Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla."

Transkriptio

1 HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina klo Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien. Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. Tehtäväsarja I Tehtävissä 1 4 oletetaan, että A on joukko, ja R ja S ovat joukon A relaatioita. Muista, että voit kumota väitteen vastaesimerkillä. 1. Oletetaan, että R ja S ovat refleksiivisiä. Onko relaatio R S tällöin refleksiivinen? Ei. Vastaesimerkki: Olkoon A = {1, 2} ja R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)} sekä S = {(1, 1), (2, 2)}. Tällöin R ja S ovat refleksiivisä, mutta R S = {(1, 2)} ei ole refleksiivinen. 2. Oletetaan, että R ja S ovat symmetrisiä. Onko relaatio R S tällöin symmetrinen? Kyllä. Oletetaan, että (a, b) R S. Tällöin (a, b) R ja (a, b) S. Koska R ja S ovat symmetrisiä, (b, a) R ja (b, a) S. Eli (b, a) R S. Näin ollen R S on symmetrinen.. Oletetaan, että R ja S ovat transitiivisia. Onko relaatio R S tällöin transitiivinen? Ei. Olkoon A = {1, 2}, R = {(1, 2)} ja S = {(2, 1)}. Tällöin R ja S ovat transitiivisia. Nyt R S = {(1, 2), (2, 1)}. Koska (1, 2) R S ja (2, 1) R S, mutta (1, 1) / R S, joten R S ei ole transitiivinen. 4. Oletetaan, että R on symmetrinen ja transitiivinen. Onko R tällöin refleksiivinen? Ei. Olkoon A = {1, 2} ja R = {(1, 1)}. Tällöin R on symmetrinen ja transitiivinen, mutta ei refleksiivinen koska (2, 2) / R. Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät ekvivalenssirelatioihin ja ekvivalenssiluokkiin. Luentokalvoista voi olla apua.. Olkoon S kaikkien suomen kielen sanojen muodostama joukko. Määritellään joukon S relaatio P seuraavasti: P = {(a, b) S S sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b }. Onko P ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: Kaikille sanoille a pätee, että niillä on yhtä monta kirjainta itsensä kanssa, eli (a, a) P kaikilla a S. Symmetrisyys: Jos sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b, niin toki sanassa b on yhtä monta kirjainta kuin sanassa a. Siis, jos (a, b) P, niin (b, a) P.

2 Transitiivisuus: Jos sanassa a on yhtä monta kirjainta kuin sanassa b ja sanassa b on yhtä monta kirjainta kuin sanassa c, niin toki a:ssa on yhtä monta kirjainta kuin c:ssä. Eli jos (a, b) P ja (b, c) P, niin (a, c) P. Ekvivalenssiluokat muodostuvat sanoista, joissa on yhtä monta kirjainta. Esim, [sana] P = { sana, kana, ohra, ruis,...}. 6. Määritellään joukon R {0} relaatio seuraavasti: a b, jos ab > 0. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: kaikilla a R \ {0} pätee a a > 0, joten a a. Symmetrisyys: jos ab > 0, niin ba > 0. Näin ollen jos a b, niin b a. Transitiivisuus: Oletetaan, että ab > 0 ja bc > 0. Tällöin myös 1 bc > 0, joten Näin ollen, jos a b ja b c, niin a c. Tutkitaan ekvivalenssiluokkia: ja ac = ab 1 bc c2 > 0 [ 1] = {a R \ {0} a 1} = {a R \ {0} a < 0} [1] = {a R \ {0} a 1} = {a R \ {0} a > 0}. Huomataan, että [ 1] [1] = R \ {0}. Näin ollen muita (eri) ekvivalenssiluokkia ei ole. Eri ekvivalenssiluokkia on siis kaksi: [ 1] ja [1]. 7. Olkoon A = {1, 2,, 4, } ja oletetaan, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio. Oletetaan, että {(1, ), (2, ), (, )} R ja (1, 4) / R. (a) Päteekö (, 2) R? (b) Päättele oletusten avulla, mitkä järjestetyt parit kuuluvat relaatioon R. (c) Mitkä ovat relaation R ekvivalenssiluokat? (a) Koska (, ), (2, ) R, niin (, ), (, 2) R (symmetrisyys). Näin ollen (, 2) R (transitiivisuus). (b) Koska R on refleksiivinen, niin (a, a) R kaikilla a {1, 2,, 4, }. Tehtävänannon oletuksesta ja symmetrisyydestä seuraa, että (, 1), (, 2), (, ) R. Transitiivisuudesta seuraa tällöin että (1, ), (2, ), (1, 2), (, 2), (2, 1), (, 1) R. Loput parit eivät kuulu relaatioon R symmetrisyyden ja transitiivisuuden perusteella, sillä (1, 4) / R. Näin ollen R = {(1,1),(2,2),(,),(4,4),(,),(1,),(,1),(,2),(2,),(,),(,),(1,),(2,),(1,2),(,2),(2,1),(,1)}. (c) [1] R = {b A (b, a) R} = {1, 2,, }. Näin ollen [1] R = [2] R = [] R = [] R. Lisäksi [4] R = {4}.

3 8. Määritellään joukon Z relaatio seuraavasti: m n, jos m n = 4k jollakin k Z. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Kyllä. Refleksiivisyys: a a = 4 0 kaikilla a Z, joten a a kaikilla a Z. Symmetrisyys: jos m n, niin m n = 4k jollakin k Z. Tällöin n m = 4( k). Koska k Z, niin n m. Transitiivisuus: jos m n ja n p, niin m n = 4k ja n p = 4l joillakin k, l Z. Tällöin m p = m n + n p = 4k + 4l = 4(k + l). Koska k + l Z, niin m p. Määritetään ekvivalenssiluokat: Huomataan, että [0] = {z Z z 0} = {z Z z = 4k missä k Z} [1] = {z Z z 1} = {z Z z = 4k + 1 missä k Z} [2] = {z Z z 2} = {z Z z = 4k + 2 missä k Z} [] = {z Z z } = {z Z z = 4k + missä k Z} [0] [1] [2] [] = Z. Näin ollen eri ekivalenssiluokkia on neljä ja ne ovat [0], [1], [2], []. Tehtäväsarja III Seuraavissa tehtävissä kerrataan joukko-opillisten väitteiden todistamista ja kumoamista. Tehtävissä 9 12 oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. 9. Joukkojen A ja B symmetrinen erotus määritellään seuraavasti: A B = (A \ B) (B \ A). Osoita, että A C = B C jos ja vain jos (A B) C =. Oletetaan, että A C = B C. Osoitetaan, että (A B) C =. Tehdään vasta-oletus: (A B) C. Tällöin on olemassa alkio x (A B) C, joten x A B ja x C. Eli x (A \ B) (B \ A) ja x C. Joten x A \ B ja x C tai x B \ A ja x C. Jos x A\B ja x C, niin x A C, mutta x / B C. Näin ollen A C B C joka on ristiriita oletuksen nojalla. Jos x B \A ja x C, niin x B C, mutta x / A C. Näin ollen A C B C joka on ristiriita oletuksen nojalla. Päädytään ristiriitaan molemmissa tapauksissa, joten vasta-oletus ei pidä paikkansa. Näin ollen väite pätee.

4 Oletetaan, että (A B) C =. Osoitetaan, että A C = B C. Oletetaan, että x A C. Jos x / B, niin x A \ B ja x C. Näin ollen x (A B) C, joka on ristiriita oletuksen (A B) C = kanssa. Näin ollen x B, joten x B ja x C ja näin ollen x B C. Oletetaan, että x B C. Jos x / A, niin x B \ A ja x C. Näin ollen x (A B) C, joka on ristiriita oletuksen (A B) C = kanssa. Näin ollen x A, joten x A ja x C ja näin ollen x A C. 10. Osoita, että A C B C, jos ja vain jos A \ C B \ C. Oletetaan, että A C B C. Osoitetaan, että A \ C B \ C. Oletetaan, että x A \ C. Tällöin x A, joten x A C ja oletuksen nojalla x B C. Koska x / C, niin x B, joten x B \ C. Oletetaan, että A \ C B \ C. Osoitetaan, että A C B C. Oletetaan, että x A C. Jos x C, niin x B C. Jos x / C, niin x A \ C. Oletuksen nojalla tällöin x B \ C, joten x B ja näin ollen x B C. 11. Tarkastellaan yhtälöä A (B C) = (A B) (A C). (a) Onko tämä yhtälö aina tosi? (b) Onko tämä yhtälö aina epätosi? (a) Ei. Jos A = B = C = {1}, niin A (B C) = {1} ({(1, 1)}) = {1, (1, 1)}, mutta (A B) (A C) = {(1, 1)} {(1, 1)} = {(1, 1)}. (b) Ei. Jos A = B = C =, niin A (B C) = = (A B) (A C). 12. Tarkastellaan yhtälöä (A \ B) C = (A C) \ (B C). (a) Onko tämä yhtälö aina tosi? (b) Onko tämä yhtälö aina epätosi? (a) Kyllä. Oletetaan, että (a, c) (A \ B) C. Tällöin a A \ B ja c C. Koska a A ja c C, niin (a, c) A C. Koska a / B, niin (a, c) / B C. Näin ollen (a, b) (A C) \ (B C). Oletetaan, että (a, c) (A C) \ (B C). Tällöin (a, c) A C, eli a A ja c C, ja (a, c) / B C. Koska c C ja (a, c) / B C, niin täytyy päteä a / B. Näin ollen a A \ B ja c C, eli (a, b) (A \ B) C.

5 (b) a-kohdan nojalla yhtälö ei koskaan ole epätosi. Kompleksiluvut 1. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (i) z 4 = i (ii) z 6 ( + i)z 2 = 0 (i) Luvun i eksponenttiesitys on 8e 2π i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 8e 2π i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 8 4ϕ = 2π + k 2π r = 8 ϕ = 2π 4 + k 2π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: r = 8 ϕ = π 6 + k π 2, 8e π 6 i, 8e 2π i, 8e 7π 6 i ja 8e π i. (ii) Yhtälön z 6 ( + i)z 2 = 0 kanssa ekvivalentti yhtälö on z 2 (z 4 ( + i)) = 0. Tulon nollasäännön nojalla tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos z = 0 tai z 4 ( + i) = 0. Ratkaistaan vielä yhtälö z 4 ( + i) = 0. Sen kanssa ekvivalentti yhtälö on z 4 = + i. Luvun + i eksponenttiesitys on 2e π 4 i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 2e π 4 i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 2 4ϕ = π 4 + k 2π r = 4 2 ϕ = π k 2π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: r = 8 2 ϕ = π 16 + k π 2, 8 2e π 16 i =, 8 2e 9π 16 i, 8 2e 17π 16 i ja 8 2e 2π 16 i. Yhtälöllä z 6 ( + i)z 2 = 0 on siis tasan viisi ratkaisua: 0, 8 2e π 16 i, 8 2e 9π 16 i, 8 2e 17π 16 i, 8 2e 2π 16 i. 14. Määritellään joukon C relaatio seuraavasti: z w, jos z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w. Osoita, että relaatio on ekvivalenssirelaatio. Havainnollista kompleksitasossa ekvivalenssiluokkia [] ja [ i]. Vihje 1 Oletetaan, että z, w, t C. 1 z = a + bi ja ympyrän yhtälö.

6 Jokaisella z C pätee z 2 z 2 = 0 = 2 Re z 2 Re z, joten z z. Näin ollen on refleksiivinen. Oletetaan, että z w. Tällöin z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w, jolloin myös w 2 z 2 = 2 Re w 2 Re z eli w z. Näin ollen on symmetrinen. Oletetaan, että z w ja w t. Tällöin z 2 w 2 = 2 Re z 2 Re w ja w 2 t 2 = 2 Re w 2 Re t. Nyt z 2 t 2 = z 2 w 2 + w 2 t 2 = 2 Re z 2 Re w+2 Re w 2 Re t = 2 Re z 2 Re t eli z t. Näin ollen on transitiivinen. Koska on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, niin se on ekvivalenssirelaatio. Ekvivalenssiluokan määritelmän mukaan [] = {z C z 2 9 = 2 Re z 6} = {a + bi C a 2 + b 2 2a = } = {a + bi C a 2 2a b 2 = 4} = {a + bi C (a 1) 2 + b 2 = 2 2 } Ekvivalenssiluokka on siis ympyrä, jonka keskipiste on 1 = (1, 0) ja säde 2. Vastaavasti [ i] = {z C z 2 12 = 2 Re z 4} = {a + bi C a 2 + b 2 2a = 8} = {a + bi C a 2 2a b 2 = 9} = {a + bi C (a 1) 2 + b 2 = 2 } Ekvivalenssiluokka on siis ympyrä, jonka keskipiste on 1 = (1, 0) ja säde. 1. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (i) (1 i )(z 2i) 2 = 8 (b) (z ) 8 = 16 2 i Riittää, että annat b:ssä vastaukset muodossa eksponenttiesitys + vakio. (a) Merkitään x = z 2i, jolloin saadaan (1 i )(z 2i) 2 = 8 x 2 = 8 1 i = 2 + i2 Luvun 2 + i2 eksponenttiesitys on 4e π i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 2 = (re iϕ ) 2 = r 2 e 2iϕ = 4e π i.

7 Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 2 = 4 2ϕ = π + k 2π r = 4 ϕ = π 2 + k 2π 2 missä k Z. Ratkaisuja saadaan kaksi erilaista: x 0 = 2e π 6 i = + i x 1 = 2e 7π 6 i = i r = 2 ϕ = π 6 + k π, Huomioimalla, että x = z 2i alkuperäiselle yhtälölle saadaan ratkaisut (b) Merkitään x = z, jolloin saadaan z 0 = x 0 + 2i = + i + 2i = + i z 1 = x 1 + 2i = i + 2i = + i (z ) 8 = 16 2 i x 8 = 16 2 i = 2 8 i Luvun 2 8 i eksponenttiesitys on 2 8 e π 2 i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 8 = (re iϕ ) 8 = r 8 e 8iϕ = 2 8 e π 2 i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 8 = 2 8 8ϕ = π 2 + k 2π r = ϕ = π k 2π 8 missä k Z. Ratkaisuja saadaan kahdeksan erilaista: r = 2 ϕ = π 16 + k π 4, 2e π 16 i, 2e π 16 i, 2e 9π 16 i, 2e 1π 16 i, 2e 17π 16 i, 2e 21π 16 i, 2e 2π 16 i, 2e 29π 16 i Huomioimalla, että x = z alkuperäiselle yhtälölle saadaan ratkaisut z 0 = 2e π 16 i +, z 1 = 2e π 16 i +, z 2 = 2e 9π 16 i +, z = 2e 1π 16 i +, z 4 = 2e 17π 16 i +, z = 2e 21π 16 i +, z 6 = 2e 2π 16 i +, z 7 = 2e 29π 16 i Oletetaan, että luvulle w C \ {1} pätee w 4 = 1. (a) Osoita, että (1 + w + w 2 + w )(w 1) = w 4 1. (b) Päättele summan 1 + w + w 2 + w arvo oletusten ja a-kohdan avulla. (c) Päättele seuraavien lausekkeiden arvo: (i) (w + 1)(w 2 + 1) + w 4 (ii) (w + 1) 4 2w 2 (iii) w 1 + w + w (a) Tulos saadaan kertomalla yhtälön vasemmalla puolella oleva tulo auki ja sieventämällä: (1 + w + w 2 + w )(w 1) = w + w 2 + w + w 4 1 w w 2 w = w 4 1

8 (b) Oletuksen mukaan w 4 = 1, joten w 4 1 = 0. Nyt a-kohdan yhtälö saadaan muotoon (1 + w + w 2 + w )(w 1) = 0. Tulon nollasäännöstä seuraa, että toisen tulon tekijöistä on oltava nolla. Oletuksen nojalla w 1 eli w 1 0. Näin ollen täytyy päteä 1+w+w 2 +w = 0. (c) (i) Lauseke saadaan muotoon, jossa voidaan hyödyntää b-kohdan tulosta: (w+1)(w 2 +1)+w 4 = w +w+w 2 +1+w 4 = (1+w+w 2 +w )+w 4 = 0+w 4 = w 4 = 1 (ii) Samalla tavalla saadaan: (w + 1) 4 2w 2 = w 4 + 4w + 6w 2 + 4w + 1 2w 2 = w 4 + 4w + 4w 2 + 4w + 1 (iii) Samalla tavalla saadaan: = w 4 + 4(1 + w + w 2 + w ) = = 2 w 1 + w + w = 17. Ratkaise kompleksinen toisen asteen yhtälö w 1 + w + w w + w w + w 2 = 1 + w + w2 + w 1 + w + w 2 = x 2 + (8 + 4i)x i = 0 Vihje 2 Täydennetään yhtälön vasen puoli neliöksi: w + w 2 = 0 x 2 + (8 + 4i)x i = 0 x 2 + 2(4 + 2i)x + (4 + 2i) 2 (4 + 2i) i = 0 x 2 + 2(4 + 2i)x + (4 + 2i) 2 = (4 + 2i) i (x + (4 + 2i)) 2 = i + 4i i (x + (4 + 2i)) 2 = 4 4i Merkitään z = x i ja olkoon φ [0, 2π[ siten että z = z e iφ. Luvun 4 4i eksponenttiesitys on 4 2e π 4 i. Ratkaistaan yhtälö z 2 = 4 4i: z 2 = 4 4i ( z e iφ ) 2 = 4 2e π 4 i z 2 e 2iφ = 4 2e π 4 i joten z = 4 2 ja 2φ = π + 2kπ missä k Z. Eli z = 2 2 ja φ = π + kπ 4 8 missä k Z. Nyt φ [0, 2π[ (kuten oletettiin) jos ja vain jos k = 1 tai k = 2. Näin ollen ratkaisut ovat z 1 = 2 2e i 7 8 π ja z 2 = 2 2e i 1 8 π, joten alkuperäisen yhtälön ratkaisut ovat x 1 = z 1 4 2i = 2 2 cos(7π/8) 4 + i(2 2 sin(7π/8) 2) ja x 2 = z 2 4 2i = 2 2 cos(1π/8) 4 + i(2 2 sin(1π/8) 2) 2 Muokka yhtälö binomiyhtälöksi z 2 = a, missä a C ja z = x + b jollakin b C.

9 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 18. Tässä tehtävässä tarkastellaan suuntaamatonta verkkoa G 1 ja suunnattua verkkoa G 2, jotka on kuvattu alla. Merkitään verkon G k solmujen joukkoa V k ja kaarien joukkoa E k, missä k {1, 2} G 1 G 2 Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä epätosia? Perustele. (a) (1, 2) E 1 ja (2, 1) E 2. (b) 4 V 1 tai (4, 1) / E 2. (c) Verkon G 1 solmut 1 ja ovat vierekkäisiä. (d) Verkossa G 2 on silmukka. (e) (2, 4) E 1 E 2. (f) Verkossa G 1 pätee deg(1) + deg() + deg(4) = deg(2). (g) Verkossa G 1 pätee v V 1 deg(v) = 11. (a) Väite on tosi, sillä verkossa G 1 on viiva solmujen 1 ja 2 välillä sekä verkossa G 2 solmusta 2 on kaari solmuun 1. (b) Väite on tosi, sillä verkossa G 1 on solmu 4. (c) Väite on epätosi, sillä solmujen 1 ja välillä ei ole viivaa. (d) Väite on tosi, sillä (1, 1) E 2. (e) Väite on epätosi, sillä verkossa G 2 solmusta 2 ei ole kaarta solmuun 4. (f) Väite on tosi, sillä deg(1) + deg() + deg(4) = = 4 = deg(2). (g) Väite on epätosi, sillä v V 1 deg(v) = deg(1) + deg(2) + deg() + deg(4) + deg() = = Toisaalta suuntaamattoman verkon solmujen asteiden summa on aina kaksinkertainen kaarien lukumäärän suhteen, jolloin se on aina parillinen. Näin ollen minkään suuntaamattoman verkon solmujen asteiden summa ei ole (a) Esitä alla oleva suuntaamaton verkko G vierusmatriisin avulla

10 (b) Piirrä suunnattu verkko H, jonka vierusmatriisi on A H = (c) Tutki, ovatko alla olevat verkot kaksijakoisia (a) Suuntaamattoman verkon G vierusmatriisi on A G = (b) Vierusmatriisia A H vastaava suunnattu verkko H : (c) Värittämällä yksi verkon solmu ensimmäisellä värillä, kaikki sen vierekkäiset solmut toisella, ja niiden naapurit taas ensimmäisellä, nähdään helposti, että verkoista ensimmäinen on kaksijakoinen, mutta toinen ei (ks. solmut ja 6)

11 20. (a) Ovatko suuntaamattomat verkot G ja H isomorfisia, jos niiden vierusmatriisit A G ja A H ovat seuraavat? A G = 0 0 1, A H = (b) Ovatko alla olevat suuntaamattomat verkot isomorfisia? Anna sopiva isomorfismi tai perustele, ettei sellaista ole olemassa. a 1 b e 2 c d 4 (a) Verkot G ja H ovat isomorfisia. Isomorfismiksi sopii kuvaus f : {1, 2, } {1, 2, }, jolla f(1) =, f(2) = 2 ja f() = 1. Järjestämällä vierusmatriisi A H isomorfismia vastaavasti havaitaan, että kuvaus säilyttää kaaret: A G = 0 0 1, A H = (b) Verkot ovat isomorfisia. Isomorfismiksi sopii kuvaus f : {a, b, c, d, e} {1, 2,, 4, }, jolla f(a) = 1, f(b) =, f(c) =, f(d) = 2, f(e) = 4. Kaarien säilyminen voidaan osoittaa vierusmatriisien avulla. Alla esitetyissä matriiseissa vasemmalla on tehtävänannon vasemman puolen verkon vierusmatriisi, jossa rivit ja sarakkeet ovat aakkosjärjestyksessä abcde. Siis esimerkiksi neliöity luku 1 tarkoittaa, että verkossa on kaari solmusta b solmuun c. Oikealla on tehtävänannon oikean puolen vierusmatriisi, jonka sarakkeiden ja rivien järjestys on muutettu isomorfismin mukaiseksi 124. Siinä neliöity luku 1 tarkoittaa siis, että solmusta on kaari solmuun Ovatko alla olevat suuntaamattomat verkot isomorfisia? Anna sopiva isomorfismi tai perustele, ettei sellaista ole olemassa. 6 7 f g a b c d e h i j

12 Molemmissa verkoissa on kaksi solmua, joiden aste on neljä. Oikean puoleisessa verkossa nämä kaksi solmua ovat vierekkäiset, mutta vasemman puoleisessa eivät. Ei siis ole olemassa bijektiota f näiden verkkojen välillä niin, että solmulla x olisi sama aste kuin solmulla f(x) ja että mikäli solmut x ja y ovat vierekkäisiä niin solmut f(x) ja f(y) ovat myös vierekkäisiä. Verkot eivät siis ole isomorfisia. 22. (a) Mitkä seuraavista solmujonoista ovat polkuja alla kuvatussa suuntaamattomassa verkossa? Määritä jokaisen polun pituus. Mitkä solmujonoista ovat yksinkertaisia polkuja? Entä mitkä ovat syklejä? i. a, e, b, c, b ii. a, e, a, d, b, c, a iii. e, b, a, d, b, e iv. c, b, d, a, e, c. a b c d e (b) Ovatko alla kuvatut suuntaamattomat verkot yhtenäisiä? (a) i. Solmujono a, e, b, c, b on polku, sillä jonon jokaisesta solmusta on kaari jonossa seuraavaan solmuun. Polun pituus on 4. Solmujono ei ole yksinkertainen polku, sillä solmu b esiintyy polussa kahteen kertaan, mutta se ei ole jonon ensimmäinen. Samasta syystä solmujono ei ole sykli. ii. Solmujono a, e, a, d, b, c, a ei ole polku, sillä solmusta c ei ole kaarta solmuun a. iii. Solmujono e, b, a, d, b, e ei ole polku, sillä solmusta b ei ole kaarta solmuun a. iv. Solmujono c, b, d, a, e, c on polku, sillä jonon jokaisesta solmusta on kaari jonossa seuraavaan solmuun. Polun pituus on. Solmujono on yksinkertainen polku ja sykli, sillä ainoastaan jonon ensimmäinen ja viimeinen solmu ovat samoja. (b) Vasemmanpuoleinen verkko on yhtenäinen. Osoitukseksi riittää, että solmujono, 1, 2, 6,, 4 on (yksinkertainen) polku, joka kulkee verkon jokaisen solmun kautta. Siten verkon minkä tahansa kahden eri solmun välillä on polku. Sen sijaan oikean puoleinen verkko ei ole yhtenäinen. Tämän huomaa siitä, että solmuista 2, 4 ja 6 ei ole yhtään kaarta solmuihin 1, ja. Ei siis ole mahdollista muodostaa polkua esimerkiksi solmusta 2 solmuun 1.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet

Diskreetit rakenteet Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 4. Vastaesimerkiksi kelpaa malli M = S, R,v, missä S = {s}, R = { s,s }, ja v(s,p) = false. P s M = P P pätee (koska M,s P), ja M,s P pätee myös, koska s,s R, M,s P, eikä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Jos d-kohdan vasemmalla puolella perusjoukkona on X, niin oikealla puolella

Jos d-kohdan vasemmalla puolella perusjoukkona on X, niin oikealla puolella DISKREETTI MATEMATIIKKA, harjoitustehtävät Tehtäviä tulee todennäköisesti lisää. Uudet tehtävät tulevat aikanaan ladattavaksi samalle sivulle, josta tämäkin moniste löytyi. Ilmoitustaululta on nähtävissä

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks may

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot