Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Transkriptio

1 HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina klo Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien. Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. Tehtäväsarja I Tehtävissä 1 4 oletetaan, että A on joukko, ja R ja S ovat joukon A relaatioita. Muista, että voit kumota väitteen vastaesimerkillä. 1. Oletetaan, että R ja S ovat refleksiivisiä. Onko relaatio R S tällöin refleksiivinen? Ei. Vastaesimerkki: Olkoon A = {1, 2} ja R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)} sekä S = {(1, 1), (2, 2)}. Tällöin R ja S ovat refleksiivisä, mutta R S = {(1, 2)} ei ole refleksiivinen. 2. Oletetaan, että R ja S ovat symmetrisiä. Onko relaatio R S tällöin symmetrinen? Kyllä. Oletetaan, että (a, b) R S. Tällöin (a, b) R ja (a, b) S. Koska R ja S ovat symmetrisiä, (b, a) R ja (b, a) S. Eli (b, a) R S. Näin ollen R S on symmetrinen.. Oletetaan, että R ja S ovat transitiivisia. Onko relaatio R S tällöin transitiivinen? Ei. Olkoon A = {1, 2}, R = {(1, 2)} ja S = {(2, 1)}. Tällöin R ja S ovat transitiivisia. Nyt R S = {(1, 2), (2, 1)}. Koska (1, 2) R S ja (2, 1) R S, mutta (1, 1) / R S, joten R S ei ole transitiivinen. 4. Oletetaan, että R on symmetrinen ja transitiivinen. Onko R tällöin refleksiivinen? Ei. Olkoon A = {1, 2} ja R = {(1, 1)}. Tällöin R on symmetrinen ja transitiivinen, mutta ei refleksiivinen koska (2, 2) / R. Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät ekvivalenssirelatioihin ja ekvivalenssiluokkiin. Luentokalvoista voi olla apua.. Olkoon S kaikkien suomen kielen sanojen muodostama joukko. Määritellään joukon S relaatio P seuraavasti: P = {(a, b) S S sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b }. Onko P ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: Kaikille sanoille a pätee, että niillä on yhtä monta kirjainta itsensä kanssa, eli (a, a) P kaikilla a S. Symmetrisyys: Jos sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b, niin toki sanassa b on yhtä monta kirjainta kuin sanassa a. Siis, jos (a, b) P, niin (b, a) P.

2 Transitiivisuus: Jos sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b ja sanassa b on yhtä monta kirjainta kuin sanassa c, niin toki a:ssa on yhtä monta kirjainta kuin c:ssä. Eli jos (a, b) P ja (b, c) P, niin (a, c) P. Ekvivalenssiluokat muodostuvat sanoista, joissa on yhtä monta kirjainta. Esim, [sana] P = { sana, kana, ohra, ruis,...}. 6. Määritellään joukon R {0} relaatio seuraavasti: a b, jos ab > 0. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: kaikilla a R \ {0} pätee a a > 0, joten a a. Symmetrisyys: jos ab > 0, niin ba > 0. Näin ollen jos a b, niin b a. Transitiivisuus: Oletetaan, että ab > 0 ja bc > 0. Tällöin myös 1 bc > 0, joten Näin ollen, jos a b ja b c, niin a c. Tutkitaan ekvivalenssiluokkia: ja ac = ab 1 bc c2 > 0 [ 1] = {a R \ {0} a 1} = {a R \ {0} a < 0} [1] = {a R \ {0} a 1} = {a R \ {0} a > 0}. Huomataan, että [ 1] [1] = R \ {0}. Näin ollen muita (eri) ekvivalenssiluokkia ei ole. Eri ekvivalenssiluokkia on siis kaksi: [ 1] ja [1]. 7. Olkoon A = {1, 2,, 4, } ja oletetaan, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio. Oletetaan, että {(1, ), (2, ), (, )} R ja (1, 4) / R. (a) Päteekö (, 2) R? (b) Päättele oletusten avulla, mitkä järjestetyt parit kuuluvat relaatioon R. (c) Mitkä ovat relaation R ekvivalenssiluokat? (a) Koska (, ), (2, ) R, niin (, ), (, 2) R (symmetrisyys). Näin ollen (, 2) R (transitiivisuus). (b) Koska R on refleksiivinen, niin (a, a) R kaikilla a {1, 2,, 4, }. Tehtävänannon oletuksesta ja symmetrisyydestä seuraa, että (, 1), (, 2), (, ) R. Transitiivisuudesta seuraa tällöin että (1, ), (2, ), (1, 2), (, 2), (2, 1), (, 1) R. Loput parit eivät kuulu relaatioon R symmetrisyyden ja transitiivisuuden perusteella, sillä (1, 4) / R. Näin ollen R = {(1,1),(2,2),(,),(4,4),(,),(1,),(,1),(,2),(2,),(,),(,),(1,),(2,),(1,2),(,2),(2,1),(,1)}. (c) [1] R = {b A (b, a) R} = {1, 2,, }. Näin ollen [1] R = [2] R = [] R = [] R. Lisäksi [4] R = {4}.

3 8. Määritellään joukon Z relaatio seuraavasti: m n, jos m n = 4k jollakin k Z. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: a a = 4 0 kaikilla a Z, joten a a kaikilla a Z. Symmetrisyys: jos m n, niin m n = 4k jollakin k Z. Tällöin n m = 4( k). Koska k Z, niin n m. Transitiivisuus: jos m n ja n p, niin m n = 4k ja n p = 4l joillakin k, l Z. Tällöin m p = m n + n p = 4k + 4l = 4(k + l). Koska k + l Z, niin m p. Määritetään ekvivalenssiluokat: Huomataan, että [0] = {z Z z 0} = {z Z z = 4k missä k Z} [1] = {z Z z 1} = {z Z z = 4k + 1 missä k Z} [2] = {z Z z 2} = {z Z z = 4k + 2 missä k Z} [] = {z Z z } = {z Z z = 4k + missä k Z} [0] [1] [2] [] = Z. Näin ollen eri ekivalenssiluokkia on neljä ja ne ovat [0], [1], [2], []. Tehtäväsarja III Seuraavissa tehtävissä kerrataan joukko-opillisten väitteiden todistamista ja kumoamista. Tehtävissä 9 12 oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. 9. Joukkojen A ja B symmetrinen erotus määritellään seuraavasti: A B = (A \ B) (B \ A). Osoita, että A C = B C jos ja vain jos (A B) C =. Oletetaan, että A C = B C. Osoitetaan, että (A B) C =. Tehdään vasta-oletus: (A B) C. Tällöin on olemassa alkio x (A B) C, joten x A B ja x C. Eli x (A \ B) (B \ A) ja x C. Joten x A \ B ja x C tai x B \ A ja x C. Jos x A\B ja x C, niin x A C, mutta x / B C. Näin ollen A C B C joka on ristiriita oletuksen nojalla. Jos x B \A ja x C, niin x B C, mutta x / A C. Näin ollen A C B C joka on ristiriita oletuksen nojalla. Päädytään ristiriitaan molemmissa tapauksissa, joten vasta-oletus ei pidä paikkansa. Näin ollen väite pätee.

4 Oletetaan, että (A B) C =. Osoitetaan, että A C = B C. Oletetaan, että x A C. Jos x / B, niin x A \ B ja x C. Näin ollen x (A B) C, joka on ristiriita oletuksen (A B) C = kanssa. Näin ollen x B, joten x B ja x C ja näin ollen x B C. Oletetaan, että x B C. Jos x / A, niin x B \ A ja x C. Näin ollen x (A B) C, joka on ristiriita oletuksen (A B) C = kanssa. Näin ollen x A, joten x A ja x C ja näin ollen x A C. 10. Osoita, että A C B C, jos ja vain jos A \ C B \ C. Oletetaan, että A C B C. Osoitetaan, että A \ C B \ C. Oletetaan, että x A \ C. Tällöin x A, joten x A C ja oletuksen nojalla x B C. Koska x / C, niin x B, joten x B \ C. Oletetaan, että A \ C B \ C. Osoitetaan, että A C B C. Oletetaan, että x A C. Jos x C, niin x B C. Jos x / C, niin x A \ C. Oletuksen nojalla tällöin x B \ C, joten x B ja näin ollen x B C. 11. Tarkastellaan yhtälöä A (B C) = (A B) (A C). (a) Onko tämä yhtälö aina tosi? (b) Onko tämä yhtälö aina epätosi? (a) Ei. Jos A = B = C = {1}, niin A (B C) = {1} ({(1, 1)}) = {1, (1, 1)}, mutta (A B) (A C) = {(1, 1)} {(1, 1)} = {(1, 1)}. (b) Ei. Jos A = B = C =, niin A (B C) = = (A B) (A C). 12. Tarkastellaan yhtälöä (A \ B) C = (A C) \ (B C). (a) Onko tämä yhtälö aina tosi? (b) Onko tämä yhtälö aina epätosi? (a) Kyllä. Oletetaan, että (a, c) (A \ B) C. Tällöin a A \ B ja c C. Koska a A ja c C, niin (a, c) A C. Koska a / B, niin (a, c) / B C. Näin ollen (a, b) (A C) \ (B C). Oletetaan, että (a, c) (A C) \ (B C). Tällöin (a, c) A C, eli a A ja c C, ja (a, c) / B C. Koska c C ja (a, c) / B C, niin täytyy päteä a / B. Näin ollen a A \ B ja c C, eli (a, b) (A \ B) C.

5 (b) a-kohdan nojalla yhtälö ei koskaan ole epätosi. Kompleksiluvut 1. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (i) z 4 = i (ii) z 6 ( + i)z 2 = 0 (i) Luvun i eksponenttiesitys on 8e 2π i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 8e 2π i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 8 4ϕ = 2π + k 2π r = 8 ϕ = 2π 4 + k 2π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: r = 8 ϕ = π 6 + k π 2, 8e π 6 i, 8e 2π i, 8e 7π 6 i ja 8e π i. (ii) Yhtälön z 6 ( + i)z 2 = 0 kanssa ekvivalentti yhtälö on z 2 (z 4 ( + i)) = 0. Tulon nollasäännön nojalla tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos z = 0 tai z 4 ( + i) = 0. Ratkaistaan vielä yhtälö z 4 ( + i) = 0. Sen kanssa ekvivalentti yhtälö on z 4 = + i. Luvun + i eksponenttiesitys on 2e π 4 i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 2e π 4 i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 2 4ϕ = π 4 + k 2π r = 4 2 ϕ = π k 2π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: r = 8 2 ϕ = π 16 + k π 2, 8 2e π 16 i =, 8 2e 9π 16 i, 8 2e 17π 16 i ja 8 2e 2π 16 i. Yhtälöllä z 6 ( + i)z 2 = 0 on siis tasan viisi ratkaisua: 0, 8 2e π 16 i, 8 2e 9π 16 i, 8 2e 17π 16 i, 8 2e 2π 16 i. 14. Määritellään joukon C relaatio seuraavasti: z w, jos z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w. Osoita, että relaatio on ekvivalenssirelaatio. Havainnollista kompleksitasossa ekvivalenssiluokkia [] ja [ i]. Vihje 1 Oletetaan, että z, w, t C. 1 z = a + bi ja ympyrän yhtälö.

6 Jokaisella z C pätee z 2 z 2 = 0 = 2 Re z 2 Re z, joten z z. Näin ollen on refleksiivinen. Oletetaan, että z w. Tällöin z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w, jolloin myös w 2 z 2 = 2 Re w 2 Re z eli w z. Näin ollen on symmetrinen. Oletetaan, että z w ja w t. Tällöin z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w ja w 2 t 2 = 2 Re w 2 Re t. Nyt z 2 t 2 = z 2 w 2 + w 2 t 2 = 2 Re z 2 Re w+2 Re w 2 Re t = 2 Re z 2 Re t eli z t. Näin ollen on transitiivinen. Koska on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, niin se on ekvivalenssirelaatio. Ekvivalenssiluokan määritelmän mukaan [] = {z C z 2 9 = 2 Re z 6} = {a + bi C a 2 + b 2 2a = } = {a + bi C a 2 2a b 2 = 4} = {a + bi C (a 1) 2 + b 2 = 2 2 } Ekvivalenssiluokka on siis ympyrä, jonka keskipiste on 1 = (1, 0) ja säde 2. Vastaavasti [ i] = {z C z 2 12 = 2 Re z 4} = {a + bi C a 2 + b 2 2a = 8} = {a + bi C a 2 2a b 2 = 9} = {a + bi C (a 1) 2 + b 2 = 2 } Ekvivalenssiluokka on siis ympyrä, jonka keskipiste on 1 = (1, 0) ja säde. 1. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (i) (1 i )(z 2i) 2 = 8 (b) (z ) 8 = 16 2 i Riittää, että annat b:ssä vastaukset muodossa eksponenttiesitys + vakio. (a) Merkitään x = z 2i, jolloin saadaan (1 i )(z 2i) 2 = 8 x 2 = 8 1 i = 2 + i2 Luvun 2 + i2 eksponenttiesitys on 4e π i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 2 = (re iϕ ) 2 = r 2 e 2iϕ = 4e π i.

7 Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 2 = 4 2ϕ = π + k 2π r = 4 ϕ = π 2 + k 2π 2 missä k Z. Ratkaisuja saadaan kaksi erilaista: x 0 = 2e π 6 i = + i x 1 = 2e 7π 6 i = i r = 2 ϕ = π 6 + k π, Huomioimalla, että x = z 2i alkuperäiselle yhtälölle saadaan ratkaisut (b) Merkitään x = z, jolloin saadaan z 0 = x 0 + 2i = + i + 2i = + i z 1 = x 1 + 2i = i + 2i = + i (z ) 8 = 16 2 i x 8 = 16 2 i = 2 8 i Luvun 2 8 i eksponenttiesitys on 2 8 e π 2 i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 8 = (re iϕ ) 8 = r 8 e 8iϕ = 2 8 e π 2 i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 8 = 2 8 8ϕ = π 2 + k 2π r = ϕ = π k 2π 8 missä k Z. Ratkaisuja saadaan kahdeksan erilaista: r = 2 ϕ = π 16 + k π 4, 2e π 16 i, 2e π 16 i, 2e 9π 16 i, 2e 1π 16 i, 2e 17π 16 i, 2e 21π 16 i, 2e 2π 16 i, 2e 29π 16 i Huomioimalla, että x = z alkuperäiselle yhtälölle saadaan ratkaisut z 0 = 2e π 16 i +, z 1 = 2e π 16 i +, z 2 = 2e 9π 16 i +, z = 2e 1π 16 i +, z 4 = 2e 17π 16 i +, z = 2e 21π 16 i +, z 6 = 2e 2π 16 i +, z 7 = 2e 29π 16 i Oletetaan, että luvulle w C \ {1} pätee w 4 = 1. (a) Osoita, että (1 + w + w 2 + w )(w 1) = w 4 1. (b) Päättele summan 1 + w + w 2 + w arvo oletusten ja a-kohdan avulla. (c) Päättele seuraavien lausekkeiden arvo: (i) (w + 1)(w 2 + 1) + w 4 (ii) (w + 1) 4 2w 2 (iii) w 1 + w + w (a) Tulos saadaan kertomalla yhtälön vasemmalla puolella oleva tulo auki ja sieventämällä: (1 + w + w 2 + w )(w 1) = w + w 2 + w + w 4 1 w w 2 w = w 4 1

8 (b) Oletuksen mukaan w 4 = 1, joten w 4 1 = 0. Nyt a-kohdan yhtälö saadaan muotoon (1 + w + w 2 + w )(w 1) = 0. Tulon nollasäännöstä seuraa, että toisen tulon tekijöistä on oltava nolla. Oletuksen nojalla w 1 eli w 1 0. Näin ollen täytyy päteä 1+w+w 2 +w = 0. (c) (i) Lauseke saadaan muotoon, jossa voidaan hyödyntää b-kohdan tulosta: (w+1)(w 2 +1)+w 4 = w +w+w 2 +1+w 4 = (1+w+w 2 +w )+w 4 = 0+w 4 = w 4 = 1 (ii) Samalla tavalla saadaan: (w + 1) 4 2w 2 = w 4 + 4w + 6w 2 + 4w + 1 2w 2 = w 4 + 4w + 4w 2 + 4w + 1 (iii) Samalla tavalla saadaan: = w 4 + 4(1 + w + w 2 + w ) = = 2 w 1 + w + w = 17. Ratkaise kompleksinen toisen asteen yhtälö w 1 + w + w w + w w + w 2 = 1 + w + w2 + w 1 + w + w 2 = x 2 + (8 + 4i)x i = 0 Vihje 2 Täydennetään yhtälön vasen puoli neliöksi: w + w 2 = 0 x 2 + (8 + 4i)x i = 0 x 2 + 2(4 + 2i)x + (4 + 2i) 2 (4 + 2i) i = 0 x 2 + 2(4 + 2i)x + (4 + 2i) 2 = (4 + 2i) i (x + (4 + 2i)) 2 = i + 4i i (x + (4 + 2i)) 2 = 4 4i Merkitään z = x i ja olkoon φ [0, 2π[ siten että z = z e iφ. Luvun 4 4i eksponenttiesitys on 4 2e π 4 i. Ratkaistaan yhtälö z 2 = 4 4i: z 2 = 4 4i ( z e iφ ) 2 = 4 2e π 4 i z 2 e 2iφ = 4 2e π 4 i joten z = 4 2 ja 2φ = π + 2kπ missä k Z. Eli z = 2 2 ja φ = π + kπ 4 8 missä k Z. Nyt φ [0, 2π[ (kuten oletettiin) jos ja vain jos k = 1 tai k = 2. Näin ollen ratkaisut ovat z 1 = 2 2e i 7 8 π ja z 2 = 2 2e i 1 8 π, joten alkuperäisen yhtälön ratkaisut ovat x 1 = z 1 4 2i = 2 2 cos(7π/8) 4 + i(2 2 sin(7π/8) 2) ja x 2 = z 2 4 2i = 2 2 cos(1π/8) 4 + i(2 2 sin(1π/8) 2) 2 Muokka yhtälö binomiyhtälöksi z 2 = a, missä a C ja z = x + b jollakin b C.

9 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 18. Tässä tehtävässä tarkastellaan suuntaamatonta verkkoa G 1 ja suunnattua verkkoa G 2, jotka on kuvattu alla. Merkitään verkon G k solmujen joukkoa V k ja kaarien joukkoa E k, missä k {1, 2} G 1 G 2 Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä epätosia? Perustele. (a) (1, 2) E 1 ja (2, 1) E 2. (b) 4 V 1 tai (4, 1) / E 2. (c) Verkon G 1 solmut 1 ja ovat vierekkäisiä. (d) Verkossa G 2 on silmukka. (e) (2, 4) E 1 E 2. (f) Verkossa G 1 pätee deg(1) + deg() + deg(4) = deg(2). (g) Verkossa G 1 pätee v V 1 deg(v) = 11. (a) Väite on tosi, sillä verkossa G 1 on viiva solmujen 1 ja 2 välillä sekä verkossa G 2 solmusta 2 on kaari solmuun 1. (b) Väite on tosi, sillä verkossa G 1 on solmu 4. (c) Väite on epätosi, sillä solmujen 1 ja välillä ei ole viivaa. (d) Väite on tosi, sillä (1, 1) E 2. (e) Väite on epätosi, sillä verkossa G 2 solmusta 2 ei ole kaarta solmuun 4. (f) Väite on tosi, sillä deg(1) + deg() + deg(4) = = 4 = deg(2). (g) Väite on epätosi, sillä v V 1 deg(v) = deg(1) + deg(2) + deg() + deg(4) + deg() = = Toisaalta suuntaamattoman verkon solmujen asteiden summa on aina kaksinkertainen kaarien lukumäärän suhteen, jolloin se on aina parillinen. Näin ollen minkään suuntaamattoman verkon solmujen asteiden summa ei ole (a) Esitä alla oleva suuntaamaton verkko G vierusmatriisin avulla

10 (b) Piirrä suunnattu verkko H, jonka vierusmatriisi on A H = (c) Tutki, ovatko alla olevat verkot kaksijakoisia (a) Suuntaamattoman verkon G vierusmatriisi on A G = (b) Vierusmatriisia A H vastaava suunnattu verkko H : (c) Värittämällä yksi verkon solmu ensimmäisellä värillä, kaikki sen vierekkäiset solmut toisella, ja niiden naapurit taas ensimmäisellä, nähdään helposti, että verkoista ensimmäinen on kaksijakoinen, mutta toinen ei (ks. solmut ja 6)

11 20. (a) Ovatko suuntaamattomat verkot G ja H isomorfisia, jos niiden vierusmatriisit A G ja A H ovat seuraavat? A G = 0 0 1, A H = (b) Ovatko alla olevat suuntaamattomat verkot isomorfisia? Anna sopiva isomorfismi tai perustele, ettei sellaista ole olemassa. a 1 b e 2 c d 4 (a) Verkot G ja H ovat isomorfisia. Isomorfismiksi sopii kuvaus f : {1, 2, } {1, 2, }, jolla f(1) =, f(2) = 2 ja f() = 1. Järjestämällä vierusmatriisi A H isomorfismia vastaavasti havaitaan, että kuvaus säilyttää kaaret: A G = 0 0 1, A H = (b) Verkot ovat isomorfisia. Isomorfismiksi sopii kuvaus f : {a, b, c, d, e} {1, 2,, 4, }, jolla f(a) = 1, f(b) =, f(c) =, f(d) = 2, f(e) = 4. Kaarien säilyminen voidaan osoittaa vierusmatriisien avulla. Alla esitetyissä matriiseissa vasemmalla on tehtävänannon vasemman puolen verkon vierusmatriisi, jossa rivit ja sarakkeet ovat aakkosjärjestyksessä abcde. Siis esimerkiksi neliöity luku 1 tarkoittaa, että verkossa on kaari solmusta b solmuun c. Oikealla on tehtävänannon oikean puolen vierusmatriisi, jonka sarakkeiden ja rivien järjestys on muutettu isomorfismin mukaiseksi 124. Siinä neliöity luku 1 tarkoittaa siis, että solmusta on kaari solmuun Ovatko alla olevat suuntaamattomat verkot isomorfisia? Anna sopiva isomorfismi tai perustele, ettei sellaista ole olemassa. 6 7 f g a b c d e h i j

12 Molemmissa verkoissa on kaksi solmua, joiden aste on neljä. Oikean puoleisessa verkossa nämä kaksi solmua ovat vierekkäiset, mutta vasemman puoleisessa eivät. Ei siis ole olemassa bijektiota f näiden verkkojen välillä niin, että solmulla x olisi sama aste kuin solmulla f(x) ja että mikäli solmut x ja y ovat vierekkäisiä niin solmut f(x) ja f(y) ovat myös vierekkäisiä. Verkot eivät siis ole isomorfisia. 22. (a) Mitkä seuraavista solmujonoista ovat polkuja alla kuvatussa suuntaamattomassa verkossa? Määritä jokaisen polun pituus. Mitkä solmujonoista ovat yksinkertaisia polkuja? Entä mitkä ovat syklejä? i. a, e, b, c, b ii. a, e, a, d, b, c, a iii. e, b, a, d, b, e iv. c, b, d, a, e, c. a b c d e (b) Ovatko alla kuvatut suuntaamattomat verkot yhtenäisiä? (a) i. Solmujono a, e, b, c, b on polku, sillä jonon jokaisesta solmusta on kaari jonossa seuraavaan solmuun. Polun pituus on 4. Solmujono ei ole yksinkertainen polku, sillä solmu b esiintyy polussa kahteen kertaan, mutta se ei ole jonon ensimmäinen. Samasta syystä solmujono ei ole sykli. ii. Solmujono a, e, a, d, b, c, a ei ole polku, sillä solmusta c ei ole kaarta solmuun a. iii. Solmujono e, b, a, d, b, e ei ole polku, sillä solmusta b ei ole kaarta solmuun a. iv. Solmujono c, b, d, a, e, c on polku, sillä jonon jokaisesta solmusta on kaari jonossa seuraavaan solmuun. Polun pituus on. Solmujono on yksinkertainen polku ja sykli, sillä ainoastaan jonon ensimmäinen ja viimeinen solmu ovat samoja. (b) Vasemmanpuoleinen verkko on yhtenäinen. Osoitukseksi riittää, että solmujono, 1, 2, 6,, 4 on (yksinkertainen) polku, joka kulkee verkon jokaisen solmun kautta. Siten verkon minkä tahansa kahden eri solmun välillä on polku. Sen sijaan oikean puoleinen verkko ei ole yhtenäinen. Tämän huomaa siitä, että solmuista 2, 4 ja 6 ei ole yhtään kaarta solmuihin 1, ja. Ei siis ole mahdollista muodostaa polkua esimerkiksi solmusta 2 solmuun 1.