Matematiikan mestariluokka, syksy

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7"

Transkriptio

1 Matematiikan mestariluokka, syksy Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty luku. Esimerkki. Luvut 2, 3, 5, 7, 11 ja 13 ovat alkulukuja ja 4, 6, 8, 9, ja 12 ovat yhdistettyjä lukuja. Luku 1 ei ole alkuluku eikä yhdistetty luku. Lause 2.2 Jos p on alkuluku ja p ab, niin p a tai p b. Todistus. Oletetaan, että p on alkuluku ja p ab. Jos nyt p a, niin väite on tosi, eikä ole mitään todistettavaa. Oletetaan siis, että p a. Koska p on alkuluku, niin syt(p, a) = 1. Eukleideen lemman nojalla on p b. Seuraavan lauseen todistuksessa käytetään ns. matemaattista induktiota. Tätä menetelmää opiskellaan tarkemmin keväällä Induktiotodistuksen periaate on seuraava. Pyritään todistamaan, että luonnollisiin lukuihin liittyvä väite P (n) on tosi kaikilla n N. Tämä pitää paikkansa, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) P (1) on tosi. 2) Jos P (k) on tosi, niin myös P (k + 1) on tosi. Ehdon 2 oletusta P (k) on tosi sanotaan induktio-oletukseksi. Induktiotodistus voi alkaa luvun n = 1 sijasta mistä luvusta n 1 hyvänsä. Lisäksi induktio-oletus voidaan tarvittaessa korvata ehdolla P (n) on tosi kaikilla n = 1,..., k. Ehdossa 2 voidaan myös yhtä hyvin olettaa P (n) todeksi arvoilla n = 1,..., k 1 ja sen jälkeen todistaa P (k) todeksi. Lause 2.3 Jokainen luku a 2 on alkulukujen tulo. Todistus. Todistetaan väite induktiolla. 1) Luku 2 on alkuluku, joten väite pätee luvulle a = 2. 2) Oletetaan nyt, että väite pätee kaikille luvuille 2,..., k 1. Tarkastellaan lukua a = k. Jos k on alkuluku, niin väite pätee. Jos taas k on yhdistetty luku, niin k = bc, missä 1 < b < k ja 1 < c < k. Induktio-oletuksen mukaan b ja c ovat alkulukujen tuloja, joten myös k = bc on alkulukujen tulo. Lause 2.4 Alkulukuja on ääretön määrä. Todistus. Tehdään vastaoletus, että alkulukuja on vain äärellinen määrä. Olkoot ne p 1, p 2,..., p n. Tarkastellaan lukua a = p 1 p 2 p n + 1. Edellisen lauseen mukaan luvulla a on tekijänä jokin alkuluvuista p i, joten a = kp i. Koska 1 = a p 1 p n = kp i p 1 p n, niin Lauseen 1.2 mukaan p i 1, mikä on ristiriita. Alkulukujen määrä ei siis voi olla äärellinen.

2 Matematiikan mestariluokka, syksy Sen selvittäminen, onko annettu luku alkuluku vai ei, on yleisesti varsin hankalaa. Pienillä luvuilla voidaan menetellä seuraavasti: Yksinkertainen alkulukutesti. Tarkastetaan luvun a jaollisuus kaikilla alkuluvuilla p, joille p a. Jos a ei ole jaollinen millään näistä alkuluvuista, niin a itse on alkuluku. Menetelmä todella kertoo, onko a alkuluku. Nimittäin, jos a = bc, missä b > a ja c > a, niin bc > a a = a, mikä on ristiriita. Tämä testi antaa lisäksi menetelmän, jolla löydetään kaikki lukua a pienemmmät alkuluvut: Eratostheneen seula. Olkoon a > 2. Kirjoitetaan luetteloon kaikki luvut 2, 3,..., a. Luku 2 on alkuluku, joten pyyhitään luettelosta pois kaikki 2:lla jaolliset luvut. Luku 3 on alkuluku, joten pyyhitään luettelosta pois kaikki 3:lla jaolliset luvut. Näin jatketaan suurimpaan alkulukuun p asti, jolle p a. Yksinkertaisen alkulukutestin perusteella kaikki luetteloon jäävät luvut ovat alkulukuja. Esimerkki. Etsitään taulukosta kaikki lukua 100 pienemmät alkuluvut Tehtäviä 17 Todista, että jokainen alkuluku p > 3 on muotoa 6k + 1 tai 6k 1 jollakin k N. Onko jokainen muotoa 6k + 1 tai 6k 1 oleva luku alkuluku? 18 Olkoon p > 3 alkuluku. Osoita, että p on yhdistetty luku. 19 Mersennen alkuluku on muotoa 2 n 1 oleva alkuluku, n N. Etsi viisi Mersennen alkulukua. 20 Merkitään alkulukuja p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,.... Tutki ovatko kaikki muotoa a = p 1 p 2 p n + 1 olevat luvut alkulukuja. (Vrt. Lauseen 2.4 todistus.) 21 Todista Lause 2.4 vaihtoehtoisella tavalla: Oleta, että on olemassa suurin alkuluku p. Tutki sen jälkeen luvun a = p! + 1 jaollisuutta luvuilla 2, 3, 4,..., p. 22 Etsi (jos mahdollista) a) viisi, b) kuusi, c) seitsemän peräkkäistä kahden alkuluvun välissä olevaa yhdistettyä lukua.

