Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet
|
|
- Hilja Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdtus L A TEXiin 4. Mtemtiikk II Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet
2 Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln. 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (2/10)
3 Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln. Näyttömtemtiikktil loitetn merkinnällä \[ j päätetään merkinnällä \]. Esim. Polynomi Polynomi \[ f(x)=2x+1 f(x) = 2x + 1 \] on jtkuv. on jtkuv. 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (2/10)
4 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (2/10) Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln. Näyttömtemtiikktil loitetn merkinnällä \[ j päätetään merkinnällä \]. Esim. Polynomi Polynomi \[ f(x)=2x+1 f(x) = 2x + 1 \] on jtkuv. on jtkuv. Itse siss kyseessä on lyhennysmerkintä displymth ympäristölle eli \begin{displymth}... \end{displymth} toimii ihn yhtä hyvin.
5 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (2/10) Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln. Näyttömtemtiikktil loitetn merkinnällä \[ j päätetään merkinnällä \]. Esim. Polynomi Polynomi \[ f(x)=2x+1 f(x) = 2x + 1 \] on jtkuv. on jtkuv. Itse siss kyseessä on lyhennysmerkintä displymth ympäristölle eli \begin{displymth}... \end{displymth} toimii ihn yhtä hyvin. Lyhyin vihtoehto on käyttää tupldollreit $$...$$
6 Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln. Näyttömtemtiikktil loitetn merkinnällä \[ j päätetään merkinnällä \]. Esim. Polynomi Polynomi \[ f(x)=2x+1 f(x) = 2x + 1 \] on jtkuv. on jtkuv. Itse siss kyseessä on lyhennysmerkintä displymth ympäristölle eli \begin{displymth}... \end{displymth} toimii ihn yhtä hyvin. Lyhyin vihtoehto on käyttää tupldollreit $$...$$ Näyttötiln merkinnät knntt litt omille riveilleen 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (2/10)
7 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (3/10) Näyttömtemtiikktilst II Kvn s numeroitu utomttisesti sijoittmll sen eqution ympäristöön. Esim. Polynomi \begin{eqution} f(x)=2x+1 \end{eqution} on jtkuv. Polynomi on jtkuv. f(x) = 2x + 1 (1)
8 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (3/10) Näyttömtemtiikktilst II Kvn s numeroitu utomttisesti sijoittmll sen eqution ympäristöön. Esim. Polynomi \begin{eqution} f(x)=2x+1 \end{eqution} on jtkuv. Polynomi on jtkuv. f(x) = 2x + 1 (1) Näyttömtemtiikktilss joidenkin merkintöjen koko j semointi poikke rivimtemtiikktilst. Tämä käy prhiten ilmi trkstelemll seurvill klvoill esiteltäviä komentoj.
9 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (4/10) Osmäärät Osmäärät komennoll \frc{osoittj}{nimittäjä}. Esim. \[ \frc{2}{3} \] $$\frc{1}{x+y}$$ \[ \frc{1}{x+\frc{1}{y+z}} \] x + y 1 x + 1 y+z
10 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (4/10) Osmäärät Osmäärät komennoll \frc{osoittj}{nimittäjä}. Esim. \[ \frc{2}{3} \] $$\frc{1}{x+y}$$ \[ \frc{1}{x+\frc{1}{y+z}} \] Rivimtemtiikktilss osmäärä näyttää tältä x + y 1 x + 1 y+z
11 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (4/10) Osmäärät Osmäärät komennoll \frc{osoittj}{nimittäjä}. Esim. \[ \frc{2}{3} \] $$\frc{1}{x+y}$$ \[ \frc{1}{x+\frc{1}{y+z}} \] x + y 1 x + 1 y+z Rivimtemtiikktilss osmäärä näyttää tältä 2 3 Rivimtemtiikktilss ti muuten lyhyissä osmäärissä onkin joskus prempi käyttää jkoviiv. Esim. Tulos on $(m+n)/2$. Lisäksi $x=y^{z/2}$. Tulos on (m + n)/2. Lisäksi x = y z/2.
12 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (5/10) Summt j integrlit Summt tehdään komennoll \sum_{}ˆ{b} j integrlit komennoll \int_{}ˆ{b}.
13 Summt j integrlit Summt tehdään komennoll \sum_{}ˆ{b} j integrlit komennoll \int_{}ˆ{b}. Esim. \[\sum_{k=1}ˆn w_k x_k\pprox\int_ˆb f(x)dx\] n w k x k k=1 b f(x)dx 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (5/10)
14 Summt j integrlit Summt tehdään komennoll \sum_{}ˆ{b} j integrlit komennoll \int_{}ˆ{b}. Esim. \[\sum_{k=1}ˆn w_k x_k\pprox\int_ˆb f(x)dx\] n w k x k k=1 b f(x)dx Rivitilss ne näyttävät tältä: n k=1 w kx k b f(x)dx 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (5/10)
15 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (5/10) Summt j integrlit Summt tehdään komennoll \sum_{}ˆ{b} j integrlit komennoll \int_{}ˆ{b}. Esim. \[\sum_{k=1}ˆn w_k x_k\pprox\int_ˆb f(x)dx\] n w k x k k=1 b f(x)dx Rivitilss ne näyttävät tältä: n k=1 w kx k b f(x)dx Erilisen sijoittelun integrlin j summn l- j ylärjoille s komennoill \limits j \nolimits. Esim. \int\limits_ˆb,\sum\nolimits_ˆb b, b
16 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (6/10) Isot operttorit Seurvien, ns. isojen operttoreiden, ldottu koko riippuu siitä, ovtko ne rivi vi näyttömtemtiikktilss. \sum \bigcp \bigodot \int \bigcup \bigotimes \oint \bigsqcup \bigoplus \prod \bigvee \biguplus \coprod \bigwedge
17 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (6/10) Isot operttorit Seurvien, ns. isojen operttoreiden, ldottu koko riippuu siitä, ovtko ne rivi vi näyttömtemtiikktilss. \sum \bigcp \bigodot \int \bigcup \bigotimes \oint \bigsqcup \bigoplus \prod \bigvee \biguplus \coprod \bigwedge Kikki näitä voi käyttää l j ylärjojen knss. Esim. \[ \bigcup_{n=1}ˆ\infty A_n A n \] n=1
18 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (6/10) Isot operttorit Seurvien, ns. isojen operttoreiden, ldottu koko riippuu siitä, ovtko ne rivi vi näyttömtemtiikktilss. \sum \bigcp \bigodot \int \bigcup \bigotimes \oint \bigsqcup \bigoplus \prod \bigvee \biguplus \coprod \bigwedge Kikki näitä voi käyttää l j ylärjojen knss. Esim. \[ \bigcup_{n=1}ˆ\infty A_n A n \] n=1 msmth pketist löytyy lisäksi moninkertiset integrlit: \iint \iiint \iiiint \idotsint
19 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (7/10) Rjlliset operttorit Os edellä tvtuist tekstioperttoreist hyväksyy myös (l)rjn. Näitä ovt: \det \gcd \inf \lim \liminf \limsup \mx \min \Pr \sup
20 Rjlliset operttorit Os edellä tvtuist tekstioperttoreist hyväksyy myös (l)rjn. Näitä ovt: \det \gcd \inf \lim \liminf \limsup \mx \min \Pr \sup Alrjt semoituvt eri tvoin rivi- j näyttömtemtiikktiloiss. Esim. \lim_{n\to\infty} lim n lim n \sup_{x\in A} sup x A sup x A 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (7/10)
21 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (8/10) Isot sulut Sulkujen j muiden erotinmerkkien koko voi säädellä utomttisesti komennoill \left j \right, joiden tulee esiintyä preittin.
22 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (8/10) Isot sulut Sulkujen j muiden erotinmerkkien koko voi säädellä utomttisesti komennoill \left j \right, joiden tulee esiintyä preittin. Esim. \left( \frc{c-d}{-b} \right)ˆ2 ( ) c d 2 b
23 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (8/10) Isot sulut Sulkujen j muiden erotinmerkkien koko voi säädellä utomttisesti komennoill \left j \right, joiden tulee esiintyä preittin. Esim. \left( \frc{c-d}{-b} \right)ˆ2 ( ) c d 2 b Nämä komennot yhdistetään yleensä seurviin erotinmerkkeihin: ( ( ) ) \lfloor \rfloor [ [ ] ] \lceil \rceil { \{ } \} \lngle \rngle \
24 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (8/10) Isot sulut Sulkujen j muiden erotinmerkkien koko voi säädellä utomttisesti komennoill \left j \right, joiden tulee esiintyä preittin. Esim. \left( \frc{c-d}{-b} \right)ˆ2 ( ) c d 2 b Nämä komennot yhdistetään yleensä seurviin erotinmerkkeihin: ( ( ) ) \lfloor \rfloor [ [ ] ] \lceil \rceil { \{ } \} \lngle \rngle \ Joskus voi oll trpeen vlit sulkujen koko itse komennoill \big, \Big, \bigg, \Bigg. Esim. ( ) 2 \Big( (+b)(c+d) \Big)ˆ2 ( + b)(c + d)
25 Mtriisit Mtriisit on helpoint lto msmth pketist löytyvillä ympäristöillä pmtrix, bmtrix, Bmtrix, vmtrix j Vmtrix, jotk erovt toisistn mtriisiss käytettävien sulku ti viivmerkintöjen oslt. 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (9/10)
26 Mtriisit Mtriisit on helpoint lto msmth pketist löytyvillä ympäristöillä pmtrix, bmtrix, Bmtrix, vmtrix j Vmtrix, jotk erovt toisistn mtriisiss käytettävien sulku ti viivmerkintöjen oslt. Ympäristöjen sisällä rivit erotelln khdell kenoviivll \\ j lkiot et-merkillä & (yhtä mont jok rivillä). 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (9/10)
27 Mtriisit Mtriisit on helpoint lto msmth pketist löytyvillä ympäristöillä pmtrix, bmtrix, Bmtrix, vmtrix j Vmtrix, jotk erovt toisistn mtriisiss käytettävien sulku ti viivmerkintöjen oslt. Ympäristöjen sisällä rivit erotelln khdell kenoviivll \\ j lkiot et-merkillä & (yhtä mont jok rivillä). Esim. (muist \usepckge{msmth}) \begin{pmtrix} & b & c\\ d & e & f \end{pmtrix} ( b ) c d e f 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (9/10)
28 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (9/10) Mtriisit Mtriisit on helpoint lto msmth pketist löytyvillä ympäristöillä pmtrix, bmtrix, Bmtrix, vmtrix j Vmtrix, jotk erovt toisistn mtriisiss käytettävien sulku ti viivmerkintöjen oslt. Ympäristöjen sisällä rivit erotelln khdell kenoviivll \\ j lkiot et-merkillä & (yhtä mont jok rivillä). Esim. (muist \usepckge{msmth}) \begin{pmtrix} & b & c\\ d & e & f \end{pmtrix} \begin{vmtrix} & b & c\\ d & e & f \end{vmtrix} ( b ) c d e f b c d e f
29 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (10/10) Ploittin määritykset Ploittin määritellyn funktion voi lto kätevimmin msmth pketin cses ympäristöllä (vrt. mtriisit). Esim. (huom pisteen pikk)
30 Ploittin määritykset Ploittin määritellyn funktion voi lto kätevimmin msmth pketin cses ympäristöllä (vrt. mtriisit). Esim. (huom pisteen pikk) \usepckge{msmth}... Olkoon \[ \chi_a(x)= \begin{cses} 1,& x\in A\\ 0,& x\notin A. \end{cses} \] Olkoon χ A (x) = { 1, x A 0, x / A. 4. Mtemtiikk II Johdtus LTeXiin (10/10)
Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 4. Mtemtiikk II Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln.
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 5. Ristiviittuksist, monirivisistä kvoist j vähän muustkin Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Ristiviittuksist I Jos johonkin kirjoitelmn osioon, yhtälöön ti kvn hlutn viitt, niin se tulee
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 6. Omt komennot j luseympäristöt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10) Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 7. Tulukot j kuvt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 7. Tulukot j kuvt Johdtus LTeXiin (2/) Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään ympäristöllä tbulr Ympäristön rgumentiksi nnetn srkemäärittely,
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 7. Tulukot j kuvt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 7. Tulukot j kuvt Johdtus LTeXiin (2/11) Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään ympäristöllä tbulr Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 2. Dokumentin rkenne Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 2. Dokumentin rkenne Johdtus LTeXiin (2/10) Dokumenttiluokist L A TEXin perusdokumenttiluokt ovt rticle, report j book. Dokumenttiluokist
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 2. Dokumentin rkenne Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 2. Dokumentin rkenne Johdtus LTeXiin (2/10) Dokumenttiluokist L A TEXin perusdokumenttiluokt ovt rticle, report j book. Ne otetn käyttöön
LisätiedotFysiikan laboratoriotyöt 1: Johdatus L A TEXiin
Fysiikn lbortoriotyöt 1: Johdtus L A TEXiin Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet L A TEXist L A TEX[ lteh] on ldontohjelm, joll voidn helposti tuott (ldukkit) mtemttisi merkintöjä sisältäviä dokumenttej (esim.
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 3. Mtemtiikk I Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 3. Mtemtiikk I Johdtus LTeXiin (2/12) Mtemtiikktiloist Mtemttiset symbolit, lusekkeet, lskut yms. tulee sijoitt ns. mtemtiikktiloihin (ympäristöihin)
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 3. Mtemtiikk I Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 3. Mtemtiikk I Johdtus LTeXiin (2/12) Mtemtiikktiloist Mtemttiset symbolit, lusekkeet, lskut yms. tulee sijoitt ns. mtemtiikktiloihin (ympäristöihin)
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotVakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle
Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016
lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotLYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdatus L A TEXiin 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju Matemaattiset tieteet a Ristiviittauksista I Jos johonkin kirjoitelman osioon, yhtälöön tai kaavaan halutaan
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA Timo Mäkelä Tässä tekstissä esitellään yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskentaa sekä sarjoja. Raja-arvot Raja-arvoja voidaan laskea käyttämällä
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
LisätiedotOUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT
OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotOUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050
OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotTuen rakenteiden toteuttaminen Pispalan koulussa. Rehtorin näkökulma arjen työhön Rehtori Satu Sepänniitty- Valkama
Tuen rkenteiden toteuttminen Pispln kouluss Rehtorin näkökulm ren työhön Rehtori Stu Sepänniitty- Vlkm Pispln koulu Khdess toimipisteessä Pispl vl 1.-6. oppilit 232 Hyhky vl 1.-6. oppilit 164 yht. 396
LisätiedotTampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012.
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtemtiikn j mtriisilskennn kertust Yleistä Kirjoittelen tänne joitin kurssin keskeisiä
Lisätiedot// Tulostetaan liukulukutyyppinen muuttuja riviä vaihtamatta // yhden desimaalin tarkkuudella. System.out.printf("%.
Nämä tehtävät on trkoitettu inostn opiskelijoille, jotk pystyvät svuttmn 40 % rjn (21 pistettä) tekemällä 1 8 kpl ll olevist lisätehtävistä. Ole huolellinen j tee kikki pyydetty. Puutteellisi rtkisuj ei
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLaskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.
2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
Lisätiedot