8 YHDEN VAPAUSASTEEN VÄRÄHTELY

Transkriptio

1 Dynaiikka 8. 8 YHDEN VAPAUSASTEEN VÄRÄHTELY 8. Yleisä Koneen- ja rakenneosa voiaan ioiaa avanoaisilla saiikan ja lujuusopin eneelillä kuoriusen ollessa ajasa riippuaoia eli saaisia. Käyännössä esiinyy yös usein ilaneia, joissa kuoriukse vaiheleva ajan ukana eli ova ynaaisia. Tällöin kuoriuksen suuruus, suuna ai vaikuuskoha voi olla ajasa riippuva. Jos kuorius on unneu ajan funkio, sanoaan siä eerinisiseksi kuoriukseksi. Jos aas kuoriushisoria unneaan vain ilasollisessa ielessä, on kyseessä saunnaiskuorius. Jos kappaleeseen kohisuva kuorius aiheuaa sille liikeilan, joka oisuu ääräajan kuluua joko äysin ai lähes saanlaisena, sanoaan synynyä liikeä kappaleen värähelyksi. Vasaavasi saunnaiskuoriuksen aiheuaaa liikeä kusuaan saunnaisliikkeeksi. Koneissa yleisesi esiinyvä koneen osien oisuva liikesarja aiheuava värähelyjä, joka avallisesi lisäävä rasiuksia ja pienenävä hyöysuhea. Koneien käyönopeuksien kasvaessa on värähelyanalyysillä yhä suurepi osuus koneensuunnielussa. Myös rakeneien suunnielussa on värähelyien halliseinen ullu ärkeäksi, koska aeriaalien lujuusoinaisuuksien paranuessa rakenee voiaan suunniella yhä kevyeiksi, jolloin niien värähelyherkkyys kasvaa. Koneissa ja laieissa värähely ova yleensä haiallisia ja suunnielijan on pyriävä esäään ne ahollisian arkoin. Haia ilenevä uun uassa laieien oiinahäiriöinä ja väsyisvaurioina sekä vaikuuksina värähelyille aliina oleviin ihisiin. Haiojen eliinoinnissa yrieään värähelevän syseein oinaisuuksiin ja kuoriuksiin vaikuaalla saaa värähelyapliui niin pieniksi, eä haia voiaan kasoa erkiykseöiksi. Löyyy yös eknillisiä sovelluksia, joissa värähelyjä käyeään hyväksi. Tällaisia ova esierkiksi sekoiie, seula ja ärinäkuljeie. 8. Parikkelin oinaisvärähely Kun jousella alusaan ueua kappalea poikkeueaan asapainoaseasaan ja pääseään sien liikkeelle ilan saanaikaisesi vaikuavia ulkoisia voiia, synyy kappaleelle liike, joa kusuaan oinaisvärähelyksi eli vapaaksi värähelyksi. Käyännön ilaneissa oinaisvärähelyn aikana vaikuaa aina liikeä vasusavia voiia, joka vähiellen pienenävä värähelyliikkeen apliuia, kunnes liike lopula pysähyy. Tällaisia liikeä vasusavia voiia ova esierkiksi ekaaninen kika ja väliaineen vasus. Toisinaan vaiennusvoia ova niin pieniä, eä niien vaikuusa ei kannaa oaa huoioon, jolloin kyseessä on vaieneaon oinaisvärähely. Usein vaiennusvoiilla on kuienkin huoaava vaikuus eikä niiä voia jäää pois ar-

2 8. Dynaiikka kaseluisa. Tällöin on kyseessä vaieneva oinaisvärähely. Seuraavassa arkasellaan erikseen kupaakin näisä perusapauksisa. 8.. Vaieneaon oinaisvärähely k k g Tarkasellaan kuvan 8. ukaisen jousiassa syseein värähelyä kikaoalla vaakaasolla. Merkiään sybolilla assan vaaka-aseaa iauna saaisesa asapainoaseasa, jossa jousi on venyäön. Jousen oleeaan käyäyyvän lineaarisesi, jolloin jousivoian lauseke on F j = k (8.) Kuva 8. Oinaisvärähelyn perusalli. N issä k on jousivakio. Värähelevän assan liikeyhälö saaaan kuvan 8. vapaakappalekuvasa sovelaalla Newonin II lakia vaakasuunnassa k = + k = (8.) Jakaalla kaavassa (8.) puoliain assalla, enee liikeyhälö sanariuooon + ω = (8.3) jolloin on oeu käyöön erkinä ω = k / (8.4) Suurea ω sanoaan oinaiskulaaajuueksi. Liikeyhälö (8.3) on haronisen värähelyliikkeen iffereniaaliyhälö. Liikeyhälön (8.3) yleinen rakaisu on unneusi ω () = A sinω + A cos (8.5) issä A ja A ova alkuehoisa riippuvia vakioia. Kun syseein alkuasea ja alkunopeus unneaan, voiaan vakio A ja A laskea. Nopeuen lausekkeeksi ulee erivoialla () = A ωcosω A ωsin (8.6) ω Alkuehoisa seuraa vakioille A ja A seuraava rakaisu

3 Dynaiikka 8.3 = () = A = () = A ω A = A = (8.7) ω Liikeyhälön rakaisu () enee näin ollen uooon () = sin ω + ω cos ω (8.8) Liikeyhälön (8.3) rakaisu voiaan esiää yös vaihoehoisesi uoossa () = Csin( ω + ψ) (8.9) issä siiryän aksiiarvoa C sanoaan värähysliikkeen apliuiksi ja kulaa ψ vaihekulaksi. Nopeuen lausekkeeksi ulee erivoialla () = Cωcos( ω + ψ) (8.) Alkuehoisa seuraa ny vakioille C ja ψ seuraava rakaisu = () = Csinψ = () = Cωcosψ C = + ω ψ = an ω (8.) Liikeyhälön rakaisuksi () ulee () = + ω sin ω + an ω (8.) Kaavoisa (8.7) ja (8.) näkyy, eä vakioien A ja A sekä C ja ψ välillä on yheys C = A + A ψ = an ( A / A ) (8.3) Kun liikeyhälön (8.3) rakaisu esieään -koorinaaisossa, saaaan kuvan 8. (b) ukainen sinikäyrä. Tään käyrän oorinaaa ova asaisella kulanopeuella ω pyörivän C-piuisen vekorin pysyprojekio kuvan 8. (a) ukaisesi. Kuvasa 8. (a) näkyy yös uien vakioien A, A ja ψ ulkina. Aikaväliä, jonka kuluua liike oisuu saanlaisena, kusuaan oinaisvärähysajaksi τ ja sen kääneisarvoa f = / τ oinaisaajuueksi. Koska sinin jakso on π, seuraa kaavasa (8.) yheys ωτ = π, joen voiaan kirjoiaa seuraava ulokse. π ω k τ = = π f = = = (8.4) ω k τ π π

4 8.4 Dynaiikka Oinaiskulaaajuuen ω yksikkö on ra/s ja oinaisaajuuen f yksikkö /s = Hz. (a) (b) τ = π / ω C ω A C ψ A ω () () Kuva 8. Vaieneaon oinaisvärähely. -C Tarkasellaan vielä kuvan 8.3 (a) ukaisen jousi-assa syseein oinaisvärähelyä, jolloin värähely apahuu pysysuunnassa painovoiakenässä. Massan asean ilaisee saaisesa asapainoaseasa iau koorinaai. Kuvassa 8.3 (b) syseei on saaisessa asapainoaseassaan, jossa jousen piuuenuuos on. Saainen asapainoeho pysysuunnassa on k g = k = g (8.5) Kuvasa 8.3 (c) saaaan liikeyhälö sovelaalla Newonin II lakia pysysuunnassa (a) g jousen lepopiuus k (b) (c) k k( + ) k ( + ) g = (8.6) josa saaaan syseein liikeyhälöksi uloksen (8.5) avulla saainen asapaino + k = (8.7) ikä on aivan saaa uooa kuin g g liikeyhälö (8.). Saaisen asapainoasean käyö verailukohana Kuva 8.3 Oinaisvärähely painovoiakenässä. aiheuaa liikeyhälölle yksinkeraisen uoon, jossa painovoian vaikuus on eliinoiunu. Tuloksen (8.5) peruseella suureien ω, τ ja f lausekkee enevä uooon ω = g τ = π g f = π g (8.8) josa näkyy, eä ω voiaan ääriää iaaalla jousen saainen piuuenuuos.

5 Dynaiikka 8.5 On syyä huoaa eriyisesi, eä suuree ω, τ ja f riippuva vain syseein assasa ja jousivakiosa k ja ova näin ollen sen perusoinaisuuksia, s. ne eivä riipu esierkiksi ulkoisesa kuoriuksesa. 8.. Vaieneva oinaisvärähely Jokaisessa ekaanisessa syseeissä esiinyy ainakin jossain äärin vaiennusvoiia, joka pienenävä syseein ekaanisa energiaa (poeniaali- ja liikeenergia) värähelyliikkeen aikana uuaen siä c () = A e, issä A ja λ ova vakioik k c esierkiksi läöksi. Vaiennusvoiien arkka aeaainen allinnus on elko hankalaa niien oniukaisen luoneen akia. Käyeyin vaiennusalli on nesevaiennus eli viskoosi vaiennus, jolloin kuvan 8. laskenaalliin lisäään iskunvaiennineleeni kuvan 8.4 ukaisesi. Viskoosissa vaiennuksessa vaiennusvoian F v oleeaan olevan suoraan verrannollinen värähelevän assan nopeueen eli F v = c (8.9) N issä c on verrannollisuuskerroin, joa sanoaan vaiennusvakioksi. Vaiennusvakion Kuva 8.4 Vaieneva oinaisvärähely. yksikkö on esierkiksi Ns/. Viskoosia vaiennusa käyeään usein kuvaaaan likiääräisesi uunkin yyppisiä vaiennusvoiia. Värähelevän assan liikeyhälöksi saaaan kuvan 8.4 vapaakappalekuvasa k c = + c + k = (8.) Jakaalla puoliain assalla, enee liikeyhälö sanariuooon g + ζ ω + ω = (8.) jolloin on oeu käyöön erkinnä ω = k / ζ = c /( ω) (8.) Suurea ζ sanoaan vaiennussuheeksi. Vaiennussuhe kuvaa vaiennuksen voiakkuua ja se on iensioon luku. Esiään liikeyhälön (8.) rakaisua uoossa λ

6 8.6 Dynaiikka a. Tällöin on (8.) saaaan λ () = A λ e ja () = A λ λ e. Sijoiaalla rakaisuyrie liikeyhälöön A e λ ( λ + ζ ωλ + ω ) = (8.3) ikä oeuuu kaikilla ajan arvoilla vain, jos λ + ζ ωλ + ω = (8.4) Yhälöä (8.4) sanoaan karakerisiseksi yhälöksi ja sen juure ova λ = ω ζ + ζ λ = ω ζ ζ (8.5) Liikeyhälön (8.) yleinen rakaisu on siis uooa λ λ ζ ω = + = ζ ω ζ ω + () A e A e e A e A e (8.6) issä vakio A ja A ääräyyvä assan alkuasean ja alkunopeuen peruseella. Koska vaiennusvakio ζ voi saaa arvoja välilä ζ <, voi yllä neliöjuuressa oleva lauseke ζ olla posiiivinen ai nolla ai negaiivinen ja liikeyhälön rakaisu on luoneelaan erilainen kussakin apauksessa. (a) Kun ζ > (ylikriiinen vaiennus), ova juure λ ja λ erisuuria negaiivisia reaalilukuja. Tällöin siiryä lähesyy asypooisesi nollaa, kun aika. Vaiennus on niin voiakas, eä värähelyä ei esiinny eikä synyvä liike ole jaksollinen. Kun syseein alkuasea ja alkunopeus unneaan, on ahollisa laskea rakaisussa (8.6) oleva vakio A ja A. Voiaan osoiaa, eä niien lausekkee ova (oisus sivuueaan) A = + ζ + ω ζ ζ ω A = + ζ + ζ ω ω ζ (8.7) (b) Kun ζ = (kriiinen vaiennus), ova juure λ ja λ yhä suuria ja λ = λ = ω, ikä on negaiivinen luku. Tällöin yyppiä A e λ olevia rakaisuja on vain yksi ja arviaan oinen siiä lineaarisesi riippuaon rakaisu. Sellaiseksi kelpaa yyppiä A e λ oleva rakaisu. Liikeyhälön yleiseksi rakaisuksi ulee siis ässä apauksessa ω ω e + A e () = A (8.8)

7 Dynaiikka 8.7 Myös kriiisen vaiennuksen apauksessa vaiennus on niin voiakas, eä siiryä lähesyy asypooisesi nollaa, kun aika. Kun syseein alkuasea ja alkunopeus unneaan, saaaan rakaisussa (8.8) oleva vakio A ja A kaavoisa (oisus sivuueaan) A A = = + ω (8.9) Kun ζ =, saaaan kaavasa (8.) vaiennusvakiolle seuraava lauseke c k = ω = k (8.3) joa kusuaan kriiiseksi vaiennusvakioksi. Voiaan osoiaa, eä kriiisen vaiennuksen oaavan värähelijän siiryä lähesyy nopeain nollaa, kuin uuen vasaavan ua ylikriiisen vaiennuksen oaavan värähelijän. Kuvassa 8.5 on havainnolliseu ää eräillä lukuarvoilla [ = kg, k = 6 N/, c = 8 Ns/, (kriiinen), c = 6 Ns/ (ylikriiinen), =, ja =, / s ]. Kuva 8.5 Kriiinen ja ylikriiinen vaiennus. (c) Kun ζ < (alikriiinen vaiennus), on lauseke ζ iaginäärinen ja se voiaan laiaa uooon i ζ, issä i =. Karakerisisen yhälön juure λ ja λ ova ässä apauksessa kopleksilukuja ja oisensa liiolukuja. Liikeyhälön (8.) yleinen rakaisu on vasaavasi uooa λ λ ζ ω = + = i ζ ω i ζ ω () A + e A e e Ae A e (8.3) Oeaan käyöön erkinnä π π ω = ω ζ τ = = (8.3) ω ω ζ issä suure ω on vaienneu oinaiskulaaajuus ja ± e i = cos ± isin τ vaienneu oinaisvärähysaika. Eulerin kaavan ja vaienneun oinaiskulaaajuuen äärielän peruseella saaaan rakaisua (8.3) kehieyä seuraavasi

8 8.8 Dynaiikka () = e = e ζ ω ζ ω [( A cosω + i A sinω ) + ( A cosω ia sinω )] [( A + A ) cosω + i( A A ) sinω ] Kun eellä olevassa uloksessa oeaan käyöön uue reaalise vakio A 3 = A + A A = i A, saaaan liikeyhälön rakaisu lopulliseen uooonsa ja ( ) 4 A () = e ζ ω ( A cos ω + A sin ω ) 3 4 (8.33) Rakaisu (8.33) eusaa värähelyä, jonka apliui pienenee keroien ζ ω e johosa asypooisesi kohi nollaa, kun aika. Kuvassa 8.6 on havainnolliseu rakaisun (8.33) käyäyyisä eräillä lukuarvoilla. ( = kg, k = 6 N/, c = Ns /, (alikriiinen), =, ja =, / s ). Kun alkueho ja unneaan, voiaan vakio A 3 ja A 4 laskea kaavoisa (oisus sivuueaan) Kuva 8.6 Alikriiinen vaiennus. A A 3 4 = + ζ ω (8.34) = ω ζ Rakaisu (8.33) voiaan esiää yös oisessa uoossa, kun vakioina käyeään apliuia C ja vaihekulaa ψ () = C e ζ ω sin( ω + ψ ) (8.35) Alkuehojen ollessa ja vakioien C ja ψ lausekkee ova (oisus sivuueaan) C = + ω + ζω ζ ψ = an ω ζ + ζ ω (8.36) Vaiennussuheen ζ suuruua on usein vaikea arvioia arkasi. Siä voiaan ukia yös kokeellisesi iaaalla, kuinka nopeasi värähelyn apliui pienenee. Tar-

9 Dynaiikka 8.9 kasellaan ää rakaisun (8.35) avulla, joka on esiey graafisesi kuvassa 8.7. Logariinen ekreeni on äärielänsä ukaan luonnollinen logarii kahen peräkkäisen jakson apliuien suheesa. Määrieläsä ja rakaisusa (8.35) seuraa logariiselle ekreenille δ kuvan 8.7 erkinnöin lauseke X δ = ln X = ln e e ζ ω ζ ω ( + τ ) sin( ω sin[ ω ( + ψ ) + τ ) + ψ ] (8.37) Koska ω τ = π, ikä on sinifunkion jakso, sievenee kaava (8.37) uooon X π ζ δ = ln = ζ ω τ = (8.38) X ζ Kun ζ on pieni, on ζ ja δ π ζ. Kaavasa (8.38) voiaan rakaisa vaiennussuheelle kaava () δ ζ = (8.39) 4 π + δ X Logariisa ekreeniä voiaan käyää vaiennusuheen ζ kokeellisessa ääriyksessä. Vaiennussuhe ζ on ahol- τ lisa laskea kaavasa (8.39), kun δ on ensin ääriey kaavan Kuva 8.7 Logariinen ekreeni. (8.38) iausuloksisa X ja X. Jos apliui X ja X poikkeava hyvin vähän oisisaan, on kaavan (8.38) käyö epäarkkaa. Tällöin on ahollisa käyää vaihoehoisa kaavaa X δ = ln (8.4) n X n+ X Oinaisvärähelyllä on onia erkiäviä käyännön sovelluksia, ua vielä ääkin useain värähelyanalyysissa ukiaan pakkovärähelyiä, joka ova ekaanisen syseein ulkoisisa ai sisäisisä häiriökuoriuksisa johuvia värähelyiä. Häiriökuoriukse voiva olla ulkoisia kuoriuksia ai synyä esierkiksi asapainoaa issä X n + on apliui, kun n värähelyjaksoa on kulunu apliuisa X. 8.3 Parikkelin pakkovärähely

10 8. Dynaiikka oan rooorin pyöriisliikkeen seurauksena. Pakkovärähelyiä voi synyä yös värähelevän kiinniysalusan vaikuuksesa. Jos syseeissä on vaiennusa, on kyseessä vaieneva pakkovärähely, ua uuen vaieneaon pakkovärähely. Siä osaa pakkovärähelysä, joka häviää syseeisä lyhyen ajan kuluessa, sanoaan ransieniksi. Transienia värähelyä esiinyy esierkiksi iskukuoriusen, kappaleien öräysen ja liikkuvien kuoriusen yheyessä. Transienin värähelyn häviyä jää jäljelle pysyvä värähely. Pysyvä värähely liiyy koneien ja rakeneien jakuvaan käyöön ja se säilyy huoaavasi ransienia värähelyjä piepiä aikoja. Värähelyanalyysissa sanoaan pakkovärähelyn aiheuajaa heräeeksi ja seurauksena olevaa syseein liikeilaa (asea, nopeus, kiihyvyys) vaseeksi. Tarkaselu voiaan jakaa osiin heräeen yypin peruseella. Jos heräe on vailla iään säännöllisyyä, on kyseessä saunnaisheräe ja synyvää liikeä sanoaan saunnaisvärähelyksi eli sokasiseksi värähelyksi. Jos heräe unneaan esierkiksi ajan funkiona, se on eerinisinen. Deerinisinen heräe on jaksollinen, jos se oisuu säännöllisin välein saanlaisena. Eriyisen ärkeä jaksollinen heräe on haroninen heräe, jolloin kyseessä on siniuooinen heräevoian vaihelu. Kuvassa 8.8 on esiey uuaia heräefunkioia, (a) on haroninen heräe, kuvassa (b) on uia jaksollisia heräeiä sekä kuvassa (c) jaksooia heräeiä. Tässä yheyessä arkasellaan vain yhen vapausaseen syseein vasea haroniseen heräeeseen. Haroniselle heräeelle Kuva 8.8 Heräefunkioia. on yypillisä, eä synyvä pakkovärähely apahuu saalla aajuuella kuin heräevoia vaihelee. Tavallisia haronisen heräeen läheiä ova pyörivä ja eesakaisin liikkuva koneenosa sekä ise koneen ai sen alusan liike. Synyvä värähely ova yleensä haiallisia ja ainakin resonanssiilanne ulee useiissa apauksissa välää. Tähän pääsään värähely huoioon oavalla suunnielulla. Vaieneaona pakkovärähelyä ei arkkaan oaen käyännössä esiinny, ua jos vaiennus on vähäisä, kannaaa se analyysin yksinkeraisaiseksi oleaa nollaksi. Seuraavassa arkasellaankin aluksi vaieneaona haronisa pakkovärähelyä, jolloin pakkovärähelyn perusoinaisuue uleva esille ahollisian yksin-

11 Dynaiikka 8. keraisissa puieissa ja arkaselu voiaan sen jälkeen yleisää hiean ukikkaapaan vaienevan värähelyn apaukseen Vaieneaon pakkovärähely Kuvassa 8.9 on esiey lineaarisen yhen vapausaseen haronisen pakkovärähelijän perusalli, jonka uoosava jousi k, piseassa ja assaan vaikuava haroninen pakkovoia F() = F sinω. Pakkovoian lausekkeessa F on sen apliui ja Ω kulaaajuus. Syseein liikeä ukiaan saaisesa asapainoaseasa iaun koorinaain k F sinω avulla. Kuvan 8.9 peruseella saaaan k g N F Kuva 8.9 Pakkovärähelyn perusalli. sinω k + F sinω = + k = F sinω (8.4) Jakaalla kaavassa (8.4) puoliain assalla ja oaalla huoioon oinaiskulaaajuuen äärielä ω = k / enee liikeyhälö (8.4) sanariuooon F + ω = sin Ω (8.4) Liikeyhälön (8.4) yleinen rakaisu on uooa = h + p, issä h on hoogeenisen yhälön + ω = yleinen rakaisu ja p äyellisen yhälön (8.4) jokin yksiyisrakaisu. Kaavan (8.6) ukaan on h = A sinω + A cosω (8.43) issä vakio A ja A saaaan syseein alkuehoisa. Yksiyisrakaisu p on uooa p = X sin Ω, issä X on vakio. Sijoiaalla eellä esiey yksiyisrakaisu liikeyhälöön (8.4) saaaan X Ω F F / sinω + Xω sinω = sinω X = josa seuraa yksiyisrakaisulle kaava ω Ω

12 8. Dynaiikka p F / = sin Ω ( Ω ω) (8.44) ω Ω Liikeyhälön (8.4) rakaisu on siis F / () = A sin ω + A cos ω + sin Ω ω Ω ( Ω ω) (8.45) Kaava (8.44) ei ole voiassa, jos Ω = ω, jolloin oisaala yksiyisrakaisuyrie = X sin Ω sisälyy jo hoogeenisen yhälön yleiseen rakaisuun (8.43). Oikea p yksiyisrakaisu apauksessa Ω = ω on p F ω = sinω ( Ω = ω) (8.46) k kuen helposi voiaan oea sijoiaalla rakaisu (8.46) liikeyhälöön (8.4). Rakaisussa (8.45) osa h = A sinω + A cosω eusaa oinaisvärähelyä, joka häviää syseeisä vaiennuksen akia lyhyen ajan kuluessa. Pysyvää pakkovärähelyä eusaa osa p, joka ei riipu syseein alkuehoisa ja säilyy niin kauan kuin pakkovoia vaikuaa. Kaavasa (8.44) näkyy, eä pakkovärähely apahuu saalla aajuuella kuin pakkovoia vaihelee. Pakkovärähelyn apliui X on X = F / (8.47) ω Ω Kun oeaan huoioon yheys = k / ω sekä erkiään = F / k ja r = Ω / ω, saaaan kaavasa (8.47) ulos X M = = (8.48) r Suurea M sanoaan vahvisuskeroieksi ja suurea r ajuussuheeksi. M keroo kuinka suuri värähelyn apliui X on verrauna pakkovoian apliuin F aiheuaaan saaiseen siiryään. Kuvassa 8. vahvisuskeroien iseisarvo M on esiey aajuussuheen r funkiona. Kaavan (8.47) ukaan apliui X >, kun Ω < ω, jolloin pakkovoia ja värähely ova saassa vaiheessa. Apliui X <, kun Ω > ω. Koska X sinω = X sin( Ω + π ), voiaan pääellä, eä pakkovoia ja värähely ova ällöin vasakkaisissa vaiheissa. Kuvan 8. käyrässä on kole eriyisen kiinnosavaa kohaa, joia on erkiy a, b ja c. Kohassa a Ω on hyvin pieni, s. pakkovoia vaihelee hyvin hiaasi ja apliui X on lähellä saaisa siiryää ( M ). Kohassa b on Ω >> ω, jolloin pakkovoia vaihelee niin nopeasi, eä assalla ei ole aikaa seuraa pakkovoian vaihelua ja apliui X jää hyvin pieneksi ( M ). Kiinnosavin iliö on kohassa c, issä apliui X lähesyy ääreön-

13 Dynaiikka 8.3 ä, kun Ω ω. Tää ilannea sanoaan resonanssiksi. Jos pakkovoian aajuus Ω = ω, on voiassa yksiyisrakaisu (8.46), josa nähäänkin, eä, kun. p Eellä esieyn peruseella on selvää, eä haroninen pakkovoia aiheuaa värähelyongelia, jos sen kulaaajuus on saa kuin syseein oinaiskulaaajuus ai on lähellä siä. Käyännössä värähelyn apliui ei ieenkään voi ulla ääreöäksi, vaan syseei vaurioiuu aikaisein liiallisen värähelyn seurauksena. Suunnielijan ehävänä on valia syseein para- Kuva 8. Vahvisuskerroin ja siiryvyys. eri k ja niin, eä se oiii riiävällä eäisyyellä resonanssikohasaan. Tää kusuaan syseein viriäiseksi. Pakkovärähelyssä olevan assan kiinniysalusaansa aiheuaia voiavaikuuksia ei yleensä pysyä kokonaan väläään, ua niiä voiaan huoaavasi pienenää oikealla jousavien kiinniyseleenien valinnalla. Jos alusaan siiryvän voian aksiiarvo on pienepi kuin värähelyn aiheuaneen pakkovoian apliui, sanoaan kiinniyseleenejä värähelyn erisiiksi. Värähelyn erisyksen ehävänä on esää värähelevän kappaleen aiheuaien voiien siiryisä ypärisöön ai esää värähelevän ypärisön aiheuaien voiien siiryisä herkkiin laieisiin. Ongela on siis oleissa apauksissa saa, siiryvä voia on saaava ahollisian pieneksi. Kuvan 8.9 allissa pakkovoian vaikuuksesa alusaan siiryvän voian aksiiarvo on F A = k X, jolle voiaan kaavan (8.47) avulla kirjoiaa F A = F / F k = ω Ω r (8.49) Värähelyn siiryvyys T ääriellään seuraavasi FA T = = (8.5) F r Siiryvyys keroo sen, kuinka suuri osa pakkovoiaan apliuisa siiryy jousen kaua alusaan. Kaavoisa (8.48) ja (8.5) nähään, eä ässä apauksessa siiryvyys on saa kuin vahvisuskeroien iseisarvo. Kuvassa 8. on näin ollen yös siiryvyys T aajuussuheen funkiona. Kaavasa (8.5) nähään, eä T < vain, kun r >. Tällöin jousesa on hyöyä, koska se pienenää alusaan siiryvän voian

14 8.4 Dynaiikka aksiiarvoa, joka ilan jousa olisi F. Alueessa r < on T > ja alusaan siiryvän voian aksiiarvo on suurepi kuin F ja jousen käyösä on vain haiaa. Eulliseen siiryvyyeen pääsään siis viriäällä syseei niin, eä se oiii kuvan 8. käyrällä oinaisaajuuaan vasaavan kohan oikealla puolella riiävän kaukana. Näin virieyä syseeiä kusuaan ylivirieyksi Vaieneva pakkovärähely Kuvassa 8. on esiey viskoosisi vaienneun yhen vapausaseen haronisen pakkovärähelijän perusalli. Siihen kuuluu jousi k, assa, vaiennin c sekä assaan vaikuava haroninen pakkovoia F() = F sinω. Kuvasa 8. saaaan liikeyhälö k F sinω c k c + F sin Ω = + c + k = F sin Ω (8.5) k c g N F sinω Oaalla huoioon oinaiskulaaajuuen ω ja vaiennussuheen ζ äärielä saaaan yhälö (8.5) kirjoieua sanariuooon F + ζ ω + ω = sin Ω (8.5) Kuva 8. Vaieneva pakkovärähely. Yhälön (8.5) yleinen rakaisu on uooa = h + p, issä h on hoogeenisen yhälön + ζ ω + ω = yleinen rakaisu ja p äyellisen yhälön (8.5) jokin yksiyisrakaisu. Rakaisun osa h on kaavan (8.35) ukaan alikriiisen vaiennuksen apauksessa h = Ce ζ ω sin( ω + ψ ) (8.53) On ileisä, eä h eusaa oinaisvärähelyä, joka häviää vaiennuksen ansiosa nopeasi. Yksiyisrakaisu voiaan ässä apauksessa löyää yriefunkioilla p = A sin Ω + A cos Ω ai = X sin( Ω φ ) (8.54) p issä A ja A sekä X ja φ ova vakioia. Yrieisä jälkiäinen on hiean käeväpi, joen käyeään siä. Vakio X ja φ voiaan ääriää sijoiaalla yrie p

15 Dynaiikka 8.5 liikeyhälöön (8.5). Nopeuelle ja kiihyvyyelle ulee erivoialla lausekkee = Ω Xcos( Ω φ ) = Ω Xsin( Ω φ ) (8.55) p joen sijoius liikeyhälöön (8.5) anaa aluksi p F ( Ω ω ) Xsin( Ω φ ) + ζ ωω Xcos( Ω φ ) = sinω (8.56) Käyäällä kaavassa (8.56) sinin ja cosinin vähennyslaskukaavoja saaaan eelleen ( Ω ω ) X( sinω cosφ cosω sinφ ) + F + ζ ωω X( cosω cosφ + sinω sinφ ) = sinω (8.57) Merkiseällä eellä olevan yhälön eri puolilla esiinyvien erien keroie puoliain saoiksi saaaan yhälöpari sin Ω ja cos Ω F ( ω Ω ) Xcosφ + ζ ωω Xsinφ = ( ω Ω ) Xsinφ ζ ωω Xcosφ = (8.58) joisa saaaan rakaisua yksiyisrakaisussa p oleva vakio X ja φ. Tulos on (oisus sivuueaan) Ω ζ F / k X = φ = an ω (8.59) Ω Ω Ω + ζ ω ω ω Vakio X ja φ ova pakkovärähelyn = Xsin( Ω φ) apliui ja vaihekula. Kun = F / k ja r = Ω / ω, saaaan vahvisuskeroielle M ja vaihekul- erkiään jälleen alle φ kaava p M = X = φ = an r ( r ) + ( ζ r) ζ r (8.6) Liikeyhälön (8.5) rakaisu on eellä olevan peruseella alikriiisen vaiennuksen apauksessa

16 8.6 Dynaiikka () = C e ζ ω sin ( ω + ψ ) + X sin( Ω φ ) (8.6) issä vakio X ja φ saaaan kaavasa (8.59). Vakio C ja ψ ääräyyvä pakkovärähelijän alkuehoisa (alkuasea ja -nopeus), ua eivä ieenkään ole kaavan (8.36) ukaise, sillä yksiyisrakaisu p vaikuaa yös niien arvoihin. Kuvassa 8. on esiey kaavan (8.6) vahvisuskeroien M ja vaihekulan φ kuvaajia aajuussuheen r funkiona uuailla vaiennussuheen ζ arvoilla. Vahvisuskeroien M käyräsösä nähään, eä kaikki käyrä ova nollavaiennusa vasaavan käyrän alapuolella. Vaiennus siis pienenää pakkovärähelyn apliuia ja eriyisesi resonanssin läheisyyessä ää pieneneinen on voiakasa. Nähään yös, eä käyrien aksii eivä ole kohassa Ω = ω. Ne eivä ole yöskään kohassa Ω = ω = ω ζ, vaan hiean ään vasealla puolella kohassa Ω = ωr = ω ζ, kuen kaavasa (8.6) voiaan oea esiällä vahvisuskeroien M erivaaan nollakoha. Arvoa ω r sanoaan resonanssikulaaajuueksi. Vaienevalla värähelyllä ova siis oinaiskulaaajuus ω, vaienneu oinaiskulaaajuus ω ja resonanssikulaaajuus ω r erisuuria. Jos vaiennussuhe ζ on pieni, ova ne kuienkin hyvin lähellä oisiaan ja rajaapauksessa ζ = ne ova saa. Maksiiapliuiksi kohassa Ω = ωr ulee X a F / k = (8.6) ζ ζ ikä on käyännöllisesi kasoen saa kuin oinaiskulaaajuua ω vasaava apliui, joka on X ω F / k = (8.63) ζ Toisinaan yös oinaiskulaaajuua ω sanoaan resonanssiaajuueksi, koska ero ova käyännössä hyvin pieniä. Vaihekulan φ käyräsösä nähään, eä vaieneaoassa apauksessa ζ = vaihekula o φ = resonanssin alapuolella ja o φ = 8 resonanssin yläpuolella, jolloin siis voiaheräe ja siiryävase ova vasaavasi saassa ai vasakkaisessa vaiheessa. Kun vaiennussuheen ζ arvosa. Ω = ω, on o φ = 9 riippuaa Tarkasellaan seuraavaksi voiaa, joka kuvan 8. laskenaallissa siiryy värähelyn aikana alusaan pakkovoian vaikuuksesa. Tään voian lauseke on kuvassa 8. olevan vapaakappalekuvan ja kaavan (8.54) peruseella

17 Dynaiikka 8.7 Kuva 8. Vahvisuskerroin ja vaihekula.

18 8.8 Dynaiikka F () = k + c = k Xsin( Ω φ) + c Ω Xcos( Ω φ) (8.64) a p p Voiaan helposi osoiaa, eä voian F a () suurin arvo on F ( k X) + ( c Ω X) = k X + ( ζ Ω ω) = (8.65) A / issä apliui X saaaan kaavasa (8.59). Nähään, eä pakkovärähelyn siiryvyyeksi T = FA / F ulee lauseke T ( ζ r ) ( r ) + ( ζ r ) FA + = = (8.66) F Siiryvyys T on esiey kuvassa 8.3 aajuussuheen r funkiona uuaalla vaiennussuheen ζ arvoilla. Kuvasa 8.3 nähään, eä T > alueella r < kaikilla vaiennussuheen ζ arvoilla, jolloin jousen käyö suurenaa alusaan siiryvää voiaa. Alueessa r > on T <, ja jousen käyö pienenää alusaan siiryvää voiaa. Huoaaan yös, eä alueessa r > vaiennuksen lisääinen suurenaa alusaan siiryvää voiaa, sillä käyrä enevä kohassa r = risiin. Kuva 8.3 Vaienevan pakkovärähelyn siiryvyys.

19 Dynaiikka Jäykän kappaleen värähely Eellä esiey parikkelin värähelyeoria sopii sellaisenaan jäykän kappaleen yhen vapausaseen värähelyyn, ikäli sen värähelyliike on ranslaaioliikeä. Tää eoriaa voiaan sovelaa yös jäykän kappaleen yhen vapausaseen roaaioliikkeeseen, jolloin kappale on pyöriisliikkeessä ieyn akselin ypäri. Kappaleen asean kuvaaiseen käyeään kulakoorinaaia, joka keroo, kuinka suuren kulan se on kieryny roaaioakselin ypäri iauna sopivasa verailusuunnasa. Värähelyiä ukiaessa kulakoorinaaikin kannaaa iaa saaisesa asapainoaseasa lähien, koska ällöin liikeyhälösä eliinoiuva saaiseen asapainoon liiyvä L/ voia ja oeni. Liikeyhälö laaiaan avanoaisesi kirjoiaalla kap- F sinω k paleen oeniliikeyhälö esierkiksi assakeskiön ai roaaiokeskuksen O suheen. Tulokseksi saaava liikeyhälö (a) θ osoiauuu olevan äysin analoginen c ranslaaioliikkeen vasaavan yhälön L/4 kanssa. L (b) (c) O s O O ys O y θ P g P + k L sinθ c L θcos θ 4 g F sinω Kuva 8.4 Esierkki roaaiovärähelysä. kl sinθ / ja vaienien kohalla on nopeus 4 raava oeniliikeyhälö piseen O suheen θ Tarkasellaan esierkkinä roaaiovärähelyisä kuvan 8.4 (a) palkkia, joka on nivelöiy vaseasa pääsään ja siä ueaan lisäksi jousella ja iskunvaieniella. Palkki on asapaksu ja sen assa on. Palkin oikeaan päähän vaikuaa haronisesi vaiheleva pakkovoia. Kuvassa (b) on palkin saaiseen asapainoaseaan liiyvä vapaakappalekuva ja siiä saaaan kirjoiaalla oeniasapainoyhälö nivelen O suheen ulos P = g. Kuvan (c) vapaakappalekuva esiää palkkia ielivalaisessa kula-aseassa θ värähelyliikkeen aikana (iau saaisesa asapainoaseasa). Jousi on ällöin kokenu piuuen uuoksen Lθ cosθ /. Kuvasa (c) saaaan seu- L L L L L c θcosθ g + (P + k sinθ ) F sinω L = L Kun eellä oeaan huoioon yheys P = g ja eä pienillä kulilla sin θ θ ja cosθ, enee palkin liikeyhälö uooon θ

20 8. Dynaiikka L L L θ + c θ + k θ = F LsinΩ c 3k 3F θ + θ + θ = sinω 6 4 L Kun saaua liikeyhälöä verraaan sanariuooiseen ranslaaioapauksen liikeyhälöön F + ζ ω + ω = sinω, havaiaan analogia ja voiaan ienifioia palkin värähelyn perussuuree ω ja ζ seuraavasi ω = 3k 4 ζ ω = 3c 6 ω = 3k 4 ζ = 6 3 c k Pakkovoiaerissä kerroina F / vasaa palkilla kerroin 3F /(L). On selvää, eä kaikki eellä joheu ulokse ova voiassa palkin värähelyliikkeelle, kun niissä käyeään vakioien paikalla ässä joheuja palkkiin liiyviä vakioia. 8.5 Energiaperiaae Vaieneaoassa värähelyssä syseein ekaaninen energia säilyy, s. syseei on konservaiivinen. Täsä seuraa, eä syseein liikeyhälö voiaan johaa yös ekaanisen energian säilyisen periaaeella. Vaieneaoan värähelijän energia on osiain liike-energiaa ja osiain poeniaalienergiaa. Liike-energia varasoiuu assaan sen nopeuen seurauksena. Poeniaalienergia V varasoiuu kioisiin osiin kioenergiaksi ai ilenee voian ekeänä yönä. On siis voiassa T + V = vakio (T + V) = (8.67) Joheaan vielä kuvan 8.3 värähelijän liikeyhälö energiaperiaaeella. Kun jousen liike-energia oleeaan nollaksi, on ainoasaan assalla liike-energiaa. Sen lauseke ielivalaisella ajan hekellä on T = (8.68) Valiaan saainen asapainoasea verailukohaksi painovoiasa aiheuuvaa poeniaalienergiaa laskeaessa. Kuvan 8.3 (b) ja (c) peruseella saaaan V = V c V b = k( + ) g k josa seuraa yheyen k = g avulla ulos

21 Dynaiikka 8. V = k (8.69) Sijoiaalla T ja V kaavaan (3.7) saaaan ( T + V ) = + k = + k = (8.7) ikä on saa liikeyhälö kuin kaavassa (8.7) saaiin. Jos ollaan kiinnosuneia vain oinaiskulaaajuuesa ω, voiaan se laskea lyhyesi ns. Rayleigh in energiaperiaaeella seuraavassa esieyllä avalla. Energian säilyisen periaaeesa seuraa, eä kahelle ielivalaiselle ajan hekelle päee T + + (8.7) V = T V Valiaan oiseksi hekeksi syseein saainen asapainoasea, jolloin voiaan sopia, eä V =. Toiseksi hekeksi oeaan värähelyn ääriasea, jossa assan nopeus on nolla ja siis T =. Jos syseein liike on haronisa värähelyä, ova T ja V liike- ja poeniaalienergian aksiiarvo. Näin saaaan ulokseksi Rayleigh in energiaperiaae T a = V a (8.7) josa oinaiskulaaajuus ω voiaan suoraan laskea. Sovelleaan kaavaa (8.7) kuvan 8. syseeiin. Kaavan (8.9) ukaan suurin siiryä a = C ja nopeuen kaavasa (8.) näkyy, eä suurian nopeuen lauseke on = Cω. Sijoieaan nää kaavaan (8.7), jolloin saaaan a T k = a = C ω = k C = k a = Va ω (8.73) a = ikä on saa ulos kuin kaavassa (8.4) äärieliin.