Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla."

Transkriptio

1 HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina klo Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien. Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. Tehtäväsarja I Tehtävissä 1 4 oletetaan, että A on joukko, ja R ja S ovat joukon A relaatioita. Muista, että voit kumota väitteen vastaesimerkillä. 1. Oletetaan, että R ja S ovat refleksiivisiä. Onko relaatio R S tällöin refleksiivinen? Ei. Vastaesimerkki: Olkoon A = {1, 2} ja R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)} sekä S = {(1, 1), (2, 2)}. Tällöin R ja S ovat refleksiivisä, mutta R S = {(1, 2)} ei ole refleksiivinen. 2. Oletetaan, että R ja S ovat symmetrisiä. Onko relaatio R S tällöin symmetrinen? Kyllä. Oletetaan, että (a, b) R S. Tällöin (a, b) R ja (a, b) S. Koska R ja S ovat symmetrisiä, (b, a) R ja (b, a) S. Eli (b, a) R S. Näin ollen R S on symmetrinen.. Oletetaan, että R ja S ovat transitiivisia. Onko relaatio R S tällöin transitiivinen? Ei. Olkoon A = {1, 2}, R = {(1, 2)} ja S = {(2, 1)}. Tällöin R ja S ovat transitiivisia. Nyt R S = {(1, 2), (2, 1)}. Koska (1, 2) R S ja (2, 1) R S, mutta (1, 1) / R S, joten R S ei ole transitiivinen. 4. Oletetaan, että R on symmetrinen ja transitiivinen. Onko R tällöin refleksiivinen? Ei. Olkoon A = {1, 2} ja R = {(1, 1)}. Tällöin R on symmetrinen ja transitiivinen, mutta ei refleksiivinen koska (2, 2) / R. Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät ekvivalenssirelatioihin ja ekvivalenssiluokkiin. Luentokalvoista voi olla apua.. Olkoon S kaikkien suomen kielen sanojen muodostama joukko. Määritellään joukon S relaatio P seuraavasti: P = {(a, b) S S sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b }. Onko P ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: Kaikille sanoille a pätee, että niillä on yhtä monta kirjainta itsensä kanssa, eli (a, a) P kaikilla a S. Symmetrisyys: Jos sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b, niin toki sanassa b on yhtä monta kirjainta kuin sanassa a. Siis, jos (a, b) P, niin (b, a) P.

2 Transitiivisuus: Jos sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b ja sanassa b on yhtä monta kirjainta kuin sanassa c, niin toki a:ssa on yhtä monta kirjainta kuin c:ssä. Eli jos (a, b) P ja (b, c) P, niin (a, c) P. Ekvivalenssiluokat muodostuvat sanoista, joissa on yhtä monta kirjainta. Esim, [sana] P = { sana, kana, ohra, ruis,...}. 6. Määritellään joukon R {0} relaatio seuraavasti: a b, jos ab > 0. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: kaikilla a R \ {0} pätee a a > 0, joten a a. Symmetrisyys: jos ab > 0, niin ba > 0. Näin ollen jos a b, niin b a. Transitiivisuus: Oletetaan, että ab > 0 ja bc > 0. Tällöin myös 1 bc > 0, joten Näin ollen, jos a b ja b c, niin a c. Tutkitaan ekvivalenssiluokkia: ja ac = ab 1 bc c2 > 0 [ 1] = {a R \ {0} a 1} = {a R \ {0} a < 0} [1] = {a R \ {0} a 1} = {a R \ {0} a > 0}. Huomataan, että [ 1] [1] = R \ {0}. Näin ollen muita (eri) ekvivalenssiluokkia ei ole. Eri ekvivalenssiluokkia on siis kaksi: [ 1] ja [1]. 7. Olkoon A = {1, 2,, 4, } ja oletetaan, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio. Oletetaan, että {(1, ), (2, ), (, )} R ja (1, 4) / R. (a) Päteekö (, 2) R? (b) Päättele oletusten avulla, mitkä järjestetyt parit kuuluvat relaatioon R. (c) Mitkä ovat relaation R ekvivalenssiluokat? (a) Koska (, ), (2, ) R, niin (, ), (, 2) R (symmetrisyys). Näin ollen (, 2) R (transitiivisuus). (b) Koska R on refleksiivinen, niin (a, a) R kaikilla a {1, 2,, 4, }. Tehtävänannon oletuksesta ja symmetrisyydestä seuraa, että (, 1), (, 2), (, ) R. Transitiivisuudesta seuraa tällöin että (1, ), (2, ), (1, 2), (, 2), (2, 1), (, 1) R. Loput parit eivät kuulu relaatioon R symmetrisyyden ja transitiivisuuden perusteella, sillä (1, 4) / R. Näin ollen R = {(1,1),(2,2),(,),(4,4),(,),(1,),(,1),(,2),(2,),(,),(,),(1,),(2,),(1,2),(,2),(2,1),(,1)}. (c) [1] R = {b A (b, a) R} = {1, 2,, }. Näin ollen [1] R = [2] R = [] R = [] R. Lisäksi [4] R = {4}.

3 8. Määritellään joukon Z relaatio seuraavasti: m n, jos m n = 4k jollakin k Z. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: a a = 4 0 kaikilla a Z, joten a a kaikilla a Z. Symmetrisyys: jos m n, niin m n = 4k jollakin k Z. Tällöin n m = 4( k). Koska k Z, niin n m. Transitiivisuus: jos m n ja n p, niin m n = 4k ja n p = 4l joillakin k, l Z. Tällöin m p = m n + n p = 4k + 4l = 4(k + l). Koska k + l Z, niin m p. Määritetään ekvivalenssiluokat: Huomataan, että [0] = {z Z z 0} = {z Z z = 4k missä k Z} [1] = {z Z z 1} = {z Z z = 4k + 1 missä k Z} [2] = {z Z z 2} = {z Z z = 4k + 2 missä k Z} [] = {z Z z } = {z Z z = 4k + missä k Z} [0] [1] [2] [] = Z. Näin ollen eri ekivalenssiluokkia on neljä ja ne ovat [0], [1], [2], []. Tehtäväsarja III Seuraavissa tehtävissä kerrataan joukko-opillisten väitteiden todistamista ja kumoamista. Tehtävissä 9 12 oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. 9. Joukkojen A ja B symmetrinen erotus määritellään seuraavasti: A B = (A \ B) (B \ A). Osoita, että A C = B C jos ja vain jos (A B) C =. Oletetaan, että A C = B C. Osoitetaan, että (A B) C =. Tehdään vasta-oletus: (A B) C. Tällöin on olemassa alkio x (A B) C, joten x A B ja x C. Eli x (A \ B) (B \ A) ja x C. Joten x A \ B ja x C tai x B \ A ja x C. Jos x A\B ja x C, niin x A C, mutta x / B C. Näin ollen A C B C joka on ristiriita oletuksen nojalla. Jos x B \A ja x C, niin x B C, mutta x / A C. Näin ollen A C B C joka on ristiriita oletuksen nojalla. Päädytään ristiriitaan molemmissa tapauksissa, joten vasta-oletus ei pidä paikkansa. Näin ollen väite pätee.

4 Oletetaan, että (A B) C =. Osoitetaan, että A C = B C. Oletetaan, että x A C. Jos x / B, niin x A \ B ja x C. Näin ollen x (A B) C, joka on ristiriita oletuksen (A B) C = kanssa. Näin ollen x B, joten x B ja x C ja näin ollen x B C. Oletetaan, että x B C. Jos x / A, niin x B \ A ja x C. Näin ollen x (A B) C, joka on ristiriita oletuksen (A B) C = kanssa. Näin ollen x A, joten x A ja x C ja näin ollen x A C. 10. Osoita, että A C B C, jos ja vain jos A \ C B \ C. Oletetaan, että A C B C. Osoitetaan, että A \ C B \ C. Oletetaan, että x A \ C. Tällöin x A, joten x A C ja oletuksen nojalla x B C. Koska x / C, niin x B, joten x B \ C. Oletetaan, että A \ C B \ C. Osoitetaan, että A C B C. Oletetaan, että x A C. Jos x C, niin x B C. Jos x / C, niin x A \ C. Oletuksen nojalla tällöin x B \ C, joten x B ja näin ollen x B C. 11. Tarkastellaan yhtälöä A (B C) = (A B) (A C). (a) Onko tämä yhtälö aina tosi? (b) Onko tämä yhtälö aina epätosi? (a) Ei. Jos A = B = C = {1}, niin A (B C) = {1} ({(1, 1)}) = {1, (1, 1)}, mutta (A B) (A C) = {(1, 1)} {(1, 1)} = {(1, 1)}. (b) Ei. Jos A = B = C =, niin A (B C) = = (A B) (A C). 12. Tarkastellaan yhtälöä (A \ B) C = (A C) \ (B C). (a) Onko tämä yhtälö aina tosi? (b) Onko tämä yhtälö aina epätosi? (a) Kyllä. Oletetaan, että (a, c) (A \ B) C. Tällöin a A \ B ja c C. Koska a A ja c C, niin (a, c) A C. Koska a / B, niin (a, c) / B C. Näin ollen (a, b) (A C) \ (B C). Oletetaan, että (a, c) (A C) \ (B C). Tällöin (a, c) A C, eli a A ja c C, ja (a, c) / B C. Koska c C ja (a, c) / B C, niin täytyy päteä a / B. Näin ollen a A \ B ja c C, eli (a, b) (A \ B) C.

5 (b) a-kohdan nojalla yhtälö ei koskaan ole epätosi. Kompleksiluvut 1. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (i) z 4 = i (ii) z 6 ( + i)z 2 = 0 (i) Luvun i eksponenttiesitys on 8e 2π i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 8e 2π i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 8 4ϕ = 2π + k 2π r = 8 ϕ = 2π 4 + k 2π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: r = 8 ϕ = π 6 + k π 2, 8e π 6 i, 8e 2π i, 8e 7π 6 i ja 8e π i. (ii) Yhtälön z 6 ( + i)z 2 = 0 kanssa ekvivalentti yhtälö on z 2 (z 4 ( + i)) = 0. Tulon nollasäännön nojalla tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos z = 0 tai z 4 ( + i) = 0. Ratkaistaan vielä yhtälö z 4 ( + i) = 0. Sen kanssa ekvivalentti yhtälö on z 4 = + i. Luvun + i eksponenttiesitys on 2e π 4 i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 2e π 4 i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 2 4ϕ = π 4 + k 2π r = 4 2 ϕ = π k 2π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: r = 8 2 ϕ = π 16 + k π 2, 8 2e π 16 i =, 8 2e 9π 16 i, 8 2e 17π 16 i ja 8 2e 2π 16 i. Yhtälöllä z 6 ( + i)z 2 = 0 on siis tasan viisi ratkaisua: 0, 8 2e π 16 i, 8 2e 9π 16 i, 8 2e 17π 16 i, 8 2e 2π 16 i. 14. Määritellään joukon C relaatio seuraavasti: z w, jos z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w. Osoita, että relaatio on ekvivalenssirelaatio. Havainnollista kompleksitasossa ekvivalenssiluokkia [] ja [ i]. Vihje 1 Oletetaan, että z, w, t C. 1 z = a + bi ja ympyrän yhtälö.

6 Jokaisella z C pätee z 2 z 2 = 0 = 2 Re z 2 Re z, joten z z. Näin ollen on refleksiivinen. Oletetaan, että z w. Tällöin z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w, jolloin myös w 2 z 2 = 2 Re w 2 Re z eli w z. Näin ollen on symmetrinen. Oletetaan, että z w ja w t. Tällöin z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w ja w 2 t 2 = 2 Re w 2 Re t. Nyt z 2 t 2 = z 2 w 2 + w 2 t 2 = 2 Re z 2 Re w+2 Re w 2 Re t = 2 Re z 2 Re t eli z t. Näin ollen on transitiivinen. Koska on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, niin se on ekvivalenssirelaatio. Ekvivalenssiluokan määritelmän mukaan [] = {z C z 2 9 = 2 Re z 6} = {a + bi C a 2 + b 2 2a = } = {a + bi C a 2 2a b 2 = 4} = {a + bi C (a 1) 2 + b 2 = 2 2 } Ekvivalenssiluokka on siis ympyrä, jonka keskipiste on 1 = (1, 0) ja säde 2. Vastaavasti [ i] = {z C z 2 12 = 2 Re z 4} = {a + bi C a 2 + b 2 2a = 8} = {a + bi C a 2 2a b 2 = 9} = {a + bi C (a 1) 2 + b 2 = 2 } Ekvivalenssiluokka on siis ympyrä, jonka keskipiste on 1 = (1, 0) ja säde. 1. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (i) (1 i )(z 2i) 2 = 8 (b) (z ) 8 = 16 2 i Riittää, että annat b:ssä vastaukset muodossa eksponenttiesitys + vakio. (a) Merkitään x = z 2i, jolloin saadaan (1 i )(z 2i) 2 = 8 x 2 = 8 1 i = 2 + i2 Luvun 2 + i2 eksponenttiesitys on 4e π i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 2 = (re iϕ ) 2 = r 2 e 2iϕ = 4e π i.

7 Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 2 = 4 2ϕ = π + k 2π r = 4 ϕ = π 2 + k 2π 2 missä k Z. Ratkaisuja saadaan kaksi erilaista: x 0 = 2e π 6 i = + i x 1 = 2e 7π 6 i = i r = 2 ϕ = π 6 + k π, Huomioimalla, että x = z 2i alkuperäiselle yhtälölle saadaan ratkaisut (b) Merkitään x = z, jolloin saadaan z 0 = x 0 + 2i = + i + 2i = + i z 1 = x 1 + 2i = i + 2i = + i (z ) 8 = 16 2 i x 8 = 16 2 i = 2 8 i Luvun 2 8 i eksponenttiesitys on 2 8 e π 2 i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 8 = (re iϕ ) 8 = r 8 e 8iϕ = 2 8 e π 2 i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 8 = 2 8 8ϕ = π 2 + k 2π r = ϕ = π k 2π 8 missä k Z. Ratkaisuja saadaan kahdeksan erilaista: r = 2 ϕ = π 16 + k π 4, 2e π 16 i, 2e π 16 i, 2e 9π 16 i, 2e 1π 16 i, 2e 17π 16 i, 2e 21π 16 i, 2e 2π 16 i, 2e 29π 16 i Huomioimalla, että x = z alkuperäiselle yhtälölle saadaan ratkaisut z 0 = 2e π 16 i +, z 1 = 2e π 16 i +, z 2 = 2e 9π 16 i +, z = 2e 1π 16 i +, z 4 = 2e 17π 16 i +, z = 2e 21π 16 i +, z 6 = 2e 2π 16 i +, z 7 = 2e 29π 16 i Oletetaan, että luvulle w C \ {1} pätee w 4 = 1. (a) Osoita, että (1 + w + w 2 + w )(w 1) = w 4 1. (b) Päättele summan 1 + w + w 2 + w arvo oletusten ja a-kohdan avulla. (c) Päättele seuraavien lausekkeiden arvo: (i) (w + 1)(w 2 + 1) + w 4 (ii) (w + 1) 4 2w 2 (iii) w 1 + w + w (a) Tulos saadaan kertomalla yhtälön vasemmalla puolella oleva tulo auki ja sieventämällä: (1 + w + w 2 + w )(w 1) = w + w 2 + w + w 4 1 w w 2 w = w 4 1

8 (b) Oletuksen mukaan w 4 = 1, joten w 4 1 = 0. Nyt a-kohdan yhtälö saadaan muotoon (1 + w + w 2 + w )(w 1) = 0. Tulon nollasäännöstä seuraa, että toisen tulon tekijöistä on oltava nolla. Oletuksen nojalla w 1 eli w 1 0. Näin ollen täytyy päteä 1+w+w 2 +w = 0. (c) (i) Lauseke saadaan muotoon, jossa voidaan hyödyntää b-kohdan tulosta: (w+1)(w 2 +1)+w 4 = w +w+w 2 +1+w 4 = (1+w+w 2 +w )+w 4 = 0+w 4 = w 4 = 1 (ii) Samalla tavalla saadaan: (w + 1) 4 2w 2 = w 4 + 4w + 6w 2 + 4w + 1 2w 2 = w 4 + 4w + 4w 2 + 4w + 1 (iii) Samalla tavalla saadaan: = w 4 + 4(1 + w + w 2 + w ) = = 2 w 1 + w + w = 17. Ratkaise kompleksinen toisen asteen yhtälö w 1 + w + w w + w w + w 2 = 1 + w + w2 + w 1 + w + w 2 = x 2 + (8 + 4i)x i = 0 Vihje 2 Täydennetään yhtälön vasen puoli neliöksi: w + w 2 = 0 x 2 + (8 + 4i)x i = 0 x 2 + 2(4 + 2i)x + (4 + 2i) 2 (4 + 2i) i = 0 x 2 + 2(4 + 2i)x + (4 + 2i) 2 = (4 + 2i) i (x + (4 + 2i)) 2 = i + 4i i (x + (4 + 2i)) 2 = 4 4i Merkitään z = x i ja olkoon φ [0, 2π[ siten että z = z e iφ. Luvun 4 4i eksponenttiesitys on 4 2e π 4 i. Ratkaistaan yhtälö z 2 = 4 4i: z 2 = 4 4i ( z e iφ ) 2 = 4 2e π 4 i z 2 e 2iφ = 4 2e π 4 i joten z = 4 2 ja 2φ = π + 2kπ missä k Z. Eli z = 2 2 ja φ = π + kπ 4 8 missä k Z. Nyt φ [0, 2π[ (kuten oletettiin) jos ja vain jos k = 1 tai k = 2. Näin ollen ratkaisut ovat z 1 = 2 2e i 7 8 π ja z 2 = 2 2e i 1 8 π, joten alkuperäisen yhtälön ratkaisut ovat x 1 = z 1 4 2i = 2 2 cos(7π/8) 4 + i(2 2 sin(7π/8) 2) ja x 2 = z 2 4 2i = 2 2 cos(1π/8) 4 + i(2 2 sin(1π/8) 2) 2 Muokka yhtälö binomiyhtälöksi z 2 = a, missä a C ja z = x + b jollakin b C.

9 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 18. Tässä tehtävässä tarkastellaan suuntaamatonta verkkoa G 1 ja suunnattua verkkoa G 2, jotka on kuvattu alla. Merkitään verkon G k solmujen joukkoa V k ja kaarien joukkoa E k, missä k {1, 2} G 1 G 2 Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä epätosia? Perustele. (a) (1, 2) E 1 ja (2, 1) E 2. (b) 4 V 1 tai (4, 1) / E 2. (c) Verkon G 1 solmut 1 ja ovat vierekkäisiä. (d) Verkossa G 2 on silmukka. (e) (2, 4) E 1 E 2. (f) Verkossa G 1 pätee deg(1) + deg() + deg(4) = deg(2). (g) Verkossa G 1 pätee v V 1 deg(v) = 11. (a) Väite on tosi, sillä verkossa G 1 on viiva solmujen 1 ja 2 välillä sekä verkossa G 2 solmusta 2 on kaari solmuun 1. (b) Väite on tosi, sillä verkossa G 1 on solmu 4. (c) Väite on epätosi, sillä solmujen 1 ja välillä ei ole viivaa. (d) Väite on tosi, sillä (1, 1) E 2. (e) Väite on epätosi, sillä verkossa G 2 solmusta 2 ei ole kaarta solmuun 4. (f) Väite on tosi, sillä deg(1) + deg() + deg(4) = = 4 = deg(2). (g) Väite on epätosi, sillä v V 1 deg(v) = deg(1) + deg(2) + deg() + deg(4) + deg() = = Toisaalta suuntaamattoman verkon solmujen asteiden summa on aina kaksinkertainen kaarien lukumäärän suhteen, jolloin se on aina parillinen. Näin ollen minkään suuntaamattoman verkon solmujen asteiden summa ei ole (a) Esitä alla oleva suuntaamaton verkko G vierusmatriisin avulla

10 (b) Piirrä suunnattu verkko H, jonka vierusmatriisi on A H = (c) Tutki, ovatko alla olevat verkot kaksijakoisia (a) Suuntaamattoman verkon G vierusmatriisi on A G = (b) Vierusmatriisia A H vastaava suunnattu verkko H : (c) Värittämällä yksi verkon solmu ensimmäisellä värillä, kaikki sen vierekkäiset solmut toisella, ja niiden naapurit taas ensimmäisellä, nähdään helposti, että verkoista ensimmäinen on kaksijakoinen, mutta toinen ei (ks. solmut ja 6)

11 20. (a) Ovatko suuntaamattomat verkot G ja H isomorfisia, jos niiden vierusmatriisit A G ja A H ovat seuraavat? A G = 0 0 1, A H = (b) Ovatko alla olevat suuntaamattomat verkot isomorfisia? Anna sopiva isomorfismi tai perustele, ettei sellaista ole olemassa. a 1 b e 2 c d 4 (a) Verkot G ja H ovat isomorfisia. Isomorfismiksi sopii kuvaus f : {1, 2, } {1, 2, }, jolla f(1) =, f(2) = 2 ja f() = 1. Järjestämällä vierusmatriisi A H isomorfismia vastaavasti havaitaan, että kuvaus säilyttää kaaret: A G = 0 0 1, A H = (b) Verkot ovat isomorfisia. Isomorfismiksi sopii kuvaus f : {a, b, c, d, e} {1, 2,, 4, }, jolla f(a) = 1, f(b) =, f(c) =, f(d) = 2, f(e) = 4. Kaarien säilyminen voidaan osoittaa vierusmatriisien avulla. Alla esitetyissä matriiseissa vasemmalla on tehtävänannon vasemman puolen verkon vierusmatriisi, jossa rivit ja sarakkeet ovat aakkosjärjestyksessä abcde. Siis esimerkiksi neliöity luku 1 tarkoittaa, että verkossa on kaari solmusta b solmuun c. Oikealla on tehtävänannon oikean puolen vierusmatriisi, jonka sarakkeiden ja rivien järjestys on muutettu isomorfismin mukaiseksi 124. Siinä neliöity luku 1 tarkoittaa siis, että solmusta on kaari solmuun Ovatko alla olevat suuntaamattomat verkot isomorfisia? Anna sopiva isomorfismi tai perustele, ettei sellaista ole olemassa. 6 7 f g a b c d e h i j

12 Molemmissa verkoissa on kaksi solmua, joiden aste on neljä. Oikean puoleisessa verkossa nämä kaksi solmua ovat vierekkäiset, mutta vasemman puoleisessa eivät. Ei siis ole olemassa bijektiota f näiden verkkojen välillä niin, että solmulla x olisi sama aste kuin solmulla f(x) ja että mikäli solmut x ja y ovat vierekkäisiä niin solmut f(x) ja f(y) ovat myös vierekkäisiä. Verkot eivät siis ole isomorfisia. 22. (a) Mitkä seuraavista solmujonoista ovat polkuja alla kuvatussa suuntaamattomassa verkossa? Määritä jokaisen polun pituus. Mitkä solmujonoista ovat yksinkertaisia polkuja? Entä mitkä ovat syklejä? i. a, e, b, c, b ii. a, e, a, d, b, c, a iii. e, b, a, d, b, e iv. c, b, d, a, e, c. a b c d e (b) Ovatko alla kuvatut suuntaamattomat verkot yhtenäisiä? (a) i. Solmujono a, e, b, c, b on polku, sillä jonon jokaisesta solmusta on kaari jonossa seuraavaan solmuun. Polun pituus on 4. Solmujono ei ole yksinkertainen polku, sillä solmu b esiintyy polussa kahteen kertaan, mutta se ei ole jonon ensimmäinen. Samasta syystä solmujono ei ole sykli. ii. Solmujono a, e, a, d, b, c, a ei ole polku, sillä solmusta c ei ole kaarta solmuun a. iii. Solmujono e, b, a, d, b, e ei ole polku, sillä solmusta b ei ole kaarta solmuun a. iv. Solmujono c, b, d, a, e, c on polku, sillä jonon jokaisesta solmusta on kaari jonossa seuraavaan solmuun. Polun pituus on. Solmujono on yksinkertainen polku ja sykli, sillä ainoastaan jonon ensimmäinen ja viimeinen solmu ovat samoja. (b) Vasemmanpuoleinen verkko on yhtenäinen. Osoitukseksi riittää, että solmujono, 1, 2, 6,, 4 on (yksinkertainen) polku, joka kulkee verkon jokaisen solmun kautta. Siten verkon minkä tahansa kahden eri solmun välillä on polku. Sen sijaan oikean puoleinen verkko ei ole yhtenäinen. Tämän huomaa siitä, että solmuista 2, 4 ja 6 ei ole yhtään kaarta solmuihin 1, ja. Ei siis ole mahdollista muodostaa polkua esimerkiksi solmusta 2 solmuun 1.

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Jos d-kohdan vasemmalla puolella perusjoukkona on X, niin oikealla puolella

Jos d-kohdan vasemmalla puolella perusjoukkona on X, niin oikealla puolella DISKREETTI MATEMATIIKKA, harjoitustehtävät Tehtäviä tulee todennäköisesti lisää. Uudet tehtävät tulevat aikanaan ladattavaksi samalle sivulle, josta tämäkin moniste löytyi. Ilmoitustaululta on nähtävissä

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä Sisällys 1. Algoritmi Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.1 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut 2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut Shortcut Menut Shortcut menut voidaan aktivoida seuraavista paikoista. Shortcut menun sisältö riippuu siitä, mistä se aktivoidaan. 1. Shortcut menu suunnitellusta linjasta

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1 May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Syksy 1999, kevät 2002, 2005, 2008, syksy 2010 Äärellisten mallien teoria Kotisivu: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/aemt/

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013 Solmu 3/03 Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 4.4.03 Esa V. Vesalainen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Luxemburgissa järjestettiin

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 1 Joukon käsite JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 Joukon voisi yrittää määritellä kokoelmaksi olioita, mutta tämä edellyttää, että ymmärretään mitä olioilla ja kokoelmalla tarkoitetaan.

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Luonnolliset vs. muodolliset kielet

Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin.

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu 2015 2016 alkukilpailu 29.10.2015. Ratkaisut 1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka) sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät Kytkentäkentät, luento - Kolmiportaiset kentät Kolmiportaiset kytkentäkentät - esitystapoja ja esimerkkejä Kytkentäkenttien vertailuperusteet Estottomuus, looginen syvyys, ajokyky Closin -verkko Paull

Lisätiedot