n1 e n f n = a 1n e 1 + a 2n e a nn e n, missä a ij R säännöllinen. i, j. Joukko F = {f 1,..., f n } on M:n kanta sjvsk matriisi A = ( a ij ) on

16 1.5 Vapaan modulin aste 15 Todistus. Jos F on M:n kanta, niin A on kannanvaihdon E F matriisi ja siis säännöllinen. Oletetaan kääntäen, että A on säännöllinen. Kirjoitetaan lauseen yhtälöryhmä matriisimuodossa f 1. f n = A T missä pystyriveinä kirjoitetut matriisit voidaan ajatella lohkomuodossa esitetyiksi n n- matriiseiksi, lohkoina vaakarivit f i ja e j (kukin vaakarivi muodostuu kyseisen M:n alkion kantaesityksen kertoimista, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta). Kun merkitään A 1 = B, edellisestä yhtälöstä seuraa e 1 e n e 1. e n f 1. = B T. Täten e j F j ja siis E F. Mutta E = M, ja näin ollen joukko F virittää M:n. Joukon F lineaarisen riippumattomuuden todistamiseksi olkoon n i=1 c if i = 0 eli matriisimuodossa ( ) ( ) T c 1... c n f1... f n = 0. Oletuksen mukaan tästä seuraa f n,. ( c1... c n ) A T ( e 1... e n ) T = 0. Kun merkitään ( c 1... c n ) A T = ( d 1... d n ), päätellään tästä edelleen joukon E lineaarisen riippumattomuuden nojalla, että d 1 = = d n = 0. Siis ( c1... c n ) A T = ( ). Kertomalla tämä yhtälö oikealta B T :llä saadaan tulos c 1 = = c n = 0.

17 2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 16 2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD Määritelmä. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja olkoot a, b R. Sanotaan, että b jakaa a:n tai a on jaollinen b:llä, merkitään b a, jos c R : a = bc. (Tällöin merkitään joskus myös c = a b.) Muista, että u R on R:n yksikkö, jos u:lla on R:ssä käänteisalkio, ts. v R : uv = 1 (v = u 1 ). Kaikki renkaan R yksiköt muodostavat ryhmän kertolaskun suhteen. Ellei erikseen toisin mainita, seuraavassa R = D = kokonaisalue, ts. kommutatiivinen rengas, jossa ei ole nollanjakajia. Tällöin erityisesti supistamissääntö pätee. (Eräät yksinkertaiset tulokset alla ovat voimassa myös yleisemmin kommutatiivisissa renkaissa.) Jaollisuusrelaation ominaisuuksia: 1) a a, 1 a, a 0 a D, 2) 0 a = a = 0, 3) c b, b a = c a, 4) c a, c b = c (a + b). Määritelmä. Alkioita a, b D sanotaan liitännäisiksi (associated), jos a b ja b a. Liitännäisyys on ekvivalenssirelaatio; seuraavassa siitä käytetään merkintää. Kokonaisalueelle D saadaan näin partitio liitännäisalkioiden luokkiin. Huomautus 2.1. (i) u on yksikkö u 1 u 1. (ii) a 0 = a = 0. Lause 2.1. a b a = bu, missä u on yksikkö. Todistus. ( = ) Jos a = bu, missä u on yksikkö, niin voidaan myös kirjoittaa b = au 1. Edellisestä yhtälöstä seuraa b a, jälkimmäisestä a b. ( = ) Jos a = 0, niin b = 0 ja voidaan siis valita u = 1. Olkoon a 0. Ehdoista a b, b a seuraa, että a = bu, b = av, missä u, v D. Näistä saadaan, että a = avu, siis (huomaa oletus) 1 = vu. Täten u on yksikkö. Esimerkki (i) D = Z: yksiköt ±1; siis a b a = ±b. (ii) D = kunta K: yksiköt = kaikki alkiot 0; siis a b a, b K {0}. (iii) D = K[x], polynomirengas yli kunnan K: yksiköt = vakiopolynomit 0; siis f(x) g(x) f(x) = a g(x), a K {0}.

18 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD 17 Määritelmä. Alkiota a D sanotaan jaottomaksi (irreducible) D:ssä, jos 1) a 1 ja 2) a = bc (b, c D) = b 1 tai c 1. Esimerkki (i) Renkaan Z jaottomat alkiot = jaottomat luvut eli alkuluvut 2, 3, 5, 7, 11,... ja näiden vastaluvut. (ii) Kunnassa ei ole jaottomia alkioita. (iii) Polynomirenkaan K[x] (K kunta) jaottomat alkiot = jaottomat polynomit. Esimerkki Näytetään, että jaottoman alkion liitännäisalkiot ovat samoin jaottomia. Määritelmä. Kokonaisaluetta D sanotaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueeksi (unique factorization domain, lyh. UFD), jos se täyttää seuraavat ehdot: 1) jokainen D:n alkio c 0, c 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, 2) jos kaksi tällaista esitystä ovat c = a 1 a 2 a r = b 1 b 2 b s (a i, b j jaottomia), niin r = s ja, kun b j :t on numeroitu sopivasti, a i b i (i = 1,..., s). Esimerkki (i) Rengas Z on UFD (aritmetiikan peruslause). Huomaa, että esimerkiksi 6 = 2 3 = ( 2)( 3). (ii) Kunta K on triviaalisti UFD (ehdot 1) ja 2) tyhjiä). (iii) Myöhemmin todistetaan, että K[x] on UFD. Jos D on UFD, valitaan D:stä sellainen jaottomien alkioiden joukko P, että jokainen D:n jaoton alkio on liitännäinen tarkalleen yhden P:n alkion kanssa. Esimerkiksi Z:ssa voidaan valita P = P = {2, 3, 5,... }. Silloin jokainen c D {0} voidaan esittää yksikäsitteisesti (lukuunottamatta jaottomien alkioiden järjestystä) muodossa c = up α 1 1 p αr r (r 0, α i > 0 i), missä u 1 ja p i :t ovat P:n erisuuria alkioita. Joskus on mukava kirjoittaa tämä esitys muotoon c = u { p α αi 0 i, i i α i > 0 vain äärellisen monella i:llä, p i P missä p i käy läpi koko P:n.

19 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD 18 Esimerkki Tutkitaan jaollisuutta joukossa Z[ n ] = { a + b n a, b Z } (n Z), joka on C:n alirengas ja siis kokonaisalue. Oletetaan, että n on neliövapaa, ts. n 0, 1 ja p P : p 2 n. Luvun α = a + b n Z[ n ] liittoluvuksi sanotaan lukua α = a b n Z[ n ] (= α:n liittokompleksiluku, jos n < 0). Suoralla laskulla todetaan, että Määritellään luvun α normi Huomaa, että N(α) Z ja α + β = α + β, αβ = α β. N(α) = αα = a 2 nb 2 (= α 2, jos n < 0). N(α) = 0 α = 0 tai α = 0 α = 0; Väite 2.1. N(α) = ±1 α 1. N(αβ) = αβ αβ = ααββ = N(α)N(β). Todistus. ( = ) N(α) = ±1 = αα = ±1 = α 1 = α 1. ( = ) αβ = 1 = N(α)N(β) = 1 = N(α) = ±1. Väite 2.2. N(α) = ±p, p P = α jaoton. (Ei päde kääntäen.) Todistus. Väitteen 2.1 nojalla α 1. Edelleen α = βγ = N(α) = N(β)N(γ) = esim. N(β) = ±1 = β 1 (väite 2.1). Kokonaisalue Z[ n ] ei ole välttämättä UFD. Osoitetaan tämä tapauksessa n = 5. Väite 2.3. Z[ 5] ei ole UFD. Todistus. Näytetään, että luvun 6 hajotelmat 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5) ovat kaksi olennaisesti erilaista hajotelmaa jaottomiin tekijöihin. Väitteestä 2.1 seuraa helposti, että renkaan Z[ 5] yksiköt ovat ±1. Täten mikään em. hajotelmissa esiintyvistä luvuista ei ole yksikkö.

20 2.2 Syt ja pyj 19 Oletetaan, että 2 = αβ, α 1, β 1. Silloin N(α)N(β) = 4, siis N(α) = ±2. Kun merkitään α = a + b 5, on siis a 2 + 5b 2 = ±2. Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua a, b Z. Siis 2 on jaoton. Samoin osoitetaan, että 3 on jaoton ja luvut 1 ± 5 ovat jaottomia. Lopuksi todetaan, että 2 1 ± 5, koska (1 ± 5)/2 ±1. (Vastaavanlainen renkaiden Z[ n ] käsittely positiivisilla n:n arvoilla on paljon vaikeampaa, koska näissä on enemmän itse asiassa äärettömän paljon yksiköitä.) 2.2 Syt ja pyj Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b (ainakin toinen 0) suurin yhteinen tekijä, lyhyesti syt, on sellainen alkio d D, joka täyttää ehdot 1) d a, d b; 2) jos d a, d b, niin d d. Merkintä: d = syt(a, b) (tai lyhyemmin (a, b)). Lause 2.2. Jos syt(a, b) on olemassa, se on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Tarkemmin: jos d = syt(a, b), niin e = syt(a, b) e d. Todistus. ( = ) Jos e = syt(a, b), niin e a, e b. Koska d = syt(a, b), saadaan siis e d. Symmetrian nojalla d e. Siis e d. ( = ) Jos e d, niin e voidaan kirjoittaa d:n tilalle ehdoissa 1) ja 2). Täten e = syt(a, b). Merkintää syt(a, b) käytettäessä on siis oltava varovainen. Seuraavat syt:n ominaisuudet ovat helppoja todistaa: (i) ((a, b), c) (a, (b, c)), (ii) syt(a, b) a a b, (iii) syt(a, 0) a. Kohtaa (i) ja induktiota käyttämällä saadaan määritellyksi n:n alkion a 1,..., a n syt, kun enintään yksi a i = 0. Tämän jälkeen määritellään syt(a 1,..., a n ) aina, kun (a 1,..., a n ) (0,..., 0), vain jättämällä mahdolliset 0:t pois. Siis esimerkiksi Z:ssa syt(6, 0, 30, 15, 0) = syt(6, 30, 15) = 3. Lause 2.2 pätee ilmeisesti myös useamman alkion syt:n tapauksessa; samoin seuraava lause 2.3 yleistyy suoraan tähän tapaukseen.

21 2.3 Eukleideen alue 20 Lause 2.3. Jos D on UFD, syt(a, b) on aina olemassa (kun esimerkiksi a 0). Tarkemmin: kun a 0 ja b 0, sanokaamme (1) a = u niin p i P (2) syt(a, b) p α i i, b = v p i P p i P p β i i (u, v 1), p γ i i, γ i = min(α i, β i ) i. Todistus. Tapauksessa b = 0 ensimmäinen väite seuraa edellisestä kohdasta (iii), tapauksessa b 0 se seuraa jälkimmäisestä väitteestä. Jälkimmäinen väite puolestaan seuraa siitä, että jos d = p i P pδ i i, niin d a sjvsk δ i α i i. Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b pienin yhteinen monikerta (tai jaettava), lyhennettynä pyj, on sellainen alkio m D, joka täyttää ehdot 1) a m, b m; 2) jos a m, b m, niin m m. Merkintä: m = pyj(a, b) (tai lyhyemmin [a, b]). Kuten syt, myös pyj on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Jos UFD:n alkioilla a ja b on hajotelmat (1), niin ilmeisesti (3) pyj(a, b) Koska p i P niin kaavoista (2) ja (3) seuraa, että p µ i i, µ i = max(α i, β i ) i. min(α i, β i ) + max(α i, β i ) = α i + β i, (a, b) [a, b] ab. Tämä kaava voitaisiin todistaa yleisemminkin (olettamatta, että D on UFD). 2.3 Eukleideen alue Miten voidaan todeta, onko annettu kokonaisalue UFD? Seuraavassa eräs menetelmä. Määritelmä. Olkoon D kokonaisalue. Funktiota ϕ : D {0} Z 0 (= {0, 1, 2,... }) sanotaan D:n Eukleideen normiksi, jos se täyttää ehdot

22 2.3 Eukleideen alue 21 E1. ϕ(ab) ϕ(a) a, b 0, E2. a, b D, b 0 q, r D : a = bq + r, ϕ(r) < ϕ(b) tai r = 0 (ks. myös huomautusta 2.4 pykälän lopussa). Jos D:llä on jokin Eukleideen normi, D:tä sanotaan Eukleideen alueeksi. Esimerkki Rengas Z on Eukleideen alue, normina ϕ(a) = a. Esimerkki Polynomirengas K[x] (K kunta) on Eukleideen alue, normina ϕ(p(x)) = deg p(x). Ehtoa E2 voidaan nimittää lyhyesti jakoalgoritmiksi. On kuitenkin huomattava, ettei välttämättä ole olemassa menetelmää, jolla alkiot q ja r löydetään. Lause 2.4. Eukleideen alueessa D on jokaisella alkioparilla a, b (ainakin toinen 0) syt, lisäksi u, v D : syt(a, b) au + bv. Todistus. Jos esimerkiksi b = 0, niin syt(a, b) a = a Olkoot a, b 0. Ehdon E2 nojalla D:ssä on sellaiset alkiot q 1, r 1, q 2, r 2,..., että a = bq 1 + r 1, ϕ(r 1 ) < ϕ(b), b = r 1 q 2 + r 2, ϕ(r 2 ) < ϕ(r 1 ), r n 2 = r n 1 q n + r n, ϕ(r n ) < ϕ(r n 1 ), r n 1 = r n q n+1, r n+1 = 0. Yhtälöketju ( Eukleideen algoritmi ) päättyy, koska ϕ(b) > ϕ(r 1 ) > ϕ(r 2 ) >... on aidosti vähenevä jono kokonaislukuja 0; lopuksi saadaan siis r n+1 = 0. Ensimmäisen yhtälön nojalla r 1 = au + bv (u = 1, v = q 1 ); tästä ja toisesta yhtälöstä seuraa, että r 2 on samaa muotoa. Jatkamalla samoin saadaan (1) r n = au + bv (u, v D). Yhtälöketjun viimeisen yhtälön nojalla r n r n 1, siis viimeistä edellisen yhtälön nojalla r n r n 2. Jatkamalla näin saadaan r n a, r n b. Jos d a, d b, niin (1):n mukaan d r n. Täten r n syt(a, b) ja lause on todistettu. Lemma 2.1. Olkoon D kokonaisalue ja p D {0}, p 1. Jos p täyttää ehdon (2) p ab (a, b D) = p a tai p b, niin p on D:n jaoton alkio.

23 2.3 Eukleideen alue 22 Todistus. Nyt p = ab = p ab = p a tai p b, voidaan olettaa p a = a = pc = abc (c D) = bc = 1 = b 1. Siis p on jaoton. Määritelmä. Ehdon (2) täyttävää jaotonta alkiota sanotaan vahvaksi jaottomaksi alkioksi (kirjallisuudessa myös alkualkioksi, engl. prime element). Esimerkki Renkaan Z kaikki jaottomat alkiot (eli ±alkuluvut) ovat vahvoja. Esimerkki Renkaan Z[ 5] = { a + b 5 a, b Z } alkio 3 on jaoton ( 2.1, esimerkki 2.1.5), mutta ei vahva jaoton, sillä 3 (1 + 5)(1 5), 3 (1 ± 5). Lause 2.5. Kokonaisalue D on UFD D täyttää ehdot (i) jokainen alkio c D {0}, c 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, (ii) jokainen D:n jaoton alkio on vahva jaoton. Todistus. ( = ) (i) on sama kuin UFD:n määritelmän ehto 1). Todistetaan (ii). Oletetaan, että p ab. Koska D on UFD, voidaan kirjoittaa a = u p i P p α i i, b = v p i P p β i i (u, v 1). Olkoon esimerkiksi p = p 1. Koska p 1 ab, niin α 1 + β 1 1. Silloin α 1 1 tai β 1 1, toisin sanoen p 1 a tai p 1 b. ( = ) On todistettava, etä (ii):stä seuraa alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys. Todistus on aivan samanlainen kuin aritmetiikan peruslauseen todistus (jossa on kyse samasta väitteestä tapauksessa D = Z). Lemma 2.2. Oletetaan, että D on Eukleideen alue ja a, b D {0}. Jos a b mutta b a (eli a on b:n aito tekijä), niin ϕ(a) < ϕ(b). Todistus. Tehdään vastaoletus: ϕ(a) ϕ(b). Koska a b, niin b = ac, c D. Soveltamalla jakoalgoritmia (E2) saadaan a = bq + r = acq + r, ϕ(r) < ϕ(b) (huom. r 0, koska b a). Nyt r = a acq = a(1 cq), joten ristiriita! Lause 2.6. Eukleideen alue on UFD. ϕ(r) E1 ϕ(a) vo ϕ(b);

