Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Transkriptio

1 Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa, jolloin A, ) on tunnetusti ryhmä. Osoitetaan ehdon A =3olevan voimassa Sykliesityksiä käyttämällä huomataan, että ainakin identiteettikuvaus id VG) ja kuvaukset13)456)789) sekä13)465)798) ovat verkon G automorfismeja, sillä ne säilyttävät verkon G särmäjoukon. Olkoon H näiden kuvausten joukko. Tällöin pätee H A. Osoitetaan inkluusion pätevän myös toiseen suuntaan. Olkoon verkon G automorfismi f mielivaltainen. Näytetään, että on olemassa sellainen kuvaus g H, että ehto g f)1) = 1 on voimassa. Joukon {1,,3} solmut ovat verkon G ainoat solmut, joilla on tasan kolme naapuria, joten kyseinen joukko säilyy automorfismeissa. Ehto f1) {1,, 3} on siis voimassa. Jos on f1) = 1, niin väite id VG) f)1) = 1 pätee. Tapauksessa f1) = alkio13)465)798) voidaan valita kuvaukseksi g. Jäljellä olevassa tapauksessa on f1) = 3 ja kuvaukseksi g voidaan valita kuvaus 13)456)789). Halutun ehdon toteuttava g on siis olemassa. Olkoon tällainen g jatkossa kiinnittetty. Kuvaus g f on verkon G automorfismi, joten väite g f)) {,3} on tosi. Osoitetaan seuraavaksi, että ehto g f)) = on välttämättä voimassa. Oletetaan vastaoletuksena väitteen g f)) = 3 pätevän. Solmujen 1 ja 3 ainoa yhteinen naapuri, jolla itsellään on tasan kolme naapuria, on solmu 6. Siten ehto 1

2 g f)6)=4 on voimassa. Toisaalta solmu 8 on solmun 3 ainoa naapuri, jolla on kaksi naapuria, joten myös ehdon g f)8) = 7 on oltava voimassa. Kuitenkin pätee {4,7} EG) sekä {6,8} / EG), mikä on ristiriidassa sen tiedon kanssa, että kuvaus g f on verkon G automorfismi. Näin ollen ehdon g f))= on oltava voimassa. Edelleen myös väittämä g f)3)=3 pätee. Lisäksi ehto g f = id VG) toteutuu. Olkoon nimittäin kaksio {a, b} {1,, 3} sellainen, että ehto b a+1 mod 3) on voimassa. Tällöin solmu a+3 on solmujen a ja b ainoa yhteinen naapuri, jolla itsellään on kolme naapuria. Solmu a+6 on lisäksi solmun b ainoa naapuri, jolla on kaksi naapuria. Täten myös ehdotg f)a+3)=a+3 jag f)a+6)=a+6 toteutuvat. Väite g f = id VG) saadaan näiden havaintojen seurauksena. Kaiken kaikkiaan on siis osoitettu, että jokaisella alkiolla f A on sellainen g H, jolla ehto g f = id VG) toteutuu. Kuvaus id VG) on toisaalta ryhmäna, ) neutraalialkio. Ryhmän A, ) jokaisella alkiolla on täsmälleen yksi käänteisalkio ja lisäksi ryhmän A, ) jokainen alkio on jonkin alkion käänteisalkio. Näin ollen väite H A on voimassa. Tämän seurauksena saadaan tulos A = 3, joten verkolla G on tasan kolme automorfismia. Tehtävä 4 : Olkoon T sellainen verkko, jonka solmujoukkona on N ja jonka särmäjoukkona on { {n,n+1} : n N }. Verkko T on yhtenäinen ja syklitön, joten kyseessä on numeroituvasti ääretön puu. Olkoon T kaikkien niiden verkkojen T m kokoelma, joilla on m N ja jotka ovat joukon{n N:n m} virittämiä puun T aliverkkoja. Jokainen kokoelman T jäsen on syklittömänä ja yhtenäisenä aliverkkona puun T alipuu. Kaikilla luonnollisilla luvuilla k ja l on jokainen ehdon n max{k,l} toteuttava alkio n N puiden T k ja T l yhteinen solmu. JoukonT jäsenet leikkaavat siis pareittain toisiaan jopa äärettömän monessa kohdassa. Kuitenkin jokaisella n Npätee T n+1 T ja n / VT n+1 ). Jokaisella solmulla

3 n VT) on täten ehto n / H T VH) voimassa. Näin ollen kokoelmant puilla ei ole yhtään yhteistä solmua. Tehtävä 4 : 3 Merkitään jatkossa joukkoa{0} N {0} ) kirjaimella A sekä joukkoan {1} kirjaimella B. Joukoilla A ja B ei ole yhtään yhteistä alkiota ja niiden yhdiste on numeroituvasti ääretön. Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on A B ja jonka särmäjoukkona on { {n,0),n,1) } } { {0,n,1) } } : n N : n N. Tällöin verkko G on kaksijakoinen ja joukot A ja B ovat sen jako-osat. Olkoon osajoukko S A mielivaltainen. Jos ehto 0 / S toteutuu, niin joukon S naapuruston N G S) koko on sama kuin joukon S koko. Vuorostaan tapauksessa 0 S pätee N G S) = B, jolloin väite N G S) = B S on tosi. Verkko G siis toteuttaa Hallin ehdon. Verkossa G ei kuitenkaan ole joukon A pariutusta. Tehdään vastaoletus, että joukko M EG) on joukon A pariutus. Tällöin jokaisella joukon A alkiolla x on x e jollakin särmällä e M. Erityisesti jokaisella luvulla n N on väitteen { n,0),n,1) } M on oltava tosi. Edelleen jollakin m N on { 0,m,1) } M. Erityisesti pätee { m,0),m,1) } M sekä { 0,m,1) } M, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että joukko M on verkon G pariutus. Näin ollen joukolla A ei ole pariutusta verkossa G. Tehtävä 4 : 4 Olkoot äärellinen joukko X ja luku r N sellaisia, että ehto r < toteutuu. Tällöin pätee 0 r 1 ja siis on r+ 1 X. Erityisesti joukot [X] r ja[x] r+1 ovat epätyhjiä. Muodostetaan aluksi äärellinen verkko G asettamalla joukko[x] r [X] r+1 sen 3

4 solmujoukoksi ja joukko { A,B ) : A [X] r B [X] r+1 A B} sen särmäjoukoksi. Verkko G on kaksijakoinen ja joukot[x] r sekä[x] r+1 ovat sen jako-osat. Osoitetaan Hallin ehdon olevan voimassa joukon[x] r suhteen. Olkoon osajoukko S [X] r mielivaltainen. Jos pätee S=, niin haluttu ehto N G S) 0= S toteutuu suoraan. Voidaan siis olettaa joukon S olevan epätyhjä. Jokaisella A S joukon N G A) koko on tasan r, sillä näin monella tavalla voidaan valita jokin alkio joukosta X\ A. Toisaalta jokaisella joukolla B N G S) on korkeintaan r+1 ehdon A B toteuttavaa joukon S jäsentä A, sillä on enintään r+ 1 tapaa jättää pois jokin joukon B alkio tuottaen tuloksena joukon S jonkin jäsenen. Tarkastellaan seuraavaksi joukkoa A,B ) } K :={ : A S B NG S) A B. Valitsemalla ensin joukon K kaikkien parien ensimmäinen jäsen sekä vastaavasti ensimmäisenä kaikkien parien toinen jäsen saadaan tuloksena S r ) = K r+ 1) N G S). Tästä havainnosta saadan tiedon 0 r 1 nojalla edelleen tulos S r ) ) ) N G S) S = S S. r+ 1 Näin ollen verkossa G on Hallin ehto voimassa joukon[x] r suhteen. Hallin lauseen nojalla verkossa G on olemassa jokin joukon [X] r pariutus M. Nyt joukon [X] r pariutuksen määritelmän nojalla jokaisella A [X] r on olemassa täsmälleen yksi B A [X] r+1 siten, että ehto A,B A ) M toteutuu. Voidaan siis määritellä injektio f : [X] r [X] r+1 asettamalla fa)=b A jokaisella A [X] r. Tehtävä 4 : 5 Käsitellään aluksi erikoistapaus, jossa ehto X 1 on voimassa. Tällöin pätee A 1. Toisaalta on 0 0) = 1 sekä 1 0) = 1, joten haluttu väite toteutuu. Voidaan 4

5 siis jatkossa olettaa ehdon olevan voimassa. Merkitään selkeyden vuoksi lukua kirjaimella m. Edellisen oletuksen nojalla väite 1 m 1 on tällöin tosi. Mekitään jatkossa kirjaimella V joukkoa { [X] r : r {0,..., m 1} } sekä vastaavasti kirjaimella W joukkoa { [X] r : r {m+1,...,} }. Tällöin joukko PX) on epätyhjien joukkojen V ja W sekä[x] m erillinen yhdiste. Jokaisella ehdon r < m toteuttavalla luvulla r N kuvaus f r : [X] r [X] r+1 olkoon sellainen, että jokaisella A [X] r on ehto A f r A) voimassa. Tällaisten kuvausten olemassaolo seuraa edellisen tehtävän ratkaisusta. Määritellään kuvaus f : V [X] m [X] m siten, että jokaisella A [X] m pätee fa)=aja että jokaisella A V pätee fa)= f f A A) ). Tällöin joukon V [X] m jokaisella jäsenellä A on kuvauksen f määrittelyssä vaadittu ehto fa) [X] m voimassa. Näytetään induktiolla luvun k N suhteen, että jos on k m ja jos joukon [X] m k jäsenet A ja B toteuttavat ehdon fa) = fb), niin myös ehto A = B on tosi. Alkuaskel onnistuu, sillä kuvaus f [X] m on injektio. Olkoon seuraavaksi luku k {0,..., m 1} sellainen, että jokaisella joukon[x] m k jäsenellä A ja B seuraa ehdosta fa)= fb) myös väitteen A=B olevan voimassa. Tällöin väite seuraa siitä, että kuvaus f m k+1) on injektio. Siten myös induktioaskel onnistuu. Osoitetaan seuraavaksi induktiolla, että jokaisella luvulla k N pätee, että jos on k m ja jos jollakin luvulla r {0,..., m k} on A [X] r ja B [X] r+k sekä fa) = fb), niin väite A B toteutuu. Nyt induktion alkuaskel seuraa suoraan edellisessä kappaleessa esitetystä todistuksesta. Oletetaan induktio-oletuksena luvun k {0,..., m 1} olevan sellainen, että jokaisella luvulla r {0,..., m k} sekä kaikilla A [X] r ja B [X] r+k seuraa ehdosta fa) = fb) väitteen A B olevan voimassa. Olkoot seuraavaksi luku r {0,..., m k+ 1)} ja joukot A [X] r sekä B [X] r+k+1) mielivaltaisia. Olkoon ehto fa)= fb) voimassa. Tällöin on r+1 {1,..., m k)} ja pätee fa)= f f r A) ) sekä f r A) [X] r+1 ja B [X] r+1)+k, jolloin induktio-oletuksen nojalla pätee f r A) B. Kuvauksesta f r tehdyn oletuksen nojalla saadaan edelleen tulos A f r A) B. Näin ollen induktio onnistuu. Kuvaus f A voidaan nyt osoittaa injektioksi. Olkoot joukon A V [X] m) 5

6 jäsenet A ja B sellaisia, että ehto fa)= fb) on voimassa. Edellisen todistuksen perusteella on A B tai B A. Kokoelman A jäsenet eivät sisällä toisiaan, joten väitteen A=B on oltava tosi. Siis kuvaus f A on injektio. Muodostetaan seuraavaksi kuvaus g m joukolle [X] m luvun parillisuuden mukaisesti. Jos luku on parillinen, niin kuvaus id [X] m valitaan kuvaukseksi g m. Muussa tapauksessa olkoon g m : [X] m+1 [X] m siten, että jokaisella A [X] m+1 pätee g m A) A. Tällainen kuvaus on olemassa tehtävän 4 nojalla, sillä jokaisella joukolla A [X] m+1 on voimassa ehto X\ A = A =m+1) m+1)=m<m+ 1 =. Luvun parillisuudesta riippumatta kuvaus g m on injektio sekä toteuttaa ehdon g m A) A jokaisella määrittelyjoukkonsa jäsenellä A. Lisäksi erityisesti kuvaus g m on määritelty jokaisella sellaisella joukolla X\ A, jolla on A [X] m. Määritellään nyt kuvaus g: W [X] m siten, että jokaisella jäsenellä A W on ehto ga) = g m X \ fx \ A) ) voimassa. Perustellaan kuvauksen määrittelyn olevan mielekäs. Olkoon joukko A W mielivaltainen. Tällöin on X\ A = A m+1) m, joten arvo fx\ A) on määritelty. Lisäksi tiedon fx\ A) =m perusteella arvo g m X \ fx \ A) ) on määritelty ja kuuluu joukkoon [X] m. Toisaalta myös väite X\ A fx\ A) pätee, jolloin saadaan lisäksi tulos ga)=g m X\ fx\ A) ) X\ fx\ A) A. Olkoot joukon A W jäsenet A ja B sellaisia, että ehto ga) = gb) toteutuu. Kuvaus g m on injektio, joten pätee X \ fx\ A)=X\ fx\ B). Tällöin edelleen väite fx\ A)= fx\ B) toteutuu. Kuvauksen f A injektiivisyyden nojalla väite A=B on tosi. Näin ollen myös kuvaus g on injektio. Määritellään vielä kuvaus h: A [X] m niin, että jokaisella A A V [X] m ) pätee ha)= fa) ja että jokaisella A A W pätee ha)=ga). Tällöin kuvaus h on injektio. Olkoot nimittäin kokoelman A jäsenet A ja B sellaisia, että ehto ha)=hb) toteutuu. Jos on{a,b} V [X] m tai{a,b} W, niin pätee A=B, sillä kuvaukset f A ja g A ovat injektioita. 6

7 Muita vaihtoehtoja ei kuitenkaan ole. Oletetaan vastaoletuksena, että ehdot A V [X] m ja B W ovat voimassa. Tapaus, jossa on B V [X] m ja A W, käsitellään vastaavasti. Nyt pätee A fa) sekä gb) B, jolloin oletuksesta ha) = hb) seuraa A B. Kokoelmasta A tehdyn oletuksen nojalla on A = B, mikä toisaalta johtaa ristiriitaan joukkojen V [X] m ja W erillisyyden kanssa. Kuvaus h on täten osoitettu injektioksi. Näin ollen väittämä A = fa) on voimassa. Edelleen pätee fa) [X] m, joten saadaan tulos A [X] m ) ) = =. m / Tehtävässä esitetty väite on näin ollen osoitettu todeksi. Tehtävä 4 : 6 Joukon P voidaan suoraan olettaa olevan äärellinen. Muussa tapauksessa valitaan tarkasteluun jokin sellainen joukon P osajoukko, jossa on rs + 1 alkiota. Oletetaan varsinaisen väitteen todistamiseksi vastaoletuksena, että parin P, ) jokaisessa ketjussa on korkeintaan r alkiota ja jokaisessa antiketjussa korkeintaan s alkiota. Nimittäin huomataan, että antiketjujen osajoukot ovat antiketjuja ja että ketjujen osajoukot ovat vastaavasti ketjuja. Dilworthin lauseen nojalla on olemassa sellaiset A P jak PP), että A on parin P, ) antiketju jak on joukon P ositus sen ketjuiksi ja että ehto A = K on voimassa. Vastaoletuksen nojalla saadaan ristiriitaisesti tulos rs+1 P = K = K A r=rs. K K K K Näin ollen parin P, ) jossakin ketjussa on vähintään r+ 1 alkiota tai jossakin antiketjussa vähintään s+1 alkiota. 7