Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Transkriptio

1 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2 + y 2 < 2} Onko joku näistä: refleksiivinen? antirefleksiivinen? symmetrinen? antisymmetrinen? transitiivinen? Ratkaisu. Piirrostehtävä. Refleksiivisiä eli ara kaikilla a: R 2 Antirefleksiivisiä eli a Ra kaikilla a: ei mikään Symmetrisiä eli arb bra: R 2 Antisymmetrisiä eli arb&bra a = b: ei mikään Transitiivisia eli arb&brc arc: R 2 2. Määritellään relaation R käänteisrelaatio R 1 asettamalla: br 1 a jos arb. Osoita, että jos R on relaatio A:lla, niin R R 1 on symmetrinen. Ratkaisu. Relaatio S on symmetrinen jos (a, b) S:stä seuraa (b, a) S. Olkoon nyt (a, b) R R 1. Tällöin (a, b) R tai (a, b) R 1. Tarkastetaan ensimmäinen tapaus, toinen on samanlainen: (a, b) R:stä seuraa määritelmän mukaan että (b, a) R 1 ja siis eritoten (b, a) R R Määritellään relaatio tasossa R 2 asettamalla (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ), jos x 1 x 2 Z ja y 1 y 2 Z. Osoita että on ekvivalenssi. Piirrä joukko [(0, 0)]. Ratkaisu. Refleksiivisyys: Jos (x, y) R 2 niin x x = 0 Z ja y y = 0 Z joten (x, y) (x, y). Symmetrisyys: Olkoon (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) eli x 1 x 2 Z ja y 1 y 2 Z. Tällöin myös x 2 x 1 Z ja y 2 y 1 Z eli (x 2, y 2 j (x 1, y 1 )). Transitiivisuus: Olkoon (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) ja (x 2, y 2 ) (x 3, y 3 ). Tällöin siis x 1 x 2 Z, x 2 x 3 Z, y 1 y 2 Z ja y 2 y 3 Z, jolloin myös x 1 x 3 = x 1 x 2 + (x 2 x 3 ) Z ja y 1 y 3 = y 1 y 2 + (y 2 y 3 ) Z joten (x 1, y 1 ) (x 3, y 3 ). Joukko [(0, 0)] = {(x, y) R 2 : (x, y) (0, 0)} = {(x, y) R 2 : x Z ja y Z} = Z Z.

2 2 4. Lauseen 1.3 todistuksen loppu: Olkoon {A i } i joukon A ositus. Määritellään relaatio joukolla A asettamalla a b jos on olemassa i siten, että a, b A i. Osoita että on ekvivalenssi. Jos A = [0, 10) ja A i = [i 1, i), i {1,, 10}, niin hahmottele tasossa näin määriteltyä ekvivalenssirelaatiota. Ratkaisu. On siis osoitettava symmetrisyys, transitiivisuus ja refleksiivisyys. Symmetrisyys on selvä: jos a, b A i niin b, a A i. Transitiivisuus: Jos a, b A i ja b, c A j niin eritoten b A j A i ja koska kyseessä on ositus, on oltava A j = A i, joten a, c A j. Refleksiivisyys on myös selvä koska kyseessä on ositus, x A = i A i, eli on olemassa i siten että x A i (ja siis x, x A i. 5. Keksi joukolla {1, 2, 3} transitiivinen relaatio joka ei ole kuvaus. Ratkaisu. Esimerkiksi relaatio R = {(1, 1)} ei ole kuvaus koska kaikkiin joukon {1, 2, 3} alkioihin ei liity alkiota maalipuolelta. Vielä triviaalimpi ratkaisu on tyhjä relaatio: mikään ei ole minkään kanssa relaatiossa. Vähän mielenkiintoisempi esimerkki on vaikka R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)}, joka kyllä sisältää kuvauksen mutta ei itse ole kuvaus koska 1 on relaatiossa kahden alkion kanssa. Transitiivisuuden voi tarkastaa helposti, triviaalien tapausten lisäksi pätee 1R2&2R2 1R2. 6. Olkoot f : A B ja g : B C kuvauksia. Osoita, että a) jos f ja g ovat injektioita, niin myös g f on injektio, b) jos f ja g ovat surjektioita, niin myös g f on surjektio, c) jos g f on injektio, niin f on injektio, d) jos g f on surjektio, niin g on surjektio. Onko olemassa kuvauksia f, g : N N siten, että f ei ole surjektio ja g ei ole injektio, mutta g f on bijektio. Ratkaisu. a) Tehdään antiteesi: on olemassa a b siten että g f(a) = g f(b). Koska g on injektio, täytyy olla f(a) = f(b) ja koska f on injektio, tästä seuraa että a = b. Tämä on ristiriita joten yhdistetyn kuvauksen on oltava injektio. b) Koska f(a) = B ja g(b) = C surjektion määritelmän mukaan, todistus on selvä: g(f(a)) = C. c) Tehdään taas antiteesi: on olemassa a b siten että f(a) = f(b). Mutta tällöin g(f(a)) = g(f(b)) ja yhdistetty kuvaus ei olisikaan siis injektio. Ristiriita ja f:n on siis oltava injektio.

3 d) Otetaan mielivaltainen c C ja osoitetaan että siihen kuvautuu joku piste B:stä kuvauksessa g. Koska g f(a) = C, on siis oltava joku a A siten että g(f(a)) = c. Eritoten f(a) B kuvautuu siis pisteeksi c kuvauksessa f Määritä kaikki transitiiviset injektiiviset kuvaukset f : A A. Ratkaisu. Olkoon a A mielivaltainen piste. Huomataan, että transitiivius tarkoittaa että afb&bfc afc, eli jos a kuvautuu pisteeksi b ja b pisteeksi c niin a kuvautuu myös pisteeksi c. Koska kyseessä on kuvaus, a voi kuvautua vain yhdeksi pisteeksi, joten on oltava b = c. Edelleen, koska kuvaus on injektio, ja afb sekä bfb, on oltava a = b. Siis ainoa transitiivinen kuvaus f : A A on identtinen kuvaus: f(a) = a kaikilla a A.

4

5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Ohjaus 1, Olkoot A, B, C ja D joukkoja. a) Osoita että b) Osoita että Voiko inkluusio olla aito? (A C) (B D) = (A B) (C D). (A C) (B D) (A B) (C D). 2. Olkoon A = {1, 2, 3}. Keksi joukolla A relaatio, joka on a) symmetrinen, mutta ei transitiivinen b) refleksiivinen, mutta ei symmetrinen c) transitiivinen, mutta ei refleksiivinen Määritä myös kaikki ekvivalenssit joukolla A. 3. Olkoon R relaatio joukolla A ja L = {(a, a) : a A} joukon A lävistäjä. Osoita että R on ekvivalenssirelaatio jos ja vain jos i) L R, ii) R 1 = R, iii) R R R 4. Määritellään relaation R käänteisrelaatio R 1 asettamalla: br 1 a jos arb. Kahden relaation R A B ja S B C yhdistetty relaatio S R määritellään kuten yhdistetty kuvaus funktioille, asettamalla (a, c) S R b B siten, että (a, b) R ja (b, c) R. Merkitään seuraavassa X:llä joukon A epätyhjien osajoukkojen kokoelmaa (t.s. X = P(A) \ { }). Määritellään relaatiot S X X ja R X X asettamalla kaikille B, C X (B, C) S B C ja (B, C) R B C Osoita että R = S S Määritellään relaatio joukolla R 2 asettamalla (x, y) (z, w), jos (x z, y w) Q, missä Q = {(x, y) R 2 : x 0 ja y 0}. Osoita, että on osittainen järjestys. Onko se järjestys? 6. Keksi joukolla N refleksiivinen ja symmetrinen relaatio, joka ei ole ekvivalenssi.