MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet"

Transkriptio

1 MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

2 Relaatiot

3 Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A joukkoon B on mikä tahansa joukko R A B. Joukko A on relaation R lähtöjoukko, joukko B sen maalijoukko. Jos A = B, sanotaan, että R on relaatio joukossa A. Huomautus Määritelmää yllä kutsutaan usein myös binääriseksi relaatioksi. (Vastaavasti voidaan määritellä n-paikkainen relaatio joukkojen A 1,..., A n välillä joukon A 1... A n osajoukkona.) Sovelluksia mm. Relaatiotietokannat, ohjelmointikielten kääntäjät. 1 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

4 Relaatio Esimerkki Olkoon A = {1,, 3, 4}. Määritellään relaatio R joukossa A säännöllä R = {(a, b) : a on b:n tekijä}. Tällöin R = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, ), (, 4), (3, 3), (4, 4)}. Huom: Yllä jaollisuutta (a, b) R on tapana merkitä a b. Yleisestikin relaatioon pyritään liittämään sopiva symboli (esim., =,, ) ja merkitsemään vastaavasti. Merkitsemme tällä kurssilla yleistä relaatiota a b emmekä arb kuten lähteissä. / 6 R. Kangaslampi MS-A040

5 Relaatio suunnattuna verkkona Esimerkki 3 Olkoon A = {0, 1, }, B = {a, b} ja R = {(0, a), (0, b), (1, a), (, b)}. Tällöin relaatio R voidaan esittää suunnattuna verkkona kuten alla: 0 1 a b Kysymys Jos A = m ja B = n, montako relaatiota on olemassa joukosta A joukkoon B? (Vastaus: mn.) 3 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

6 Relaatioiden luokittelua Määritelmä 4 Relaatio joukossa A (merkitään ) on refleksiivinen, jos x A : x x symmetrinen, jos x, y A : x y y x transitiivinen, jos x, y, z A : (x y ja y z) x z antisymmetrinen, jos x, y A : (x y ja y x) x = y. Esimerkki 5 Joukon Z relaatio = on refleksiivinen, symmetrinen, transitiivinen ja antisymmetrinen. Joukon N relaatio (jaollisuus) on antisymmetrinen, refleksiivinen ja transitiivinen. 4 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

7 Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 6 Jos relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatioksi tai lyhyesti ekvivalenssiksi. Esimerkki 7 C-ohjelmointikielen kääntäjä tarkistaa muuttujien nimistä vain kahdeksan ensimmäistä merkkiä ja mikäli ne ovat samoja, katsoo muuttujat samoiksi. (Lähde: Rosen.) Määritellään äärellisten merkkijonojen joukossa relaatio R asettamalla (x, y) R, jos x = y tai jos x:n ja y:n kahdeksan ensimmäistä merkkiä ovat samat. Tällöin R on ekvivalenssi. 5 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

8 Ekvivalenssirelaatio Ekvivalenssirelaatio ilmaisee yleistä samuutta. Riippuu tilanteesta, millä kriteereillä samuus määritellään, mutta jokainen ekvivalenssirelaatio jakaa joukkonsa samojen alkioiden muodostamiin ekvivalenssiluokkiin: Määritelmä 8 Olkoon R ekvivalenssirelaatio joukossa A (merkitään ). Alkion a A ekvivalenssiluokka on joukko [a] = {x A : a x}. 6 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

9 Ekvivalenssirelaatio Pätee Jos joukossa A on annettu ekvivalenssi, niin sen ekvivalenssiluokat jakavat A:n erillisiin osiin. Toisin sanoen kaikille a, b A pätee joko [a] = [b] tai [a] [b] =. Tarkemmin: Book of Proof, 11. & 11.3, erityisesti kuva sivulla 184. (Moduloluvut ovat neljännen viikon asiaa.) 7 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

10 Järjestysrelaatio Vastaavasti määritellään yleinen järjestyksen käsite relaationa, joka on antisymmetrinen ja transitiivinen. Tarkemmin harjoitustehtävässä 11, jossa tutustutaan osittaisiin järjestyksiin (eng. partial order; poset = partially ordered set). 8 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

11 Funktiot

12 Funktio Määritelmä 9 Funktio joukosta A joukkoon B on relaatio f joukosta A joukkoon B siten, että kullekin lähtöjoukon alkiolle a löytyy täsmälleen yksi maalijoukon alkio b, jolle (a, b) f. Esimerkki 10 lähtöjoukko maalijoukko lähtöjoukko maalijoukko 9 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

13 Funktio Huomioita Funktio siis rajoittaa relaatiota kahdella tavalla: 1) kaikkien lähtöjoukon alkioiden on oltava relaatiossa jonkun maalijoukon alkion kanssa, ) maalijoukon alkio on yksikäsitteinen. Tapana on funktion tapauksessa merkitä f (a) = b eikä (a, b) f. Funktiota f joukosta A joukkoon B merkitään lyhyesti f : A B. 10 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

14 Funktio Huomioita (jatkuu) Määritelmä tarkasti: a A, b, c B : ( f (a) = b ja f (a) = c ) b = c. Joskus funktiolle ei tarvita kirjainta; voidaan esimerkiksi ilmaista reaaliluvun korottaminen neliöön funktiona R R, x x. (Tässä f (a) = b on korvattu ilmaisulla a b.) Tarkemmin: Book of Proof, / 6 R. Kangaslampi MS-A040

15 Funktio Esimerkki 11 Funktion f = {(x, 4x + 5) : x Z} Z Z määrittelyjoukko (domain) on Z maalijoukko (codomain) on Z arvojoukko (range) on {4x + 5 : x Z} = {..., 7, 3, 1, 5, 9,...} Esimerkki 1 Lukujono on funktio N R. Algoritmien nopeuksien vertailukohteena käytetään lukujonoja muotoja f (n) = log k n, f (n) = n k ja f (n) = k n (jollekin k N) sekä näiden yhdistelmiä. 1 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

16 Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 13 Funktio f : A B on injektio (tai yksi-yhteen ), jos x, y A : x y f (x) f (y) surjektio (tai peittävä ), jos b B a A : f (a) = b bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Esimerkki 14 injektio surjektio bijektio 13 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

17 Injektio, surjektio, bijektio Esimerkki 15 Onko kuvaus f : Z Z Z, f (n) = (n, n + 3), bijektio? Kuvaus on injektio, jos f (n) = f (m) = m = n. Nyt: f (n) = f (m) = (n, n + 3) = (m, m + 3) = (n = m) (n + 3 = m + 3) = (n = m) (n = m) = n = m eli kuvaus todellakin on injektio. Kuvaus on surjektio, jos kaikilla (x, y) Z Z on olemassa n Z siten, että f (n) = (x, y), eli että (n, n + 3) = (x, y). Tämä ei ole totta: esimerkiksi jos (x, y) = (, 5), pitäisi olla samanaikaisesti n = ja n + 3 = 5 eli n = 1 ja n =. Kuvaus siis ei ole bijektio. 14 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

18 Injektio, surjektio, bijektio Bijektiiviset funktiot voidaan kääntää: Määritelmä 16 Bijektiivisen funktion f : A B käänteisfunktio on funktio g : B A, missä g(b) on se yksikäsitteinen luku a, jolle f (a) = b. Huomioita Voidaan osoittaa, että käänteisfunktio on yksikäsitteinen (ts. jos g ja h ovat f :n käänteisfunktioita, niin g = h). Funktion f käänteisfunktiota merkitään f 1. Merkintää f 1 käytetään eri tarkoituksessa alkukuvan käsitteen yhteydessä, tästä lisää hetken kuluttua. 15 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

19 Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 17 Bijektiivistä funktiota A A (oletetaan A < ), kutsutaan joukon A permutaatioksi. Esimerkki 18 Olkoon A = {1,, 3}. Määritellään permutaatio f : A A asettamalla ( f (1) ) = 3, f () =, f (3) = 1. Tiiviimmin matriisina: 1 3 f =. Nyt f 1 = f / 6 R. Kangaslampi MS-A040

20 Yhdistetty funktio Määritelmä 19 Funktioiden f : A B ja g : B C yhdistetty funktio on g f : A C, (g f )(x) = g ( f (x) ). Huomioita Määritelmässä f :n maalijoukko = g:n lähtöjoukko. Määritelmä toimii myös, kun f :n maalijoukko g:n lähtöjoukko. Yhdistäminen ei ole vaihdannainen (eng. commutative): yleensä g f f g. Yhdistäminen on liitännäinen (eng. associative): f (g h) = (f g) h. Tarkemmin: Book of Proof, luku / 6 R. Kangaslampi MS-A040

21 Yhdistetty funktio Esimerkki 0 Määritellään ( joukon ) {1,, ( 3} permutaatiot ) f = ja g =. Tällöin ( ) ( ) g f = ja f g = / 6 R. Kangaslampi MS-A040

22 Kuva ja alkukuva Tilanteessa f (a) = b sanotaan, että b on a:n kuva ja a on b:n alkukuva. (Funktiota kutsutaan joskus nimellä kuvaus.) Sama terminologia on voimassa yleisemmin joukoille: Määritelmä 1 Olkoon f : X Y. Joukon A X kuva on joukko {f (a) : a A} Y. Joukon B Y alkukuva on joukko {x X : f (x) B} X. Joukon A kuvaa merkitään f (A) ja joukon B alkukuvaa merkitään f 1 (B). 19 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

23 Kuva ja alkukuva Huomioita Kuva ja alkukuva ovat aina hyvin määriteltyjä. Erityisesti alkukuva f 1 (B) on aina olemassa, vaikka f ei olisi bijektio. Kuvan ja alkukuvan määritelmät toimivat myös relaatiolle. Itse asiassa mikä tahansa relaatio voidaan kääntää (ks. BoP luku 1.5), mutta funktion käänteisrelaatio ei ole funktio ellei alkuperäinen funktio ole bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin {f 1 (b)} = f 1 ({b}) kaikille b B. Tarkemmin: Book of Proof, luku / 6 R. Kangaslampi MS-A040

24 Funktiot ja joukko-operaatiot Lause Kaikille funktioille f ja kaikille lähtö- tai maalijoukon osajoukoille A, B pätee: A B f (A) f (B) A B f 1 (A) f 1 (B) f (A B) = f (A) f (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B). Siis: Alkukuva säilyttää kaikki joukko-operaatiot, mutta kuva vain yhdisteen ja osajoukkouden. 1 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

25 Funktiot ja joukko-operaatiot Erityisesti siis lauseen kaksi viimeistä eivät yleisesti päde kuvajoukoille, kuten vastaesimerkit etsimällä huomaamme: Esimerkki 3 (Tehtävä) Etsi sellainen esimerkkifunktio ja joukot, joille f (A B) f (A) f (B) f (A \ B) f (A) \ f (B). Ensimmäiseen kohtaan sopii vastaesimerkiksi tilanne, jossa A B on tyhjä joukko, mutta f (A) f (B) ei, ja toiseen vastaavasti tilanne, jossa f (A) \ f (B) on tyhjä joukko, mutta f (A \ B) ei ole. / 6 R. Kangaslampi MS-A040

26 Joukon mahtavuus Määritelmä 4 Kaksi joukkoa A ja B ovat yhtä mahtavia, jos on olemassa bijektio A B. Tällöin merkitään A = B. Huomioita A = n tarkoittaa, että on olemassa bijektio A {1,,..., n}. Joukko A on äärellinen jos on olemassa n N siten, että A = n. Jos joukko ei ole äärellinen, se on ääretön. Määritelmässä joukkojen A ja B ei tarvitse olla äärellisiä. Joukko A on numeroituva (eli numeroituvasti ääretön) jos A = N ja ylinumeroituva jos A > N. 3 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

27 Joukon mahtavuus Esimerkki 5 Pätee N = Z = Q R. Joukot N, Z ja Q ovat siis numeroituvia ja R on ylinumeroituva. Todistus: N = Z. Koska funktio f : N Z, missä f (0) = 0, f (k 1) = k ja f (k) = k kun k 1, on bijektio, niin joukot ovat yhtä mahtavia. 4 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

28 Joukon mahtavuus Todistus: N = Q. N = Q, koska voimme järjestää murtoluvut jonoon, ja siis konstruoida bijektion, seuraavalla tavalla: Hypäten jo listalla olevien lukujen yli saamme seuraavan bijektion: f (0) = 0, f (1) = 1, f () =, f (3) = 1, f (4) = 1, f (5) =, f (6) = 3, f (7) = 4, f (8) = 3, f (9) = 1, f (10) = 1 3, f (11) = 3, f (1) = 4, f (13) = 5,... 5 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

29 Joukon mahtavuus Todistus: Q R. Todistus on harjoitustehtävänä. 6 / 6 R. Kangaslampi MS-A040

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 3: Funktiot 4.3 Funktiot Olkoot A ja B joukkoja. Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää yksikäsitteisesti määrätyn

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Tuntitehtävät 17-18 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 21-22 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 19-20 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on. yr 1 x xry.

Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on. yr 1 x xry. Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi

Esko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi Logiikan algebralisointi Tässä viimeisessä luvussa osoitamme, miten algebran peruskäsitteitä käytetään logiikan tutkimuksessa. Käsittelemme vain klassista lauselogiikkaa ja sen suhdetta Boolen algebraan,

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!

Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna! Funktiot, L3a n kuvaaja n kuvaaja n kuvaaja Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Funktion. Käänteisfunktio. Testi 3. Kauhava Aiheet. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktion kasvaminen ja väheneminen.

Funktion. Käänteisfunktio. Testi 3. Kauhava Aiheet. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktion kasvaminen ja väheneminen. Funktiot Kauhava 26.11.2010 n kuvaaja n kuvaaja n kuvaaja Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

8. Kieliopit ja kielet

8. Kieliopit ja kielet 8. Kieliopit ja kielet Suomen kielen sanoja voidaan yhdistellä monella eri tavalla. Kielioppi määrää sen, milloin sanojen yhdistely antaa oikein muodostetun lauseen. "Mies räpyttää siipiään" on kieliopillisesti

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

5.3 Ratkeavia ongelmia

5.3 Ratkeavia ongelmia 153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 1 Joukon käsite JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 Joukon voisi yrittää määritellä kokoelmaksi olioita, mutta tämä edellyttää, että ymmärretään mitä olioilla ja kokoelmalla tarkoitetaan.

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4

Lisätiedot

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot