Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä."

Transkriptio

1 Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x} ei erottele verkossa G solmuja a ja b toisistaan, joten on olemassa jokin sellainen verkon G polku P näiden solmujen välillä, että ehto V(P) (X\{x})= on voimassa. Joukko X erottelee solmut a ja b kuitenkin toisistaan, joten väite V(P) X ={x} pätee. Toisaalta oletuksen X {a, b}= perusteella myös ehto x / {a, b} toteutuu, jolloin x ei ole polun P päätepiste. Olkoot P a ja P b verkon P epätyhjät polut, joilla ehto V(P a ) V(P b )= V(P)\{x} pätee ja joilla solmu a on polun P a päätepiste ja solmu b on polun P b päätepiste. Olkoot lisäksi verkon G solmut r ja s sellaisia, että joukko{a, r} on polun P a päätepisteiden joukko ja että joukko{b, s} on polun P b päätepisteiden joukko. Kyseiset päätepisteiden joukot voivat olla yksiöitä, mutta ehto N G (x) V(P)={r, s} on voimassa. Tiedon V(P) X ={x} perusteella verkot P a ja P b ovat verkon G X polkuja. Polku P a on tällöin eräs solmun a sisältävä verkon G X yhtenäinen aliverkko, joten P a on verkon G X komponentin C a aliverkko. Vastaavasti P b on verkon G X komponentin C b aliverkko. Alkio r on siten verkon C a solmu ja alkio s on verkon C b solmu. Näin ollen verkoissa C a ja C b on molemmissa ainakin yksi solmun x naapuri. Solmu x valittiin mielivaltaisesti, joten halutun väitteen toinen suunta on osoitettu todeksi. Oletetaan käänteisesti joukon X jokaisella alkiolla olevan jokin verkkoon C a kuuluva naapuri sekä jokin verkkoon C b kuuluva naapuri. Osoitetaan tällöin, että joukko X on sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Oletetaan tätä varten joukon Y olevan alkioiden määrän suhteen pienin mahdollinen solmut a ja b erotteleva joukon X osajoukko. Näytetään ehdon X = Y olevan voimassa. Olkoon joukon X alkio x mielivaltainen. Oletuksen nojalla on olemassa jotkin verkon G solmut v ja w siten, että ehdot v N G (x) V(C a ) ja w N G (x) V(C b ) ovat voimassa. Verkot C a ja C b ovat yhtenäisiä, joten on olemassa verkon C a polku P v solmujen a ja v välillä sekä verkon C b polku P w solmujen b ja w välillä. 1

2 Verkoilla C a ja C b ei ole yhteisiä solmuja keskenään eikä joukon X kanssa. Yhdistämällä nyt polut P v ja P w solmun x kautta saadaan siis sellainen verkon G polku solmujen a ja b välille, että se leikkaa joukkoa X vain solmun x kohdalla. Siten ehdon x Y on oltava voimassa. Näin ollen myös väite X Y toteutuu, mikä osoittaa joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Samoilla todistuksilla voidaan käsitellä tapaus, jossa solmut a ja b erottelevana joukkona on tyhjä joukko. Tällainen tilanne on mahdollinen, jos solmut a ja b ovat verkon G eri komponenteissa. Tehtävä 6 : 2 Solmut a ja b ovat tehtävän oletuksissa keskenään samanlaisessa asemassa, joten riittää osoittaa joukon Y a erottelevan solmut a ja b toisistaan. Joukko Y b voidaan käsitellä saman todistuksen nojalla. Olkoon P mielivaltainen verkon G polku solmujen a ja b välillä. Tavoitteena on näyttää ehdon V(P) V(Y a ) toteutuvan. Oletuksen mukaan joukot X ja X erottelevat solmut a ja b toisistaan, joten ehdot V(P) X sekä V(P) X ovat voimassa. Toisaalta oletuksen perusteella joukot X ja X eivät sisällä solmuja a ja b eli polun P päätepisteitä. Olkoon P X solmusta a lähtevä verkon P polku, joka kohtaa joukon X vain toisen päätepisteensä kohdalla. Olkoon vastaavasti P X sellainen solmusta a lähtevä verkon P polku, joka leikkaa joukkoa X ainoastaan toisessa päätepisteessään. Olkoon u joukon V(P X ) X ainoa alkio ja olkoon lisäksi u joukon V(P X ) X ainoa alkio. Tällöin verkko P X u on verkon C a polku ja verkko P X u on verkon C a polku. Jos ehto u = u on voimassa, niin väite V(P) X X toteutuu. Haluttu väite V(P) Y a on tässä tapauksessa voimassa. Voidaan jatkossa olettaa ehdon u u pätevän, jolloin polut P X ja P X eivät ole keskenään samanpituisia. Jos polku P X on polkua P X lyhyempi, niin polku P X on verkon P X u aliverkko, jolloin alkio u on verkon C a solmu. Tässä tapauksessa väite X V(C a) toteutuu. Jos vuorostaan polku P X on polkua P X lyhyempi, 2

3 niin alkio u on vastaavasti verkon C a solmu, jolloin väite X V(C a ) pätee. Molemmissa tapauksissa väite V(P) Y a toteutuu. Joukko Y a siis erottelee verkossa G solmut a ja b toisistaan. Siten myös joukko Y b erottelee nämä solmut. Tehtävä 6 : 3 Osoitetaan relaation olevan joukon E(G) ekvivalenssirelaatio. Relaatio on refleksiivinen, sillä jokaisella särmällä e E(G) on ehto e = e voimassa. Relaatio on suoraan myös symmetrinen, sillä yhtäsuuruusrelaatio ja verkon G samalla syklillä oleminen ovat molemmat symmetrisiä relaatioita. Näytetään seuraavaksi relaation olevan transitiivinen. Olkoon joukko {e, e, e } E(G) sellainen, että ehdot e e ja e e ovat voimassa. Jos näistä särmistä jotkin ovat keskenään samoja alkioita, niin ne kaikki ovat samoja alkioita tai sijaitsevat samalla syklillä, joten haluttu ehto e e pätee. Jatkossa voidaan olettaa joukossa {e, e, e } olevan kolme eri alkiota. Tällöin on olemassa verkon G syklit C ja C niin, että ehdot{e, e } E(C) ja{e, e } E(C ) toteutuvat. Erityisesti ehto e E(C) E(C ) on voimassa, joten sykleillä C ja C on ainakin kaksi yhteistä leikkauspistettä. Jos ehto C = C toteutuu, niin haluttu lopputulos on suoraan voimassa. Merkitään kirjaimella m syklin C solmujen lukumäärä. Olkoon joukon V(C) numerointi {x 1,..., x m } ilman toistoja sellainen, että pätee e = {x 1, x m } ja että jokaisella i {1,..., m 1} on ehto {x i, x i+1 } E(C) voimassa. Olkoon luku r joukon {1,..., m} pienin alkio, jolla ehto x r V(C ) pätee. Olkoon s vuorostaan suurin väitteen x s V(C ) toteuttava joukon {1,..., m} alkio. Nämä luvut ovat olemassa ja ovat keskenään eri alkioita tiedon e E(C) E(C ) nojalla. Olkoon A se syklin C solmut x r ja x s yhdistävä polku, jolle särmä e kuuluu. Vastaavasti olkoon A syklin C polku solmujen x r ja x s välillä siten, että särmä e on polun A särmäjoukossa. Oletuksen e e mukaan poluista A ja A ainakin toisessa on vähintään kaksi solmua. Polkujen A ja A yhdisteenä saadaan sellainen verkon G sykli, jolla särmät e ja e molemmat sijaitsevat. Väite e e on siis voimassa. Relaatio on transitiivinen ja siten joukon E(G) ekvivalenssirelaatio. 3

4 Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Särmän f virittämä verkon G aliverkko K on yhtenäinen verkko. Kahden solmun aliverkossa K ei ole leikkaussolmuja, joten on olemassa verkon G sisältymisen suhteen maksimaalinen yhtenäinen aliverkko siten, että verkolla K ei ole leikkaussolmuja ja että verkko K on verkon B aliverkko. Verkko B on verkon G eräs lohko. Näytetään joukon E(B) olevan särmän f ekvivalenssiluokka relaation suhteen. Käsitellään ensin tilanne, jossa särmä f on ekvivalenssiluokkansa ainoa alkio. Osoitetaan väitteen B = K olevan voimassa. Oletetaan verkon B yhtenäisyyden perusteella vastaoletuksena, että jokin solmu a B\ K on särmän f päätepisteen naapurisolmu. Olkoon solmu x särmän f kyseinen päätepiste ja olkoon solmu y särmän f toinen päätepiste. Verkko B on lohko, joten alkio x ei ole sen leikkaussolmu. Verkko B x on siis yhtenäinen ja on olemassa verkon B x polku solmujen z ja y välillä. Kyseinen polku voidaan jatkaa verkon G sykliksi lisäämällä siihen särmä f sekä solmujen x ja z välinen särmä. Ristiriitaisesti särmän f ekvivalenssiluokassa on vähintään kolme alkiota. Ehdon K = B on näin ollen oltava voimassa, jolloin myös haluttu väite E(B)={ f} toteutuu. Oletetaan seuraavaksi, että särmän f ekvivalenssiluokassa relaation suhteen on ainakin kaksi eri alkiota. Särmä f on tällöin verkon G jollakin syklillä ja tämä sykli on 2-yhtenäisenä verkkona myös lohkon B aliverkko. Lohko B sisältää siis vähintään kolme solmua, jolloin lohko B on sisältymisen suhteen maksimaalinen 2-yhtenäinen verkon G aliverkko, jonka särmäjoukkoon särmä f kuuluu. Mikäli verkko B ei olisi 2-yhtenäinen, niin tiedon V(B) >2 nojalla jokin sen solmuista olisi leikkaussolmu. Näytetään ensin särmän f ekvivalenssiluokan olevan joukon E(B) osajoukko. Oletetaan vastaoletuksena joukon E(G)\ E(B) jonkin särmän g olevan sellainen, että väite f g pätee. Nyt jollakin verkon G syklillä C g väite { f, g} E(C g ) on voimassa. Tällöin verkkojen B ja C g yhdiste on 2-yhtenäinen. Verkoissa B ja C g ei nimittäin ole leikkaussolmuja ja toisaalta tiedon f E(B) E(C g ) nojalla niillä on ainakin kaksi yhteistä solmua. Yhden solmun poistaminen verkkojen B ja 4

5 C g yhdisteestä ei siis aiheuta epäyhtenäisyyttä. Saadaan ristiriita sen kanssa, että verkko B on maksimaalinen 2-yhtenäinen aliverkko. Vielä on osoitettava, että joukko E(B) sisältyy särmän f ekvivalenssiluokkaan. Olkoon joukon E(B)\{ f} alkio h mielivaltainen. Oletuksen mukaan jokaisella solmulla u V(B) verkko B u on yhtenäinen. Toisaalta joukon V(B) osajoukot f ja h ovat kaksioita, joten verkossa B mikään korkeintaan yhden solmun sisältävä joukon V(B) osajoukko ei erottele joukkoja f ja h toisistaan. Näin ollen Mengerin lauseen perusteella verkossa B on kaksi erillistä polkua kaksioiden f ja h välillä. Lisäämällä särmät f ja h kyseisten polkujen yhdisteeseen saadaan verkon G sykli, jolla särmät f ja h sijaitsevat. Haluttu tulos f h on voimassa. Näin ollen joukko E(B) on näytetty särmän f ekvivalenssiluokaksi. Verkon G jokaisen särmän ekvivalenssiluokan relaation suhteen havaitaan olevan verkon G jonkin lohkon särmäjoukko. Toisaalta myös jokainen verkon G sellainen lohko, johon kuuluu vähintään kaksi eri solmua, sisältää jonkin särmä ja sen virittämän aliverkon sekä siten myös kyseisen särmän ekvivalenssiluokan. Tehtävä 6 : 4 Todistetaan ennen varsinaisen tehtävän käsittelyä kaksi aputulosta. Ensimmäisenä käsiteltävää tulosta hyödynnetään lisäksi tehtävän 6 yhteydessä ja jälkimmäistä tulosta sovelletaan tehtävän 5 ratkaisussa. Lemma. Olkoon k Z + jokin luku ja olkoon H äärellinen k-yhtenäinen verkko. Olkoon S V(H) epätyhjä osajoukko ja olkoon solmu r V(H) mielivaltainen. Tällöin on olemassa vähintään min{ S, k} kappaletta sellaisia verkon H polkuja solmun r ja joukon S solmujen välillä, että ne leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun r kohdalla. Erityisesti jokaisella solmulla s V(H)\{r} on vähintään k kappaletta verkon H riippumattomia polkuja solmujen r ja s välillä. Todistus. Kolmannen harjoituskerran tehtävän 2 nojalla ehto κ(h) δ(h) pätee, joten joukossa N H (r) on ainakin k eri solmua. Olkoon X jokin ehdot X < S ja X <k toteuttava joukon V(H) osajoukko. Näytetään nyt, että joukko X ei erottele verkossa H joukkoja S ja N H (r) toisistaan. 5

6 Verkko H on k-yhtenäinen, joten tiedosta X < k seuraa verkon H X olevan yhtenäinen. Toisaalta tietojen X < S ja X < N H (r) nojalla verkossa H X on vähintään yksi joukkoon S kuuluva solmu ja vähintään yksi joukkoon N H (r) kuuluva solmu. Verkon H X yhtenäisyyden nojalla joukkojen S\X ja N H (r)\x välillä on olemassa jokin verkon H X polku. Kyseinen polku yhdistää tällöin joukot S ja N H (r) verkossa H eikä sisällä joukon X solmuja. Joukko X ei siis erottele joukkoja S ja N H (r) verkossa H. Edellisen päättelyn perusteella jokainen joukot S ja N H (r) erotteleva joukon V(H) osajoukko sisältää ainakin min{ S, k} alkiota. Näin ollen Mengerin lauseen nojalla on vähintään min{ S, k} kappaletta verkon H erillisiä polkuja joukkojen S ja N H (r) välillä. Näistä poluista jokainen voidaan jatkaa solmuun r asti vieväksi poluksi yhden uuden särmän lisäämisellä, jolloin tuloksena olevat polut leikkaavat toisiaan ainoastaan solmun x kohdalla. Olkoon lisäksi solmu s V(H)\{r} mielivaltainen. Solmulla s on ainakin k naapuria, joten edellisten päätelmien nojalla solmusta r on vähintään k kappaletta sellaisia polkuja joukon N H (s) alkioihin, että kyseiset polut leikkaavat pareittain toisiaan ainoastaan solmun r kohdalla. OlkoonP näiden polkujen kokoelma. Jos mikään joukon P poluista ei kulje solmun s kautta, niin joukon P kaikki polut voidaan jatkaa solmuun s asti. Tässä tapauksessa solmujen r ja s välillä on siis ainakin k kappaletta riippumattomia polkuja. Muussa tapauksessa oletuksen s r nojalla on olemassa täsmälleen yksi P P siten, että ehto s V(P) toteutuu. Kokoelman P polut nimittäin leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun x osalta. Jatkamalla joukon P \{P} kaikki polut solmuun s asti sekä valitsemalla lyhyin verkkoon P sisältyvä polku solmujen r ja s välillä saadaan tuloksena vähintään k kappaletta solmujen r ja s välisiä riippumattomia polkuja. Luentojen ja kurssikirjan tavoin merkinnällä v e tarkoitetaan verkon G/e sitä alkiota, joka syntyy särmän e kutistamisessa. Seuraavien havaintojen yhteydessä oletetaan, että särmän suhteen kutistettu verkko on määritelty tarkastellun särmän ja sen päätepisteiden korvaamisella uudella solmulla ilman ekvivalenssiluokkia. Ekvivalenssirelaation avulla tehdyn määritelmän tapauksessa verkkojen ja niiden polkujen käsittelyssä on käytettävä verkkojen välisiä isomorfismeja. 6

7 Lemma. Olkoot verkko H ja sen särmä f mielivaltaisia sekä olkoot solmut x ja y särmän f päätepisteet. Tällöin ehto H {x, y}=(h/ f) v f on voimassa. Lisäksi jokaisella osajoukolla A V(H)\{x, y} väite(h/ f) A=(H A)/ f pätee. Olkoot toisaalta verkon H polku P ja joukkoon V(H)\{x, y} kuuluva polun P päätepiste p sellaisia, että polun P jäljellä oleva päätepiste on joukon {x, y} alkio. Tällöin verkossa H/ f on olemassa solmujen p ja v f välinen polku, jonka solmut ovat joukon (V(P)\{x, y}) {v f } alkioita. Jos erityisesti P on verkon H polku joukon H\{x, y} kahden solmun välillä, niin kyseiset solmut yhdistää myös verkon H/ f polku, jonka solmut ovat joukon(v(p )\{x, y}) {v f } alkioita. Todistus. Jokaisella verkon H solmulla u pätee u V(H)\{x, y} tasan silloin, kun ehto u V(H/ f) toteutuu. Lisäksi väitteet v f / V(H) sekä v f / V(H/ f)\{v f } ovat voimassa. Siten verkkojen H {x, y} ja(h/ f) v f solmujoukot ovat samat. Edelleen verkon H jokaisella särmällä g pätee g E(H {x, y}) g {x, y}= g E(H/ f). Toisaalta jokaisella verkon H solmulla u ovat ehdot{u, v f } / E(H {x, y}) sekä {u, v f } / E((H/ f) v f ) voimassa. Siten verkoilla H {x, y} ja (H/ f) v f on sama särmäjoukko. Ensimmäinen kysytty yhtäsuuruus on voimassa. Kiinnitetään tarkasteltavaksi joukoksi A jokin joukon V(H)\{x, y} osajoukko. Jokaisella verkon H solmulla u on voimassa u V ( (H/ f) A ) u V(H/ f) u / A u / {x, y} u / A u V(H A) u / {x, y} u V ( (H A)/ f ). Solmu v f on verkon (H/ f) A solmu, sillä väite v f / A pätee. Lisäksi oletuksen {x, y} A= perusteella solmu v f on myös verkon(h A)/ f solmu. Näin ollen verkoilla(h/ f) A ja(h A)/ f on sama solmujoukko. 7

8 Verkoilla (H/ f) A ja (H A)/ f on myös sama särmäjoukko. Verkon H jokaisella särmällä g saadaan nimittäin tulos g E ( (H/ f) A ) g E(H/ f) g A= g {x, y}= g A= g E(H A) g {x, y}= g E ( (H A)/ f ). Edelleen jokaisella solmulla u V(H)\A kaksio {u, v f } on verkon (H/ f) A särmä ja verkon (H A)/ f särmä. Vuorostaan jokaisella u A kaksio {u, v f } ei ole kummankaan tarkastellun verkon särmä. Verkot(H/ f) A ja(h A)/ f ovat siten keskenään sama verkko. Olkoon P p verkon P pisin sellainen solmusta p lähtevä polku, joka ei kohtaa särmän f päätepisteitä. Olkoon verkon P p solmu q sellainen, että joukko{p, q} on polun P p päätepisteiden joukko. Ehto q N H (x) N H (y) on voimassa. Lisäämällä solmu v f sekä särmä{q, v f } polkuun P p saadaan halutun ehdon toteuttava verkon H/ f polku solmujen p ja v f välille. Olkoon toisaalta P joukon V(H)\{x, y} alkioita yhdistävä verkon H polku. Jos ehto V(P ) {x, y} = toteutuu, niin P on verkon H/ f polku ja haluttu väite on voimassa. Jos sen sijaan ehto V(P ) {x, y} pätee, niin polun P päätepisteiden välille saadaan halutun ehdon toteuttava verkon H/ f polku solmun v f kautta edellisessä kappaleessa tehdyn päättelyn mukaisesti. Palataan takaisin varsinaisen tehtävän ratkaisuun. Käsitellään ensin tapaus, jossa jollakin verkon G syklillä C ovat ehdot e V(C) ja e / E(C) voimassa. Näytetään verkon G e olevan tällöin 2-yhtenäinen. Verkossa G on ainakin neljä solmua, joten 2-yhtenäisyyteen liittyvä vaatimus V(G e) > 2 toteutuu. Olkoon solmu a V(G e) mielivaltainen. Osoitetaan verkon (G e) a olevan yhtenäinen. Olkoot r ja s jotkin verkon (G e) a solmut. Verkko G on 2-yhtenäinen, joten verkossa G a on olemassa polku P solmujen r ja s välillä. Mikäli ehto e / E(P) toteutuu, niin polku P on suoraan verkon (G e) a polku solmujen r ja s välillä. 8

9 Jos väite e E(P) pätee, niin polku P leikkaa sykliä C vähintään särmän e molempien päätepisteiden kohdalla. Toisaalta solmu a kuuluu enintään toiselle särmän e päätepisteiden välisistä syklin C kaarista, jolloin voidaan valita verkon C a aliverkko P C siten, että aliverkko P C on verkon C a suurinta pituutta oleva polku, jonka päätepisteet ovat polun P varrella. Jatkamalla polkua P C tarvittaessa vielä polun P päätepisteistä lähtevillä osilla saadaan verkon (G e) a polku solmujen r ja s välille. Solmut r ja s voidaan siis molemmissa tapauksissa yhdistää verkon(g e) a jollakin polulla. Toisaalta kyseiset solmut valittiin mielivaltaisesti, joten verkko (G e) a on yhtenäinen. Verkon G e on osoitettu olevan 2-yhtenäinen. Oletetaan seuraavaksi, että verkossa G ei ole sellaista särmän e päätepisteet sisältävää sykliä, jolla särmä e ei sijaitse. Näytetään tässä tapauksessa verkon G/e olevan 2-yhtenäinen. Oletuksesta V(G) 4 seuraa vaatimuksen V(G/e) > 2 olevan voimassa. Olkoot nyt r ja s verkon G/e kaksi eri solmua siten, että ehto r v e on voimassa. Osoitetaan solmujen r ja s välillä olevan tällöin ainakin kaksi verkon G/e riippumatonta polkua. Oletetaan ensin ehdon s = v e toteutuvan. Olkoon verkon G solmu x jatkossa särmän e toinen päätepiste. Tällöin ehto x r toteutuu. Verkko G on 2-yhtenäinen, joten ensimmäisen aputuloksen nojalla verkossa G on kaksi riippumatonta polkua solmujen r ja x välillä. Jälkimmäisen aputuloksen perusteella näistä saadaan kaksi verkon G/e riippumatonta polkua solmujen r ja v e välille Käsitellään jäljellä oleva tapaus, jossa ehto s v e on voimassa. Ensimmäisen aputuloksen perusteella on olemassa kaksio P verkon G riippumattomia polkuja solmujen r ja s välillä. Näytetään korkeintaan toisen kaksion P polun sisältävän särmän e päätepisteitä. Oletetaan vastaoletuksena kaksion P kummankin polun sisältävän särmän e päätepisteitä. Tiedon {r, s} e = perusteella särmän e päätepisteet kuuluvat joukon P eri polkujen varrelle, sillä kaksion P riippumattomat polut leikkaavat vain päätepisteissään. Särmä e ei ole kummankaan polun varrella. Yhdistämällä kaksion P riippumattomat polut saadaan ristiriitaisesti verkon G sykli, jolla särmä e itse ei sijaitse ja joka kuitenkin sisältää särmän e päätepisteet. 9

10 Olkoon P P sellainen, että ehto V(P) e= toteutuu. Verkko P on suoraan verkon G/e polku. Soveltamalla toisaalta jälkimmäistä aputulosta yksiön P \{P} sisältämään polkuun saadaan tuloksena polku P solmujen r ja s välille siten, että polut P ja P ovat riippumattomia. Verkon G/e jokaisen kahden eri solmun välillä on siten ainakin kaksi riippumatonta polkua. Verkko G/e voidaan edellisten havaintojen perusteella osoittaa 2-yhtenäiseksi. Olkoon solmu a V(G/e) mielivaltainen. Joukon V(G/e)\{a} jokaisen kahden solmun välillä on ainakin kaksi riippumatonta verkon G/e polkua ja pätee, että solmu a kuuluu korkeintaan yhdelle näistä poluista. Toisin sanoen jokaista joukon V(G/e)\{a} solmuparia yhdistää vähintään yksi verkon (G/e) a polku, joten verkko(g/e) a on yhtenäinen. Verkon G/e on osoitettu olevan 2-yhtenäinen. Verkoista G e ja G/e vähintään toinen on siis 2-yhtenäinen. Jos verkon G jokin sykli sisältää särmän e päätepisteet mutta ei itse kyseistä särmää, niin verkko G e on 2-yhtenäinen. Muutoin verkko G/e on 2-yhtenäinen. Tehtävä 6 : 5 Käsitellään haluttu väite suoraan myös tehtävänantoa yleisemmässä muodossa. Olkoon luku k Z + mielivaltainen ja olkoon verkko G jatkossa k-yhtenäinen. Erityisesti verkon G ei vaadita olevan 3-yhtenäinen. Näytetään tällöin verkon G/e yhtenäisyysluvun olevan vähintään k täsmälleen siinä tapauksessa, että verkon G {x, y} yhtenäisyysluku on vähintään luvun k 1 suuruinen. Oletetaan ensin verkon G/e olevan k-yhtenäinen. Ehto V(G/e) > k pätee, joten väittämät V(G) > k+1 ja V(G {x, y}) > k 1 toteutuvat. Olkoon A joukon V(G)\{x, y} sellainen osajoukko, että ehto A <k 1 toteutuu. Nyt väite A {v e } <k on voimassa, joten oletuksen perusteella verkko(g/e) (A {v e }) on yhtenäinen. Tehtävän 4 ratkaisussa esitetyn aputuloksen avulla havaitaan ehdon (G/e) (A {v e })= ( ) (G/e) v e A=(G {x, y}) A olevan voimassa, joten verkko(g {x, y}) A on yhtenäinen. Näin ollen verkon G {x, y} yhtenäisyysluku on ainakin luvun k 1 suuruinen. 10

11 Oletetaan jatkossa kääntäen ehdon κ(g {x, y}) k 1 olevan voimassa ja näytetään verkon G/e olevan k-yhtenäinen. Joukossa V(G {x, y}) on ainakin k alkiota, joten verkossa G/e on vähintään k+1 alkiota. Olkoon joukon V(G/e) osajoukko A sellainen, että ehto A <k toteutuu. Oletetaan ensin ehdon v e A olevan voimassa. Tällöin ehdot A\{v e } V(G) ja A\{v e } <k 1 toteutuvat. Aikaisemman aputuloksen nojalla väite (G/e) A= ( ) (G/e) v e (A\{ve })=(G {x, y}) (A\{v e }) on voimassa. Oletuksen nojalla verkko (G {x, y}) (A\{v e }) on yhtenäinen, joten verkko(g/e) A on yhtenäinen. Oletetaan seuraavaksi ehdon v e / A toteutuvan, jolloin väite A V(G) pätee. Olkoot r ja s verkon (G/e) A kaksi eri solmua siten, että ehto r v e toteutuu. Verkko G on k-yhtenäinen, joten verkko G A on yhtenäinen. Oletetaan ensin väitteen s=v e pätevän. Tällöin solmujen r ja x välillä on jokin verkon G A polku. Tehtävän 4 yhteydessä esitetyn aputuloksen perusteella on olemassa jokin solmujen r ja v e välinen verkon(g A)/e polku. Saman tuloksen perusteella väite (G A)/e=(G/e) A on voimassa, joten verkossa (G/e) A on solmuja r ja v e yhdistävä polku. Edelleen tehtävässä 4 esitetyn tuloksen perusteella ehdon s v e toteuttavassa tapauksessa verkossa (G A)/e on jokin polku solmujen r ja s välillä. Solmut r ja s voidaan siten yhdistää myös verkon (G/e) A polulla. Verkko (G/e) A on osoitettu yhtenäiseksi. Verkko G/e on näin ollen k-yhtenäinen, mikä osoittaa halutun yhtäpitävyyden olevan voimassa. Tehtävä 6 : 6 Osoitetaan induktiolla luvun k N\{0, 1} suhteen, että jos G on jokin äärellinen k-yhtenäinen verkko, niin jokaisella joukolla D [V(G)] k on olemassa verkon G sykli, joka sisältää joukon D jokaisen solmun. Toisaalta kaikki 1-yhtenäiset verkot eivät sisällä syklejä, joten väitettä ei voi laajentaa tähän tapaukseen. Olkoon ensin G jokin äärellinen 2-yhtenäinen verkko sekä olkoot a ja x sen kaksi eri solmua. Tehtävän 4 yhteydessä esitetyn aputuloksen nojalla on olemassa 11

12 verkon G riippumattomat polut P ja P siten, että polut P ja P ovat keskenään eri polkuja ja että joukko{a, x} on niiden päätepisteiden joukko. Oletuksen a x perusteella joukossa V(P) V(P ) on ainakin kolme alkiota, sillä solmujen a ja x välillä voi lisäksi olla enintään yksi särmä. Polkujen P ja P yhdisteenä saadaan siten eräs solmut a ja x sisältävä verkon G sykli. Näin ollen induktion alkuaskel on käsitelty. Oletetaan nyt induktio-oletuksena luvun k N\{0, 1} olevan sellainen, että jokaisella k-yhtenäisellä äärellisellä verkolla on voimassa, että sen mitkä tahansa k eri solmua ovat keskenään samalla syklillä. Olkoon lisäksi G jokin äärellinen verkko, jonka yhtenäisyysluku on vähintään luvun k + 1 suuruinen. Olkoot joukko A [V(G)] k sekä solmu x V(G)\A mielivaltaisia. Näytetään joukon A {x} sisältyvän verkon G johonkin sykliin. Verkko G on erityisesti k-yhtenäinen, joten induktio-oletuksen perusteella on olemassa jokin verkon G sykli C siten, että ehto A V(C) toteutuu. Jos väittämä x V(C) toteutuu, niin joukon A {x} kaikki solmut sijaitsevat verkon G samalla syklillä. Voidaan siis olettaa ehdon x / V(C) olevan voimassa. Käsitellään ensin tapaus, jossa ehto V(C) = A on voimassa. Olkoot a ja a jotkin joukon A kaksi eri solmua, joilla väite {a, a } E(C) toteutuu. Tällaiset solmut voidaan valita, sillä verkon G jokaisella syklillä on ainakin kolme solmua. Tehtävän 4 ratkaisussa esitetyn aputuloksen perusteella on olemassa k kappaletta sellaisia verkon G polkuja joukon A ja solmun x välillä, että ne leikkaavat toisiaan pareittain vain solmun x kohdalla. Erityisesti on tällöin olemassa polku P a solmujen a ja x välillä sekä polku P a solmujen a ja x välillä siten, että kyseiset polut leikkaavat toisiaan vain solmun x kohdalla eivätkä toisaalta kohtaa joukkoa V(C) solmujen a ja a ulkopuolella. Poistamalla syklistä C särmä {a, a } sekä yhdistämällä tulos polkuihin P a ja P a saadaan verkon G sykli, jolle joukko A {x} sisältyy. Oletetaan jatkossa ehdon A V(C) olevan voimassa. Muodostetaan nyt eräs syklin C solmujoukon ositus. Merkitään kirjaimella m syklin C solmujen määrää ja numeroidaan joukko V(C) muodossa{c 1,..., c m } siten, että ehto c 1 A toteutuu. Olkoon kuvaus f : A {1,..., m} sellainen, että jokaisella alkiolla u Aon väite 12

13 c f(u) = u voimassa. Jokaisella alkiolla u A merkinnällä B u tarkoitetaan lisäksi joukon V(C) rekursiivisesti esitettyä osajoukkoa { u } { ci V(C) : i { f(u)+1,..., m} c i 1 B u c i / A }. Kokoelma{B u : u A} on tällöin joukon V(C) ositus. Toisaalta jokaisella alkiolla u A joukko B u virittää verkon C erään polun, jolle joukon A alkioista ainoastaan solmu u itse kuuluu. Huomataan väitteiden κ(g) k+ 1 ja V(C) k+ 1 pätevän. Nyt tehtävän 4 yhteydessä esitetyn tuloksen nojalla on olemassa ainakin k + 1 kappaletta sellaisia verkon G polkuja joukon V(C) ja solmun x välillä, että ne leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun x kohdalla. Siten on olemassa k + 1 alkiota sisältävä joukko P sellaisia solmun x ja joukon V(C) välisiä polkuja, että joukonp polut leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun x kohdalla ja että jokainen joukon P polku leikkaa sykliä C vain toisen päätepisteensä osalta. Laatikkoperiaatteen ja tiedon P > A nojalla on olemassa alkio a A sekä joukon P polut P ja P siten, että joukko B a sisältää polkujen P ja P syklille C kuuluvat päätepisteet. Olkoot joukon {1,..., m} alkiot l ja l sellaisia, että solmu c l polun P päätepisteenä ja että solmu c l on polun P päätepisteenä. Tällöin väite c l c l on voimassa. Polut P ja P nimittäin leikkaavat toisiaan vain syklille C kuulumattoman solmun x kohdalla. Kokoelmasta P tehtyjen oletusten mukaan joukko V(P) V(C) on polun P päätepisteen c l muodostama yksiö. Vastaavasti leikkausjoukko V(P ) V(C) on polun P päätepisteen c l yksiö. Toisaalta joukon B a määritelmästä seuraa, että täsmälleen toinen solmujen c l ja c l välisistä syklin C kaarista sisältää joukon A\{c l, c l } solmuja. Yhdistämällä kyseinen kaari polkuihin P ja P saadaan näin ollen verkon G sykli, jolla joukon A {x} kaikki solmut sijaitsevat. Kaikissa mahdollisissa tapauksissa joukon A {x} alkiot sijaitsevat jollakin verkon G syklillä. Siten induktioaskel onnistuu. Haluttu väite seuraa näin ollen yleisestä induktioperiaatteesta. 13

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. 5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot