Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla"

Transkriptio

1 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta seuraa että ei voi olla bijektiota f : {1,, n} {1,, m} kun n m. c) että b) kohdasta seuraa, ei voi olla A n ja A m jos m n. a) Todistetaan induktiolla luvun n suhteen. Kun n 1, tilanne on selvä. Tehdään induktio-oletus: jollakin n ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m} millekään m > n. Tehdään antiteesi, että olisi olemassa l > n + 1 ja surjektio f : {1,, n + 1} {1,, l}. Merkitään f(n + 1) j ja tutkitaan kuvausta F : {1,, n} {1,, l} \ {j}, F (i) f(i), jonka on nyt oltava myös surjektio. Yhdistetään tähän vielä kuvaus g : {1,, l} \ {j} {1,, l 1}, g(i) i, kun i < l ja g(i) i 1 kun i > l (tämä on selvästi bijektio). Nyt g F : {1,, n} {1,, l} on surjektio edellisten demojen perusteella, mikä on vastoin induktio-oletusta ja siis ristiriita, joten antiteesi on väärin. Siis surjektiota ei ole olemassa ja induktio saatettu loppuun. b) Kyseinen bijektio olisi siis myös surjektio, joten a) kohdan nojalla tämä on mahdotonta. c) A n tarkoittaa että on olemassa bijektio f : {1,, n} A ja vastaavasti A n on olemassa bijektio g : {1,, m} A. Nämä yhdistämällä olisi siis f 1 g : {1,, m} {1,, n}, mikä on siis b)-kohdan mukaan mahdotonta. 2. Osoita, että äärellisille joukoille A ja B pätee: Jos A B ja B A niin A B Oletuksen mukaan on siis olemassa injektiot f : B A ja g : A B. Tällöin edellisten demojen perusteella myös yhdistetty kuvaus g f : B B on injektio. Jos tämä ei olisi surjektio, niin olisi olemassa a A siten, että g f : A g(f(a)) A \ {a} olisi bijektio. Tehtävän 1 nojalla tämä olisi ristiriita, joten yhdistetty kuvaus on myös surjektio. Eritoten edellisten demojen nojalla g on surjektio. Siis bijektio. 3. Olkoot n N ja A 1,..., A n äärellisiä joukkoja. Osoita, että A 1 A n A 1 A n. Jos A j 0 (eli A j ) jollakin j {1,..., n}, niin A 1 A n ja siten A 1 A n 0 A 1 A n. Siten voimme olettaa, että kaikki joukot

2 2 ovat epätyhjiä. Todistetaan kaava induktiolla epätyhjien ja äärellisten joukkojen lukumäärän n suhteen. Perustapaus n 1 on selvä. Olkoon sitten n > 1 ja tehdään induktio-oletus: A 1 A n 1 A 1 A n 1 aina kun A 1,..., A n 1 ovat äärellisiä ja epätyhjiä joukkoja. Jos A n on äärellinen, niin A 1 A n a A n A 1 A n 1 {a}. Yhdisteen tekijät ovat pareittain erillisiä joukkoja, ja induktio-oletuksen nojalla kullekin niistä pätee A 1 A n 1 {a} A 1 A n 1 A 1 A n 1, missä siis a A n. Summaperiaatteen (Lause 2.2) nojalla A 1 A n a A n A 1 A n 1 {a} A 1 A n. 4. Juhlissa osa vieraista on kätellyt toisiansa. Osoita, että on vähintään kaksi vierasta, jotka kättelivät yhtä monta kertaa. 1 Vieraita on äärellinen määrä. Koska osa vieraista on kätellyt toisiansa (ja kättely on antirefleksiivinen relaatio), vieraita on oltava vähintään kaksi. Oletetaan, että vieraita on n kappaletta v 1,..., v n, n 2, ja että vieras v i on kätellyt f(v i ) kertaa; huomaa, että vieras v i ei ole voinut kätellä itsensä kanssa antirefleksiivisyyden perusteella. Siten kättelyiden lukumäärä on rajoitettu luvulla n 1 eli, toisin sanoen, f(v i ) {0,..., n 1}. Havaitaan seuraavaksi, että f ei voi olla surjektio {v 1,..., v n } {0,..., n 1}; muuten nimittäin f(v i ) 0 ja f(v j ) n 1 joillakin indekseillä i j. Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä v j ei ole voinut kätellä v i :n kanssa ja siten f(v j ) < n 1 (muista, että kättely oletetaan symmetriseksi relaatioksi). Koska f ei ole surjektio, niin pätee f({v 1,..., v n }) < {0,..., n 1} n {v 1,..., v n }. Tulkittaessa f kuvauksena {v 1,..., v n } f({v 1,..., v n }) voimme soveltaa kyyhkyslakkaperiaatetta (Lause 2.4), jonka nojalla on olemassa kaksi henkilöä v i ja v j, i j, siten, että f(v i ) f(v j ) kuten haluttiin. 1 Kätteleminen ajatellaan antirefleksiiviseksi ja symmetriseksi relaatioksi.

3 5. Osoita, että missä tahansa kuuden ihmisen joukossa on kolme toisilleen tuttua tai kolme toisilleen tuntematonta ihmistä. 2 Merkitään ihmisiä symboleilla A, B, C, D, E ja F. Tarkastellaan pareja (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (A, F ). Näiden parien joukossa on ainakin kolme sellaista jotka kuuluvat tuttuusrelaatioon tai kolme sellaista jotka eivät kuulu tuttuusrelaatioon (tämä nähdään soveltamalla kyyhkyslakkaperiaatetta kuvaukseen f ko. viideltä parilta joukolle {0, 1}; jos pari (x, y) ei kuulu relaatioon, niin f((x, y)) 0, ja muuten f((x, y)) 1). Jatkossa oletamme, että kolme pareista kuuluu tuttuusrelaatioon; se tapaus, missä kolme pareista ei kuulu tuttuusrelaatioon, käsitellaan vastaavasti. Tarvittaessa muuttamalla merkintöjä voimme olettaa, että parit (A, B), (A, C) ja (A, D) kuuluvat tuttuusrelaatioon; tarkastellaan pareja (B, C), (B, D), (C, D). Jos yksikin näistä pareista kuuluu tuttuusrelaatioon, niin olemme löytäneet kolme toisilleen tuttua henkilöä relaation symmetrisyyden nojalla. Toisaalta jos mikään näistä kolmesta parista ei kuulu tuttuusrelaatioon, olemme (symmetrisyyden nojalla) löytäneet kolme ihmistä B, C ja D, jotka eivät tunne toisiaan Olkoon A {1,..., 100} siten, että A 76. Osoita, että joukko A sisältää neljä peräkkäistä luonnollista lukua. Tarkastellaan joukkoja A j {4(j 1) + 1,, 4(j 1) + 4}, j 1,..., 25. Havaitaan, että joukko A sisältää neljä peräkkäistä luonnollista lukua ainakin jos jossain sen osituksen muodostuvista joukoista A j on neljä alkioita. Osoitetaan, että näin todellakin on. Määritellään kuvaus f : A {A 1,..., A 25 } asettamalla f(a) A i, missä i {1,..., 25} on valittu siten, että a A i. Nyt A 76 > {A 1,..., A 25 }. Kyyhkyslakkaperiaatteen (Lause 2.4) nojalla on olemassa osituksen jäsen A i siten, että f 1 ({A i }) Toisin sanoen, on olemassa eri luvut a, b, c ja d joukossa A siten, että f(a) f(b) f(c) f(d) A i, eli a, b, c, d A i ja siten joukossa A i on neljä alkiota. 2 Tuttuus ajatellaan refleksiiviseksi ja symmetriseksi relaatioksi.

4 4 7. Jos n N ja m {0,..., n}, niin osoita, että ( ) n n! m m!(n m)!. (1) Mukailemalla Lauseen 2.11 todistusta riittää osoittaa, että kaava (1) pätee kun n N, m {1,..., n 1} ja induktio-oletus ( ) n 1 (n 1)! k k!((n 1) k)!. on voimassa kaikilla k {0,..., n 1}. Pascalin kaavan (Lause 2.9) ja induktio-oletuksen nojalla ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 + m m m 1 (n 1)! m!((n 1) m)! + (n 1)! (m 1)!((n 1) (m 1))! (n 1)! m!(n m 1)! + (n 1)! (m 1)!(n m)! (n 1)!(n m) + (n 1)!m m!(n m)! (n 1)!n m!(n m)! n! m!(n m)!.

5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Ohjaus 2, Osoita, että äärellisille joukoille A ja B pätee B A täsmälleen silloin, kun B A. Oletetaan, että B A. Tällöin joko A 0 tai A > 0. Jos A 0, niin A ; koska on olemassa injektio f : B (f B ), niin B A. Jos A > 0, niin A {1,..., n} ja B {1,..., m} joillakin 0 < n A B m <. Erityisesti on olemassa bijektiot f : A {1,..., n} ja g : {1,..., m} B. Lisäksi funktio h : {1,..., n} {1,..., m}, joka määritellään kaavalla h(a) a, on injektio. Siispä g h f : A B on (kolmen injektion yhdistettynä kuvauksena) injektio, eli B A. Oletetaan seuraavaksi, että B A. Jos A 0, niin pätee B 0 A ; jatkossa voimme siis olettaa, että A > 0. Jos puolestaan B 0, niin ei ole olemassa injektiota A B, eli B A ja tämä on ristiriita. Voimme siis olettaa, että myös B > 0. Erityisesti on olemassa bijektiot f : A {1,..., n}, g : B {1,..., m} joillakin n, m 1. Koska oletuksen nojalla on myös olemassa injektio h : A B, on erityisesti olemassa injektio g h f 1 : {1,..., n} {1,..., m}. Jos {1,..., n} n > m {1,..., m}, niin kyyhkyslakkaperiaatteen (Lause 2.4) nojalla g h f 1 ei voi olla injektio, joka on ristiriita. Siten B m n A kuten haluttiin. 2. Osoita, että yhtämahtavuus on ekvivalenssirelaatio. Onko järjestys? Entä osittainen järjestys? Osoitetaan, että yhtämahtavuus on ekvivalenssirelaatio. Olkoon A joukko ja määritellään f(a) a kaikilla a A. Tällöin f on bijektio A A, eli A A. Näin ollen on refleksiivinen. Oletetaan, että A B ja B C, missä A, B ja C ovat joukkoja. Tällöin on olemassa bijektiot f : A B ja g : B C. Yhdistetty funktio g f : A C on bijektio ja siten A C; olemme osoittaneet, että on transitiivinen. Oletetaan sitten, että A B, missä A ja B ovat joukkoja. Tällöin on olemassa bijektio f : A B, jonka käänteisfunktio f 1 {(b, a) B A : afb} on bijektio B A, eli B A. Siispä on symmetrinen.

6 6 Relaatio ei ole (osittainen) järjestys, koska se ei ole antisymmetrinen: pätee {1, 2} {2, 3} ja {2, 3} {1, 2}, mutta {1, 2} {2, 3}. (Huomautetaan, että luonnollinen valinta relaatioiden ja perusjoukoksi olisi kaikkien joukkojen joukko, joka ei kuitenkaan ole olemassa matematiikassa yleisesti hyväksyttyjen pelisääntöjen, eli aksioomien, vallitessa. Lähestymistapamme joukko-oppiin on tällä kurssilla intuitiivinen ja annettu ratkaisu on sen mukainen.) 3. Olkoot A ja B äärellisiä joukkoja siten, että A B. Osoita, että f : A B on injektio täsmälleen silloin, kun se on surjektio. Oletetaan ensin että f : A B on surjektio. Jos f ei olisi injektio, löytyisi pisteet a b siten että f(a) f(b), joilloin myös f : A \ {a} B olisi surjektio. Nyt kuitenkin A \ {a} A, joten tämä olisi ristiriita Harjoitusten 1.tehtävän b) kohdan nojalla. Oletetaan sitten, että f : A B on injektio. Jos f ei olisi surjektio, löytyisi piste b B \ f(a). Tällöin B 1 + f(a) 1 + A, (sillä injektio on bijektio kuvalleen). Tämä on kuitenkin ristiriita oletuksen A B kanssa. 4. Olkoot X äärellinen joukko, A X ja P A (X) {B P(X) : B A}. Kuinka monta alkiota on joukossa P A (X)? 5. Kuinka monta tornia voidaan sijoittaa shakkilaudan eri ruuduille siten, että ne eivät uhkaa toisiaan? 6. Eräässä ravintolassa pizzaan voi valita yhdestä neljään täytettä kahdentoista täytteen valikoimasta. Kuinka monella tavalla pizzan voi tilata? 7. Korttipakassa on neljää eri maata ja jokaisen maan kortit on numeroitu yhdestä kolmeentoista. Yhteensä kortteja on siis 52. Kuinka monella eri tavalla pakasta voidaan ottaa

7 7 (a) viisi korttia? (b) viisi korttia siten, että kolmella kortilla on sama numero? (c) viisi korttia siten, että kaikki kortit ovat samaa maata? (d) viisi korttia siten, että neljällä kortilla on sama numero?

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 3: Funktiot 4.3 Funktiot Olkoot A ja B joukkoja. Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää yksikäsitteisesti määrätyn

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.

Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla. Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot

Lisätiedot

1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Tuntitehtävät 17-18 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 21-22 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 19-20 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka Toinen välikoe Vastauksia. 1. Olkoot X = {a, b, c, d} ja Y = {1, 2, 3}, sekä R, S X Y relaatiot

Diskreetti matematiikka Toinen välikoe Vastauksia. 1. Olkoot X = {a, b, c, d} ja Y = {1, 2, 3}, sekä R, S X Y relaatiot Diskreetti matematiikka Toinen välikoe 14.12.2006 Vastauksia 1. Olkoot X = {a, b, c, d} ja Y = {1, 2, 3}, sekä R, S X Y relaatiot Määritä relaatiot a) R S b) R 1 c) S R 1. Ratkaisu: a) R = {(a, 1), (a,

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot