Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Transkriptio

1 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy /197

2 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava päätellä, onko se tietyn joukon alkio vai ei. Esimerkki 1 Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. JYM, Syksy /197

3 Joukko ja alkio Määritelmä Jos a on joukon A alkio, sanotaan, että a kuuluu joukkoon A, ja merkitään a A. Jos a ei ole joukon A alkio, sanotaan, että a ei kuulu joukkoon A, ja merkitään a A. Esimerkki 2 2 N, 3 N, 3 Z, 6 7 Z. JYM, Syksy /197

4 Joukkojen määritteleminen Joukkoja voidaan määritellä eri tavoin: Luettelemalla joukon alkiot, jos joukko on pieni tai selkeästi ymmärrettävä: kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: parilliset kokonaisluvut: { 2, 1, 0, 1, 2} {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} JYM, Syksy /197

5 Joukkojen määritteleminen Ehdon avulla, jolloin merkintä on muotoa {alkioiden tyyppi ehto, joka alkioilta vaaditaan}. kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: { z Z : z 2 } parilliset kokonaisluvut: { m Z m = 2n missä n Z } JYM, Syksy /197

6 Joukkojen määritteleminen Vakiintuneiden symbolien avulla kuten esimerkiksi tyhjä joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. Sitä merkitään joskus { }. rationaalilukujen joukko Q = { m/n m, n Z ja n 0 }. reaalilukujen joukko R (lukusuoran luvut, ks. Analyysi I). kompleksilukujen joukko C (opiskellaan tällä kurssilla). avoin väli ]a, b[ = { x R a < x < b }. suljettu väli [a, b] = { x R a x b } Kuvassa suljettu väli [0, 1], avoin väli ]2, 3[ ja puoliavoin väli [4, 5[. JYM, Syksy /197

7 Joukko Esimerkki 3 Toinen alla olevista joukoista ei täytä joukon määritelmää. Kumpi? Miksi? A = { n N n on alkuluku } B = { x R x 2 B } Havaitaan, että ei voida päätellä, päteekö esimerkiksi 2 B. Se nimittäin riippuu siitä, päteekö 4 = 2 2 B, mikä taas riippuu siitä, päteekö 4 2 B... Toisaalta ei voida myöskään päätellä, päteekö esimerkiksi 1 B. Se nimittäin riippuu siitä, päteekö 1 2 B eli 1 B. JYM, Syksy /197

8 Näin ollen B ei täytä joukon määritelmän vaatimuksia. Se ei siis ole joukko. Tämä esimerkki muistuttaa Selvillan parturi -paradoksia, joka on yksi havainnollistus Russellin paradoksista. Periaatteessa on mahdollista tutkia, onko jokin luonnollinen luku alkuluku (jos luku on hyvin iso, voi vastauksen saaminen kestää kauan mutta se ei haittaa). Näin ollen A täyttää joukon määritelmän vaatimukset ja on joukko. JYM, Syksy /197

9 Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x A, jos ja vain jos x B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. Esimerkki 4 Mitkä seuraavista joukoista ovat samoja? { x Z 3 < x < 1} {0, 2, 1} { 2, 1, 0} {0, 1, 0, 1, 2, 1} JYM, Syksy /197

10 Alkioiden luettelujärjestyksellä ei ole merkitystä. Saman alkion toistaminen luettelossa useaan kertaan ei sekään muuta joukkoa. Näin ollen kaikki esimerkin joukot ovat samoja: { x Z 3 < x < 1} = {0, 2, 1} = { 2, 1, 0} = {0, 1, 0, 1, 2, 1}. JYM, Syksy /197

11 Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x A pätee myös x B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A B. Merkintä A B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. Esimerkki 5 {6, 9, 11} Q, N R, { 3, 0, 3} N. JYM, Syksy /197

12 Osajoukko Esimerkki 6 Olkoon C = {2, 3, {1}, {4, 2}}. (a) Luettele joukon C alkiot. Alkiot ovat luku 2 luku 3 joukko {1} eli ykkösen ns. yksiö joukko {4, 2} eli lukujen 4 ja 2 ns. kaksio. JYM, Syksy /197

13 (b) Mitkä seuraavista joukoista ovat joukon C osajoukkoja? {2, 3} {1} {{1}, 3} {4, 2, {1}} {3} {{4, 2}} {3, 2, {4, 2}, {1}}. JYM, Syksy /197

14 Perustellaan kaikki kohdat huolellisesti: {2, 3} C, sillä 2 C ja 3 C. {1} C, sillä 1 C. {{1}, 3} C, sillä {1} C ja 3 C. {4, 2, {1}} C, sillä 4 C. C, sillä joukossa ei ole yhtään alkiota, joka ei kuuluisi joukkoon C. {3} C, sillä 3 C. {{4, 2}} C, sillä {4, 2} C. {3, 2, {4, 2}, {1}} C, sillä 3 C, 2 C, {2, 4} C ja {1} C. JYM, Syksy /197

15 Osajoukko Esimerkki 7 Perustele, että (a) {0, 1} { x R x 4 5x 3 x 2 + 5x = 0 }. (b) { x R : sin 3x = x } { x R : (sin 3x x) cos 4x = 0 }. (c) {1, 2} { x Z x 2 x = 0 }. (d) tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko. JYM, Syksy /197

16 (a) Merkitään A = { x R x 4 5x 3 x 2 + 5x = 0 }. Havaitaan, että molemmat luvut 0 ja 1 toteuttavat joukon A ehdon: = = = = 0. Siten 0 A ja 1 A. Siis {0, 1} A. JYM, Syksy /197

17 (b) Merkitään B = { x R : sin 3x = x } C = { x R : (sin 3x x) cos 4x = 0 }. Oletetaan, että b B (eli kuvitellaan, että b B). Tällöin voidaan päätellä, että b R, ja sin 3b = b eli sin 3b b = 0. Havaitaan, että b toteuttaa joukon C ehdon: Siis b C. (sin 3b b) cos 4b = 0 cos 4b = 0. Edellä tehty päättely toimii mille tahansa joukon B alkiolle. Siten B C. JYM, Syksy /197

18 (c) Havaitaan, että 2 {1, 2} mutta 2 { x Z x 2 x = 0 }. Tämä johtuu siitä, että = 4 2 = 2 0. Siis {1, 2} { x Z x 2 x = 0 }. JYM, Syksy /197

19 (d) Oletetaan, että D on joukko. Tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, joka ei kuuluisi joukkoon D. Siis D. JYM, Syksy /197

20 Yhdiste, leikkaus ja erotus Määritelmä Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A B = { x x A tai x B }, leikkaus on joukko A B = { x x A ja x B }, erotus on joukko A B = { x x A ja x B }. Huom. Matematiikan tai ei ole poissulkeva; yhdisteen A B muodostavat kaikki alkiot, jotka kuuluvat ainakin toiseen joukoista A ja B. Merkintä A B luetaan A pois B. JYM, Syksy /197

21 Yhdiste, leikkaus ja erotus Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. Vennin kaavioiden avulla: A B A B A B A \ B Kuvassa tummennettuna mainitut joukot. JYM, Syksy /197

22 Esimerkki 8 Yhdiste, leikkaus ja erotus Olkoon A = {0, 2, 4} ja B = {1, 2, 3}. Määritä A B, A B, A B ja B A. Yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen määritelmiä käyttämällä saadaan A B = {0, 1, 2, 3, 4} = { n N n 4}, A B = {2} (ns. kakkosen yksiö), A B = {0, 4} B A = {1, 3}. JYM, Syksy /197

23 Luonnolliset luvut Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla: Luonnollisten lukujen joukko N tarkoittaa joukkoa, jolla on seuraavat ominaisuudet: 1. 0 on luonnollinen luku; ts. 0 N. 2. Jokaista luonnollista lukua n kohti on olemassa täsmälleen yksi luonnollinen luku s(n), jota sanotaan luvun n seuraajaksi ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja; ts. 0 s(n) kaikilla n N. 4. Eri luvuilla on eri seuraajat; ts. jos m n, niin s(m) s(n). 5. (Induktioaksiooma) Oletetaan, että A N ja 0 A, jos n A, niin s(n) A. Tällöin A = N. JYM, Syksy /197

24 Induktiotodistus Induktioaksioomasta saadaan I induktioperiaate, jonka avulla voidaan todistaa väitteitä, jotka ovat muotoa Todistukset vaiheet: kaikille luonnollisille luvuille n pätee asia P. 1. Alkuaskel: Osoitetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k. Näytetään, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella asia P pätee kaikille luonnollisille luvuille. JYM, Syksy /197

25 Induktiotodistus Esimerkki 9 Osoita induktiolla, että n = n(n + 1) kaikilla n N. Huom. yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa summamerkin avulla: n n = 2k. k=0 JYM, Syksy /197

26 1. Alkuaskel: Luvun 0 tapauksessa yhtälön vasen puoli on 0 ja yhtälön oikea puoli on 0 1 = 0. Siis yhtälö pätee. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k N ja k = k(k + 1). Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2). JYM, Syksy /197

27 Induktioväitteen todistus: Muokataan induktioväitteen yhtälön vasenta puolta induktio-oletusta käyttäen k + 2(k + 1) (IO) = k(k + 1) + 2(k + 1) = k 2 + k + 2k + 2 = k 2 + 3k + 2. Kohdassa (IO) käytettiin induktio-oletusta. Muokataan induktioväitteen yhtälön oikeaa puolta: (k + 1)(k + 2) = k 2 + 2k + k + 2 = k 2 + 3k + 2. Havaitaan, että induktioväitteen yhtälön vasen ja oikea puoli ovat samat, joten yhtälö pätee. JYM, Syksy /197

28 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella yhtälö pätee kaikilla n N n = n(n + 1) Huom. Induktioväitteen yhtälö voidaan todistaa myös yhtälöketjun avulla: k + 2(k + 1) (IO) = k(k + 1) + 2(k + 1) ( ) = (k + 1)(k + 2). Kohdassa (IO) käytetään induktio-oletusta ja kohdassa ( ) otetaan yhteinen tekijä (k + 1). JYM, Syksy /197

29 Kokonaislukujen jaollisuus Määritelmä Sanotaan, että kokonaisluku z on jaollinen kokonaisluvulla a, jos on olemassa b Z, jolla z = ab. Tällöin merkitään a z ja sanotaan, että luku a jakaa luvun z. Jos luku z ei ole jaollinen luvulla a, merkitään a z. Esimerkki 10 Osoita induktiolla, että luku 5 2n 3 n on jaollinen luvulla 11 kaikilla n N. JYM, Syksy /197

30 1. Alkuaskel: Havaitaan, että = 1 1 = 0 = 11 0, missä 0 Z. Siis luku on jaollinen luvulla Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k N ja luku 5 2k 3 k on jaollinen luvulla 11. Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että myös luku 5 2(k+1) 3 k+1 on jaollinen luvulla 11. JYM, Syksy /197

31 Induktioväitteen todistus: Muokataan tarkasteltavaa lukua potenssisääntöjen avulla 5 2(k+1) 3 k+1 = 5 2k+2 3 k+1 = 5 2k k 3 = k 3 3 k. Induktio-oletuksesta seuraa, että 5 2k 3 k = 11b, missä b Z. Tästä saadaan ratkaistua 5 2k = 11b + 3 k. JYM, Syksy /197

32 Sijoittamalla saadaan 5 2(k+1) 3 k+1 = k 3 3 k = 25 (11b + 3 k ) 3 3 k = 25 11b k 3 3 k = 11 25b + (25 3) 3 k = 11 25b k = 11 (25b k ), missä 25b k Z. Siis luku 5 2(k+1) 3 k+1 on jaollinen luvulla 11. JYM, Syksy /197

33 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella luku 5 2n 3 n on jaollinen luvulla 11 kaikilla n N. JYM, Syksy /197

34 Induktiotodistus Induktiotodistus voidaan aloittaa luvun 0 sijaan myös luonnollisesta luvusta m > 0: Esimerkki 11 Osoita induktiolla, että 3 n > n 3 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 4. JYM, Syksy /197

35 1. Alkuaskel: Havaitaan, että 3 4 = 81 ja 4 3 = 64, joten 3 4 > 4 3. Siis väitetty epäyhtälö pätee luvun 4 tapauksessa. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että luonnolliselle luvulle k pätee k 4 ja 3 k > k 3. Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että myös 3 k+1 > (k + 1) 3. JYM, Syksy /197

36 Induktioväitteen todistus: Kertomalla induktio-oletuksen epäyhtälöä puolittain luvulla 3 saadaan uusi epäyhtälö 3 3 k > 3k 3, joka voidaan kirjoittaa myös muotoon 3 k+1 > k 3 + k 3 + k 3. (1) Arvioidaan epäyhtälön (1) oikeaa puolta varovasti alaspäin käyttäen toistuvasti oletusta k 4: 3 k+1 > k 3 + k 3 + k 3 = k 3 + k k 2 + k 2 k > k 3 + 3k 2 + 4k = k 3 + 3k 2 + 3k + k > k 3 + 3k 2 + 3k + 1 = (k + 1) 3. JYM, Syksy /197

37 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella 3 n > n 3 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 4. JYM, Syksy /197

38 Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 5. Todistus : 5 N 5 N tosi. JYM, Syksy /197

39 Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 7 9 Z. Todistus : 7 9 Z kahden kokonaisluvun tulo on kokonaisluku, joten Z 7 Z tosi. JYM, Syksy /197

40 Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 3 = 4. Todistus : 3 = = = 0 tosi. JYM, Syksy /197

41 Selitys Kaikissa päättelyissä on sama vika: Päättelyn suunta on väärä! Väite oli edellä päättelyn lähtökohta, vaikka sen pitäisi olla päättelyn johtopäätös! Epätodestakin väitteestä voidaan päätellä jokin tosiasia, kuten edellä nähtiin. Väitteen ottaminen päättelyn lähtökohdaksi ei siten todista mitään. JYM, Syksy /197

42 Osajoukoksi osoittaminen ja vastaesimerkin käyttö Esimerkki 12 (a) Osoita, että (A B) B A kaikilla joukoilla A ja B. (b) Pitääkö paikkansa, että (A B) B = A kaikilla joukoilla A ja B? Huom. Väite X Y saadaan todistettua päättelemällä, että mille tahansa x X pätee x Y. Voit osoittaa vastaesimerkin avulla, että jonkin asia ei päde yleisesti. JYM, Syksy /197

43 Osajoukoksi osoittaminen (a) Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: (A B) B A. Todistus. Oletetaan, että a (A B) B. Tällöin a A B ja a B (erotuksen määritelmä). Koska a A B, niin a A tai a B (yhdisteen määritelmä). Tarkastellaan tapaukset: Oletetaan, että a A. Tällöin a A eikä enempää tarvitse päätellä. Oletetaan, että a B. Toisaalta alussa pääteltiin, että a B. Tämä vaihtoehto ei siten ole mahdollinen. Siis a A. Tämä päättely voidaan tehdä mille tahansa joukon (A B) B alkiolle, joten jokainen joukon (A B) B alkio kuuluu joukkoon A. JYM, Syksy /197

44 Vastaesimerkin käyttö (b) Väite: (A B) B = A kaikilla joukoilla A ja B. Vastaesimerkki: Valitaan vaikkapa A = {1, 2} ja B = {2, 3}. Tällöin (A B) B = {1, 2, 3} {2, 3} = {1}. Siten (A B) B A. Näin ollen väite ei pidä paikkaansa. Huom. Väite saattaa kuitenkin päteä jossain erityistapauksessa, esimerkiksi jos B =. JYM, Syksy /197

45 Joukkojen osoittaminen samaksi Esimerkki 13 Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. (a) Tutki Vennin kaavioiden avulla, kumpi seuraavista yhtälöistä näyttäisi pätevän yleisesti: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C). (b) Osoita, että toinen yhtälöistä pätee yleisesti. (c) Osoita, että toinen yhtälöistä ei aina päde. JYM, Syksy /197

46 Joukkojen osoittaminen samaksi Huom. Väite X = Y saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin; ts. päättelemällä, että mille tahansa x X pätee x Y, ja päättelemällä, että mille tahansa y Y pätee y X. JYM, Syksy /197

47 (a) Vennin kaaviot: C C A B A B Joukot B C ja A (B C). JYM, Syksy /197

48 C C A B A B Joukot A B ja (A B) C. JYM, Syksy /197

49 Näyttää siltä, että A (B C) (A B) C: C C A B A B JYM, Syksy /197

50 C C C A B A B A B Joukot A B, A C ja (A B) (A C). JYM, Syksy /197

51 Näyttää siltä, että A (B C) = (A B) (A C): C C A B A B JYM, Syksy /197

52 (b) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Todistus. Väite: A (B C) = (A B) (A C). : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x A tai x B C (yhdisteen määritelmä). Tarkastellaan tapaukset: Oletetaan, että x A. Tällöin x A B ja x A C. Siis x (A B) (A C). Oletetaan, että x B C. Tällöin x B ja x C (leikkauksen määritelmä). Koska x B, niin x A B. Toisaalta koska x C, niin x A C. Näin ollen x (A B) (A C). Tämä päättely pätee mille tahansa joukon A (B C) alkiolle, joten mikä tahansa joukon A (B C) alkio kuuluu joukkoon (A B) (A C). JYM, Syksy /197

53 : Oletetaan, että x (A B) (A C). Tällöin x A B ja x A C (leikkauksen määritelmä). Ettei päättely menisi liian sekavaksi, ajatellaan seuraavasti: Joka tapauksessa pätee joko x A tai x A. Tutkitaan nämä vaihtoehdot erikseen. Oletetaan, että x A. Tällöin x A (B C) (yhdisteen määritelmä). Oletetaan, että x A. Koska kuitenkin x A B, voidaan päätellä, että x B. Vastaavasti koska kuitenkin x A C, niin x C. Siis x B ja x C, joten x B C. Näin x A (B C) (yhdisteen määritelmä). Tämä päättely pätee mille tahansa joukon (A B) (A C) alkiolle, joten mikä tahansa joukon (A B) (A C) alkio kuuluu joukkoon A (B C). JYM, Syksy /197

54 (c) Osoitetaan, että yhtälö A (B C) = (A B) C ei aina päde. Huom. Laaditaan vastaesimerkki: Valitaan vaikkapa A = {1, 2}, B = {2, 3} ja C = {1, 3}. Tällöin A (B C) = {1, 2} {3} = {1, 2, 3} ja (A B) C = {1, 2, 3} {1, 3} = {1, 3} Siten A (B C) (A B) C. Yhtälö saattaa kuitenkin päteä jossain erityistapauksessa, esimerkiksi jos A = B = C. JYM, Syksy /197

55 Perusjoukko ja komplementti Usein tarkastellaan jonkin tietyn joukon eri osajoukkoja ja alkioita. Tätä joukkoa, jonka osajoukkoja ja alkoita tutkitaan, sanotaan perusjoukoksi. Määritelmä Olkoon X tarkasteltava perusjoukko. Joukon A X komplementti on joukko A = { x X x A }. Huom. Toisin sanottuna A = X A. Joukon A komplementille käytetään myös merkintää A c. JYM, Syksy /197

56 Perusjoukko ja komplementti Havainnollistuksia: A A A B (A B) JYM, Syksy /197

57 Esimerkki 14 Perusjoukko ja komplementti Tarkastellaan joukon N osajoukkoja A = {0, 1, 2, 3} ja B = { n N n = 2k missä k N }. Määritä A ja B. Havaitaan, että A = {4, 5, 6, 7,...} = { n N n 4 } B = {1, 3, 5, 7,...} = { m N m = 2k + 1 missä k N }. Huom. Joukko B on parillisten luonnollisten lukujen joukko ja sen komplementti B on parittomien luonnollisten lukujen joukko. JYM, Syksy /197

58 de Morganin lait Lause 15 (de Morganin lait) Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Tällöin (A B) = A B ja (A B) = A B. Huom. Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /197

59 de Morganin lait Ensimmäisen de Morganin lain perustelu: Väite: (A B) = A B. Todistus. : Oletetaan, että x (A B). Tällöin x X ja x A B (komplementin määritelmä). Koska x A B, niin x A. Vastaavasti koska x A B, niin x B. Koska x X ja x A, niin x A. Toisaalta x X ja x B, joten x B. Näin x A ja x B, joten x A B. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A ja x B (leikkauksen määritelmä). Näin ollen x X ja x A ja x B (komplementin määritelmä). Koska x A ja x B, niin x A B. Näin x X ja x A B, mikä tarkoittaa, että x (A B). JYM, Syksy /197

60 Jos..., niin... -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 16 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että jos A B, niin A B = B. Huom. Väite muotoa jos P, niin Q voidaan osoittaa todeksi seuraavasti: - Oletetaan, että P pätee. - Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että myös Q pätee. Kysymyksessä on yksi erikoistapaus ns. suorasta todistuksesta. JYM, Syksy /197

61 Oletus: A ja B ovat joukkoja. Väite: jos A B, niin A B = B. Perustelu: Oletetaan, että väitteen jos... -osa pätee eli A B. Yritetään osoittaa, että väitteen niin... -osa pitää paikkansa. Koska kysymyksessä on joukkojen identtisyys, osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A tai x B (yhdisteen määritelmä). Tapaukset: Oletetaan, että x A. Lisäksi alun oletuksen mukaan A B, joten x B. Oletetaan, että x B. Tämän enempää ei tarvita. Molemmissa tapauksissa x B. : Oletetaan, että x B. Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla x A B. Päättelyt ja yhdessä osoittavat, että A B = B. JYM, Syksy /197

62 Järjestetty pari Joukossa alkioiden järjestyksellä ei ole väliä: esimerkiksi {3, 8} = {8, 3}. Jos alkioiden järjestyksellä on väliä, voidaan kahden alkion tapauksessa käyttää ns. järjestettyä paria. Sille käytetään merkintää (a, b) ja sille pätee: (a, b) = (c, d) jos ja vain jos a = c ja b = d. Siis esimerkiksi (3, 8) (8, 3). Huom. Esimerkiksi lineaarialgebrasta tutut avaruuden R 2 vektorit ovat järjestettyjä pareja. JYM, Syksy /197

63 Määritelmä Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko A B = { (a, b) a A ja b B }. Esimerkki 17 (a) Määritä joukkojen C = {0, 4, 7} ja D = {4, 9} karteesinen tulo C D. C D = {(0, 4), (0, 9), (4, 4), (4, 9), (7, 4), (7, 9)}. (b) Havainnollista koordinaatistossa. JYM, Syksy /197

64 (b) Havainnollistus koordinaatistossa: JYM, Syksy /197

65 Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Esimerkki 18 (a) Osoita, että A (B C) = (A B) (A C) kaikilla joukoilla A, B ja C. (b) Havainnollista kuvan avulla. JYM, Syksy /197

66 Havainnollistus: C B C B A Tässä joukkoa A (B C) vastaa keskelle jäävä valkoinen alue. Havaitaan, että se on myös joukkojen A B (keltainen & valkoinen alue) ja A C (violetti & valkoinen alue) leikkaus. JYM, Syksy /197

67 (a) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: A (B C) = (A B) (A C). Todistus. : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x = (s, t), missä s A ja t B C. Koska t B C, niin t B ja t C. Koska s A ja t B, niin x = (s, t) A B. Vastaavasti koska s A ja t C, niin x = (s, t) A C. Leikkauksen määritelmän mukaan tällöin x (A B) (A C). : Oletetaan, että y (A B) (A C). Tällöin y A B ja y A C. Siten y = (a, d), missä a A, d B ja d C. Tällöin d B C. Koska a A ja d B C, niin tulojoukon määritelmän mukaan y = (a, d) A (B C). JYM, Syksy /197

68 jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 19 Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Osoita, että A B, jos ja vain jos A B = X. Huom. Väite muotoa P jos ja vain jos Q voidaan osoittaa todeksi kahdessa osassa: - Oletetaan, että P pätee. Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että tällöin myös Q pätee. - Oletetaan, että Q pätee. Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että tällöin myös P pätee. Perustelu rakentuu siis kahdesta osasta: osoitetaan todeksi sekä väite jos P, niin Q että väite jos Q, niin P. Kysymyksessä on yksi erikoistapaus ns. suorasta todistuksesta. JYM, Syksy /197

69 Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Väite: A B, jos ja vain jos A B = X. Todistus. : Oletetaan, että A B. Pitää osoittaa, että tällöin A B = X. : Oletetaan, että s A B. Tällöin s A tai s B. Tapaukset: Oletetaan, että s A. Tällöin s X ja s A. Siis s X. Oletetaan, että s B. Lisäksi B X, joten s X. Molemmissa tapauksissa s X. :Oletetaan, että m X. Periaatteessa on kaksi vaihtoehtoa: joko m A tai m A. Tapaukset: Oletetaan, että m A.Lisäksi A B, joten m B. Oletetaan, että m A. Kuitenkin m X. Näin m A. Molemmissa tapauksissa m A B. JYM, Syksy /197

70 : Oletetaan, että A B = X. Pitää osoittaa, että tällöin A B. Oletetaan, että a A. Oletuksen mukaan A X, joten a X. Lisäksi X = A B, joten a A B. Tämä tarkoittaa, että a A tai a B. Koska oletuksen mukaan a A, niin a A. Näin ollen välttämättä a B. JYM, Syksy /197

71 Potenssijoukko Määritelmä Oletetaan, että X on joukko. Joukon X potenssijoukko tarkoittaa sen kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa P(X) = { A A X }. Huom. Potenssijoukon alkioiden lukumäärää ja erilaisten osajoukkojen alkioiden lukumääriä käsitellään tällä kurssilla tietojenkäsittely- ja tilastotieteen matematiikan osuudessa. JYM, Syksy /197

72 Potenssijoukko Esimerkki 20 (a) Olkoon X = {3, 1, 4}. Määritä P(X). P(X) = {, {3}, {1}, {4}, {3, 1}, {3, 4}, {1, 4}, X }. (b) Olkoon Y = {, {3, 1, 4}}. Määritä P(Y ). P(Y ) = P({, X}) = {, { }, {X}, Y }. JYM, Syksy /197

73 Esimerkki 21 Potenssijoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että Todistus. P(A B) = P(A) P(B). : Oletetaan, että X P(A B). Tällöin X A B. Tästä voidaan päätellä (ks. seuraava kalvo, lemma 22), että X A ja X B. Toisin sanottuna X P(A) ja X P(B). Siis X P(A) P(B). : Oletetaan, että Y P(A) P(B). Tällöin Y P(A) ja Y P(B). Tämä tarkoittaa, että Y A ja Y B. Tästä voidaan päätellä (ks. seuraava kalvo, lemma 22), että Y A B. Siis Y P(A B). JYM, Syksy /197

74 Lemma 22 (eli apulause) X A B, jos ja vain jos X A ja X B. Todistus. : Oletetaan, että X A B. Pitää osoittaa, että X A ja X B. Oletetaan, että x X. Koska X A B, niin x A B. Tämä tarkoittaa, että x A ja x B. Saatiin osoitettua, että mikä tahansa joukon X alkio kuuluu joukkoon A. Siis X A. Vastaavasti saatiin osoitettua, että mikä tahansa joukon X alkio kuuluu joukkoon B. Siis X B. : Oletetaan, että X A ja X B. Pitää osoittaa, että X A B. Oletetaan, että x X. Koska X A, niin x A. Vastaavasti koska X B, niin x B. Näin x A B. JYM, Syksy /197

75 Esimerkki 23 Epäsuora päättely Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Osoita, että jos A B ja A C, niin B C. Huom. Epäsuoran todistuksen rakenne on seuraava: - Kirjoitetaan näkyviin oletukset ja väite. (Huomio esimerkin jos..., niin... -rakenne.) - Muotoillaan väitteen (eli teesin) negaatio. Sitä kutsutaan vastaoletukseksi eli antiteesiksi. - Oletetaan, että vastaoletus (eli antiteesi) on totta. Johdetaan siitä ristiriita käyttäen apuna mahdollisia muita oletuksia. - Koska vastaoletuksesta (eli antiteesistä) päädyttiin ristiriitaan, ei se voikaan olla totta. Siis alkuperäinen väite on tosi. JYM, Syksy /197

76 Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: jos A B ja A C, niin B C. Todistus. Oletetaan, että A B ja A C. Pitää osoittaa, että tällöin B C. Vastaoletus eli antiteesi: Oletetaan, että B C. Yhdistämällä alkuperäinen oletus A B ja vastaoletus B C saadaan näytettyä, että A C: Oletetaan, että a A. Koska A B, niin a B. Lisäksi vastaoletuksen mukaan B C, joten a C. Äskeinen päättely osoittaa, että A C. Tämä on kuitenkin ristiriidassa alkuperäisen oletuksen A C kanssa. Siis vastaoletus ei olekaan tosi, vaan alkuperäinen väite B C pätee. JYM, Syksy /197

77 Esimerkin 23 voi todistaa myös suoralla todistuksella: Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: jos A B ja A C, niin B C. Todistus. Oletetaan, että A B ja A C. Pitää osoittaa, että tällöin B C. Koska oletuksen mukaan A C, niin on olemassa a A, jolla pätee a C. Edelleen oletuksen mukaan A B, joten a B. Näin on olemassa alkio a B, jolla pätee a C. Siis B C. JYM, Syksy /197

78 jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 24 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että A B = B, jos ja vain jos A B =. Huom. Muista, että jos ja vain jos - muotoinen väite perustellaan osoittamalla todeksi kaksi erilaista jos..., niin... -väitettä. Muista, että joukot osoitetaan samoiksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. Tyhjää joukkoa koskevien väitteiden tapauksessa epäsuora päättely on usein kätevä. JYM, Syksy /197

79 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: A B = B, jos ja vain jos A B =. Todistus. : Oletetaan, että A B = B. Pitää osoittaa, että tällöin A B =. Vastaoletus eli antiteesi: oletetaan, että A B. Tämä tarkoittaa, että on olemassa x A B. Tällöin x A ja x B. Koska x A, niin x A B. Oletuksen mukaan A B = B, joten x B. Päädyttiin ristiriitaan: x B ja x B. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite A B = pätee. JYM, Syksy /197

80 : Oletetaan, että A B =. Pitää osoittaa, että tällöin A B = B. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A tai x B. Tapaukset: Oletetaan, että x A. Päätellään epäsuorasti: Jos x B, niin x A B. Kuitenkin oletuksen mukaan A B =. Siis välttämättä x B. Oletetaan, että x B. Enempää ei tarvitse päätellä. Molemmissa tapauksissa x B. : Oletetaan, että x B. Tällöin x A B yhdisteen määritelmän nojalla. JYM, Syksy /197

81 Määritelmä Kuvaus (eli funktio) Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus (eli funktio) joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Sama asia voidaan merkitä myös X f Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö (eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen f maali. Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitään f (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. JYM, Syksy /197

82 Havainnollistuksia: X Y Y x f f(x) f(x) x X JYM, Syksy /197

83 Kuvaus Esimerkki 25 Määritellään g : R R asettamalla g(x) = x + 1. Tällä tavalla saadaan kuvaus, sillä jos x R, niin x + 1 on olemassa, x + 1 on yksikäsitteisesti määrätty, x + 1 R. Huom. Tässä x + 1 tarkoittaa luvun x + 1 itseisarvoa. Reaaliluvun a itseisarvo on { a, jos a 0; a = a, jos a < 0. Esimerkiksi 4 = 4 ja 7 = ( 7) = 7. JYM, Syksy /197

84 Kaksi havainnollistusta kuvauksesta g: R g R t g(t) a 1 0 a g(t) t JYM, Syksy /197

85 Kuvaus Merkintöjä Merkintä g(x) = x + 1 tarkoittaa, että alkion x kuva-alkio on x + 1. Sama asia voidaan merkitä myös x x + 1. Esimerkin kuvaukselle g : R R pätee g( 4) = = 3 = 3 eli 4 3 g(12) = = 13 = 13 eli JYM, Syksy /197

86 Kuvauksien samuus Määritelmä Kuvaukset f : X Y ja g : V W ovat samat, jos niillä on sama lähtö eli X = V, niillä on sama maali eli Y = W, f (z) = g(z) kaikilla yhteisen lähdön alkioilla z. Huom. Tällä kurssilla käytetään tätä tiukkaa määritelmää, jotta vältytään epämääräisyyksiltä myöhemmin injektion ja surjektion käsitteiden yhteydessä. JYM, Syksy /197

87 Esimerkki 26 Kuvauksien samuus Tarkastellaan kuvauksia f : R R, g : R [0, [ ja h : N N, joilla kaikilla x x 2. Nämä ovat kaikki eri kuvauksia, sillä niillä kaikilla on eri maali. Lisäksi kuvauksella h on eri lähtö kuin kuvauksilla f ja g. Myöhemmin nähdään, että g on surjektio ja h on injektio mutta f ei ole kumpaakaan. JYM, Syksy /197

88 Kuvaus Esimerkki 27 Oletetaan, että a, b Z ja b 0. Määritellään h : Q Q asettamalla a b ab b 2a. Onko h kuvaus? JYM, Syksy /197

89 Havaitaan ongelmia: (a) Alkioon 1 2 Q ei liitetä yhtään alkiota, sillä ei ole määritelty = 2 0 (b) Alkioon 2 6 = 3 9 Q liitetään useampi kuin yksi alkio: Siis h ei ole kuvaus. Huom = 6 ja = 9. Kumpi tahansa ongelma riittäisi jo yksinkin osoittamaan, että h ei ole kuvaus. JYM, Syksy /197

90 Kuvaus Esimerkki 28 Olkoon X kaikkien tälle kurssille viime syksynä ilmoittautuneiden opiskelijoiden joukko. Määritellään g : X N asettamalla g(x) = opiskelijan x tästä kurssista saama arvosana. Onko g kuvaus? Havaitaan, että g on kuvaus, sillä se liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden luvun, joka kuuluu maaliin N. JYM, Syksy /197

91 Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon A kuva kuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy /197

92 Havainnollistuksia: X Y A f Y fa fa X A JYM, Syksy /197

93 Kuva Esimerkki 29 Olkoon f : Z Z kuvaus, jolle z z Merkitään A = { 1, 0, 1, 2}. Määritä fa ja f [A {1, 2}]. Huom. Kuvan merkinnässä tarvitaan joskus sulkuja, kuten edellä merkinnässä f [A {1, 2}]. Tällöin tällä kurssilla käytetään hakasulkuja, jotta käsitteet kuva ja kuva-alkio eivät menisi sekaisin. Alkion C kuva-alkio h(c). Osajoukon C kuva hc tai h[c]. JYM, Syksy /197

94 Kuvan määritelmän mukaan fa = {n Z n = f (a) missä a A} = {f (a) a A} = {f ( 1), f (0), f (1), f (2)} = {2, 1, 2, 5} = {1, 2, 5} JYM, Syksy /197

95 Kaksi havainnollistusta joukon A kuvalle kuvauksessa f : Z Z fa A fa 2 1 A 2 JYM, Syksy /197

96 Kuvan määritelmän mukaan f [A {1, 2}] = {n Z n = f (a) missä a A {1, 2}} = {f (a) a { 1, 0}} = {f ( 1), f (0)} = {2, 1}. JYM, Syksy /197

97 Kuva Esimerkki 30 Olkoon g : R R kuvaus, jolle g(x) = x kaikilla x R. Merkitään B = [ 1, 2]. Määritä kuva gb. gb B JYM, Syksy /197

98 Kuvan määritelmän mukaan gb = {y R y = g(x) missä x B} = {g(x) x B} = {x x 2} Ehdon epäyhtälöstä saadaan pääteltyä: 1 x 2 0 x x Toisin sanottuna jos x B, niin g(x) [1, 5]. Näin gb [1, 5]. JYM, Syksy /197

99 Osoitetaan vielä sisältyminen toiseen suuntaan. Ratkaistaan x yhtälöstä g(x) = y eli yhtälöstä x = y: x = y x 2 = y 1 x = y 1 x = y 1 Nyt voidaan päätellä seuraavasti: 1 y 5 0 y y 1 2. Siis jos y [1, 5], niin on olemassa x = y 1 [0, 2], jolla y = g(x). Toisin sanottuna jokainen välin [1, 5] luku on välin [ 1, 2] jonkin alkion kuva-alkio. Näin [1, 5] gb. JYM, Syksy /197

100 Havainnollistus joukon B kuvalle kuvauksessa g: gb B JYM, Syksy /197

101 Alkukuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että B Y. Joukon B alkukuva kuvauksessa f on joukko f B = { x X f (x) B }. Huom. Alkukuvan f B muodostavat siis ne lähdön alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon B. Määritelmä tarkoittaa, että t f B, jos ja vain jos t X ja f (t) B. JYM, Syksy /197

102 Havainnollistuksia: X f Y Y f B B B X f B JYM, Syksy /197

103 Alkukuva Esimerkki 31 Olkoon f : Z Z kuvaus, jolle z z Merkitään A = { 1, 0, 1, 2}. Määritä f A ja f [A {1, 2}]. Huom. Alkukuvan merkinnässä tarvitaan joskus sulkuja, kuten edellä merkinnässä f [A {1, 2}]. Tällöin tällä kurssilla käytetään hakasulkuja. JYM, Syksy /197

104 Alkukuvan määritelmän mukaan f A = {z Z f (z) A } = {z Z z { 1, 0, 1, 2} } = {z Z z 2 { 2, 1, 0, 1} } ( ) = {0, 1, 1 } Kohdassa ( ) ratkaistaan yhtälöt z 2 = 2, z 2 = 1, z 2 = 0 ja z 2 = 1 käyttämällä seuraavia tietoja: z 2 0 kaikilla z Z; z 2 = 0, jos ja vain jos z = 0; z 2 = 1, jos ja vain jos z = ±1. JYM, Syksy /197

105 Kaksi havainnollistusta joukon A alkukuvalle kuvauksessa f : Z Z A f A f A 2 A 0 1 JYM, Syksy /197

106 Alkukuvan määritelmän mukaan f [A {1, 2}] = {z Z f (z) A {1, 2} } = {z Z z { 1, 0} } = {z Z z 2 { 2, 1} } ( ) = Kohdassa ( ) ratkaistaan yhtälöt z 2 = 2 ja z 2 = 1 käyttämällä tietoa, että z 2 0 kaikilla z Z, minkä vuoksi näillä yhtälöillä ei ole ratkaisuja. JYM, Syksy /197

107 Alkukuva Esimerkki 32 Olkoon g : R R kuvaus, jolle g(x) = x Merkitään B = [ 1, 2]. Määritä g B. B g B JYM, Syksy /197

108 Alkukuvan määritelmän mukaan g B = {x R g(x) B} = {x R 1 x }. Ratkaistaan ehdon epäyhtälö: 1 x x 2 1 x x 1. Huomaa, että tässä käytettiin tietoa x 2 0 kaikilla x R. Siis g B = {x R 1 x 1} = [ 1, 1]. JYM, Syksy /197

109 Havainnollistus joukon B alkukuvalle kuvauksessa g: B g B JYM, Syksy /197

110 Kuva Esimerkki 33 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja A, B X. Osoita, että f [A B] = fa fb. Huom. Käytä kuvan määritelmää: fv = { y Y y = f (v) missä v V }. Muista, että kaksi joukkoa osoitetaan samaksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /197

111 Esimerkin 33 ratkaisu. Osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin: : Oletetaan, että y f [A B]. Tällöin y Y ja y = f (x) jollakin x A B (kuvan määritelmä). Koska x A B, niin x A tai x B. Tapaukset: Oletetaan, että x A. Tällöin f (x) fa (kuvan määritelmä). Koska y = f (x), niin y fa. Oletetaan, että x B. Tällöin f (x) fb (kuvan määritelmä). Koska y = f (x), niin y fb. Molemmissa tapauksissa y fa fb. JYM, Syksy /197

112 : Oletetaan, että y fa fb. Tällöin y fa tai y fb. Tapaukset: Oletetaan, että y fa. Tällöin y = f (a) jollakin a A (kuvan määritelmä). Koska a A, niin a A B. Siten f (a) f [A B] (kuvan määritelmä). Koska y = f (a), niin y f [A B]. Oletetaan, että y fb. Tällöin y = f (b) jollakin b B (kuvan määritelmä). Koska b B, niin b A B. Siten f (b) f [A B] (kuvan määritelmä). Koska y = f (b), niin y f [A B]. JYM, Syksy /197

113 Alkukuva Esimerkki 34 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja C, D Y. Osoita, että f [C D] = f C f D. Huom. Käytä alkukuvan määritelmää: f W = { x X f (x) W }. Muista, että kaksi joukkoa osoitetaan samaksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /197

114 Esimerkin 34 ratkaisu. Osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin: : Oletetaan, että x f [C D]. Tällöin x X ja f (x) C D (alkukuvan määritelmä). Siis f (x) C ja f (x) D. Koska x X ja f (x) C, niin x f C (alkukuvan määritelmä). Koska x X ja f (x) D, niin x f D (alkukuvan määritelmä). Näin ollen x f C f D. JYM, Syksy /197

115 : Oletetaan, että x f C f D. Tällöin x f C ja x f D. Koska x f C, niin x X ja f (x) C (alkukuvan määritelmä). Lisäksi x f D, joten f (x) D (alkukuvan määritelmä). Näin ollen f (x) C D. Koska x X ja f (x) C D, niin x f [C D] (alkukuvan määritelmä). JYM, Syksy /197

116 Esimerkki 35 Kuva ja alkukuva Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja B Y. (a) Osoita, että f [f B] B. (b) Osoita, että sisältyminen toisinpäin ei päde yleisesti. Siis keksi sopivat joukot X ja Y, kuvaus f : X Y ja osajoukko B Y, ja osoita, että B f [f B]. Huom. Muista kuvan ja alkukuvan määritelmät: f W = { x X f (x) W } fv = { y Y y = f (v) missä v V }. JYM, Syksy /197

117 Esimerkin 35 ratkaisu. (a) Oletetaan, että y f [f B]. Tällöin y Y ja y = f (x) jollakin x f B (kuvan määritelmä). Koska x f B, niin f (x) B (alkukuvan määritelmä). Lisäksi y = f (x), joten y B. (b) Tarkastellaan kuvausta f : R R, jolla x x 2. Valitaan B = { 1, 0}. Tällöin f B = { x R f (x) B } = { x R x 2 { 1, 0} } = {0} ja f [f B] = { f (x) x f B } = {f (0)} = {0}. Siis B = { 1, 0} {0} = f [f B]. JYM, Syksy /197

118 Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen II induktioperiaate saadaan johdettua I induktioperiaatteesta (ks. Junnila, s. 39). Se poikkeaa I induktioperiaatteesta induktio-oletuksen osalta. Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Osoitetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k ja sitä pienemmille luonnollisille luvuille (0,..., k 1). Osoitetaan, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella asia P pätee kaikille luonnollisille luvuille. JYM, Syksy /197

119 Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Esimerkki 36 Määritellään jono kokonaislukuja rekursiivisesti asettamalla z 0 = 2, z 1 = 1 ja z n+1 = z n + 2z n 1 kaikilla n 1. (a) Laske z 2, z 3 ja z 4. (b) Keksi kaava, jolla z n voidaan laskea, jos n on annettu. Osoita kaava oikeaksi induktiota käyttäen. JYM, Syksy /197

120 (a) Lasketaan: z 2 = z 1 + 2z 0 = 5, z 3 = z 2 + 2z 1 = 7, z 4 = z 3 + 2z 2 = 17. (b) Arvaus: z n = 2 n + ( 1) n kaikilla n N. Osoitetaan arvaus oikeaksi induktiolla. JYM, Syksy /197

121 1. Alkuaskel: Tiedetään, että z 0 = 2. Keksitty kaava antaa z 0 = ( 1) 0 = = 2. Sama tulos, joten väite pätee luvun 0 tapauksessa. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja z j = 2 j + ( 1) j luonnollisilla luvuilla 0 j k eli luonnollisilla luvuilla j {0, 1,..., k}. Pyritään näyttämään, että tällöin myös z k+1 = 2 k+1 + ( 1) k+1. JYM, Syksy /197

122 Luvun z 1 laskemiseen ei voida käyttää rekursiokaavaa, joten tarkistetaan kaavan päteminen sen tapauksessa erikseen. Tiedetään, että z 1 = 1. Keksitty kaava antaa z 1 = ( 1) 1 = 2 1 = 1. Sama tulos, joten väite pätee luvun 1 tapauksessa. Lukujen z 2, z 3,... laskemisessa rekursiokaavaa voidaan käyttää. Siis jos k 1, niin z k+1 = z k + 2z k 1 (IO) = 2 k + ( 1) k + 2 (2 k 1 + ( 1) k 1) = 2 k + ( 1) k + 2 k + 2 ( 1) k 1. Kohdassa (IO) käytetään induktio-oletusta. JYM, Syksy /197

123 Todistus jatkuu. Edellisen kalvon perusteella z k+1 = 2 k + ( 1) k + 2 k + 2 ( 1) k 1 = 2 2 k + ( 1) ( 1) k ( 1) k 1 = 2 k+1 + ( 1 + 2) ( 1) k 1 = 2 k ( 1) k 1 = 2 k+1 + ( 1) k Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella z n = 2 n + ( 1) n kaikilla n N. JYM, Syksy /197

124 Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla x 1, x 2 X yhtälöstä f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2. Lause 37 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos ja vain jos lähdön eri alkioilla on eri kuva-alkiot; ts. kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). JYM, Syksy /197

125 Lauseen 37 todistus. : Oletetaan, että f on injektio. Pitää osoittaa, että kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). Oletetaan, että x 1, x 2 X ja x 1 x 2. Tehdään vastaoletus, että f (x 1 ) = f (x 2 ). Koska oletuksen mukaan f on injektio, tästä seuraa, että x 1 = x 2. Ristiriita! Siis f (x 1 ) f (x 2 ). : Oletetaan, että kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). Pitää osoittaa, että f on injektio. Osoitetaan, että f toteuttaa injektion määritelmän. Oletetaan, että a, b X ja f (a) = f (b). Tehdään vastaoletus, että a b. Tällöin oletuksen mukaan f (a) f (b). Ristiriita! Siis a = b. JYM, Syksy /197

126 Injektio Esimerkki 38 Ovatko seuraavat kuvaukset injektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy /197

127 (a) Oletetaan, että x 1, x 2 R {1} ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Tällöin x 1 x 1 1 = x 2 x 2 1. Kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjillä saadaan x 1 (x 2 1) = x 2 (x 1 1). Tästä seuraa, että x 1 x 2 x 1 = x 1 x 2 x 2 ja edelleen x 1 = x 2. Siis x 1 = x 2. Näin ollen kuvaus f on injektio. JYM, Syksy /197

128 (b) g : R R, jolle g(x) = x 2. Kuvaus g ei ole injektio, sillä esimerkiksi 2, 2 R ja 2 2, mutta g( 2) = 4 = g(2). JYM, Syksy /197

129 (c) ρ: N R, jolle ρ(x) = x 2. Oletetaan, että m, n N ja lisäksi ρ(m) = ρ(n). Tällöin m 2 = n 2 eli m 2 n 2 = 0. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa (m n)(m + n) = 0. Tulon nollasäännön nojalla se toteutuu, jos ja vain jos m n = 0 tai m + n = 0. Toisin sanottuna yhtälö toteutuu, jos ja vain jos m = n tai m = n. Koska m, n N, niin jälkimmäinen ehto m = n tarkoittaa, että m = 0 ja n = 0. Siis joka tapauksessa m = n. Näin on osoitettu, että ρ on injektio. JYM, Syksy /197

130 (d) h : R R, jolle h(x) = 1 2 x + 1. Oletetaan, että x 1, x 2 R ja lisäksi h(x 1 ) = h(x 2 ). Tällöin 1 2 x = 1 2 x eli 1 2 x 1 = 1 2 x 2. Tästä seuraa, että x 1 = x 2. Siis h on injektio. JYM, Syksy /197

131 Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, että f (x) = y. Lause 39 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos f X = Y. JYM, Syksy /197

132 Lauseen 39 todistus. : Oletetaan, että f on surjektio. Pitää osoittaa, että f X = Y. : Oletetaan, että b f X. Tällöin b = f (x) jollakin x X. Koska kuvauksen f maali on Y, niin f (x) Y. Koska b = f (x), niin b Y. : Oletetaan, että y Y. Oletuksen mukaan f on surjektio, joten on olemassa sellainen x X, jolla f (x) = y. Siis y f X. : Oletetaan, että f X = Y. Pitää osoittaa, että f on surjektio. Osoitetaan, että f toteuttaa surjektion määritelmän. Oletetaan, että y Y. Oletuksen mukaan Y = f X, joten y f X. Tällöin on olemassa sellainen x X, että f (x) = y. JYM, Syksy /197

133 Surjektio Esimerkki 40 Ovatko seuraavat kuvaukset surjektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy /197

134 Tutkitaan asiaa: Oletetaan, että y R ja tutkitaan yhtälöä f (x) = y: x = y x = y(x 1) x = yx y x 1 x yx = y (1 y)x = y. Havaitaan, että jos y = 1, päädytään yhtälöön 0x = 1, jolla ei ole ratkaisua. Ongelmallinen maalin alkio on siis y = 1. Näin vaikuttaa siltä, että f (x) 1 kaikilla x R {1}. JYM, Syksy /197

135 Varsinainen perustelu: Osoitetaan, että f ei ole surjektio. Vastaoletus: Oletetaan, että f on surjektio. Tällöin on olemassa erityisesti sellainen x R {1}, että f (x) = 1 eli x x 1 = 1. Tästä seuraa, että x = x 1 ja edelleen 0 = 1. Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee. Näin ollen f ei ole surjektio. JYM, Syksy /197

136 (b) g : R R, jolle g(x) = x 2. Kuvaus g ei ole surjektio: Havaitaan, että g(x) = x 2 0 kaikilla x R. Siten esimerkiksi g(x) 1 kaikilla x R. JYM, Syksy /197

137 (c) τ : R [0, [, jolle τ(x) = x 2. y y Oletetaan, että y [0, [. Tällöin y on määritelty ja y R. Lisäksi Siis τ on surjektio. τ( y) = ( y) 2 = y. JYM, Syksy /197

138 (d) h : R R, jolle h(x) = 1 2 x + 1. y Huom. 2y 2 Oletetaan, että y R. Tällöin 2y 2 R ja lisäksi h(2y 2) = 1 (2y 2) + 1 = y = y. 2 Siis h on surjektio. Alkio 2y 2 R löydetään ratkaisemalla x yhtälöstä h(x) = y eli yhtälöstä 1 2 x + 1 = y. JYM, Syksy /197

139 Yhdistetty kuvaus Määritelmä Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla x g(f (x)). Toisin sanottuna yhdistetty kuvaus g f : X Z määritellään asettamalla (g f )(x) = g(f (x)) kaikilla x X. Huom. Huomaa kuvausten järjestys: ensimmäinen kuvaus kirjoitetaan oikealle puolelle lähimmäs lähdön alkiota. JYM, Syksy /197

140 Esimerkki 41 Yhdistetty kuvaus Määritä yhdistetyistä kuvauksista g f, f g ja f f ne, jotka ovat määriteltyjä, jos (a) f : R R, f (x) = 1 + 2x ja g : R R, g(x) = (x 1) 2. Kuvaukset g f ja f g : R R on määritelty. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(1 + 2x) = (1 + 2x 1) 2 = (2x) 2 = 4x 2 (f g)(x) = f (g(x)) = f ((x 1) 2 ) = 1 + 2(x 1) 2 = 1 + 2(x 2 2x + 1) = 1 + 2x 2 4x + 2 = 2x 2 4x + 3 JYM, Syksy /197

141 Havaitaan, että g f f g, sillä esimerkiksi (g f )(0) = 0 3 = (f g)(0). Myös kuvaus f f : R R on määritelty. Sille pätee (f f )(x) = f (f (x)) = f (1 + 2x) = 1 + 2(1 + 2x) = x = 4x + 3. JYM, Syksy /197

142 (b) f : R R, f (x) = 2 x ja g : [0, [ R, g(x) = x 1. Kuvaus g f ei ole määritelty, koska kuvauksen f maali R on eri kuin kuvauksen g lähtö [0, [. Kuvaus f g : [0, [ R on määritelty.oletetaan, että x [0, [. Tällöin (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x 1) = 2 ( x 1) = 2 x + 1 = 3 x. Myös kuvaus f f : R R on määritelty. Sille pätee (f f )(x) = f (f (x)) = f (2 x) = 2 (2 x) = x = x. JYM, Syksy /197

143 Yhdistetty kuvaus Huom. Joskus vain toinen kuvauksista g f ja f g on määritelty. Usein g f f g, vaikka molemmat ovat määriteltyjä. JYM, Syksy /197

144 Identtinen kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X on mikä tahansa joukko. Joukon X identtinen kuvaus id X tarkoittaa kuvausta X X, jolla x x kaikilla x X. Toisin sanottuna joukon X identtinen kuvaus id X : X X määritellään asettamalla id X (x) = x kaikilla x X. Huom. Esimerkin 41 b-kohdan kuvaus f f : R R on joukon R identtinen kuvaus id R, sillä (f f )(x) = x kaikilla x R. JYM, Syksy /197

145 Identtinen kuvaus Esimerkki 42 (a) Oletetaan, että f : X X on kuvaus. Määritä yhdistetyt kuvaukset f id X : X X ja id X f : X X. Oletetaan, että x X. Tällöin Havaitaan, että (f id X )(x) = f (id X (x)) = f (x) (id X f )(x) = id X (f (x)) = f (x) f id X = f ja id X f = f. JYM, Syksy /197

146 (b) Huomataan vastaavuus: Operaatio Otus kuvausten yhdistäminen identtinen kuvaus reaalilukujen yhteenlasku luku 0 reaalilukujen kertolasku luku 1 JYM, Syksy /197

147 Yhdistetyt kuvaukset, injektiot ja surjektiot Esimerkki 43 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. (a) Oletetaan, että g f : X Z on injektio. Osoita, että f on injektio. Oletetaan, että x 1, x 2 X ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Tällöin g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )) ja yhdistetyn kuvauksen määritelmän mukaan edelleen (g f )(x 1 ) = (g f )(x 2 ). Oletuksen mukaan yhdistetty kuvaus g f on injektio, joten saadusta yhtälöstä seuraa, että x 1 = x 2. Näin on osoitettu, että f on injektio. JYM, Syksy /197

148 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. (b) Oletetaan, että g f : X Z on surjektio. Osoita, että g on surjektio. Oletetaan, että z Z. Koska g f : X Z on surjektio, niin on olemassa sellainen x X, että (g f )(x) = z. Koska f on kuvaus X Y, niin f (x) Y. Lisäksi g(f (x)) = (g f )(x) = z. Siis löydettiin joukon Y alkio f (x), joka kuvautuu alkioksi z kuvauksessa g. Näin on osoitettu, että g on surjektio. JYM, Syksy /197

149 Määritelmä Käänteiskuvaus Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. JYM, Syksy /197

150 Lause 44 Kuvauksella f : X Y on enintään yksi käänteiskuvaus. Todistus. Oletetaan, että g : Y X ja h : Y X ovat kumpikin kuvauksen f käänteiskuvauksia. Käänteiskuvauksen määritelmän nojalla g f = id X, f g = id Y, h f = id X ja f h = id Y. Käyttämällä näitä yhtälöitä ja esimerkkiä 42 saadaan h = h id Y = h (f g) ( ) = (h f ) g = id X g = g. Siis käänteiskuvauksia ei voi olla enempää kuin yksi. Kohdassa ( ) käytetään kuvausten yhdistämisen liitännäisyyttä, jonka todistaminen jää toistaiseksi lukijan tehtäväksi. JYM, Syksy /197

151 Käänteiskuvaus Esimerkki 45 Oletetaan, että f : R R ja g : R R ovat kuvauksia, joilla f (x) = 4 3x ja g(x) = x. Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(4 3x) = (4 3x) 3 = x = x = id R(x). JYM, Syksy /197

152 Tämä tarkoittaa, että kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi ( 4 (f g)(x) = f (g(x)) = f 3 1 ) ( 4 3 x = ) 3 x = x = x = id R (x). Tämä tarkoittaa, että kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Siis g f = id R ja f g = id R, joten g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Voidaan merkitä g = f 1. JYM, Syksy /197

153 Käänteiskuvaus Esimerkki 46 Oletetaan, että h : R {1} R {2} on kuvaus, jolle x 2x x 1. Määritä kuvauksen h käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa. JYM, Syksy /197

154 Oletetaan, että y R {2} ja tutkitaan yhtälöä h(x) = y: h(x) = y 2x = y 2x = y(x 1) x 1 2x = yx y 2x yx = y (2 y)x = y x = y 2 y. Huomaa, että viimeisessä askeleessa tarvittiin oletusta y R {2}. JYM, Syksy /197

155 Esimerkin 46 varsinainen ratkaisu: Määritellään g : R {2} R {1} asettamalla t t 2 t. Huomaa, että tässä käytetään lauseketta, joka saatiin edellä ratkaisemalla x yhtälöstä h(x) = y. Näin saadaan hyvin määritelty kuvaus, sillä jos t R {2}, niin osamäärä t/(2 t) on määritelty; on yksikäsitteinen; kuuluu maaliin R {1}: jos olisi t/(2 t) = 1, niin t = 2 t eli 0 = 2, ristiriita! JYM, Syksy /197

156 Osoitetaan, että g on kuvauksen h käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R {2}. Tällöin ( x (h g)(x) = h(g(x)) = h 2 x = 2x 2 x x 2 x 2 x 2 x = ( ) ) = 2 x 2x 2 x x (2 x) 2 x 2 x x 2 x 1 = 2x 2 x 2 x x 2 + x = 2x 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset h g : R {2} R {2} ja id: R {2} R {2} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy /197

157 Oletetaan, että x R {1}. Tällöin ( 2x ) (g h)(x) = g(h(x)) = g = 2x x 1 x 1 2 2x x 1 = 2(x 1) x 1 2x x 1 2x x 1 = 2x x 1 2x 2 2x x 1 = 2x x 1 x 1 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset g h : R {1} R {1} ja id: R {1} R {1} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy /197

158 Näin on osoitettu, että h g = id R {2} ja g h = id R {1}. Siis kuvaus g on kuvauksen h käänteiskuvaus eli g = h 1. JYM, Syksy /197

159 Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos kuvaus f on sekä injektio että surjektio, niin sanotaan, että kuvaus f on bijektio. Esimerkki 47 Esimerkeissä 38 ja 40 tarkasteltu kuvaus h : R R, jolle h(x) = 1 2x + 1, on bijektio. JYM, Syksy /197

160 Bijektio ja käänteiskuvaus Lause 48 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus, jos ja vain jos kuvaus f on bijektio. Todistus. : Oletetaan, että on olemassa f 1 : Y X. Osoitetaan, että f on bijektio. Osoitetaan, että f on injektio. Oletetaan, että x 1, x 2 X ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Soveltamalla kuvausta f 1 alkioon f (x 1 ) = f (x 2 ) Y saadaan f 1 (f (x 1 )) = f 1 (f (x 2 )). JYM, Syksy /197