TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

Transkriptio

1 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011

2 Sisällys

3 Sisällys

4 Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa voi olla tosi tai epätosi voi myös olla, ettemme tiedä onko se tosi vai epätosi (mutta tiedämme että se on jompaa kumpaa) esimerkkejä: Jyväskylässä on asukasta. Elvis elää. 2 > 3 Kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla a, b, c sekä kaikilla kokonaisluvuilla n > 2 pätee a n + b n = c n. Kaikki hevoset ovat valkoisia. Väitelauseita eivät ole esimerkiksi: Integroikaa! Onko 2 > 3?

5 Konnektiivit Väitelauseita voidaan yhdistellä uusiksi väitelauseiksi konnektiiveilla. Seuraavassa P ja Q edustavat mielivaltaisia väitelauseita. negaatio ( ei ) P on tosi jos (ja vain jos) P on epätosi konjunktio ( ja ) P Q on tosi jos (ja vain jos) sekä P että Q ovat tosia disjunktio ( tai ) P Q on tosi jos (ja vain jos) ainakin toinen P:stä ja Q:sta on tosi Jos molemmat ovat tosia, P Q on myös tosi! implikaatio ( jos niin ) P Q on tosi mikäli Q on tosi kun P on tosi Jos P on epätosi, P Q on tosi! Ei syy seuraussuhde! ekvivalenssi ( jos ja vain jos ) P Q tarkoittaa samaa kuin (P Q) (Q P)

6 Konnektiivien laskulakeja P Q Q P (1) P Q Q P (2) P (Q R) (P Q) R (3) P (Q R) (P Q) R (4) P (Q R) (P Q) (P R) (5) P (Q R) (P Q) (P R) (6) P Q P Q (7) (P Q) P Q (8) (P Q) P Q (9)

7 Kvanttorit Mikä on väitelauseen x < 3 totuusarvo? riippuu x:n arvosta x on tässä vapaa muuttuja väitelause x < 3 on avoin Vapaa muuttuja voidaan sitoa käyttäen kvanttoria. ( x)p kaikilla x pätee P ( x)p on olemassa x, jolla P pätee Näissä väitelauseissa x on sidottu muuttuja. Väitelause, jossa kaikki muuttujat on sidottu, on suljettu. ( x)(x < 3) ( x)(x < 3) ( x)( y)(x < y) Sulkeiden vähentämiseksi usein käytetään kaksoispistettä kvanttori(e)n jälkeen x y: x < y.

8 Huomioita kvanttoreista Kaikilla x myös naapurin Mustilla? Ei sentäs, asiayhteydestä pitää selvitä, mitkä kaikki kelpaa x:ksi. Voidaan myös eksplisiittisesti rajoittaa: x: x R x < 3 x: x R x < 3 tai kuten usein kirjoitetaan: x R: x < 3 x R: x < 3 Kvanttoreiden järjestyksellä on väliä! x Z : y Z : x 2 = y y Z : x Z : x 2 = y

9 Kvanttoreiden laskulakeja ( x: P) ( x: P) (10) ( x: P) ( x: P) (11)

10 Sisällys

11 Joukko Joukko on otus, johon liittyy alkioita seuraavasti: Väite x S ( x kuuluu S:ään ), missä x on alkio ja S on joukko, on joko tosi tai epätosi. x S (x S) Ekstensioperiaate: kaksi joukkoa ovat samat jos niihin kuuluvat täsmälleen samat alkiot: S = T ( x: x S x T) Kaikki joukot ovat myös alkioita (eli voivat siis kuulua joukkoihin). Jotkin joukot voidaan mainita luetteloimalla niiden alkiot aaltosulkeissa: Jos S = {0, 1}, niin 0 S ja 1 S, ja muille alkioille x pätee x S. Luettelossa ei ole väliä alkioiden järjestyksellä eikä sillä, kuinka monta kertaa alkio mainitaan luettelossa.

12 Komprehensio Merkintä { x P } tarkoittaa niiden alkioiden x joukkoa, joilla P on tosi. Esim. { x x Z x 0 } Lyhennysmerkintänä käytetään usein { x S P }, joka tarkoittaa samaa kuin { x x S P }. Usein viivan vasemmalla puolella on yhden muuttujan sijasta monimutkaisempi lauseke: { 2x x Z } parillisten kokonaislukujen joukko!

13 Tunnettuja joukkoja = { x x = x } on tyhjä joukko Z on kokonaislukujen joukko N = x Z x 0 } on luonnollisten lukujen joukko { q } Q = q, r Z r = 0 on rationaalilukujen r joukko R on reaalilukujen joukko

14 Osajoukot Joukko S on joukon T osajoukko, merkitään S T, jos jokainen S:ään kuuluva alkio kuuluu myös T:hen: S T x S: x T Huom! S = T S T T S Joukon S potenssijoukko P(S) on S:n osajoukkojen joukko: P(S) = { T T S }

15 Joukko-operaatioita yhdiste S T = { x x S x T } leikkaus S T = { x x S x T } erotus S T = S \ T = { x x S x T } tulo S T = { (x, y) x S y T } (x, y) on järjestetty joukko tuloa sanotaan myös karteesiseksi tuloksi

16 Joukko-opin ongelma Kysymys Määritellään S = { x x x } Onko S S tosi vai epätosi?

17 Joukko-opin ongelma Kysymys Määritellään S = { x x x } Onko S S tosi vai epätosi? Vastaus Ei kumpaakaan tai molempia. Se ei ole siis hyväksyttävä väitelause. Kommentti Tämä on Russellin paradoksi (1901), joka usein esitetään parturin ongelmana: Eräässä kylässä asuu miespuolinen parturi, joka on pyhästi luvannut ajaa kaikkien niiden kylässä asuvien miesten parran, jotka eivät itse aja omaa partaansa; ajaako hän oman partansa?

18 Tarkkana komprehension kanssa! Russellin paradoksi osoittaa, että komprehensiolla voi tehdä outoja juttuja. Nyrkkisääntö: jokaiselle komprehension sitomalle muuttujalle pitää löytyä jokin aiemmin määritelty joukko, josta muuttujan alkiot otetaan { x x x } rikkoo tätä mistä joukosta x otetaan? { x Z x 0 } on OK Aiemmin määriteltyjä joukkoja ovat (joukko-opin aksioomien mukaan) mm. lukujoukot N, Z, Q, R joukon potenssijoukko joukkojen yhdiste joukkojen tulo

19 Sisällys

20 Matemaattisen argumentin rakenne Määritelmä (nimen antaminen jollekin tarvittavalle käsitteelle) Lause Olkoon... (oletukset) 1 Tällöin... (väite) Todistus (argumentti sille, että väite seuraa oletuksista) 1 Käytännössä monet oletukset ovat implisiittisiä, ja ne vain pitää osata tunnistaa asiayhteydestä. Aloittelevan todistajan on hyvä kirjoittaa kaikki käytetyt oletukset näkyviin.

21 Suora todistus Määritelmä Kokonaisluku n Z on parillinen, jos 2 on olemassa kokonaisluku k Z, jolle pätee n = 2k. Lause Olkoon n ja m parillisia kokonaislukuja. Tällöin n + m on parillinen. 3 Todistus Koska n ja m ovat parillisia, on olemassa kokonaisluvut k ja l, joille pätee n = 2k ja m = 2l. Lasketaan: n + m = 2k + 2l = 2(k + l). Koska k + l on kokonaisluku, on n + m parillinen. 2 Määritelmissä jos tulkitaan ekvivalenssiksi. Tarkkaan ottaen pitäisi kirjoittaa jos ja vain jos, mutta niin ei ole tapana tehdä. 3 Tavallisesti tämä kirjoitettaisiin lyhyemmin: Parillisten kokonaislukujen summa on parillinen. Yllä käytetty muotoilu tuo oletuksen selkeämmin esiin.

22 Reductio ad absurdum (RAA) eli päättely ristiriidan kautta Suorassa todistuksessa edetään suorassa ketjussa oletuksesta väitteeseen. RAA-todistuksessa idea on osoittaa, että väitteen negaatiosta seuraa ristiriita.

23 Esimerkki RAA-todistuksesta Määritelmä Reaaliluku r R on rationaalinen eli rationaaliluku, jos on olemassa kokonaisluvut 4 p Z ja q Z +, joille pätee r = p/q. Lause Ei ole olemassa pienintä positiivista rationaalilukua. Todistus Taululla. 4 Z + = { n Z n > 0 }

24 Induktiotodistus Induktiotodistus soveltuu, jos väite voidaan esittää luonnollisten lukujen ominaisuutena P(n). Induktiotodistuksen rakenne: Perustapauksessa todistetaan väite P(0). Induktiotapauksessa todistetaan väite k N : P(k) P(k + 1) Todetaan, että induktioperiaatteen nojalla P(k) pätee kaikille k N.

25 Esimerkki induktiotodistuksesta Lause Olkoon n N. Tällöin pätee n i=0 i = n(n + 1). 2 Todistus Taululla.

26 Todistuksen tarkkuustasot Täsmällinen (formaali) Todistuksen kaikki vaiheet kirjoitetaan näkyviin niin, että sen oikeellisuus voidaan periaatteessa antaa tietokoneen tarkastettavaksi. Matemaatikon tarkkuus Oleelliset askeleet esitetään tarkasti, mutta yksityiskohtia jätetään pois, koska lukijan oletetaan kykenevän helposti ne täydentämään. Idea Todistuksen keskeinen idea esitetään, mutta oleellisia askeleita jätetään kokonaan käsittelemättä. Tätä ei vielä lasketa varsinaiseksi todistukseksi.

27 Sisällys

28 Ominaisuudet Joukossa oleva ominaisuus on jokin tekijä, joka jakaa joukon kahteen osaan: ne alkiot, joilla ominaisuus on, ja ne alkiot, joilla sitä ei ole. esimerkkejä parillisuus kokonaislukujoukossa negatiivisuus reaalilukujoukossa vasenkätisyys ihmisjoukossa Ominaisuus kirjoitetaan usein kaavoissa käyttäen funktionotaatiota P( ). Esim. x Z : P(x) y Z : x = 2y sanoo, että P( ) on kokonaislukujen parillisuusominaisuus Ominaisuuden ekstensio on niiden alkioiden joukko, joilla on kyseinen ominaisuus. käytännössä usein ominaisuus samastetaan ekstensioonsa, ts. sanotaan, että ominaisuus on joukon osajoukko

29 Relaatio Kahden tai useamman joukon välinen relaatio on kyseisten joukkojen tulon ominaisuus. Joukkojen järjestyksellä ja toistolla on merkitystä. Joukkojen lukumäärää sanotaan relaation paikkaluvuksi eli ariteetiksi. esimerkkejä kokonaislukujen ja positiivisten kokonaislukujen välinen jaollisuusrelaatio ihmisjoukon ja ihmisjoukon välinen avioliittorelaatio minkä tahansa joukon ja saman joukon välinen yhtäsuuruusrelaatio Kaksipaikkainen relaatio ilmaistaan usein infix-tyyliin, esim. yhtäsuuruusrelaatiolla 3 = 3.

30 Funktio eli kuvaus Funktio eli kuvaus yhdistää jokaiseen lähtöjoukkoon kuuluvaan alkioon yhden ja vain yhden arvojoukkoon kuuluvan alkion. Merkintä f : A B tarkoittaa, että f on funktio, jonka lähtöjoukko on A ja arvojoukko on B. Merkintä f : x e tarkoittaa, että f on funktio, joka kuvaa jokaisen lähtöjoukkoon kuuluvan x:n arvojoukkoon kuuluvaksi e:ksi. Merkintä f (x) tarkoittaa sitä arvojoukkoon kuuluvaa alkiota, johon funktio f yhdistää lähtöjoukkoon kuuluvan x:n. Joukko { (x, f (x)) x A } on funktion f : A B graafi. Esimerkki: Olkoon f : R R, x 2x. Tällöin f (5) = 10.

31 Injektio, surjektio ja bijektio Funktio f : A B on injektio, jos jokaiselle y B on enintään yksi x A, jolle pätee f (x) = y. surjektio, jos jokaiselle y B on vähintään yksi x A, jolle pätee f (x) = y. bijektio, jos jokaiselle y B on täsmälleen yksi x A, jolle pätee f (x) = y.

32 Sisällys

33 Joukon koko Määritelmiä 1. Jos joukolle S ja luvulle n N on olemassa joukko N N sekä bijektio f : N S siten, että väite i N: i < n i N (12) pätee, on n joukon S koko, merkitään S = n. HUOM! Kaava (12) sanoo, että N = {0,..., n 1}. 2. Jos joukolla on koko, se on äärellinen, muuten se on ääretön.

34 Esimerkki Väite { Olkoon S = π, } 2. Tällöin S = 2 Todistus

35 Esimerkki Väite { Olkoon S = π, } 2. Tällöin S = 2 Todistus Olkoon N = {0, 1}. Selvää on, että N täyttää ehdon (12). Olkoon nyt funktio f : N S sellainen, että f (0) = π ja f (1) = 2 pätevät. Selvästi f on bijektio, joten 2 on S:n koko.

36 Joukon mahtavuus Määritellään: Joukko A on enintään yhtä mahtava kuin joukko B, jos on olemassa injektio f : A B. A ja B ovat yhtä mahtavat, jos A on enintään yhtä mahtava kuin B ja B on enintään yhtä mahtava kuin A. Joukko A on mahtavampi kuin joukko B, jos B on enintään yhtä mahtava kuin A ja A sekä B eivät ole yhtä mahtavat. Kaksi äärellistä joukkoa ovat yhtä mahtavat, jos ja vain jos niillä on sama koko. Äärellinen joukko on mahtavampi kuin toinen äärellinen joukko, jos ja vain jos ensimmäisen joukon koko on suurempi kuin toisen joukon koko. Kaikki äärettömät joukot ovat mahtavampia kuin mikä tahansa äärellinen joukko.

37 Q ja N ovat yhtä mahtavat Todistetaan tämä taululla!

38 R on mahtavampi kuin N Todistetaan tämäkin taululla, tällä kertaa Cantorin diagonaalimenetelmällä.

39 Mahtavuuksista vielä Joukko, joka on enintään yhtä mahtava kuin N, on numeroituva. Joukko, joka on mahtavampi kuin N, on ylinumeroituva. Kuriositeetti: on mahdollista määritellä kardinaaliluvut: Jokaisella joukolla on kardinaaliluku. Joukoilla on sama kardinaaliluku jos ja vain jos ne ovat yhtä mahtavat. Jokainen luonnollinen luku on (äärellinen) kardinaaliluku. Lisäksi on äärettömiä (transfiniittisiä) kardinaalilukuja. Joukon N kardinaaliluku on ℵ 0 (alef-nolla). Jos oletamme ns. kontinuumihypoteesin, joukon R kardinaaliluku on ℵ 1.