Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,"

Transkriptio

1 Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

2 Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x = y,

3 Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x = y, (t) transitiivinen, jos xry yrz xrz, (v) vertailullinen, jos xry yrx kaikilla x, y X.

4 Kysymyksiä: (1) Onko relaatio aina joko refleksiivinen tai irrefleksiivinen? (2) Onko relaatio T = {(1, 2)} on transitiivinen? (3) Jos relaatio on symmetrinen ja transitiivinen, niin onko se myös refleksiivinen? Ei välttämättä, jollei relaatio ole myös vertailullinen.

5 Kysymyksiä: (1) Onko relaatio aina joko refleksiivinen tai irrefleksiivinen? (2) Onko relaatio T = {(1, 2)} on transitiivinen? (3) Jos relaatio on symmetrinen ja transitiivinen, niin onko se myös refleksiivinen? Ei välttämättä, jollei relaatio ole myös vertailullinen. (4) Millainen relaatio on tyhjä relaatio (siis kun R =, mitä R:llä on)? (5) Millainen relaatio (joukossa X ) on täysi relaatio X X?

6 Ekvivalenssirelaatio eli ekvivalenssi Relaatio on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

7 Ekvivalenssirelaatio eli ekvivalenssi Relaatio on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Esimerkki. Missä tahansa perusjoukossa X määritelty identiteettirelaatio I X on ekvivalenssi: x = x aina, kun x X jos x = y, niin y = x jos x = y ja y = z, niin x = z

8 Järjestysrelaatio eli järjestys Relaation Relaatio on järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen, transitiivinen ja vertailullinen.

9 Järjestysrelaatio eli järjestys Relaation Relaatio on järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen, transitiivinen ja vertailullinen. Esimerkki. Lukujoukkojen N, Z, Q ja R tavalliset järjestykset ovat järjestysrelaatioita: x x aina, kun x X jos x y ja y x, niin y = x jos x y ja y z, niin x z x y tai y x aina, kun x, y X

10 Järjestysrelaatio eli järjestys Relaation Relaatio on järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen, transitiivinen ja vertailullinen. Esimerkki. Lukujoukkojen N, Z, Q ja R tavalliset järjestykset ovat järjestysrelaatioita: x x aina, kun x X jos x y ja y x, niin y = x jos x y ja y z, niin x z x y tai y x aina, kun x, y X Huom: Myös on järjestys, jos on järjestys.

11 Tiukka ( aito ) järjestys Muuten kuin järjestys, mutta on irrefleksiivinen. Esimerkiksi < luonnollisten lukujen joukossa. Määritelmän mukaan siis aito järjestys ei ole järjestys!

12 Tiukka ( aito ) järjestys Muuten kuin järjestys, mutta on irrefleksiivinen. Esimerkiksi < luonnollisten lukujen joukossa. Määritelmän mukaan siis aito järjestys ei ole järjestys! Osittainen järjestys eli osittainjärjestys Muuten kuin järjestys, mutta ei välttämättä vertailullinen.

13 Tiukka ( aito ) järjestys Muuten kuin järjestys, mutta on irrefleksiivinen. Esimerkiksi < luonnollisten lukujen joukossa. Määritelmän mukaan siis aito järjestys ei ole järjestys! Osittainen järjestys eli osittainjärjestys Muuten kuin järjestys, mutta ei välttämättä vertailullinen. Lineaarinen järjestys Varsinkin yhteyksissä, joissa esiintyy osittaisia järjestyksiä, kutsutaan tavallista järjestystä lineaariseksi (tai täydelliseksi).

14 Esimerkki. Joukossa Z + määritelty relaatio xry x y (lue: x jakaa y:n) on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen.

15 Esimerkki. Joukossa Z + määritelty relaatio xry x y (lue: x jakaa y:n) on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen. Sen sijaan ei ole irrefleksiivinen, ei symmetrinen eikä vertailullinen. Relaatio on siis osittainjärjestys.

16 Esimerkki. Perusjoukon X potenssijoukossa P(X ) määritelty osajoukkorelaatio on osittainjärjestys. Vain triviaaleissa tapauksissa se on kuitenkin lineaarinen järjestys. Taululla.

17 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =,

18 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =, (3) symmetrinen, jos ja vain jos R 1 = R, (4) antisymmetrinen, jos ja vain jos R R 1 I X,

19 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =, (3) symmetrinen, jos ja vain jos R 1 = R, (4) antisymmetrinen, jos ja vain jos R R 1 I X, (5) transitiivinen, jos ja vain jos R R R, (6) vertailullinen, jos ja vain jos R R 1 = X X.

20 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =, (3) symmetrinen, jos ja vain jos R 1 = R, (4) antisymmetrinen, jos ja vain jos R R 1 I X, (5) transitiivinen, jos ja vain jos R R R, (6) vertailullinen, jos ja vain jos R R 1 = X X. Todistus (valikoituja kohtia) Taululla.

21 Lause 6. Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Tällöin (1) R I X on refleksiivinen, (2) R R 1 on symmetrinen, (3) k=1 Rk on transitiivinen.

22 Lause 6. Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Tällöin (1) R I X on refleksiivinen, (2) R R 1 on symmetrinen, (3) k=1 Rk on transitiivinen. Todistus Taululla.

23 Jos relaatiolla R ei ole haluttua ominaisuutta, voimme joissakin tapauksissa täydentää (uusia alkioita lisäämällä) siitä relaation R, jolla on tämä ominaisuus. Voimme aina täydentää R:n refleksiiviseksi, symmetriseksi, transitiiviseksi tai vertailulliseksi.

24 Jos relaatiolla R ei ole haluttua ominaisuutta, voimme joissakin tapauksissa täydentää (uusia alkioita lisäämällä) siitä relaation R, jolla on tämä ominaisuus. Voimme aina täydentää R:n refleksiiviseksi, symmetriseksi, transitiiviseksi tai vertailulliseksi. Sen sijaan emme saa relaatiosta irrefleksiivistä tai antisymmetristä täydentämällä, vaan päinvastoin poistamalla alkioita.

25 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen),

26 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen), (2) R R,

27 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen), (2) R R, (3) R S aina, kun S on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) ja R S,

28 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen), (2) R R, (3) R S aina, kun S on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) ja R S, niin relaatio R on relaation R refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma. Käytämme refleksiiviselle sulkeumalle merkintää r(r), symmetriselle s(r) ja transitiiviselle t(r).

29 Refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma on yksikäsitteinen. Relaation R refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma R on pienin sellainen refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) relaatio, johon R sisältyy (ts. R R ). Ehto (3) määrittelee, mitä pienimmällä tässä yhteydessä tarkoitetaan. (Huomaa, että on osittainjärjestys.)

30 R on refleksiivinen, joss r(r) = R. R on symmetrinen, joss s(r) = R. R transitiivinen, joss t(r) = R.

31 Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Seuraava lause, osoittavaa, että r(r), s(r) ja t(r) ovat aina olemassa. Lause 7. (a) r(r) = R I X. (b) s(r) = R R 1. (c) t(r) = R k. k=1

32 Jos X on äärellinen, niin transitiivisen sulkeuman muodostamiseksi riittää tutkia äärellistä määrää R:n potensseja. Lause 8. Jos R on relaatio n-alkioisessa joukossa, niin t(r) = n k=1 Rk.

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

A-B, kun A < B 1 / 20

A-B, kun A < B 1 / 20 A-B, kun A < B 1 / 20 Ylivuoto Luvunk p esittäminen vaatiip+1merkkiä, joista 1. merkki on1ja loputpmerkkiä0:ia. Tapauksessa, missäajab ovat positiivisia,a > B, on lukua B:kin positiivinen, joten A B +k

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

Karttojen värittäminen

Karttojen värittäminen Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti?

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Wilhelmiina Hämäläinen Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen 1.-2.12. 2003 Tietojenkäsittelytieteen laitos Joensuun yliopisto 1 Johdanto

Lisätiedot

JHS 109 Huoneiston tunniste

JHS 109 Huoneiston tunniste JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta JHS 109 Huoneiston tunniste Versio: Julkaistu: Voimassaoloaika: Toistaiseksi Sisällys 1 Soveltamisala... 1 2 Huoneiston tunnisteen antaminen...

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Hallitus osakeyhtiössä

Hallitus osakeyhtiössä Hallitus osakeyhtiössä Jokaisella osakeyhtiöllä on Osakeyhtiölain (OYL) mukaan oltava hallitus, johon kuuluu yhdestä viiteen varsinaista jäsentä, ellei yhtiön omassa yhtiöjärjestyksessä määrätä toisin.

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

Tiedon tuonti. Sisältö

Tiedon tuonti. Sisältö Tiedon tuonti Sisältö Yleistä... 2 Vaihe 1 Tietojen valmistelu... 2 Vaihe 2 Testaaminen... 4 Vaihe 3 Oikeellisuuden tarkistus... 5 Vaihe 4 Kenttien liittäminen... 7 Vaihe 5 Luontitapa... 10 1 Tiedon tuonti

Lisätiedot

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

1.Kuvauksen lähtöaineisto

1.Kuvauksen lähtöaineisto 1.Kuvauksen lähtöaineisto 1 Tieteen tehtävänä on uuden tiedon hankkiminen. Käyttäytymistieteet tutkivat elollisten olioiden käyttäytymistä voidakseen ymmärtää sitä tai ainakin löytääkseen siitä säännönmukaisuuksia;

Lisätiedot

PELIOHJEET (suomeksi) Koira. Peli on kaksivaiheinen: Vaihe 1:

PELIOHJEET (suomeksi) Koira. Peli on kaksivaiheinen: Vaihe 1: PELIOHJEET (suomeksi) Koira Peli on kaksivaiheinen: Vaihe 1: Jokaiselle osanottajalle/pelaajalle jaetaan kolme (3) korttia. Loput kortit asetetaan pelipöydälle pinoon, pakaksi. Huomattavaa on, että pakan

Lisätiedot

Markkinoiden toimivuudesta 1

Markkinoiden toimivuudesta 1 Kansantaloudellinen aikakauskirja 97. vsk. 1/2001 Markkinoiden toimivuudesta 1 KATSAUKSIA JA KESKUSTELUA Klaus Kultti Professori Helsingin kauppakorkeakoulu 1 Virkaanastujaisesitelmä Helsingin yliopistossa

Lisätiedot

1.1 Tavallinen binäärihakupuu

1.1 Tavallinen binäärihakupuu TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puurakenteet http://imgur.com/l77fy5x Tässä luvussa käsitellään erilaisia yleisiä puurakenteita. ensin käsitellään tavallinen binäärihakupuu sitten tutustutaan

Lisätiedot

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I origo f ( x, y ) x y 4 1 Segmentointi...43 1.1 Epäjatkuvuuskohtiin perustuva segmentointi... 43 1.1.1 Pisteentunnistus (point etection)...

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

Lauselogiikka Tautologia

Lauselogiikka Tautologia Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Kysymys 1. Mistä tiedän verkkokaupasta ostaessani, toimiiko paketinohjauspalvelu juuri kyseisen

Kysymys 1. Mistä tiedän verkkokaupasta ostaessani, toimiiko paketinohjauspalvelu juuri kyseisen Usein kysyttyjä kysymyksiä ohjauspalvelusta 26.3.2015 Kysymys 1. Mistä tiedän verkkokaupasta ostaessani, toimiiko paketinohjauspalvelu juuri kyseisen verkkokaupan lähetysten kohdalla? Miten ranskalaisen

Lisätiedot