VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, roottorin epätasapaino ja alustan liike

Transkriptio

1 15/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhde vapausastee vaieeva pakkovärähtely, roottori epätasapaio ja alusta liike ROOTTORIN EPÄTASAPAINO Kute sessiossa VMS13 tuli esille, aiheuttaa pyörivie koeeosie epätasapaio pakkovoiia. Tarkastellaa yt kuvassa 1 esitettyä lasketaallia, joka o uute saalaie kui sessio VMS13 kuva alli, utta sisältää lisäksi viskoosi vaietie. Massa vaakasuutaie liike o estetty, jolloi se voi värähdellä vai pystysuuassa. Roottori G O k e 0 0e si t g t 0 0 e T 0 os e staattie tasapaio t & & & k( + ) & Kuva 1. Vaieettu roottorivärähtely. epätasapaiosta aiheutuu säteittäie hitausvoia 0e, joka pystykopoetti e si t aiheuttaa pystysuutaise pakkovärähtely. Liikeyhtälöksi tulee 0 0 & + & + k = e si t (1) Yhtälö (1) o saaa uotoa kui sessio VMS14 yhtälö (), utta aplitudi 0 paikalla o pakkovoia taajuudesta riippuva teri 0e. Tästä seuraa sessio VMS14 kaavoje (10) ukaa pakkovärähtely = si( t φ ) aplitudille ja vaihekulalle φ p ζ 0e /k = φ = arta ω () + ζ

2 15/ Ku erkitää r = / ω, saadaa vahvistuskertoielle M ja vaihekulalle φ kaavat r ζ r M = = φ = arta (3) e 1 ( 1 r ) + ( ζ r) 0 r Kaava (3) vahvistuskerroi M o esitetty kuvassa taajuussuhtee r fuktioa eri vaieussuhtee ζ arvoilla. Vaihekula φ lauseke o saa kui sessio VMS14 kaavassa (13), jote se o esitetty sessio VMS14 kuvassa 3. Vahvistuskertoie M käyrästöstä ähdää, että käyrie aksiit eivät ole kohdassa = ω, vaa hiea se oikealla puolella. Resoassikulataajuus o ω = ω/ ζ ) ja aksiiaplitudi r a 0e 1 = (4) ζ ζ Oiaiskulataajuutta ω vastaava aplitudi o ω 0e 1 = ζ (5) Kuva. Vahvistuskerroi. joka eroaa pieellä vaieuksella hyvi vähä arvosta a. Saoi resoassikulataajuus ω r eroaa pieellä vaieuksella hyvi vähä oiaiskulataajuudesta ω, jota siksi saotaa usei resoassikulataajuudeksi. Aplitudi o pieillä pyöriisopeuksilla lähellä ollaa ja suurilla pyöriisopeuksilla (0 / ) e vaieussuhteesta riippuatta. Resoassi lähellä vaieus pieetää tehokkaasti aplitudia. Tutkitaa siirtyvyyttä kuva (1) lasketaallissa. Siirtyvä voia aksiiarvo A o sessio VMS14 kaava (17) ukaie ja aplitudi saadaa kaavasta (), jote A 1+ ( ζ / ω) ( / ω) + [ ] ( ζ / ω) ( ζ r) 1+ = 0eω ( ) = r (6) ω r ) + ( ζ r)

3 15/3 jossa 0 = eω, ikä o oiaiskulataajuutta ω vastaava pakkovoia aplitudi. Pakkovärähtely siirtyvyydeksi T = / tulee A T ( ζr) A 1+ = = r (7) r ) + ( ζr) Kaava (7) siirtyvyys T o esitetty kuvassa 3 taajuussuhtee r fuktioa uutailla vaieussuhtee ζ arvoilla. Ku ζ > 1 0, käyrillä ei ole ääriarvoja eli T kasvaa koko aja, ku r. Arvoilla 0 < ζ < 0, 3535 käyrillä o sekä iii että aksii ja kaikki iiit ovat pieepiä kui utta suurepia kui 1. Rajatapauksessa ζ = 0 T 1, ku r. Käyristä ähdää yös, että suurilla pyöriisopeuksilla pieiki vaieus o haitallista. Esierkiksi arvolla ζ = 0,5 siirtyvä voia o kohdalla r = 4, 5 suurepi kui resoassikohdassa siirtyvä voia. Kuvasta ähdää, että aplitudi Kuva 3. Siirtyvyys T. o suurilla pyöriisopeuksilla piei, jolloi yös jouse kautta siirtyvä voia o piei. Voia siirtyy suurilla pyöriisopeuksilla lähiä vaietie kautta, koska opeus o suuri, jolloi vaieusvoia o suuri. Alustaa siirtyvä aksiivoia A lauseke voidaa kirjoittaa yös uotoo A 0 1+ ( ζ / ω) ( / ω) + [ ] ( ζ / ω) a ( ζ r) 1+ = e = (8) r ) + ( ζ r) jossa a = 0e o kulaopeutta vastaava pakkovoia aplitudi. O selvää, että A / a = T, issä T o sessio VMS kuvassa 4. esitetty siirtyvyys. Kyseie kuva ei aa kuitekaa oikeaa yleiskuvaa siirtyvä voia suuruudesta, koska yös a kasvaa kulaopeude kasvaessa ja sytyy helposti se väärä käsitys, että siirtyvä voia lähestyy ollaa kulaopeude kasvaessa, ikä ei tietekää pidä paikkaasa.

4 15/4 VÄRÄHTELEVÄ ALUSTA (a) B g jouse lepopituus staattie tasapaio k u = b si t u& u& & Kuva 4. Vaieettu alusta värähtely. & & & k( (b) + u) (& u) & g Tarkastellaa pakkovärähtelyä, joka aiheutuu alusta haroisesta liikkeestä, ku vaieus o viskoosi. Lasketaalli o esitetty kuvassa 4. Siiä o jousi k, vaiei, assa sekä fuktio u(t) = bsi t ukaisesti liikkuva alusta. Koordiaatti u ilaisee alusta absoluuttise asea ja koordiaatti assa absoluuttise asea. Systeei liikeyhtälöksi saadaa vapaakappalekuva 4 (b) avulla k ( + u) g + ( & u) & = & (9) Ottaalla huoioo, että k = g ja u& = b os t saadaa liikeyhtälö uotoo & + & + k = b(k si t + os t ) (10) Yhtälö (10) voidaa uutaa trigooetria kaavoje avulla uotoo & + & + k = A si( t + α ) (11) jossa vakioide A ja α lausekkeet ovat ( /k) A = b k + ( ) ja α = arta (1) Yhtälö (11) pakkovärähtelyä vastaava yksityisratkaisu o uotoa = si( t β ), joho vakiot ja β saadaa yhtälöparista, joka sytyy sijoittaalla yrite liikeyhtälöö (11). p 3 b 1+ ζ ζ 3 = β = arta ω (13) + ζ + ζ 1 ω Ku erkitää r = / ω, tulee vahvistuskertoielle M ja vaihekulalle β kaavat

5 15/5 ( ζ r ) 3 1+ ζr M = = β = arta (14) b ( ) ( ) ( ) r + ζr r + ζ r Kaava (14) vahvistuskerroi M o saa lauseke kui sessio VMS14 kaava (18) siirtyvyys T, jote vahvistuskertoie M arvot ähdää sessio VMS14 kuvasta 4. Vahvistuskerroi M ilaisee, kuika oikertaie aplitudi o alusta aplitudii b verrattua. Arvolla r = o voiassa M = 1 vaieussuhtee ζ arvosta riippuatta. Aplitudi tulee pieeksi, ku r o suuri eli jousivakio k o piei. Kuvassa 5 o esitetty vaihekula β arvoja taajuussuhtee r fuktioa uutailla vaieussuhtee ζ arvolla. Kuva 5. Vaihekula. Tarkastellaa vielä siirtyvyyttä kuva 4 ukaise värähtelevä alusta tapauksessa. Nyt ollaa kiiostueita alustasta B assaa siirtyvä voia (t) aksiiarvosta A. Vapaakappalekuva 4 (b) sekä kaava (9) perusteella (t) = k( u) + ( & u) & = & = si( t β) (15) p p jote voia (t) aksiiarvo o kaava (14) perusteella M ( ζ r ) 1+ = = k br (16) r ) + ( ζ r) Alusta aksii siirtyää vastaa jousivoia K = k b, jote siirtyvyys T K = M / K o T K K ( ζ r ) M 1+ = = r (17) r ) + ( ζ r) joka o saaa uotoa kui kaava (7) siirtyvyys T, jote siirtyvyydelle T K voidaa käyttää kuva (3) käyrästöä. Massaa kohdistuva voia saadaa pieeksi käyttäällä löysää jousta ja ahdollisia pietä vaieusta.

6 15/6 ESIMERKKI VMS15E1 k/ k/ Kuva laitetta käytetää assa värähtelyoiaisuuksie tutkiisee. Massa o = 181,4 kg ja pyörivie assoje epätasapaio 0 e = 0,091kg. Pyöriisopeude ollessa N 1 = 900r / i ovat pyörivät assat yliässä aseassaa saaaikaisesti, ku assa o staattisessa tasapaioaseassaa liikkeessä ylöspäi ja vastaava aplitudi o 1 = 1,6. Määritä (a) systeei oiaiskulataajuus ω, (b) vaieussuhde ζ, () pyöriisopeutta N = 100r / i vastaava aplitudi ja (d) pyörivie assoje kulaasea φ assa ollessa staattisessa tasapaioaseassa liikkeessä ylöspäi. Ratkaisu: a) Koska pyörivät assat ovat yliässä aseassaa saaaikaisesti, ku assa o staattisessa tasapaioaseassaa liikkeessä ylöspäi, o tällä hetkellä vaihekula o φ = 90 eli taajuussuhde r = / ω = 1 sessio VMS14 kuva 3 ukaisesti. Pyöriisopeutta N 1 vastaava kulataajuus o 1 = 900 π / 60 94,48rad / s, jote yös ω 94,48 rad/ s. b) Ku otetaa huoioo, että pyöriviä assoja o kaksi, vaieussuhteeksi ratkeaa 0 e 0,091 kaavasta (5) ζ = = ζ 0, ,4 0,016 1 ) Pyöriisopeutta N vastaava kulataajuus o = 100 π / 60 15,664 rad/ s, jota vastaa taajuussuhde r = / ω 1, 333. Vahvistuskertoieksi tulee kaavasta (3) 0 e 0,091 M,78 ja aplitudiksi = M,78 0, ,4 0,035 1,333 d) Vaihekulaksi tulee kaavasta (3) φ arta 1,333 o φ 176,54. ESIMERKKI VMS15E Tarkkuushioakoe o kiiitetty alustaasa joustavasti ii, että kiiitykse jousivakio k = 1MN/ ja vaieusvakio = 1kNs /. Hioakoee assa o = 510kg. Hioakoee lähellä o toie koe, jossa oleva pyöriisopeudella N = 6000r / i pyörivä epätasapaio aiheuttaa alustalle pystysuutaise liikkee u(t) = bsi t. Määritä suuri ahdollie alusta aplitudi b ii, että hioakive aplitudi ei ylitä arvoa a 6 = 10. Laske vielä alustasta hioakoeesee vaikuttava voia aksiiarvo. Ratkaisu: Systeei oiaiskulataajuus o ω = k / 44,81rad/ s ja vaieussuhde ζ = 0, 014. Häiriötaajuus o = 6000 π / 60 68,319rad/ s ja taajuus- ω suhde r = / ω 14, 189. Vahvistuskertoieksi tulee kaavasta (14) M 0,

7 15/7 Alusta sallituksi aplitudiksi saadaa b = M b 0,170. Siirtyvyydeksi tulee kaavasta (17) T 1, 187, josta saadaa hioakoeesee siirtyvä voia aksiiarvo = T k b M 01,34N. M HARJOITUS VMS15H1 Piee oottorikäyttöise aalikopressoriyksikö assa o = 7kg ja se o tuettu eljällä kuieristiellä, joide staattie puristua o = 5. Moottori pyöriisopeus o vakio N = 1750r / i. Kopressori ää iskupituus o b = 50. Mää ja uide liikkuvie osie yhteisassa o 0 = 0,5 kg, ja ää edestakaie liike oletetaa haroiseksi aplitudi ollessa b /. Määritä yksikö pystysuutaiste värähtelyide aplitudi. Eristiissä käytety kui vaieussuhde o ζ = 0,. Vast. 0,489 Vihjeet: HARJOITUS VMS15H Autoa allietaa yhde vapausastee systeeillä, joka voi värähdellä pystysuuassa. Autolla ajetaa pitki tietä, joka pia uotoa approksioidaa siikäyrällä. Käyrä jakso pituus o j = 35 ja aplitudi b = 0,1. Auto pystysuutaise värähtely oiaistaajuus o f = Hz ja iskuvaieukse vaieussuhde ζ = 0, 15. Määritä auto pakkovärähtely aplitudi, ku sillä ajetaa opeudella v = 60k / h. Millä opeudella ajettaessa pakkovärähtely aplitudi o suuri ja paljoko se o? Vast. 0,106 va 46,73k / h a 0,351 Vihjeet: