Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Transkriptio

1

2 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki, onko joukko {a 9 a K} kunnan K alikunta. Noh, onhan se. Käytetään alikuntakriteeriä: AK1. F :ssä pitää siis olla vähintään kaksi alkiota. Huomataan, että 1 9 {a 9 a K} ja 0 9 {a 9 a K}. Huom.! Tapaus 0 = 1 ei voi tulla kyseeseen, koska silloin olisi = 1, eli = 0, jolloin karakteristika olisikin 2. AK2. Olkoon a 9, b 9 {a 9 a K} mielivaltaisia K:n alkioita. Nyt sivun 116 esimerkin kahdeksan nojalla (a b) 3 = (a + ( b)) 3 = a 3 + ( b) 3 = a 3 b 3, joten (a b) 9 = ((a b) 3 ) 3 = (a 3 b 3 ) 3 = a 9 b 9. Koska K on kunta, a b K, joten a 9 b 9 {a 9 a K}. AK3. Olkoon jälleen a 9, b 9 {a 9 a K} mielivaltaisia K:n alkioita. Nyt a 9 /b 9 = a 9 (b 9 ) 1 = a 9 (b 1 ) 9 = (ab 1 ) 9, missä ab 1 K, joten a 9 /b 9 {a 9 a K}. (Vaihtoehtoinen tapa: kuvaus a a p, missä p on kunnan karakteristika, on kirjan mukaan kuntahomomorfismi f : K K. Kirjan lauseiden mukaan kunnan kuva kuntahomomorfismissa on kunta ja viime harjoitusten perusteella karakteristika säilyy homomorfismeissa, eli tehtävän tilanteessa char(f(k)) = 3. Täten kuvaus f : f(k) K on edelleen kuntahomomorfismi, ja sen kuva f(f(k)) = {a 9 a K} täten kunnan kuvana kuntahomomorfismissa kunta. Täten {a 9 a K} K on kunta, kuten haluttiin.) 4. Etsi kaikki seuraavien renkaiden maksimaaliset ideaalit: a) Z 8, b) Z 10, c) Z 12, d) Z n. Ratkaisu: a) Renkaan Z 8 ainut maksimaalinen ideaali on 2. Tämä nähdään siitä, että ryhmän Z 8 kaikki epätriviaalit aliryhmät ovat 2 ja 4, ja nämä ovat kummatkin ryhmän 2 aliryhmiä. (Eli kyseessä on maksimaalinen aliryhmä.) Joukko 2 on myöskin renkaassa Z 8 ideaali, mistä väite seuraa, sillä jokaisen ideaalin tarvitsee olla aliryhmä. b) Renkaan Z 10 maksimaaliset ideaalit ovat 2,. Tämä seuraa taas siitä, että kaikki ryhmän Z 10 epätriviaalit aliryhmät sisältyvät jompaan kumpaan ryhmistä 2, (jotka itse asiassa ovat ainoat epätriviaalit 1

3 2 Algebra I Kesä09 Harj.8 Ratkaisuehdoituksia aliryhmät) (eli kyseessä ovat maksimaaliset aliryhmät ) ja kumpikin näistä on renkaan Z 10 ideaali. c) Renkaan Z 12 maksimaaliset ideaalit ovat 2, 3. Taas kaikki ryhmän Z 12 epätriviaalit aliryhmät sisältyvät jompaan kumpaan aliryhmään 2, 3, (eli kyseessä ovat maksimaaliset aliryhmät ) ja nämä ovat vakaita kertolaskun suhteen, eli renkaan Z 12 ideaaleja. d) Renkaan Z n maksimaaliset ideaalit löydetään tarkastelemalla ensin luvun n alkutekijähajotelmaa n = p s 1 1 p s k k. Renkaan kaikki epätriviaalit ideaalit ovat muotoa p s i i, missä 0 i k. Maksimaaliset ideaalit ovat tällöin muotoa p i. Tämä johtuu siitä, että renkaassa Z n pätee p m i p i kaikilla m 0. Äskeisen voi sanoa myös duaalimaisella tavalla: (Äsken etsittiin tavallaan yksittäisiä pienimpiä epätriviaaleja alkutekijöitä virittäjinä, tässä etsitään suurimpia epätriviaaleja alkutekijöitä alkioiden lukumäärinä.) Ideaalit ovat täsmälleen ne aliryhmät, joiden kertaluku on m siten, että m n, mutta ei ole olemassa lukua k, m < k < n siten, että m k ja k n. Tämä seuraa siitä, että tällöin saamme käsiimme maksimaaliset aliryhmät, eli epätriviaalit aliryhmät joita ei voi laajentaa ilman että niistä tulisi koko ryhmä. Renkaassa Z n kaikki aliryhmän muotoiset esineet ovat aina myös vakaita kertolaskun suhteen, eli ideaaleja. (Kaikissa kohdissa siis käytettiin hyödyksi sitä, että jos löydämme nämä ns. maksimaaliset aliryhmät, niin niihin ei voi lisätä enää yhtään alkiota, ilman että ryhmärakenne pakottaa ne koko ryhmäksi. Kaikki ideaalit ovat ryhmiä renkaassa Z n, joten löytämällä aliryhmät, joita ei voi enää laajentaa, löydämme myös maksimaaliset ideaalit.). Olkoon R = {f : R R f jatkuva }. Osoita, että A = {f R f(0) = 0} on renkaan R maksimaalinen ideaali. Ratkaisu: Joukko A on ideaali, sillä se täyttää helposti ideaalikriteerin ehdot. Se on epätyhjä, sillä esimerkiksi identtinen kuvaus tai vakiokuvaus nolla kuuluu siihen. Kahden kuvauksen erotus ja tulo on edelleen jatkuva. Arvo nollassa pysyy nollana laskutoimituksissa. (Ideaaliksi näyttäminen ei ole tehtävän olennainen osa.) Osoitetaan maksimaalisuus näyttämällä, että mikäli otetaan mikä tahansa alkio g R\A, niin ainut ideaali I, jolle pätee A {g} I on R. Olkoon siis g kuten edellä ja I ideaali, joka sisätää kuvauksen g ja ideaalin A. Käyttämällä ideaa, että ai I kaikilla a R huomaamme, että kuvaus h = (g(0)) 1 g sisältyy ideaaliin I, sillä vakiokuvaus x (g(0)) 1 on jatkuva ja siten kuuluu joukkoon R. Seuraavaksi kuvaus h = 1 h sisältyy ideaaliin I, sillä se on jatkuva, ja h (0) = 1 h(0) = 1 1 = 0.

4 Algebra I Kesä09 Harj.8 Ratkaisuehdoituksia 3 Nyt Ideaalioletuksen perusteella h + h I, ja koska (h + h )(x) = h(x) + h (x) = h(x) + 1 h(x) = 1, niin erityisesti kertolaskun ykkösalkio, vakiokuvaus x 1 kuuluu ideaaliin I, jolloin välttämättä I = R, kuten haluttiin. Äskeinen todistaa maksimaalisuuden, mutta todistuksen voi tehdä myöskin toista kautta, nimittäin kirjan lauseen perusteella ideaali on maksimaalinen jos ja vain jos tekijärengas on kunta. Näytetään siis vaihtoehtoisessa tavassa, että jokaiselle tekijärenkaan nollasta poikkeavalle alkiolle löytyy käänteisalkio. Ratkaisu 2: Riittää näyttää, että R/A on kunta. Koska A on ideaali, niin R/A on rengas sivun 110 lauseen 8 nojalla. Huomataan myös, että (f + A)(g + A) = fg + A = gf + A = (g + A)(f + A) kaikilla f, g R, joten R/A on lisäksi kommutatiivinen. Tiedetään, että neutraalialkio on A ja f + A = A, jos f A. Pitää siis löytää käänteisalkio alkiolle f + A, kun f R \ A. Funktiosta f tiedetään sen verran, että se on jatkuva ja f(0) 0. Määritellään funktio g : R R kaavalla g(x) = 1/f(0) ja pistetään mieleen, että g on vakiofunktiona jatkuva. Olkoon seuraavaksi h : R R funktio, jolle pätee h(x) = (f(x)/f(0)) 1. Kyseinen funktio selvästikin on jatkuva ja lisäksi pätee h(0) = 0, joten h A. Nyt f(x)g(x) = f(x)/f(0) = 1 + h(x) kaikilla x R, mikä tarkoittaa, että fg 1 + A, josta puolestaan seuraa fg + A = 1 + A, eli (f + A)(g + A) = 1 + A. Siis g + A on alkion f + A käänteisalkio. On todistettu, että R/A on kunta, mikä todistaa alkuperäisen väitteen. 6. Laske renkaan Z 7 [x] polynomeilla a = 1 + 2x + x 2 ja b = x polynomit a + b, ab ja b. i) a + b = 1 + 2x + x 2 + x = 3 + 2x + 2x 2. ii) ab = (1 + 2x + x 2 )(x 2 + 2) = x x 3 + 4x + x 4 + 2x 2 = 2 + 4x + 3x 2 + 2x 3 + x 4. iii) b = (x 2 + 2) = ( ) 0 x ( ) 1 x ( ) 2 x ( ) 3 x ( ) 4 x ( ) x = 2 + x x x x x 10

5 4 Algebra I Kesä09 Harj.8 Ratkaisuehdoituksia = 32 + x x x x x 10 = 4 + x x x x x 10 = x 2 + 3x x x 8 + x 10 = 4 + 3x 2 + 3x 4 + x 6 + 3x 8 + x 10