Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla."

Transkriptio

1 Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla. 1. Olkoon A = {1, 2, 3, 4}. Anna esimerkki A:n relaatiosta joka on (perusteluja ei tarvitse esittää) (a) refleksiivinen, mutta ei symmetrinen eikä transitiivinen. (b) symmetrinen, mutta ei refleksiivinen eikä transitiivinen. (c) transitiivinen, mutta ei refleksiivinen eikä symmetrinen. (d) refleksiivinen ja transitiivinen, mutta ei symmetrinen. Ratkaisu: a) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3)} b) R = {(1, 2), (2, 1)} c) R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} d) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2)} 2. Jatkoa 1. tehtävään (a) refleksiivinen ja symmetrinen, mutta ei transitiivinen. (b) symmetrinen ja transitiivinen, mutta ei refleksiivinen. (c) ekvivalenssirelaatio. (d) ei ole refleksiivinen, eikä symmetrinen eikä transitiivinen. Ratkaisu: a) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} b) R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)} c) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} d) R = {(1, 2)} 3. Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja olkoon R joukon A ekvivalenssirelaatio. Oletetaan, että {(1, 2), (3, 4), (4, 5)} R ja (1, 4) / R, (2, 6) / R sekä (5, 6) / R. (a) Luettele R:n kaikki alkiot. (b) Kuinka monta ekvivalenssiluokkaa R:llä on? Mitkä ne ovat? 1

2 Ratkaisu: a) R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 6)} b) 3. Luokat ovat {1, 2}, {3, 4, 5} ja {6}. 4. Olkoon A joukko jonka alkioina ovat kaikki Helsingin metroasemat. Määritellän A:n relaatio R seuraavasti: arb jos ja vain jos asemasta a pääsee metrolla asemalle b. Onko relaatio R refleksiivinen? Symmetrinen? Transitiivinen? Jos R on ekvivalenssirelaatio, mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: Kysymyksen voi tulkita eri tavoin (kuten usein jos haluamme mallintaa reaalimaailman asioita). Kaikki tulkinnat ovat varmasti "yhtä oikeita". Jos tulkinta on, että pääseekö käyttämällä metroa asemalta a asemalle b, niin kyseessä on selvästi ekvivalenssirelaatio: Asemalta a pääsee metrolla asemaan a joten R on refleksiivinen. Jos a:sta pääsee b:hen metrolla, niin pääsee b:stä takaisin a:han, joten R on symmetrinen. Jos a:sta pääsee b:hen ja sieltä edelleen c:hen, niin a:sta pääsee metrolla c:hen. Joten R on transitiivinen. Näin ollen R on ekvivalenssirelaatio. Mistä tahansa asemalta pääsee mihin tahansa asemaan, joten kaikki asemat ovat samassa ekvivalenssiluokassa. Näin ollen luokkia on yksi, koko joukko A. Jos tulkinta on, että pääseekö asemalta a b:hen ilman, että joutuu vaihtamaan metroa, niin R ei ole refleksiivinen (jos ei ota huomioon tilannetta, missä henkilö käväisee metrossa ja kävelee ulos ennen kuin ovet sulkeutuvat). R on myös tässä tulkinnassa symmetrinen. R ei ole transitiivinen, sillä Vuosaaresta pääsee Itäkeskukseen samalla metrolla. Vastaavasti Itäkeskuksesta pääsee Mellunmäkeen samalla metrolla, mutta Vuosaaresta ei pääse Mellunmäkeen samalla metrolla. 5. Olkoon joukon R \ {0} relaatio seuraava: a b, jos ja vain jos ab > 0. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Kuinka monta eri ekvivalenssiluokkaa relaatiolla on? Mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: a a = a 2 ollen a a kaikilla a R \ {0} > 0 kaikilla a R \ {0} ja näin Symmetria: jos a b, niin ab > 0 ja näin ollen ba > 0, eli b a. 2

3 Transitiivisuus: jos a b ja b c, niin ab > 0 ja bc > 0. Koska b 2 > 0, niin 1/b 2 > 0 ja näin ollen ac = ab bc 1/b 2 > 0. Ekvivalenssiluokat: [1] = {b R \ {0} 1 b > 0} = {b R \ {0} b > 0} [ 1] = {b R \ {0} 1 b > 0} = {b R \ {0} b < 0}. Koska [1] [ 1] = R \ {0}, niin muita luokkia ei ole. Näin ollen eri luokkia on kaksi ja ne ovat [1] ja [ 1]. 6. Määritellään joukon Z relaatio seuraavasti: m n, jos m n = 4k jollakin k Z. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: m m = 0 = 4 0, joten m m kaikilla m Z. Symmetria: Oletetaan, että m n, eli m n = 4k jollakin k Z. Tällöin n m = (m n) = 4( k) ja koska k Z, niin n m. Transitiivisuus: Oletetaan, että m n ja n p, eli m n = 4k ja n p = 4r joillain k, r Z. Tällöin m p = m n + n p = 4k + 4r = 4(k + r) ja koska k + r Z, niin m p. Ekvivalenssiluokat: [0] = {n Z n 0} = {4k k Z} [1] = {n Z n 1} = {4k + 1 k Z} [2] = {n Z n 2} = {4k + 2 k Z} [3] = {n Z n 3} = {4k + 3 k Z} Koska [0] [1] [2] [3] = Z, niin muita eri ekvivalenssiluokkia ei ole. Näin ollen ekvivalenssiluokat ovat edellämainitut luokat. 7. Jokaiselle joukolle X jossa on ekvivalenssirelaatio voidaan määrittää ns. kanoninen projektio π : X X/, π(x) = [x]. Osoita, että tämä on aina surjektiivinen kuvaus. Olkoon kuten edellisessä tehtävässä. Olkoon π : Z Z/, π(x) = [x]. (a) Olkoon A = {0, 8, 10, 26}. Määritä πa. Kuinka monta eri alkiota kuvassa πa on? (b) Määritä π {[2] }. (c) Onko π injektio? Surjektio? Bijektio? Kääntyvä? 3

4 Ratkaisu: Osoitetaan kanonisen projektion surjektiivisuus: oletetaan, että y X/. Tällöin y = [x] jollakin x X. Näin ollen y = π(x). a) πa = {[0], [8], [10], [26] } = {[0], [2] }. b) Koska [2] = {4k + 2 k Z}, niin [4k + 2] = [2] kaikilla k Z. Ts. π(4k + 2) = [2] kaikilla k Z, joten π {[2] } = {4k + 2 k Z}. c) Koska π(2) = [2] = [6] = π(6), ja 2 6, niin π ei ole injektio. π osoitettiin surjektioksi tehtävän alussa. Koska π ei ole injektio, se ei ole bijektio ja näin ollen ei myöskään kääntyvä. : [0] = [8], sillä 8 [0] ja 10 [2],26 [2], joten [10] = [26] = [2] (kts. edellinen tehtävä) 8. Olkoon tason R 2 relaatio (a, b) (c, d) jos ja vain jos pisteiden (a, b) ja (c, d) etäisyys origoon on sama. Osoita, että on R 2 :n ekvivalenssirelaatio. Minkälaisia geometrisia objekteja ekvivalenssiluokat [(a, b)] muodostavat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: pisteen (a, b) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (a, b) etäisyys origoon kaikilla (a, b) R 2. Symmetria: jos (a, b):n etäisyys origoon on sama kuin (c, d):n, niin toki (c, d):n etäisyys origoon on sama kuin (a, b):n. Transitiivisuus: jos pisteen (a, b) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (c, d) ja pisteen (c, d) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (e, f), niin pisteen (a, b) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (e, f). Pisteen (a, b) ekvivalenssiluokassa on kaikki pisteet (c, d) joiden etäisyys origoon on sama kuin (a, b):n etäisyys. Nämä pisteet sijaitsevat ympyränkehällä jonka keskipiste on origo ja säde kyseinen etäisyys. 9. Olkoon tason R 2 osajoukon A = {(0, b) b R} relaatio R määritelty seuraavalla tavalla: (a, b)r(c, d) jos ja vain jos ad bc = 0. Osoita, että R on A:n ekvivalenssirelaatio. Minkälaisia geometrisiä objektejä ekvivalenssiluokat muodostavat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: Olkoon (a, b) A. Tällöin ab ba = 0, joten (a, b)r(a, b). Symmetria: Oletetaan, että (a, b)r(c, d), eli ad bc = 0. Tällöin cb ad = (ad bc) = 0 = 0 joten (c, d)r(a, b). 4

5 Transitiivisuus: Oletetaan, että (a, b)r(c, d) ja (c, d)r(e, f), eli ad bc = 0 ja cf de = 0. Koska A:n pisteiden x-koordinaatti ei ole nolla, niin c 0. Saadaan yhtälöt muotoon b = ad/c ja f = de/c. Näin ollen joten (a, b)r(e, f). Pisteen (a, b) ekvivalenssiluokka: af be = ade/c ade/c = 0 [(a, b)] R = {(x, y) A ay bx = 0} = {(x, y) A y = bx/a} Kyseessä on siis suora y = b ax mistä on poistettu origo. 10. Olkoon A = {A n n N}, missä A n on joukko kaikilla n N. (a) Osoita, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio kun A n RA m jos ja vain jos on olemassa bijektio f : A n A m. (b) Oletetaan, että N ja Z sekä C = {k 2 k N} ovat A:n alkioita. Osoita, että Z ja C kuuluvat ekvivalenssiluokkaan [N] R Ratkaisu: a) Refleksiivisyys: identtinen kuvaus id An : A n A n on bijektio kaikilla n N ja näin ollen A n RA n kaikilla n N. Symmetria: oletetaan, että A n RA m, eli on olemassa bijektio f : A n A m. Tällöin f:llä on käänteiskuvaus f 1 : A m A n joka on bijektio (sillä f 1 :llä on käänteiskuvaus f). Näin ollen A m RA n. Transitiivisuus: oletetaan, että A n RA m ja A m RA k, eli on olemassa bijektio f : A n A m ja g : A m A k. Tällöin g f : A n A k on bijektio, (g f:än käänteiskuvaus on f 1 g 1 ) joten A n RA k. Z [N] R sillä f : Z N, f(z) = { 2z, z 0 2z 1, z < 0 on bijektio. Vastaavasti C [N] R sillä on bijektio. f : C N, f(z) = z 11. (a) Olkoon A kaikkien HY:n opiskelijoiden joukko. Keksi A:n ekvivalenssirelaatio, siten että saat joukon A osituksen kahteentoista erilliseen epätyhjään osajoukkoon. Keksitkö ekvivalenssirelaation millä saisi osituksen kolmeen epätyhjään osajoukkoon? 5

6 (b) Olkoon A ja B joukkoja. Onko {A \ B, A B, B \ A} joukon A B ositus? Ratkaisu: a) Osituksia on useampia. Esimerkiksi: Määritellään relaatio : a b jos ja vain jos a ja b ovat syntyneet samana kuukautena (ei välttämättä samana vuonna). Näin saadaan ekvivalenssirelaatio, jossa ekvivalenssiluokkaan [a] kuuluu kaikki opiskelijat jotka ovat syntyneet samana kuukautena kuin a. Selvästi jokaiselle kuukaudelle löytyy ainakin yksi opiskelija joka on syntynyt tuona kuukautena, joten luokkia on 12 kappaletta, jotka osittavat A:n 12 varmasti epätyhjään osajoukkoon. A:n saa kolmeen osaan esimerkiksi näin: A 1 = {a A a on syntynyt tammikuussa}, A 2 = {a A a on syntynyt helmikuussa}, A 3 = {a A a ei ole syntynyt tammikuussa eikä helmikuussa}. Selvästi osajoukot ovat taas varmasti epätyhjiä ja muodostavat A:n osituksen. Ekvivalenssirelaation voi nyt muodostaa näin: a b jos ja vain jos a ja b kuuluvat samaan osajoukkoon osituksessa. b) On. A B = (A \ B) (A B) (B \ A). Myös (A \ B) (A B) =, (A \ B) (B \ A) = ja (A B) (B \ A) = (tarkat todistukset sivuutetaan, mutta esim. piirtämällä Vennin kaavioita saa kuvan tilanteista). 12. Joukon X relaatio R on osittainen järjestys, jos se on refleksiivinen ja transitiivinen sekä antisymmetrinen. Antisymmetrisyys tarkoittaa seuraavaa: jos (a, b) R ja (b, a) R, niin a = b. Ovatko seuraavat relaatiot osittaisia järjestyksiä? (a) Joukon Z relaatio R, missä arb jos ja vain jos a b. (b) Joukon N \ {0} relaatio, jossa a b jos ja vain jos a jakaa luvun b. (c) Joukon P(Z) relaatio, jossa A B jos ja vain jos A on B:n osajoukko. Ratkaisu: a) On. Refleksiivisyys: a a kaikilla a Z, joten ara. Transitiivisuus: Oletetaan, että arb ja brc, eli a b ja b c. Tällöin a c joten arc. Antisymmetria: Oletetaan, että arb ja bra, eli a b ja b a. Tällöin a = b. b) On. Refleksiivisyys: a = a 1, joten a a kaikilla a N \ {0}. Transitiivisuus: Oletetaan, että a b ja b c. Näin ollen b = a k ja c = b r, missä k, r Z. Tällöin c = b r = a kr. Koska kr Z, niin a c. Antisymmetria: Oletetaan,että a b ja b a, eli b = ak ja a = br, missä 6

7 k, r Z. Tällöin a = br = akr, joten kr = 1 mistä seuraa, että k = r = 1 tai k = r = 1. Jos k = 1, niin b = ak < 0 joka ei pidä paikkansa. Näin ollen k = r = 1, joten b = ak = a. c) On. Refleksiivisyys: A A kaikilla A P(Z). Transitiivisuus: Oletetaan,että A B ja B C. Oletetaan, että a A. Oletuksista seuraa, että a B ja edelleen a C. Näin ollen A C. Antisymmetria: Oletetaan, että A B ja B A. Tällöin A = B. 13. Joukon X relaatio R on lineaarinen järjestys jos se on antisymmetrinen (kts. edellinen tehtävä), transitiivinen ja vertailullinen, joka tarkoittaa että kaikilla x, y X, xry tai yrx. (a) Osoita, että lineaarinen järjestys on osittainen järjestys. (b) Mitkä edellisen tehtävän relaatioista ovat lineaarisia järjestyksiä? Ratkaisu: a) Osoitetaan refleksiivisyys: Olkoon x X ja y = x. Vertailullisuuden nojalla, xry tai yrx, eli xrx tai xrx. Erityisesti siis xrx. b) Kaikki olivat antisymmetrisiä ja transitiivisia. Tutkitaan vertailullisuutta: a-kohdan relaatio on vertailullinen, sillä kaikilla a, b Z pätee joko a b tai b a. b-kohdan relaatio ei ole vertailullinen, sillä 2, 3 N \ {0}, mutta 2 3 ei päde eikä 3 2. c-kohdan relaatio ei ole vertailullinen, sillä {1}, {2} P(Z), mutta {1} {2} ei päde eikä {2} {1}. 14. Olkoon X joukko, jossa on ainakin kaksi eri alkiota. Voiko X:n lineaarinen järjestys olla ekvivalenssirelaatio? Ratkaisu: Ei. Olkoon R X:n lineaarinen järjestys ja x, y X eri alkioita. Tehdään vastaoletus: X on ekvivalenssirelaatio. Nyt vertailullisuudesta seuraa, että xry tai yrx. Jos xry, niin symmetrisyydestä seuraa, että yrx, joten antisymmetrisyydestä seuraa, että x = y joka on ristiriita. Analoogisesti, jos yrx, niin symmetrisyys ja antisymmetrisyys johtaa tilanteeseen x = y. 15. Tee a tai b riippuen siitä mitä erikoisosioita olet opiskellut. (a) Olkoon G = (V, E) verkko, missä kaarien joukko E on V :n ekvivalenssirelaatio. Voidaanko tästä päätellä, onko G:ssä silmukoita ja onko verkko suunnattu vai suuntaamaton? Piirrä nuolikaavio jostakin tämäntyyppisestä verkosta, jossa on ainakin 4 solmua ja 6 viivaa. Havainnollista myös verkon eri ekvivalenssiluokkia (voit esimerkiksi ympyröidä ne solmut jotka kuuluvat samaan luokkaan). 7

8 (b) Tarkastellaan kompleksista binomiyhtälöä z 3 = 1 2 (1 i). Olkoon A R, jossa φ A jos ja vain jos e iφ on yhtälön ratkaisu. Määritellään A:n relaatio R: φrθ jos ja vain jos e iφ = e iθ. Perustele lyhyesti (ainakin itsellesi) miksi R on ekvivalenssirelaatio. Kuinka monta eri ekvivalenssiluokkaa R:llä on? Määritä luokkien edustajat väliltä [0, 2π[. Ratkaisu: a) Koska V on refleksiivinen, niin jokaisesta verkon solmusta on silmukka itseensä. Koska V on symmetrinen, niin verkko on suuntaamaton. b) Selvitetään ensin joukko A. Kirjoitetaan luvut eksponenttimuodossa z = z e iφ ja 1 2 (1 i) = e π 4 i. Tällöin De Moivren kaavaa käyttämällä z 3 = e π 4 i { z 3 e 3iφ = e π 4 i z 3 = 1 3φ = π/4 + 2πk, missä k Z { z = 1 φ = π/12 + 2πk/3, missä k Z Näin ollen A = { π/12 + 2πk/3 k Z}. Selvästi R on ekvivalenssirelaatio: φrφ kaikilla φ A, sillä e iφ = e iφ kaikilla φ A; jos φrρ, eli e iφ = e iρ, niin e iρ = e iφ, eli ρrφ; jos φrρ ja ρrξ, eli e iφ = e iρ ja e iρ = e iξ, niin e iφ = e iξ, eli φrξ. Sijoittamalla k = 1, 2, 3 saadaan A:n alkiot 7π/12, 15π/12 ja 23π/12. Näiden ekvivalenssiluokat ovat: [7π/12] = {7π/12 + 2πk k Z}, [15π/12] = {15π/12 + 2πk k Z} ja [23π/12] = {23π/12 + 2πk k Z}. Nämä muodostavat joukon A osituksen, joten muita eri ekvivalenssiluokkia ei ole. Näin ollen eri luokkia on yllämainitut 3 (kuten myös binomiyhtälön eri ratkaisuja) ja luokkien annetut edustajat ovat halutulta väliltä [0, 2π[. 8

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

6.4. Järjestyssuhteet

6.4. Järjestyssuhteet 6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 1 Joukon käsite JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 Joukon voisi yrittää määritellä kokoelmaksi olioita, mutta tämä edellyttää, että ymmärretään mitä olioilla ja kokoelmalla tarkoitetaan.

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 4. Vastaesimerkiksi kelpaa malli M = S, R,v, missä S = {s}, R = { s,s }, ja v(s,p) = false. P s M = P P pätee (koska M,s P), ja M,s P pätee myös, koska s,s R, M,s P, eikä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

Matematiikka kaikille, kesä 2017

Matematiikka kaikille, kesä 2017 Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30 Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Tuntitehtävät 17-18 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 21-22 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 19-20 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

1. Tekijärakenteet. 1. R on refleksiivinen, eli xrx. 2.R on symmetrinen, eli josxry, niinyrx. 3.R on transitiivinen, eli josxry jayrz, niinxrz.

1. Tekijärakenteet. 1. R on refleksiivinen, eli xrx. 2.R on symmetrinen, eli josxry, niinyrx. 3.R on transitiivinen, eli josxry jayrz, niinxrz. 1. Tekijärakenteet Tässä osassa tarkastellaan tekijärakenteita, kuten tekijäryhmiä ja tekijärenkaita, lähtien liikkeelle mahdollisimman yleisistä periaatteista. Tekijärakenteiden ajatuksena on päästä tarkastelemasta

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 2 ratkaisut Tehtävä 1 Olkoon X = {a, b, c} kolmen alkion joukko. a) Mikä on joukon X eri laskutoimitusten lukumäärä? b) Kuinka moni näistä laskutoimituksista on

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Toisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}.

Toisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}. Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Harjoitus 7 Ratkaisuehdotus (5 sivua) JR 1. Määritellään reaalilukuparien relaatio seuraavasti: (x,y) (x,y ) x =kx jay=ky jollakink R\{0}. Toisin sanoen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot