Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197"

Transkriptio

1 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy /197

2 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava päätellä, onko se tietyn joukon alkio vai ei. Esimerkki 1 Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. JYM, Syksy /197

3 Joukko ja alkio Määritelmä Jos a on joukon A alkio, sanotaan, että a kuuluu joukkoon A, ja merkitään a A. Jos a ei ole joukon A alkio, sanotaan, että a ei kuulu joukkoon A, ja merkitään a A. Esimerkki 2 2 N, 3 N, 3 Z, 6 7 Z. JYM, Syksy /197

4 Joukkojen määritteleminen Joukkoja voidaan määritellä eri tavoin: Luettelemalla joukon alkiot, jos joukko on pieni tai selkeästi ymmärrettävä: kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: parilliset kokonaisluvut: { 2, 1, 0, 1, 2} {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} JYM, Syksy /197

5 Joukkojen määritteleminen Ehdon avulla, jolloin merkintä on muotoa {alkioiden tyyppi ehto, joka alkioilta vaaditaan}. kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: { z Z : z 2 } parilliset kokonaisluvut: { m Z m = 2n missä n Z } JYM, Syksy /197

6 Joukkojen määritteleminen Vakiintuneiden symbolien avulla kuten esimerkiksi tyhjä joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. Sitä merkitään joskus { }. rationaalilukujen joukko Q = { m/n m, n Z ja n 0 }. reaalilukujen joukko R (lukusuoran luvut, ks. Analyysi I). kompleksilukujen joukko C (opiskellaan tällä kurssilla). avoin väli ]a, b[ = { x R a < x < b }. suljettu väli [a, b] = { x R a x b } Kuvassa suljettu väli [0, 1], avoin väli ]2, 3[ ja puoliavoin väli [4, 5[. JYM, Syksy /197

7 Joukko Esimerkki 3 Toinen alla olevista joukoista ei täytä joukon määritelmää. Kumpi? Miksi? A = { n N n on alkuluku } B = { x R x 2 B } Havaitaan, että ei voida päätellä, päteekö esimerkiksi 2 B. Se nimittäin riippuu siitä, päteekö 4 = 2 2 B, mikä taas riippuu siitä, päteekö 4 2 B... Toisaalta ei voida myöskään päätellä, päteekö esimerkiksi 1 B. Se nimittäin riippuu siitä, päteekö 1 2 B eli 1 B. JYM, Syksy /197

8 Näin ollen B ei täytä joukon määritelmän vaatimuksia. Se ei siis ole joukko. Tämä esimerkki muistuttaa Selvillan parturi -paradoksia, joka on yksi havainnollistus Russellin paradoksista. Periaatteessa on mahdollista tutkia, onko jokin luonnollinen luku alkuluku (jos luku on hyvin iso, voi vastauksen saaminen kestää kauan mutta se ei haittaa). Näin ollen A täyttää joukon määritelmän vaatimukset ja on joukko. JYM, Syksy /197

9 Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x A, jos ja vain jos x B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. Esimerkki 4 Mitkä seuraavista joukoista ovat samoja? { x Z 3 < x < 1} {0, 2, 1} { 2, 1, 0} {0, 1, 0, 1, 2, 1} JYM, Syksy /197

10 Alkioiden luettelujärjestyksellä ei ole merkitystä. Saman alkion toistaminen luettelossa useaan kertaan ei sekään muuta joukkoa. Näin ollen kaikki esimerkin joukot ovat samoja: { x Z 3 < x < 1} = {0, 2, 1} = { 2, 1, 0} = {0, 1, 0, 1, 2, 1}. JYM, Syksy /197

11 Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x A pätee myös x B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A B. Merkintä A B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. Esimerkki 5 {6, 9, 11} Q, N R, { 3, 0, 3} N. JYM, Syksy /197

12 Osajoukko Esimerkki 6 Olkoon C = {2, 3, {1}, {4, 2}}. (a) Luettele joukon C alkiot. Alkiot ovat luku 2 luku 3 joukko {1} eli ykkösen ns. yksiö joukko {4, 2} eli lukujen 4 ja 2 ns. kaksio. JYM, Syksy /197

13 (b) Mitkä seuraavista joukoista ovat joukon C osajoukkoja? {2, 3} {1} {{1}, 3} {4, 2, {1}} {3} {{4, 2}} {3, 2, {4, 2}, {1}}. JYM, Syksy /197

14 Perustellaan kaikki kohdat huolellisesti: {2, 3} C, sillä 2 C ja 3 C. {1} C, sillä 1 C. {{1}, 3} C, sillä {1} C ja 3 C. {4, 2, {1}} C, sillä 4 C. C, sillä joukossa ei ole yhtään alkiota, joka ei kuuluisi joukkoon C. {3} C, sillä 3 C. {{4, 2}} C, sillä {4, 2} C. {3, 2, {4, 2}, {1}} C, sillä 3 C, 2 C, {2, 4} C ja {1} C. JYM, Syksy /197

15 Osajoukko Esimerkki 7 Perustele, että (a) {0, 1} { x R x 4 5x 3 x 2 + 5x = 0 }. (b) { x R : sin 3x = x } { x R : (sin 3x x) cos 4x = 0 }. (c) {1, 2} { x Z x 2 x = 0 }. (d) tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko. JYM, Syksy /197

16 (a) Merkitään A = { x R x 4 5x 3 x 2 + 5x = 0 }. Havaitaan, että molemmat luvut 0 ja 1 toteuttavat joukon A ehdon: = = = = 0. Siten 0 A ja 1 A. Siis {0, 1} A. JYM, Syksy /197

17 (b) Merkitään B = { x R : sin 3x = x } C = { x R : (sin 3x x) cos 4x = 0 }. Oletetaan, että b B (eli kuvitellaan, että b B). Tällöin voidaan päätellä, että b R, ja sin 3b = b eli sin 3b b = 0. Havaitaan, että b toteuttaa joukon C ehdon: Siis b C. (sin 3b b) cos 4b = 0 cos 4b = 0. Edellä tehty päättely toimii mille tahansa joukon B alkiolle. Siten B C. JYM, Syksy /197

18 (c) Havaitaan, että 2 {1, 2} mutta 2 { x Z x 2 x = 0 }. Tämä johtuu siitä, että = 4 2 = 2 0. Siis {1, 2} { x Z x 2 x = 0 }. JYM, Syksy /197

19 (d) Oletetaan, että D on joukko. Tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, joka ei kuuluisi joukkoon D. Siis D. JYM, Syksy /197

20 Yhdiste, leikkaus ja erotus Määritelmä Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A B = { x x A tai x B }, leikkaus on joukko A B = { x x A ja x B }, erotus on joukko A B = { x x A ja x B }. Huom. Matematiikan tai ei ole poissulkeva; yhdisteen A B muodostavat kaikki alkiot, jotka kuuluvat ainakin toiseen joukoista A ja B. Merkintä A B luetaan A pois B. JYM, Syksy /197

21 Yhdiste, leikkaus ja erotus Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. Vennin kaavioiden avulla: A B A B A B A \ B Kuvassa tummennettuna mainitut joukot. JYM, Syksy /197

22 Esimerkki 8 Yhdiste, leikkaus ja erotus Olkoon A = {0, 2, 4} ja B = {1, 2, 3}. Määritä A B, A B, A B ja B A. Yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen määritelmiä käyttämällä saadaan A B = {0, 1, 2, 3, 4} = { n N n 4}, A B = {2} (ns. kakkosen yksiö), A B = {0, 4} B A = {1, 3}. JYM, Syksy /197

23 Luonnolliset luvut Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla: Luonnollisten lukujen joukko N tarkoittaa joukkoa, jolla on seuraavat ominaisuudet: 1. 0 on luonnollinen luku; ts. 0 N. 2. Jokaista luonnollista lukua n kohti on olemassa täsmälleen yksi luonnollinen luku s(n), jota sanotaan luvun n seuraajaksi ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja; ts. 0 s(n) kaikilla n N. 4. Eri luvuilla on eri seuraajat; ts. jos m n, niin s(m) s(n). 5. (Induktioaksiooma) Oletetaan, että A N ja 0 A, jos n A, niin s(n) A. Tällöin A = N. JYM, Syksy /197

24 Induktiotodistus Induktioaksioomasta saadaan I induktioperiaate, jonka avulla voidaan todistaa väitteitä, jotka ovat muotoa Todistukset vaiheet: kaikille luonnollisille luvuille n pätee asia P. 1. Alkuaskel: Osoitetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k. Näytetään, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella asia P pätee kaikille luonnollisille luvuille. JYM, Syksy /197

25 Induktiotodistus Esimerkki 9 Osoita induktiolla, että n = n(n + 1) kaikilla n N. Huom. yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa summamerkin avulla: n n = 2k. k=0 JYM, Syksy /197

26 1. Alkuaskel: Luvun 0 tapauksessa yhtälön vasen puoli on 0 ja yhtälön oikea puoli on 0 1 = 0. Siis yhtälö pätee. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k N ja k = k(k + 1). Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2). JYM, Syksy /197

27 Induktioväitteen todistus: Muokataan induktioväitteen yhtälön vasenta puolta induktio-oletusta käyttäen k + 2(k + 1) (IO) = k(k + 1) + 2(k + 1) = k 2 + k + 2k + 2 = k 2 + 3k + 2. Kohdassa (IO) käytettiin induktio-oletusta. Muokataan induktioväitteen yhtälön oikeaa puolta: (k + 1)(k + 2) = k 2 + 2k + k + 2 = k 2 + 3k + 2. Havaitaan, että induktioväitteen yhtälön vasen ja oikea puoli ovat samat, joten yhtälö pätee. JYM, Syksy /197

28 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella yhtälö pätee kaikilla n N n = n(n + 1) Huom. Induktioväitteen yhtälö voidaan todistaa myös yhtälöketjun avulla: k + 2(k + 1) (IO) = k(k + 1) + 2(k + 1) ( ) = (k + 1)(k + 2). Kohdassa (IO) käytetään induktio-oletusta ja kohdassa ( ) otetaan yhteinen tekijä (k + 1). JYM, Syksy /197

29 Kokonaislukujen jaollisuus Määritelmä Sanotaan, että kokonaisluku z on jaollinen kokonaisluvulla a, jos on olemassa b Z, jolla z = ab. Tällöin merkitään a z ja sanotaan, että luku a jakaa luvun z. Jos luku z ei ole jaollinen luvulla a, merkitään a z. Esimerkki 10 Osoita induktiolla, että luku 5 2n 3 n on jaollinen luvulla 11 kaikilla n N. JYM, Syksy /197

30 1. Alkuaskel: Havaitaan, että = 1 1 = 0 = 11 0, missä 0 Z. Siis luku on jaollinen luvulla Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k N ja luku 5 2k 3 k on jaollinen luvulla 11. Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että myös luku 5 2(k+1) 3 k+1 on jaollinen luvulla 11. JYM, Syksy /197

31 Induktioväitteen todistus: Muokataan tarkasteltavaa lukua potenssisääntöjen avulla 5 2(k+1) 3 k+1 = 5 2k+2 3 k+1 = 5 2k k 3 = k 3 3 k. Induktio-oletuksesta seuraa, että 5 2k 3 k = 11b, missä b Z. Tästä saadaan ratkaistua 5 2k = 11b + 3 k. JYM, Syksy /197

32 Sijoittamalla saadaan 5 2(k+1) 3 k+1 = k 3 3 k = 25 (11b + 3 k ) 3 3 k = 25 11b k 3 3 k = 11 25b + (25 3) 3 k = 11 25b k = 11 (25b k ), missä 25b k Z. Siis luku 5 2(k+1) 3 k+1 on jaollinen luvulla 11. JYM, Syksy /197

33 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella luku 5 2n 3 n on jaollinen luvulla 11 kaikilla n N. JYM, Syksy /197

34 Induktiotodistus Induktiotodistus voidaan aloittaa luvun 0 sijaan myös luonnollisesta luvusta m > 0: Esimerkki 11 Osoita induktiolla, että 3 n > n 3 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 4. JYM, Syksy /197

35 1. Alkuaskel: Havaitaan, että 3 4 = 81 ja 4 3 = 64, joten 3 4 > 4 3. Siis väitetty epäyhtälö pätee luvun 4 tapauksessa. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että luonnolliselle luvulle k pätee k 4 ja 3 k > k 3. Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että myös 3 k+1 > (k + 1) 3. JYM, Syksy /197

36 Induktioväitteen todistus: Kertomalla induktio-oletuksen epäyhtälöä puolittain luvulla 3 saadaan uusi epäyhtälö 3 3 k > 3k 3, joka voidaan kirjoittaa myös muotoon 3 k+1 > k 3 + k 3 + k 3. (1) Arvioidaan epäyhtälön (1) oikeaa puolta varovasti alaspäin käyttäen toistuvasti oletusta k 4: 3 k+1 > k 3 + k 3 + k 3 = k 3 + k k 2 + k 2 k > k 3 + 3k 2 + 4k = k 3 + 3k 2 + 3k + k > k 3 + 3k 2 + 3k + 1 = (k + 1) 3. JYM, Syksy /197

37 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella 3 n > n 3 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 4. JYM, Syksy /197

38 Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 5. Todistus : 5 N 5 N tosi. JYM, Syksy /197

39 Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 7 9 Z. Todistus : 7 9 Z kahden kokonaisluvun tulo on kokonaisluku, joten Z 7 Z tosi. JYM, Syksy /197

40 Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 3 = 4. Todistus : 3 = = = 0 tosi. JYM, Syksy /197

41 Selitys Kaikissa päättelyissä on sama vika: Päättelyn suunta on väärä! Väite oli edellä päättelyn lähtökohta, vaikka sen pitäisi olla päättelyn johtopäätös! Epätodestakin väitteestä voidaan päätellä jokin tosiasia, kuten edellä nähtiin. Väitteen ottaminen päättelyn lähtökohdaksi ei siten todista mitään. JYM, Syksy /197

42 Osajoukoksi osoittaminen ja vastaesimerkin käyttö Esimerkki 12 (a) Osoita, että (A B) B A kaikilla joukoilla A ja B. (b) Pitääkö paikkansa, että (A B) B = A kaikilla joukoilla A ja B? Huom. Väite X Y saadaan todistettua päättelemällä, että mille tahansa x X pätee x Y. Voit osoittaa vastaesimerkin avulla, että jonkin asia ei päde yleisesti. JYM, Syksy /197

43 Osajoukoksi osoittaminen (a) Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: (A B) B A. Todistus. Oletetaan, että a (A B) B. Tällöin a A B ja a B (erotuksen määritelmä). Koska a A B, niin a A tai a B (yhdisteen määritelmä). Tarkastellaan tapaukset: Oletetaan, että a A. Tällöin a A eikä enempää tarvitse päätellä. Oletetaan, että a B. Toisaalta alussa pääteltiin, että a B. Tämä vaihtoehto ei siten ole mahdollinen. Siis a A. Tämä päättely voidaan tehdä mille tahansa joukon (A B) B alkiolle, joten jokainen joukon (A B) B alkio kuuluu joukkoon A. JYM, Syksy /197

44 Vastaesimerkin käyttö (b) Väite: (A B) B = A kaikilla joukoilla A ja B. Vastaesimerkki: Valitaan vaikkapa A = {1, 2} ja B = {2, 3}. Tällöin (A B) B = {1, 2, 3} {2, 3} = {1}. Siten (A B) B A. Näin ollen väite ei pidä paikkaansa. Huom. Väite saattaa kuitenkin päteä jossain erityistapauksessa, esimerkiksi jos B =. JYM, Syksy /197

45 Joukkojen osoittaminen samaksi Esimerkki 13 Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. (a) Tutki Vennin kaavioiden avulla, kumpi seuraavista yhtälöistä näyttäisi pätevän yleisesti: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C). (b) Osoita, että toinen yhtälöistä pätee yleisesti. (c) Osoita, että toinen yhtälöistä ei aina päde. JYM, Syksy /197

46 Joukkojen osoittaminen samaksi Huom. Väite X = Y saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin; ts. päättelemällä, että mille tahansa x X pätee x Y, ja päättelemällä, että mille tahansa y Y pätee y X. JYM, Syksy /197

47 (a) Vennin kaaviot: C C A B A B Joukot B C ja A (B C). JYM, Syksy /197

48 C C A B A B Joukot A B ja (A B) C. JYM, Syksy /197

49 Näyttää siltä, että A (B C) (A B) C: C C A B A B JYM, Syksy /197

50 C C C A B A B A B Joukot A B, A C ja (A B) (A C). JYM, Syksy /197

51 Näyttää siltä, että A (B C) = (A B) (A C): C C A B A B JYM, Syksy /197

52 (b) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Todistus. Väite: A (B C) = (A B) (A C). : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x A tai x B C (yhdisteen määritelmä). Tarkastellaan tapaukset: Oletetaan, että x A. Tällöin x A B ja x A C. Siis x (A B) (A C). Oletetaan, että x B C. Tällöin x B ja x C (leikkauksen määritelmä). Koska x B, niin x A B. Toisaalta koska x C, niin x A C. Näin ollen x (A B) (A C). Tämä päättely pätee mille tahansa joukon A (B C) alkiolle, joten mikä tahansa joukon A (B C) alkio kuuluu joukkoon (A B) (A C). JYM, Syksy /197

53 : Oletetaan, että x (A B) (A C). Tällöin x A B ja x A C (leikkauksen määritelmä). Ettei päättely menisi liian sekavaksi, ajatellaan seuraavasti: Joka tapauksessa pätee joko x A tai x A. Tutkitaan nämä vaihtoehdot erikseen. Oletetaan, että x A. Tällöin x A (B C) (yhdisteen määritelmä). Oletetaan, että x A. Koska kuitenkin x A B, voidaan päätellä, että x B. Vastaavasti koska kuitenkin x A C, niin x C. Siis x B ja x C, joten x B C. Näin x A (B C) (yhdisteen määritelmä). Tämä päättely pätee mille tahansa joukon (A B) (A C) alkiolle, joten mikä tahansa joukon (A B) (A C) alkio kuuluu joukkoon A (B C). JYM, Syksy /197

54 (c) Osoitetaan, että yhtälö A (B C) = (A B) C ei aina päde. Huom. Laaditaan vastaesimerkki: Valitaan vaikkapa A = {1, 2}, B = {2, 3} ja C = {1, 3}. Tällöin A (B C) = {1, 2} {3} = {1, 2, 3} ja (A B) C = {1, 2, 3} {1, 3} = {1, 3} Siten A (B C) (A B) C. Yhtälö saattaa kuitenkin päteä jossain erityistapauksessa, esimerkiksi jos A = B = C. JYM, Syksy /197

55 Perusjoukko ja komplementti Usein tarkastellaan jonkin tietyn joukon eri osajoukkoja ja alkioita. Tätä joukkoa, jonka osajoukkoja ja alkoita tutkitaan, sanotaan perusjoukoksi. Määritelmä Olkoon X tarkasteltava perusjoukko. Joukon A X komplementti on joukko A = { x X x A }. Huom. Toisin sanottuna A = X A. Joukon A komplementille käytetään myös merkintää A c. JYM, Syksy /197

56 Perusjoukko ja komplementti Havainnollistuksia: A A A B (A B) JYM, Syksy /197

57 Esimerkki 14 Perusjoukko ja komplementti Tarkastellaan joukon N osajoukkoja A = {0, 1, 2, 3} ja B = { n N n = 2k missä k N }. Määritä A ja B. Havaitaan, että A = {4, 5, 6, 7,...} = { n N n 4 } B = {1, 3, 5, 7,...} = { m N m = 2k + 1 missä k N }. Huom. Joukko B on parillisten luonnollisten lukujen joukko ja sen komplementti B on parittomien luonnollisten lukujen joukko. JYM, Syksy /197

58 de Morganin lait Lause 15 (de Morganin lait) Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Tällöin (A B) = A B ja (A B) = A B. Huom. Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /197

59 de Morganin lait Ensimmäisen de Morganin lain perustelu: Väite: (A B) = A B. Todistus. : Oletetaan, että x (A B). Tällöin x X ja x A B (komplementin määritelmä). Koska x A B, niin x A. Vastaavasti koska x A B, niin x B. Koska x X ja x A, niin x A. Toisaalta x X ja x B, joten x B. Näin x A ja x B, joten x A B. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A ja x B (leikkauksen määritelmä). Näin ollen x X ja x A ja x B (komplementin määritelmä). Koska x A ja x B, niin x A B. Näin x X ja x A B, mikä tarkoittaa, että x (A B). JYM, Syksy /197

60 Jos..., niin... -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 16 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että jos A B, niin A B = B. Huom. Väite muotoa jos P, niin Q voidaan osoittaa todeksi seuraavasti: - Oletetaan, että P pätee. - Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että myös Q pätee. Kysymyksessä on yksi erikoistapaus ns. suorasta todistuksesta. JYM, Syksy /197

61 Oletus: A ja B ovat joukkoja. Väite: jos A B, niin A B = B. Perustelu: Oletetaan, että väitteen jos... -osa pätee eli A B. Yritetään osoittaa, että väitteen niin... -osa pitää paikkansa. Koska kysymyksessä on joukkojen identtisyys, osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A tai x B (yhdisteen määritelmä). Tapaukset: Oletetaan, että x A. Lisäksi alun oletuksen mukaan A B, joten x B. Oletetaan, että x B. Tämän enempää ei tarvita. Molemmissa tapauksissa x B. : Oletetaan, että x B. Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla x A B. Päättelyt ja yhdessä osoittavat, että A B = B. JYM, Syksy /197

62 Järjestetty pari Joukossa alkioiden järjestyksellä ei ole väliä: esimerkiksi {3, 8} = {8, 3}. Jos alkioiden järjestyksellä on väliä, voidaan kahden alkion tapauksessa käyttää ns. järjestettyä paria. Sille käytetään merkintää (a, b) ja sille pätee: (a, b) = (c, d) jos ja vain jos a = c ja b = d. Siis esimerkiksi (3, 8) (8, 3). Huom. Esimerkiksi lineaarialgebrasta tutut avaruuden R 2 vektorit ovat järjestettyjä pareja. JYM, Syksy /197

63 Määritelmä Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko A B = { (a, b) a A ja b B }. Esimerkki 17 (a) Määritä joukkojen C = {0, 4, 7} ja D = {4, 9} karteesinen tulo C D. C D = {(0, 4), (0, 9), (4, 4), (4, 9), (7, 4), (7, 9)}. (b) Havainnollista koordinaatistossa. JYM, Syksy /197

64 (b) Havainnollistus koordinaatistossa: JYM, Syksy /197

65 Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Esimerkki 18 (a) Osoita, että A (B C) = (A B) (A C) kaikilla joukoilla A, B ja C. (b) Havainnollista kuvan avulla. JYM, Syksy /197

66 Havainnollistus: C B C B A Tässä joukkoa A (B C) vastaa keskelle jäävä valkoinen alue. Havaitaan, että se on myös joukkojen A B (keltainen & valkoinen alue) ja A C (violetti & valkoinen alue) leikkaus. JYM, Syksy /197

67 (a) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: A (B C) = (A B) (A C). Todistus. : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x = (s, t), missä s A ja t B C. Koska t B C, niin t B ja t C. Koska s A ja t B, niin x = (s, t) A B. Vastaavasti koska s A ja t C, niin x = (s, t) A C. Leikkauksen määritelmän mukaan tällöin x (A B) (A C). : Oletetaan, että y (A B) (A C). Tällöin y A B ja y A C. Siten y = (a, d), missä a A, d B ja d C. Tällöin d B C. Koska a A ja d B C, niin tulojoukon määritelmän mukaan y = (a, d) A (B C). JYM, Syksy /197

68 jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 19 Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Osoita, että A B, jos ja vain jos A B = X. Huom. Väite muotoa P jos ja vain jos Q voidaan osoittaa todeksi kahdessa osassa: - Oletetaan, että P pätee. Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että tällöin myös Q pätee. - Oletetaan, että Q pätee. Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että tällöin myös P pätee. Perustelu rakentuu siis kahdesta osasta: osoitetaan todeksi sekä väite jos P, niin Q että väite jos Q, niin P. Kysymyksessä on yksi erikoistapaus ns. suorasta todistuksesta. JYM, Syksy /197

69 Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Väite: A B, jos ja vain jos A B = X. Todistus. : Oletetaan, että A B. Pitää osoittaa, että tällöin A B = X. : Oletetaan, että s A B. Tällöin s A tai s B. Tapaukset: Oletetaan, että s A. Tällöin s X ja s A. Siis s X. Oletetaan, että s B. Lisäksi B X, joten s X. Molemmissa tapauksissa s X. :Oletetaan, että m X. Periaatteessa on kaksi vaihtoehtoa: joko m A tai m A. Tapaukset: Oletetaan, että m A.Lisäksi A B, joten m B. Oletetaan, että m A. Kuitenkin m X. Näin m A. Molemmissa tapauksissa m A B. JYM, Syksy /197

70 : Oletetaan, että A B = X. Pitää osoittaa, että tällöin A B. Oletetaan, että a A. Oletuksen mukaan A X, joten a X. Lisäksi X = A B, joten a A B. Tämä tarkoittaa, että a A tai a B. Koska oletuksen mukaan a A, niin a A. Näin ollen välttämättä a B. JYM, Syksy /197

71 Potenssijoukko Määritelmä Oletetaan, että X on joukko. Joukon X potenssijoukko tarkoittaa sen kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa P(X) = { A A X }. Huom. Potenssijoukon alkioiden lukumäärää ja erilaisten osajoukkojen alkioiden lukumääriä käsitellään tällä kurssilla tietojenkäsittely- ja tilastotieteen matematiikan osuudessa. JYM, Syksy /197

72 Potenssijoukko Esimerkki 20 (a) Olkoon X = {3, 1, 4}. Määritä P(X). P(X) = {, {3}, {1}, {4}, {3, 1}, {3, 4}, {1, 4}, X }. (b) Olkoon Y = {, {3, 1, 4}}. Määritä P(Y ). P(Y ) = P({, X}) = {, { }, {X}, Y }. JYM, Syksy /197

73 Esimerkki 21 Potenssijoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että Todistus. P(A B) = P(A) P(B). : Oletetaan, että X P(A B). Tällöin X A B. Tästä voidaan päätellä (ks. seuraava kalvo, lemma 22), että X A ja X B. Toisin sanottuna X P(A) ja X P(B). Siis X P(A) P(B). : Oletetaan, että Y P(A) P(B). Tällöin Y P(A) ja Y P(B). Tämä tarkoittaa, että Y A ja Y B. Tästä voidaan päätellä (ks. seuraava kalvo, lemma 22), että Y A B. Siis Y P(A B). JYM, Syksy /197

74 Lemma 22 (eli apulause) X A B, jos ja vain jos X A ja X B. Todistus. : Oletetaan, että X A B. Pitää osoittaa, että X A ja X B. Oletetaan, että x X. Koska X A B, niin x A B. Tämä tarkoittaa, että x A ja x B. Saatiin osoitettua, että mikä tahansa joukon X alkio kuuluu joukkoon A. Siis X A. Vastaavasti saatiin osoitettua, että mikä tahansa joukon X alkio kuuluu joukkoon B. Siis X B. : Oletetaan, että X A ja X B. Pitää osoittaa, että X A B. Oletetaan, että x X. Koska X A, niin x A. Vastaavasti koska X B, niin x B. Näin x A B. JYM, Syksy /197

75 Esimerkki 23 Epäsuora päättely Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Osoita, että jos A B ja A C, niin B C. Huom. Epäsuoran todistuksen rakenne on seuraava: - Kirjoitetaan näkyviin oletukset ja väite. (Huomio esimerkin jos..., niin... -rakenne.) - Muotoillaan väitteen (eli teesin) negaatio. Sitä kutsutaan vastaoletukseksi eli antiteesiksi. - Oletetaan, että vastaoletus (eli antiteesi) on totta. Johdetaan siitä ristiriita käyttäen apuna mahdollisia muita oletuksia. - Koska vastaoletuksesta (eli antiteesistä) päädyttiin ristiriitaan, ei se voikaan olla totta. Siis alkuperäinen väite on tosi. JYM, Syksy /197

76 Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: jos A B ja A C, niin B C. Todistus. Oletetaan, että A B ja A C. Pitää osoittaa, että tällöin B C. Vastaoletus eli antiteesi: Oletetaan, että B C. Yhdistämällä alkuperäinen oletus A B ja vastaoletus B C saadaan näytettyä, että A C: Oletetaan, että a A. Koska A B, niin a B. Lisäksi vastaoletuksen mukaan B C, joten a C. Äskeinen päättely osoittaa, että A C. Tämä on kuitenkin ristiriidassa alkuperäisen oletuksen A C kanssa. Siis vastaoletus ei olekaan tosi, vaan alkuperäinen väite B C pätee. JYM, Syksy /197

77 Esimerkin 23 voi todistaa myös suoralla todistuksella: Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: jos A B ja A C, niin B C. Todistus. Oletetaan, että A B ja A C. Pitää osoittaa, että tällöin B C. Koska oletuksen mukaan A C, niin on olemassa a A, jolla pätee a C. Edelleen oletuksen mukaan A B, joten a B. Näin on olemassa alkio a B, jolla pätee a C. Siis B C. JYM, Syksy /197

78 jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 24 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että A B = B, jos ja vain jos A B =. Huom. Muista, että jos ja vain jos - muotoinen väite perustellaan osoittamalla todeksi kaksi erilaista jos..., niin... -väitettä. Muista, että joukot osoitetaan samoiksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. Tyhjää joukkoa koskevien väitteiden tapauksessa epäsuora päättely on usein kätevä. JYM, Syksy /197

79 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: A B = B, jos ja vain jos A B =. Todistus. : Oletetaan, että A B = B. Pitää osoittaa, että tällöin A B =. Vastaoletus eli antiteesi: oletetaan, että A B. Tämä tarkoittaa, että on olemassa x A B. Tällöin x A ja x B. Koska x A, niin x A B. Oletuksen mukaan A B = B, joten x B. Päädyttiin ristiriitaan: x B ja x B. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite A B = pätee. JYM, Syksy /197

80 : Oletetaan, että A B =. Pitää osoittaa, että tällöin A B = B. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A tai x B. Tapaukset: Oletetaan, että x A. Päätellään epäsuorasti: Jos x B, niin x A B. Kuitenkin oletuksen mukaan A B =. Siis välttämättä x B. Oletetaan, että x B. Enempää ei tarvitse päätellä. Molemmissa tapauksissa x B. : Oletetaan, että x B. Tällöin x A B yhdisteen määritelmän nojalla. JYM, Syksy /197

81 Määritelmä Kuvaus (eli funktio) Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus (eli funktio) joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Sama asia voidaan merkitä myös X f Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö (eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen f maali. Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitään f (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. JYM, Syksy /197

82 Havainnollistuksia: X Y Y x f f(x) f(x) x X JYM, Syksy /197

83 Kuvaus Esimerkki 25 Määritellään g : R R asettamalla g(x) = x + 1. Tällä tavalla saadaan kuvaus, sillä jos x R, niin x + 1 on olemassa, x + 1 on yksikäsitteisesti määrätty, x + 1 R. Huom. Tässä x + 1 tarkoittaa luvun x + 1 itseisarvoa. Reaaliluvun a itseisarvo on { a, jos a 0; a = a, jos a < 0. Esimerkiksi 4 = 4 ja 7 = ( 7) = 7. JYM, Syksy /197

84 Kaksi havainnollistusta kuvauksesta g: R g R t g(t) a 1 0 a g(t) t JYM, Syksy /197

85 Kuvaus Merkintöjä Merkintä g(x) = x + 1 tarkoittaa, että alkion x kuva-alkio on x + 1. Sama asia voidaan merkitä myös x x + 1. Esimerkin kuvaukselle g : R R pätee g( 4) = = 3 = 3 eli 4 3 g(12) = = 13 = 13 eli JYM, Syksy /197

86 Kuvauksien samuus Määritelmä Kuvaukset f : X Y ja g : V W ovat samat, jos niillä on sama lähtö eli X = V, niillä on sama maali eli Y = W, f (z) = g(z) kaikilla yhteisen lähdön alkioilla z. Huom. Tällä kurssilla käytetään tätä tiukkaa määritelmää, jotta vältytään epämääräisyyksiltä myöhemmin injektion ja surjektion käsitteiden yhteydessä. JYM, Syksy /197

87 Esimerkki 26 Kuvauksien samuus Tarkastellaan kuvauksia f : R R, g : R [0, [ ja h : N N, joilla kaikilla x x 2. Nämä ovat kaikki eri kuvauksia, sillä niillä kaikilla on eri maali. Lisäksi kuvauksella h on eri lähtö kuin kuvauksilla f ja g. Myöhemmin nähdään, että g on surjektio ja h on injektio mutta f ei ole kumpaakaan. JYM, Syksy /197

88 Kuvaus Esimerkki 27 Oletetaan, että a, b Z ja b 0. Määritellään h : Q Q asettamalla a b ab b 2a. Onko h kuvaus? JYM, Syksy /197

89 Havaitaan ongelmia: (a) Alkioon 1 2 Q ei liitetä yhtään alkiota, sillä ei ole määritelty = 2 0 (b) Alkioon 2 6 = 3 9 Q liitetään useampi kuin yksi alkio: Siis h ei ole kuvaus. Huom = 6 ja = 9. Kumpi tahansa ongelma riittäisi jo yksinkin osoittamaan, että h ei ole kuvaus. JYM, Syksy /197

90 Kuvaus Esimerkki 28 Olkoon X kaikkien tälle kurssille viime syksynä ilmoittautuneiden opiskelijoiden joukko. Määritellään g : X N asettamalla g(x) = opiskelijan x tästä kurssista saama arvosana. Onko g kuvaus? Havaitaan, että g on kuvaus, sillä se liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden luvun, joka kuuluu maaliin N. JYM, Syksy /197

91 Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon A kuva kuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy /197

92 Havainnollistuksia: X Y A f Y fa fa X A JYM, Syksy /197

93 Kuva Esimerkki 29 Olkoon f : Z Z kuvaus, jolle z z Merkitään A = { 1, 0, 1, 2}. Määritä fa ja f [A {1, 2}]. Huom. Kuvan merkinnässä tarvitaan joskus sulkuja, kuten edellä merkinnässä f [A {1, 2}]. Tällöin tällä kurssilla käytetään hakasulkuja, jotta käsitteet kuva ja kuva-alkio eivät menisi sekaisin. Alkion C kuva-alkio h(c). Osajoukon C kuva hc tai h[c]. JYM, Syksy /197

94 Kuvan määritelmän mukaan fa = {n Z n = f (a) missä a A} = {f (a) a A} = {f ( 1), f (0), f (1), f (2)} = {2, 1, 2, 5} = {1, 2, 5} JYM, Syksy /197

95 Kaksi havainnollistusta joukon A kuvalle kuvauksessa f : Z Z fa A fa 2 1 A 2 JYM, Syksy /197

96 Kuvan määritelmän mukaan f [A {1, 2}] = {n Z n = f (a) missä a A {1, 2}} = {f (a) a { 1, 0}} = {f ( 1), f (0)} = {2, 1}. JYM, Syksy /197

97 Kuva Esimerkki 30 Olkoon g : R R kuvaus, jolle g(x) = x kaikilla x R. Merkitään B = [ 1, 2]. Määritä kuva gb. gb B JYM, Syksy /197

98 Kuvan määritelmän mukaan gb = {y R y = g(x) missä x B} = {g(x) x B} = {x x 2} Ehdon epäyhtälöstä saadaan pääteltyä: 1 x 2 0 x x Toisin sanottuna jos x B, niin g(x) [1, 5]. Näin gb [1, 5]. JYM, Syksy /197

99 Osoitetaan vielä sisältyminen toiseen suuntaan. Ratkaistaan x yhtälöstä g(x) = y eli yhtälöstä x = y: x = y x 2 = y 1 x = y 1 x = y 1 Nyt voidaan päätellä seuraavasti: 1 y 5 0 y y 1 2. Siis jos y [1, 5], niin on olemassa x = y 1 [0, 2], jolla y = g(x). Toisin sanottuna jokainen välin [1, 5] luku on välin [ 1, 2] jonkin alkion kuva-alkio. Näin [1, 5] gb. JYM, Syksy /197

100 Havainnollistus joukon B kuvalle kuvauksessa g: gb B JYM, Syksy /197

101 Alkukuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että B Y. Joukon B alkukuva kuvauksessa f on joukko f B = { x X f (x) B }. Huom. Alkukuvan f B muodostavat siis ne lähdön alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon B. Määritelmä tarkoittaa, että t f B, jos ja vain jos t X ja f (t) B. JYM, Syksy /197

102 Havainnollistuksia: X f Y Y f B B B X f B JYM, Syksy /197

103 Alkukuva Esimerkki 31 Olkoon f : Z Z kuvaus, jolle z z Merkitään A = { 1, 0, 1, 2}. Määritä f A ja f [A {1, 2}]. Huom. Alkukuvan merkinnässä tarvitaan joskus sulkuja, kuten edellä merkinnässä f [A {1, 2}]. Tällöin tällä kurssilla käytetään hakasulkuja. JYM, Syksy /197

104 Alkukuvan määritelmän mukaan f A = {z Z f (z) A } = {z Z z { 1, 0, 1, 2} } = {z Z z 2 { 2, 1, 0, 1} } ( ) = {0, 1, 1 } Kohdassa ( ) ratkaistaan yhtälöt z 2 = 2, z 2 = 1, z 2 = 0 ja z 2 = 1 käyttämällä seuraavia tietoja: z 2 0 kaikilla z Z; z 2 = 0, jos ja vain jos z = 0; z 2 = 1, jos ja vain jos z = ±1. JYM, Syksy /197

105 Kaksi havainnollistusta joukon A alkukuvalle kuvauksessa f : Z Z A f A f A 2 A 0 1 JYM, Syksy /197

106 Alkukuvan määritelmän mukaan f [A {1, 2}] = {z Z f (z) A {1, 2} } = {z Z z { 1, 0} } = {z Z z 2 { 2, 1} } ( ) = Kohdassa ( ) ratkaistaan yhtälöt z 2 = 2 ja z 2 = 1 käyttämällä tietoa, että z 2 0 kaikilla z Z, minkä vuoksi näillä yhtälöillä ei ole ratkaisuja. JYM, Syksy /197

107 Alkukuva Esimerkki 32 Olkoon g : R R kuvaus, jolle g(x) = x Merkitään B = [ 1, 2]. Määritä g B. B g B JYM, Syksy /197

108 Alkukuvan määritelmän mukaan g B = {x R g(x) B} = {x R 1 x }. Ratkaistaan ehdon epäyhtälö: 1 x x 2 1 x x 1. Huomaa, että tässä käytettiin tietoa x 2 0 kaikilla x R. Siis g B = {x R 1 x 1} = [ 1, 1]. JYM, Syksy /197

109 Havainnollistus joukon B alkukuvalle kuvauksessa g: B g B JYM, Syksy /197

110 Kuva Esimerkki 33 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja A, B X. Osoita, että f [A B] = fa fb. Huom. Käytä kuvan määritelmää: fv = { y Y y = f (v) missä v V }. Muista, että kaksi joukkoa osoitetaan samaksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /197

111 Esimerkin 33 ratkaisu. Osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin: : Oletetaan, että y f [A B]. Tällöin y Y ja y = f (x) jollakin x A B (kuvan määritelmä). Koska x A B, niin x A tai x B. Tapaukset: Oletetaan, että x A. Tällöin f (x) fa (kuvan määritelmä). Koska y = f (x), niin y fa. Oletetaan, että x B. Tällöin f (x) fb (kuvan määritelmä). Koska y = f (x), niin y fb. Molemmissa tapauksissa y fa fb. JYM, Syksy /197

112 : Oletetaan, että y fa fb. Tällöin y fa tai y fb. Tapaukset: Oletetaan, että y fa. Tällöin y = f (a) jollakin a A (kuvan määritelmä). Koska a A, niin a A B. Siten f (a) f [A B] (kuvan määritelmä). Koska y = f (a), niin y f [A B]. Oletetaan, että y fb. Tällöin y = f (b) jollakin b B (kuvan määritelmä). Koska b B, niin b A B. Siten f (b) f [A B] (kuvan määritelmä). Koska y = f (b), niin y f [A B]. JYM, Syksy /197

113 Alkukuva Esimerkki 34 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja C, D Y. Osoita, että f [C D] = f C f D. Huom. Käytä alkukuvan määritelmää: f W = { x X f (x) W }. Muista, että kaksi joukkoa osoitetaan samaksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /197

114 Esimerkin 34 ratkaisu. Osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin: : Oletetaan, että x f [C D]. Tällöin x X ja f (x) C D (alkukuvan määritelmä). Siis f (x) C ja f (x) D. Koska x X ja f (x) C, niin x f C (alkukuvan määritelmä). Koska x X ja f (x) D, niin x f D (alkukuvan määritelmä). Näin ollen x f C f D. JYM, Syksy /197

115 : Oletetaan, että x f C f D. Tällöin x f C ja x f D. Koska x f C, niin x X ja f (x) C (alkukuvan määritelmä). Lisäksi x f D, joten f (x) D (alkukuvan määritelmä). Näin ollen f (x) C D. Koska x X ja f (x) C D, niin x f [C D] (alkukuvan määritelmä). JYM, Syksy /197

116 Esimerkki 35 Kuva ja alkukuva Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja B Y. (a) Osoita, että f [f B] B. (b) Osoita, että sisältyminen toisinpäin ei päde yleisesti. Siis keksi sopivat joukot X ja Y, kuvaus f : X Y ja osajoukko B Y, ja osoita, että B f [f B]. Huom. Muista kuvan ja alkukuvan määritelmät: f W = { x X f (x) W } fv = { y Y y = f (v) missä v V }. JYM, Syksy /197

117 Esimerkin 35 ratkaisu. (a) Oletetaan, että y f [f B]. Tällöin y Y ja y = f (x) jollakin x f B (kuvan määritelmä). Koska x f B, niin f (x) B (alkukuvan määritelmä). Lisäksi y = f (x), joten y B. (b) Tarkastellaan kuvausta f : R R, jolla x x 2. Valitaan B = { 1, 0}. Tällöin f B = { x R f (x) B } = { x R x 2 { 1, 0} } = {0} ja f [f B] = { f (x) x f B } = {f (0)} = {0}. Siis B = { 1, 0} {0} = f [f B]. JYM, Syksy /197

118 Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen II induktioperiaate saadaan johdettua I induktioperiaatteesta (ks. Junnila, s. 39). Se poikkeaa I induktioperiaatteesta induktio-oletuksen osalta. Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Osoitetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k ja sitä pienemmille luonnollisille luvuille (0,..., k 1). Osoitetaan, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella asia P pätee kaikille luonnollisille luvuille. JYM, Syksy /197

119 Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Esimerkki 36 Määritellään jono kokonaislukuja rekursiivisesti asettamalla z 0 = 2, z 1 = 1 ja z n+1 = z n + 2z n 1 kaikilla n 1. (a) Laske z 2, z 3 ja z 4. (b) Keksi kaava, jolla z n voidaan laskea, jos n on annettu. Osoita kaava oikeaksi induktiota käyttäen. JYM, Syksy /197

120 (a) Lasketaan: z 2 = z 1 + 2z 0 = 5, z 3 = z 2 + 2z 1 = 7, z 4 = z 3 + 2z 2 = 17. (b) Arvaus: z n = 2 n + ( 1) n kaikilla n N. Osoitetaan arvaus oikeaksi induktiolla. JYM, Syksy /197

121 1. Alkuaskel: Tiedetään, että z 0 = 2. Keksitty kaava antaa z 0 = ( 1) 0 = = 2. Sama tulos, joten väite pätee luvun 0 tapauksessa. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja z j = 2 j + ( 1) j luonnollisilla luvuilla 0 j k eli luonnollisilla luvuilla j {0, 1,..., k}. Pyritään näyttämään, että tällöin myös z k+1 = 2 k+1 + ( 1) k+1. JYM, Syksy /197

122 Luvun z 1 laskemiseen ei voida käyttää rekursiokaavaa, joten tarkistetaan kaavan päteminen sen tapauksessa erikseen. Tiedetään, että z 1 = 1. Keksitty kaava antaa z 1 = ( 1) 1 = 2 1 = 1. Sama tulos, joten väite pätee luvun 1 tapauksessa. Lukujen z 2, z 3,... laskemisessa rekursiokaavaa voidaan käyttää. Siis jos k 1, niin z k+1 = z k + 2z k 1 (IO) = 2 k + ( 1) k + 2 (2 k 1 + ( 1) k 1) = 2 k + ( 1) k + 2 k + 2 ( 1) k 1. Kohdassa (IO) käytetään induktio-oletusta. JYM, Syksy /197

123 Todistus jatkuu. Edellisen kalvon perusteella z k+1 = 2 k + ( 1) k + 2 k + 2 ( 1) k 1 = 2 2 k + ( 1) ( 1) k ( 1) k 1 = 2 k+1 + ( 1 + 2) ( 1) k 1 = 2 k ( 1) k 1 = 2 k+1 + ( 1) k Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella z n = 2 n + ( 1) n kaikilla n N. JYM, Syksy /197

124 Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla x 1, x 2 X yhtälöstä f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2. Lause 37 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos ja vain jos lähdön eri alkioilla on eri kuva-alkiot; ts. kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). JYM, Syksy /197

125 Lauseen 37 todistus. : Oletetaan, että f on injektio. Pitää osoittaa, että kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). Oletetaan, että x 1, x 2 X ja x 1 x 2. Tehdään vastaoletus, että f (x 1 ) = f (x 2 ). Koska oletuksen mukaan f on injektio, tästä seuraa, että x 1 = x 2. Ristiriita! Siis f (x 1 ) f (x 2 ). : Oletetaan, että kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). Pitää osoittaa, että f on injektio. Osoitetaan, että f toteuttaa injektion määritelmän. Oletetaan, että a, b X ja f (a) = f (b). Tehdään vastaoletus, että a b. Tällöin oletuksen mukaan f (a) f (b). Ristiriita! Siis a = b. JYM, Syksy /197

126 Injektio Esimerkki 38 Ovatko seuraavat kuvaukset injektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy /197

127 (a) Oletetaan, että x 1, x 2 R {1} ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Tällöin x 1 x 1 1 = x 2 x 2 1. Kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjillä saadaan x 1 (x 2 1) = x 2 (x 1 1). Tästä seuraa, että x 1 x 2 x 1 = x 1 x 2 x 2 ja edelleen x 1 = x 2. Siis x 1 = x 2. Näin ollen kuvaus f on injektio. JYM, Syksy /197

128 (b) g : R R, jolle g(x) = x 2. Kuvaus g ei ole injektio, sillä esimerkiksi 2, 2 R ja 2 2, mutta g( 2) = 4 = g(2). JYM, Syksy /197

129 (c) ρ: N R, jolle ρ(x) = x 2. Oletetaan, että m, n N ja lisäksi ρ(m) = ρ(n). Tällöin m 2 = n 2 eli m 2 n 2 = 0. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa (m n)(m + n) = 0. Tulon nollasäännön nojalla se toteutuu, jos ja vain jos m n = 0 tai m + n = 0. Toisin sanottuna yhtälö toteutuu, jos ja vain jos m = n tai m = n. Koska m, n N, niin jälkimmäinen ehto m = n tarkoittaa, että m = 0 ja n = 0. Siis joka tapauksessa m = n. Näin on osoitettu, että ρ on injektio. JYM, Syksy /197

130 (d) h : R R, jolle h(x) = 1 2 x + 1. Oletetaan, että x 1, x 2 R ja lisäksi h(x 1 ) = h(x 2 ). Tällöin 1 2 x = 1 2 x eli 1 2 x 1 = 1 2 x 2. Tästä seuraa, että x 1 = x 2. Siis h on injektio. JYM, Syksy /197

131 Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, että f (x) = y. Lause 39 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos f X = Y. JYM, Syksy /197

132 Lauseen 39 todistus. : Oletetaan, että f on surjektio. Pitää osoittaa, että f X = Y. : Oletetaan, että b f X. Tällöin b = f (x) jollakin x X. Koska kuvauksen f maali on Y, niin f (x) Y. Koska b = f (x), niin b Y. : Oletetaan, että y Y. Oletuksen mukaan f on surjektio, joten on olemassa sellainen x X, jolla f (x) = y. Siis y f X. : Oletetaan, että f X = Y. Pitää osoittaa, että f on surjektio. Osoitetaan, että f toteuttaa surjektion määritelmän. Oletetaan, että y Y. Oletuksen mukaan Y = f X, joten y f X. Tällöin on olemassa sellainen x X, että f (x) = y. JYM, Syksy /197

133 Surjektio Esimerkki 40 Ovatko seuraavat kuvaukset surjektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy /197

134 Tutkitaan asiaa: Oletetaan, että y R ja tutkitaan yhtälöä f (x) = y: x = y x = y(x 1) x = yx y x 1 x yx = y (1 y)x = y. Havaitaan, että jos y = 1, päädytään yhtälöön 0x = 1, jolla ei ole ratkaisua. Ongelmallinen maalin alkio on siis y = 1. Näin vaikuttaa siltä, että f (x) 1 kaikilla x R {1}. JYM, Syksy /197

135 Varsinainen perustelu: Osoitetaan, että f ei ole surjektio. Vastaoletus: Oletetaan, että f on surjektio. Tällöin on olemassa erityisesti sellainen x R {1}, että f (x) = 1 eli x x 1 = 1. Tästä seuraa, että x = x 1 ja edelleen 0 = 1. Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee. Näin ollen f ei ole surjektio. JYM, Syksy /197

136 (b) g : R R, jolle g(x) = x 2. Kuvaus g ei ole surjektio: Havaitaan, että g(x) = x 2 0 kaikilla x R. Siten esimerkiksi g(x) 1 kaikilla x R. JYM, Syksy /197

137 (c) τ : R [0, [, jolle τ(x) = x 2. y y Oletetaan, että y [0, [. Tällöin y on määritelty ja y R. Lisäksi Siis τ on surjektio. τ( y) = ( y) 2 = y. JYM, Syksy /197

138 (d) h : R R, jolle h(x) = 1 2 x + 1. y Huom. 2y 2 Oletetaan, että y R. Tällöin 2y 2 R ja lisäksi h(2y 2) = 1 (2y 2) + 1 = y = y. 2 Siis h on surjektio. Alkio 2y 2 R löydetään ratkaisemalla x yhtälöstä h(x) = y eli yhtälöstä 1 2 x + 1 = y. JYM, Syksy /197

139 Yhdistetty kuvaus Määritelmä Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla x g(f (x)). Toisin sanottuna yhdistetty kuvaus g f : X Z määritellään asettamalla (g f )(x) = g(f (x)) kaikilla x X. Huom. Huomaa kuvausten järjestys: ensimmäinen kuvaus kirjoitetaan oikealle puolelle lähimmäs lähdön alkiota. JYM, Syksy /197

140 Esimerkki 41 Yhdistetty kuvaus Määritä yhdistetyistä kuvauksista g f, f g ja f f ne, jotka ovat määriteltyjä, jos (a) f : R R, f (x) = 1 + 2x ja g : R R, g(x) = (x 1) 2. Kuvaukset g f ja f g : R R on määritelty. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(1 + 2x) = (1 + 2x 1) 2 = (2x) 2 = 4x 2 (f g)(x) = f (g(x)) = f ((x 1) 2 ) = 1 + 2(x 1) 2 = 1 + 2(x 2 2x + 1) = 1 + 2x 2 4x + 2 = 2x 2 4x + 3 JYM, Syksy /197

141 Havaitaan, että g f f g, sillä esimerkiksi (g f )(0) = 0 3 = (f g)(0). Myös kuvaus f f : R R on määritelty. Sille pätee (f f )(x) = f (f (x)) = f (1 + 2x) = 1 + 2(1 + 2x) = x = 4x + 3. JYM, Syksy /197

142 (b) f : R R, f (x) = 2 x ja g : [0, [ R, g(x) = x 1. Kuvaus g f ei ole määritelty, koska kuvauksen f maali R on eri kuin kuvauksen g lähtö [0, [. Kuvaus f g : [0, [ R on määritelty.oletetaan, että x [0, [. Tällöin (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x 1) = 2 ( x 1) = 2 x + 1 = 3 x. Myös kuvaus f f : R R on määritelty. Sille pätee (f f )(x) = f (f (x)) = f (2 x) = 2 (2 x) = x = x. JYM, Syksy /197

143 Yhdistetty kuvaus Huom. Joskus vain toinen kuvauksista g f ja f g on määritelty. Usein g f f g, vaikka molemmat ovat määriteltyjä. JYM, Syksy /197

144 Identtinen kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X on mikä tahansa joukko. Joukon X identtinen kuvaus id X tarkoittaa kuvausta X X, jolla x x kaikilla x X. Toisin sanottuna joukon X identtinen kuvaus id X : X X määritellään asettamalla id X (x) = x kaikilla x X. Huom. Esimerkin 41 b-kohdan kuvaus f f : R R on joukon R identtinen kuvaus id R, sillä (f f )(x) = x kaikilla x R. JYM, Syksy /197

145 Identtinen kuvaus Esimerkki 42 (a) Oletetaan, että f : X X on kuvaus. Määritä yhdistetyt kuvaukset f id X : X X ja id X f : X X. Oletetaan, että x X. Tällöin Havaitaan, että (f id X )(x) = f (id X (x)) = f (x) (id X f )(x) = id X (f (x)) = f (x) f id X = f ja id X f = f. JYM, Syksy /197

146 (b) Huomataan vastaavuus: Operaatio Otus kuvausten yhdistäminen identtinen kuvaus reaalilukujen yhteenlasku luku 0 reaalilukujen kertolasku luku 1 JYM, Syksy /197

147 Yhdistetyt kuvaukset, injektiot ja surjektiot Esimerkki 43 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. (a) Oletetaan, että g f : X Z on injektio. Osoita, että f on injektio. Oletetaan, että x 1, x 2 X ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Tällöin g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )) ja yhdistetyn kuvauksen määritelmän mukaan edelleen (g f )(x 1 ) = (g f )(x 2 ). Oletuksen mukaan yhdistetty kuvaus g f on injektio, joten saadusta yhtälöstä seuraa, että x 1 = x 2. Näin on osoitettu, että f on injektio. JYM, Syksy /197

148 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. (b) Oletetaan, että g f : X Z on surjektio. Osoita, että g on surjektio. Oletetaan, että z Z. Koska g f : X Z on surjektio, niin on olemassa sellainen x X, että (g f )(x) = z. Koska f on kuvaus X Y, niin f (x) Y. Lisäksi g(f (x)) = (g f )(x) = z. Siis löydettiin joukon Y alkio f (x), joka kuvautuu alkioksi z kuvauksessa g. Näin on osoitettu, että g on surjektio. JYM, Syksy /197

149 Määritelmä Käänteiskuvaus Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. JYM, Syksy /197

150 Lause 44 Kuvauksella f : X Y on enintään yksi käänteiskuvaus. Todistus. Oletetaan, että g : Y X ja h : Y X ovat kumpikin kuvauksen f käänteiskuvauksia. Käänteiskuvauksen määritelmän nojalla g f = id X, f g = id Y, h f = id X ja f h = id Y. Käyttämällä näitä yhtälöitä ja esimerkkiä 42 saadaan h = h id Y = h (f g) ( ) = (h f ) g = id X g = g. Siis käänteiskuvauksia ei voi olla enempää kuin yksi. Kohdassa ( ) käytetään kuvausten yhdistämisen liitännäisyyttä, jonka todistaminen jää toistaiseksi lukijan tehtäväksi. JYM, Syksy /197

151 Käänteiskuvaus Esimerkki 45 Oletetaan, että f : R R ja g : R R ovat kuvauksia, joilla f (x) = 4 3x ja g(x) = x. Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(4 3x) = (4 3x) 3 = x = x = id R(x). JYM, Syksy /197

152 Tämä tarkoittaa, että kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi ( 4 (f g)(x) = f (g(x)) = f 3 1 ) ( 4 3 x = ) 3 x = x = x = id R (x). Tämä tarkoittaa, että kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Siis g f = id R ja f g = id R, joten g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Voidaan merkitä g = f 1. JYM, Syksy /197

153 Käänteiskuvaus Esimerkki 46 Oletetaan, että h : R {1} R {2} on kuvaus, jolle x 2x x 1. Määritä kuvauksen h käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa. JYM, Syksy /197

154 Oletetaan, että y R {2} ja tutkitaan yhtälöä h(x) = y: h(x) = y 2x = y 2x = y(x 1) x 1 2x = yx y 2x yx = y (2 y)x = y x = y 2 y. Huomaa, että viimeisessä askeleessa tarvittiin oletusta y R {2}. JYM, Syksy /197

155 Esimerkin 46 varsinainen ratkaisu: Määritellään g : R {2} R {1} asettamalla t t 2 t. Huomaa, että tässä käytetään lauseketta, joka saatiin edellä ratkaisemalla x yhtälöstä h(x) = y. Näin saadaan hyvin määritelty kuvaus, sillä jos t R {2}, niin osamäärä t/(2 t) on määritelty; on yksikäsitteinen; kuuluu maaliin R {1}: jos olisi t/(2 t) = 1, niin t = 2 t eli 0 = 2, ristiriita! JYM, Syksy /197

156 Osoitetaan, että g on kuvauksen h käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R {2}. Tällöin ( x (h g)(x) = h(g(x)) = h 2 x = 2x 2 x x 2 x 2 x 2 x = ( ) ) = 2 x 2x 2 x x (2 x) 2 x 2 x x 2 x 1 = 2x 2 x 2 x x 2 + x = 2x 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset h g : R {2} R {2} ja id: R {2} R {2} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy /197

157 Oletetaan, että x R {1}. Tällöin ( 2x ) (g h)(x) = g(h(x)) = g = 2x x 1 x 1 2 2x x 1 = 2(x 1) x 1 2x x 1 2x x 1 = 2x x 1 2x 2 2x x 1 = 2x x 1 x 1 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset g h : R {1} R {1} ja id: R {1} R {1} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy /197

158 Näin on osoitettu, että h g = id R {2} ja g h = id R {1}. Siis kuvaus g on kuvauksen h käänteiskuvaus eli g = h 1. JYM, Syksy /197

159 Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos kuvaus f on sekä injektio että surjektio, niin sanotaan, että kuvaus f on bijektio. Esimerkki 47 Esimerkeissä 38 ja 40 tarkasteltu kuvaus h : R R, jolle h(x) = 1 2x + 1, on bijektio. JYM, Syksy /197

160 Bijektio ja käänteiskuvaus Lause 48 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus, jos ja vain jos kuvaus f on bijektio. Todistus. : Oletetaan, että on olemassa f 1 : Y X. Osoitetaan, että f on bijektio. Osoitetaan, että f on injektio. Oletetaan, että x 1, x 2 X ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Soveltamalla kuvausta f 1 alkioon f (x 1 ) = f (x 2 ) Y saadaan f 1 (f (x 1 )) = f 1 (f (x 2 )). JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

1 Perusasioita joukoista

1 Perusasioita joukoista 1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan

Johdatus yliopistomatematiikkaan Johdatus yliopistomatematiikkaan Lotta Oinonen 1. maaliskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Perusasioita joukoista................................ 1 1.1 Merkintöjä..................................

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot