ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K"

Transkriptio

1 ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K

2 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI Moduli; alimoduli Modulihomomorfia; tekijämoduli Modulien summa Vapaa moduli Vapaan modulin aste TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA Jaottomat alkiot ja UFD Syt ja pyj Eukleideen alue POLYNOMIT Polynomin nollakohdat Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri Polynomin derivaatta KUNTALAAJENNUKSET Kuntalaajennuksen aste Yksinkertainen laajennus Algebrallinen laajennus Algebrallinen sulkeuma Sovellus: geometriset konstruktiot Laajennusten isomorfia Polynomin hajoamiskunta Normaali laajennus Äärellisen laajennuksen yksinkertaisuus ÄÄRELLISET KUNNAT Äärellisen kunnan perusominaisuuksia Kaikki äärelliset kunnat GALOIS N TEORIAA Kuntalaajennuksen automorfismit Galois n laajennus; Galois n ryhmä Galois n vastaavuus Konjugaattilaajennukset Yhtälön algebrallinen ratkaiseminen

3 SISÄLTÖ 2 7 MODULI YLI EUKLEIDEEN ALUEEN Matriisin Smithin normaalimuoto Vapaan modulin alimoduli Modulin torsioalkiot Äärellisesti generoitu moduli Sovellus: äärellisesti generoitu Abelin ryhmä RYHMÄTEORIAA Ryhmien isomorfiasta Vastaavuuslause Yksinkertainen ryhmä Normaali- ja kompositiosarjat Ratkeava ryhmä Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö Sylowin ryhmät (2004)

4 JOHDANTO 3 JOHDANTO Kertauksena eräiden algebrallisten systeemien postulaatit: Monoidi (G, ) : 1. (ab)c = a(bc) a, b, c G, 2. 1 G : a 1 = 1 a = a a G. Jos lisäksi a G a 1 G : aa 1 = a 1 a = 1, niin G on ryhmä. Abelin ryhmä (A, +) : 1. (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c A, 2. 0 A : a + 0 = 0 + a = a a A, 3. a A a A : a + ( a) = ( a) + a = 0, 4. a + b = b + a a, b A. Abelin ryhmän alkioiden a ja b erotus a b = a + ( b). Rengas (R, +, ) : 1. (R, +) on Abelin ryhmä, 2. (R, ) on monoidi, 3. a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc a, b, c R. Jos kertolasku lisäksi on kommutatiivinen, R on kommutatiivinen rengas. Kunta (K, +, ) : 1. (K, +, ) on kommutatiivinen rengas, 2. a K {0} a 1 K : aa 1 = a 1 a = 1. Kunnan alkioiden a ja b 0 osamäärä a b = ab 1. Esimerkki. Todetaan, että (Z +, ) on monoidi, (2Z, +) on Abelin ryhmä, Z on rengas (kommutatiivinen), Q on kunta.

5 1 MODULI 4 1 MODULI 1.1 Moduli; alimoduli Modulin käsite on vektoriavaruuden välitön yleistys. Määritelmä. Olkoon R rengas. Abelin ryhmää (M, +) sanotaan (vasemmaksi) R-moduliksi, jos siinä on määritelty modulikertolasku joka täyttää seuraavat ehdot: RM0. ax M a R, x M, (a, x) a x merk. = ax a R, x M, RM1. a(x + y) = ax + ay a R, x, y M, RM2. (a + b)x = ax + bx a, b R, x M, RM3. (ab)x = a(bx) a, b R, x M, RM4. 1x = x x M. Esimerkki Jos K on kunta, niin K-moduli = vektoriavaruus yli K:n. Esimerkki Jokainen Abelin ryhmä (M, +) on Z-moduli, jossa modulikertolaskun määrittelee alkion monikerta kx (k Z, x M). Postulaatti k(x + y) = kx + ky on laskulaki, joka ryhmän multiplikatiivisessa merkinnässä saa muodon (xy) k = x k y k ; tämä on tosiaan voimassa kommutatiivisuuden nojalla. Esimerkki Renkaan R ihanne I (tarkemmin (I, +)) on R-moduli, modulikertolaskuna ri (r R, i I) renkaan oma kertolasku. Postulaatti RM0 seuraa ihanteen määritelmästä, muut postulaatit suoraan rengaspostulaateista. Erityisesti siis R itse on R-moduli. Merkintä: R R. Modulien teoria rakentuu samaan tapaan kuin vektoriavaruuksien. Erityisesti kaikki vektoriavaruuksia koskevat tulokset, joiden todistuksessa ei tarvita skalaarikunnan jakolaskua (eikä kertolaskun kommutatiivisuutta), pätevät myös moduleihin. Tällaisia tuloksia ovat ensinnäkin seuraavat laskulait: 1 ax = 0, jos a = 0 tai x = 0, 2 a(nx) = (na)x = n(ax) n Z, 3 a(x y) = ax ay, (a b)x = ax bx.

6 1.1 Moduli; alimoduli 5 Huomautus 1.1. (i) Sekä R:n että M:n nolla-alkiosta käytetään yleensä merkintää 0 (ks. 1 ). (ii) Sääntö 1 ei päde kääntäen; esimerkiksi Z-modulissa Z 6 on 2 3 = 0. (Vrt. vektoriavaruuksiin.) Määritelmä. R-modulin M osajoukkoa N sanotaan M:n (R-)alimoduliksi, jos N on R- moduli (samojen operaatioiden suhteen kuin M). Alimodulikriteeri. R-modulin M osajoukko N on M:n alimoduli, jos se täyttää seuraavat ehdot: AM1. N, AM2. x, y N = x + y N, AM3. a R, x N = ax N. Todistus. Ryhmä (N, +) on (M, +):n aliryhmä, koska x, y N = x y N (AM2, AM3). Postulaatti RM0 seuraa AM3:sta. Muut postulaatit ovat voimassa N:ssä, koska ne ovat voimassa M:ssä. Esimerkki (i) K = kunta: K-modulin V eli vektoriavaruuden V alimodulit = V :n aliavaruudet. (ii) M = Abelin ryhmä: Z-modulin M alimodulit = M:n aliryhmät. (iii) Modulin R R alimodulit = renkaan R vasemmat ihanteet. Jos erityisesti R on kommutatiivinen, nämä ovat = R:n ihanteet. Alimodulikriteerin nojalla R-modulin M alimodulien N α leikkaus α N α on M:n alimoduli. Tämän perusteella määritellään tavalliseen tapaan joukon S M generoima M:n alimoduli S = N (N on M:n alimoduli, S N). Kuten vektoriavaruuksilla, tämä koostuu kaikista S:n alkioiden lineaarikombinaatioista: S = { a 1 s a k s k k 1; a i R, s i S i }. Perustelu: Oikea puoli on M:n alimoduli alimodulikriteerin nojalla; muu triviaalia. Jos S on äärellinen, S = {s 1,..., s n }, niin merkitään S = s 1,..., s n. Edellisen nojalla { n ( ) s 1,..., s n = a i s i a i R i=1 } i.

7 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli 6 Erityisesti s = { as a R } merk. = Rs on ns. alkion s generoima syklinen moduli. Modulia s 1,..., s n sanotaan äärellisesti generoiduksi. Esimerkki Z-modulin M syklinen alimoduli Zs = s:n generoima M:n syklinen aliryhmä. Siis esimerkiksi M = Z 6 : Z2 = {0, 2, 4} (ord(2) = 3); M = Q : Z( 1) = Z (ord( 1) = ). Esimerkki K = kunta: K-moduli V on äärellisesti generoitu sjvsk dim V <. Esimerkiksi R-moduli R n = e 1,..., e n, missä e 1 = (1, 0,..., 0) T, e 2 = (0, 1, 0,..., 0) T jne. Esimerkki Abelin ryhmä R 2 on M 2 (R)-moduli, kun modulikertolasku ( ) ( ) a b x1 Ax, A = M c d 2 (R), x = R 2, määritellään tavallisena matriisikertolaskuna. Tämä on äärellisesti generoitu, vieläpä syklinen: esimerkiksi R 2 = e 1, sillä ( ) ( ) ( ) y1 0 1 y1 = y y , y 2 R. Esimerkki Moduli R R on syklinen: R R = R Modulihomomorfia; tekijämoduli Olkoot M ja M R-moduleja. Kuvausta y 2 f : M M sanotaan (R-)modulihomomorfismiksi tai R-homomorfismiksi, jos se täyttää ehdot MH1. f(x + y) = f(x) + f(y) x, y M, MH2. f(ax) = af(x) a R, x M. Ehto MH1 merkitsee, että f on ryhmähomomorfismi (M, +) (M, +). Esimerkki Vektoriavaruudet V ja V yli kunnan K: K-homomorfismit = lineaarikuvaukset V V. Esimerkki Z-modulit M ja M : Z-homomorfismit = ryhmähomomorfismit M M. x 2

8 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli 7 Esimerkki Kuvaus f : R R R R, f(r) = 2r on R-homomorfismi (mutta ei rengashomomorfismi). Tavalliseen tapaan määritellään R-isomorfismi = bijektiivinen R-homomorfismi. R-homomorfismin f : M M ydin ja kuva: Ker(f) = { x M f(x) = 0 }, Im(f) = { f(x) x M } = f(m). Nämä ovat R-moduleja (sovella alimodulikriteeriä). Määritelmä. R-modulin M tekijämoduli alimodulin N suhteen on tekijäryhmä varustettuna modulikertolaskulla M/N = { x + N x M }, (x + N) + (y + N) = x + y + N a(x + N) = ax + N a R, x M. Tekijämodulin alkioita x + N sanotaan N:n sivu- tai jäännösluokiksi M:ssä. Tätä määritelmää varten on ensiksikin varmistuttava, että ko. modulikertolasku on hyvinmääritelty: x 1 + N = x 2 + N = x 1 x 2 N = a(x 1 x 2 ) N = ax 1 + N = ax 2 + N ( a R). Toiseksi se toteuttaa postulaatit RM0 RM4. Täten M/N on R-moduli. Esimerkki Z-modulit: tekijämodulit = tekijäryhmät. Esimerkki Vektoriavaruuden tapauksessa tekijämodulia sanotaan tekijäavaruudeksi. Jos esimerkiksi V = R 2 ja aliavaruudeksi valitaan x x+x_ 2x_ U = { (u, 2u) u R }, x_ niin tekijäavaruus on R 2 /U = { x + U x R 2 }, (x + U) + (x + U) = x + x + U, a(x + U) = ax + U. x+u U x+x_+u x_+u 2x_+U

9 1.3 Modulien summa 8 Homomorfialause. Jos f : M M on R-homomorfismi, niin Tarkemmin: f indusoi R-isomorfismin M/ Ker(f) Im(f). F : M/ Ker(f) Im(f), F (x + Ker(f)) = f(x). Todistus. Ryhmäteorian homomorfialauseen nojalla F on Abelin ryhmien M/ Ker(f) ja Im(f) välinen isomorfismi. Lisäksi (merkitään K = Ker(f)) F (a(x + K)) = F (ax + K) = f(ax) = af(x) = af (x + K), joten F on R-homomorfismi ja siis R-isomorfismi. Huomautus 1.2. Kuvaus f = F π, missä π on projektiokuvaus M M/ Ker(f), π(x) = x + Ker(f) (R-homomorfismi). f M Im(f) M π F M/ Ker(f) Esimerkki Lineaarikuvaus f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 2 2x 1 : Ker(f) = { (x, 2x) x R } = U, Im(f) = R Homomorfialause antaa isomorfismin (esim. f(0, x) = x). F : R 2 /U R, F ((x 1, x 2 ) + U) = x 2 2x 1. Katso kuvaa esimerkissä 1.2.5: jokainen suora kuvautuu siksi pisteeksi, jossa se leikkaa y-akselin. 1.3 Modulien summa Määritellään R-modulin M alimodulien N 1,..., N k summa N N k = { x x k x i N i i }. Tämä nähdään alimoduliksi alimodulikriteeristä. Huomaa myös, että oikea puoli on = N 1 N k generoinnin määrittelyn nojalla; siis Erityisesti (vrt. pykälän 1.1 kaavaan ( )) N N k = N 1 N k. s 1,..., s k = Rs Rs k (s i M i).

10 1.3 Modulien summa 9 Määritelmä. R-modulin M alimodulien summaa N = N N k sanotaan suoraksi summaksi, merkitään N = N 1 N k, jos jokaisen alkion x N esitys muodossa on yksikäsitteinen. x = x x k (x i N i i) Lause 1.1. R-modulin M alimodulien summa N = N N k on suora sjvsk N j i j N i = {0} (j = 1,..., k). Todistus. 1) Silloin. Jos x x k = x x k (x i, x i N i ), niin x j x j = i j (x i x i ) merk. = x (1 j k). Siis x N j i j N i = {0}, joten x = 0. Täten x j = x j. Summaesitys x x k on siis yksikäsitteinen. 2) Vain silloin. Oletetaan, että x N j i j N i (1 j k). Silloin x = x j, x = i j x i (x 1 N 1,..., x k N k ). Tästä saadaan x j i j x i = 0 = 0 + i j 0. Esityksen yksikäsitteisyyden nojalla x j = 0. Siis x = 0, joten ko. leikkaus = {0}. Esimerkki Vektoriavaruuksilla edellä mainitut käsitteet yhtyvät aliavaruuksien summan ja suoran summan käsitteisiin. Jos vektoriavaruuden V (yli kunnan K) virittää joukko {x 1,..., x n }, niin Jos ko. joukko on V :n kanta, niin V = Kx Kx n. V = Kx 1 Kx n. Esimerkki Z-modulissa eli Abelin ryhmässä puhutaan vastaavasti aliryhmien summasta ja suorasta summasta. Esimerkiksi ryhmässä (R, +) Z Z = 1 2 Z (ei suora, koska esim. 3 Z 3 2 Z), Z + 2Z = { a + b 2 a, b Z } = Z 2Z.

11 1.3 Modulien summa 10 Määritelmä. Olkoot M 1,..., M k R-moduleja. Karteesinen tulo on R-moduli, kun määritellään M 1 M k = { (x 1,..., x k ) x i M i i } (x 1,..., x k ) + (y 1,..., y k ) = (x 1 + y 1,..., x k + y k ), a(x 1,..., x k ) = (ax 1,..., ax k ) a R (todistus suoraan modulin määritelmästä). Tätä sanotaan modulien M 1,..., M k (ulkoiseksi) suoraksi summaksi; myös sitä merkitään M 1 M k. Tällä modulilla M = M 1 M k on alimodulit ja M on näiden suora summa, M i = { (0,..., 0, x i, 0,..., 0) x i M i } kuten todetaan ajattelemalla summaesitystä M = M 1 M k, (i = 1,..., k), (x 1,..., x k ) = (x 1, 0,..., 0) + + (0,..., 0, x k ). Esitykset M = M 1 M k ja M = M 1 M k voidaan samaistaa samaistamalla keskenään isomorfiset modulit M i ja M i (i = 1,..., k), siis samaistamalla alkiot x i ja (0,..., 0, x i, 0,..., 0). Esimerkki Vektoriavaruus R n = R R (n kertaa; ulkoinen suora summa). Esimerkki Z-modulina C R R, isomorfismina esimerkiksi a + bi (a, b). Kun C ajatellaan R-modulina, niin C = R 1 Ri (alimodulien suora summa). Lopuksi alimodulien summan sovelluksena eräs isomorfialaki: Suunnikassääntö. Jos N 1 ja N 2 ovat R-modulin M alimoduleja, niin Todistus. Kuvaus N 1 /(N 1 N 2 ) (N 1 + N 2 )/N 2. N 1 + N 2 N 1 N 2 N 1 N 2 f : N 1 (N 1 + N 2 )/N 2, f(x) = x + N 2 on R-homomorfismi. Sen ydin Ker(f) = N 1 N 2, sillä x Ker(f) x N 1 ja x + N 2 = N 2 x N 1 N 2. Edelleen Im(f) = (N 1 + N 2 )/N 2, sillä z + N 2 (N 1 + N 2 )/N 2 = z = x 1 + x 2 (x 1 N 1, x 2 N 2 ) = f(x 1 ) = x 1 + N 2 = x 1 + x 2 + N 2 = z + N 2. Väite seuraa homomorfialauseesta.

12 1.4 Vapaa moduli Vapaa moduli Määritelmä. R-modulin M alkiot x 1,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos n a 1,..., a n R, a i x i = 0 = a 1 = = a n = 0. Vastakohta: lineaarisesti riippuvia. i=1 Jos alkiot ovat lineaarisesti riippuvia, ei välttämättä päde (kuten vektoriavaruudessa), että jokin niistä on muiden lineaarikombinaatio. Ajattele esimerkiksi Z-modulissa Z lineaarista relaatiota = 0. Määritelmä. R-modulin M osajoukko {x 1,..., x n } on M:n kanta, jos 1) M = x 1,..., x n, 2) x 1,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia. Modulia M sanotaan vapaaksi, jos sillä on kanta. Kannan {x 1,..., x n } määritelmästä seuraa välittömästi, että jokaisella modulin M alkiolla x on yksikäsitteinen kantaesitys x = a 1 x a n x n, missä a i R i. Huomautus 1.3. Sopimus: R-moduli {0} on vapaa, kanta =. Lineaarisen riippumattomuuden ja kannan määritelmät voidaan yleistää äärettömiin joukkoihin. Esimerkki Lineaarialgebrasta tiedetään, että jokaisella n-ulotteisella vektoriavaruudella V on kanta {z 1,..., z n }; V on siis vapaa. Huomaa myös, että Yleisemmin: R-moduli V K n = { (x 1,..., x n ) x i K i }. R n = { (x 1,..., x n ) x i R i } on vapaa, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta {e 1,..., e n }, missä e i = (0,..., 0, 1 i:s, 0,..., 0) (i = 1,..., n). Erityisesti (n = 1) siis myös moduli R R on vapaa, kantana {1}. Esimerkki Äärellinen Abelin ryhmä M ei ole Z-modulina vapaa, sillä siinä ei ole lineaarisesti riippumattomia alkioita: kx = 0 esimerkiksi kun k on x:n kertaluku. Lause 1.2. Olkoot M 1 ja M 2 R-moduleja, M 1 vapaa, kantana {x 1,..., x n } ja olkoot y 1,..., y n modulin M 2 alkioita. On olemassa yksikäsitteinen R-homomorfismi f : M 1 M 2, joka täyttää ehdon f(x i ) = y i (i = 1,..., n).

13 1.5 Vapaan modulin aste 12 Todistus. Väitetty kuvaus on ( n ) f a i x i = i=1 n a i y i a i R (i = 1,..., n) i=1 (vrt. vektoriavaruuksien lineaarikuvausten teoriaan). Lause 1.3. Jokainen äärellisesti generoitu R-moduli on isomorfinen jonkin vapaan R- modulin tekijämodulin kanssa. Todistus. Olkoon M = s 1,..., s n R-moduli. Verrataan tätä esimerkissä mainittuun vapaaseen moduliin R n. Määritellään lauseen 1.2 mukainen R-homomorfismi f : R n M, f(e i ) = s i (i = 1,..., n), missä {e 1,..., e n } on R n :n luonnollinen kanta. Nyt Im(f) = M, sillä n ( n y M = y = b i s i (b i R) = y = f b i e i ). Homomorfialause antaa siis i=1 M R n / Ker(f). i=1 Modulien teorian päätuloksiin kuuluu kaikkien äärellisesti generoitujen R-modulien luokittelu, kun R on pääihannealue (PID). Tämä tulos, joka perustuu edelliseen lauseeseen, esitetään luvussa 7. Koska Z on PID, tuloksesta seuraa edelleen kaikkien äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelu (myös luvussa 7). 1.5 Vapaan modulin aste Tässä pykälässä oletetaan, että rengas R on kommutatiivinen. Otetaan avuksi matriisit kuten lineaarialgebrassa. Matriiseilla a a 1n A = (a ij R i, j) a m1... a mn määritellään summa, tulo ja R:n alkioilla kertominen kuten tavallisessa matriisilaskennassa. Ne toteuttavat normaalit laskulait (tähän tarvitaan vain R:n rengasominaisuuksia). Itse asiassa kaikkien m n-matriisien joukko M m n (R) on R-moduli ja erityisesti joukko M n (R) = M n n (R) on rengas. Neliömatriisia A M n (R) sanotaan säännölliseksi, jos sillä on käänteismatriisi, ts. sellainen matriisi B = A 1 M n (R), että AB = BA = I n. Neliömatriisin A determinantti det(a) määritellään tavalliseen tapaan: se on siis renkaan R alkio ja täyttää lisäksi ehdon det(ab) = det(a) det(b).

14 1.5 Vapaan modulin aste 13 Lemma 1.1. Olkoon R kommutatiivinen rengas. Matriisi A M n (R) on säännöllinen sjvsk det(a) on renkaan R yksikkö (ts. det(a):lla on R:ssä käänteisalkio). Todistus. 1) AB = I = det(a) det(b) = 1 = (det(a)) 1 = det(b). 2) Jos det(a) on yksikkö, niin matriisi 1 ( ) T Cij (C ij on a ij :n komplementti i, j) det(a) kuuluu joukkoon M n (R). Tämä matriisi on A:n käänteismatriisi, sillä det(a) I = ( C ij ) T A = A ( C ij ) T kuten klassisessa matriisiteoriassa. Huomautus 1.4. Lemmasta seuraa: Jos A, B M n (R) ja AB = I, niin B = A 1. Olkoon M vapaa R-moduli ja olkoot E = {e 1,..., e m }, F = {f 1,..., f n } kaksi M:n kantaa (seuraavassa näytetään, että m = n). Kannanvaihdon E F matriisi A määritellään kuten lineaarialgebrassa: a a 1n f 1 = a 11 e 1 + a 21 e a m1 e m A = , kun a m1... a mn f n = a 1n e 1 + a 2n e a mn e m. Kannanvaihdon E F G matriisi saadaan kertomalla kannanvaihtojen E F ja F G matriisit (ks. lineaarialgebran kurssia; huomaa että tässä tarvitaan R:n kommutatiivisuus). Tarkastelemalla kannanvaihtoja E F E ja F E F saadaan AB = I m, BA = I n, missä B on kannanvaihdon F E matriisi (tyyppiä n m). Tapauksessa m = n tästä seuraa erityisesti, että kannanvaihdon matriisi A on säännöllinen. Lause 1.4. Olkoon M vapaa moduli yli kommutatiivisen renkaan R. Silloin jokaisessa M:n kannassa on yhtä monta alkiota. Todistus. Olkoot E ja F kuten edellä M:n kantoja sekä A ja B kannanvaihtomatriisit E F ja F E. Oletetaan, että m > n, ja johdetaan ristiriita. Kirjoitetaan A ja B lohkomatriiseina ( ) A1 A =, B = ( ) B 1 B 2, missä A 1 ja B 1 ovat n n-matriiseja. Koska AB = I m, saadaan ( ) ( ) A1 B (1) 1 A 1 B 2 In 0 =. A 2 B 1 A 2 B 2 0 I m n A 2

15 1.5 Vapaan modulin aste 14 Erityisesti siis (2) A 1 B 1 = I n. Tästä seuraa edellisen huomautuksen nojalla, että A 1 1 = B 1. Yhtälö (1) antaa A 2 B 2 = I, A 2 B 1 = 0. Kun kerrotaan jälkimmäinen yhtälö oikealta A 1 :llä, saadaan tulos A 2 = 0. Tämä on ristiriidassa edellisen yhtälön kanssa. Määritelmä. Vapaan R-modulin M (missä R kommutatiivinen) kanta-alkioiden lukumäärää sanotaan M:n asteeksi (rank). Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli ja F sen kiinnitetty kanta, niin R-homomorfismit ϕ : M M vastaavat bijektiivisesti matriiseja A M n (R) kuten lineaarialgebrassa. Kannanvaihdossa F F, jonka matriisi on P, matriisi A muuttuu matriisiksi P 1 AP. Lause 1.5. Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli, niin M R n. Todistus. Olkoon {x 1,..., x n } M:n kanta ja {e 1,..., e n } R n :n luonnollinen kanta. Ehdon f(x i ) = e i (i = 1,..., n) määrittelemä R-homomorfismi M R n (ks. lausetta 1.2) on bijektio, siis R-isomorfismi. Esimerkki Vapaata Z-modulia sanotaan vapaaksi Abelin ryhmäksi; nämä ovat siis muotoa Z n, n 0 (isomorfiaa vaille). Ryhmän (Q, ) aliryhmä kanta esimerkiksi {2, 3}. 2, 3 = { 2 h 3 k h, k Z } Z 2, Jos erityisesti R on PID, lause 1.5 on äärellisesti generoitujen R-modulien rakennelauseen (luku 7) pieni osatulos. Vertaa myös esimerkkiin pykälässä 1.4. Seuraava lause, jota myös tarvitaan luvussa 7, antaa keinon hallita vapaan modulin kaikki kannat. Lause 1.6. Olkoon M vapaa n-asteinen R-moduli ja E = {e 1,..., e n } jokin sen kanta. Merkitään f 1 = a 11 e 1 + a 21 e a n1 e n f n = a 1n e 1 + a 2n e a nn e n, missä a ij R säännöllinen. i, j. Joukko F = {f 1,..., f n } on M:n kanta sjvsk matriisi A = ( a ij ) on

16 1.5 Vapaan modulin aste 15 Todistus. Jos F on M:n kanta, niin A on kannanvaihdon E F matriisi ja siis säännöllinen. Oletetaan kääntäen, että A on säännöllinen. Kirjoitetaan lauseen yhtälöryhmä matriisimuodossa f 1. f n = A T missä pystyriveinä kirjoitetut matriisit voidaan ajatella lohkomuodossa esitetyiksi n n- matriiseiksi, lohkoina vaakarivit f i ja e j (kukin vaakarivi muodostuu kyseisen M:n alkion kantaesityksen kertoimista, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta). Kun merkitään A 1 = B, edellisestä yhtälöstä seuraa e 1 e n e 1. e n f 1. = B T. Täten e j F j ja siis E F. Mutta E = M, ja näin ollen joukko F virittää M:n. Joukon F lineaarisen riippumattomuuden todistamiseksi olkoon n i=1 c if i = 0 eli matriisimuodossa ( ) ( ) T c 1... c n f1... f n = 0. Oletuksen mukaan tästä seuraa f n,. ( c1... c n ) A T ( e 1... e n ) T = 0. Kun merkitään ( c 1... c n ) A T = ( d 1... d n ), päätellään tästä edelleen joukon E lineaarisen riippumattomuuden nojalla, että d 1 = = d n = 0. Siis ( c1... c n ) A T = ( ). Kertomalla tämä yhtälö oikealta B T :llä saadaan tulos c 1 = = c n = 0.

17 2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 16 2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD Määritelmä. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja olkoot a, b R. Sanotaan, että b jakaa a:n tai a on jaollinen b:llä, merkitään b a, jos c R : a = bc. (Tällöin merkitään joskus myös c = a b.) Muista, että u R on R:n yksikkö, jos u:lla on R:ssä käänteisalkio, ts. v R : uv = 1 (v = u 1 ). Kaikki renkaan R yksiköt muodostavat ryhmän kertolaskun suhteen. Ellei erikseen toisin mainita, seuraavassa R = D = kokonaisalue, ts. kommutatiivinen rengas, jossa ei ole nollanjakajia. Tällöin erityisesti supistamissääntö pätee. (Eräät yksinkertaiset tulokset alla ovat voimassa myös yleisemmin kommutatiivisissa renkaissa.) Jaollisuusrelaation ominaisuuksia: 1) a a, 1 a, a 0 a D, 2) 0 a = a = 0, 3) c b, b a = c a, 4) c a, c b = c (a + b). Määritelmä. Alkioita a, b D sanotaan liitännäisiksi (associated), jos a b ja b a. Liitännäisyys on ekvivalenssirelaatio; seuraavassa siitä käytetään merkintää. Kokonaisalueelle D saadaan näin partitio liitännäisalkioiden luokkiin. Huomautus 2.1. (i) u on yksikkö u 1 u 1. (ii) a 0 = a = 0. Lause 2.1. a b a = bu, missä u on yksikkö. Todistus. ( = ) Jos a = bu, missä u on yksikkö, niin voidaan myös kirjoittaa b = au 1. Edellisestä yhtälöstä seuraa b a, jälkimmäisestä a b. ( = ) Jos a = 0, niin b = 0 ja voidaan siis valita u = 1. Olkoon a 0. Ehdoista a b, b a seuraa, että a = bu, b = av, missä u, v D. Näistä saadaan, että a = avu, siis (huomaa oletus) 1 = vu. Täten u on yksikkö. Esimerkki (i) D = Z: yksiköt ±1; siis a b a = ±b. (ii) D = kunta K: yksiköt = kaikki alkiot 0; siis a b a, b K {0}. (iii) D = K[x], polynomirengas yli kunnan K: yksiköt = vakiopolynomit 0; siis f(x) g(x) f(x) = a g(x), a K {0}.

18 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD 17 Määritelmä. Alkiota a D sanotaan jaottomaksi (irreducible) D:ssä, jos 1) a 1 ja 2) a = bc (b, c D) = b 1 tai c 1. Esimerkki (i) Renkaan Z jaottomat alkiot = jaottomat luvut eli alkuluvut 2, 3, 5, 7, 11,... ja näiden vastaluvut. (ii) Kunnassa ei ole jaottomia alkioita. (iii) Polynomirenkaan K[x] (K kunta) jaottomat alkiot = jaottomat polynomit. Esimerkki Näytetään, että jaottoman alkion liitännäisalkiot ovat samoin jaottomia. Määritelmä. Kokonaisaluetta D sanotaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueeksi (unique factorization domain, lyh. UFD), jos se täyttää seuraavat ehdot: 1) jokainen D:n alkio c 0, c 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, 2) jos kaksi tällaista esitystä ovat c = a 1 a 2 a r = b 1 b 2 b s (a i, b j jaottomia), niin r = s ja, kun b j :t on numeroitu sopivasti, a i b i (i = 1,..., s). Esimerkki (i) Rengas Z on UFD (aritmetiikan peruslause). Huomaa, että esimerkiksi 6 = 2 3 = ( 2)( 3). (ii) Kunta K on triviaalisti UFD (ehdot 1) ja 2) tyhjiä). (iii) Myöhemmin todistetaan, että K[x] on UFD. Jos D on UFD, valitaan D:stä sellainen jaottomien alkioiden joukko P, että jokainen D:n jaoton alkio on liitännäinen tarkalleen yhden P:n alkion kanssa. Esimerkiksi Z:ssa voidaan valita P = P = {2, 3, 5,... }. Silloin jokainen c D {0} voidaan esittää yksikäsitteisesti (lukuunottamatta jaottomien alkioiden järjestystä) muodossa c = up α 1 1 p αr r (r 0, α i > 0 i), missä u 1 ja p i :t ovat P:n erisuuria alkioita. Joskus on mukava kirjoittaa tämä esitys muotoon c = u { p α αi 0 i, i i α i > 0 vain äärellisen monella i:llä, p i P missä p i käy läpi koko P:n.

19 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD 18 Esimerkki Tutkitaan jaollisuutta joukossa Z[ n ] = { a + b n a, b Z } (n Z), joka on C:n alirengas ja siis kokonaisalue. Oletetaan, että n on neliövapaa, ts. n 0, 1 ja p P : p 2 n. Luvun α = a + b n Z[ n ] liittoluvuksi sanotaan lukua α = a b n Z[ n ] (= α:n liittokompleksiluku, jos n < 0). Suoralla laskulla todetaan, että Määritellään luvun α normi Huomaa, että N(α) Z ja α + β = α + β, αβ = α β. N(α) = αα = a 2 nb 2 (= α 2, jos n < 0). N(α) = 0 α = 0 tai α = 0 α = 0; Väite 2.1. N(α) = ±1 α 1. N(αβ) = αβ αβ = ααββ = N(α)N(β). Todistus. ( = ) N(α) = ±1 = αα = ±1 = α 1 = α 1. ( = ) αβ = 1 = N(α)N(β) = 1 = N(α) = ±1. Väite 2.2. N(α) = ±p, p P = α jaoton. (Ei päde kääntäen.) Todistus. Väitteen 2.1 nojalla α 1. Edelleen α = βγ = N(α) = N(β)N(γ) = esim. N(β) = ±1 = β 1 (väite 2.1). Kokonaisalue Z[ n ] ei ole välttämättä UFD. Osoitetaan tämä tapauksessa n = 5. Väite 2.3. Z[ 5] ei ole UFD. Todistus. Näytetään, että luvun 6 hajotelmat 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5) ovat kaksi olennaisesti erilaista hajotelmaa jaottomiin tekijöihin. Väitteestä 2.1 seuraa helposti, että renkaan Z[ 5] yksiköt ovat ±1. Täten mikään em. hajotelmissa esiintyvistä luvuista ei ole yksikkö.

20 2.2 Syt ja pyj 19 Oletetaan, että 2 = αβ, α 1, β 1. Silloin N(α)N(β) = 4, siis N(α) = ±2. Kun merkitään α = a + b 5, on siis a 2 + 5b 2 = ±2. Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua a, b Z. Siis 2 on jaoton. Samoin osoitetaan, että 3 on jaoton ja luvut 1 ± 5 ovat jaottomia. Lopuksi todetaan, että 2 1 ± 5, koska (1 ± 5)/2 ±1. (Vastaavanlainen renkaiden Z[ n ] käsittely positiivisilla n:n arvoilla on paljon vaikeampaa, koska näissä on enemmän itse asiassa äärettömän paljon yksiköitä.) 2.2 Syt ja pyj Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b (ainakin toinen 0) suurin yhteinen tekijä, lyhyesti syt, on sellainen alkio d D, joka täyttää ehdot 1) d a, d b; 2) jos d a, d b, niin d d. Merkintä: d = syt(a, b) (tai lyhyemmin (a, b)). Lause 2.2. Jos syt(a, b) on olemassa, se on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Tarkemmin: jos d = syt(a, b), niin e = syt(a, b) e d. Todistus. ( = ) Jos e = syt(a, b), niin e a, e b. Koska d = syt(a, b), saadaan siis e d. Symmetrian nojalla d e. Siis e d. ( = ) Jos e d, niin e voidaan kirjoittaa d:n tilalle ehdoissa 1) ja 2). Täten e = syt(a, b). Merkintää syt(a, b) käytettäessä on siis oltava varovainen. Seuraavat syt:n ominaisuudet ovat helppoja todistaa: (i) ((a, b), c) (a, (b, c)), (ii) syt(a, b) a a b, (iii) syt(a, 0) a. Kohtaa (i) ja induktiota käyttämällä saadaan määritellyksi n:n alkion a 1,..., a n syt, kun enintään yksi a i = 0. Tämän jälkeen määritellään syt(a 1,..., a n ) aina, kun (a 1,..., a n ) (0,..., 0), vain jättämällä mahdolliset 0:t pois. Siis esimerkiksi Z:ssa syt(6, 0, 30, 15, 0) = syt(6, 30, 15) = 3. Lause 2.2 pätee ilmeisesti myös useamman alkion syt:n tapauksessa; samoin seuraava lause 2.3 yleistyy suoraan tähän tapaukseen.

21 2.3 Eukleideen alue 20 Lause 2.3. Jos D on UFD, syt(a, b) on aina olemassa (kun esimerkiksi a 0). Tarkemmin: kun a 0 ja b 0, sanokaamme (1) a = u niin p i P (2) syt(a, b) p α i i, b = v p i P p i P p β i i (u, v 1), p γ i i, γ i = min(α i, β i ) i. Todistus. Tapauksessa b = 0 ensimmäinen väite seuraa edellisestä kohdasta (iii), tapauksessa b 0 se seuraa jälkimmäisestä väitteestä. Jälkimmäinen väite puolestaan seuraa siitä, että jos d = p i P pδ i i, niin d a sjvsk δ i α i i. Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b pienin yhteinen monikerta (tai jaettava), lyhennettynä pyj, on sellainen alkio m D, joka täyttää ehdot 1) a m, b m; 2) jos a m, b m, niin m m. Merkintä: m = pyj(a, b) (tai lyhyemmin [a, b]). Kuten syt, myös pyj on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Jos UFD:n alkioilla a ja b on hajotelmat (1), niin ilmeisesti (3) pyj(a, b) Koska p i P niin kaavoista (2) ja (3) seuraa, että p µ i i, µ i = max(α i, β i ) i. min(α i, β i ) + max(α i, β i ) = α i + β i, (a, b) [a, b] ab. Tämä kaava voitaisiin todistaa yleisemminkin (olettamatta, että D on UFD). 2.3 Eukleideen alue Miten voidaan todeta, onko annettu kokonaisalue UFD? Seuraavassa eräs menetelmä. Määritelmä. Olkoon D kokonaisalue. Funktiota ϕ : D {0} Z 0 (= {0, 1, 2,... }) sanotaan D:n Eukleideen normiksi, jos se täyttää ehdot

22 2.3 Eukleideen alue 21 E1. ϕ(ab) ϕ(a) a, b 0, E2. a, b D, b 0 q, r D : a = bq + r, ϕ(r) < ϕ(b) tai r = 0 (ks. myös huomautusta 2.4 pykälän lopussa). Jos D:llä on jokin Eukleideen normi, D:tä sanotaan Eukleideen alueeksi. Esimerkki Rengas Z on Eukleideen alue, normina ϕ(a) = a. Esimerkki Polynomirengas K[x] (K kunta) on Eukleideen alue, normina ϕ(p(x)) = deg p(x). Ehtoa E2 voidaan nimittää lyhyesti jakoalgoritmiksi. On kuitenkin huomattava, ettei välttämättä ole olemassa menetelmää, jolla alkiot q ja r löydetään. Lause 2.4. Eukleideen alueessa D on jokaisella alkioparilla a, b (ainakin toinen 0) syt, lisäksi u, v D : syt(a, b) au + bv. Todistus. Jos esimerkiksi b = 0, niin syt(a, b) a = a Olkoot a, b 0. Ehdon E2 nojalla D:ssä on sellaiset alkiot q 1, r 1, q 2, r 2,..., että a = bq 1 + r 1, ϕ(r 1 ) < ϕ(b), b = r 1 q 2 + r 2, ϕ(r 2 ) < ϕ(r 1 ), r n 2 = r n 1 q n + r n, ϕ(r n ) < ϕ(r n 1 ), r n 1 = r n q n+1, r n+1 = 0. Yhtälöketju ( Eukleideen algoritmi ) päättyy, koska ϕ(b) > ϕ(r 1 ) > ϕ(r 2 ) >... on aidosti vähenevä jono kokonaislukuja 0; lopuksi saadaan siis r n+1 = 0. Ensimmäisen yhtälön nojalla r 1 = au + bv (u = 1, v = q 1 ); tästä ja toisesta yhtälöstä seuraa, että r 2 on samaa muotoa. Jatkamalla samoin saadaan (1) r n = au + bv (u, v D). Yhtälöketjun viimeisen yhtälön nojalla r n r n 1, siis viimeistä edellisen yhtälön nojalla r n r n 2. Jatkamalla näin saadaan r n a, r n b. Jos d a, d b, niin (1):n mukaan d r n. Täten r n syt(a, b) ja lause on todistettu. Lemma 2.1. Olkoon D kokonaisalue ja p D {0}, p 1. Jos p täyttää ehdon (2) p ab (a, b D) = p a tai p b, niin p on D:n jaoton alkio.

23 2.3 Eukleideen alue 22 Todistus. Nyt p = ab = p ab = p a tai p b, voidaan olettaa p a = a = pc = abc (c D) = bc = 1 = b 1. Siis p on jaoton. Määritelmä. Ehdon (2) täyttävää jaotonta alkiota sanotaan vahvaksi jaottomaksi alkioksi (kirjallisuudessa myös alkualkioksi, engl. prime element). Esimerkki Renkaan Z kaikki jaottomat alkiot (eli ±alkuluvut) ovat vahvoja. Esimerkki Renkaan Z[ 5] = { a + b 5 a, b Z } alkio 3 on jaoton ( 2.1, esimerkki 2.1.5), mutta ei vahva jaoton, sillä 3 (1 + 5)(1 5), 3 (1 ± 5). Lause 2.5. Kokonaisalue D on UFD D täyttää ehdot (i) jokainen alkio c D {0}, c 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, (ii) jokainen D:n jaoton alkio on vahva jaoton. Todistus. ( = ) (i) on sama kuin UFD:n määritelmän ehto 1). Todistetaan (ii). Oletetaan, että p ab. Koska D on UFD, voidaan kirjoittaa a = u p i P p α i i, b = v p i P p β i i (u, v 1). Olkoon esimerkiksi p = p 1. Koska p 1 ab, niin α 1 + β 1 1. Silloin α 1 1 tai β 1 1, toisin sanoen p 1 a tai p 1 b. ( = ) On todistettava, etä (ii):stä seuraa alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys. Todistus on aivan samanlainen kuin aritmetiikan peruslauseen todistus (jossa on kyse samasta väitteestä tapauksessa D = Z). Lemma 2.2. Oletetaan, että D on Eukleideen alue ja a, b D {0}. Jos a b mutta b a (eli a on b:n aito tekijä), niin ϕ(a) < ϕ(b). Todistus. Tehdään vastaoletus: ϕ(a) ϕ(b). Koska a b, niin b = ac, c D. Soveltamalla jakoalgoritmia (E2) saadaan a = bq + r = acq + r, ϕ(r) < ϕ(b) (huom. r 0, koska b a). Nyt r = a acq = a(1 cq), joten ristiriita! Lause 2.6. Eukleideen alue on UFD. ϕ(r) E1 ϕ(a) vo ϕ(b);

24 2.3 Eukleideen alue 23 Todistus. Todistetaan, että Eukleideen alue D täyttää lauseen 2.5 ehdot (ii) ja (i). Oletetaan, että p on jaoton, p ab, p a. Nyt syt(a, p) 1, siis 1 = au + pv, missä u, v D (ks. lausetta 2.4). Tämä antaa b = abu + pbv. Koska p ab, niin p (abu + pbv), siis p b. Täten p on vahva jaoton. Olkoon a D, a 0. Oletetaan, että (3) a = a 1 a 2 a k, a i 1 i. Lemman 2.2 nojalla ϕ(a) > ϕ(a 2 a 3 a k ) > ϕ(a 3 a k ) > > ϕ(a k ) > ϕ(1) ( 0), joten ϕ(a) k. Esityksessä (3) on siis tekijöiden määrä rajoitettu. Täten on olemassa sellainen esitys (3), jossa tekijöiden määrä on maksimaalinen, ja silloin a 1,..., a k ovat jaottomia. Seuraus Eukleideen alueessa D jokaisella alkioparilla on pyj. Todistus. UFD:ssä on pyj(a, b) = ab syt(a, b) (kun (a, b) (0, 0)). Seuraus Jos K on kunta, niin polynomirengas K[x] on UFD. Tämä tulos on tärkeä seuraavissa luvuissa, joissa polynomit yli kunnan muodostavat keskeisen apuneuvon. Huomautus 2.2. Eukleideen alue on myös PID (pääihannealue). Tämä todistetaan jakoalgoritmin (E2) avulla samoin kuin Z:lla ja K[x]:llä (ks. algebran peruskurssia). Huomautus 2.3. Voidaan todistaa lausetta 2.6 yleisempi tulos: jokainen PID on UFD. Huomautus 2.4. Edelliset huomautukset antavat toisen todistuksen sille, että Eukleideen alue on UFD. Tässä todistuksessa ei tarvita Eukleideen normin ehtoa E1. Koska ehtoa E1 ei tarvita myöskään lauseen 2.4 todistuksessa, Eukleideen normi voitaisiin määritellä yksinomaan ehdolla E2. Toisaalta ehto E1 on yleensä automaattisesti täytetty niissä tapauksissa, jotka ovat teorian kannalta kiinnostavia.

25 3 POLYNOMIT 24 3 POLYNOMIT 3.1 Polynomin nollakohdat Polynomirengas R[x] on määritelty, olipa R mikä hyvänsä rengas. Seuraavassa renkaasta R oletetaan kuitenkin vähintään, että se on kommutatiivinen. Jos f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x] ja c R, merkitään tavalliseen tapaan f(c) = a 0 + a 1 c + + a n c n. Kuvaus R[x] R, f(x) f(c), missä siis c R on kiinteä, on rengashomomorfismi, ts. a(x) = f(x) + g(x) = a(c) = f(c) + g(c), b(x) = f(x)g(x) = b(c) = f(c)g(c) (ja f(x) = 1 = f(c) = 1). Tästä seuraa, että jokainen R[x]:n polynomien välinen yhtälö pysyy voimassa, kun x:n paikalle sijoitetaan mikä tahansa c R (sijoitusperiaate). Jos f(c) = 0, alkiota c sanotaan polynomin f(x) nollakohdaksi tai yhtälön f(x) = 0 juureksi. Muista, että nollapolynomin asteeksi on sovittu. Lause 3.1 (Yleinen jakoalgoritmi). Jos a(x), b(x) R[x] ja b(x) on pääpolynomi, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset polynomit q(x), r(x) R[x], että a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). Todistus. Ks. algebran peruskurssia, jossa sama on todistettu tapauksessa R = K = kunta heikommalla oletuksella b(x) 0. Huomaa, että nytkin b(x):n johtavalla kertoimella (= 1) on käänteisalkio. Lisäksi yksikäsitteisyystodistuksessa tarvittava tulopolynomin astelukukaava (aste = tekijöiden asteiden summa) pätee, koska toinen tekijä on pääpolynomi b(x). Huomautus 3.1. Yleisemmin jos b(x):n johtava kerroin (= b m ) on R:n yksikkö, niin b(x) = b m b(x), missä b(x) on pääpolynomi R[x]. Jakoalgoritmi soveltuu myös tällöin: a(x) = q(x) b(x) + r(x) = ( b 1 m q(x) ) b(x) + r(x). Lause 3.2 (Jäännöslause). Jos c R ja f(x) R[x], niin g(x) R[x] : f(x) = (x c)g(x) + f(c). Lisäksi f(c) = 0 (x c) f(x).

26 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 25 Todistus. Lause 3.1 antaa f(x) = (x c)g(x) + r(x), missä deg r(x) < 1, siis r(x) = r R. Sijoittamalla x = c saadaan f(c) = 0 + r, siis r = f(c). Nyt ( = ) seuraa edellisestä. ( = ) : (x c) f(x) = f(x) = (x c)f 1 (x) = f(c) = 0 (sij. x = c). Lause 3.3. Olkoon D kokonaisalue ja f(x) D[x]. Jos c 1,..., c k ovat f(x):n eri nollakohtia, niin (x c 1 )(x c 2 ) (x c k ) f(x). Todistus. Induktiolla k:n suhteen. 1) k = 1: lause ) Induktio-oletuksen nojalla f(x) = (x c 2 ) (x c k )g(x), g(x) D[x]. Sijoitetaan x = c 1 : 0 = (c 1 c 2 ) (c 1 c k )g(c 1 ) = g(c 1 ) = 0 (koska ei nollanjakajia) = g(x) = (x c 1 )h(x), h(x) D[x] = f(x) = (x c 1 )(x c 2 ) (x c k )h(x). Seuraus Jos f(x) D[x], f(x) 0, ja deg f(x) = n, niin f(x):llä on D:ssä enintään n eri nollakohtaa. Todistus. Lauseen 3.3 merkinnöin k = deg ( (x c 1 ) (x c k ) ) deg f(x) = n. Seuraus Jos f(x), g(x) D[x] ovat enintään astetta n ja f(c i ) = g(c i ) (i = 1,..., n + 1), missä c 1,..., c n+1 ovat D:n eri alkioita, niin f = g. Todistus. Polynomi f(x) g(x) on enintään astetta n ja sillä on n + 1 eri nollakohtaa c i. Seurauslauseen nojalla f(x) g(x) = 0. Huomautus 3.2. Tämän seurauslauseen mukaan siis n + 1 yhtälöä f(c i ) = t i, missä c 1,..., c n+1 ovat D:n eri alkioita, määrittävät n-asteisen polynomin f yksikäsitteisesti. Jos erityisesti D = K = kunta, voidaan helposti osoittaa, että tällainen polynomi f on aina olemassa (sen antaa klassinen Lagrangen interpolointikaava). 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri Olkoon K kunta. Luvussa 2 todistettiin, että K[x] on UFD. Jokainen K[x]:n polynomi vakio (muista, että vakiot 0 ovat K[x]:n yksiköt) voidaan siis esittää olennaisesti yksikäsitteisellä tavalla jaottomien polynomien tulona: (1) f(x) = p 1 (x) p r (x) (p i (x) jaoton K[x] i).

27 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 26 Probleema: Mitkä ovat K[x]:n jaottomat polynomit? Triviaalisti jaottomia polynomeja ovat ainakin kaikki 1. asteen (eli lineaariset) polynomit. Lauseesta 3.2 seuraa, että 2. tai 3. asteen polynomi on jaoton sjvsk sillä ei ole nollakohtia (vrt. algebran peruskurssiin). Jos kunta K on äärellinen, jaottomat polynomit löydetään periaatteessa kokeilemalla. Lause 3.4. Jos K on kunta, niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) Polynomirenkaassa K[x] jaottomat polynomit = lineaariset polynomit. (ii) Jokaisella K[x]:n polynomilla vakio on nollakohta K:ssa. Todistus. (i) = (ii) Oletuksen mukaan polynomilla f(x) vakio on hajotelma f(x) = (a 1 x + b 1 ) (a r x + b r ) (r 1; a i 0 i). Silloin f( b 1 /a 1 ) = 0. (ii) = (i) Olkoon p(x) K[x] jaoton. Oletuksen mukaan sillä on nollakohta c K, joten p(x) = (x c)q(x), q(x) K[x]. Tässä q(x) on vakio, q(x) = q, koska p(x) on jaoton. Siis p(x) on lineaarinen, p(x) = q (x c). Määritelmä. Kuntaa K sanotaan algebrallisesti suljetuksi, jos se täyttää lauseen 3.4 ehdot. Esimerkiksi C on algebrallisesti suljettu (algebran peruslause). Voidaan osoittaa, että jokaisella kunnalla K on laajennus L (K L), joka on algebrallisesti suljettu. Suppeinta tällaista L:ää sanotaan K:n algebralliseksi sulkeumaksi. Esimerkiksi C on R:n algebrallinen sulkeuma. (Tästä enemmän luvussa 4.) Polynomia f(x) K[x] tarkasteltaessa on usein hyödyllistä ajatella sitä ensin L[x]:ssä, missä L on algebrallisesti suljettu K:n laajennus. Esimerkki Tapauksessa K = R jaottomat polynomit ovat 1 lineaariset polynomit ja 2 polynomit ax 2 + bx + c, missä b 2 4ac < 0. Tämä nähdään hajottamalla polynomi f(x) R[x] ensin C[x]:ssä muotoon f(x) = a n (x c i ) (a R, c i C i). i=1 Jos c i / R, myös liittoluku c i esiintyy nollakohtana (koska f(c i ) = f(c i ) = 0 = 0); tällöin (x c i )(x c i ) = x 2 + tx + u R[x], diskr. < 0.

28 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 27 Seuraavassa tutkitaan polynomin tekijöihinjakoa Q[x]:ssä. Jos f(x) Q[x], niin kertomalla sopivalla vakiolla (siis Q[x]:n yksiköllä) saadaan polynomi Z[x]. Tutkitaan ensin näitä. Oletetaan yleisemmin, että polynomit D[x], missä D on UFD. Polynomia f(x) D[x] \ D sanotaan seuraavassa jaottomaksi, jos f(x) = g(x)h(x) = g(x) tai h(x) on vakio. Tämä ei ole edellisessä luvussa esitetyn yleisen teorian mukainen D[x]:n jaottoman alkion määritelmä, koska kaikki vakiopolynomit eivät välttämättä ole D[x]:n yksiköitä. (Itse asiassa D[x] = D, joten siis D[x] = D \ {0} sjvsk D = K = kunta.) Määritelmä. Polynomia f(x) D[x], missä D on UFD, sanotaan primitiiviseksi, jos f(x):n kertoimien syt 1. Esimerkki Polynomi 2x 2 + 3x 4 Z[x] on primitiivinen, 2x 2 + 6x 4 ei ole. Lause 3.5 (Gaussin lemma). Kahden primitiivisen polynomin (yli UFD:n) tulo on primitiivinen. Todistus. Olkoot f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ja g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m primitiivisiä. Vastaoletus: f(x)g(x) ei ole primitiivinen, siis (2) f(x)g(x) = πh(x), π D:n jaoton alkio. Oletetaan, että π a r, π b s, r ja s minimaalisia. Tällaiset a r ja b s ovat olemassa, koska f, g primitiivisiä. Nyt tulossa f(x)g(x) termin x r+s kerroin on a 0 b r+s + + a r 1 b s+1 + a r b s + a r+1 b s a r+s b 0, siis π:llä jaoton. Toisaalta se on (2):n nojalla π:llä jaollinen; ristiriita! Jokainen polynomi f(x) D[x] (missä D on UFD) voidaan kirjoittaa muotoon (3) f(x) = δf 1 (x) { δ = f(x):n kertoimien syt ( D), f 1 (x) primitiivinen. Alkio δ D (polynomin f(x) sisältö) on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Lause 3.6. Jos f(x) Z[x] Z on jaoton, niin f(x) on jaoton myös Q[x]:ssä. Todistus. Vastaoletus: f(x) = g(x)h(x), g, h Q[x] Q. Poistetaan nimittäjät: af(x) = g 1 (x)h 1 (x), a Z, g 1, h 1 Z[x] Z.

29 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 28 Kirjoitetaan polynomit muotoon (3): abf 1 (x) = c 1 d 1 g 2 (x)h 2 (x) { a, b, c1, d 1 Z, f 1, g 2, h 2 primit. Z[x] Z. Gaussin lemmasta seuraa, että ab = ±c 1 d 1 ja siis f 1 (x) = ±g 2 (x)h 2 (x). Tällöin f(x) = bf 1 (x) = ±bg 2 (x)h 2 (x). Tämä on ristiriita, koska f on jaoton Z[x]:ssä. Huomautus 3.3. Lausetta 3.6 käytetään usein seuraavassa muodossa: Jos polynomi f(x) Z[x] \ Z hajoaa tuloksi g(x)h(x) yli kunnan Q (tekijät astetta n, m > 0), niin f(x) hajoaa myös yli Z:n tekijöihin ja nämä ovat g(x) ja h(x) kerrottuna vakioilla. Huomautus 3.4. Polynomin f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x] lineaariset tekijät Q[x]:ssä löydetään tunnetulla tavalla: jos ( ( x s) r f(x) eli f r s) = 0 (r, s Z), niin s an ja r a 0 (tai r = 0). Polynomin f(x) Z[x] jaottomuus voidaan monissa tärkeissä tapauksissa todistaa seuraavalla kriteerillä. Lause 3.7 (Eisenstein). Polynomi f(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n Z[x] on jaoton Q[x]:ssä, jos on olemassa sellainen alkuluku p, että 1) p a n, 2) p a i (i = 0,..., n 1), 3) p 2 a 0. Todistus. Vastaoletus: f ei ole jaoton Q[x]:ssä. Silloin f ei ole jaoton myöskään Z[x]:ssä (lause 3.6), joten f = gh, { g(x) = b0 + b 1 x + + b r x r Z[x], deg g(x) = r > 0, h(x) = c 0 + c 1 x + + c s x s Z[x], deg h(x) = s > 0. Erityisesti b 0 c 0 = a 0, joka on oletuksen mukaan jaollinen p:llä mutta ei p 2 :lla. Voidaan olettaa, että esimerkiksi p b 0, p c 0 (tarvittaessa vaihdetaan g ja h). Samoin oletuksen mukaan b r c s = a n on jaoton p:llä. Siis p b r, p c s. Olkoon b i polynomin g(x) ensimmäinen p :llä jaoton kerroin, jolloin edellisen mukaan 1 i r < n. Nyt a i = b i c 0 + b i 1 c b 0 c i. Redusoidaan mod p : Toisaalta p b i, p c 0 ; ristiriita! 0 b i c (mod p).

30 3.3 Polynomin derivaatta 29 Esimerkki Polynomi f(x) = x n p on jaoton p P (n = 1, 2,... ). Täten Q[x] sisältää mielivaltaisen korkeaa positiivista astetta olevia jaottomia polynomeja. Esimerkki Olkoon f(x) = x 3 4. Kun merkitään y = x 1, saadaan f(x) = (y + 1) 3 4 = y 3 + 3y 2 + 3y 3 merk. = g(y). Tämä on jaoton Q[y]:ssä Eisensteinin kriteerin nojalla (p = 3). Siis myös f(x) on jaoton Q[x]:ssä, sillä f(x):n tekijöihinjaosta seuraisi tekijöihinjako myös g(y):lle. Huomautus 3.5. Lauseet 3.6 ja 3.7 yleistyvät suoraan tapaukseen, jossa Z:n tilalla on UFD D, p:n tilalla D:n jaoton alkio ja Q:n tilalla kokonaisalueen D osamääräkunta K. 3.3 Polynomin derivaatta Määritelmä. Polynomin f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x] (muodollinen) derivaatta Käytetään myös merkintää f (x) = Df(x). Derivaatta noudattaa sääntöjä f (x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1 R[x]. (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg, kuten nähdään määritelmästä suoralla laskulla (tai voidaan päätellä analyysin derivointikaavoista). Määritelmä. Jos f(x) K[x], α K ja (1) f(x) = (x α) m g(x), g(x) K[x], g(α) 0, niin α on polynomin f(x) kertalukua m oleva nollakohta. Tarkastellaan polynomia f(x) K[x], missä K on kunta. Oletetaan, että K F = algebrallisesti suljettu kunta. Silloin f(x) hajoaa F [x]:ssä lineaarisiin tekijöihin: f(x) = c(x α 1 ) m1 (x α r ) mr, missä α 1,..., α r ovat F :n eri alkioita. Kunkin nollakohdan α i kertaluku on m i (i = 1,..., r). Huomaa, että koska F [x] on UFD, nollakohdan kertaluku ei riipu siitä, missä kunnassa sitä tarkastellaan (kunhan nollakohta vain kuuluu kyseiseen kuntaan). Lause 3.8. Olkoon f(x) K[x] ja F kuten yllä. Silloin alkio α F on f(x):n useankertainen nollakohta sjvsk f(α) = f (α) = 0.

31 3.3 Polynomin derivaatta 30 Todistus. Jos α on useankertainen nollakohta, niin (x α) 2 f(x), siis f(x) = (x α) 2 g(x) (F [x]:ssä). Derivoidaan: f (x) = 2(x α)g(x) + (x α) 2 g (x). Sijoittamalla tähän x = α saadaan f (α) = 0. Kääntäen: Jakoalgoritmi antaa f(x) = (x α) 2 q(x) + r(x), r(x) lineaarinen tai vakio. Oletuksesta f(α) = f (α) = 0 seuraa r(α) = r (α) = 0. Kun merkitään r(x) = ax + b, on siis aα + b = 0 ja a = 0. Näistä seuraa a = b = 0, siis r(x) = 0. Täten (x α) 2 f(x). Seuraus Alkio α F on polynomin f(x) K[x] useankertainen nollakohta sjvsk syt ( f(x), f (x) ) on jaollinen (x α):lla (polynomirenkaassa F [x]). Siis f(x):n nollakohdat ovat yksinkertaiset sjvsk syt ( f(x), f (x) ) 1. On tärkeää, että syt ( f(x), f (x) ) voidaan määrittää Eukleideen algoritmilla polynomirenkaassa K[x]. Useankertaisten nollakohtien olemassaolo saadaan siis selvitetyksi siirtymättä K:n laajennuskuntiin. Huomaa, että jos syt(f(x), f (x)) 1, niin tämä syt hajoaa lineaarisiin tekijöihin F [x]:ssä. Esimerkki Tutkitaan, onko polynomilla f(x) = x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 4x 2 + x + 2 useankertaisia nollakohtia kunnassa Q tai C. Hajotetaan f(x) jaottomiin tekijöihin Q[x]:ssä ja C[x]:ssä. Luetellaan nyt polynomin f(x) nollakohdat F jonona α 1,..., α n, jossa jokainen α i esiintyy niin monta kertaa kuin sen kertaluku osoittaa. Seurauslauseen nojalla syt ( f(x), f (x) ) 1 merk. = i<j (α i α j ) 2 = 0. Lukua sanotaan polynomin f(x) diskriminantiksi. Voidaan osoittaa, että K ja saadaan lasketuksi polynomin kertoimista. Esimerkki Tapauksessa f(x) = x 2 + ax + b = (x α 1 )(x α 2 ) on α 1 + α 2 = a ja α 1 α 2 = b, joten = (α 1 α 2 ) 2 = a 2 4b. Diskriminantti saadaan myös kaavasta = f (α 1 )f (α 2 ). Yleistys: Jos f(x) = (x α 1 ) (x α n ), niin = ±f (α 1 ) f (α n ) (harj.). Lause 3.9 (Taylorin kaava). Olkoon K kunta, jonka karakteristika = 0. Jos f(x) K[x], deg f(x) = n ja α K, niin f(x) = f(α) + f (α) 1! (x α) + f (α) 2! (x α) f (n) (α) (x α) n. n!

32 3.3 Polynomin derivaatta 31 Todistus. Merkitään y = x α, jolloin f(x) = f(y + α) = n a i (y + α) i = i=0 n b i y i = i=0 n b i (x α) i. i=0 Derivoimalla j kertaa saadaan f (j) (x) = n i(i 1) (i j + 1)b i (x α) i j i=j (j = 0,..., n). Sijoitetaan x = α: f (j) (α) = j!b j Koska char(k) = 0, yhtälö voidaan jakaa j!:lla. Tulokseksi saadaan b j = f (j) (α)/j!. Seuraus Jos char(k) = 0, niin alkio α K on polynomin f(x) K[x] m-kertainen nollakohta sjvsk f(α) = f (α) = = f (m 1) (α) = 0, f (m) (α) 0. Tästä seuraa erikoistapauksena uudestaan lause 3.8 (ehdolla, että char(k) = 0).

33 4 KUNTALAAJENNUKSET 32 4 KUNTALAAJENNUKSET 4.1 Kuntalaajennuksen aste Oletetaan, että K ja L ovat kuntia, K L, ts. L on kunnan K laajennus(kunta). Tällöin sanotaan, että L on (kunta)laajennus yli K:n, merkitään L/K. Koska K ja L ovat myös renkaita, niin tällöin L (tarkemmin (L, +)) on K-moduli ja siis vektoriavaruus yli kunnan K. Huomaa, että skalaarilla kertominen tarkoittaa tavallista kertolaskua kunnassa L: au = tulo kunnassa L a K, u L. Merkitään tämän vektoriavaruuden dimensiota dim K L:llä. Määritelmä. Kuntalaajennuksen L/K aste [L : K] = dim K L. Kuntalaajennusta sanotaan äärelliseksi tai äärettömäksi sen mukaan, onko sen aste < vai =. Vektoriavaruuksien teoriasta seuraa, että [L : K] = n < L:llä on kanta {u 1,..., u n } K:n yli jokaisella alkiolla u L on yksikäsitteinen esitys n u = a i u i (a i K i). Esimerkki Näytetään, että [L : K] = 1 L = K. i=1 Esimerkki (i) [C : R] = 2, kanta esim. {1, i}. (ii) [R : Q] = (muuten Q:n numeroituvuudesta seuraisi R:n numeroituvuus, siis ristiriita). (iii) [Q(i) : Q] = 2. Esimerkki Jokaisella kunnalla K on laajennuskuntana polynomirenkaan K[x] osamääräkunta { } f(x) K(x) = f(x), g(x) K[x], g(x) nollapolynomi. g(x) Tätä sanotaan rationaalifunktioiden kunnaksi yli K:n. (Tapauksessa K = R kyseessä ovat tavalliset rationaalifunktiot.) Kunta K itse muodostuu niistä rationaalifunktioista, jotka ovat vakioita. Aste [K(x) : K] =, sillä K(x):ssä on mielivaltaisen monen alkion muodostamia lineaarisesti riippumattomia joukkoja, nimittäin {1, x, x 2,..., x n }, n 0.

34 4.1 Kuntalaajennuksen aste 33 Lause 4.1 (Astelukulause). Olkoon L/K kuntalaajennus ja F K F L. Silloin [L : K] = [L : F ] [F : K] (jos aste =, se tulkitaan kaavassa luonnollisella tavalla). sen välikunta, ts. Todistus. 1) Olkoon [L : K] = n <, {u 1,..., u n } L:n kanta K:n yli. Koska F on vektoriavaruutena L:n aliavaruus, niin dim K F dim K L eli [F : K] n. Siis [F : K] <. Tarkastellaan L:n alkion u kantaesitystä u = n a i u i, a i K i. i=1 Koska K F, niin a i F i. Täten {u 1,..., u n } generoi vektoriavaruuden L myös F :n yli. Siis [L : F ] n, erityisesti [L : F ] <. L 2) Oletetaan, että [L : F ] = m < ja [F : K] = r <. Olkoon F m K ja näin ollen joukko r {v 1,..., v m } L:n kanta yli F :n, {w 1,..., w r } F :n kanta yli K:n. Jos u L, niin u = m i=1 b iv i, b i F i. Kirjoitetaan b i = r j=1 c ijw j, c ij K i, j. Tämä antaa u = m i=1 r c ij v i w j, j=1 (1) { v i w j 1 i m, 1 j r } generoi L:n yli K:n. 3) Osoitetaan, että (1) on lineaarisesti riippumaton yli K:n; silloin se on L:n kanta ja siis [L : K] = mr. Päättely on seuraava: d ij v i w j = 0 (d ij K) = ( d ij w j )v i = 0 i,j i j = j d ij w j = 0 i (koska v i :t lin. riippumattomia) = d ij = 0 i, j (koska w j :t lin. riippumattomia). Seuraus Jos [L : K] on alkuluku, niin laajennuksella L/K ei ole aitoja välikuntia, ts. K F L = F = K tai F = L.

35 4.2 Yksinkertainen laajennus Yksinkertainen laajennus Palauta mieleen laajennuskunnan generointi: jos L/K on kuntalaajennus ja S L, niin K(S) = joukon S generoima K:n laajennuskunta L:ssä. Sanotaan myös, että K(S) saadaan liittämällä (adjungoimalla) kuntaan K joukon S alkiot. Yksinkertaisia esimerkkejä tapauksessa L = R: L Q( 2) = { a + b 2 a, b Q }, Q( 3 2) = { a + b c 3 4 a, b, c Q } (jälkimmäinen perustellaan myöhemmin). K(S) Verrattaessa kunnan K laajennuksia käytetään usein seuraavaa triviaalia tosiasiaa: K(S 1 ) K(S 2 ) S 1 K(S 2 ). Täten esimerkiksi K(α, β) = K(γ), kunhan vain α, β K(γ) ja γ K(α, β). Määritelmä. Kunnan K laajennusta F L sanotaan yksinkertaiseksi, jos ρ L : F = K(ρ). Ilmeisesti K(ρ, τ) = (K(ρ))(τ), ja vastaava pätee yleisesti, kun joukko S vain on äärellinen. Äärellisesti generoitu kuntalaajennus voidaan siis muodostaa peräkkäisistä yksinkertaisista laajennuksista. Seuraavassa tutkitaan, mitkä alkiot (L:ssä) muodostavat yksinkertaisen laajennuksen K(ρ). Lemma 4.1. Olkoon L/K kuntalaajennus ja ρ L. Kunnan L osajoukko on L:n alirengas ja siis kokonaisalue. Todistus. Suoraan alirengaskriteeristä. K[ρ] = { f(ρ) f(x) K[x] } Huomautus 4.1. Lemma 4.1 pätee myös, jos K:n tilalla on mikä tahansa (kommutatiivinen) rengas R ( L). Esimerkki Näytetään, että Z[ n ] = { a + b n a, b Z } (n neliövapaa). Tätä joukkoahan on merkitty Z[ n ]:llä aikaisemminkin. Esimerkki Rengas Q[ n ] = { a + b n a, b Q } (n neliövapaa). Perustelu aivan samoin kuin esimerkissä Tässä siis Q( n) = Q[ n ]. Tämä on erikoistapaus tuloksesta, joka on alla lauseessa 4.2. S K

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K, 1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista PRO GRADU -TUTKIELMA Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2015 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ojansivu,

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa

Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88

1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88 Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois

Lisätiedot

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field...

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field... Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Algebralliset luvut.......................... 4 2 Perusteita 5 3 Renkaat ja kunnat 6 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain................... 7 3.2 Kunta, Field.............................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain...

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain... Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-9 3 Renkaat ja kunnat 0-11 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field.................. 0-13 4 Jaollisuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot