3 YHDEN VAPAUSASTEEN OMINAISVÄRÄHTELY
|
|
- Annemari Turunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Värählykaniikka 3. 3 YHDEN VAPAUSASTEEN OMINAISVÄRÄHTELY 3. Johano Oinaisvärähly arkoiaa kaanisn sysin liikä, jossa s liikkuu oin päin ilan ulkoisn voiin vaikuusa. Oinaisvärähly alkaa, jos sysillä on alkuhkllä kaanisa nrgiaa poniaalinrgian ja/ai liik-nrgian uoossa li sysi i ol alkuhkllä lvossa saaisssa asapainoasassaan. Oinaisvärähly on liikä asapainoasan suhn. Tarkasllaan kuvan 3. (a) linaarisa jousi-assa sysiä, jossa assa liikkuu kikaoalla asolla. Kun assa siirrään asapainoasasaan oikall kohaan kuvan 3. (b) ukaissi, varasoiuu jousn poniaalinrgia k / ja jousi L vaikuaa k L + k k L (a) (b) (c) Kuva 3. Oinaisvärähly. v assaan vasall suunauuvalla voialla k. Kun sysi pääsään äsä asasa ilan alkunopua liikkll, vää jousivoia assaa kohi asapainoasaa, jolloin nopun lisäänyssä poniaalinrgiaa uuuu liik-nrgiaksi. Kun sysi saavuaa asapainoasansa, on liiknrgia suuriillaan ja liik jakuu asapainoasan vasall puolll. Tässä vaihssa liiknrgiaa uuuu jousn poniaalinrgiaksi niin kauan kunns jousi on purisunu äärän, jolloin nopus on aas nolla. Tää poniaalinrgian ja liik-nrgian välinn uuuisprosssi jakuu ikuissi, jos sysissä i ol kikaa. Tollisuussa ällainn ikuissi jakuva liik on ahoon, koska kaanisa nrgiaa uuuu kikavoiin käksi yöksi. Kuvan 3. (b) ilanssa oinaisvärähly alkaa, koska sysillä on alkuhkllä poniaalinrgiaa asapainoasansa ulkopuollla. Kuvassa 3. (c) on siy ilann, jossa jousi-assa-sysi on lvossa asapainoasassaan, kun siihn örää nopulla v vasall liikkuva parikkli. Töräyksssä assa saa liiknrgiaa skä alkunopun vasall ja värählyliik alkaa, koska sysi i ol alkuhkllä lvossa asapainoasassaan. Linaarisn sysin oinaisvärähly on jaksollisa liikä ja värählyanalyysin kannala on ärkä iää uun uassa, ikä on värählyn aajuus li onako liikjaksoa sysi suoriaa aikayksikössä. Tää saaaan slvill rakaisalla sysin liikyhälö, jonka uoosaisa arkasllaan suraavassa kohassa. Kaikissa kaanisissa sysissä siinyy vainnusa, jonka surauksna oinaisvärählyliikkn apliui pinn nollaksi iyn ajan kuluua. Joskus vainnus Yhn vapausasn oinaisvärähly
2 Värählykaniikka 3. on niin vähäisä, ä sn vaikuusa i kannaa oaa huoioon. Tällöin värählyn sanoaan olvan vainaon ja siis uussa apauksssa vainva. Jakossa arkasllaan nsiksi vainaona oinaisvärählyä ja sn jälkn vainvaa oinaisvärählyä viskoosin vainnuksn ja kikavainnuksn allin ukaissi. 3. Liikyhälö ja alkuho Yhn vapausasn sysin oinaisvärählyn liikyhälö on oisn kraluvun avallinn iffrniaaliyhälö, jossa aika on riippuaon uuuja. Ajasa riippuva uuuja on liikkn kuvaaisn käyy koorinaai, joka on jonkin sysin parikklin ai jäykän kappaln ranslaaio- ai roaaiosiiryä. Oinaisvärählyn liikyhälö voi olla pälinaarinn, ikä saaaa johua sysin gorian ai ariaalin pälinaarisuusa ai pälinaarisisa ulkoisisa voiavaikuuksisa. Epälinaarisn sysin liikyhälössä voi siinyä käyävän koorinaain ja sn aikarivaaojn pälinaarisia rjä. Esirkiksi kikavainnusallin käyö johaa pälinaarisn liikyhälöön. Jos vainnusalliksi valiaan viskoosi vainnus ja sysi on uunkin linaarinn, on oinaisvärählyn liikyhälö uooa & + c & + k (3.) kv kv kv = Liikyhälö (3.) on oisn kraluvun hoogninn avallinn iffrniaaliyhälö ja siinä on koorinaaina käyy sybolia = (). Siiryä iaaan avallissi asasa, jossa sysi on saaisssa asapainossa. Liikyhälössä (3.) on koorinaain oisn aikarivaaaan & & (kiihyvyys ai kulakiihyvyys) vrrannollinn ri, joka kuvaa sysin inrian vaikuusa liikksn. Kun vainnus on viskoosia, sisälää liikyhälö koorinaain nsiäisn aikarivaaaan & (nopus ai kulanopus) vrrannollisn vainnusrin. Koorinaaiin (asa ai kula-asa) vrrannollinn ri kuvaa sysin jousavin osin vaikuusa. Liikyhälö (3.) voiaan kirjoiaa joko suoraan Nwonin lakja käyän ai sovlaalla yö- ja nrgiapriaaa skä kvivalnin sysin käsiä. Liikyhälön (3.) ylinn rakaisu on kahn linaarissi riippuaoan yksiyisrakaisun linaarinn kobinaaio, jossa siinyy kaksi ääräääönä ingroiisvakioa. Ingroiisvakio saaaan ääriyä, jos unnaan sysin ila värählyn alkaishkllä. Alkuhkn liiyviä koorinaain ja sn aikarivaaojn unnuja arvoja sanoaan alkuhoiksi. Ingroiisvakioin ääriyksn arviaan kaksi alkuhoa. Liikyhälön rakaisun yyppi on riippuaon alkuhoisa, ua n yksilöivä kyssn ulvan rakaisun yypillisn joukosa. Yhn vapausasn oinaisvärähly
3 Värählykaniikka 3.3 Käyännössä alkuho arkoiava sysin kuvaaisn käyyn koorinaain ja sn nsiäisn aikarivaaan alkuarvon unisa. Translaaioliikkn apauksssa unnaan siis asa ja nopus alkuhkllä ja roaaioliikkn apauksssa vasaavasi kula-asa ja kulanopus. 3.3 Vainaon oinaisvärähly Kuvassa 3. on yhn vapausasn vainaoan oinaisvärählyn prusalli, jonka uoosaa runkoon jouslla (jousivakio k ) kiinniy pisassa. Sysin kuvaaisn käyään asapainoasasa iaua koorinaaia. Kuvasa 3. (b) nähään, (a) (b) (c) g k k Δ k( + Δ) ä saaissa asapainosa suraa jousn lpopiuus saainn asapaino josa saaaan kaavan (3.) avulla sysin liikyhälöksi k Δ g = k Δ = g (3.) Kuvasa 3. (c) saaaan sovlaalla Nwonin II lakia k ( + Δ ) g = & (3.3) & + k = (3.4) Saaisn asapainoasan käyösä vrailukohana suraa liikyhälöll (3.4) yksinkrainn uoo, jossa painovoian vaikuus on liinoiunu. Jakaalla liikyhälö (3.4) puoliain assalla, s n sanariuooon & + = (3.5) jolloin on ou käyöön rkinä Δ g Kuva 3. Prusalli. = k / (3.6) Liikyhälö (3.5) on haronisn värählyliikkn iffrniaaliyhälö. Suura sanoaan oinaiskulaaajuuksi. Liikyhälön (3.5) ylinn rakaisu on unnusi g & & () = A sin + A cos (3.7) jossa A ja A ova alkuhoisa riippuvia vakioia. Kun sysin alkuasa ja alkunopus & unnaan, voiaan vakio A ja A laska. Nopun lauskkksi ul rivoialla Yhn vapausasn oinaisvärähly
4 Värählykaniikka 3.4 &() = A cos A sin (3.8) Alkuhoisa suraa vakioill A ja A suraava rakaisu & = () = A & = () & = A A = A = (3.9) Liikyhälön rakaisu () n näin olln uooon () = & sin + cos (3.) Liikyhälön (3.5) rakaisu voiaan siää yös vaihohoissi uoossa () = Csin( + ψ) (3.) jossa siiryän aksiiarvoa C sanoaan värähysliikkn apliuiksi ja kulaa ψ vaihkulaksi. Nopun lauskkksi ul rivoialla & () = C cos( + ψ) (3.) Alkuhoisa suraa vakioill C ja ψ suraava rakaisu = () = Csinψ & = () & = Ccosψ C = & + ψ = arcan & (3.3) Liikyhälön rakaisuksi () ul () = + & sin + arcan & (3.4) Kaavoisa (3.9) ja (3.3) näkyy, ä vakioin A ja A skä C ja ψ välillä on yhys C = = A + A ψ arcan( A / A ) (3.5) Kun liikyhälön (3.5) rakaisu siään -koorinaaisossa, saaaan kuvan 3.3 (b) sinikäyrä. Tään käyrän orinaaa ova asaislla kulanopulla pyörivän C - piuisn vkorin pysyprojkio kuvan 3.3 (a) ukaissi. Kuvasa 3.3 (a) näkyy yös uin vakioin A, A ja ψ ulkina. Yhn vapausasn oinaisvärähly
5 Värählykaniikka 3.5 (a) (b) τ = π / C A C ψ A () () -C Kuva 3.3 Haroninn värähly. Aikaväliä, jonka kuluua liik oisuu saanlaisna, kusuaan oinaisvärähysajaksi τ ja sn käänisarvoa f = / τ oinaisaajuuksi. Koska sinin jakso on π, suraa kaavasa (3.) yhys τ = π, jon voiaan kirjoiaa suraava uloks. π k τ = = π f = = = (3.6) k τ π π Oinaiskulaaajuun yksikkö on ra / s ja oinaisaajuun f yksikkö / s = Hz. Oaalla huoioon kaava (3.), voiaan, τ ja f kirjoiaa uooon g Δ g = τ = π f = (3.7) Δ g π Δ josa nähään, ä oinaisaajuus voiaan ääriää yös iaaalla jousn saainn piuunuuos. On syyä huoaa riyissi, ä suur, τ ja f riippuva vain sysin assasa ja jousivakiosa k ja ova näin olln sysin sisäisiä oinaisuuksia, iväkä riipu sirkiksi ulkoisisa kuoriuksisa. Yllä olva uloks saaiin kuvan 3. ukaisn prusallin ranslaaioliikkn arkaslusa. Saau kaava pävä kuinkin kaikill uillkin yhn vapausasn sysill, vaikka liik olisi roaaioa. Jousi on ällöin aivuus- ai väänöjousi ja assan paikall ul hiausoni. Elln on slvää ä oria sopii kaikill yhn vapausasn sysill, joka voiaan korvaa kvivalnilla sysillä llisssä luvussa siyllä avalla. Tällöin assan ja jousivakion paikall ul vasaava kvivalni suur. Yhn vapausasn oinaisvärähly
6 Värählykaniikka Enrgiapriaan käyö Vainaoassa värählyssä sysin kaaninn nrgia säilyy li sysi on konsrvaiivinn. Täsä suraa, ä liikyhälö voiaan johaa yös kaanisn nrgian säilyisn priaalla. Vainaoan värählijän nrgia on osiain liik-nrgiaa ja osiain poniaalinrgiaa. Liik-nrgia varasoiuu assaan sn nopun surauksna. Poniaalinrgia V varasoiuu kioisiin osiin kionrgiaksi ai iln voian känä yönä. Vainaoassa värählyssä on voiassa T + V = vakio ( T + V ) = (3.8) Johaan vilä kuvan 3. värählijän liikyhälö nrgiapriaalla. Kun jousn liik-nrgia olaan nollaksi, on ainoasaan assalla liik-nrgiaa. Sn lausk ilivalaislla ajan hkllä on T = & (3.9) Valiaan saainn asapainoasa vrailukohaksi poniaalinrgiaa laskassa li poniaalinrgian arvo ilaisva uuoksn saaisn asapainoasaan nähn. Kuvin 3. (b) ja (c) pruslla saaaan V = Vc Vb = k( + Δ ) g k Δ (3.) josa suraa yhyn k Δ = g avulla ulos V = k (3.) Sijoiaalla T ja V kaavaan (3.8) saaaan (T + V) = & && + k & = & + k = (3.) joka on saa liikyhälö kuin kaavassa (3.4) saaiin. Jos ollaan kiinnosunia vain oinaiskulaaajuusa, voiaan s laska lyhysi Rayligh in nrgiapriaalla suraavassa siyllä avalla. Enrgian säilyisn priaasa suraa, ä kahll ilivalaisll ajan hkll pä T + = + (3.3) V T V Valiaan oisksi hkksi sysin saainn asapainoasa, jolloin voiaan so- Yhn vapausasn oinaisvärähly
7 Värählykaniikka 3.7 T a = V a (3.4) josa oinaiskulaaajuus voiaan suoraan laska. Sovllaan kaavaa (3.4) kuvan 3. sysiin. Kaavan (3.) ukaan a = C ja kaavan (3.) ukaan & = C. Sijoiaan nää kaavaan (3.4), jolloin saaaan a T k = C = k C = Va (3.5) a = joka on saa ulos kuin kaavassa (3.4) ääriliin. 3.5 Viskoosi vainnus 3.5. Liikyhälö ja sn rakaisinn (a) g jousn lpopiuus saainn asapaino k pia, ä V =. Toisksi hkksi oaan värählyn ääriasa, jossa assan nopus on nolla ja T =. Jos sysin liik on haronisa värählyä, ova T ja V liik- ja poniaalinrgian aksiiarvo. Näin saaaan uloksksi Rayligh in nrgiapriaa Viskoosissa vainnuksssa vainnusvoia on suoraan vrrannollinn assan nopun li F = c & (3.6) & & & g jossa c on vainnusvakio. Kuvassa Kuva 3.4 Vainnu värählijä. (3.4) on viskoosisi vainnun värählijän prusalli. Vainnus on kuvau nsvainilla. Kuvasa 3.4 (b) suraa ulos k Δ = g. Kuvasa 3.4 (c) saaaan liikyhälö k ( + Δ ) + c & g = & (3.7) josa suraa värählijän liikyhälöksi c Δ kδ g (b) k( + Δ) & + c & + k = (3.8) (c) c& Yhn vapausasn oinaisvärähly
8 Värählykaniikka 3.8 Jakaalla puoliain assalla, n liikyhälö sanariuooon & + & + = (3.9) jolloin on ou käyöön rkinnä = k / = c /( ) (3.3) Suura sanoaan vainnussuhksi. Vainnussuh kuvaa vainnuksn voiakkuua ja s on insioon luku. Esiään liikyhälön (3.9) rakaisua uoossa () = A, jossa A ja λ ova vakioia. Tällöin on (3.9) saaaan λ () & = A λ ja & () = A λ λ λ. Sijoiaalla rakaisuyri liikyhälöön A λ ( λ + λ + ) = (3.3) joka ouuu kaikilla ajan arvoilla vain, jos λ + λ + = (3.3) Yhälöä (3.3) sanoaan karakrisisksi yhälöksi ja sn juur ova λ = = + λ (3.33) Liikyhälön (3.9) ylinn rakaisu on siis uooa () = A λ + A = A λ + A (3.34) jossa vakio A ja A ääräyyvä assan alkuasan ja alkunopun & pruslla. Koska vainnusvakio voi saaa arvoja välilä <, voi yllä nliöjuurssa olva lausk olla posiiivinn ai nolla ai ngaiivinn ja liikyhälön rakaisu on luonlaan rilainn kussakin apauksssa. (a) Kun > (ylikriiinn vainnus), ova juur λ ja λ risuuria ngaiivisia raalilukuja. Tällöin siiryä lähsyy asypooissi nollaa, kun aika. Vainnus on niin voiakas, ä värählyä i siinny ikä synyvä liik ol jaksollinn. Kun sysin alkuasa ja alkunopus & unnaan, voiaan laska rakaisussa (3.34) olva vakio A ja A. Voiaan osoiaa, ä niin lauskk ova (oisus sivuuaan) Yhn vapausasn oinaisvärähly
9 Värählykaniikka 3.9 A = & + + A = & + + (3.35) (b) Kun = (kriiinn vainnus), ova juur λ ja λ yhä suuria ja λ = λ =, joka on ngaiivinn luku. Tyyppiä A λ olvia rakaisuja on vain yksi ja arviaan oinn siiä linaarissi riippuaon rakaisu. Sllaisksi klpaa yyppiä A λ olva rakaisu. Liikyhälön ylisksi rakaisuksi ul siis ässä apauksssa + A () = A (3.36) Myös kriiisn vainnuksn apauksssa vainnus on niin voiakas, ä siiryä lähsyy asypooissi nollaa, kun aika. Kun sysin alkuasa ja alkunopus & unnaan, saaaan rakaisussa (3.36) olva vakio A ja A kaavoisa (oisus sivuuaan) A A = = & + (3.37) Kun =, saaaan kaavasa (3.3) vainnusvakioll suraava lausk c k = = k (3.38) joa sanoaan kriiisksi vainnusvakioksi. Voiaan osoiaa, ä kriiisn vainnuksn oaavan värählijän siiryä lähsyy nopain nollaa kuin uun Kuva 3.5 Kriiinn ja ylikriiinn vainnus. vasaavan ua ylikriiisn vainnuksn oaavan värählijän. Kuvassa 3.5 on havainnollisu ää räillä lukuarvoilla [ = kg, k = 6 N/, c = 8 Ns/, (kriiinn), c = 6 Ns/ (ylikriiinn), =, ja & =, / s ]. (c) Kun < (alikriiinn vainnus), on lausk iaginäärinn ja s voiaan laiaa uooon i, jossa i =. Karakrisisn yhälön juur λ ja λ ova ässä apauksssa koplksilukuja ja oisnsa liiolukuja. Liikyhälön (3.9) ylinn rakaisu on vasaavasi uooa Yhn vapausasn oinaisvärähly
10 Värählykaniikka 3. () = A λ + A Oaan käyöön rkinnä = A i λ + A i (3.39) π π = τ = = (3.4) jossa suur on vainnu oinaiskulaaajuus ja ± i = cos ± isin τ vainnu oinaisvärähysaika. Eulrin kaavan ja vainnun oinaiskulaaajuun äärilän pruslla saaaan rakaisua (3.39) khiyä suraavasi () = = [( A cos + ia sin ) + ( A cos ia sin )] [( A + A ) cos + i( A A ) sin ] Kun llä olvassa uloksssa oaan käyöön uu raalis vakio A 3 = A + A A = i A, saaaan liikyhälön rakaisu lopullisn uooonsa ja ( ) 4 A () = ( A cos + A sin ) 3 4 (3.4) Rakaisu (3.4) usaa värählyä, jonka apliui pinn kroin johosa asypooissi kohi nollaa, kun aika. Kuvassa 3.6 on havainnollisu rakaisua (3.4) arvoilla. [ = kg, k = 6 N/, c = Ns /, (alikriiinn), =, ja & =, / s ]. Kuva 3.6 Alikriiinn vainnus. Kun alkuho ja & unnaan, voiaan vakio A 3 ja A 4 laska kaavoisa (oisus sivuuaan) A 3 = A 4 = & + (3.4) Yhn vapausasn oinaisvärähly
11 Värählykaniikka 3. Rakaisu (3.4) voiaan siää yös oisssa uoossa, kun vakioina käyään apliuia C ja vaihkulaa ψ () = C sin( + ψ ) (3.43) Alkuhojn ollssa ja & vakioin C ja ψ lauskk ova (oisus sivuuaan) C = & + + ψ = arcan & + (3.44) Kaavasa (3.4) nähään, ä viskoosi vainnus pinnää sysin oinaiskulaaajuua ja suurnaa oinaisvärähysaikaa, + = Kuva 3.7 Vainnu oinaiskulaaajuus. vainaoaan ilansn vrrauna. Kaava (3.4) voiaan kirjoiaa uooon + = (3.45) joka on siy graafissi kuvassa 3.7. Sovlluksissa vainnus on ylnsä lko pini, ua i rkiyksön. Vainnussuh on harvoin suurpi kuin,, lli riyissi pyriä suurn vainnuksn. Kuvasa 3.9 näkyy, ä ällä alulla i poikka paljon vainaoasa oinaiskulaaajuusa Logariinn krni Vainnussuhn suuruua on usin vaika arvioia arkasi. Siä voiaan ukia yös kokllissi iaaalla, kuinka nopasi värählyn apliui pinn. Tarkasllaan ää rakaisun (3.43) avulla, joka on siy graafissi kuvassa 3.8. Logariinn krni on äärilänsä ukaan luonnollinn logarii kahn präkkäisn jakson apliuin suhsa. Määriläsä ja rakaisusa (3.43) suraa logariisll krnill δ kuvan 3.8 rkinnöin lausk δ X = ln X = ln ( + τ ) sin( sin[ ( + ψ ) + τ ) + ψ ] (3.46) Koska τ = π, joka on sinifunkion jakso, sivn kaava (3.46) uooon Yhn vapausasn oinaisvärähly
12 Värählykaniikka 3. X π δ = ln = τ = (3.47) X Kun on pini, on ja δ π. Kaavasa (3.47) voiaan rakaisa vainnussuhll kaava () δ = (3.48) 4 π + δ X X Logariisa krniä voiaan käyää vainnussuhn kokllisssa ääriyksssä. Vainnussuh saaaan τ kaavasa (3.48), kun δ on nsin ääriy kaavan (3.47) iausuloksisa X ja X. Jos apli- Kuva 3.8 Logariinn krni. ui X ja X poikkava hyvin vähän oisisaan, on kaavan (3.47) käyö päarkkaa. Tällöin voiaan käyää vaihohoisa kaavaa X δ = ln (3.49) n X n+ jossa X n + on apliui, kun n värählyjaksoa on kulunu apliuisa X. 3.6 Kikavainnus Toinn ylinn vainnusalli on kikavainnus. Kikavainnun värählijän prusalli on kuvassa 3.9. Kikavainnusa sanoaan vakiovainnuksksi, koska vainnusvoian suuruus on riippuaon siiryäsä ja sn aikarivaaasa ja riippuu vain liukupinojn välissä noraalivoiasa. Kikavoian suuna on liikä vasusava, jon voian suuna uuuu liiksuunnan uuussa. Massan liikkussa oikala vasall saaaan sn liikyhälöksi kuvan 3.9 (b) avulla & + k μn = (3.5) Massan liikkussa vasala oikall liikyhälöksi ul kuvan 3.9 (c) pruslla & + k + μn = (3.5) Yhälön (3.5) ylinn rakaisu on uooa Yhn vapausasn oinaisvärähly
13 Värählykaniikka 3.3 (a) () = A cos + B sin + μn/k (3.5) & k jossa = k / skä A ja B alkuhoisa saaavia vakioia. Yhälön (3.5) ylinn rakaisu on μ () = A cos + B sin μn/k (3.53) (b) & jossa A ja B ova alkuhoisa saaavia vakioia. g k μn Rakaisu (3.5) ja (3.53) ova voiassa vuorolln N puoln värähysjakson ajan. Vakio A ja B ( A ja (c) & B ) on ääräävä alkuhoisa aina uulln puolijakson alkassa. Synyvä liik on haronisa värählyä jokaisn puolijakson ajan. Värählyn g k asapainoasa siiryy puolijakson vaihussa äärällä μ N/ k. μn N Tukiaan kikavainnusa alkuhoilla Kuva 3.9 Kikavainnus. () = > ja () & = li sysi pääsään ääriasasaan ilan alkunopua liikksn. Koska X >, rakaisu (3.5) on nsin voiassa. Kun vakio A ja B laskaan alkuhoisa, saaaan = μn/ k ja B, joisa suraa A = () = ( μn/ k)cos + μn/ k π / (3.54) Rakaisu (3.54) on voiassa vain hkn = π / asi, jolloin nopus on nolla ja assa vasalla ääriasassa li uu alkuho ova () = μn/ k ja & ( ) = skä rakaisu (3.53) on voiassa suraavan puolijakson ajan. Rakaisalla vakio A ja B llä ainiuisa alkuhoisa saaaan = 3 N/ k ja B =, josa suraa A μ () = ( 3μ N/ k)cos μn/ k π / π / (3.55) Rakaisu (3.55) on voiassa hkn = π / asi, jolloin assa on oikalla kohassa ( ) = 4μN/ k ja & ( ) =. Rakaisu (3.5) on ny voiassa ja alkuhoisa suraa = 5 N/ k ja B =, jolloin A μ () = ( 5μ N/ k)cos + μn/ k π / 3π / (3.56) Nähään, ä liikkn apliui pinn jokaisn jakson aikana äärällä 4μ N/ k. Liik pysähyy sn puolijakson aikana, jolla apliui on pinpi kuin μ N/ k, koska ällöin asapainoon palauava jousivoia on pinpi kuin kikavoia μ N. Kuvassa Yhn vapausasn oinaisvärähly
14 Värählykaniikka on siy graafissi kikavainnu liik, jossa liik pysähyy koln ja puoln värählyjakson jälkn. Osa sysin vainnukssa on aina kikavainnusa, koska ainoasaan s pysäyää liikkn. Nähään yös, ä kikavainnus i uua oinaisaajuua. X () z ( ) π 3π π 5π 4 π 7π 6 π μn/ k Kuva 3. Kikavainnu liik. Yhn vapausasn oinaisvärähly
ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.
Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak
Lisätiedot3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA
S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali
7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin
Lisätiedot8 YHDEN VAPAUSASTEEN VÄRÄHTELY
Dynaiikka 8. 8 YHDEN VAPAUSASTEEN VÄRÄHTELY 8. Yleisä Koneen- ja rakenneosa voiaan ioiaa avanoaisilla saiikan ja lujuusopin eneelillä kuoriusen ollessa ajasa riippuaoia eli saaisia. Käyännössä esiinyy
LisätiedotLuento 7 Järjestelmien ylläpito
Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan
LisätiedotKOHINA KULMAMODULAATIOISSA
OHI ULMMOULIOISS ioliikkiikka I 559 ai äkkäi Osa 4 7 ulaoulaaio ouloii kohia vallissa iskiiaaoi koosuu ivaaoisa ja vhokäyäilaisisa. ivaaoi suaa -sigaali vaihkula uuosopua aajuu uuosa kskiaajuu C ypäillä.
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen
/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO : Yhden vapausaseen vaieneaon pakkoväähely, haoninen kuoiusheäe JOHDANTO Ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä sanoaan pakkoväähelyksi. Jos syseeissä on vaiennusa, on kyseessä
Lisätiedota) Miksi signaalin jaksollisuus on tärkeä ominaisuus? Miten jaksollisuus vaikuttaa signaalin taajuussisältöön?
L53, Sinaalioria J. Laiinn..5 E3SN, E3SN5Z Väliko, rakaisu Vasaa lyhysi suraaviin kysymyksiin. 6p a Miksi sinaalin aksollisuus on ärkä ominaisuus? Min aksollisuus vaikuaa sinaalin aauussisälöön? b Miä
LisätiedotTietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
Lisätiedot4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY
Väähelyekaiikka 4. 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY 4. Johdao Mekaaise syseei ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä saoaa akkoväähelyksi. Jos syseeissä o vaieusa, o kyseessä vaieeva akkoväähely,
LisätiedotKoska yhteys tavalliseen eksponenttifunktion sarjakehitelmään on selvä, asetetaan seuraava määritelmä.
Ma-.433/433/45 Mariisiksponnifunkio, K3/P3/V3, syksy 22 Pkka Alsalo/(Hikki Apiola) Pkan ysävällissi käyööni anamaan lähkooiin oln hny omia lisäyksiäni, HA Viiiä [TE] Timo Eirola: Linaarialgbra, lunomonis
LisätiedotX(t) = X 0 + tx 1 + t 2 X 2 + t 3 X ,
Ma-1.1332 Mariisiksponnifunkio, KP3-II, syksy 2007 Pkka Alsalo Johdano. Tämä monis sisälää kurssilla arviava ido mariisiksponnifunkiosa. Mariisiksponnifunkio. Suraavassa A on raalinn n n-mariisi, jonka
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte
4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
Lisätiedot6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
LisätiedotRATKAISUT: Kertaustehtävät
Physia 8 painos (5) Krtausthtävät : Krtausthtävät Luku Aallonpituus alu on 5 n < 45 n Irrotustyö siuissa on,8 V Fotonin nrgiat ovat väliltä Lasktaan suurin liik-nrgia E E W kax fax in 4, 9597 V,8 V 3,597
Lisätiedot2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt:
84 RDIOTKNIIKN PRUSTT aois. Las a gadini f, n f,, b divgnssi, n c oooi, n on n b- ohdassa.. Ti oaao saava vapaassa ilassa olva nä Mawllin hälö:.. Oloon vapaassa ilassa sähönä oplsivoina sinä. Määiä a aallon
Lisätiedotb) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
LisätiedotMuuttuvan kokonaissensitiivisyyden mallinnus valvontaohjelman riskinarvioinnissa esimerkkinä munintaparvet
Muuuvan kokonaissnsiiivisyyn mallinnus valvonaohjlman riskinarvioinnissa simrkkinä muninaarv Tausa: Aimma salmonllarojki FooBUG rojki ja uusi malli muninaarvill 8. EFSA WG: salmonlla muninaarvissa. Samaa
LisätiedotYhden vapausasteen värähtely - harjoitustehtäviä
Dynaiia 1 Liie luuun 8. g 8.1 Kuvan jousi-assa syseeissä on = 10 g ja = 2,5 N/. Siiryä iaaan saaisesa asapainoaseasa lähien. luheellä = 0 s assa on saaisessa asapainoaseassaan ja sillä on nopeus 0,5 /
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
LisätiedotVAIHELUKKOTEKNIIKKA JA TAKAISINKYTKETYT DEMODULAATTORIT KULMAMODULAATION ILMAISUSSA
VIHELUOTENII J TISINYTETYT DEMODULTTORIT ULMMODULTION ILMISUSS Vaihohoinn ilmaisumnlmä kulmamoulaaioill? 5357 Tioliiknnkniikka I Osa 9 ari ärkkäinn ä 05 VIHELUO PLL FM & PM -ILMISINPIIRINÄ Ellä on arkaslu
LisätiedotLuento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
LisätiedotW dt dt t J.
DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan
LisätiedotLVM/LMA/jp 2012-12-17. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20
LVM/LMA/jp 2012-12-17 Valioneuvoson aseus ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen uuaisesa Anneu Helsingissä päivänä kuua 20 Valioneuvoson pääöksen ukaisesi, joka on ehy liikenne- ja viesinäiniseriön
LisätiedotLVM/LMA/jp 2013-03-27. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20
LVM/LMA/jp 2013-03-27 Valioneuvoson aseus ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen uuaisesa Anneu Helsingissä päivänä kuua 20 Valioneuvoson pääöksen ukaisesi uueaan ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 07: Yhden vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely
7/ VÄRÄHTELYMEKNKK SESS 7: Yhden vapausasteen vaieneaton oinaisvärähtely JHDNT inaisvärähtely tarkoittaa ekaanisen systeein liikettä, jossa se liikkuu ilan ulkoisten herätevoiien vaikutusta. inaisvärähtely
LisätiedotRakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi
Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri
Lisätiedot2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2
Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä
Lisätiedot1 Excel-sovelluksen ohje
1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen
LisätiedotViitteet. Viitteet. Viitteet
Vii Vii Vii 1 2 1. Mariisiksponnifunkio Hikki Apiola Sisälää Pkka Alsalon ja Timo Eirolan mariaalia myös. Viiiä TE Timo Eirola: Linaarialgbra, lunomonis EN EirolaNvanlinna: Diyhälösysmi, lunomonis LAODEGolubiskyDllniz:
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
Lisätiedot>LTI-järjestelmä. >vaihespektri. >ryhmäviive
TL53, Signaalioria (J. Laiinn) 9..4 TTESN, TTESN5X, TTESN5Z Väliko, rakaisu Täydnnä ohisn kuvaan > - ai < -mrkiy kohda. Miä arkoiaan idonsiirokanavan kvalisoinnilla? Esiä lausk kvalisaaorin siirofunkioll,
Lisätiedot5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
LisätiedotMÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010
MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,
LisätiedotFYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely
FYSA/K (FYS/K) Vaimeneva värähtely Työssä tutkitaan vaimenevaa sähköistä värähysliikettä. Erityisesti pyritään havainnollistamaan kelan inuktanssin, konensaattorin kapasitanssin ja ohmisen vastuksen suuruuksien
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista
Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa
LisätiedotSisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja
Sisällys Alkusana Thävin rakaisuja Joukko-oppia Logiikkaa 6 Todisusmnlmiä Lukuoriaa Lisähäviä Pikasi 9 Krauskok painos Alkusana Tämä ainiso liiyy pikän mamaiikan oppikirjaan Lukion Calculus 6:n, ja s on
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
Lisätiedot1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet.
a) ristid, puolijohtid ja talli tyypillist rgiakaistaraktt. i) NRGIAKAISTAT: (lktroi sallitut rgiatilat) Kaksiatoi systi: pottiaalirgia atoi väliatka fuktioa pot rpulsiivi kopotti -lktroit hylkivät toisiaa
LisätiedotKANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA
KJUI BIÄÄRI SIIROJÄRJSLMÄ WG-KVSS Kaajaajui siiro iformaaio siiro johdossa sllaisaa ilma kaoaalo- ai pulssimodulaaioa 536 ioliikkiikka II Osa 3 Kari Kärkkäi Syksy 5 JÄRJSLMÄMLLI Bii kso. Symboli {} ja
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.
LisätiedotLuento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
Lisätiedot1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020
1. Maeaainen heiluri, haroninen värähelijä Fysiikka IIZF Juha Jokinen (Selosuksesa vasaava) Janne Kiviäki Ani Lahi Miauspäivä:..9 Laboraorioyön selosus 9..9 Pendulu is a ass hanging fro a pivo poin which
LisätiedotF Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ 1-20
F Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ - 0 Oalla eieyiä kyyykiä vaauke ova huoaavai pidepiä kuin iä eierkiki kokeea vaaukela vaadiaan. Kokeea on oaava vain olennainen aia per ehävä. . Muua SI järjeelän ykiköihin
Lisätiedotz = Amplitudi = itseisarvo ja vaihe = argumentti (arg). arg Piirretään vielä amplitudi- ja vaihespektri:
Määriä suraavi komplksiluku/siaali ampliudi- a vaiharvo. Piirrä b-kohdassa ampliudi a vaih aauud fukioa ampliudi- a vaihspkri. 6p 8 a z 7, z 8 a z. { } b z cos. Ampliudi isisarvo a vaih arumi ar. a z 7
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotEne-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015
Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen
Lisätiedotexp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
Lisätiedot= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä
LisätiedotKULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.
Lisätiedot3. Differen-aalilaskenta
//. Differen-aalilaskenta Differen-aali "yvin pieni uutos" Derivaa
LisätiedotEnsimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)
.5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)
5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:
Lisätiedotx v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotTaustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka
IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT Tausaa IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / Kakk langaon vesnä ja radoeolkenne (makapuhelme, WLAN, ylesrado
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 09: Yhden vapausasteen vaimeneva ominaisvärähtely
9/ VÄRÄHTELYMEKNKK SESSO 9: Yhn vpun vinv oinivärähly LKEYHTÄLÖ Viooi vinnu vinnuvoin oln olvn uorn vrrnnollinn värählvän n nopun li F v () jo on vinnuvio. Kuv on viooii vinnun värählijän prulli, jo vinnu
LisätiedotPK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd
PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa
LisätiedotRadioastronomian käsitteitä
Radioastronomian käsitteitä allonpituusalue ~ 100 m - 1 mm MHz 300 GHz Leveä aallonpituusalue: erilaisia antenneja, monenlaista tekniikkaa Ei (suoraan) kuvia Signaali yleensä
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus ja vikaantumisprosessit
Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Luo 6 Luoavuus a vkaaumsrosss Ah alo ysmaalyys laboraoro Tkll korkakoulu PL 00, 005 TKK Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Määrlmä Tarkaslava ykskö luoavuus o s odäkösyys,
LisätiedotKokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005
Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen
Lisätiedotf x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)
Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)
Lisätiedott P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<
1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5
LisätiedotLHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1.
S-445 FSIIKK III (ES) Syksy 004, LH 5 Ratkaisut LHSf5-* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden läötilakerroin on R ( b ) R a b Huoaa, että läötilakerroin on annettu oolisen tilavuuden = / ν avulla
LisätiedotTasaantumisilmiöt eli transientit
uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen
LisätiedotIlpo Halonen Luonnehdintoja logiikasta 4. Luonnehdintoja logiikasta 4. Tautologioita 1. Tautologioita 3. Tautologioita 2. Johdatus logiikkaan
Ilpo Halonn 2005 Luonnhdinoja logiikasa 4 Johdaus logiikkaan Ilpo Halonn Syksy 2005 ilpo.halonn@hlsinki.fi Filosofian laios Humanisinn idkuna whn you hav liminad h impossibl, whavr rmains, howvr improbabl,
LisätiedotÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT
ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/200 LOPULLISET EHDOT Ålandsbanken Debenuurilaina 2/200 (ISIN: FI400003875) lopullise ehdo on 9. heinäkuua 200 vahviseu seuraavasi: - Lainan pääoma 9 980 000 euroa Maarianhamina
LisätiedotTKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
LisätiedotToistoleuanvedon kilpailusäännöt
1.0 Yleisä Toisoleuanvedossa kilpailija suoriaa häjaksoisesi mahdollisimman mona leuanveoa omalla kehonpainollaan. Kilpailijalla on käössään ksi kilpailusuorius sekä asauloksen sauessa mahdollise uusinakierrokse
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
LisätiedotSuomen kalamarkkinoiden analyysi yhteisintegraatiomenetelmällä
KALA- JA RIISTARAPORTTEJA nro 374 Jukka Laiinen Jari Seälä Kaija Saarni Suomen kalamarkkinoiden analyysi yheisinegraaiomeneelmällä Helsinki 006 Julkaisija Riisa- ja kalaalouden ukimuslaios KUVAILULEHTI
LisätiedotKonvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
LisätiedotMAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014
MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................
LisätiedotHuomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
LisätiedotTiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus
Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen
LisätiedotFinanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla
BoF Online 3 29 Finanssipoliiikan ehokkuudesa Yleisen asapainon arkaseluja Aino-mallilla Juha Kilponen Tässä julkaisussa esiey mielipiee ova kirjoiajan omia eiväkä välämää edusa Suomen Pankin kanaa. Suomen
LisätiedotMAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2011
MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 0 Tyypillisten virheiden aiheuttaia pisteenetyksiä (6 pisteen skaalassa): - pieni laskuvirhe -/3 p - laskuvirhe, epäielekäs tulos, vähintään - - vastauksessa yksi erkitsevä
Lisätiedota) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).
LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II: 9.9.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
Lisätiedotl s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0
1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona
LisätiedotANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA
ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 8 1 23 Videosignaalin VSB-odulaaio analogisessa TV-järj. Värielevision videosignaalin siirrossa käyeään
LisätiedotKOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus
EUROOPAN KOMISSIO Bryssel 27.2.205 COM(205) 4 final KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan nojalla laadiu keromus FI FI KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan
LisätiedotINTERFERENSSIN VAIKUTUS LINEAARISISSA MODULAATIOISSA
1 INTERFERENSSIN VIKUTUS LINERISISS MOULTIOISS Men yksaajunen häökanoaalo haaa lasua? 521357 Teolkenneeknkka I Osa 18 Ka Käkkänen Kevä 2015 KERTUST 2 Kanoaaloodulaaolle: os[2πf φ] Lneaanen odulaao Vahee
LisätiedotL/M = 16.9/9.1 = 169/91 = 13/7.
TL56DSK-algoritit J. Laitinn 7.. TTES5, TTES5Z Väliko, ratkaisut Signaali x[n], onka näyttaauus on 9. khz, pitää uuntaa signaaliksi, onka näyttaauus on 6.9 khz. Esitä uunnoksn vaiht lohkokaaviona skä tarvittavin
LisätiedotMittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
LisätiedotSATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen
SATE14 Dnaainen kenäeoia sks 16 1 /7 Laskuhajoius 4 / Sähköagneeise aalojen polaisoiuinen Tehävä 1. Vapaassa ilassa väähelevän piseläheen aiheuaan palloaallon sähkökenän voiakkuus on A V E, sincos k e.
LisätiedotINTERFERENSSIN VAIKUTUS LINEAARISESSA MODULAATIOSSA
INTERFERENSSIN VIUTUS LINERISESS MOULTIOSS Teolkenneeknkka I 521359 a äkkänen Osa 15 1 19 Inefeenssn vakuus lneaasessa odulaaossa Radoaausa nefeenssä RFI sn usa äeselsä, kun oa kanoaaloaauus on lähellä
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut
A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan
Lisätiedot2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t
Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
LisätiedotPuolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017
OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1
Lisätiedot2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
LisätiedotYRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN
ENERGIAMARKKINAVIRASTO 1 Le 2 Säkön jakeluverkkoomnnan yryskoasen eosamsavoeen määrely YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY Asanosanen: Vaasan Säköverkko Oy Lyy pääökseen dnro 491/424/2007 Energamarkknavraso
LisätiedotZELIO Time Sarja RE7 Elektroniset aikareleet
Zelio Time -aikarelee ZELIO Time Sarja RE7 Elekronise aikarelee Valinaopas 00 Valinaopas 00 Zelio Time RE 7 -aikarelee Valinaopas Sovellukse Elekronise aikarelee mahdollisava yksinkeraisen auomaisoiujen
Lisätiedot