802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

Transkriptio

1 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

2 Sisältö 1 Lukuteoriaa Jakoalgoritmi ja alkuluvut Suurin yhteinen tekijä Kongruenssi Jäännösluokat ja Eulerin ϕ-funktio Ryhmät Ryhmäteorian alkeita Jäännösluokkaryhmät Aliryhmä ja sivuluokat Syklinen ryhmä Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Ryhmähomomorfismi

3 1 Lukuteoriaa Merkintöjä lukujoukoille: Luonnolliset luvut (natural numbers): N = {0, 1, 2, 3,...} Kokonaisluvut (integers): Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} Positiiviset kokonaisluvut (positive integers): Z + = {1, 2, 3,...} 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut Lause Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteisesti määrätyt kokonaisluvut q ja r, että a = qb + r, missä 0 r < b. Huomautus. Yhtälöä a = qb + r, missä 0 r < b, sanotaan jakoyhtälöksi (jakoalgoritmi, division algorithm). Edelleen, ko. yhtälössä a on jaettava, b jakaja, q osamäärä ja r jakojäännös. Määritelmä Jos a, b Z ja on olemassa sellainen luku k Z, että b = ka, niin a jakaa luvun b. Tästä käytetään merkintää a b. Jos a ei jaa lukua b, niin merkitään a b. Edelleen, jos a b, niin lukua a kutsutaan luvun b tekijäksi. 3

4 Lause Olkoon a, b, c Z. Tällöin 1. ±1 a ja ±a a, 2. a 0, 3. jos 0 a, niin a = 0, 4. jos a 1, niin a = ±1, 5. jos a b ja b a, niin a = ±b, 6. jos a b ja b c, niin a c, 7. jos a b ja a c, niin a (b + c) ja a (b c), 8. jos a b ja a (b + c), niin a c, 9. jos a b, niin ma mb kaikilla m Z, 10. jos m Z \ {0} ja ma mb, niin a b. Luennolla ja Harjoituksissa. Määritelmä Jos n Z ja luvun n ainoat tekijät ovat ±1 ja ±n, niin n on jaoton luku. Määritelmä Jos p N, p 2 ja luvulla p ei ole muita tekijöitä kuin ±1 ja ±p, niin lukua p sanotaan alkuluvuksi (prime number). Määritelmä Jos luku n Z voidaan esittää muodossa n = ab, missä a, b Z ja a, b 2, niin sanotaan, että n on yhdistetty luku (composite number). Lause Jos a N, a 2, niin a voidaan esittää alkulukujen tulona. Suoritetaan todistaminen Induktioperiaatteella. 1. Kun a = 2, niin väite on tosi, sillä luku 2 voidaan esittää alkulukujen tulona, jossa on yksi alkulukutekijä alkuluku Induktio-oletus: Oletetaan, että väite on tosi kaikille luonnollisille luvuille a k. 4

5 3. Induktiotodistus: Osoitetaan, että väite on tosi myös luvulla a = k. Jos k on alkuluku, niin väite on tosi. Jos k on yhdistetty luku, niin k = u v, missä yhdistetyn luvun määritelmän mukaisesti 1 < u < k ja 1 < v < k. Induktio-oletuksen nojalla luvut u ja v voidaan esittää alkulukujen tulona. Näin ollen myös luku k = u v voidaan esittää alkulukujen tulona. Lause Alkulukuja on äärettömän monta. 1.2 Suurin yhteinen tekijä Suurinta sellaista positiivista kokonaislukua t, joka jakaa sekä kokonaisluvun a että kokonaisluvun b, sanotaan lukujen a ja b suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi Määritelmä Olkoot a ja b kokonaislukuja ja ainakin toinen nollasta poikkeava. Jos positiivinen kokonaisluku t toteuttaa seuraavat ehdot: 1. t a ja t b; 2. Jos c a ja c b, niin c t, niin sanotaan, että t on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor); merkitään t = syt(a, b) tai t = (a, b). Lause Jos a, b Z ja luvuista ainakin toinen 0, niin syt(a, b) on olemassa yksikäsitteisenä. Lisäksi on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että ax + by = syt(a, b). 5

