Matematiikan mestariluokka, syksy

Transkriptio

1 Matematiikan mestariluokka, syksy Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty luku. Esimerkki. Luvut 2, 3, 5, 7, 11 ja 13 ovat alkulukuja ja 4, 6, 8, 9, ja 12 ovat yhdistettyjä lukuja. Luku 1 ei ole alkuluku eikä yhdistetty luku. Lause 2.2 Jos p on alkuluku ja p ab, niin p a tai p b. Todistus. Oletetaan, että p on alkuluku ja p ab. Jos nyt p a, niin väite on tosi, eikä ole mitään todistettavaa. Oletetaan siis, että p a. Koska p on alkuluku, niin syt(p, a) = 1. Eukleideen lemman nojalla on p b. Seuraavan lauseen todistuksessa käytetään ns. matemaattista induktiota. Tätä menetelmää opiskellaan tarkemmin keväällä Induktiotodistuksen periaate on seuraava. Pyritään todistamaan, että luonnollisiin lukuihin liittyvä väite P (n) on tosi kaikilla n N. Tämä pitää paikkansa, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) P (1) on tosi. 2) Jos P (k) on tosi, niin myös P (k + 1) on tosi. Ehdon 2 oletusta P (k) on tosi sanotaan induktio-oletukseksi. Induktiotodistus voi alkaa luvun n = 1 sijasta mistä luvusta n 1 hyvänsä. Lisäksi induktio-oletus voidaan tarvittaessa korvata ehdolla P (n) on tosi kaikilla n = 1,..., k. Ehdossa 2 voidaan myös yhtä hyvin olettaa P (n) todeksi arvoilla n = 1,..., k 1 ja sen jälkeen todistaa P (k) todeksi. Lause 2.3 Jokainen luku a 2 on alkulukujen tulo. Todistus. Todistetaan väite induktiolla. 1) Luku 2 on alkuluku, joten väite pätee luvulle a = 2. 2) Oletetaan nyt, että väite pätee kaikille luvuille 2,..., k 1. Tarkastellaan lukua a = k. Jos k on alkuluku, niin väite pätee. Jos taas k on yhdistetty luku, niin k = bc, missä 1 < b < k ja 1 < c < k. Induktio-oletuksen mukaan b ja c ovat alkulukujen tuloja, joten myös k = bc on alkulukujen tulo. Lause 2.4 Alkulukuja on ääretön määrä. Todistus. Tehdään vastaoletus, että alkulukuja on vain äärellinen määrä. Olkoot ne p 1, p 2,..., p n. Tarkastellaan lukua a = p 1 p 2 p n + 1. Edellisen lauseen mukaan luvulla a on tekijänä jokin alkuluvuista p i, joten a = kp i. Koska 1 = a p 1 p n = kp i p 1 p n, niin Lauseen 1.2 mukaan p i 1, mikä on ristiriita. Alkulukujen määrä ei siis voi olla äärellinen.

2 Matematiikan mestariluokka, syksy Sen selvittäminen, onko annettu luku alkuluku vai ei, on yleisesti varsin hankalaa. Pienillä luvuilla voidaan menetellä seuraavasti: Yksinkertainen alkulukutesti. Tarkastetaan luvun a jaollisuus kaikilla alkuluvuilla p, joille p a. Jos a ei ole jaollinen millään näistä alkuluvuista, niin a itse on alkuluku. Menetelmä todella kertoo, onko a alkuluku. Nimittäin, jos a = bc, missä b > a ja c > a, niin bc > a a = a, mikä on ristiriita. Tämä testi antaa lisäksi menetelmän, jolla löydetään kaikki lukua a pienemmmät alkuluvut: Eratostheneen seula. Olkoon a > 2. Kirjoitetaan luetteloon kaikki luvut 2, 3,..., a. Luku 2 on alkuluku, joten pyyhitään luettelosta pois kaikki 2:lla jaolliset luvut. Luku 3 on alkuluku, joten pyyhitään luettelosta pois kaikki 3:lla jaolliset luvut. Näin jatketaan suurimpaan alkulukuun p asti, jolle p a. Yksinkertaisen alkulukutestin perusteella kaikki luetteloon jäävät luvut ovat alkulukuja. Esimerkki. Etsitään taulukosta kaikki lukua 100 pienemmät alkuluvut Tehtäviä 17 Todista, että jokainen alkuluku p > 3 on muotoa 6k + 1 tai 6k 1 jollakin k N. Onko jokainen muotoa 6k + 1 tai 6k 1 oleva luku alkuluku? 18 Olkoon p > 3 alkuluku. Osoita, että p on yhdistetty luku. 19 Mersennen alkuluku on muotoa 2 n 1 oleva alkuluku, n N. Etsi viisi Mersennen alkulukua. 20 Merkitään alkulukuja p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,.... Tutki ovatko kaikki muotoa a = p 1 p 2 p n + 1 olevat luvut alkulukuja. (Vrt. Lauseen 2.4 todistus.) 21 Todista Lause 2.4 vaihtoehtoisella tavalla: Oleta, että on olemassa suurin alkuluku p. Tutki sen jälkeen luvun a = p! + 1 jaollisuutta luvuilla 2, 3, 4,..., p. 22 Etsi (jos mahdollista) a) viisi, b) kuusi, c) seitsemän peräkkäistä kahden alkuluvun välissä olevaa yhdistettyä lukua.

3 Matematiikan mestariluokka, syksy Aritmetiikan peruslause Todistetaan aritmetiikan peruslause, joka sanoo, että jokainen kokonaisluku a 2 voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Valmistellaan lausetta esittämällä kaksi apulausetta, joista ensimmäinen yleistää Lauseen 2.2. Apulause 2.5 Jos p on alkuluku ja p a 1 a 2 a n, niin p a i jollakin i = 1,..., n. Todistus. Jos p a 1, niin väite pätee. Jos p a 1, niin Lauseen 2.2 perusteella p a 2 a n. Jos p a 2, niin väite pätee. Jos taas p a 2, niin edelleen Lauseen 2.2 perusteella p a 3 a n. Näin jatkamalla saadaan väite. Apulause 2.6 Jos p, p 1, p 2,..., p n ovat alkulukuja ja p p 1 p 2 p n, niin p = p i jollakin i = 1,..., n. Todistus. Edellisen apulauseen nojalla p p i, jollakin i = 1,..., n. Koska alkuluvun p i ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja p i, niin p = p i. Lause 2.7 (Aritmetiikan peruslause) Jokainen kokonaisluku a 2 voidaan esittää alkulukujen tulona ja tämä tulo on yksikäsitteinen tekijöiden järjestystä lukuunottamatta. Todistus. Todistetaan väite induktiolla luvun a suhteen. 1) Jos a = 2, niin väite pätee. 2) Oletetaan, että jokaisella lukua k pienemmällä luvulla on yksikäsitteinen esitys alkulukujen tulona. Todistetaan ensin, että myös a = k on alkulukujen tulo. Jos k on alkuluku, niin väite pätee. Oletetaan siis, että k on yhdistetty luku, eli k = bc. Nyt b < k ja c < k, joten niillä on esitykset alkulukujen tuloina. Siis luvulla k on esitys alkulukujen tulona. Osoitetaan vielä yksikäsitteisyys. Sitä varten oletetaan, että k = p 1 p 2 p s ja k = q 1 q 2 q t, missä p 1,..., p s ja q 1,..., q t ovat alkulukuja. Koska p 1 k, niin p 1 q 1 q 2 q s, joten Apulauseen 2.6 mukaan p 1 = q i jollakin i = 1,..., t. Muutetaan lukujen q 1,..., q t numerointia niin, että p 1 = q 1. Tällöin k p 1 = p 2 p 3 p s = q 2 q 3 q t. Jos s 2 tai t 2, niin 1 < k p 1 < k. Induktio-oletuksen mukaan luvun k p 1 esitys alkulukujen tulona on yksikäsitteinen, joten s = t, ja siis myös luvun k esitys alkulukujen tulona on yksikäsitteinen.

4 Matematiikan mestariluokka, syksy Aritmetiikan peruslause on erittäin käyttökelpoinen työväline monissa sellaisissa tehtävissä, jotka käsittelevät luvun tekijöitä. Päättelyissä käytetään usein hyväksi arimetiikan peruslauseesta saatavaa luvun kanonista alkutekijäesitystä. Jatkossa tässä kappaleessa tarkastellaan pelkästään positiivisia kokonaislukuja. Luvun a 2 kanoninen alkutekijäesitys on muotoa a = p a 1 1 p a 2 2 p an n, missä p 1, p 2,..., p n ovat luvun a alkutekijät, p 1 < p 2 < < p n ja a i > 0 kaikilla i = 1,..., n. Kanonista alkutekijäesitystä sanotaan myös kanoniseksi esitykseksi. Huomautus. Joskus merkinnässä a = p a 1 1 p a 2 2 p an n on tarkoituksenmukaista hyväksyä, että a i = 0 joillakin indekseillä i. Esimerkki. Jos a = p a 1 n ja b = p b 1 n, niin potenssin laskusäännöillä saadaan ab = p a 1+b 1 +bn n. Lause 2.8 Olkoon a = p a 1 n. Tällöin b a, jos ja vain jos b = p b 1 n, missä 0 b i a i kaikilla i = 1,..., n. Todistus. Olkoon b = p b 1 n, missä 0 b i a i. Merkitään c = p c 1 n, missä c i = a i b i. Tällöin bc = p b 1+c 1 +cn n = p a 1 n = a, joten b a. Olkoon kääntäen b a. Jos nyt p on alkuluku ja p b, niin p a, joten Apulauseen 2.6 mukaan p = p i, jollakin i = 1,..., n. Siis jokainen b:n alkutekijä on myös a:n alkutekijä. Lisäksi jokainen b:n tekijä on a:n tekijä. Siis b = p b 1 n, missä 0 b i a i. Lause 2.9 Olkoot a = p a 1 n ja b = p b 1 n. Tällöin missä c i = min{a i, b i }, i = 1,..., n. syt(a, b) = p c 1 n, Todistus. Jos c = p c 1 n, missä c i = min{a i, b i }, niin c i a i ja c i b i, joten edellisen lauseen mukaan c a ja c b. Oletetaan, että d a ja d b. Tällöin edellisen lauseen mukaan d = p d 1 n, missä d i a i ja d i b i kaikilla i = 1,..., n. Siis d i min{a i, b i }, eli d i c i. Edellisen lauseen perusteella d c, joten d c. Yhdistämällä päättelyt saadaan, että c = syt(a, b). Määritelmä 2.10 Lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava pyj(a, b) on pienin sellainen positiivinen luku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla a ja b. Huomautus. d = pyj(a, b), jos ja vain jos luku d > 0 toteuttaa ehdot: 1) a d ja b d. 2) Jos a c ja b c, missä c > 0, niin d c.

5 Matematiikan mestariluokka, syksy Lause 2.11 Olkoot a = p a 1 n ja b = p b 1 n. Tällöin missä d i = max{a i, b i }, i = 1,..., n. pyj(a, b) = p d 1 n, Todistus. Jos d = p d 1 n, missä d i = max{a i, b i }, niin a i d i ja b i d i, joten Lauseen 2.8 mukaan a d ja b d. Olkoon c > 0 sellainen, että a c ja b c. Tällöin Lauseen 2.8 mukaan c = p c 1 n, missä a i c i ja b i c i kaikilla i = 1,..., n. Siis max{a i, b i } c i, eli d i c i. Lauseen 2.8 perusteella d c, joten d c. Yhdistämällä päättelyt saadaan, että d = pyj(a, b). Lause 2.12 Luvuille a ja b pätee yhtälö syt(a, b)pyj(a, b) = ab. Todistus. Olkoot a = p a 1 n, b = p b 1 n. Lauseiden 2.8 ja 2.11 perusteella syt(a, b) = p c 1 n ja pyj(a, b) = p d 1 n, missä c i = min{a i, b i } ja d i = max{a i, b i }. Nyt c i + d i = min{a i, b i } + max{a i, b i } = a i + b i, joten syt(a, b)pyj(a, b) = p c 1 n p d 1 n = p c 1+d 1 +dn n = p a 1+b 1 +bn n = p a 1 n p b 1 n = ab. Tehtäviä 23 Etsi lukujen 1234, ja kanoniset esitykset. 24 Etsi kaikki luvun 50! = alkutekijät. 25 Etsi kaikki luvun 120 = positiiviset tekijät. 26 Osoita, että luvun a = p a 1 1 p a 2 2 p an n (a 1 + 1)(a 2 + 1) (a n + 1). positiivisten tekijöiden lukumäärä on 27 Todista käyttämällä kanonisia esityksiä, että syt(ka, kb) = k syt(a, b). 28 Määritä pyj(2600, 10140) käyttämällä a) Lausetta 2.11, b) Lauseita 2.9 ja 2.12.

6 Matematiikan mestariluokka, syksy Alkutekijöiden etsimisestä Luvun a alkutekijöitä voidaan etsiä yksinkertaisen alkulukutestin perusteella tarkastamalla jaollisuutta alkuluvuilla p, missä p a. Esimerkki. Etsi lukujen a) 2093, b) 6077 alkutekijät. Ratkaisu. a) Koska 45 < 2093 < 46, niin riittää tarkastaa jaollisuutta alkuluvuilla 2, 3,..., 43. Kokeilemalla huomataan, että pienin alkutekijä on 7, joten 2093 = Koska , niin tarkastellaan luvun 299 jaollisuutta alkuluvuilla 2, 3,..., 17. Kokeilemalla huomataan, että 299 = 13 23, missä myös 23 on alkuluku. Siis luvulla 2093 on kolme alkutekijää ja 2093 = b) Koska 77 < 6077 < 78, niin tarkastetaan jaollisuutta alkuluvuilla 2, 3,..., 73. Kokeilemalla huomataan, että pienin alkutekijä on 59, joten 6077 = Myös 103 on alkuluku, joten 6077 = on esitys alkulukujen avulla. Joskus tekijöiden etsimisessä seuraavaan lauseeseen perustuva Fermat n menetelmä on tehokkaampi. Lause 2.13 Jos a > 0 on pariton, niin a on yhdistetty luku, jos ja vain jos on olemassa sellaiset luvut x ja y, että a = x 2 y 2. Todistus. Olkoon a yhdistetty luku, jolloin a = bc. Merkitään Tällöin x = b + c 2 ja y = b c 2. x 2 y 2 = b2 + 2bc + c 2 b2 2bc + c 2 = 4bc = bc = a Olkoon kääntäen a = x 2 y 2. Tällöin a = (x y)(x + y), joten a on yhdistetty luku. Tässä menetelmässä etsitään siis yhtälön a = x 2 y 2 eli yhtälön y 2 = x 2 a. toteuttavia kokonaislukuja x ja y. Kannattaa huomata, että x 2 a > 0 x 2 > a x > a. Fermat n menetelmä. Olkoon a > 0 pariton ja t 0 pienin epäyhtälön t > a toteuttava kokonaisluku. Etsitään sellainen luku k = 0, 1,..., että lausekkeen arvo on jonkin kokonaisluvun y neliö. (t 0 + k) 2 a

7 Matematiikan mestariluokka, syksy Esimerkki. Etsi lukujen a) 2093, b) 6077 alkutekijät. Ratkaisu. a) Koska 45 < 2093 < 46, niin merkitään t 0 = 46. Etsitään neliöitä: = = = = 1156 = 34 2 Siis 2093 = = (57 34)( ) = Lisäksi 23 on alkuluku. Etsitään vielä luvun 91 alkutekijät. Huomataan, että 9 < 91 < 10, joten merkitään t0 = 10. Etsitään taas neliöitä: = 9 = 3 2. Siis 91 = = (10 3)(10 + 3) = Kumpikin luvuista 7 ja 13 on alkuluku. Näin ollen 2093 = b) Huomataan, että 77 < 6077 < 78, joten merkitään t 0 = 78. Etsitään neliöitä: = = = = 484 = 22 2 siis 6077 = = (81 22)( ) = Lisäksi 59 ja 103 ovat alkulukuja. Siis 6077 = Tehtäviä 29 Etsi lukujen 2279 ja alkutekijät yksikertaiseen alkulukutestiin perustuvalla tavalla. 30 Etsi lukujen 2279 ja alkutekijät Fermat n menetelmällä. 31 Osoita, että Fermat n menetelmän prosessi pysähtyy jossain vaiheessa. Opastus. Tutki arvoa t 0 + k = a Pohdi milloin a) yksinkertaiseen alkulukutestiin perustuva tapa, b) Fermat n menetelmä on tehokas alkutekijöiden etsinnässä.

8 Matematiikan mestariluokka, syksy Lisätehtäviä 33 Jos p ja p + 2 ovat alkulukuja, niitä sanotaan alkulukukaksosiksi. a) Etsi viisi paria alkulukukaksosia. b) Lisätään alkulukukaksosten tuloon luku 1. Todista, että saadaan jonkin luvun neliö. c) Todista, että jos p > 3, niin alkulukukaksosten p ja p + 2 summa on jaollinen luvulla 12. Opastus. Tehtävä Osoita, että jos luvut p, p + 2 ovat alkulukuja ja p > 3, niin p + 4 on yhdistetty luku. 35 Jos p, p + 2 ja p + 6 ovat alkulukuja, niitä sanotaan alkulukukolmosiksi. Etsi viisi alkulukukolmosten muodostamaa kolmikkoa. 36 Etsi kaikki alkuluvut p ja q, joille pätee p q = Otaksutaan, että on ääretön määrä muotoa n 2 2 olevia alkulukuja. Etsi viisi tällaista alkulukua. 38 Osoita, että jokaista lukua n kohti löytyy sellainen alkuluku p, että p > n. Opastus. Tutki lukua a = n! Osoita, että löytyy n peräkkäistä yhdistettyä lukua kaikilla n N, n 2. Opastus. Tutki lukuja a k = (n + 1)! + k, missä k = 2,..., n Etsi Eratostheneen seulalla kaikki lukujen 100 ja 200 välissä olevat alkuluvut. 41 Etsi pienin positiivinen luku n jolla a) n 2 + n + 17, b) n n + 1 on yhdistetty luku. 42 Tutki ovatko kaikki muotoa n 2 + n + 41 olevat luvut alkulukuja. 43 Merkitään alkulukuja p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,.... Voidaan osoittaa, että jokaista lukua n 2 kohti on ainakin yksi sellainen alkuluku p, että n < p < 2n (Tšebysev, 1850). Osoita tämän tuloksen avulla, että p n < 2 n kaikilla n N. 44 Millaisilla luvuilla on a) kolme, b) neljä eri positiivista tekijää? 45 Osoita, että luku a 2 on jonkin positiivisen luvun neliö, jos ja vain jos a:n kanonisen esityksen jokainen eksponentti on parillinen. 46 Etsi luvun alkutekijät Fermat n menetelmällä. 47 Voit opiskella lisää lukuteoriaa esimerkiksi Jukka Pihkon monisteesta Lukuteorian helmiä lukiolaisille, joka löytyy Solmu-lehden kotisivun kautta. Katso