3 Matematiikan mestariluokka, syksy Aritmetiikan peruslause Todistetaan aritmetiikan peruslause, joka sanoo, että jokainen kokonaisluku a 2 voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Valmistellaan lausetta esittämällä kaksi apulausetta, joista ensimmäinen yleistää Lauseen 2.2. Apulause 2.5 Jos p on alkuluku ja p a 1 a 2 a n, niin p a i jollakin i = 1,..., n. Todistus. Jos p a 1, niin väite pätee. Jos p a 1, niin Lauseen 2.2 perusteella p a 2 a n. Jos p a 2, niin väite pätee. Jos taas p a 2, niin edelleen Lauseen 2.2 perusteella p a 3 a n. Näin jatkamalla saadaan väite. Apulause 2.6 Jos p, p 1, p 2,..., p n ovat alkulukuja ja p p 1 p 2 p n, niin p = p i jollakin i = 1,..., n. Todistus. Edellisen apulauseen nojalla p p i, jollakin i = 1,..., n. Koska alkuluvun p i ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja p i, niin p = p i. Lause 2.7 (Aritmetiikan peruslause) Jokainen kokonaisluku a 2 voidaan esittää alkulukujen tulona ja tämä tulo on yksikäsitteinen tekijöiden järjestystä lukuunottamatta. Todistus. Todistetaan väite induktiolla luvun a suhteen. 1) Jos a = 2, niin väite pätee. 2) Oletetaan, että jokaisella lukua k pienemmällä luvulla on yksikäsitteinen esitys alkulukujen tulona. Todistetaan ensin, että myös a = k on alkulukujen tulo. Jos k on alkuluku, niin väite pätee. Oletetaan siis, että k on yhdistetty luku, eli k = bc. Nyt b < k ja c < k, joten niillä on esitykset alkulukujen tuloina. Siis luvulla k on esitys alkulukujen tulona. Osoitetaan vielä yksikäsitteisyys. Sitä varten oletetaan, että k = p 1 p 2 p s ja k = q 1 q 2 q t, missä p 1,..., p s ja q 1,..., q t ovat alkulukuja. Koska p 1 k, niin p 1 q 1 q 2 q s, joten Apulauseen 2.6 mukaan p 1 = q i jollakin i = 1,..., t. Muutetaan lukujen q 1,..., q t numerointia niin, että p 1 = q 1. Tällöin k p 1 = p 2 p 3 p s = q 2 q 3 q t. Jos s 2 tai t 2, niin 1 < k p 1 < k. Induktio-oletuksen mukaan luvun k p 1 esitys alkulukujen tulona on yksikäsitteinen, joten s = t, ja siis myös luvun k esitys alkulukujen tulona on yksikäsitteinen.

4 Matematiikan mestariluokka, syksy Aritmetiikan peruslause on erittäin käyttökelpoinen työväline monissa sellaisissa tehtävissä, jotka käsittelevät luvun tekijöitä. Päättelyissä käytetään usein hyväksi arimetiikan peruslauseesta saatavaa luvun kanonista alkutekijäesitystä. Jatkossa tässä kappaleessa tarkastellaan pelkästään positiivisia kokonaislukuja. Luvun a 2 kanoninen alkutekijäesitys on muotoa a = p a 1 1 p a 2 2 p an n, missä p 1, p 2,..., p n ovat luvun a alkutekijät, p 1 < p 2 < < p n ja a i > 0 kaikilla i = 1,..., n. Kanonista alkutekijäesitystä sanotaan myös kanoniseksi esitykseksi. Huomautus. Joskus merkinnässä a = p a 1 1 p a 2 2 p an n on tarkoituksenmukaista hyväksyä, että a i = 0 joillakin indekseillä i. Esimerkki. Jos a = p a 1 n ja b = p b 1 n, niin potenssin laskusäännöillä saadaan ab = p a 1+b 1 +bn n. Lause 2.8 Olkoon a = p a 1 n. Tällöin b a, jos ja vain jos b = p b 1 n, missä 0 b i a i kaikilla i = 1,..., n. Todistus. Olkoon b = p b 1 n, missä 0 b i a i. Merkitään c = p c 1 n, missä c i = a i b i. Tällöin bc = p b 1+c 1 +cn n = p a 1 n = a, joten b a. Olkoon kääntäen b a. Jos nyt p on alkuluku ja p b, niin p a, joten Apulauseen 2.6 mukaan p = p i, jollakin i = 1,..., n. Siis jokainen b:n alkutekijä on myös a:n alkutekijä. Lisäksi jokainen b:n tekijä on a:n tekijä. Siis b = p b 1 n, missä 0 b i a i. Lause 2.9 Olkoot a = p a 1 n ja b = p b 1 n. Tällöin missä c i = min{a i, b i }, i = 1,..., n. syt(a, b) = p c 1 n, Todistus. Jos c = p c 1 n, missä c i = min{a i, b i }, niin c i a i ja c i b i, joten edellisen lauseen mukaan c a ja c b. Oletetaan, että d a ja d b. Tällöin edellisen lauseen mukaan d = p d 1 n, missä d i a i ja d i b i kaikilla i = 1,..., n. Siis d i min{a i, b i }, eli d i c i. Edellisen lauseen perusteella d c, joten d c. Yhdistämällä päättelyt saadaan, että c = syt(a, b). Määritelmä 2.10 Lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava pyj(a, b) on pienin sellainen positiivinen luku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla a ja b. Huomautus. d = pyj(a, b), jos ja vain jos luku d > 0 toteuttaa ehdot: 1) a d ja b d. 2) Jos a c ja b c, missä c > 0, niin d c.

5 Matematiikan mestariluokka, syksy Lause 2.11 Olkoot a = p a 1 n ja b = p b 1 n. Tällöin missä d i = max{a i, b i }, i = 1,..., n. pyj(a, b) = p d 1 n, Todistus. Jos d = p d 1 n, missä d i = max{a i, b i }, niin a i d i ja b i d i, joten Lauseen 2.8 mukaan a d ja b d. Olkoon c > 0 sellainen, että a c ja b c. Tällöin Lauseen 2.8 mukaan c = p c 1 n, missä a i c i ja b i c i kaikilla i = 1,..., n. Siis max{a i, b i } c i, eli d i c i. Lauseen 2.8 perusteella d c, joten d c. Yhdistämällä päättelyt saadaan, että d = pyj(a, b). Lause 2.12 Luvuille a ja b pätee yhtälö syt(a, b)pyj(a, b) = ab. Todistus. Olkoot a = p a 1 n, b = p b 1 n. Lauseiden 2.8 ja 2.11 perusteella syt(a, b) = p c 1 n ja pyj(a, b) = p d 1 n, missä c i = min{a i, b i } ja d i = max{a i, b i }. Nyt c i + d i = min{a i, b i } + max{a i, b i } = a i + b i, joten syt(a, b)pyj(a, b) = p c 1 n p d 1 n = p c 1+d 1 +dn n = p a 1+b 1 +bn n = p a 1 n p b 1 n = ab. Tehtäviä 23 Etsi lukujen 1234, ja kanoniset esitykset. 24 Etsi kaikki luvun 50! = alkutekijät. 25 Etsi kaikki luvun 120 = positiiviset tekijät. 26 Osoita, että luvun a = p a 1 1 p a 2 2 p an n (a 1 + 1)(a 2 + 1) (a n + 1). positiivisten tekijöiden lukumäärä on 27 Todista käyttämällä kanonisia esityksiä, että syt(ka, kb) = k syt(a, b). 28 Määritä pyj(2600, 10140) käyttämällä a) Lausetta 2.11, b) Lauseita 2.9 ja 2.12.

6 Matematiikan mestariluokka, syksy Alkutekijöiden etsimisestä Luvun a alkutekijöitä voidaan etsiä yksinkertaisen alkulukutestin perusteella tarkastamalla jaollisuutta alkuluvuilla p, missä p a. Esimerkki. Etsi lukujen a) 2093, b) 6077 alkutekijät. Ratkaisu. a) Koska 45 < 2093 < 46, niin riittää tarkastaa jaollisuutta alkuluvuilla 2, 3,..., 43. Kokeilemalla huomataan, että pienin alkutekijä on 7, joten 2093 = Koska , niin tarkastellaan luvun 299 jaollisuutta alkuluvuilla 2, 3,..., 17. Kokeilemalla huomataan, että 299 = 13 23, missä myös 23 on alkuluku. Siis luvulla 2093 on kolme alkutekijää ja 2093 = b) Koska 77 < 6077 < 78, niin tarkastetaan jaollisuutta alkuluvuilla 2, 3,..., 73. Kokeilemalla huomataan, että pienin alkutekijä on 59, joten 6077 = Myös 103 on alkuluku, joten 6077 = on esitys alkulukujen avulla. Joskus tekijöiden etsimisessä seuraavaan lauseeseen perustuva Fermat n menetelmä on tehokkaampi. Lause 2.13 Jos a > 0 on pariton, niin a on yhdistetty luku, jos ja vain jos on olemassa sellaiset luvut x ja y, että a = x 2 y 2. Todistus. Olkoon a yhdistetty luku, jolloin a = bc. Merkitään Tällöin x = b + c 2 ja y = b c 2. x 2 y 2 = b2 + 2bc + c 2 b2 2bc + c 2 = 4bc = bc = a Olkoon kääntäen a = x 2 y 2. Tällöin a = (x y)(x + y), joten a on yhdistetty luku. Tässä menetelmässä etsitään siis yhtälön a = x 2 y 2 eli yhtälön y 2 = x 2 a. toteuttavia kokonaislukuja x ja y. Kannattaa huomata, että x 2 a > 0 x 2 > a x > a. Fermat n menetelmä. Olkoon a > 0 pariton ja t 0 pienin epäyhtälön t > a toteuttava kokonaisluku. Etsitään sellainen luku k = 0, 1,..., että lausekkeen arvo on jonkin kokonaisluvun y neliö. (t 0 + k) 2 a

7 Matematiikan mestariluokka, syksy Esimerkki. Etsi lukujen a) 2093, b) 6077 alkutekijät. Ratkaisu. a) Koska 45 < 2093 < 46, niin merkitään t 0 = 46. Etsitään neliöitä: = = = = 1156 = 34 2 Siis 2093 = = (57 34)( ) = Lisäksi 23 on alkuluku. Etsitään vielä luvun 91 alkutekijät. Huomataan, että 9 < 91 < 10, joten merkitään t0 = 10. Etsitään taas neliöitä: = 9 = 3 2. Siis 91 = = (10 3)(10 + 3) = Kumpikin luvuista 7 ja 13 on alkuluku. Näin ollen 2093 = b) Huomataan, että 77 < 6077 < 78, joten merkitään t 0 = 78. Etsitään neliöitä: = = = = 484 = 22 2 siis 6077 = = (81 22)( ) = Lisäksi 59 ja 103 ovat alkulukuja. Siis 6077 = Tehtäviä 29 Etsi lukujen 2279 ja alkutekijät yksikertaiseen alkulukutestiin perustuvalla tavalla. 30 Etsi lukujen 2279 ja alkutekijät Fermat n menetelmällä. 31 Osoita, että Fermat n menetelmän prosessi pysähtyy jossain vaiheessa. Opastus. Tutki arvoa t 0 + k = a Pohdi milloin a) yksinkertaiseen alkulukutestiin perustuva tapa, b) Fermat n menetelmä on tehokas alkutekijöiden etsinnässä.

8 Matematiikan mestariluokka, syksy Lisätehtäviä 33 Jos p ja p + 2 ovat alkulukuja, niitä sanotaan alkulukukaksosiksi. a) Etsi viisi paria alkulukukaksosia. b) Lisätään alkulukukaksosten tuloon luku 1. Todista, että saadaan jonkin luvun neliö. c) Todista, että jos p > 3, niin alkulukukaksosten p ja p + 2 summa on jaollinen luvulla 12. Opastus. Tehtävä Osoita, että jos luvut p, p + 2 ovat alkulukuja ja p > 3, niin p + 4 on yhdistetty luku. 35 Jos p, p + 2 ja p + 6 ovat alkulukuja, niitä sanotaan alkulukukolmosiksi. Etsi viisi alkulukukolmosten muodostamaa kolmikkoa. 36 Etsi kaikki alkuluvut p ja q, joille pätee p q = Otaksutaan, että on ääretön määrä muotoa n 2 2 olevia alkulukuja. Etsi viisi tällaista alkulukua. 38 Osoita, että jokaista lukua n kohti löytyy sellainen alkuluku p, että p > n. Opastus. Tutki lukua a = n! Osoita, että löytyy n peräkkäistä yhdistettyä lukua kaikilla n N, n 2. Opastus. Tutki lukuja a k = (n + 1)! + k, missä k = 2,..., n Etsi Eratostheneen seulalla kaikki lukujen 100 ja 200 välissä olevat alkuluvut. 41 Etsi pienin positiivinen luku n jolla a) n 2 + n + 17, b) n n + 1 on yhdistetty luku. 42 Tutki ovatko kaikki muotoa n 2 + n + 41 olevat luvut alkulukuja. 43 Merkitään alkulukuja p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,.... Voidaan osoittaa, että jokaista lukua n 2 kohti on ainakin yksi sellainen alkuluku p, että n < p < 2n (Tšebysev, 1850). Osoita tämän tuloksen avulla, että p n < 2 n kaikilla n N. 44 Millaisilla luvuilla on a) kolme, b) neljä eri positiivista tekijää? 45 Osoita, että luku a 2 on jonkin positiivisen luvun neliö, jos ja vain jos a:n kanonisen esityksen jokainen eksponentti on parillinen. 46 Etsi luvun alkutekijät Fermat n menetelmällä. 47 Voit opiskella lisää lukuteoriaa esimerkiksi Jukka Pihkon monisteesta Lukuteorian helmiä lukiolaisille, joka löytyy Solmu-lehden kotisivun kautta. Katso

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma

Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Lehtonen Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2004 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Alkuluvuista

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Lukuteorian kurssi lukioon

Lukuteorian kurssi lukioon TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heikki Hietava. Neliöiden summat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heikki Hietava. Neliöiden summat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heikki Hietava Neliöiden summat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HIETAVA, HEIKKI: Neliöiden

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

Multiplikatiivisista funktioista

Multiplikatiivisista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista

Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista J Pahikkala Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista Erilaisia lukujen keskiarvoja on useita tunnetuimmat ovat tavallinen eli aritmeettinen keskiarvo ja keskiverto eli geometrinen keskiarvo

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 5 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema, Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET. 1. Luonnolliset luvut. N = {1, 2, 3,... } luonnolliset luvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } kokonaisluvut

LUKUTEORIAN ALKEET. 1. Luonnolliset luvut. N = {1, 2, 3,... } luonnolliset luvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } kokonaisluvut LUKUTEORIAN ALKEET Alkusanat Tässä on Heli Tuomisen luentomonisteeseen perustuvat muistiinpanot kevään 2013 Lukuteorian alkeet -kurssista. Kurssi on suunnattu erityisesti aineenopettajiksi opiskeleville

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä

RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä Perusteet, algoritmit, hyökkäykset Matti K. Sinisalo, FL Alkuluvut Alkuluvuilla tarkoitetaan lukua 1 suurempia kokonaislukuja, jotka eivät ole tasan jaollisia

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Multiplikatiiviset funktiot

Multiplikatiiviset funktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Täydelliset totienttiluvut

Täydelliset totienttiluvut TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tuukka Hyvärinen Täydelliset totienttiluvut Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HYVÄRINEN,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Jaollisuus à. Tekijöihin jako Kerrataan aluksi muutamia merkintöjä: on luonnollisten lukujen joukko, on kokonaislukujen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Mikaela Hellstén. Pellin yhtälö

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Mikaela Hellstén. Pellin yhtälö TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mikaela Hellstén Pellin yhtälö Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Kesäkuu 017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta HELLSTÉN, MIKAELA: Pellin yhtälö

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot