missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

Transkriptio

1 Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja (P Q) ovat loogisesti ekvivalentit, siis että niillä on samat totuusarvot kaikilla atomilauseiden P ja Q totuusarvoyhdistelmillä. Menetelmä : Tehdään totuusarvotaulukko, jossa noille johdetuille lauseille saadaan identtiset totuusarvosarakkeet, tai muodostetaan noiden ekvivalenssilause ja osoitetaan se tautologiaksi. Menetelmä : Koetetaan muuntaa toinen lause siksi toiseksi käyttäen logiikan peruskaavoja (esim. de Morgan). Siis: (P Q) P ( ( Q)) P Q P Q, missä on myös käytetty monisteen kaavaa. Pistä perustelut kohdilleen!. Mitkä seuraavista ovat loogisesti ekvivalentteja lauseen P Q kanssa? a) (P Q) P, b) (P Q) Q, c) (P Q) E. Ratkaisu. Kaikki ovat ekvivalentteja! Voit tehdä totuusarvotaulukon, johon laitat kaikki esiintyvät lauseet ja verrata sarakkeita. Tai sitten oikein määritelmän mukaisesti: voit tehdä noista pareittain ekvivalenssilauseita ja todeta ne tautologioiksi. 3. Onko seuraava reaalilukuja koskeva päättely johdonmukainen: = tai = y. Jos = y, on = z. z. Siis =. Ratkaisu. Merkitään peruslauseita P := ( = ), Q := ( = y) ja R := ( = z). Premissit A k ja johtopäätös B ovat silloin: A := P Q A := Q R A 3 := R B := P Päättelyn (A A A 3 ) B totuusarvotaulukko: A A A 3 A A A 3 B (A A A 3 ) B P Q R P Q Q R R P T T T T T E E T T T T E T E T E T T T E T T T E E T T T E E T T T T T T E T T T T E E E T E T E T E T E E T E E T E T E E E T E E E E T T E E T Päättely on johdonmukainen, koska päättelylause on tautologia.

2 4. Onko seuraava päättely johdonmukainen: Happamuusindikaattori fenolftaleiini värjäytyy punaiseksi tai ei värjäydy lainkaan. Jos fenolftaleiini värjäytyy punaiseksi, neste on emäs. Siispä: Jos fenolftaleiini ei värjäydy, neste ei ole emäs. Ratkaisu. Merkitään peruslauseita P := Fenolftaleiini värjäytyy punaiseksi. Q := Fenolftaleiini ei värjäydy. R := Neste on emäs. Premissit A k ja johtopäätös B ovat silloin: A := P Q A := P R B := Q R Päättelyn (A A ) B totuusarvotaulukko: A A A A B (A A ) B P Q R R P Q P R Q Q T T T E T T T E E T T E T T E E T T T E T E T T T T T T E E T T E E T T E T T E T T T E E E T E T T T T T T E E T E E T T T T E E E T E T T T T Päättely ei ole johdonmukainen, koska päättelylause ei ole tautologia. 5. Olkoon A suljettu väli [, 4] ja B avoin väli ], [. Olkoon P joukossa A määritelty lausefunktio P () := ( 3 + > ). Olkoon Q joukossa B määritelty lausefunktio Q(y) := (y y ). Esitä piirroksen avulla ne joukot, joissa ovat tosia a) P () Q(y), b) P () Q(y), c) P () Q(y), d) P () Q(y). Ratkaisu. Ratkaistaan epäyhtälöitä vastaavat yhtälöt: 3 + = = =, y y = = =. Ottamalla huomioon, että ne ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja päätellään, että lause P () on tosi välin [, ] ulkopuolella ja Q(y) on tosi välillä [, ]. Ajatellaan aluksi ilman rajoitusta joukkoihin A ja B. Seuraavat kuviot näyttävät mille pareille (, y) tasossa on totta P () ja mille Q(y): - P() tosi pisteissä (, y) Q(y) tosi pisteissä (, y)

3 Ajatellaan joukko A koordinaatistoon vaaka-akselille ja B pystyakselille ja rajoitetaan tarkastelu suorakulmioon A B = [, 4] ], [. Seuraavissa kuvissa tuon suorakulmion sisälle jäävät viivoitetut alueet ovat lauseiden ratkaisujoukot, ts. niissä lauseet ovat tosia: Muodosta joukossa R R määritellystä lausefunktioista P (, y) := ( y = ) kvanttoreita käyttäen lauseet kaikilla mahdollisilla tavoilla ja selvitä niiden totuusarvot. Ratkaisu. Jos muuttujat pidetään annetussa järjestyksessä, on 4 erilaista tapausta. Jos myös käänteinen järjetys tarkastellaan, kuten tavallista on, erilaisia on periaatteessa 8 kpl. Kuitenkin tapaukset y ja y ovat samanarvoisia, samoin tapaukset y ja y. R, y R: y = ; epätosi, sillä esimerkiksi P (, ) = ( ); siis vastaesimerkillä! R, y R: y = ; epätosi, sillä esimerkiksi P (, y) = ( y ); tämä voitaisiin todeta osoittamalla sen negaatio todeksi, näinhän oikeastaan tehtiinkin löytämällä arvo = niin ettei y mahda mitään... R, y R: y = ; epätosi, sillä sen negaatio on tosi; kutakin R vastaa esimerkiksi y :=, joille P (, ) = ( = ). esimerkiksi P (, y) = ( y ). R, y R: y = ; tosi, sillä esimerkiksi P (, ) = ( = ). y R, R: y = ; tosi; mielivaltaista y R kohti luku := y + on sellainen, että P ( y +, y) = ( y + y = ). y R, R: y = ; epätosi, sillä sen negaatio on tosi; kutakin y R vastaa esimerkiksi := y, joille P (y, y) = (y y = ). 3

4 7. Osoita: ε >, n ε N: n > n ε 8 < ε, n+ toisin sanoen: Osoita, että valittiinpa ε > kuinka pieneksi hyvänsä, aina on olemassa luonnollinen luku n ε, jota suuremmilla n N pätee 8 n+ < ε. Ratkaisu. Ratkaistaan epäyhtälö aluksi reaalisena (voidaan olettaa ): 8 + < ε + > 8 ε > 8 ε, mikä on reaaliluku. Valitaan sellainen n ε N, että n ε 8 (ainahan voidaan valita ε annettua reaalilukua suurempi luonnollinen luku, vaikkapa luvun kokonaisosa +). Epäyhtälö pätee nyt kaikilla lukua n ε N suuremmilla luonnollisilla luvuilla, siis 8 n+ < ε kaikilla n > n ε. 8. Jatkuvuuden negaatio: siis mitä tarkoittaa olla epäjatkuva? Reaalifunktion jatkuvuus tietyssä pisteessä määritellään seuraavasti: Olkoon reaalifunktio f määritelty avoimella välillä I := ]a, b[, joka sisältää luvun R. Funktio f on jatkuva pisteessä, jos ε >, δ ε >, R : I < δ ε f() f( ) < ε. Miten ilmaistaan se, että f ei ole jatkuva pisteessä? Ratkaisu. Tehtävässä olevassa tilanteessa funktio f ei ole jatkuva pisteessä, jos on totta ( ε >, δ ε >, R : I < δ ε f() f( ) < ε) eli ε >, δ ε >, R : I < δ ε f() f( ) ε Mitäkö se on? Funktion kaikki arvot f() eivät lähesty rajatta arvoa f( ), vaikka lähestyisikin lukua ; on siis olemassa sellainen raja ε >, että funktion arvoja jää välin [f( ) ε, f( )+ε] ulkopuolelle oltiinpa vaikka kuinka lähellä pistettä, siis vaikka kuinka pienellä välillä ] δ, +δ[. Lyhyesti: On olemassa raja ε > niin, että jokaiselta -keskiseltä väliltä löytyy jokin luku I, jossa funktion arvo on ainakin ε:n etäisyydellä luvusta f( ). 9. Olkoot A := {a, b}, B := {c} ja C := {a, c, d}. a) Muodosta A C, C A ja A B C. b) Määritä kaikki sellaiset joukot D, joille C D ja D C. Ratkaisu. a) A C = {a, b} {a, c, d} = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d)} C A = {a, c, d} {a, b} = {(a, a), (a, b), (c, a), (c, b), (d, a), (d, b)} A B C = {a, b} {c} {a, c, d} = {(a, c, a), (a, c, c), (a, c, d), (b, c, a), (b, c, c), (b, c, d)} b) Itse asiassa voidaan todistaa ihan yleisesti: Lause. Jos A ja B ovat epätyhjiä joukkoja, niin A B = B A jos ja vain jos A = B. Todistus. Jos ja vain jos -lause voidaan todistaa osoittamalla seuraamukset molempiin suuntiin (kerralla tai) erikseen: ) Jos A = B, on tietysti A B = B A. ) Oletetaan, että A B = B A. Huomaa, että oletimme joukot A ja B epätyhjiksi, jolloin tulojoukotkin ovat epätyhjiä. 4

5 Antiteesi: A B. Silloin joukossa A on joku alkio, joka ei ole joukossa B tai joukossa B on joku alkio, joka ei ole joukossa A. Todistetaan näytteeksi edellinen tapaus: Olkoon a A alkio, joka ei ole joukossa B. Koska B, valitaan sieltä yksi alkio b. Äskeisen oletuksen mukaan se ei voi olla a. Nyt pari (a, b) A B, mutta (a, b) / B A, koska a / B. Siis olisikin A B B A. Tämä on ristiriita oletuksemme kanssa, joten antiteesi ei voi olla totta, eli ei voi olla olematta A = B. Jos A B tapahtuu niin, että joukossa B on joku alkio, joka ei ole joukossa A, toimitaan vastaavalla tavalla (tai sovelletaan yllä olevaa käänteisrelaatioihin... ). Olkoot B k := [k, k+] suljettuja välejä kaikilla k N. Laske joukot a) ( n ) B k n= k= b) ( n B k ). n= k= Ratkaisu. Nyt B = [, ], B = [, 3],..., B n = [n, n+],..., joten n B k = [, ] [, 3] [n, n+] = [, n+], k= ja tämä jono on laajeneva jono sisäkkäisiä joukkoja, kun n kasvaa. Näiden kaikkien leikkaus on siten B = [, ]. Leikkausjoukkojen jono on B = [, ], B B = {} ja muut tyhjiä. Siis (sattumoisin) näiden kaikkien yhdiste on B (B B ) = [, ]. Siis: ( n ) B k = [, ] = n= k= ( n B k ).. Olkoon A perusjoukon X aito epätyhjä osajoukko. Määritellään relaatio n= k= Ry ( A = y) ( A y A). Osoita, että R on ekvivalenssi, mutta ei osittainen järjestys joukossa X. Ratkaisu. Selvästikin ehto on sellainen, että se määrää tarkasti jokaisen parin, y X relaatiossaolon, joten R X X. Ehto suomeksi: kaikki joukon A ulkopuoliset alkiot ovat relaatiossa vain itsensä kanssa, mutta joukon A alkiot kaikki keskenään. Tarkastetaan refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus. Merkitään ehtoja lyhyesti P (, y) := A = y, Q(, y) := A y A, jolloin Ry P (, y) Q(, y). E) Olkoon X mielivaltainen. Silloin A tai A, ja tarkasteltuina erikseen: ) Jos A, niin Q(, ) on tosi ja siis R. ) Jos A, niin P (, ) on tosi ja siis R. E) Olkoot, y X ja Ry. On taas kaksi mahdollisuutta: ) Jos toteutuu P (, y), niin A = y. Mutta silloin myös y A y = eli P (y, ). ) Jos toteutuu Q(, y), niin A y A. Mutta silloin y A A eli Q(y, ). 5

6 Siis joka tapauksessa P (y, ) Q(y, ) ja siten yr. E3) Olkoot, y, z X sekä Ry ja yrz. Koska Ry, on P (, y) tai Q(, y) tosi. ) Jos P (, y), niin A = y, joten y A. Koska yrz, on P (y, z) tai Q(y, z), joista edellisen nojalla käy vain P (y, z), ja siten = y = z. Näin ollen A = z eli P (, z), ja nyt Rz. ) Jos Q(, y), niin A y A. Koska yrz ja y A, on ainoa mahdollisuus Q(y, z), joten z A. Siis A z A eli Q(, z), ja nytkin Rz. Relaatio on siis ekvivalenssi, ekvivalenssiluokkia ovat A ja kukin yksiö {}, kun A. Relaatio ei ole yleensä osittainen järjestys. Se ei nimittäin ole antisymmetrinen, jos A on vähintäin kahden alkion joukko: Jos X := {,, 3} ja A := {, }, niin R ja R.. Olkoon f : A B injektio. Oletetaan, että joukossa B on osittainen järjestys, eli että pari (B, ) on osittain järjestetty joukko. Osoita, että joukossa A määritelty relaatio R: Ry f() f(y) on osittainen järjestys. Tämä osoittaa, että injektiossa maalijoukon järjestys indusoi järjestyksen lähtöjoukkoon. Ratkaisu. Määrittelynsä nojalla R on todella relaatio joukossa A eli R A A. J) Refleksiivisyys. Jokaiselle A on R, koska joukossa B on refleksiivinen: f() f(). J) Antisymmetrisyys. Oletetaan, että Ry ja yr. Silloin f() f(y) ja f(y) f(). Koska on antisymmetrinen, seuraa f() = f(y). Koska f on oletuksen mukaan injektio, on oltava = y. J3) Transitiivisuus. Oletetaan, että Ry ja yrz. Silloin f() f(y) ja f(y) f(z). Relaation transitiivisuuden nojalla f() f(z). Relaation R määrittelyn nojalla on Rz. Kohtien J-3) perusteella R on osittainen järjestys. 3. Todista, että pienintä alkiota ei voi olla, jos on kaksi minimaalista alkiota. Ratkaisu. Olkoon (X, ) osittain järjestetty joukko. Oletetaan, että minimaalisia on kaksi (tai enemmän), olkoot minimaalisia kaksi eri alkiota a, b X. Jotta alkio X olisi pienin, sen on oltava relaatiossa kaikkien alkioiden kanssa, siis myös alkioiden a ja b kanssa. Koska a ja a on minimaalinen, on oltava = a. Samalla tavoin olisi = b. Mutta tämä on mahdotonta, koska oli oletettu a b. Siis ei voi olla pienintä alkiota. Lisäkysymys: Onko totta, että jos osittain järjestetyssä joukossa on vain yksi maksimaalinen alkio, se on myös suurin? Vihje: Ajattele äärettömiäkin joukkoja! 6