6 Eukleideen algoritmi Jos on annettu kaksi kokonaislukua a ja b, niin syt(a, b) löydetään ns. Eukleideen algoritmin avulla: Olkoot a, b Z, a 0, b 0. Tällöin Lauseen nojalla a = q 1 b + r 1, missä 0 < r 1 < b, b = q 2 r 1 + r 2, missä 0 < r 2 < r 1, r 1 = q 3 r 2 + r 3, missä 0 < r 3 < r 2,. r n 3 = q n 1 r n 2 + r n 1, missä 0 < r n 1 < r n 2, r n 2 = q n r n 1 + r n, missä 0 < r n < r n 1, r n 1 = q n+1 r n. Menettely todella päättyy ja viimeisen rivin mukainen muoto löytyy, sillä jono r 1, r 2,... on aidosti vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Edelleen havaitaan, että 1. r n r n 1 r n r n 2... r n b r n a, ts. r n jakaa sekä luvun a että luvun b; 2. c a ja c b c r 1 c r 2... c r n. Näin ollen luku r n on Määritelmän mukaisesti lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä eli r n = syt(a, b). Lause Olkoon syt(a, b) = d. Tällöin syt( a d, b d ) = 1. Lause Jos syt(a, b) = 1 ja a bc, niin a c. Lause Jos p on alkuluku ja p ab, niin p a tai p b. Jos erityisesti a ja b ovat alkulukuja, niin p = a tai p = b. Harjoituksissa. 6

7 Jokainen kokonaisluku n 2 voi- Lause (Aritmetiikan peruslause). daan esittää yksikäsitteisesti muodossa n = p a 1 1 p a 2 2 p a k k, missä p 1 < p 2 <... < p k ovat alkulukuja ja eksponentit a 1, a 2,..., a k Z +. Lauseen nojalla esitys n = p a 1 1 p a 2 2 p a k k esitys yksikäsitteinen? on olemassa. Onko Tehdään vastaoletus: Väite ei ole tosi, eli esitys ei aina ole yksikäsitteinen. Tällöin on olemassa pienin positiivinen kokonaisluku m 2, joka ei toteuta väitettä. Siis luvulla m on esitykset ja m = p a 1 1 p a 2 2 p a k k, m = q b 1 1 q b 2 2 q b l l, missä p 1 < p 2 <... < p k ja q 1 < q 2 <... < q l ovat alkulukuja ja kaikki eksponentit positiivisia kokonaislukuja. Koska p 1 m ja m = q b 1 1 q b l l, niin Lauseen nojalla p 1 q b i i jollakin i {1,..., l}. Koska p 1 ja q i ovat alkulukuja, niin täytyy olla p 1 = q i. Toisaalta q 1 m, missä m = p a 1 1 p a 2 2 p a k k, joten q 1 jakaa jonkin luvuista jollakin j {1,..., k}. Koska q 1 ja p j ovat alkulukuja, niin täytyy olla p a j j q 1 = p j. Näin ollen joten on oltava p 1 = q 1. p 1 p j = q 1 q i = p 1, Koska m p 1 < m, niin kokonaisluvulla m = p a p a 2 2 p a k k p = qb q b 2 2 q b l l 1 on yksikäsitteinen väitteen mukainen esitys. Siis k = l, p 2 = q 2,..., p k = q k ja a 1 1 = b 1 1, a 2 = b 2,..., a k = b k. 7

8 Mutta tällöin myös a 1 = b 1 ja luvulla m on yksikäsitteinen väitteen mukainen esitys, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa. Siis vastaoletus on väärä ja väite tosi. Pienin yhteinen jaettava Pienintä sellaista positiivista kokonaislukua t, jonka sekä kokonaisluku a että kokonaisluku b jakavat, sanotaan lukujen a ja b pienimmäksi yhteiseksi jaettavaksi. Määritelmä Olkoot a ja b kokonaislukuja. Jos positiivinen kokonaisluku t toteuttaa seuraavat ehdot: 1. a t ja b t; 2. Jos a c ja b c, niin t c, niin sanotaan, että t on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (lowest common multiple); merkitään t = pyj(a, b). Lause Olkoot a, b Z. Tällöin pyj(a, b) = a b syt(a, b). Merkitään d = syt(a, b). Tällöin d a ja d b eli on olemassa sellaiset x, y Z, että a = xd ja b = yd, jolloin Siispä a b d xd yd = d = xyd = ay = bx Z. a a b ja b a b d d eli Määritelmän ehto 1. toteutuu. 8

9 Olkoon c Z ja oletetaan, että a c ja b c. Tällöin on olemassa sellaiset k, l Z, että c = ka = lb. Lauseen nojalla on olemassa sellaiset m, n Z, että d = na + mb. Tällöin Siispä a b d cd = cna + cmb cd = lbna + kamb cd = ab(ln + km) c = ab (ln + km). d c, joten Määritelmän ehto 2. toteutuu. Näin ollen pyj(a, b) = a b d = a b syt(a, b). 1.3 Kongruenssi Oletetaan, että m Z + ja a, b Z. Jos m a b, niin sanotaan, että luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo m. Merkitään a b (mod m) tai a b (m). Lisäksi määritellään luvun a Z määräämä jäännösluokka modulo m joukkona [a] seuraavasti: [a] = {x Z x a (mod m)}. 9

10 Lause Olkoon a, b, c Z ja m Z +. Tällöin 1. a a (mod m), 2. jos a b (mod m), niin b a (mod m), 3. jos a b (mod m) ja b c (mod m), niin a c (mod m). Lisäksi [a] = {x Z x a (mod m)} = {x Z x = a + km, k Z} = [a + km]. Lause Olkoon a, b Z. Tällöin a b (mod m) jos ja vain jos luvuilla a ja b on sama jakojäännös jaettaessa luvulla m. Lause Tällöin Olkoon a, b, c, d Z, a b (mod m) ja c d (mod m). 1. a + c b + d (mod m), 2. ac bd (mod m), 3. a n b n (mod m) kaikilla n N. Lause Olkoon a b (mod m) sekä c Z. Tällöin ac bc (mod m). Lause Jos ac bc (mod m) ja syt(c, m) = 1, niin a b (mod m). Ts. tässä tapauksessa c voidaan "supistaa". Lause Olkoon a, b Z ja c Z +. Tällöin a b (mod m) jos ja vain jos ac bc (mod mc). Harjoituksissa. 10

11 Lause Olkoon a Z ja m Z +. Tällöin m a jos ja vain jos a 0 (m). Huomautus. Olkoon a, b, c, d Z. Tällöin a + b c + d (m) a + b d c (m) a c + d b (m). Lause Olkoon a, b Z ja a b (mod m). Tällöin syt(a, m) = syt(b, m). Olkoon d = syt(a, m) eli d a ja d m. Koska a b (mod m) eli m a b, niin d a b. Koska d a b ja d a, niin d b. Siten d on lukujen m ja b yhteinen tekijä. Olkoon c toinen lukujen m ja b yhteinen tekijä, eli c m ja c b. Koska m a b, niin c a b ja lopulta c a. Siten c a ja c m. Koska d = syt(a, m), niin c d. Näin ollen d = syt(b, m). Kongruenssiyhtälö Lause Kongruenssiyhtälö ax b(m) on ratkeava, mikäli syt(a, m) = 1. Jos x 0 on jokin tämän kongruenssiyhtälön ratkaisu, niin kaikki ratkaisut ovat muotoa x x 0 (m). 11

12 v, että Koska syt(a, m) = 1, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut u ja au + mv = 1. 1) Ratkaisun olemassaolo Nyt x 0 = ub on kongruenssiyhtälön ax b(m) eräs ratkaisu, sillä ax 0 = a(ub) = (au)b = (1 mv)b = b bmv b (m). Näin ollen kongruenssiyhtälöllä ax b(m) on olemassa ratkaisu x 0. 2) Kaikki ratkaisut Olkoon nyt x 0 kongruenssiyhtälön ax b(m) eräs ratkaisu ja x 1 x 0 (m). Onko x 1 myös kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisu? Nyt siis ax 0 b(m) ja x 1 x 0 (m). Jälkimmäisestä kongruenssista saadaan ax 1 ax 0 (m), jolloin ketjuttamalla saadaan ax 1 b(m), eli myös x 1 on kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisu. Tarkastellaan lopuksi kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisujen välistä suhdetta toisiinsa. Olkoot x 0 ja x 1 kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisuja. Siis ax 0 b(m) ja ax 1 b(m). Jälleen ketjuttamalla saadaan ax 0 ax 1 (m). Koska syt(a, m) = 1, niin voidaan supistaa eli x 0 x 1 (m). 12

13 Lause Olkoon syt(a, m) = d > 1. Tällöin kongruenssiyhtälöllä ax b (m) on ratkaisu täsmälleen silloin, kun d b. Jos x 0 on jokin ratkaisu, niin kaikki ratkaisut ovat muotoa x x 0 ( m d ). Huomautus. Ratkaistaessa Lauseen oletukset täyttävää kongruenssia etsitään ensin yksi ratkaisu Eukleideen algoritmin avulla ja käytetään sitten kaikkien ratkaisujen muotoilemiseen lauseen jälkimmäistä osaa. 1.4 Jäännösluokat ja Eulerin ϕ-funktio Määritelmä Kokonaislukujen joukossa Z määritellyn kongruenssin x y (mod m) m x y perusteella määritellään jäännösluokat modulo m (residue class). Kokonaisluvun y Z määräämästä jäännösluokasta modulo m käytetään merkintää [y] = {x Z x y (m)}. Koska x y (mod m) jos ja vain jos luvuilla x ja y on sama jakojäännös jaettaessa luvulla m, niin luvun y määräämässä jäännösluokassa modulo m, eli joukossa [y], on kaikki sellaiset kokonaisluvut x, joilla on sama jakojäännös kuin luvulla y jaettaessa luvulla m, eli joukossa [y] on myös jakojäännös. Jakoalgoritmin nojalla jaettaessa luvulla m, jakojäännöksiä voivat olla vain luvut 0, 1, 2,..., m 1. Koska kaikki saman jäännösluokan luvut määrää saman jäännösluokan, niin kaikki jäännösluokat (mod m) ovat {[0], [1], [2],..., [m 1]}. Tästä joukosta käytetään merkintää Z m. Siis Z m = {[0], [1], [2],..., [m 1]} ja Z m = m. 13

14 Määritelmä Jäännösluokkaa [a] (mod m) sanotaan alkuluokaksi (mod m) (prime class), mikäli syt(a, m) = 1. Alkuluokkien joukkoa merkitään Z m. Siis Z m = {[a] Z m syt(a, m) = 1}. Huomautus. Jos p on alkuluku, niin Z p = {[1], [2],..., [p 1]}. Määritelmä Funktio ϕ : Z + Z +, ϕ(m) = Z m on Eulerin ϕ-funktio. Siis ϕ(m) kertoo alkioiden lukumäärän joukossa {x x N, x < m ja syt(x, m) = 1}. Lause Jos p on alkuluku, niin ϕ(p) = p 1 eli Z p = p 1. Lause Jos p on alkuluku ja k Z +, niin ϕ(p k ) = p k 1 (p 1). Lause Olkoon m, n Z +. Jos syt(m, n) = 1, niin ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Nyt syt(mn, a) = 1 syt(m, a) = 1 ja syt(n, a) = 1. Muodostetaan luvuista 0, 1,..., mn 1 seuraava taulukko (taulukossa on n pystyriviä ja m vaakariviä) n 1 n n + 1 n n 1 2n 2n + 1 2n n 1.. (m 1)n (m 1)n + 1 (m 1)n mn 1 0 (n) 1 (n) 2 (n) n 1 (n) [0] n [1] n [2] n... [n 1] n 14

15 Nyt kullakin pystyrivillä on tarkalleen yhden jäännösluokan alkioita mod n. Pystyriveistä ϕ(n) kappaletta sisältyy alkuluokkiin mod n, toisin sanoen näiden pystyrivien alkioiden suurin yhteinen tekijä luvun n kanssa on 1. Tarkastellaan sitten yhtä alkuluokkaan mod n liittyvää pystyriviä mod m suhteen. Olkoon tämä pystyrivi k n + k 2n + k. (m 1)n + k Jos [dn + k] = [tn + k] (mod m), missä 0 d, t < m, niin dn + k tn + k (m) eli dn tn (m) ja koska syt(m, n) = 1 niin d t (m). Nyt m d t ja siten d = t, koska d, t < m. Näin ollen pystyrivin kaikki alkiot sisältyvät eri jäännösluokkaan mod m, eli pystyrivillä on edustajat kaikista jäännösluokista mod m. Tällöin tämän pystyrivin luvuista ϕ(m) kappaletta on sellaisia, että ne ovat alkuluokassa mod m, eli suurin yhteinen tekijä luvun m kanssa on 1. Näin ollen lukuja, joiden suurin yhteinen tekijä luvun mn kanssa on 1, eli lukuja, joiden suurin yhteinen tekijä sekä luvun m että luvun n kanssa on 1, on ϕ(n) ϕ(m) kappaletta. Siis ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Lause (Seuraus). Jos m Z + ja luvulla m on esitys m = p a 1 1 p a 2 2 p ar r eri alkulukujen potenssien tulona, niin ϕ(m) = ϕ(p a 1 1 )ϕ(p a 2 2 ) ϕ(p ar r ) = p a (p 1 1) p a (p 2 1) p ar 1 r (p r 1) = r i=1 p a i 1 i (p i 1). Lauseet ja

16 Lause (Eulerin teoreema). Olkoot a, m Z +. Jos syt(a, m) = 1, niin a ϕ(m) 1 (m). Todistus ryhmäteoria-osassa. Lause (Fermat n pieni lause). eli syt(a, p) = 1 eli a 0 (p), niin Olkoon p alkuluku ja a Z +. Jos p a a p 1 1 (p). Väite seuraa havainnosta ϕ(p) = p 1 sekä Lauseesta Lause (Seuraus). Olkoon p alkuluku ja a Z +. Tällöin a p a (p). 16

17 2 Ryhmät 2.1 Ryhmäteorian alkeita Määritelmä Olkoon S ei-tyhjä joukko. Kuvaus : S S S, (a, b) a b, on joukon S binäärinen operaatio (eli a b S aina, kun a, b S ja a b on yksikäsitteinen). Lisäksi binäärinen operaatio ( ) on kommutatiivinen (vaihdannainen) joukossa S, jos a b = b a aina, kun a S ja b S; assosiatiivinen (liitännäinen), jos a (b c) = (a b) c aina, kun a, b, c S. Määritelmä Olkoot G ja ( ) joukon G operaatio. Pari (G, ) on ryhmä (group), mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Operaatio ( ) on binäärinen joukossa G eli a b G aina, kun a, b G. Lisäksi alkio a b G on yksikäitteinen; 2. Operaatio ( ) on assosiatiivinen joukossa G eli aina, kun a, b, c G; (a b) c = a (b c) 3. Joukossa G on sellainen alkio e, että a e = e a = a aina, kun a G. Alkiota e kutsutaan neutraali- eli ykkösalkioksi (identity/neutral element); 4. Aina, kun a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi (inverse element). 17

18 Jos lisäksi 5. operaatio ( ) on kommutatiivinen joukossa G eli a b = b a aina, kun a, b G, niin kyseessä on Abelin ryhmä eli kommutatiivinen ryhmä. Jatkossa ryhmästä (G, ) käytetään merkintää G, mikäli operaatiosta ( ) ei ole epäselvyyttä. Tällöin operaatiota a b merkitään lyhyesti ab. Lause Olkoot G ryhmä sekä a, b G. Tällöin 1. neutraalialkio e on yksikäsitteinen; 2. kunkin alkion a G käänteisalkio a 1 on yksikäsitteinen; 3. yhtälöllä ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x G; 4. yhtälöllä ya = b on yksikäsitteinen ratkaisu y G. Luennolla ja Harjoituksissa. Lause Ryhmässä G ovat voimassa seuraavat lait: 1. ab = ac b = c; 2. ba = ca b = c; 3. (ab) 1 = b 1 a 1 ; 4. (a 1 ) 1 = a. Luennolla ja Harjoituksissa. Ryhmän G kertaluku (the order of G) tarkoittaa joukon G alkioiden lukumäärää; merkitään G. 18

19 Huomautus. Äärettömässä ryhmässä (infinite group) on ääretön määrä alkioita. Äärellisessä ryhmässä (finite group) on äärellinen määrä alkioita ja siis myös ryhmäoperaation tuloksia. Näin ollen äärellisessä tapauksessa voidaan kirjoittaa ryhmätaulu (group table), johon merkitään kaikkien ryhmäoperaatioiden tulokset omiin soluihinsa. r a y l h k m i a o n t ryhman alkiot alkioiden väliset operaatiot Huomautus. Ryhmätaulun jokaisella vaaka- ja pystyrivillä esiintyy kukin ryhmän G alkio tarkalleen kerran. Abelin ryhmän ryhmätaulu on symmetrinen taulukon lävistäjän suhteen. 19

20 2.2 Jäännösluokkaryhmät Jaettaessa kokonaislukuja luvulla m Z +, jakoalgoritmi ja samoin myös kongruenssi modulo m jakaa joukon Z erillisiin jäännösluokkiin modulo m: Z m = {[0], [1], [2],..., [m 1]}, missä m Z +. Miten jäännösluokilla lasketaan? Olkoon x [a] ja y [b], eli x a (m) ja y b (m). Tällöin x+y a+b (m) ja xy ab (m), eli x+y [a + b] ja x y [a b]. Näin ollen määritellään jäännösluokkien modulo m yhteenlasku ja kertolasku seuraavasti: [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [ab]. ja Huomautus. Yhteenlasku (mod m) ja kertolasku (mod m) eivät riipu jäännösluokkien edustajien a ja b valinnasta. Lause Pari (Z m, +) on Abelin ryhmä. Huomautus. (Z m, +) = m. 20

21 Jäännösluokkaa [a] (mod m) sanotaan alkuluokaksi syt(a, m) = 1. Alkuluokkien joukkoa merkitään Z m. (mod m), mikäli Tarkastellaan seuraavaksi joukkoa Z m varustettuna kertolaskulla (mod m). Lause Pari (Z m, ) on Abelin ryhmä. Ongelma. Olkoon m Z +. Helposti nähdään, että ryhmän (Z m, +) kertaluku (Z m, +) = m. Mutta miten lasketaan ryhmän (Z m, ) kertaluku (Z m, )? Seuraavat lauseet on esitetty aiemmin luvussa 1.4. Lause Z m = ϕ(m), missä ϕ(m) on Eulerin ϕ-funktio. Lause Jos p on alkuluku, niin Z p = ϕ(p) = p 1. Lause Jos p on alkuluku ja k N, niin Z p k = ϕ(p k ) = p k 1 (p 1). Lause Jos m Z + ja luvulla m on esitys m = p a 1 1 p a 2 2 p ar r alkulukujen potenssien tulona, niin eri Z m = ϕ(m) = ϕ(p a 1 1 )ϕ(p a 2 2 ) ϕ(p ar r ) = p a (p 1 1) p a (p 2 1) p ar 1 r (p r 1) r = p a i 1 i (p i 1). i=1 21

22 2.3 Aliryhmä ja sivuluokat Määritelmä Olkoon (G, ) ryhmä ja H G, H. Jos (H, ) on ryhmä, sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi (subgroup); merkitään (H, ) (G, ) tai lyhyemmin H G. Huomautus. Jos H G, niin aina ryhmän G neutraalialkio e G H. Lause (Aliryhmäkriteeri). Olkoot G ryhmä ja H G, H. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. a, b H ab H; 2. a H a 1 H. Olkoot G ryhmä ja H G, H. Täl- Lause (Aliryhmäkriteeri). löin H G jos ja vain jos ehto 3. a, b H ab 1 H on voimassa. Jos H G, niin ehto 3. toteutuu, sillä H on ryhmä. Oletetaan, että ehto 3. on voimassa. Jos a H, niin ehdon 3. nojalla aa 1 = e H. Edelleen ea 1 = a 1 H, joten Lauseen ehto 2. toteutuu. Jos a, b H, niin edellisen nojalla b 1 H ja ehdon 3. nojalla ab = a(b 1 ) 1 H. Siispä myös Lauseen ehto 1. toteutuu. Näin ollen Lauseen nojalla H G. 22

23 Huomautus. Jos (G, ) on ryhmä, a G ja n Z +, niin a n = a} a {{... a}. n kpl Lause Jos G on ryhmä ja H on ryhmän G äärellinen ei-tyhjä osajoukko, niin H G jos ja vain jos ab H aina, kun a, b H. Huomautus. Äärellisessä tapauksessa siis riittää, että ryhmän G ryhmäoperaatio on binäärinen joukossa H. Äärettömässä tapauksessa tämä ei vielä takaa sitä, että H olisi ryhmän G aliryhmä. Huomautus. Jos G on ryhmä, niin aina G G ja {e G } G. Näitä ryhmiä sanotaan ryhmän G triviaaleiksi aliryhmiksi. Määritelmä Olkoon (H, ) (G, ) ja a G. Tällöin joukkoa ah = a H = {a h h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi (left coset). Lause Olkoon G ryhmä, H G ja a 1 H, a 2 H,... aliryhmän H vasemmat sivuluokat ryhmässä G. Tällöin G = i a i H ja aina joko a i H a j H = tai a i H = a j H. Lisäksi, jos b ah, niin bh = ah. Ja kääntäen, jos bh = ah, niin b ah. 23

24 Huomautus. Koska eh = H, niin H itse on eräs vasen sivuluokka. Kun h H, niin hh = H. Nyt sivuluokassa ah on yhtä monta alkiota kuin aliryhmässä H eli ah = H kaikilla a G. Vasenta sivuluokkaa vastaavalla tavalla voidaan määritellä myös ryhmän G alkion a määräämä aliryhmän H oikea sivuluokka Ha = H a = {h a h H}, missä a G. Oikeilla sivuluokilla on voimassa samat ominaisuudet kuin vasemmilla sivuluokilla. Lause (Lagrangen lause). Olkoot G äärellinen ryhmä, H G ja n aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin G = n H, ts. äärellisessä ryhmässä aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Lause Jos äärellisen ryhmän G kertaluku on alkuluku, niin sen ainoat mahdolliset aliryhmät ovat {e} ja G (nk. triviaalit aliryhmät). 24

25 2.4 Syklinen ryhmä Olkoon (G, ) ryhmä ja a G. Kun n Z +, niin määritellään a n = a a... a }{{} n kpl ja a n = a} 1 a 1 {{... a 1 }. n kpl Lisäksi asetetaan a 0 = e. Tällöin joukko H = {a k k Z} on ryhmän G osajoukko. Lause Olkoon a G ja H = {a k k Z}. Tällöin (H, ) on ryhmän (G, ) aliryhmä. Määritelmä Yllä määriteltyä ryhmää H = {a k k Z} sanotaan alkion a generoimaksi sykliseksi ryhmäksi (cyclic group); merkitään H = a. Alkio a on generoija (generator). Lause Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on syklinen. Huomautus. Ryhmä (Z m, +) on syklinen. Sen sijaan ryhmä (Z m, ) ei välttämättä ole syklinen. Lause Olkoot G ryhmä ja a G sekä n pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, että a n = e. Tällöin a = n ja a = {a 0 = e, a 1 = a, a 2, a 3,..., a n 1 }. Lause Jos G on äärellinen ryhmä, niin a G = e kaikilla a G. Huomautus. Lauseen mukaista lukua n sanotaan alkion a kertaluvuksi; alkion a kertaluvusta käytetään merkintää a, a tai ord(a). 25

26 Lause (Eulerin teoreema). Jos a, m Z + ja syt(a, m) = 1, niin a ϕ(m) 1(m). Lause luvun k. Olkoon G ryhmä ja a G. Jos a k = e, niin a = n jakaa Harjoituksissa. Lause Syklisen ryhmän jokainen aliryhmä on syklinen. Olkoon G = a = {a k k Z} ja H G. Nyt jokainen aliryhmän H alkio on alkion a potenssi. Jos H = {e}, niin H = e on syklinen. Jos H {e}, niin on olemassa sellainen m Z +, että a m H. Olkoon sitten n = min{m a m H, m Z + }. Osoitetaan, että H = a n. Olkoon b H mielivaltainen. Siis on olemassa sellainen l Z, että b = a l. Nyt jakoalgoritmin (Lause 1.1.1) nojalla l = qn + r, missä q, r Z ja 0 r < n. Siis b = a l = a qn+r = (a n ) q a r. Täten a r = [(a n ) q ] 1 b H, koska a n H ja b H. Luvun n valinnasta johtuen täytyy olla r = 0. Siis l = qn ja Täten H = a n on syklinen. b = a l = a qn = (a n ) q. Lause Syklinen ryhmä on aina Abelin ryhmä. 26

27 2.5 Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Määritelmä Olkoon N G. Aliryhmää N sanotaan normaaliksi (normal subgroup), mikäli an = Na aina, kun a G. Tällöin merkitään N G. Huomautus. {e} G ja G G. Jos G on Abelin ryhmä ja N G, niin kaikilla a G pätee an = {an n N} = {na n N} = Na. Siis Abelin ryhmän jokainen aliryhmä on normaali. Lause Ryhmän G aliryhmä N on normaali jos ja vain jos ana 1 N aina, kun a G. Huomautus. Kun todistetaan, että N G, niin pitää osoittaa, että 1. N G; 2. ana 1 N aina, kun a G ja n N (aliryhmän normaalisuuskriteeri). Olkoon nyt (N, ) (G, ). Sivuluokkien joukossa {an a G} voidaan määritellä operaatio ( ) seuraavasti: an bn = (a b)n. Näin saatu operaatio on hyvin määritelty (well-defined) eli se ei ole riippuvainen sivuluokkien an ja bn edustajista. Lisäksi sivuluokkien joukko {an a G} yhdessä kyseisen operaation kanssa on rakenteeltaan ryhmä. 27

28 Lause Olkoon (G, ) ryhmä ja N G. Tällöin ({an a G}, ) on ryhmä. Määritelmä Edellä esiteltyä paria ({an a G}, ) kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi normaalin aliryhmän N suhteen (factor group/quotient group of G by N). Kyseisestä ryhmästä käytetään merkintää G/N. Huomautus. mikäli ryhmä G on äärellinen. G/N = G N, 28

29 2.6 Ryhmähomomorfismi Määritelmä Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan ryhmähomomorfismiksi (group homomorphism) ryhmältä G ryhmälle H, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Lause Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi ja olkoot e G ja e H ryhmien G ja H neutraalialkiot. Tällöin f(e G ) = e H ja f(a 1 ) = (f(a)) 1 aina, kun a G. Määritelmä Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi ja D G. Tällöin f(d) = {f(x) x D} on aliryhmän D kuva (image) ryhmässä H. Määritelmä Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi ja T H. Tällöin f 1 (T ) = {x G f(x) T } on aliryhmän T alkukuva (pre-image) ryhmässä G. Lause Olkoon f : (G, ) (H, ) ryhmähomomorfismi. 1. Jos D G, niin f(d) H. 2. Jos T H, niin f 1 (T ) G. Oletetaan, että f : (G, ) (H, ) on ryhmähomomorfismi. Todistetaan väitteet erikseen. 29

30 1. Olkoon D G. Selvästi f(d) H ja f(d), sillä e G D ja siten f(e G ) = e H f(d). Onko f(d) H? Olkoon c, d f(d). Tällöin on olemassa sellaiset alkiot a, b D, että f(a) = c ja f(b) = d. Koska D G, niin aliryhmäkriteerin nojalla a b 1 D ja siten f(a b 1 ) f(d). Koska f on homomorfismi, niin f(a b 1 ) = f(a) f(b 1 ) eli eli eli f(a) f(b 1 ) f(d), f(a) f(b) 1 f(d), c d 1 f(d). Näin ollen aliryhmäkriteerin nojalla f(d) H. 2. Olkoon T H. Selvästi f 1 (T ) G ja f 1 (T ), sillä e H T, ja siten e G f 1 (T ). Onko f 1 (T ) G? Olkoon a, b f 1 (T ). Näin ollen f(a), f(b) T. Koska T H, niin aliryhmäkriteerin nojalla f(a) f(b) 1 T eli f(a) f(b 1 ) T eli f(a b 1 ) T eli a b 1 f 1 (T ). Näin ollen aliryhmäkriteerin nojalla f 1 (T ) G. Huomautus. Lauseen sisältö voidaan muotoilla seuraavasti: homomorfisessa kuvauksessa aliryhmät kuvautuvat aliryhmiksi ja aliryhmien alkukuvat ovat aliryhmiä. Edellä esitetty johtaa luontevasti kysymykseen siitä, mitä normaaleille aliryhmille tapahtuu homomorfismeissa. 30

31 Lause Olkoon f : (G, ) (H, ) ryhmähomomorfismi. 1. Jos N G ja f on surjektio, niin f(n) H. 2. Jos M H, niin f 1 (M) G. Oletetaan, että f : (G, ) (H, ) on ryhmähomomorfismi. Todistetaan väitteet erikseen. 1. Oletetaan, että N G ja f on surjektio G H. Tällöin Lauseen nojalla f(n) H. Onko f(n) H? Olkoon z f(n) ja d H. Siten on olemassa sellainen x N, että z = f(x), ja koska f on surjektio, on myös olemassa sellainen a G, että d = f(a). Koska N G, niin a x a 1 N ( Lause 2.5.2) eli eli eli eli f(a x a 1 ) f(n) f(a) f(x) f(a 1 ) f(n) f(a) f(x) f(a) 1 f(n) d z d 1 f(n). Täten normaalisuuskriteerin nojalla f(n) H. 2. Oletetaan, että M H. Lauseen nojalla f 1 (M) G. Onko f 1 (M) G? Olkoon x f 1 (M) ja a G. Nyt f(x) M ja f(a) H. Koska M H, niin Lauseen nojalla eli eli eli f(a) f(x) f(a) 1 M f(a) f(x) f(a 1 ) M f(a x a 1 ) M a x a 1 f 1 (M). Täten normaalisuuskriteerin nojalla f 1 (M) G. 31

32 Määritelmä Olkoon f : G H homomorfismi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorfismin f kuvaksi (the image of f) ja joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e H } = f 1 ({e H }) sanotaan homomormismin f ytimeksi (the kernel of f). Lause Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi. Tällöin Im(f) H ja Ker(f) G. Seuraa suoraan lauseista ja Lause Jos G on ryhmä ja N G, niin kuvaus f : G G/N, f(a) = an on surjektiivinen homomorfismi, jonka ydin on N. Edellisen lauseen kuvaus f : G G/N, f(a) = an on ns. luonnollinen homomorfismi G G/N. Määritelmä Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorfiset (isomorphic) eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektiivinen kuvaus f : G H, joka toteuttaa ehdon f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Eli on olemassa bijektiivinen homomorfismi f : G H. Tällöin merkitään G = H ja sanotaan, että kuvaus f on ryhmäisomorfismi (a group isomorphism). Huomautus. Jos G on äärellinen ryhmä ja G = H, niin G = H. Huomautus. Jos G = H, niin H = G. Huomautus. Jos G = H ja H = N, niin G = N. 32

33 Lause (Homomorfismien peruslause). Olkoon f : (G, ) (H, ) homomorfismi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Merkitään Ker(f) = K ja määritellään kuvaus F : G/K Im(f) siten, että F (ak) = f(a) kaikilla ak G/K. 1. Onko kuvaus F hyvinmääritelty eli onko kuvaus F riippumaton sivuluokan määrääjän valinnasta? Olkoon a K = ak. Tällöin a ak eli a = a k jollakin k K. Näin ollen F (a K) = f(a ) = f(a k) = f(a) f(k) = f(a) e H = f(a) = F (ak). Siispä F on hyvinmääritelty. 2. Onko kuvaus F surjektio? Olkoon f(b) Im(f). Tällöin bk G/K ja F (bk) = f(b), joten kuvaus F on surjektio. 3. Onko kuvaus F injektio? Olkoon F (ak) = F (bk), jolloin f(a) = f(b). Tällöin f(b) 1 f(a) = f(b) 1 f(b) = e H, joten e H = f(b) 1 f(a) = f(b 1 ) f(a) = f(b 1 a). Näin ollen ytimen määritelmän nojalla b 1 a K eli K = (b 1 a)k = b 1 K ak. Operoimalla yhtälöä puolittain vasemmalta sivuluokalla bk saadaan bk e G K = bk b 1 K ak bk = ak. Siispä kuvaus F on injektio. Kohtien 2. ja 3. nojalla kuvaus F on bijektio G/K Im(f). 33

34 4. Onko kuvaus F ryhmähomomorfismi? Olkoon ak, bk G/K. Tällöin F (ak bk) = F ((a b)k) = f(a b) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk), joten kuvaus F on ryhmähomomorfismi. Kohtien nojalla kuvaus F on ryhmäisomorfismi G/Ker(f) Im(f) eli G/Ker(f) = Im(f). Lause Samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat isomorfiset. 34