24 2.3 Eukleideen alue 23 Todistus. Todistetaan, että Eukleideen alue D täyttää lauseen 2.5 ehdot (ii) ja (i). Oletetaan, että p on jaoton, p ab, p a. Nyt syt(a, p) 1, siis 1 = au + pv, missä u, v D (ks. lausetta 2.4). Tämä antaa b = abu + pbv. Koska p ab, niin p (abu + pbv), siis p b. Täten p on vahva jaoton. Olkoon a D, a 0. Oletetaan, että (3) a = a 1 a 2 a k, a i 1 i. Lemman 2.2 nojalla ϕ(a) > ϕ(a 2 a 3 a k ) > ϕ(a 3 a k ) > > ϕ(a k ) > ϕ(1) ( 0), joten ϕ(a) k. Esityksessä (3) on siis tekijöiden määrä rajoitettu. Täten on olemassa sellainen esitys (3), jossa tekijöiden määrä on maksimaalinen, ja silloin a 1,..., a k ovat jaottomia. Seuraus Eukleideen alueessa D jokaisella alkioparilla on pyj. Todistus. UFD:ssä on pyj(a, b) = ab syt(a, b) (kun (a, b) (0, 0)). Seuraus Jos K on kunta, niin polynomirengas K[x] on UFD. Tämä tulos on tärkeä seuraavissa luvuissa, joissa polynomit yli kunnan muodostavat keskeisen apuneuvon. Huomautus 2.2. Eukleideen alue on myös PID (pääihannealue). Tämä todistetaan jakoalgoritmin (E2) avulla samoin kuin Z:lla ja K[x]:llä (ks. algebran peruskurssia). Huomautus 2.3. Voidaan todistaa lausetta 2.6 yleisempi tulos: jokainen PID on UFD. Huomautus 2.4. Edelliset huomautukset antavat toisen todistuksen sille, että Eukleideen alue on UFD. Tässä todistuksessa ei tarvita Eukleideen normin ehtoa E1. Koska ehtoa E1 ei tarvita myöskään lauseen 2.4 todistuksessa, Eukleideen normi voitaisiin määritellä yksinomaan ehdolla E2. Toisaalta ehto E1 on yleensä automaattisesti täytetty niissä tapauksissa, jotka ovat teorian kannalta kiinnostavia.

25 3 POLYNOMIT 24 3 POLYNOMIT 3.1 Polynomin nollakohdat Polynomirengas R[x] on määritelty, olipa R mikä hyvänsä rengas. Seuraavassa renkaasta R oletetaan kuitenkin vähintään, että se on kommutatiivinen. Jos f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x] ja c R, merkitään tavalliseen tapaan f(c) = a 0 + a 1 c + + a n c n. Kuvaus R[x] R, f(x) f(c), missä siis c R on kiinteä, on rengashomomorfismi, ts. a(x) = f(x) + g(x) = a(c) = f(c) + g(c), b(x) = f(x)g(x) = b(c) = f(c)g(c) (ja f(x) = 1 = f(c) = 1). Tästä seuraa, että jokainen R[x]:n polynomien välinen yhtälö pysyy voimassa, kun x:n paikalle sijoitetaan mikä tahansa c R (sijoitusperiaate). Jos f(c) = 0, alkiota c sanotaan polynomin f(x) nollakohdaksi tai yhtälön f(x) = 0 juureksi. Muista, että nollapolynomin asteeksi on sovittu. Lause 3.1 (Yleinen jakoalgoritmi). Jos a(x), b(x) R[x] ja b(x) on pääpolynomi, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset polynomit q(x), r(x) R[x], että a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). Todistus. Ks. algebran peruskurssia, jossa sama on todistettu tapauksessa R = K = kunta heikommalla oletuksella b(x) 0. Huomaa, että nytkin b(x):n johtavalla kertoimella (= 1) on käänteisalkio. Lisäksi yksikäsitteisyystodistuksessa tarvittava tulopolynomin astelukukaava (aste = tekijöiden asteiden summa) pätee, koska toinen tekijä on pääpolynomi b(x). Huomautus 3.1. Yleisemmin jos b(x):n johtava kerroin (= b m ) on R:n yksikkö, niin b(x) = b m b(x), missä b(x) on pääpolynomi R[x]. Jakoalgoritmi soveltuu myös tällöin: a(x) = q(x) b(x) + r(x) = ( b 1 m q(x) ) b(x) + r(x). Lause 3.2 (Jäännöslause). Jos c R ja f(x) R[x], niin g(x) R[x] : f(x) = (x c)g(x) + f(c). Lisäksi f(c) = 0 (x c) f(x).

26 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 25 Todistus. Lause 3.1 antaa f(x) = (x c)g(x) + r(x), missä deg r(x) < 1, siis r(x) = r R. Sijoittamalla x = c saadaan f(c) = 0 + r, siis r = f(c). Nyt ( = ) seuraa edellisestä. ( = ) : (x c) f(x) = f(x) = (x c)f 1 (x) = f(c) = 0 (sij. x = c). Lause 3.3. Olkoon D kokonaisalue ja f(x) D[x]. Jos c 1,..., c k ovat f(x):n eri nollakohtia, niin (x c 1 )(x c 2 ) (x c k ) f(x). Todistus. Induktiolla k:n suhteen. 1) k = 1: lause ) Induktio-oletuksen nojalla f(x) = (x c 2 ) (x c k )g(x), g(x) D[x]. Sijoitetaan x = c 1 : 0 = (c 1 c 2 ) (c 1 c k )g(c 1 ) = g(c 1 ) = 0 (koska ei nollanjakajia) = g(x) = (x c 1 )h(x), h(x) D[x] = f(x) = (x c 1 )(x c 2 ) (x c k )h(x). Seuraus Jos f(x) D[x], f(x) 0, ja deg f(x) = n, niin f(x):llä on D:ssä enintään n eri nollakohtaa. Todistus. Lauseen 3.3 merkinnöin k = deg ( (x c 1 ) (x c k ) ) deg f(x) = n. Seuraus Jos f(x), g(x) D[x] ovat enintään astetta n ja f(c i ) = g(c i ) (i = 1,..., n + 1), missä c 1,..., c n+1 ovat D:n eri alkioita, niin f = g. Todistus. Polynomi f(x) g(x) on enintään astetta n ja sillä on n + 1 eri nollakohtaa c i. Seurauslauseen nojalla f(x) g(x) = 0. Huomautus 3.2. Tämän seurauslauseen mukaan siis n + 1 yhtälöä f(c i ) = t i, missä c 1,..., c n+1 ovat D:n eri alkioita, määrittävät n-asteisen polynomin f yksikäsitteisesti. Jos erityisesti D = K = kunta, voidaan helposti osoittaa, että tällainen polynomi f on aina olemassa (sen antaa klassinen Lagrangen interpolointikaava). 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri Olkoon K kunta. Luvussa 2 todistettiin, että K[x] on UFD. Jokainen K[x]:n polynomi vakio (muista, että vakiot 0 ovat K[x]:n yksiköt) voidaan siis esittää olennaisesti yksikäsitteisellä tavalla jaottomien polynomien tulona: (1) f(x) = p 1 (x) p r (x) (p i (x) jaoton K[x] i).

27 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 26 Probleema: Mitkä ovat K[x]:n jaottomat polynomit? Triviaalisti jaottomia polynomeja ovat ainakin kaikki 1. asteen (eli lineaariset) polynomit. Lauseesta 3.2 seuraa, että 2. tai 3. asteen polynomi on jaoton sjvsk sillä ei ole nollakohtia (vrt. algebran peruskurssiin). Jos kunta K on äärellinen, jaottomat polynomit löydetään periaatteessa kokeilemalla. Lause 3.4. Jos K on kunta, niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) Polynomirenkaassa K[x] jaottomat polynomit = lineaariset polynomit. (ii) Jokaisella K[x]:n polynomilla vakio on nollakohta K:ssa. Todistus. (i) = (ii) Oletuksen mukaan polynomilla f(x) vakio on hajotelma f(x) = (a 1 x + b 1 ) (a r x + b r ) (r 1; a i 0 i). Silloin f( b 1 /a 1 ) = 0. (ii) = (i) Olkoon p(x) K[x] jaoton. Oletuksen mukaan sillä on nollakohta c K, joten p(x) = (x c)q(x), q(x) K[x]. Tässä q(x) on vakio, q(x) = q, koska p(x) on jaoton. Siis p(x) on lineaarinen, p(x) = q (x c). Määritelmä. Kuntaa K sanotaan algebrallisesti suljetuksi, jos se täyttää lauseen 3.4 ehdot. Esimerkiksi C on algebrallisesti suljettu (algebran peruslause). Voidaan osoittaa, että jokaisella kunnalla K on laajennus L (K L), joka on algebrallisesti suljettu. Suppeinta tällaista L:ää sanotaan K:n algebralliseksi sulkeumaksi. Esimerkiksi C on R:n algebrallinen sulkeuma. (Tästä enemmän luvussa 4.) Polynomia f(x) K[x] tarkasteltaessa on usein hyödyllistä ajatella sitä ensin L[x]:ssä, missä L on algebrallisesti suljettu K:n laajennus. Esimerkki Tapauksessa K = R jaottomat polynomit ovat 1 lineaariset polynomit ja 2 polynomit ax 2 + bx + c, missä b 2 4ac < 0. Tämä nähdään hajottamalla polynomi f(x) R[x] ensin C[x]:ssä muotoon f(x) = a n (x c i ) (a R, c i C i). i=1 Jos c i / R, myös liittoluku c i esiintyy nollakohtana (koska f(c i ) = f(c i ) = 0 = 0); tällöin (x c i )(x c i ) = x 2 + tx + u R[x], diskr. < 0.

28 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 27 Seuraavassa tutkitaan polynomin tekijöihinjakoa Q[x]:ssä. Jos f(x) Q[x], niin kertomalla sopivalla vakiolla (siis Q[x]:n yksiköllä) saadaan polynomi Z[x]. Tutkitaan ensin näitä. Oletetaan yleisemmin, että polynomit D[x], missä D on UFD. Polynomia f(x) D[x] \ D sanotaan seuraavassa jaottomaksi, jos f(x) = g(x)h(x) = g(x) tai h(x) on vakio. Tämä ei ole edellisessä luvussa esitetyn yleisen teorian mukainen D[x]:n jaottoman alkion määritelmä, koska kaikki vakiopolynomit eivät välttämättä ole D[x]:n yksiköitä. (Itse asiassa D[x] = D, joten siis D[x] = D \ {0} sjvsk D = K = kunta.) Määritelmä. Polynomia f(x) D[x], missä D on UFD, sanotaan primitiiviseksi, jos f(x):n kertoimien syt 1. Esimerkki Polynomi 2x 2 + 3x 4 Z[x] on primitiivinen, 2x 2 + 6x 4 ei ole. Lause 3.5 (Gaussin lemma). Kahden primitiivisen polynomin (yli UFD:n) tulo on primitiivinen. Todistus. Olkoot f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ja g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m primitiivisiä. Vastaoletus: f(x)g(x) ei ole primitiivinen, siis (2) f(x)g(x) = πh(x), π D:n jaoton alkio. Oletetaan, että π a r, π b s, r ja s minimaalisia. Tällaiset a r ja b s ovat olemassa, koska f, g primitiivisiä. Nyt tulossa f(x)g(x) termin x r+s kerroin on a 0 b r+s + + a r 1 b s+1 + a r b s + a r+1 b s a r+s b 0, siis π:llä jaoton. Toisaalta se on (2):n nojalla π:llä jaollinen; ristiriita! Jokainen polynomi f(x) D[x] (missä D on UFD) voidaan kirjoittaa muotoon (3) f(x) = δf 1 (x) { δ = f(x):n kertoimien syt ( D), f 1 (x) primitiivinen. Alkio δ D (polynomin f(x) sisältö) on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Lause 3.6. Jos f(x) Z[x] Z on jaoton, niin f(x) on jaoton myös Q[x]:ssä. Todistus. Vastaoletus: f(x) = g(x)h(x), g, h Q[x] Q. Poistetaan nimittäjät: af(x) = g 1 (x)h 1 (x), a Z, g 1, h 1 Z[x] Z.

29 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 28 Kirjoitetaan polynomit muotoon (3): abf 1 (x) = c 1 d 1 g 2 (x)h 2 (x) { a, b, c1, d 1 Z, f 1, g 2, h 2 primit. Z[x] Z. Gaussin lemmasta seuraa, että ab = ±c 1 d 1 ja siis f 1 (x) = ±g 2 (x)h 2 (x). Tällöin f(x) = bf 1 (x) = ±bg 2 (x)h 2 (x). Tämä on ristiriita, koska f on jaoton Z[x]:ssä. Huomautus 3.3. Lausetta 3.6 käytetään usein seuraavassa muodossa: Jos polynomi f(x) Z[x] \ Z hajoaa tuloksi g(x)h(x) yli kunnan Q (tekijät astetta n, m > 0), niin f(x) hajoaa myös yli Z:n tekijöihin ja nämä ovat g(x) ja h(x) kerrottuna vakioilla. Huomautus 3.4. Polynomin f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x] lineaariset tekijät Q[x]:ssä löydetään tunnetulla tavalla: jos ( ( x s) r f(x) eli f r s) = 0 (r, s Z), niin s an ja r a 0 (tai r = 0). Polynomin f(x) Z[x] jaottomuus voidaan monissa tärkeissä tapauksissa todistaa seuraavalla kriteerillä. Lause 3.7 (Eisenstein). Polynomi f(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n Z[x] on jaoton Q[x]:ssä, jos on olemassa sellainen alkuluku p, että 1) p a n, 2) p a i (i = 0,..., n 1), 3) p 2 a 0. Todistus. Vastaoletus: f ei ole jaoton Q[x]:ssä. Silloin f ei ole jaoton myöskään Z[x]:ssä (lause 3.6), joten f = gh, { g(x) = b0 + b 1 x + + b r x r Z[x], deg g(x) = r > 0, h(x) = c 0 + c 1 x + + c s x s Z[x], deg h(x) = s > 0. Erityisesti b 0 c 0 = a 0, joka on oletuksen mukaan jaollinen p:llä mutta ei p 2 :lla. Voidaan olettaa, että esimerkiksi p b 0, p c 0 (tarvittaessa vaihdetaan g ja h). Samoin oletuksen mukaan b r c s = a n on jaoton p:llä. Siis p b r, p c s. Olkoon b i polynomin g(x) ensimmäinen p :llä jaoton kerroin, jolloin edellisen mukaan 1 i r < n. Nyt a i = b i c 0 + b i 1 c b 0 c i. Redusoidaan mod p : Toisaalta p b i, p c 0 ; ristiriita! 0 b i c (mod p).

30 3.3 Polynomin derivaatta 29 Esimerkki Polynomi f(x) = x n p on jaoton p P (n = 1, 2,... ). Täten Q[x] sisältää mielivaltaisen korkeaa positiivista astetta olevia jaottomia polynomeja. Esimerkki Olkoon f(x) = x 3 4. Kun merkitään y = x 1, saadaan f(x) = (y + 1) 3 4 = y 3 + 3y 2 + 3y 3 merk. = g(y). Tämä on jaoton Q[y]:ssä Eisensteinin kriteerin nojalla (p = 3). Siis myös f(x) on jaoton Q[x]:ssä, sillä f(x):n tekijöihinjaosta seuraisi tekijöihinjako myös g(y):lle. Huomautus 3.5. Lauseet 3.6 ja 3.7 yleistyvät suoraan tapaukseen, jossa Z:n tilalla on UFD D, p:n tilalla D:n jaoton alkio ja Q:n tilalla kokonaisalueen D osamääräkunta K. 3.3 Polynomin derivaatta Määritelmä. Polynomin f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x] (muodollinen) derivaatta Käytetään myös merkintää f (x) = Df(x). Derivaatta noudattaa sääntöjä f (x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1 R[x]. (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg, kuten nähdään määritelmästä suoralla laskulla (tai voidaan päätellä analyysin derivointikaavoista). Määritelmä. Jos f(x) K[x], α K ja (1) f(x) = (x α) m g(x), g(x) K[x], g(α) 0, niin α on polynomin f(x) kertalukua m oleva nollakohta. Tarkastellaan polynomia f(x) K[x], missä K on kunta. Oletetaan, että K F = algebrallisesti suljettu kunta. Silloin f(x) hajoaa F [x]:ssä lineaarisiin tekijöihin: f(x) = c(x α 1 ) m1 (x α r ) mr, missä α 1,..., α r ovat F :n eri alkioita. Kunkin nollakohdan α i kertaluku on m i (i = 1,..., r). Huomaa, että koska F [x] on UFD, nollakohdan kertaluku ei riipu siitä, missä kunnassa sitä tarkastellaan (kunhan nollakohta vain kuuluu kyseiseen kuntaan). Lause 3.8. Olkoon f(x) K[x] ja F kuten yllä. Silloin alkio α F on f(x):n useankertainen nollakohta sjvsk f(α) = f (α) = 0.

31 3.3 Polynomin derivaatta 30 Todistus. Jos α on useankertainen nollakohta, niin (x α) 2 f(x), siis f(x) = (x α) 2 g(x) (F [x]:ssä). Derivoidaan: f (x) = 2(x α)g(x) + (x α) 2 g (x). Sijoittamalla tähän x = α saadaan f (α) = 0. Kääntäen: Jakoalgoritmi antaa f(x) = (x α) 2 q(x) + r(x), r(x) lineaarinen tai vakio. Oletuksesta f(α) = f (α) = 0 seuraa r(α) = r (α) = 0. Kun merkitään r(x) = ax + b, on siis aα + b = 0 ja a = 0. Näistä seuraa a = b = 0, siis r(x) = 0. Täten (x α) 2 f(x). Seuraus Alkio α F on polynomin f(x) K[x] useankertainen nollakohta sjvsk syt ( f(x), f (x) ) on jaollinen (x α):lla (polynomirenkaassa F [x]). Siis f(x):n nollakohdat ovat yksinkertaiset sjvsk syt ( f(x), f (x) ) 1. On tärkeää, että syt ( f(x), f (x) ) voidaan määrittää Eukleideen algoritmilla polynomirenkaassa K[x]. Useankertaisten nollakohtien olemassaolo saadaan siis selvitetyksi siirtymättä K:n laajennuskuntiin. Huomaa, että jos syt(f(x), f (x)) 1, niin tämä syt hajoaa lineaarisiin tekijöihin F [x]:ssä. Esimerkki Tutkitaan, onko polynomilla f(x) = x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 4x 2 + x + 2 useankertaisia nollakohtia kunnassa Q tai C. Hajotetaan f(x) jaottomiin tekijöihin Q[x]:ssä ja C[x]:ssä. Luetellaan nyt polynomin f(x) nollakohdat F jonona α 1,..., α n, jossa jokainen α i esiintyy niin monta kertaa kuin sen kertaluku osoittaa. Seurauslauseen nojalla syt ( f(x), f (x) ) 1 merk. = i<j (α i α j ) 2 = 0. Lukua sanotaan polynomin f(x) diskriminantiksi. Voidaan osoittaa, että K ja saadaan lasketuksi polynomin kertoimista. Esimerkki Tapauksessa f(x) = x 2 + ax + b = (x α 1 )(x α 2 ) on α 1 + α 2 = a ja α 1 α 2 = b, joten = (α 1 α 2 ) 2 = a 2 4b. Diskriminantti saadaan myös kaavasta = f (α 1 )f (α 2 ). Yleistys: Jos f(x) = (x α 1 ) (x α n ), niin = ±f (α 1 ) f (α n ) (harj.). Lause 3.9 (Taylorin kaava). Olkoon K kunta, jonka karakteristika = 0. Jos f(x) K[x], deg f(x) = n ja α K, niin f(x) = f(α) + f (α) 1! (x α) + f (α) 2! (x α) f (n) (α) (x α) n. n!

32 3.3 Polynomin derivaatta 31 Todistus. Merkitään y = x α, jolloin f(x) = f(y + α) = n a i (y + α) i = i=0 n b i y i = i=0 n b i (x α) i. i=0 Derivoimalla j kertaa saadaan f (j) (x) = n i(i 1) (i j + 1)b i (x α) i j i=j (j = 0,..., n). Sijoitetaan x = α: f (j) (α) = j!b j Koska char(k) = 0, yhtälö voidaan jakaa j!:lla. Tulokseksi saadaan b j = f (j) (α)/j!. Seuraus Jos char(k) = 0, niin alkio α K on polynomin f(x) K[x] m-kertainen nollakohta sjvsk f(α) = f (α) = = f (m 1) (α) = 0, f (m) (α) 0. Tästä seuraa erikoistapauksena uudestaan lause 3.8 (ehdolla, että char(k) = 0).

33 4 KUNTALAAJENNUKSET 32 4 KUNTALAAJENNUKSET 4.1 Kuntalaajennuksen aste Oletetaan, että K ja L ovat kuntia, K L, ts. L on kunnan K laajennus(kunta). Tällöin sanotaan, että L on (kunta)laajennus yli K:n, merkitään L/K. Koska K ja L ovat myös renkaita, niin tällöin L (tarkemmin (L, +)) on K-moduli ja siis vektoriavaruus yli kunnan K. Huomaa, että skalaarilla kertominen tarkoittaa tavallista kertolaskua kunnassa L: au = tulo kunnassa L a K, u L. Merkitään tämän vektoriavaruuden dimensiota dim K L:llä. Määritelmä. Kuntalaajennuksen L/K aste [L : K] = dim K L. Kuntalaajennusta sanotaan äärelliseksi tai äärettömäksi sen mukaan, onko sen aste < vai =. Vektoriavaruuksien teoriasta seuraa, että [L : K] = n < L:llä on kanta {u 1,..., u n } K:n yli jokaisella alkiolla u L on yksikäsitteinen esitys n u = a i u i (a i K i). Esimerkki Näytetään, että [L : K] = 1 L = K. i=1 Esimerkki (i) [C : R] = 2, kanta esim. {1, i}. (ii) [R : Q] = (muuten Q:n numeroituvuudesta seuraisi R:n numeroituvuus, siis ristiriita). (iii) [Q(i) : Q] = 2. Esimerkki Jokaisella kunnalla K on laajennuskuntana polynomirenkaan K[x] osamääräkunta { } f(x) K(x) = f(x), g(x) K[x], g(x) nollapolynomi. g(x) Tätä sanotaan rationaalifunktioiden kunnaksi yli K:n. (Tapauksessa K = R kyseessä ovat tavalliset rationaalifunktiot.) Kunta K itse muodostuu niistä rationaalifunktioista, jotka ovat vakioita. Aste [K(x) : K] =, sillä K(x):ssä on mielivaltaisen monen alkion muodostamia lineaarisesti riippumattomia joukkoja, nimittäin {1, x, x 2,..., x n }, n 0.

34 4.1 Kuntalaajennuksen aste 33 Lause 4.1 (Astelukulause). Olkoon L/K kuntalaajennus ja F K F L. Silloin [L : K] = [L : F ] [F : K] (jos aste =, se tulkitaan kaavassa luonnollisella tavalla). sen välikunta, ts. Todistus. 1) Olkoon [L : K] = n <, {u 1,..., u n } L:n kanta K:n yli. Koska F on vektoriavaruutena L:n aliavaruus, niin dim K F dim K L eli [F : K] n. Siis [F : K] <. Tarkastellaan L:n alkion u kantaesitystä u = n a i u i, a i K i. i=1 Koska K F, niin a i F i. Täten {u 1,..., u n } generoi vektoriavaruuden L myös F :n yli. Siis [L : F ] n, erityisesti [L : F ] <. L 2) Oletetaan, että [L : F ] = m < ja [F : K] = r <. Olkoon F m K ja näin ollen joukko r {v 1,..., v m } L:n kanta yli F :n, {w 1,..., w r } F :n kanta yli K:n. Jos u L, niin u = m i=1 b iv i, b i F i. Kirjoitetaan b i = r j=1 c ijw j, c ij K i, j. Tämä antaa u = m i=1 r c ij v i w j, j=1 (1) { v i w j 1 i m, 1 j r } generoi L:n yli K:n. 3) Osoitetaan, että (1) on lineaarisesti riippumaton yli K:n; silloin se on L:n kanta ja siis [L : K] = mr. Päättely on seuraava: d ij v i w j = 0 (d ij K) = ( d ij w j )v i = 0 i,j i j = j d ij w j = 0 i (koska v i :t lin. riippumattomia) = d ij = 0 i, j (koska w j :t lin. riippumattomia). Seuraus Jos [L : K] on alkuluku, niin laajennuksella L/K ei ole aitoja välikuntia, ts. K F L = F = K tai F = L.

35 4.2 Yksinkertainen laajennus Yksinkertainen laajennus Palauta mieleen laajennuskunnan generointi: jos L/K on kuntalaajennus ja S L, niin K(S) = joukon S generoima K:n laajennuskunta L:ssä. Sanotaan myös, että K(S) saadaan liittämällä (adjungoimalla) kuntaan K joukon S alkiot. Yksinkertaisia esimerkkejä tapauksessa L = R: L Q( 2) = { a + b 2 a, b Q }, Q( 3 2) = { a + b c 3 4 a, b, c Q } (jälkimmäinen perustellaan myöhemmin). K(S) Verrattaessa kunnan K laajennuksia käytetään usein seuraavaa triviaalia tosiasiaa: K(S 1 ) K(S 2 ) S 1 K(S 2 ). Täten esimerkiksi K(α, β) = K(γ), kunhan vain α, β K(γ) ja γ K(α, β). Määritelmä. Kunnan K laajennusta F L sanotaan yksinkertaiseksi, jos ρ L : F = K(ρ). Ilmeisesti K(ρ, τ) = (K(ρ))(τ), ja vastaava pätee yleisesti, kun joukko S vain on äärellinen. Äärellisesti generoitu kuntalaajennus voidaan siis muodostaa peräkkäisistä yksinkertaisista laajennuksista. Seuraavassa tutkitaan, mitkä alkiot (L:ssä) muodostavat yksinkertaisen laajennuksen K(ρ). Lemma 4.1. Olkoon L/K kuntalaajennus ja ρ L. Kunnan L osajoukko on L:n alirengas ja siis kokonaisalue. Todistus. Suoraan alirengaskriteeristä. K[ρ] = { f(ρ) f(x) K[x] } Huomautus 4.1. Lemma 4.1 pätee myös, jos K:n tilalla on mikä tahansa (kommutatiivinen) rengas R ( L). Esimerkki Näytetään, että Z[ n ] = { a + b n a, b Z } (n neliövapaa). Tätä joukkoahan on merkitty Z[ n ]:llä aikaisemminkin. Esimerkki Rengas Q[ n ] = { a + b n a, b Q } (n neliövapaa). Perustelu aivan samoin kuin esimerkissä Tässä siis Q( n) = Q[ n ]. Tämä on erikoistapaus tuloksesta, joka on alla lauseessa 4.2. S K

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Lukijalle. Modernin algebran alkeita on yleensä tapana opettaa tiukan aksiomaattis abstraktilla

Lukijalle. Modernin algebran alkeita on yleensä tapana opettaa tiukan aksiomaattis abstraktilla Lukijalle Matematiikan opetuksessa käsiteltävä aines voidaan järjestää ainakin seuraavien kolmen periaatteen mukaan: matematiikan historiallinen kehitysjärjestys, matematiikan looginen esitysjärjestys

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Polynomimatriisit. Antti Lindberg. Matematiikan pro gradu -tutkielma

Polynomimatriisit. Antti Lindberg. Matematiikan pro gradu -tutkielma Polynomimatriisit Antti Lindberg Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2014 Tiivistelmä: Antti Lindberg, Polynomimatriisit, Matematiikan pro

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo ALGEBRA I 1 2 ALGEBRA I Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 1.3. Ekvivalenssirelaatio 9 2. Lukuteoriaa 11 2.1. Jaollisuusrelaatio 11 2.2. Suurin

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010 ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen 2010 c Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen Esipuhe Tämä kirja on syntynyt toisen tekijän(t.m.) Turun yliopistossa

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Ryhmäteoria. Markku Koppinen Turun yliopisto

Ryhmäteoria. Markku Koppinen Turun yliopisto Ryhmäteoria Markku Koppinen Turun yliopisto 6. toukokuuta 2011 Alkusanat Tämä ryhmäteorian kurssi käsittelee enimmäkseen ryhmien esitysteoriaa, mutta kuten tulemme näkemään, esitysteoria liittyy niin läheisesti

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2015 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä............................................... 5 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät..................................................

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot