Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
|
|
- Annika Heikkilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
2 Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
3 Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan lukumääriä suoraan asettamalla joukkojen A ja B alkiot vastaamaan toisiaan.
4 Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan lukumääriä suoraan asettamalla joukkojen A ja B alkiot vastaamaan toisiaan. Matemaattisesta näkökulmasta tämä tarkoittaa bijektion g : A B muodostamista. (Esim. g(a) = d, g(b) = e ja g(c) = f.)
5 Yleisesti sanomme, että A ja B ovat keskenään yhtä mahtavia eli niihin liittyy sama kardinaaliluku, jos on olemassa bijektio joukolta A joukolle B. Merkitsemme tällöin A B.
6 Yleisesti sanomme, että A ja B ovat keskenään yhtä mahtavia eli niihin liittyy sama kardinaaliluku, jos on olemassa bijektio joukolta A joukolle B. Merkitsemme tällöin A B. Lisäksi pitää sopia, että. (Miksi?)
7 Yleisesti sanomme, että A ja B ovat keskenään yhtä mahtavia eli niihin liittyy sama kardinaaliluku, jos on olemassa bijektio joukolta A joukolle B. Merkitsemme tällöin A B. Lisäksi pitää sopia, että. (Miksi?) Huom. Vaihtoehtoisesti mahtavuuksien yhteydessä voidaan hyväksyä tyhjä funktio :, joka on selvästi bijektio.
8 Yleisesti sanomme, että A ja B ovat keskenään yhtä mahtavia eli niihin liittyy sama kardinaaliluku, jos on olemassa bijektio joukolta A joukolle B. Merkitsemme tällöin A B. Lisäksi pitää sopia, että. (Miksi?) Huom. Vaihtoehtoisesti mahtavuuksien yhteydessä voidaan hyväksyä tyhjä funktio :, joka on selvästi bijektio. Lause 15. Olkoon X perusjoukko. Mahtavuuksien yhtäsuuruus on ekvivalenssirelaatio joukossa P(X ). Todistus. Taululla.
9 Sanomme, että joukko A on äärellinen, jos A {0,..., n 1} jollakin n N. (Tässä {0,..., n 1} = {m N m < n} =, jos n = 0.)
10 Sanomme, että joukko A on äärellinen, jos A {0,..., n 1} jollakin n N. (Tässä {0,..., n 1} = {m N m < n} =, jos n = 0.) Muussa tapauksessa A on ääretön.
11 Sanomme, että joukko A on äärellinen, jos A {0,..., n 1} jollakin n N. (Tässä {0,..., n 1} = {m N m < n} =, jos n = 0.) Muussa tapauksessa A on ääretön. Siis intuitiivisesti joukko on äärellinen, jos siinä on n alkiota jollain n N.
12 Selvästi luonnollisten lukujen joukko N on ääretön: ei ole olemassa bijektiota N {0,..., n 1} millään n N. (Tämä todistetaan Joukko-opin kurssilla.)
13 Selvästi luonnollisten lukujen joukko N on ääretön: ei ole olemassa bijektiota N {0,..., n 1} millään n N. (Tämä todistetaan Joukko-opin kurssilla.) Esimerkki. N 2N = {0, 2, 4, 6,...}, sillä f : N 2N: f (n) = 2n on bijektio. N : 0, 1, 2, 3,..., n,... 2N : 0, 2, 4, 6,..., 2n,...
14 Luonnollisia lukuja on siis tässä mielessä yhtä monta kuin parillisia luonnollisia lukuja. Yleisesti jokainen ääretön joukko on yhtä mahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa. Kokonaisuus ei siis olekaan aina osiansa suurempi.
15 Luonnollisia lukuja on siis tässä mielessä yhtä monta kuin parillisia luonnollisia lukuja. Yleisesti jokainen ääretön joukko on yhtä mahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa. Kokonaisuus ei siis olekaan aina osiansa suurempi. Esimerkki. Kaikki suljetut reaalilukuvälit [a, b], a < b, ovat keskenään yhtä mahtavia pistejoukkoja. Tätä voi havainnollistaa kuviollakin taululla.
16 Määrittelemme vielä, että joukon A mahtavuus on pienempi tai yhtäsuuri kuin joukon B mahtavuus, jos A on yhtä mahtava B:n jonkin osajoukon kanssa. Merkitsemme tällöin A B.
17 Määrittelemme vielä, että joukon A mahtavuus on pienempi tai yhtäsuuri kuin joukon B mahtavuus, jos A on yhtä mahtava B:n jonkin osajoukon kanssa. Merkitsemme tällöin A B. On helppo huomata, että A B, jos ja vain jos on olemassa injektio f : A B, tai A =.
18 Määrittelemme vielä, että joukon A mahtavuus on pienempi tai yhtäsuuri kuin joukon B mahtavuus, jos A on yhtä mahtava B:n jonkin osajoukon kanssa. Merkitsemme tällöin A B. On helppo huomata, että A B, jos ja vain jos on olemassa injektio f : A B, tai A =. Huom. Jos tyhjä injektio : B otetaan huomioon, vaihtoehtoa A = ei tarvitse mainita.
19 Määrittelemme vielä, että joukon A mahtavuus on pienempi tai yhtäsuuri kuin joukon B mahtavuus, jos A on yhtä mahtava B:n jonkin osajoukon kanssa. Merkitsemme tällöin A B. On helppo huomata, että A B, jos ja vain jos on olemassa injektio f : A B, tai A =. Huom. Jos tyhjä injektio : B otetaan huomioon, vaihtoehtoa A = ei tarvitse mainita. Edelleen voidaan todistaa, että A B on yhtäpitävää sen kanssa, että A = tai on olemassa surjektio B:ltä A:lle. (Todistuksessa tarvitaan valinta-aksioomaa.)
20 Määrittelemme vielä, että joukon A mahtavuus on pienempi tai yhtäsuuri kuin joukon B mahtavuus, jos A on yhtä mahtava B:n jonkin osajoukon kanssa. Merkitsemme tällöin A B. On helppo huomata, että A B, jos ja vain jos on olemassa injektio f : A B, tai A =. Huom. Jos tyhjä injektio : B otetaan huomioon, vaihtoehtoa A = ei tarvitse mainita. Edelleen voidaan todistaa, että A B on yhtäpitävää sen kanssa, että A = tai on olemassa surjektio B:ltä A:lle. (Todistuksessa tarvitaan valinta-aksioomaa.)
21 Lause 16. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin Mahtavuus (r) A A. (as) Jos A B ja B A, niin A B (heikko muoto).
22 Lause 16. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin Mahtavuus (r) A A. (as) Jos A B ja B A, niin A B (heikko muoto). (t) Jos A B ja B C, niin A C. (v) A B tai B A.
23 Lause 16. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin Mahtavuus (r) A A. (as) Jos A B ja B A, niin A B (heikko muoto). (t) Jos A B ja B C, niin A C. (v) A B tai B A. Todistus. (r) on triviaalisti tosi, sillä A A A.
24 Lause 16. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin Mahtavuus (r) A A. (as) Jos A B ja B A, niin A B (heikko muoto). (t) Jos A B ja B C, niin A C. (v) A B tai B A. Todistus. (r) on triviaalisti tosi, sillä A A A. (t) on helppo (injektioiden yhdistetty kuvaus on injektio).
25 Lause 16. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin Mahtavuus (r) A A. (as) Jos A B ja B A, niin A B (heikko muoto). (t) Jos A B ja B C, niin A C. (v) A B tai B A. Todistus. (r) on triviaalisti tosi, sillä A A A. (t) on helppo (injektioiden yhdistetty kuvaus on injektio). (as) on Cantorin, Schröderin, Bernsteinin lause; se ja (v) todistetaan Joukko-opin kurssilla.
26 Lause 16. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin Mahtavuus (r) A A. (as) Jos A B ja B A, niin A B (heikko muoto). (t) Jos A B ja B C, niin A C. (v) A B tai B A. Todistus. (r) on triviaalisti tosi, sillä A A A. (t) on helppo (injektioiden yhdistetty kuvaus on injektio). (as) on Cantorin, Schröderin, Bernsteinin lause; se ja (v) todistetaan Joukko-opin kurssilla. Huom. ei ole järjestysrelaatio, sillä antisymmetrisyydestä pätee vain heikko muoto.
27 Joukko, joka on äärellinen tai yhtä mahtava luonnollisten lukujen joukon kanssa, on numeroituva.
28 Joukko, joka on äärellinen tai yhtä mahtava luonnollisten lukujen joukon kanssa, on numeroituva. Intuitiivinen kriteeri numeroituvuudelle. Joukko A on numeroituva, jos ja vain jos sen alkiot voidaan luetella. Todistus. Oletetaan ensin, että joukko A on numeroituva. Jos se on ääretön, niin on olemassa bijektio f : N A. Joukon A alkiot voidaan tällöin luetella seuraavasti: f (0), f (1), f (2), f (3),... Koska f on surjektio, niin kaikki joukon A alkiot todellakin esiintyvät luettelossa.
29 Jos taas A on äärellinen, niin on olemassa bijektio g : {0,..., n 1} A, jolloin sen alkiot voidaan luetella jonona g(0),..., g(n 1).
30 Jos taas A on äärellinen, niin on olemassa bijektio g : {0,..., n 1} A, jolloin sen alkiot voidaan luetella jonona g(0),..., g(n 1). Oletetaan sitten, että joukon A alkiot voidaan luetella. Jos A ei ole äärellinen, niin on kuitenkin siis on olemassa ääretön luettelo a 1, a 2, a 3,... jossa jokainen joukon A alkio esiintyy täsmälleen kerran. Tällöin f : N A, f (n) = a n+1 on bijektio.
31 Seuraus. Jos A ja B ovat numeroituvia joukkoja, niin niiden yhdiste A B on numeroituva.
32 Seuraus. Jos A ja B ovat numeroituvia joukkoja, niin niiden yhdiste A B on numeroituva. Todistus. Todistetaan väite siinä tapauksessa, että sekä A että B ovat äärettömiä. Muut tapaukset ovat samankaltaisia. Olkoon A:n alkiot lueteltuna a 1, a 2, a 3,... ja B:n alkiot lueteltuna b 1, b 2, b 3,... Poistamalla luettelosta a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3,... mahdolliset toistot saadaan lueteltua yhdisteen A B alkiot.
33 Induktiolla voidaan helposti todistaa, että jos A 1, A 2,..., A n ovat numeroituvia, niin yhdiste A 1 A 2 A n on myös numeroituva.
34 Induktiolla voidaan helposti todistaa, että jos A 1, A 2,..., A n ovat numeroituvia, niin yhdiste A 1 A 2 A n on myös numeroituva. Voidaan todistaa myös, että numeroituvien joukkojen ääretön, mutta numeroituva yhdiste i N A i on numeroituva. Tämän todistuksessa tarvitaan kuitenkin valinta-aksioomaa.
35 Lause 17. Kokonaislukujen joukko on numeroituva. Todistus. Kirjoitamme joukkojen N ja Z alkiot vastaamaan toisiaan seuraavasti:
36 Lause 17. Kokonaislukujen joukko on numeroituva. Todistus. Kirjoitamme joukkojen N ja Z alkiot vastaamaan toisiaan seuraavasti: N : 0, 1, 2, 3, 4,... Z : 0, 1, 1, 2, 2,... Tämän vastaavuuden määrittelee bijektio f : N Z:
37 Lause 17. Kokonaislukujen joukko on numeroituva. Todistus. Kirjoitamme joukkojen N ja Z alkiot vastaamaan toisiaan seuraavasti: N : 0, 1, 2, 3, 4,... Z : 0, 1, 1, 2, 2,... Tämän vastaavuuden määrittelee bijektio f : N Z: { (n + 1)/2, kun n on pariton, f (n) = n/2, kun n on parillinen.
38 Lause 18. Rationaalilukujen joukko on numeroituva. Todistus. Koska f : Q + Q, f (r) = r, on bijektio, riittää todistaa, että Q + on numeroituva.
39 Lause 18. Rationaalilukujen joukko on numeroituva. Todistus. Koska f : Q + Q, f (r) = r, on bijektio, riittää todistaa, että Q + on numeroituva. Tällöin myös Q = Q {0} Q + on numeroituvien joukkojen yhdisteenä numeroituva.
40 Tapa 1. Muodostamme seuraavan taulukon, jossa jokaisella Q + :n alkiolla on oma paikkansa (itse asiassa äärettömän monta paikkaa).
41 Tapa 1. Muodostamme seuraavan taulukon, jossa jokaisella Q + :n alkiolla on oma paikkansa (itse asiassa äärettömän monta paikkaa) /2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/
42 Järjestämme taulukon luvut jonoon nuolten osoittamalla tavalla. Jos kohdattu luku on jo jonossa, niin sivuutamme sen.
43 Järjestämme taulukon luvut jonoon nuolten osoittamalla tavalla. Jos kohdattu luku on jo jonossa, niin sivuutamme sen. Saamme jonon 1, 2, 1 2, 1 3, 3, 4, 3 2, 2 3, 1 4, 1 5, 5, 6, 5 2, 4 3, 3 4, 2 5, 1 6,..., jossa jokainen Q + :n alkio esiintyy täsmälleen kerran. Siis Q + N.
44 Tapa 2. Voimme edetä myös seuraavien nuolten mukaan. Mahtavuus /2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/
45 Tällöin saamme jonon 1, 1 2, 2, 1 3, 3, 1 4, 2 3, 3 2, 4, 1 5, 5, 1 6, 2 5, 3 4, 4 3, 5 2, 6,...
46 On olemassa myös ylinumeroituvia joukkoja, joiden mahtavuus on suurempi kuin joukon N mahtavuus. Lause 19. Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.
47 On olemassa myös ylinumeroituvia joukkoja, joiden mahtavuus on suurempi kuin joukon N mahtavuus. Lause 19. Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Todistus. Riittää tarkastella väliä I = ]0, 1], sillä ]0, 1[ R. Itse asiassa ]0, 1] R.
48 Jokainen x ]0, 1] voidaan esittää desimaalikehitelmänä x = 0, a 1 a 2..., missä oikea puoli tarkoittaa lukua, jonka desimaalinumerot ovat a 1, a 2,....
49 Jokainen x ]0, 1] voidaan esittää desimaalikehitelmänä x = 0, a 1 a 2..., missä oikea puoli tarkoittaa lukua, jonka desimaalinumerot ovat a 1, a 2,.... Esimerkiksi 1/3 = 0, , 1 = 0, , 1/2 = 0, = 0, Desimaalikehitelmä ei siis ole yksikäsitteinen päättyville desimaaliluvuille.
50 Jokainen x ]0, 1] voidaan esittää desimaalikehitelmänä x = 0, a 1 a 2..., missä oikea puoli tarkoittaa lukua, jonka desimaalinumerot ovat a 1, a 2,.... Esimerkiksi 1/3 = 0, , 1 = 0, , 1/2 = 0, = 0, Desimaalikehitelmä ei siis ole yksikäsitteinen päättyville desimaaliluvuille. Sovimme, että tällöin käytetään peräkkäisiin yhdeksikköihin päättyvää esitystä; siis 1/2 = 0, , 1/4 = 0,
51 Vastaoletus: I on numeroituva. Siis sen alkiot voidaan järjestää jonoon x 1, x 2,..., siis I = {x 1, x 2,...}.
52 Vastaoletus: I on numeroituva. Siis sen alkiot voidaan järjestää jonoon x 1, x 2,..., siis I = {x 1, x 2,...}. Ristiriita syntyy, kun löydämme sellaisen luvun x I, joka ei ole tässä jonossa. Muodostamme lukujen x 1, x 2,... desimaalikehitelmät
53 x 1 = 0, x 11 x 12 x 13..., x 2 = 0, x 21 x 22 x 23..., x 3 = 0, x 31 x 32 x 33...,.
54 x 1 = 0, x 11 x 12 x 13..., x 2 = 0, x 21 x 22 x 23..., x 3 = 0, x 31 x 32 x 33..., ja määrittelemme luvun y I niin, että sen desimaalikehitelmän 0, y 1 y 2... numerot ovat { 7, kun x kk 7, y k = 8, kun x kk = 7..
55 Lukujen y ja x 1 ensimmäiset desimaalit siis eroavat toisistaan, joten y x 1. Toisten desimaalien eroamisen perusteella y x 2, kolmansien y x 3 jne.
56 Lukujen y ja x 1 ensimmäiset desimaalit siis eroavat toisistaan, joten y x 1. Toisten desimaalien eroamisen perusteella y x 2, kolmansien y x 3 jne. Täten y ei voi olla joukon I = {x 1, x 2,...} mikään luku, ja näin olemme ristiriidassa sen kanssa, että y I.
57 Käyttämämme Cantorin diagonaalimenetelmä on hyödyllinen monissa ylinumeroituvuustodistuksissa.
58 Käyttämämme Cantorin diagonaalimenetelmä on hyödyllinen monissa ylinumeroituvuustodistuksissa. Kontinuumihypoteesin mukaan ei ole olemassa sellaista joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin joukon N mutta pienempi kuin joukon R. Voidaan todistaa, että kontinuumihypoteesi on riippumaton joukko-opin aksioomista.
59 Käyttämämme Cantorin diagonaalimenetelmä on hyödyllinen monissa ylinumeroituvuustodistuksissa. Kontinuumihypoteesin mukaan ei ole olemassa sellaista joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin joukon N mutta pienempi kuin joukon R. Voidaan todistaa, että kontinuumihypoteesi on riippumaton joukko-opin aksioomista. Edelleen voidaan todistaa, että joukon P(X ) mahtavuus on aina suurempi kuin joukon X. Täten äärettömiä mahtavuuksia on äärettömän monta.
Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
Lisätiedot1 Joukkojen mahtavuuksista
1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotÄärettömistä joukoista
Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotSanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.
Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Lisätiedot5.3 Ratkeavia ongelmia
153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotLuonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta
Solmu 1/2019 19 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Tuomas Korppi Johdanto Kuten lukija varmaan tietääkin, luonnollisille luvuille voidaan tehdä induktiotodistuksia. Tämä mahdollisuus on ominainen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotMatematiikka kaikille, kesä 2017
Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30 Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotJOHDATUS MATEMATIIKKAAN
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOUNI PARKKONEN 0. Lukijalle Tämä on syksyn 01 Johdatus matematiikkaan -kurssin teksti. Joitain asioita käsiteltiin luennolla enemmän kuin tässä tekstissä, samoin joistain asioista
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
LisätiedotAlkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.
Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:
Lisätiedot