DISKREETTI MATEMATIIKKA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "DISKREETTI MATEMATIIKKA"

Transkriptio

1 DISKREETTI MATEMATIIKKA Martti E. Pesonen Uudistettu 7. huhtikuuta 2003 ISBN Sivu 1 / 250

2 LUKIJALLE Luentomoniste Diskreetti matematiikka sisältää Joensuun yliopiston matematiikan laitoksen samannimisen kurssin teoreettisen oppiaineksen. Sen lisäksi kurssilla on monisteen sisältöön perustuvia kotitehtäviä ja tietokoneharjoituksia. Luentoni olen koonnut edellisvuosien luentosarjoista, jotka puolestaan ovat pohjautuneet kirjallisuusluettelossa mainittuihin oppikirjoihin sekä Helsingin yliopiston samannimisen ja Turun yliopiston Tietojenkäsittelyn matemaattiset apuneuvot nimisen opintojakson luentomuistiinpanoihin. Tämä laitos on parannettu versio ensimmäisen kerran vuonna 1989 ilmestyneestä ja siitä vuosien mittaan laajennetusta ja korjatusta samannimisestä monisteesta. Tekstissä :llä merkityt kohdat ovat joko muilta kursseilta tuttuja asioita, jotka voitaisiin olettaa muutenkin tunnetuiksi, tai todistamattomia, yleissivistäviksi tarkoitettuja tuloksia, jotka saatetaan luentokurssilla sivuuttaa. Kurssiin liittyy jonkin verran yksinkertaista ohjelmointia, lähinnä Matlab- tai Maple-ympäristöissä. Tämän tarkoitus on antaa opiskelijalle, paitsi valmiuksia relaatioiden, verkkojen, lukumääräongelmien ja rekursiokaavojen käsittelyyn, myös harjaannusta tietotekniikan käyttöön äärellisen matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Joensuussa 7. huhtikuuta 2003 Sivu 2 / 250

3 Martti E. Pesonen Sivu 3 / 250

4 Sisältö 1 JOUKOT, RELAATIOT JA KUVAUKSET Joukko-oppia ja matriisilaskentaa Relaatio ja sen sulkeuma Ekvivalenssirelaatio Joukkojen mahtavuuksista Äärelliset ja äärettömät joukot Osajoukot ja ositukset VERKOT Suuntaamaton verkko Suunnattu verkko Isomorfia, planaarisuus ja muita verkko-ongelmia JÄRJESTETYT JOUKOT JA HILAT Järjestetty joukko Hila Sivu 4 / 250

5 4 LUKUMÄÄRÄONGELMISTA Kombinatoriikkaa Generoivat funktiot ja kombinatoriikka Sijoittelu- ja partitio-ongelmat REKURSIOKAAVOISTA Rekursiokaava ja differenssiyhtälö Homogeeninen rekursiokaava Lineaarinen vakiokertoiminen rekursiokaava Rekursiokaava ja generoiva funktio Lineaarinen rekursiokaava generoivalla funktiolla Asymptoottinen arviointi Hajota ja hallitse -rekursiokaavat Sivu 5 / 250

6 DISKREETTI MATEMATIIKKA 1. JOUKOT, RELAATIOT JA KUVAUKSET 1.1. Joukko-oppia ja matriisilaskentaa Merkinnät ja peruskäsitteet. Tyhjää joukkoa eli joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota, merkitään symbolilla. Standardeille lukujoukoille käytetään tavanomaisia merkintöjä N = {1, 2, 3,...} N 0 = {0, 1, 2,...} Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Q R C A + luonnolliset luvut perusluvut kokonaisluvut rationaaliluvut reaaliluvut kompleksiluvut joukon A positiivinen osa. Toistuvasti käytetään äärellistä lukumääräjoukkoa {, jos n = 0, [n] := {1, 2, 3,..., n} muutoin. Sivu 6 / 250

7 Perusjoukko on, kustakin tilanteesta riippuen, laajin tarkasteltava kokonaisuus. Perusjoukkoja voi olla yhtaikaa käytössä useita. Niitä merkitään tässä esityksessä lihavoiduilla symboleilla. Olkoon X perusjoukko, A, B, A i sen osajoukkoja, n N ja I epätyhjä joukko, nk. indeksijoukko. Jatkossa käytetään mm. seuraavia joukko-opin merkintöjä: x A x / A A B A B A B, n i=1a i, i=1a i, i I A i A B, n i=1a i, i=1a i, i I A i X \ A = A A \ B = A B joukon alkio ei joukon alkio osajoukko aito osajoukko joukkojen yhdiste joukkojen leikkaus komplementti erotus. Sivu 7 / 250

8 Joukkoalgebraa. Olkoon X perusjoukko ja A, B, C X. Tällöin on 1) A A = A A = A idempotenttisuuslait 2) A B = B A kommutatiivisuuslaki 3) A (B C) = (A B) C assosiatiivisuuslait A (B C) = (A B) C 4) A (A B) = A (A B) = A absorptiolait 5) A (B C) = (A B) (A C) distributiivisuuslait A (B C) = (A B) (A C) 6) A A = komplementtilait A A = X 7) A B = A B de Morganin lait A B = A B 8) [ A B = A ] [ A B = B ] [ A B ] 9) [ A B ] [ B A ]. Täydellisen induktion periaate. Diskreetin matematiikan keskeinen todistusmenetelmä on ns. täydellisen induktion periaate eli matemaattisen induktion periaate, joka pohjautuu seuraavaan uskottavaan (ja algebrassa todistettavaan) tulokseen: Jos joukko S N 0 toteuttaa ehdot Sivu 8 / 250

9 1) 0 S, 2) [ n S ] [ n + 1 S ], niin S = N 0. Induktiotodistus. Olkoon k Z kiinteä luku ja V (n) kokonaislukua n koskeva väite. Jos voidaan todistaa, että 1) V (k) on tosi, 2) mielivaltaisella n k on voimassa [ V (n) tosi ] [ V (n + 1) tosi ], niin väite V (n) on tosi kaikilla n k. Kohdan 2) implikaatiota sanotaan induktioaskeleeksi ja väitteen V (n) todeksi olettamista induktio-oletukseksi. Todistusmenetelmää käytetään usein seuraavassa muodossa: Jos voidaan osoittaa, että 1 ) V (k) on tosi, 2 ) mielivaltaisella n k on voimassa [ V (m) tosi kaikilla k m n ] [ V (n + 1) tosi ], niin väite V (n) on tosi kaikilla n k. Sivu 9 / 250

10 Induktiotodistus toimii seuraavasti: Väite todistetaan suoraan pienimmällä väitetyllä arvolla k Z. Kun kohdan 2) implikaatio on todistettu, seuraa kohdista 1) ja 2), että väite pätee arvolla k + 1. Tämän ja kohdan 2) nojalla väite pätee arvolla k + 2, josta seuraa väite arvolla k + 3 jne. Jos n k on mielivaltainen, saadaan väite todeksi arvolla n soveltamalla menettelyä toistuvasti. Täten väite on tosi jokaisella n k. Esimerkki Osoita, että kaikilla n N 2( n) = n(n + 1). Ratkaisu. 1) Havaitaan heti, että kaava pitää paikkansa arvolla 1. 2) Oletetaan, että kaava pitää paikkansa arvolla n N. Silloin arvolla n + 1: 2( n + (n + 1)) = 2( n) + 2(n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1). Kaava pitää siis paikkansa myös arvolla n + 1, jos se pitää paikkansa arvolla n. Täydellisen induktion periaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n N. Esimerkki Osoita, että kaikilla n N ( n) 2 = n 3. Sivu 10 / 250

11 Ratkaisu. 1) 1 2 = 1 = 1 3, joten kaava pitää paikkansa arvolla 1. 2) Oletetaan, että kaava pitää paikkansa arvolla n N. Arvolla n + 1 saadaan vasen puoli induktio-oletuksen ja Esimerkin tuloksen nojalla muotoon ( n + (n + 1)) 2 = (( n) + (n + 1)) 2 = ( n) 2 + 2( n)(n + 1) + (n + 1) 2 = ( n 3 ) + n(n + 1) 2 + (n + 1) 2 = n 3 + (n + 1) 3. Induktioaskel on todistettu, joten kohtien 1) ja 2) perusteella väite on tosi kaikilla n N. Kokonaislukujen jakoyhtälö. Kokonaislukuja koskevia väitteitä todistettaessa on usein edullista käyttää algebrassa todistettavaa ns. jakoyhtälöä (division algorithm). Lause (kokonaislukujen jakoyhtälö) Jos m Z ja n N, on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt luvut q, r Z, 0 r < n, joille m = qn + r. Jos r = 0, ts. m = qn, sanotaan, että n on luvun m tekijä tai että m on jaollinen luvulla n; merkitään n m ja luetaan n jakaa luvun m. Jos m 0, lukua q kutsutaan osamääräksi ja lukua r jakojäännökseksi. Sivu 11 / 250

12 Esimerkki a) Jaa jakoyhtälöllä luku 243 luvulla 7. b) Mille luvuille n N on n 24? Ratkaisu. a) 243 = 34 5, joten 243 = ( 35) b) Ainakin n = 1, 24. Muista riittää tarkastaa luvut välillä 2 n 24 = Siis luvut ovat n = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Alkuluvuista. Kokonaislukujen joukossa alkuluvuilla (prime number) on keskeinen asema. Ne ovat yksinkertaisimpia lukuja, joiden avulla kaikki kokonaisluvut voidaan muodostaa käyttäen pelkästään kertolaskua. Tämän kokonaisluvun alkutekijöihin jaon takaa algebrassa todistettava aritmetiikan peruslause. Määritelmä Luku p N, jolle ainoastaan p p ja 1 p, on alkuluku. Lause (aritmetiikan peruslause) Jokainen luku n N on esitettävissä (järjestystä vaille) yksikäsitteisessä muodossa n = p 1 p 2 p 3 p k, missä luvut p j ovat positiivisia alkulukuja, nimeltään luvun n alkutekijöitä. Alkulukuja ovat mm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,.... Alkulukuja on äärettömän paljon, mutta suurten lukujen joukossa niitä on yhä harvemmassa. Jokainen alkuluku (paitsi 2 ja 3) on muotoa 6n ± 1, mutta kaikki nämä eivät ole alkulukuja. Sivu 12 / 250

13 Vuonna 1960 suurin tunnettu alkuluku oli , v jo ja v jo Nykyisen tilanteen ja paljon muuta infoa saa osoitteesta Tehtävä Selvitä kuinka monta numeroa on luvun normaalissa kymmenjärjestelmäesityksessä. Alkulukujen joukko on nykyään intensiivisen tutkimuksen kohteena. Monet koodaus-, salakirjoitus- ja tietosuojausmenetelmät perustuvat siihen, että annetun kokonaisluvun alkutekijöihin jako on hidas prosessi. Esimerkiksi satanumeroisen kokonaisluvun jako kestää nykyään noin kuukauden parhaalla tunnetulla ohjelmalla, joka toimii hajautetun laskennan periaatteella käyttäen hyväksi satojen tietokoneiden joutoaikaa. Kun käytetään 155-numeroisia (512 bittiä) lukuja, on jakoaika n kertainen. Eratosteneen algoritmi. Antiikin kreikkalainen matemaatikko Eratostenes kehitti menetelmän, nk. seulan, joukon [n] alkulukujen etsimiseksi: Poistetaan ensin joukosta [n] luku 1. Sitten poistetaan kaikki luvulla 2 jaolliset paitsi 2, luvulla 3 jaolliset paitsi 3, luvulla 4 jaolliset (turhaa!), luvulla 5 jaolliset paitsi itse 5, jne. Lopuksi jäävät jäljelle alkuluvut 2 p n, ks. Kuvan 1 algoritmi. Sivu 13 / 250

14 Aseta I = [n]; I 0 = I \ {1}; alkuluvut = ; while (I 0 ) luku = min I 0 ; I 0 = I 0 \ (luku I); alkuluvut = alkuluvut {luku}; end Kuva 1: Eratosteneen algoritmi Alkuehtoista while-silmukkaa toistetaan, kunnes joukko I 0 on tyhjä. Muuttuja luku saa vuorollaan alkulukuarvot 2, 3,..., jotka kerätään joukkoon alkuluvut. Algoritmi on suoraviivainen, mutta käytännössä raskas toteuttaa. Karteesinen tulo ja matriisi. Kahden joukon X ja Y karteesinen tulo eli tulojoukko X Y on järjestettyjen parien (a, b) joukko, missä a X ja b Y; siis X Y := { (a, b) a X, b Y }. Yleisempi äärellinen n-ulotteinen tulojoukko määritellään vastaavasti n X i = X 1 X 2 X n := { (a 1, a 2,..., a n ) a i X i } i=1 Sivu 14 / 250

15 ja sen alkioita (a 1, a 2,..., a n ) sanotaan vektoreiksi. Erityisesti merkitään X n := X } {{ X }. n kpl Joukkoa R n varustettuna vektorien alkioittaisella yhteenlaskulla ja reaalivakiolla kertomisella sanotaan n-ulotteiseksi euklidiseksi avaruudeksi. Vektoreiden a = (a 1, a 2,..., a n ) ja b = (b 1, b 2,..., b n ) R n skalaari- eli pistetulo on luku n a b := a i b i. Jos tulojoukon tekijöitä X i on nm kappaletta, n, m N, ne voidaan indeksoida uudelleen ja kirjoittaa (n m)-suorakulmioksi muotoon i=1 X = n,m i,j X ij := X 11 X 12 X 1m X 21 X 22 X 2m X n1 X n2 X n Sivu 15 / 250

16 Joukon X alkiota M sanotaan (n m)-matriisiksi ja merkitään a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m M = (a ij ) n m =......, a ij X ij. a n1 a n2 a nm Tällaisia tulojoukkoja ja matriiseja, jotka voivat koostua eri tietotyyppejä edustavista perusjoukoista X ij, käytetään mm. taulukkolaskentaohjelmissa. Yksirivistä matriisia sanotaan myös vaakavektoriksi ja yksisarakkeista pystyvektoriksi. Matriisilaskennan yhteydessä vektorin alkioiden väliset pilkut korvataan usein tyhjeellä. Matriisien laskutoimitukset. Matriisin A = (a ij ) R n m transpoosi on matriisi A T = (b kl ) R m n, missä b kl := a lk, ts. rivit on vaihdettu järjestyksessä sarakkeiksi. Avaruuden R n m matriiseja voidaan laskea yhteen, kertoa vakiolla ja kertoa keskenään alkioittain kuten vektoreitakin. Matriisia O, jonka kaikki alkiot ovat nollia, kutsutaan nollamatriisiksi. Nollamatriisi on matriisien yhteenlaskun neutraalialkio. Varsinainen matriisien kertolasku määritellään seuraavasti: Matriisien A = (a ij ) R n m ja B = (b jk ) R m r (matriisi)tulo on matriisi AB = C = (c ik ) R n r, missä c ik := m j=1 a ijb jk. Tulomatriisin alkio c ik on siis matriisin A rivin i ja matriisin B sarakkeen k pistetulo. Pystyvektorien x ja y R n pistetulo voidaan Sivu 16 / 250

17 kirjoittaa matriisitulona x y = x T y. Pystyvektorin x = ( x 1 x 2 x n ) T normille x pätee n x 2 = x 2 i = x T x. i=1 Avaruuden R n n alkioita sanotaan neliömatriiseiksi. Avaruus R n n on suljettu matriisien kertolaskun suhteen, sillä tulo on myös n n-matriisi. Matriisin (a ij ) diagonaaliksi sanotaan vektoria (a 11, a 22,..., a nn ). Matriisia sanotaan diagonaalimatriisiksi, jos sen diagonaalin ulkopuolella olevat alkiot ovat nollia. Yksikkömatriisi on diagonaalimatriisi I, jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Yksikkömatriisi on matriisien kertolaskun neutraalialkio: jos A R n n, niin AI = IA = A. Matriisi (a ij ) on symmetrinen, jos a ij = a ji kaikilla i, j [n], ts. jos matriisi on diagonaalin suhteen symmetrinen. Matriisi on yläkolmiomatriisi, jos sen diagonaalin alapuolella on vain nollia; vastaavasti määritellään alakolmiomatriisi. Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen; yleensä AB BA. Sen sijaan kertolasku on liitännäinen ja laskutoimituksille pätevät osittelulait. Totuusarvo- ja kokonaislukumatriisit. Relaatioiden yhteydessä on luonnollista käyttää totuusarvoista 1 ja 0 (tai TOSI = TRUE ja EPÄTOSI = FALSE) koostuvia matriiseja ja verkkojen yhteydessä kokonaislukumatriiseja. Nämä saadaan valitsemalla X := {0, 1} (tai X := {T, E}) ja X := N 0. Ensin mainitussa Sivu 17 / 250

18 tapauksessa lasketaan Boolen aritmetiikalla = 0, = = 1, = 1, 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1, ja jälkimmäisessä kokonaisluvuilla. Jos tapauksessa X = {0, 1} käytetään kokonaislukujen laskutoimituksia, on matriisien laskutoimitusten tulokset redusoitava nk. etumerkkifunktioilla (funktion käsite: Määritelmä ). Määritellään reaalifunktio sign : R { 1, 0, 1}, sign(x) := +1, kun x > 0, 0, kun x = 0, 1, kun x < 0, ja matriisifunktio SIGN : R n m { 1, 0, 1} n m, ) ( ) SIGN ((a ij ) n m := sign(a ij ) n m Ei-järjestetty tulo. Joukon X ei-järjestetty tulo itsensä kanssa on sen järjestämättömien parien {a 1, a 2 } joukko X & X := { {a 1, a 2 } a 1, a 2 X }. Järjestämätön pari {a 1, a 2 } X & X ei tarkasti ottaen ole joukko, sillä kukin {a i, a i } on järjestämätön pari, mutta joukkona siinä olisi vain yksi alkio. Eijärjestettyä tuloa käytetään suuntaamattoman verkon yhteydessä (Luku 2.1 ).. Sivu 18 / 250

19 Huomautus Karteesisen tulon ja järjestämättömän tulon ero voidaan ilmaista seuraavasti: joukossa X Y mutta joukossa X & X [ (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) ] [ a 1 = a 2 ja b 1 = b 2 ], [ {a 1, a 2 } = {a 3, a 4 } ] [ (a 1 = a 3 ja a 2 = a 4 ) tai (a 1 = a 4 ja a 2 = a 3 ) ] Relaatio ja sen sulkeuma Määritelmä ja käsitteitä. Tarkastellaan perusjoukkojen tulojoukkojen osajoukkoja, nk. relaatioita, mm. relaatioiden yhdistämistä, erilaisia relaatiotyyppejä ja relaatioiden sulkeumia. Määritelmä Olkoot X ja Y joukkoja. Osajoukkoa R X Y sanotaan joukkojen X ja Y väliseksi relaatioksi, relaatioksi joukosta X joukkoon Y tai lyhyesti relaatioksi joukossa X Y. Jos (x, y) R, sanotaan, että x ja y ovat relaatiossa R. Merkintä (x, y) R korvataan usein merkinnällä xry tai Rxy. Jos (x, y) / R, merkitään x Ry. Joukko R(x) := { y Y (x, y) R } on alkion x X kuva relaatiossa R. Jos R X X, sanotaan lyhyesti, että R on relaatio joukossa X. Vastaavaan tapaan määritellään n-paikkainen relaatio R X 1 X 2 X n. Sivu 19 / 250

20 Esimerkki a) Valitaan X = Y = N = {1, 2,...}. Silloin on (järjestys)relaatio luonnollisten lukujen joukossa N. b) Valitaan X = naiset ja Y = miehet. Silloin joukko on relaatio joukossa X Y. R := { (N, M) N ja M olleet joskus aviossa } c) Tasossa yksikköympyrän sisäosan muodostava joukko on relaatio joukossa R 2. D := { (x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1 } Relaation esitystapoja. Alkeellisin tapa esittää relaatio on luetella sen alkiot tai esittää riippuvuus jollakin kaavalla tai muulla sitovalla ehdolla. On olemassa lukuisia muitakin tapoja esittää relaatioita. Jotkut esitystavat on tarkoitettu havainnollistamaan itse relaatiota, jotkut taas helpottamaan tai mekanisoimaan niiden käsittelyä. Olkoot X = {x 1, x 2,..., x n }, Y = {y 1, y 2,..., y m } ja R X Y relaatio. Seuraavassa luetellaan kaksi havainnollista ja kaksi laskennallista tapaa relaation esittämiseksi. Sivu 20 / 250

21 Kuva 2: Nuolikaavioesityksiä: X Y ja X X 1. Nuolikaaviona, missä nuoli x i y j tarkoittaa, että x i Ry j. Jos X = Y, voidaan relaatio esittää myös suunnattuna verkkona (ks. Luku 2.2). Kuvassa 2 nämä kahdentyyppiset esitystavat. 2. Taulukkona (ks. Taulukko 1), R y 1 y 2 y n x x x n Taulukko 1: Relaatio ilmaistuna taulukon avulla Sivu 21 / 250

22 jonka kohdassa (x i, y j ) on luku 1, jos x i Ry j, muutoin luku Käyttäen karakterista funktiota χ R : X Y {0, 1}, { 1, jos xry, χ R (x, y) := 0, jos x Ry. 4. Matriisina M R = (a ij ) = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm = X\Y y 1 y 2 y m x x , x n missä a ij = χ R (x i, y j ). Tehtävä Olkoon X = Y = {1, 2, 3} ja kokonaislukujen tavallinen suuruusjärjestys. Muodosta relaatiolle nuolikaavio- ja verkkoesitys Sivu 22 / 250

23 ja määritä karakteristisen funktion arvot χ R (1, 1) = χ R (2, 1) = χ R (3, 1) = χ R (4, 1) = χ R (1, 2) = χ R (2, 2) = χ R (3, 2) = χ R (4, 2) = χ R (1, 3) = χ R (2, 3) = χ R (3, 3) = χ R (4, 3) = χ R (1, 4) = χ R (2, 4) = χ R (3, 4) = χ R (4, 4) = Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen. Todistetaan pari relaatioiden kääntämistä ja yhdistämistä koskevaa perustulosta. Määritelmä Relaation R X Y käänteisrelaatio on joukko R 1 := { (y, x) Y X (x, y) R }. Relaatioiden R X Y ja S Y Z tulo (eli yhdistelmä, kompositio) on relaatio S R := { (x, z) X Z jollekin y Y : xry ja ysz }. Joukon X X yksikkö- eli identtisyysrelaatio on diagonaali X := { (x, x) x X }. Huomautus a) Selvästi (R 1 ) 1 = R. Sivu 23 / 250

24 b) Jos R X Y, niin R 1 R X X ja R R 1 Y Y. c) Yksikkörelaatio X vastaa matriisien avaruuden kertolaskun neutraalialkiota I ja kuvausten avaruuden identtistä kuvausta Id(x) := x. Nimittäin, jokaiselle R X X on (harjoitustehtävä) X R = R X = R. Tehtävä Olkoot X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c} ja Z = {α, β}. Piirrä seuraavaan kuvioon nuolet, jotka kuvaavat relaatioita R := {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, a)}, ja relaatioita S R sekä R 1 : S := {(b, α), (c, α), (c, β)} X Y Z X Z Y X R S S R R 1 1 a 1 a 1 α α 2 b 2 b 2 β β 3 c 3 c 3 Muodosta vielä kyseisten relaatioiden matriisit M R = M S = Sivu 24 / 250

25 M S R = M R 1 = Lause Relaatioille R X Y ja S Y Z pätee laskusääntö (S R) 1 = R 1 S 1. Todistus. (S R) 1 ja R 1 S 1 ovat selvästikin relaatioita joukosta Z joukkoon X. Seuraava ekvivalenssiketju osoittaa, että relaatiot ovat samat: [ (z, x) (S R) 1 ] [ z(s R) 1 x ] [ x(s R)z ] [ jollekin y Y : xry ja ysz ] [ jollekin y Y : yr 1 x ja zs 1 y ] [ jollekin y Y : zs 1 y ja yr 1 x ] [ z(r 1 S 1 )x ] [ (z, x) (R 1 S 1 ) ]. Lause Relaatioille R X Y, S Y Z, T Z V pätee (T S) R = T (S R). Sivu 25 / 250

26 Todistus. Koska T S Y V ja R X Y, on (T S) R relaatio joukosta X joukkoon V. Koska T Z V ja S R X Z, on myös T (S R) relaatio joukosta X joukkoon V. Väitteen osoittaa oikeaksi ekvivalenssiketju: [ x((t S) R)v ] [ jollekin y Y : xry ja y(t S)v ] [ joillekin y Y, z Z : xry, ysz ja zt v ] [ jollekin z Z : x(s R)z ja zt v ] [ x(t (S R))v ]. Huomautus a) Relaatioiden yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio. Lauseen mukaan tulo on kuitenkin liitännäinen, joten voidaan merkitä T S R := (T S) R = T (S R). b) Joukon X X relaatioiden joukko varustettuna tulolla on algebralliselta rakenteeltaan puoliryhmä, jonka neutraalialkio on diagonaali X. Käänteisrelaatio ei yleensä toteuta ryhmän käänteisalkiolta vaadittavia ehtoja R R 1 = R 1 R = X, joten kyseessä ei ole ryhmä (vasta bijektiivisten kuvausten joukko on ryhmä). c) Lauseiden ja tuloksia käyttäen voidaan laskea esimerkiksi (T S R) 1 = R 1 S 1 T 1. Sivu 26 / 250

27 Käänteis- ja tulorelaation matriisit. Tarkastellaan relaatioiden matriisiesityksiä käytettäessä kokonaislukujen laskutoimituksia. Osoitetaan, että relaatioiden kääntäminen ja yhdistäminen voidaan mekanisoida matriisilaskennaksi. Luvussa 1.1 on jo määritelty etumerkkifunktiot sign : R { 1, 0, 1} ja SIGN : R n m { 1, 0, 1} n m. Lause Olkoot R X Y ja S Y Z relaatioita. Silloin a) M R 1 = M T R, b) M S R = SIGN(M R M S ). Todistus. a) Merkitään M R = (a ij ), M T R = (b ji) ja M R 1 = (b ji), jolloin b kl = a lk. Koska relaation matriisin alkiot ovat lukuja 1 tai 0, seuraava ekvivalenssiketju todistaa väitteen: [ b ji = 1 ] [ y j R 1 x i ] [ x i Ry j ] [ a ij = 1 ] [ b ji = 1 ]. b) Olkoot M R = (a ij ) n m, M S = (b jk ) m r, M S R = (c ik ) n r, M R M S = (c ik ) n r, Sivu 27 / 250

28 missä c ik päättely = m j=1 a ijb jk. Koska c ik = 0 tai 1 ja c ik 0, väitteen todistaa [ c ik = 1 ] [ x i (S R)z k ] [ jollakin y j Y : x i Ry j, y j Sz k ] [ jollakin j : a ij = 1 ja b jk = 1 ] [ c ik > 0 ] [ sign(c ik ) = 1 ]. Esimerkki Esimerkin relaatioiden matriisit olivat M R = M S = Silloin M S R = M R M S = M R 1 = = = M T R Sivu 28 / 250

29 Relaatioiden joukko-opilliset operaatiot. Koska relaatiot ovat joukkoja, niitä voidaan yhdistellä normaaliin tapaan joukko-opillisin operaatioin. Voidaan helposti johtaa mm. yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen matriisien laskukaavat (harjoitustehtävä). Kuvaukset eli funktiot. Edellä on jo käytetty funktion käsitettä tutussa muodossaan (etumerkkifunktiot ja karakteristinen funktio). Täsmällinen määrittely ja perusominaisuuksien esittely suoritetaan relaatiotulkinnan avulla. Määritelmä Relaatio F X Y on kuvaus eli funktio, jos seuraavat kaksi ehtoa ovat täytetyt: 1) Jokaista x X kohti on olemassa y Y siten, että xf y. 2) Jos xf y ja xf z, niin y = z. Funktioiden yhteydessä käytetään joitakin erikoismerkintöjä: Jos relaatio F on kuvaus, niin F : X Y tarkoittaa F X Y F (x) = y tarkoittaa xf y. Jos F on kuvaus X Y ja F (x) = y, sanotaan, että y on pisteen x kuvapiste kuvauksessa F Sivu 29 / 250

30 X on lähtöjoukko tai määrittelyjoukko, Y maalijoukko F (X) := { F (x) x X } on arvojoukko, joukon X kuvajoukko F 1 (B) := { x X F (x) B } on joukon B Y alkukuvajoukko epätyhjään joukkoon A X liittyvä kuvaus F A : A Y, (F A)(x) := F (x), x A, on kuvauksen F rajoittuma(kuvaus) joukkoon A F on injektio, jos se toteuttaa vaatimuksen [ F (x 1 ) = F (x 2 ) ] [ x 1 = x 2 ] F on surjektio, jos F (X) = Y F on bijektio, jos se on injektio ja surjektio käänteisrelaatio F 1 on käänteiskuvaus, mikäli se on kuvaus. On helppo osoittaa, että kuvauksella F : X Y on käänteiskuvaus jos ja vain jos F on bijektio. Käänteiskuvaus on myös bijektio. Jos F : X Y on injektio, kuvaus F : X F (X), F (x) := F (x), Sivu 30 / 250

31 on bijektio; merkitään edelleen F = F. Muita relaatiotyyppejä. Kuvaus oli kahden joukon välinen relaatio. Tarkastellaan yhden joukon sisäisiä relaatioita. Nimetään aluksi muutamia relaatioiden ominaisuuksia. Määritelmä Relaation R X X sanotaan olevan a) refleksiivinen, jos jokaiselle x X on xrx, b) symmetrinen, jos kaikilla x, y X pätee [ xry ] [ yrx ], c) antisymmetrinen, jos kaikilla x, y X pätee [ xry & yrx ] [ x = y ], d) transitiivinen, jos kaikilla x, y, z X pätee [ xry & yrz ] [ xrz ], e) täysi, jos kaikilla x, y X pätee [ xry ] tai [ yrx ]. Lause Relaatio R X X on Sivu 31 / 250

32 α) refleksiivinen jos ja vain jos X R, β) symmetrinen jos ja vain jos R = R 1, γ) antisymmetrinen jos ja vain jos R R 1 X, δ) transitiivinen jos ja vain jos R R R, ɛ) täysi jos ja vain jos R R 1 = X X. Todistus. Kohdat α), β) ja ɛ) ovat ilmeisiä. Kohta δ) on harjoitustehtävä. Todistetaan näytteeksi kohta γ). Olkoon R antisymmetrinen ja (x, y) R R 1. Silloin on xry ja yrx, joten antisymmetrisyyden perusteella x = y ja siten (x, y) X. Olkoon toiseksi R R 1 X ja xry ja yrx. Silloin (x, y) R R 1 X, joten x = y. Siis R on antisymmetrinen. Määritelmä Relaatio R X X on a) ekvivalenssirelaatio, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, b) osittainen järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen, c) täydellinen järjestys (tai lyhyesti järjestys), jos se on täysi osittainen järjestys. Relaation sulkeuma. Tarkastellaan relaatiota R X X. Sivu 32 / 250

33 Ongelma. On löydettävä relaation R sisältävistä tietyn ehdon E täyttävistä relaatioista suppein, ts. relaatio R X X, jolle a) R R, b) R toteuttaa ehdon E, c) jos S R toteuttaa ehdon E, niin R S. Ongelmalla ei aina ole ratkaisua. Ratkaisu on olemassa (ja se on samalla yksikäsitteinen) jos ja vain jos joukko R := { T X X R T, T toteuttaa ehdon E } on epätyhjä ja toteuttaa ehdon E. Annettuun relaatioon R (mahdollisesti) liittyvää suppeinta sen sisältävää refleksiivistä (vast. symmetristä, transitiivista) relaatiota sanotaan relaation R refleksiiviseksi (vast. symmetriseksi, transitiiviseksi) sulkeumaksi ja sitä merkitään symbolilla R. Osoitetaan, että nämä sulkeumat ovat aina olemassa. Refleksiivisyyden ja symmetrisyyden osalta asia on helpohko, transitiivisuustapaus on mielenkiintoisempi. Lause Relaation R X X a) refleksiivinen sulkeuma on R r = X R, b) symmetrinen sulkeuma on R s = R 1 R. Sivu 33 / 250

34 Todistus. Harjoitustehtävä. Lause a) Jos relaatiot R i X X, i I, ovat transitiivisia, niiden leikkaus i I R i on transitiivinen. b) Olkoon R X X relaatio. Relaatiolla R on transitiivinen sulkeuma R t ja se saadaan kaikkien relaation R sisältävien transitiivisten relaatioiden leikkauksena. Todistus. a) Merkitään R := i I R i. Jos xr y ja yr z, jokaisella i I on xr i y ja yr i z. Koska relaatiot R i ovat transitiivisia, seuraa xr i z kaikilla i I, joten xr z. Relaatio R on siis transitiivinen. b) Olkoon R annettu relaatio joukossa X. Koska relaatio X X on triviaalisti transitiivinen, on joukko T := { T X X R T, T T T } epätyhjä ja koostuu Lauseen mukaan kaikista relaation R sisältävistä transitiivisista relaatioista. Kohdan a) nojalla T on relaation R sisältävä transitiivinen relaatio. Määrittelynsä perusteella se on sellaisista suppein, joten transitiivinen sulkeuma on olemassa ja on R t = { T X X R T, T T T }. Sivu 34 / 250

35 Määritelmä Relaation R X X n. potenssi R n määritellään luvuille n N 0 seuraavasti: 1. R 0 := X, 2. R n+1 := R n R, n N 0. Lemma a) Jos R R X Y ja S S Y Z, niin { } S S R R S R S R. b) Jos R S X X, niin R k S k kaikilla k N. c) Jos S X X on transitiivinen, niin S k S kaikilla k N. Todistus. Harjoitustehtäviä. Lause Mielivaltaisen relaation R X X transitiivinen sulkeuma voidaan muodostaa suoralla kaavalla R t = R k. k=1 Sivu 35 / 250

36 Jos erikoisesti X on äärellinen n-alkioinen joukko, niin n R t = R k. k=1 Todistus. Osoitetaan, että myös joukko R + := k=1 Rk on suppein relaation R sisältävistä transitiivisista relaatioista. Sen jälkeen väite seuraa suppeimman yksikäsitteisyydestä. Triviaalisti R = R 1 R +. Olkoot xr + y ja yr + z. Silloin (x, y) R q ja (y, z) R p joillekin q, p N, joten (x, z) R p R q = R p+q R +. Siis R + on transitiivinen. Olkoon lopuksi S X X transitiivinen relaation R sisältävä relaatio. Koska S on transitiivinen, on Lemman c)-kohdan nojalla S + S. Koska R S, on Lemman b)-kohdan mukaan R k S k kaikilla k N. Siis R + = R k S k = S + S, k=1 k=1 joten R + on suppein relaation R sisältävistä transitiivisista relaatioista. Väitteen toinen osa on harjoitustehtävä. Huomautus Äärellisessä n-alkioisessa joukossa määritellyn relaation R matriisin M = M R avulla ( n M R t = SIGN k=1 M k ) Sivu 36 / 250

37 = SIGN (M(I + M(I +... M(I + M)...))). Käytännön laskuissa jälkimmäinen esitysmuoto on edullisempi, miksi? Suurten matriisien käsittelyssä tämäkin menetelmä on hidas, parempaan tulokseen päästään soveltamalla verkkoteorian yksinkertaista Floydin menetelmää (ks. Luku 2.3 ) (harjoitustehtävä) Ekvivalenssirelaatio Tarkastellaan lähemmin Määritelmässä määriteltyä ekvivalenssirelaatiota, ts. relaatiota, joka on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Sana ekvivalenssi tarkoittaa samuutta tai samanarvoisuutta. Samassa joukossa voi olla erilaisia ekvivalenssirelaatioita; esimerkiksi atomin ytimet ovat kemiallisesti ekvivalentit, jos niiden ytimillä on sama varaus, ja fysikaalisesti ekvivalentit, jos niillä on sama varaus ja massaluku. Ekvivalenssiluokat. Tietty ekvivalenssirelaation määräämä ominaisuus yhdistää perusjoukon alkioita. Määritelmä Olkoon relaatio R X X ekvivalenssi. Alkion x X määräämä ekvivalenssiluokka relaatiossa R on joukko R(x) := { y X xry }, Sivu 37 / 250

38 jota sanotaan myös R-luokaksi tai ekvivalenssiluokaksi modulo R. Kaikkien ekvivalenssiluokkien (modulo R) joukko on joukon X tekijäjoukko modulo R, ja sitä merkitään X/R := { R(x) x X }. Lause Olkoon R X X ekvivalenssirelaatio ja x, y X. Tällöin a) x R(x), b) [ R(x) R(y) ] [ xry ], c) [ R(x) = R(y) ] [ xry ]. Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki a) Tarkastellaan kompleksitasoa C R 2, jonka alkiota merkitään z = re iϕ, r 0, 0 ϕ < 2π. Relaatio C C, [ r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2 ] [ r 1 = r 2 ], on ekvivalenssi. Se jakaa tason ekvivalenssiluokkiin, jotka ovat origokeskisiä ympyröitä D ρ := { z C z = ρe iϕ, 0 ϕ < 2π }, ρ 0. Sivu 38 / 250

39 b) Merkitään Z = Z\{0} ja määritellään relaatio R (Z Z ) (Z Z ), [ (m 1, n 1 )R(m 2, n 2 ) ] [ m 1 n 2 = n 1 m 2 ]. Suoralla laskulla voidaan todeta, että R on ekvivalenssirelaatio. Olkoot vastaavat joukon Z Z ekvivalenssiluokat R(m, n). Näitä luokkia kutsutaan rationaaliluvuiksi ja niiden muodostamaa joukkoa, ts. joukon Z Z tekijäjoukkoa modulo R merkitään symbolilla Q. Alkion (m, n) Z Z määräämälle ekvivalenssiluokalle voidaan käyttää tuttua merkintää R(m, n) = m. Lauseen n mukaan [ m1 = m ] 2 n 1 n 2 [ R(m 1, n 1 ) = R(m 2, n 2 ) ] [ (m 1, n 1 )R(m 2, n 2 ) ] [ m 1 n 2 = n 1 m 2 ]. Ositukset. Olkoon annettu ekvivalenssirelaatio R X X. Koska R on refleksiivinen, on jokainen alkio x X relaatiossa ainakin itsensä kanssa. Jokainen alkio on siis jossakin ekvivalenssiluokassa. Toisaalta mikään alkio ei voi kuulua Lauseen nojalla useampaan kuin yhteen ekvivalenssiluokkaan. Täten ekvivalenssirelaatio jakaa perusjoukon X pistevieraisiin osiin, ts. määrää seuraavan määritelmän mukaisen osituksen. Määritelmä Perhe A = { X i X i I } on joukon X ositus, jos Sivu 39 / 250

40 a) jokainen X i on epätyhjä, b) i I X i = X, c) X i X j on tyhjä aina, kun i j. Lause a) Ekvivalenssirelaation R X X määräämät ekvivalenssiluokat { R(x) x X } muodostavat joukon X osituksen. b) Jos A = { X i i I } on joukon X ositus, on olemassa täsmälleen yksi ekvivalenssirelaatio R X X, joka muodostaa osituksen A, nimittäin R := { (x, y) X X x, y X i jollekin i }. Todistus. Kohta a) on todettu edellä. b) Selvästi R on relaatio joukossa X. Osoitetaan, että R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. 1) Olkoon x X mielivaltainen. Koska A on ositus, on olemassa indeksi i I, jolle x X i. Mutta silloin (x, x) R eli xrx. Täten R on refleksiivinen. 2) Olkoot xry. Silloin x ja y ovat samassa joukossa X j, joten myös yrx, mikä osoittaa symmetrisyyden. 3) Olkoot xry ja yrz. On olemassa i 1, i 2 I, joille x, y X i1 ja y, z X i2. Koska y kuuluu molempiin ja A on ositus, on X i1 = X i2. Siis x,z X i1 eli xrz. Relaatio R on siis myös transitiivinen. Sivu 40 / 250

41 Tuli siis osoitetuksi, että R on ekvivalenssi. Jos S X X on jokin ekvivalenssi, joka määrää osituksen A, niin [ xsy ] [ x, y X i ] [ xry ], eli S = R. Huomautus a) Lause osoittaa, että ekvivalenssirelaatio voidaan ilmaista antamalla siihen liittyvä ositus. b) On helposti osoitettavissa, että ekvivalenssien leikkaus on ekvivalenssi. Jokainen relaatio voidaan täydentää ekvivalenssiksi Lauseiden ja tarjoamin keinoin (harjoitustehtävä) Joukkojen mahtavuuksista Tarkastellaan keinoja vertailla joukkojen suuruuksia. Jos joukko X on äärellinen, sen koon mitaksi voidaan luonnollisesti ottaa alkioiden lukumäärä #X. Jotta myös äärettömien joukkojen kokoja päästään vertailemaan, määritellään joukkojen välisten funktioiden avulla abstraktimpi käsite kardinaaliluku eli kardinaliteetti. Joukon kardinaaliluku on alkiomäärän käsitteen yleistys siinä mielessä, että sen rajoittuma äärellisten joukkojen luokkaan voidaan samaistaa joukkojen alkioiden lukumäärien kanssa. Määrittelyn yhteydessä joukon X kardinaalilukua merkitään card X, mutta kun samaistus on suoritettu, siirrytään käyt- Sivu 41 / 250

42 tämään alkiomäärä-merkintää #X, joka äärellisen joukon yhteydessä tulkitaan kardinaaliluvun yksikäsitteisesti määräämäksi perusluvuksi n = #X N 0. Koska joukko-opin perusajatuksiin kuuluu, että joukko ei voi olla itsensä alkio, ei puhuta kaikkien joukkojen joukosta vaan kaikkien joukkojen luokasta tai kokoelmasta. Mahtavuuksien vertailu. Lähdetään liikkeelle joukkojen suhteellisesta suuruudesta. Määritelmä Olkoot X ja Y joukkoja. Sanotaan, että 1) joukot X ja Y ovat yhtä mahtavat, jos joko X = Y = tai on olemassa bijektio X Y; merkitään X Y. 2) joukko X on korkeintaan yhtä mahtava kuin Y (tai joukko Y on vähintäin yhtä mahtava kuin X), jos joko X = tai on olemassa injektio X Y; merkitään X Y. 3) joukko Y on (aidosti) mahtavampi kuin X, jos joko X = ja Y, tai on olemassa injektio, mutta ei bijektiota X Y; merkitään X Y. Lause Yhtämahtavuus on ekvivalenssirelaatio kaikkien joukkojen luokassa. Sivu 42 / 250

43 Todistus. Harjoitustehtävä. Joukon kardinaliteetti. Ekvivalenssi- ja järjestysrelaatioiden avulla saadaan määritellyksi joukon absoluuttinen suuruus. Määritelmä Joukon X määräämää ekvivalenssiluokkaa relaatiossa sanotaan sen kardinaaliluvuksi eli kardinaliteetiksi, ja sitä merkitään card X. Kaikkien kardinaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla K. Kardinaalilukujen joukkoon saadaan järjestys relaation avulla: asetetaan kaikilla κ 1, κ 2 K [ κ 1 κ 2 ] [ X 1 X 2 joillakin X 1 κ 1, X 2 κ 2 ]. Koska kardinaaliluvun alkiot ovat keskenään yhtä mahtavia, sana joillakin voitaisiin korvata sanalla kaikilla. Lause Relaatio on täydellinen järjestys kardinaalilukujen joukossa. Todistus. Asia on selvä, kun uskotaan, että jokaisesta joukkoparista X, Y jompikumpi on vähintäin yhtä mahtava kuin toinen, ts. että on olemassa injektio X Y tai Y X. Lause Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Tällöin card X card Y jos ja vain jos on olemassa surjektio X Y. Sivu 43 / 250

44 Todistus. Harjoitustehtävä. Määritelmä Joukko X on äärellinen, jos X [n] jollakin n N 0, muutoin joukko X on ääretön. Jos joukko X on äärellinen ja X [n], samaistetaan sen kardinaliteetti ja alkioiden lukumäärä n = #X seuraavasti: #X = n card[n] = card X. Myös näin saatua peruslukua #X sanotaan kardinaaliluvuksi. Tästä lähtien myös äärettömän joukon kardinaliteettia merkitään symbolilla #X Äärelliset ja äärettömät joukot Joukon äärellisyys voitaisiin määritellä myös seuraavasti: Joukko X on äärellinen, jos mikään sen aito osajoukko ei ole sen kanssa yhtä mahtava. Äärellisten yhtä mahtavien joukkojen välillä oleva injektio on aina bijektio, mutta äärettömien joukkojen välillä jokin kuvaus voi olla injektio olematta bijektio, vaikka joukot olisivatkin yhtä mahtavia (harjoitustehtävä). Äärelliset joukot. Tiedetään, että joukossa [n] on alkioita n kappaletta. Äärellisen joukon X alkioiden lukumäärä saadaan kardinaliteetin määritelmän avulla niin, että etsitään joukon X määräämästä ekvivalenssiluokasta muotoa [n] oleva joukko ja asetetaan #X := n. Todistetaan aluksi, että äärellisen joukon alkioiden lukumäärä on yksikäsitteisesti määrätty. Sitten osoitetaan, että kardinaliteetti on äärellisten joukkojen luokassa aidosti kasvava ja äärellisten erillisten Sivu 44 / 250

45 joukkojen suhteen äärellisesti additiivinen (summaperiaate). Lopuksi esitellään yksinkertainen, mutta usein käytetty äärellisten joukkojen laatikko- eli kyyhkyslakkaperiaate. Lause Jos X on äärellinen joukko ja X [n 1 ], X [n 2 ], niin n 1 = n 2. Todistus. Olkoot f 1 : X [n 1 ] ja f 2 : X [n 2 ] oletusten mukaiset bijektiot. Koska yhdistetty kuvaus f 2 f1 1 : [n 1 ] [n 2 ] on bijektio, on n 1 = n 2. Lause Olkoot X ja Y äärellisiä joukkoja. a) Jos X Y, niin #X #Y. b) Jos X Y, niin #X < #Y. Todistus. a) Jos X = Y, on asia selvä; muussa tapauksessa riittää todistaa vahvempi väite b). Todistetaan väite b) induktiolla luvun m = #Y N suhteen. 1) Olkoon #Y = 1. Koska tällöin X =, on #X = 0 < 1 = #Y. 2) Oletetaan, että väite on tosi joukoille, joiden kardinaaliluku = m N. Olkoon Y = {y 1, y 2,..., y m, y m+1 } ja X Y. Tällöin on olemassa y k Y \ X. Kuvaus f : Y\{y k } [m], { f(y i ) := i, kun i < k, i 1, kun i > k, Sivu 45 / 250

46 on selvästi bijektio, joten #(Y\{y k }) = m. Koska X Y\{y k }, on induktiooletuksen mukaan #X m < m + 1 = #Y. Siis väite on tosi arvolla m + 1. Induktioperiaatteen mukaan väite b) on tosi kaikilla Y, joille #Y = m N. Lause Jos X 1, X 2,..., X p, p N, on kokoelma äärellisiä joukkoja, jotka ovat pareittain erillisiä, ts. X i X j = kaikilla i j, niin niiden yhdiste on äärellinen ja ( p ) p # X j = #X j. j=1 j=1 Todistus. Todistetaan väite tapauksessa p = 2. Yleinen tapaus on helppo todistaa tätä käyttäen induktiolla (harjoitustehtävä). Olkoot X ja Y äärellisiä joukkoja, joille X Y =. Olkoot n = #X, m = #Y ja kuvaukset f : X [n], g : Y [m] bijektioita. Tällöin kuvaus h : X Y [n + m], { f(z), kun z X, h(z) := g(z) + n, kun z Y, on bijektio. Täten #(X Y) = n + m = #X + #Y. Laatikkoperiaate (the pigeon hole principle). Seuraava tuttu ilmiö Sivu 46 / 250

47 On käytettävissä m laatikkoa. Jos n > m kappaletta palloja asetetaan noihin laatikoihin, on ainakin yhdessä vähintäin 2 palloa. voidaan esittää matematiikan kielellä laatikkoperiaatteena: Lause (laatikkoperiaate) Olkoot X ja Y äärellisiä joukkoja, joille #X > #Y. Jos f : X Y on kuvaus, on joukossa X pistepari x 1 x 2, jolle f(x 1 ) = f(x 2 ). Todistus. Määritelmän mukaan funktio f ei voi olla injektio, joten on olemassa x 1 x 2, joille f(x 1 ) = f(x 2 ). Lauseen vahvennus, nk. yleistetty laatikkoperiaate todistetaan summaperiaatteen avulla. Lause (yleistetty laatikkoperiaate) Olkoot X ja Y äärellisiä joukkoja ja f : X Y kuvaus. Jos #X > n #Y, niin #(f 1 (y)) > n jollakin y Y. Todistus. Olkoon m = #Y, Y = {y 1, y 2,..., y m } ja X j := f 1 (y j ) kaikilla j [m]. Vastaoletus: #X j n kaikilla j [m]. Koska f on kuvaus, on X = m X j ja X i X j = j=1 Sivu 47 / 250

48 kaikilla i j, joten Lauseen ja vastaoletuksen nojalla #X = #X 1 + #X #X m n m. Toisaalta oletuksen mukaan #X > n #Y, mikä johtaa edellisen nojalla ristiriitaan n m = n #Y < #X n m. Esimerkki Aritmeettinen muotoilu yleistetylle laatikkoperiaatteelle: Olkoot n 1, n 2,..., n k N 0 lukuja ja n 1 + n n k k > n. Silloin ainakin yksi luvuista n j > n, ts. kaikki luvut eivät voi olla aidosti pienempiä kuin niiden keskiarvo. Esimerkki Oletetaan, että maapallon valtioiden pääkaupunkien joukon X kardinaliteetti on 200. Olkoon näissä mahdollisten lämpötilojen joukko eräällä hetkellä Y = { 40, 39,..., +39, +40 }. Tavallisen laatikkoperiaatteen (Lause ) mukaan kuvaus f : X Y, f : pääkaupunki lämpötila kyseisessä kaupungissa Sivu 48 / 250

49 saa (asteen tarkkuudella) saman arvon ainakin kahdessa kaupungissa. Yleistetyn laatikkoperiaatteen (Lause ) nojalla ainakin 3 kaupungissa on sama lämpötila, sillä n = 2 on suurin luku, jolle #X = 200 > n 81 = n #Y. Äärettömistä joukoista. Joukko X on Määritelmän mukaan ääretön, jos se ei ole yhtä mahtava minkään joukon [n], n N 0, kanssa. Äärettömät joukot ovat siis aidosti mahtavampia kuin äärelliset joukot. Lauseen kohta a) pätee myös äärettömille joukoille; jäljempänä todetaan, että b)-kohta ei aina ole totta. Myöskään summaperiaate ei päde, ks. Esimerkki Tarkastellaan joitakin äärettömyyden eri asteita. Merkitään luonnollisten lukujen joukon kardinaliteettia ℵ 0 = #N. Silloin n < ℵ 0 kaikilla n N, sillä [n] [n + 1] N ja siten n < n + 1 ℵ 0. Määritelmä Joukkoa X sanotaan numeroituvaksi, jos #X ℵ 0, muutoin ylinumeroituvaksi. Numeroituva joukko, joka ei ole äärellinen, on numeroituvasti ääretön. Äärelliset joukot ja joukon N kanssa yhtä mahtavat joukot ovat siis numeroituvia. On helpohko asia osoittaa (harjoitustehtävä), että ℵ 0 = #N 0 = #Z = #Q, vaikka N N 0 Z Q. Täten Lauseen väite b) ei ole tosi äärettömille joukoille. Voidaan osoittaa (esimerkiksi Lebesguen mittateorian avulla, Analyy- Sivu 49 / 250

50 si 5), että R on ylinumeroituva. Joukko R on siten aidosti mahtavampi kuin Q, ts. #Q < #R. Äärettömien joukkojen kardinaliteettien laskulait poikkeavat oleellisesti äärellisten kardinaalilukujen laskulaeista; jälkimmäisillä lasketaan kuten luvuilla. Esimerkki a) Äärellisille joukoille X, Y pätee #(X Y) #X + #Y ja #(X Y) = #X #Y. b) Jos ainakin toinen joukoista on ääretön, niin #(X Y) = #(X Y) = max{#x, #Y}. c) Jos Y on ääretön ja #X < #Y, niin #(Y\X) = #Y. d) Jos X on ääretön joukko, niin oleellisesti ainoa keino muodostaa alkeisoperaatioiden avulla tätä aidosti mahtavampi joukko on muodostaa sen potenssijoukko P(X) (ks. Luku 1.6) Osajoukot ja ositukset Potenssijoukko. Tarkastellaan seuraavaksi perusjoukon X osajoukkojen kokoelmaa. Osoitetaan aluksi, että potenssijoukko on aina aidosti mahtavampi Sivu 50 / 250

51 kuin joukko itse. Sitten todistetaan äärellisten joukkojen summa- ja erotusperiaate eli yleinen yhteenlaskukaava sekä tarkastellaan joukon ositusten lukumääriä. Määritelmä Joukon X potenssijoukko on sen kaikkien osajoukkojen muodostama perhe P(X) := { A A X }. Lause a) Mielivaltaiselle joukolle X on #X < #P(X). b) Äärellisen joukon Y potenssijoukko on äärellinen ja #P(Y) = 2 #Y. Todistus. a) Kuvaus f : X P(X), f(x) := {x}, on selvästi injektio, joten #X #P(X). Osoitetaan toiseksi, että ei ole olemassa surjektiota X P(X). Olkoon g : X P(X) funktio ja A := { x X x / g(x) }. Näytetään, että mikään joukon X alkio ei kuvaudu joukolle A X. Vastaoletus: On olemassa x 0 X, jolle g(x 0 ) = A. Koska x 0 A tai x 0 / A, seuraa: Jos x 0 A, joukon A määrittelyn nojalla x 0 / g(x 0 ) = A. Jos x 0 / A = g(x 0 ), joukon A määrittelyn nojalla x 0 A. Sivu 51 / 250

52 Vastaoletus johtaa molemmissa tapauksissa ristiriitaan, joten ei ole olemassa alkiota x 0 X, joka kuvautuisi joukolle A. Koska ei ole olemassa surjektiota X P(X), on #X < #P(X). b) Induktiotodistus luvun n = #Y suhteen: 1) Arvolla n = 0 on Y = ja P(Y) = { }, joten #P(Y) = 1 = 2 0 = 2 #Y. 2) Oletetaan, että n-alkioisille joukoille pätee kaava #P(Z) = 2 #Z. Olkoon Y äärellinen joukko, jolle #Y = n + 1. Olkoon y Y mielivaltainen. Määritellään Y := Y\{y} ja A := { B {y} B P(Y ) }. Tällöin #Y = n ja kuvaus h : P(Y ) A, h(b) := B {y}, on bijektio (harjoitustehtävä), joten P(Y ) A. Induktio-oletuksen nojalla #A = #P(Y ) = 2 #Y = 2 n. Koska selvästikin P(Y ) A = ja P(Y) = P(Y ) A, on Lauseen nojalla #P(Y) = #P(Y ) + #A = 2 n + 2 n = 2 n+1. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikille äärellisille joukoille. Sivu 52 / 250

53 Karakteristinen funktio. Joukon A X karakteristinen funktio (todennäköisyyslaskennassa nimeltään indikaattori) on kuvaus χ A : X {0, 1}, { 1, jos x A, χ A (x) := 0, jos x X\A. Jos A X on äärellinen, sen alkiomäärä voidaan esittää muodossa #A = 1 = χ A (x) = χ A (x) + χ A (x) = χ A (x). x A x A x A x (X\A) x X Lause Olkoot A, B ja A 1, A 2,..., A n X. Silloin a) χ X\A = 1 χ A, b) χ A1 A 2 A n = χ A1 χ A2 χ An, c) χ A B = χ A + χ B χ A B. Todistus. a) Jos x A, on χ X\A (x) = 0 = 1 1 = 1 χ A (x). Jos taas x (X\A), niin χ X\A (x) = 1 = 1 0 = 1 χ A (x). b) Väite seuraa ekvivalenssiketjusta [ χ A1 A 2 A n (x) = 1 ] [ x (A 1 A n ) ] [ χ A1 (x) = = χ An (x) = 1 ] [ χ A1 (x) χ An (x) = 1 ]. Sivu 53 / 250

54 c) Todistetaan tarkastelemalla funktioiden χ A B ja χ A + χ B χ A B arvoja erikseen kussakin tapauksessa x A ja x B, x A ja x / B, x / A ja x B sekä viimein x / A ja x / B. Summa- ja erotusperiaate. Todistetaan äärellisen monen joukon yhdisteen alkioiden määrän laskukaava, joukkojen yleinen yhteenlaskukaava, joka on Lauseen yleistys. Lause (summa- ja erotusperiaate) Jos A 1,..., A n ovat äärellisiä joukkoja, niin #(A 1... A n ) = n #A i #(A i A j ) i=1 + 1 i<j<k n 1 i<j n #(A i A j A k ) + ( 1) n 1 #(A 1... A n ). Todistus. Merkitään X = A 1... A n. Jos x X, on x A i jollekin i [n], joten 1 = χ X = 1 (1 χ A1 )(1 χ A2 ) (1 χ An ) Sivu 54 / 250

55 = 1 = ( 1 n χ Ai i=1 n χ Ai + i=1 1 i<j<k n 1 i<j n 1 i<j n χ Ai χ Aj χ Ai χ Aj χ Ak + + ( 1) n χ A1 χ An ) χ Ai χ Aj + 1 i<j<k n + ( 1) n 1 χ A1 χ An. Lauseen kohdan b) nojalla saadaan edellisestä #(A 1... A n ) = #X = x X χ X (x) χ Ai χ Aj χ Ak = x X n χ Ai (x) χ Ai (x) A j x X 1 i<j n + χ Ai (x) A j A k x X i=1 1 i<j<k n + ( 1) n 1 χ A1... A n (x). x X Vaihtamalla summausjärjestys ja ottamalla huomioon, että #A = χ A (x) x X Sivu 55 / 250

56 kaikilla A X, saadaan #(A 1... A n ) = n χ Ai (x) χ Ai (x) A j i=1 x X + 1 i<j<k n x X 1 i<j n x X χ Ai (x) A j A k + ( 1) n 1 x X χ A1... A n (x) = n #A i i=1 + 1 i<j n 1 i<j<k n #(A i A j ) #(A i A j A k ) + ( 1) n 1 #(A 1... A n ). Äärellisen joukon ositukset. Olkoon X epätyhjä äärellinen joukko, jossa on #X = n alkiota. Voidaan selvästikin olettaa, että X = [n]. Ongelma. Kuinka monta erilaista ositusta on joukossa [n]? Ratkaisu saadaan seuraavalla tarkastelulla. Sanotaan, että joukon [n] ositus on k-osainen, jos osituksessa on k kappaletta joukon [n] osajoukkoja. Merkitään p(n) = joukon [n] kaikkien ositusten lukumäärä, Sivu 56 / 250

57 p(n, k) = joukon [n] k-osaisten ositusten lukumäärä. Selvästi p(n, n) = 1 ja p(n, 1) = 1 kaikilla n N ja p(n) = n p(n, k). k=1 Lause (palautuskaava) Jos joukossa X on n N alkiota, niin kaikilla n > k > 1 on p(n, k) = k p(n 1, k) + p(n 1, k 1). Todistus. Joukon [n] k-osaisia osituksia saadaan joukon [n 1] osituksista seuraavilla tavoilla: 1) Joukon [n 1] k-osaisen osituksen yhteen joukkoon lisätään n. 2) Joukon [n 1] (k 1)-osainen ositus täydennetään joukolla {n}. Lasketaan, montako näitä saadaan yhteensä. Tapa 1. Olkoon {A 1,..., A k } joukon [n 1] k-osainen ositus. Sitä vastaavat seuraavat k kappaletta joukon [n] osituksia: {A 1 {n}, A 2,..., A k } {A 1, A 2 {n},..., A k }. {A 1, A 2,..., A k {n}}. Sivu 57 / 250

58 Näin saadaan k p(n 1, k) joukon [n] k-osaista ositusta. Tapa 2. Jokaista joukon [n 1] (k 1)-osaista ositusta {B 1,..., B k 1 } vastaa joukon [n] k-osainen ositus {B 1,..., B k 1, {n}}; yhteensä p(n 1, k 1) ositusta. Tavoilla 1 ja 2 saadut ositukset ovat aivan ilmeisesti erilaisia, joten p(n, k) k p(n 1, k) + p(n 1, k 1). Yhtäsuuruuden osoittamiseksi riittää näyttää, että jokainen joukon [n] k-osainen ositus saadaan tavalla 1 tai 2. Olkoon A := {A 1,..., A k } mielivaltainen joukon [n] k-osainen ositus ja olkoon A i alkion n sisältävä joukko. Silloin: a) Jos A i \{n} =, on A i = {n}, joten ositus A on tyyppiä 2. b) Jos A i \{n} =, on kokoelma {A 1,..., A i \{n},..., A k } eräs joukon [n 1] k-osainen ositus; täten A on tyyppiä 1. On osoitettu, että myös p(n, k) k p(n 1, k) + p(n 1, k 1). Esimerkki Lasketaan ilman palautuskaavaa joukon [6] kolmiosaisten ositusten määrä. Niitä on kolmea tyyppiä: {{a}, {b}, {c, d, e, f}}, {{a}, {b, c}, {d, e, f}}, {{a, b}, {c, d}, {e, f}}. Sivu 58 / 250

59 Ensimmäistä tyyppiä on 15, toista 60 ja kolmatta 15 erilaista, yhteensä 90 (ks. Esimerkki ). Stirlingin kolmio. Palautuskaavan avulla luvut p(n, k) voidaan helposti laskea. Luvut voi näppärästi ilmaista nk. Stirlingin kolmion avulla (Taulukko 2). p(n, k) k = p(n) = p(n, k) n = Taulukko 2: Stirlingin kolmio Palautuskaavat (Lause ) p(n, 1) = p(n, n) = 1, p(n, k) = k p(n 1, k) + p(n 1, k 1) ovat esimerkki kaksiulotteisesta rekursiokaavasta, ks. Luku 5 Sivu 59 / 250

60 Esimerkki Palautuskaava antaa p(6, 3) = 3 p(5, 3) + p(5, 2) = = 90. Selvitä, miten tämä saadaan taulukosta palautuskaavaa käyttäen ja laske vastaavaan tapaan p(7, 4). (Vastaus: p(7, 4) = 350.) Huomautus Ositus-ongelmassa joukon alkiot ovat nimettyjä, joten on merkittävää, mitkä alkiot osajoukkoon kuuluvat. Luvussa 4 tarkastellaan identtisiä objekteja sisältävän kokoelman osittelujen lukumääriä. Sivu 60 / 250

61 2. VERKOT Perinteistä verkkojen sovellusaluetta ovat olleet maantieteellisiin verkkoihin kuten tiestö ja vesistö, sähköisiin verkkoihin kuten puhelinverkko ja sähkönsiirtoverkko sekä materian virtaukseen putkistossa liittyvät ongelmat. Uudempia verkkoina esitettävissä olevia struktuureja ovat mm. integroidut piirit ja mikroprosessorit, tietokoneohjelman vuokaaviot, yrityksen henkilöstöstruktuurit, tietopankit ja vaikkapa kansallisen tai koko maailman talouselämän rakenne. Modernin teknologian ripeä kehitys on, paitsi tuonut lisää verkkojen avulla ratkaistavia ongelmia, myös mahdollistanut yhä laajempien perinteistenkin ongelmakokonaisuuksien käsittelyn nopeasti, tehokkaasti ja halvalla. Tässä luvussa tarkastellaan aluksi erikseen suuntaamattomia ja suunnattuja verkkoja. Lopuksi käsitellään yhteisesti verkkojen isomorfisuutta ja tasoverkko-ominaisuutta sekä lyhyesti esimerkkien valossa painotettujen verkkojen ongelmia Suuntaamaton verkko Määritelmiä ja käsitteitä. Suuntaamaton verkko soveltuu sellaisten struktuurien malliksi, joissa materia tai informaatio voi liikkua kahta kohdetta yhdistävässä välineessä kumpaan suuntaan tahansa. Merkitään epätyhjän joukon X Sivu 61 / 250

62 ei-järjestettyä tuloa (ks. Luku 1.1) X & X = { {a, b} a, b X }. Määritelmä Kolmikko (X, E, Ψ) on suuntaamaton verkko eli graafi ((undirected) graph, multigraph), jos X ja E ovat joukkoja ja Ψ: E X & X on kuvaus. Suuntaamattoman verkon yhteydessä käytetään nimityksiä vastaavuuskuvaus (incidence mapping) = joukon X alkio solmu (vertex, node) = joukon X alkio kaari tai väli (edge, link, arc) = joukon E alkio vastaavuuskuvaus = funktio Ψ Jos Ψ(e) = {x, y}, solmut x ja y ovat kaaren e päitä tai päätesolmuja ja kaari e yhdistää solmut x ja y. Sanotaan myös, että kaari e liittyy solmuihin x ja y ja vastaavasti solmut x ja y liittyvät kaareen e. Kaksi solmua ovat vierekkäisiä (adjacent), jos ne ovat saman kaaren päitä. Kaksi kaarta ovat rinnakkaisia, jos niillä on yhteiset päätesolmut, ja vierekkäisiä, jos niillä on ainakin yksi yhteinen pää. Jos Ψ(e) = {x, x}, on e silmukka tai luuppi. Tällöin merkitään lyhyesti Ψ(e) = {x}. Solmun x X asteluku (degree) on d G (x) := #{ e E Ψ(e) = {x, y}, y x } + 2 #{ e E Ψ(e) = {x} }, ts. niiden kaarien lukumäärä, joilla on päänä x, kun silmukat lasketaan kahdesti. Solmu x X on erillinen tai eristetty (isolated), jos d G (x) = 0, ts. jos se ei ole minkään kaaren pää. Sivu 62 / 250

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.

Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla. Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014

Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot