1 Joukkojen mahtavuuksista
|
|
- Inkeri Siitonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko on joko äärellinen tai ääretön. Kuitenkin on monesti tärkeää päästä vertaamaan erikokoisia äärettömiä, esimerkiksi miten joukon ja sen potenssijoukon alkiomäärät suhtautuvat toisiinsa. Joukkojen keskinäisiä alkiomääriä voidaan vertailla funktioiden maailmasta saatavalla työkalulla, käsitteellä joukkojen mahtavuus (set cardinality). Joukon A alkioiden lukumäärää merkitään jatkossa #A. 1.1 Mahtavuusvertailujen määrittely Ristiriitoja välttääksemme otamme jonkin perusjoukon X, jonka osajoukkoja kaikki vertailtavat perustason joukot ovat. Määritellään joukon X osajoukkojen yhtämahtavuusrelaatio asettamalla: A B A = B = tai on olemassa bijektio A B. Lause Yhtämahtavuusrelaatio on ekvivalenssi joukon potenssijoukossa. Todistus. Asetelma on kelvollinen, P(X) P(X), joten todella on relaatio joukossa P(X). (E1) on refleksiivinen: A A, koska identtinen kuvaus Id : A A, Id(x) := x, on näiden välinen bijektio. (E2) on symmetrinen: Jos A B, on olemassa bijektio A B. Sen käänteiskuvaus B A on bijektio ja siten B A. (E3) on transitiivinen: Olkoot A B ja B C. Silloin on olemassa bijektiot f : A B ja g : B C. Nämä voidaan yhdistää funktioksi g f : A C, joka bijektioiden yhdistettynä funktiona on bijektio. Siis A C. Määritelmä Sanotaan, että (perusjoukon X osa)joukot A ja B ovat yhtä mahtavia (equal cardinality), jos A B, ts. jos molemmat ovat tyhjiä tai on olemassa bijektio A B. Joukko A on korkeintaan yhtä mahtava joukko kuin B, jos joko A = tai on olemassa injektio A B. Tätä merkitään A B. Jos A B, sanotaan myös, että joukko B on vähintään yhtä yhtä mahtava kuin A. Joukko B on aidosti mahtavampi kuin joukko A (tai: joukko A on aidosti vähemmän mahtava), jos A B mutta ei ole A B; merkitään A B tai B A.
2 1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 2 Lause Joukko A on korkeintaan yhtä yhtä mahtava kuin B jos ja vain jos joko A = tai on olemassa surjektio B A. Todistus. Olkoot A, B X. Jos A =, on asia selvä. Olkoon siis A. Oletetaan, että A B, ts. että on olemassa injektio f : A B. Tämä voidaan tulkita bijektioksi f : A f(a), jolloin sen käänteisrelaation f 1 rajoittuma joukkoon f(a) on bijektio f(a) A. Jos joukko B \ f(a) =, on asia selvä (miksi?). Jos ei, otetaan joukosta A jokin alkio a ja kuvataan kaikki joukon B \ f(a) alkiot alkiolle a. Tarkemmin muotoiltuna: tehdään uusi funktio G : B A, jolle G(y) := f 1 (y) kaikilla y f(a) ja G(y) = a kaikilla y B \ f(a). Silloin G : B A on surjektio. Oletetaan kääntäen, että on olemassa surjektio g : B A. Nyt jokainen alkukuvajoukko g 1 (x) on epätyhjä ja funktio-ominaisuuden nojalla nämä joukot ovat erillisiä, eli g 1 (x 1 ) g 1 (x 2 ) kaikilla x 1 x 2. Täten jokaista x A kohti voidaan valita yksi alkio sen alkukuvajoukosta ja näin saadut alkukuvat ovat kaikki eri alkioita. Tällä tavoin saamme aikaan injektion A B. Esimerkki Olkoon A := {1, 2, 3, 4, 5} ja B := {a, b, c, d, e, f}. a) Oletetaan aluksi, että joukon B kaikki alkiot ovat eri alkioita. Silloin A on korkeintaan yhtä mahtava, jopa aidosti vähemmän mahtava kuin B, siis A B. Äärellisten joukkojen tapauksessa mahtavuuksien vertailua voidaan yleensäkin tehdä suoraan alkiomäärien avulla; yllähän on #A = 5 < 6 = #B. b) Jos joukon B luetelluissa alkioissa on samoja, niin A onkin vähintäin yhtä mahtava kuin B. Esimerkki Olkoon 2N := {2, 4, 6, 8,...}. Tällöin N 2N, sillä funktio f : N 2N, f(n) := 2n, on bijektio, ks. Kuva n f(n) Kuva 1: Esimerkin bijektio f(n) = 2n Tehtävä Miten voidaan selittää, että kun Hilbertin hotelliin saapuu vielä a) yksi asiakas, tämäkin voidaan majoittaa omaan huoneeseen? b) k vierasta, nämäkin voidaan majoittaa kukin omaan huoneeseensa?
3 1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 3 Seuraavassa nähdään, että on olemassa mahtavuusmielessä erikokoisia äärettömiä. Osoitetaan, että mielivaltaisen joukon X potenssijoukko, eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) := { B B X } on aina aidosti mahtavampi kuin joukko itse. Äärellisille joukoillehan tämä on aivan ymmärrettävää: jos #A = n, niin #P(A) = 2 n. Todistus onnistuu induktiolla joukon alkiomäärän suhteen. Lause (Cantorin lause) Mielivaltaiselle joukolle X on X P(X). Erityisesti äärelliselle joukolle on #X < #P(X). Todistus. Jos X =, on asia selvä: { }. Olkoon siis X epätyhjä joukko. Kuvaus f : X P(X), f(x) := {x}, on selvästi injektio, joten X P(X). Aidon vähemmän mahtavuuden todistamiseksi riittää Lauseen mukaan näyttää, että ei ole olemassa surjektiota X P(X). Olkoon g : X P(X) funktio ja A := { x X x / g(x) }. Silloin A P(X). Näytetään, että mikään joukon X alkio ei kuvaudu joukolle A X. Vastaoletus: On olemassa x 0 X, jolle g(x 0 ) = A. Koska x 0 A tai x 0 / A, seuraa: Jos x 0 A, joukon A määrittelyn nojalla x 0 / g(x 0 ) = A. Jos x 0 / A = g(x 0 ), joukon A määrittelyn nojalla x 0 A. Vastaoletus johtaa molemmissa tapauksissa ristiriitaan, joten ei ole olemassa alkiota x 0 X, joka kuvautuisi joukolle A. Koska ei ole olemassa surjektiota X P(X), on X P(X). 1.2 Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys Naiivi tapa määritellä joukon äärettömyys on sanoa joukkoa äärettömäksi, jos siinä ei ole äärellisen monta alkiota. Tässä kuitenkin piilee kehämäärittelyn maku; ääretön määritellään äärellisen avulla. Mitä on sitten olla äärellinen? Matemaattisesti voidaan menetellä toisinpäin, määritelläänkin ääretön joukko edellä johdettujen työkalujen avulla, muodollisesti täysin riippumatta tuosta hieman hämärästä äärellisyyskäsitteestä.
4 1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 4 Määritelmä Joukko on ääretön (infinite), jos se on yhtä mahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa. Muutoin joukko on äärellinen (finite). Äärettömän lukumäärän määrittely näin voi aluksi vaikuttaa hiukan abstraktilta, mutta aikaa myöten sen käyttökelpoisuuden pitäisi tulla näkyviin. Esimerkki Viisialkioinen joukko A := {1, 2, 3, 4, 5} on ymmärrettävästi äärellinen, koska sen jokaisessa aidossa osajoukossa on enintään neljä alkiota, eikä näiden välillä siten voi olla bijektiota. Esimerkki Esimerkissä todettiin, että N 2N = {2, 4, 6, 8,...}. Koska 2N on joukon N aito osajoukko, on N ääretön. Onkohan myös 2N ääretön? Nyt on siis voitu matemaattisesti vetää raja äärellisen ja äärettömän lukumäärän välille. Mutta onkohan olemassa erikokoisia äärettömiä? Mehän nimittäin tiedämme Lauseesta 1.1.7, että vaikkapa P(N) on aidosti mahtavampi kuin N, joka jo sekin on ääretön joukko! Luvussa 1.3 lähestymme äärellisyysasiaa toisesta perspektiivistä, nimittäin luokittelemalla joukot niiden mahtavuuksien perusteella. 1.3 Joukon kardinaliteetti Lauseessa osoitettiin yhtämahtavuus ekvivalenssirelaatioksi. Relaatiosta olla korkeintaan yhtä mahtava kuin saadaan osittainen ja jopa totaali järjestys pienellä jekulla, ks. Lauseet?? ja Ekvivalenssi- ja järjestysrelaatioiden avulla saadaan määritellyksi joukon absoluuttinen koko alkioiden määrän mielessä. Palautetaan mieleen ekvivalenssiluokat (ks. Luku??): Joukon A X määräämä ekvivalenssiluokka on joukko (A) = {X P(X) A X}. Määritelmä Joukon A määräämää ekvivalenssiluokkaa yhtämahtavuusrelaatiossa sanotaan sen kardinaaliluvuksi eli kardinaliteetiksi, ja sitä merkitään card A := (A). Kaikkien kardinaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla K, siis K = {card A A P(X)}. Tietty kardinaaliluku on siis todellisuudessa joukko, jonka alkioina ovat kaikki samankokoiset joukot, siis joukot joiden välillä on bijektioita. Esimerkiksi Jukolan veljekset J on alkiona samassa kardinaaliluvussa kuin [7] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, samoin (perinteinen) Otavan tähdistö.
5 1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 5 Esimerkki Esimerkissä todettiin, että N ja 2N = {2, 4, 6, 8,...} ovat yhtämahtavia eli N 2N. Joukot N ja 2N kuuluvat siis samaan kardinaalilukuun κ N. Tämä on pienin ääretön kardinaaliluku ja sillä on oma merkintä ℵ 0 := κ N (ℵ luetaan alef ). Kardinaalilukujen joukkoon saadaan osittainen järjestys korkeintaan-yhtä-mahtava -relaation avulla: asetetaan kaikilla κ 1, κ 2 K κ 1 ˆ κ 2 X 1 X 2 joillakin X 1 κ 1, X 2 κ 2. X joukon X osajoukot xxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx A xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx B xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx P(X) P(X) B A C yhtämahtavien ekvivalenssiluokat relaatiossa _~ _~ (A) B A C _~ (C) kardinaaliluvut K _~ (A) = card A _ osittainen järjestys _~ (C) = card C Kuva 2: Kardinaalilukujen rakentuminen Koska kardinaaliluvun alkiot ovat keskenään yhtä mahtavia, sana joillakin voitaisiin korvata sanalla kaikilla. Apulause Kardinaalilukujen joukon relaatio ˆ on refleksiivinen ja transitiivinen. Todistus. Harjoitustehtävä, vrt. Lause Antisymmetrisyys perustuu seuraavaan kuuluisaan lauseeseen:
6 1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 6 Lause (Cantor-Schröder-Bernstein) Jos A, B X ja on olemassa injektiot A B ja B A, niin on olemassa bijektio A B. Todistus. Todistus on aika mutkikas, mutta täysin mahdollinen ymmärtää. Siinä nimittäin käytetään vain matematiikan johdantokurssilla jo olleita asioita. Lause Relaatio ˆ on totaali järjestys kardinaalilukujen joukossa. Voimme nyt lopulta sopia täsmällisesti mitä joukon alkiomäärällä #A tarkoitetaan. Idea on hyvin yksinkertainen: Annettu joukko A kuuluu johonkin kardinaalilukuun κ. Tsekataan löytyykö samasta kardinaaliluvusta myös jokin lukumääräjoukko [n], n N 0. Jos löytyy, #A = n. Samalla määrittelemme äärellisyyden ja äärettömyyden uudelleen. Tämän ja aikaisemman Määritelmän äärellisyyskäsitteen yhtäpitävyys jäänee kuitenkin tarkasti perustelematta... Määritelmä Joukko X on äärellinen, jos X [n] jollakin n N 0, muutoin joukko X on ääretön. Jos joukko X on äärellinen ja X [n], samaistetaan sen kardinaliteetti ja alkioiden lukumäärä n = #X seuraavasti: #X = n card [n] = card X. Myös näin saatua peruslukua #X sanotaan kardinaaliluvuksi. Tästä lähtien myös äärettömän joukon kardinaliteettia merkitään symbolilla #X. Olkoon reaalilukujen joukon kardinaaliluku c := #R. Voidaan osoittaa, että P(N) R, joten c = #R = #P(N). Siten ℵ 0 = #N < #R = c. Kardinaaliluvuista voidaan siis sanoa 0 < 1 < 2 < 3 <... < n <... < ℵ 0 < c < #P(R) <... Niin kutsuttu Kontinuumihypoteesi sanoo, että kardinaalilukuja ei ole lukujen ℵ 0 ja c välillä. Tämä on muusta joukko-opista riippumaton olettamus!
7 2 Luonnolliset luvut ja numeroituvuus On muistettava: Luku on abstrakti käsite. Luvun merkitseminen numerosymbolien avulla ja lukujen nimittäminen ovat sopimuksia. 2.1 Luonnolliset luvut N, kokonaisluvut Z ja rationaaliluvut Q Luonnolliset luvut voidaan määritellä mm. joukkojen yhtämahtavuuden avulla (Georg Cantor ) tai Peanon aksioomien avulla (Giuseppe Peano ). Peanon aksioomat Määritelmä Joukkoa L sanotaan luonnollisten lukujen joukoksi (natural number set), jos se toteuttaa seuraavat viisi ehtoa: P1) Joukossa L on ainakin yksi alkio Υ L ( ypsilon, yksikkö). P2) Jokaisella alkiolla a L on olemassa täsmälleen yksi (välitön) seuraaja (successor) a L. P3) Jos a L, niin a Υ. P4) Jos a L ja b L ja jos a = b, niin a = b. P5) Jos A on joukon L sellainen osajoukko, että 1) Υ A, 2) jos a A, myös a A, niin silloin A = L. Meidän jo lapsesta tuntemamme lukumääriä kuvaavat numerot 1, 2, 3,... toteuttavat nuo aksioomat. Ei yhtään ei ole numero, nollahan on melko uusi keksintö. Luonnollisten lukujen joukoksi sovitaan siis N := {1, 2, 3,...}.
8 2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 8 Kokonaisluvut Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Pidetään luonnollisten lukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään kokonaisluvut niiden avulla. Formaalisti tämä tapahtuu yhteenlaskun avulla, vaikka käytännössä tämä osoittautuukin tapahtuvan vähennyslaskun kautta: kokonaisluvut saadaan luonnollisten lukujen erotusten ekvivalenssiluokkina: Tarkastellaan lukupareja (a, b) N N. Määritellään joukossa N N relaatio R seuraavasti: (a, b)r(c, d) a + d = b + c. Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja se jakaa joukon N N alkiot ekvivalenssiluokkiin (ks. Luku??). Määritelmä Lukuparien (a, b) N N määräämiä ekvivalenssiluokkia yllä määritellyssä relaatiossa R kutsutaan kokonaisluvuiksi (integers). Merkitään lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b] ja määritellään: Yhteenlasku: Kertolasku: [a, b] [c, d] := [a + c, b + d]. [a, b] [c, d] := [ac + bd, ad + bc]. Järjestys: [a, b] [c, d] a + d b + c. Esimerkki Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan. Yhteenlasku: [1, 5] [2, 4] = [1 + 2, 5 + 4] = [3, 9]. Kertolasku: [1, 5] [2, 4] = [ , ] = [22, 14]. Kun merkitään erotusta tuttuun tapaan a b := [a, b], niin Esimerkin laskut voidaan esittää myös 4 + ( 2) = 6 ( 4) ( 2) = +8. Jatkossa kokonaislukujen joukkoa merkitään tutusti Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Rationaaliluvut Q = { m n m Z, n N} Pidetään nyt kokonaislukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään rationaaliluvut kokonaislukujen avulla. Taas työkaluna on ekvivalenssi, mutta käytetään kertolaskua. Tuloksena ovat osamäärien muodostamat ekvivalenssiluokat.
9 2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 9 Tarkastellaan lukupareja (a, b) Z N. Määritellään joukossa Z N relaatio R seuraavasti: (a, b)r(c, d) ad = bc. Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja siten se jakaa joukon Z N alkiot ekvivalenssiluokkiin. Määritelmä Lukuparien (a, b) Z N määräämiä ekvivalenssiluokkia kutsutaan rationaaliluvuiksi (rational numbers). Merkitään lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b], ja määritellään: Yhteenlasku: Kertolasku: [a, b] [c, d] = [ad + bc, bd]. [a, b] [c, d] = [ac, bd]. Järjestys: [a, b] [c, d] ad bc. Esimerkki Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan. Yhteenlasku: [1, 5] [2, 7] = [ , 5 7] = [17, 35]. Kertolasku: [1, 5] [2, 7] = [1 2, 5 7] = [2, 35]. Järjestys: [1, 5] [2, 7], sillä Kun merkitään jakolaskua tuttuun tapaan a := [a, b], niin Esimerkin laskut b voidaan esittää myös 2.2 Numeroituvuus = = = 2 35, 1 5 < 2, sillä 1 7 < = 17 35, Joukoissa N, Z, Q ja R on kaikissa ääretön määrä alkioita. Kuitenkin R selvästi poikkeaa joukoista N, Z ja Q. Ero voidaan esittää Luvussa 1 määritellyillä mahtavuus-käsitteillä: joukon mahtavuutta joukkoon N verrattuna mitataan käsitteellä numeroituvuus. Määritelmä Joukko A on numeroituva (countable, denumerable), jos on olemassa bijektio N A. Joukko on korkeintaan numeroituva (at most countable), jos se on äärellinen tai numeroituva.
10 2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 10 Joukko on ylinumeroituva (uncountable), jos se on ääretön, mutta ei numeroituva. Numeroituvat joukot ovat siis yhtä mahtavia joukon N kanssa. Esimerkki Esimerkin joukko A := {2, 4, 6, 8,...} on numeroituva. Esimerkki Kokonaislukujen joukko Z on numeroituva, sillä funktio f : N Z, joka määritellään f(1) = 0, f(2k) = k, k = 1, 2, 3,... f(2k+1) = k, k = 1, 2, 3,... on bijektio. Funktio f antaa tavan esittää Z luettelona Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}. Numeroituva joukko on siis ääretön, mutta sen alkiot voidaan asettaa jonoksi ja esittää luettelona {a 1, a 2, a 3,...}. Tällä luettelolla ei ole välttämättä mitään tekemistä alkioiden suuruusjärjestyksen kanssa. Huomautus Joskus puhutaan myös numeroituvasti äärettömistä joukoista, erityisesti silloin kun numeroituvuus määritellään enintään yhtämahtavuutena joukon N kanssa. Silloin numeroituva tarkoittaakin äärellistä tai numeroituvasti ääretöntä. Esimerkki Näytetään Cantorin ensimmäisellä diagonaalimenetelmällä, että tulojoukko N N on numeroituva: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4). Koska joukon N N alkiot voidaan esittää luettelona, niin myös joukon Q + := { m n m, n N } alkiot voidaan esittää luettelona. Q + on siis numeroituva: Q + = { 1 1, 1 2, 2 1, 3 1, 1 3, 1 4, 2 3,... } = {1, 1 2, 2, 3, 1 3, 1 4, 2 3,... }.
11 2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 11 Tästä saadaan eräs tapa esittää koko rationaalilukujen joukko luettelona: On siis osoitettu: Q = {0, 1, 1, 1 2, 1 2, 2, 2, 3, 3, 1 3, 1 3, 1 4, 1 4, 2 3,... }. Lause Rationaalilukujen joukko Q on numeroituva. Lause Reaalilukuväli [0, 1] on ylinumeroituva. Todistus. Jokainen joukon [0, 1] nollasta poikkeava alkio voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla päättymättömänä desimaalilukuna, jossa on ääretön määrä nollasta poikkeavia desimaaleja (ks. Huomautus??). Lienee selvää (miksi?), että väli [0, 1] ei ole äärellinen, joten jos se ei ole ylinumeroituva, sen on oltava numeroituva. Antiteesi: Väli I := [0, 1] on numeroituva joukko. Silloin välin I luvut voidaan esittää jonona x 1, x 2, x 3,.... Niiden päättymättömät desimaaliesitykset olkoot x 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a x 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a x 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a x 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a Nk. Cantorin toisella diagonaalimenetelmällä nähdään, että yllä oleva luettelo ei voi sisältää kaikkia välin ]0, 1] reaalilukuja: Muodostetaan luku y := 0, b 1 b 2 b 3 b 4..., missä 0 < b i 9, i = 1, 2, 3,... ja b i a ii. Tällöin 0 < y 1. Toisaalta esitysten yksikäsitteisyyden perusteella y x i millä tahansa i = 1, 2, 3,..., sillä lukujen i:nnet desimaalit ovat erilaisia. Siis y ei ole luettelossa x 1, x 2, x 3,.... Näin ollen kaikki välin ]0, 1] luvut sisältävää luetteloa ei ole olemassa. Suoraan edellisestä lauseesta seuraa: Lause Reaalilukujoukko R on ylinumeroituva. Esimerkki Väli [2, 4] on ylinumeroituva, sillä välit [0, 1] ja [2, 4] ovat yhtä mahtavia. Funktio f : [0, 1] [2, 4], f(x) := 2x + 2 on nimittäin bijektio.
12 2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 12 Huomioita Rationaalilukujoukko Q on numeroituva ja reaalilukujoukko R ylinumeroituva. R on aidosti mahtavampi kuin Q. Jos A = {a 1, a 2,... } on joukko, niin A ei edusta mielivaltaista joukkoa, vaan mielivaltaista numeroituvaa joukkoa. Ei siis voida merkitä esimerkiksi R = {x 1, x 2, x 3,... }. Reaalilukuja havainnollistetaan lukusuoran avulla. Rationaaliluvut ovat tiheässä lukusuoralla, ts. kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Edelleen kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä irrationaalilukuja (Analyysit) ja kahden irrationaaliluvun välissä äärettömästi rationaalilukuja... Hassua, eikö? Esiintyvätkö rationaali- ja irrationaaliluvut siis lukusuoralla vuoron perään? Irrationaalilukujen joukko R \ Q on ylinumeroituva. Perustelu. Antiteesi: R \ Q on numeroituva. Tällöin R = Q (R \ Q) olisi numeroituvien joukkojen yhdisteenä numeroituva. Vieläkin mahtavampia joukkoja kuin R on olemassa, esimerkiksi sen potenssijoukko (vrt. Luku 1). Tehtävä Tutkittava millaisissa operaatioissa (kuten yhdiste, leikkaus, tulo yms. ) säilyy numeroituvuus, kun operoivat joukot ovat äärellisiä tai numeroituvia. a) Numeroituvien äärelliset yhdisteet ja leikkaukset. b) Numeroituvien numeroituvat yhdisteet. c) Onko äärellisen monen numeroituvan joukon tulojoukko numeroituva? d) Onko numeroituvan monen numeroituvan joukon päättymätön tulojoukko numeroituva? Esimerkiksi: onko kaikkien luonnollisista luvuista muodostettujen lukujonojen joukko numeroituva? Pohdittavaksi: Miten näitä asioita voi havainnollistaa esimerkiksi Hilbertin hotellin avulla?
13 2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 13 Ratkaisuja a) Esimerkin ideaa käyttäen: kahden numeroituvan joukon yhdiste on numeroituva: Jos A := {a 1, a 2, a 3,... } ja B := {b 1, b 2, b 3,... }, niin A B = {a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3,... } on selvästikin numeroituva. Huomaa, että joukon luetteloesityksessä voi esiintyä samoja lukuja, mutta siinä on kuitenkin ääretön määrä eri lukuja. b) Sovella Cantorin 1. diagonaalimenetelmää. c) Sovella Cantorin 1. diagonaalimenetelmää kahdelle joukolle. Yleistys? d) Päättymätön tulojoukko tarkoittaa vektorien joukon yleistystä jonoiksi seuraavasti: X 1 X 2 X 3 = {(x 1, x 2, x 3,...) x i X i kaikilla i N}. Kukin päättymättömän tulojoukon alkio on siis päättymätön alkiojono. Ei ole numeroituva vaan ylinumeroituva. Todistus saadaan samaan tapaan kuin osoitettaessa reaalilukujen joukko ylinumeroituvaksi (ks. monisteen Luku 11.7.). Oletetaan, että joukot A 1, A 2, A 3,... ovat numeroituvia ja tarkastellaan niiden päättymätöntä tulojoukkoa A := A 1 A 2 A 3. Antiteesi. A on numeroituva. Silloin joukon A alkiot voidaan esittää luettelona, ts. on olemassa bijektio N A: Esitetään nämä alkiot, siis päättymättömät jonot, alekkain (jätetään yksinkertaisuuden vuoksi pois sulut ja pilkut väleistä): A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 1 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 2 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 3 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 4 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 5 a 51 a 52 a 53 a 54 a Muodostetaan nyt yksi uusi jono, joka on joukon A alkio mutta ei ole yksikään taulukon jonoista. Koska kukin joukko A j on numeroituva, ovat sarakkeen A j alkiot a 1j, a 2j, a 3j,... eri alkioita. Silloin diagonaalialkioista muodostuva jono J = (a 11, a 22, a 33, a 44, a 55,...) on päättymättömän tulojoukon alkio, mutta se ei ole yksikään vaakariveillä olevista jonoista. Nimittäin:
14 2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 14 J ei ole ensimmäinen jonoista, koska toinen jäsen a 22 a 12. J ei ole toinen jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a 21. J ei ole kolmas jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a 31. J ei ole neljäs jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a 41. yleisesti jatkossa: J ei ole k:s jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a k1. Tämä on ristiriitaista, koska kaikki jonot piti jo olla luettelossa riveinä.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotÄärettömistä joukoista
Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotMatematiikka kaikille, kesä 2017
Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30 Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotX R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotLuonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta
Solmu 1/2019 19 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Tuomas Korppi Johdanto Kuten lukija varmaan tietääkin, luonnollisille luvuille voidaan tehdä induktiotodistuksia. Tämä mahdollisuus on ominainen
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotVastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
Lisätiedot8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä
1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
Lisätiedot6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä
6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotLuku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.
Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018 1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotDISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.
Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä
Lisätiedot