Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Transkriptio

1 Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z C. 8 Q D. 2 R E. 7 2 Z Äänestäkää osoitteessa presemo.helsinki.fi/jym. 2/66

2 Joukkomerkinnät Mihin seuraavista joukoista luku 6 kuuluu? A. {z Z : z < 7}. B. {n N n = 6m missä m Z}. C. {a Q a = 3q missä q Q}. D. {x R x 2 6}. E. {..., 3, 0, 3, 6, 9,...}. Keskustele naapurin kanssa. 3/66

3 Joukkomerkinnät Mitkä seuraavista joukoista ovat samoja kuin joukko {5, 6, 7}? A. {x œ Z 4 < x < 8}. B. {6, 7, 5}. C. {6, 6, 7, 5, 7, 6}. D. {567}. E. {n œ N 25 Æ n 2 Æ 49}. Keskustele naapurin kanssa. 4/65

4 Tyhjä joukko Mitkä seuraavista joukoista ovat sama kuin tyhjä joukko ÿ? A. {x œ R x 2 = 0}. B. {}. C. {x œ Z 0 < x < 1}. D. {n œ N 3 Æ n < 0}. E. {q œ Q q œ Z}. Keskustele naapurin kanssa. 5/65

5 Joukko-operaatioita Tiedetään, että A = {1, 2, 3} ja A fi B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mitkä seuraavista väitteistä voivat olla totta? A. B = {3, 4, 5, 6}. B. B = {2, 3, 4, 5, 6}. C. A fl B = ÿ. D. A r B = ÿ. E. A r B = A. Keskustele naapurin kanssa. 6/65

6 Joukko-operaatioita Tiedetään, että A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja A fl B = {1, 4, 5}. Mitkä seuraavista väitteistä voivat olla totta? A. B = {1, 4, 5}. B. A fi B = A. C. A fi B = A. D. A r B = {2, 3, 6}. E. B r A = ÿ. Keskustele naapurin kanssa. 7/65

7 Osajoukko Mitkä seuraavista joukoista ovat joukon A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} osajoukkoja? A. {1, 2, 3, 4}. B. {8, 6, 4, 2}. C. {23, 45, 67}. D. {5}. E. ÿ. Keskustele naapurin kanssa. 8/65

8 Osajoukko Mitkä seuraavista ovat joukon osajoukkoja? A. A = {0}. G = {x œ R (e x 1)(x 4 4)(sin x 1) =0} B. B = {x œ R x 2 2 = 0}. C. C = {x œ R 3sinx = 3}. D. D = {x œ R x = 0}. Keskustele naapurin kanssa. 9/65

9 Osajoukko Mitkä seuraavista ovat joukon X = {ÿ, {1}, {2}, {1, 2}} osajoukkoja? A. ÿ B. {ÿ} C. {1}. D. {{2}}. E. {1, 2}. F. {{1}, {2}}. Keskustele naapurin kanssa. 10/65

10 Summamerkintä Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. B. C. D. 4ÿ 3j = j=0 4ÿ k=2 1 k = ÿ 1 = 1. n=0 5ÿ 1 = 6. n=0 11/65

11 Joukkoja Mitkä seuraavista väitteistä pätevät kaikilla joukoilla A ja B? A. (A fi B) r B = A. B. (A fi B) r B µ A. C. A µ (A fi B) r B. D. (A fi B) r B = A. E. A µ (A fi B) r B. Keskustele naapurin kanssa. 12/61

12 Osajoukoksi osoittaminen Tarkastellaan kahta joukkoa, olkoot ne W ja V.Miten osoitetaan, että W µ V? A. Piirretään Vennin kaavio. B. Etsitään alkio x, jollepäteex œ W ja x œ V. C. Oletetaan, että w œ W,janäytetään,ettätällöinw œ V. D. Oletetaan, että v œ V,janäytetään,ettätällöinv œ W. E. Näytetään, että kaikille alkioille x pätee x œ W ja x œ V. Keskustele naapurin kanssa. 13/61

13 Joukkoja Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Halutaan osoittaa, että A fi (B fl C) µ (A fi B) fl (A fi C). Mitkä seuraavista ovat sopivia välivaiheita? A. Oletetaan, että x œ (A fi B) fl (A fi C). B. Oletetaan, että x œ A fi (B fl C). C. Tapauksessa jossa x œ A, päteex œ A fi B. D. Tässä tilanteessa x œ B ja x œ C. E. Siis x œ (A fi B) fl (A fi C). F. Siis x œ A fi (B fl C). Keskustele naapurin kanssa. 14/61

14 Etsi virhe Alla olevassa päättelyssä yritetään osoittaa, että A fi (B r C) µ (A fi B) r C kaikilla joukoilla A, B ja C. Missä kohdassa päättelyä on virhe? Keskustele naapurin kanssa. 15/61

15 Perusjoukko ja komplementti Tarkastellaan reaalilukujen osajoukkoa A = {1, 2}. Mikä on joukon A komplementti {A? A. {A = {..., 2, 1, 0, 3, 4, 5,...}. B. {A = {x œ R x < 1 x > 2}. C. {A = {x œ R x < 1 x > 2}. D. {A = {x œ R x = 1 x = 2}. E. {A = {x œ R x = 1 x = 2}. Keskustele naapurin kanssa. 17/61

16 Väitteitä Oletetaan, että X on joukko ja A, B µ X. Mitkäseuraavista väitteistä ovat tosia? A. Jos x œ A fi B, niinx œ A. B. Jos y œ B, niiny œ {B. C. Jos z œ A, niinz œ A fi B. D. Jos w œ {(A fi B), niinw œ X. E. Jos u œ A tai u œ B, niinu œ A fi B. F. Jos u œ A fi B, niinu œ A tai u œ B. Keskustele naapurin kanssa. 18/61

17 Joukkojen osoittaminen samaksi Tarkastellaan kahta joukkoa, olkoot ne W ja V.Miten osoitetaan, että W = V? A. Piirretään Vennin kaavio. B. Etsitään alkio x, jollepäteex œ W ja x œ V. C. Osoitetaan, että W µ V ja V µ W. D. Näytetään, että kaikille alkioille x pätee x œ W ja x œ V. E. Oletetaan, että x œ V,janäytetään,ettätällöinx œ W. Oletetaan, että x œ W,janäytetään,ettätällöinx œ V. Keskustele naapurin kanssa. 18/63

18 Komplementti Tarkastellaan joukkoa X ja sen osajoukkoja A ja B. Oletetaan, että x œ {(A fi B). Päätelläänvälivaiheidenkautta,että x œ {A fl {B. Mitä tällainen päättely osoittaa? A. {(A fi B) ={A fl {B. B. {(A fi B) = {A fl {B. C. {(A fi B) µ {A fl {B. D. {(A fi B) {A fl {B. E. {A fl {B = ÿ. Keskustele naapurin kanssa. 19/63

19 Väitteitä Oletetaan, että A, B ja X ovat joukkoja. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. Jos X µ A fl B, niinx µ A ja X µ B. B. Jos X µ A fl B, niinx µ A tai X µ B. C. Jos X µ A fi B, niinx µ A tai X µ B. D. Jos X µ A ja X µ B, niinx µ A fl B. E. Jos X µ A tai X µ B, niinx µ A fi B. Keskustele naapurin kanssa. 20/63

20 Väitteitä Oletetaan, että A, B ja X ovat joukkoja. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. Jos X µ A fl B, niinx µ A ja X µ B. B. Jos X µ A fl B, niinx µ A tai X µ B. C. Jos X µ A fi B, niinx µ A tai X µ B. D. Jos X µ A ja X µ B, niinx µ A fl B. E. Jos X µ A tai X µ B, niinx µ A fi B. Keskustele naapurin kanssa. 20/63

21 Päättelyn suunta Tarkastellaan päättelyä Se kertoo, että... A. 0 = 0. 7 = = = 0 B. Koska 0 = 0, niin 7 = 4. C. 7 = 4. D. Jos 7 = 4, niin 0 = 0. Keskustele naapurin kanssa. 21/65

22 Oletuksia Mitkä seuraavista oletuksista tehdään jossain vaiheessa väitteen jos A µ B, niina fi B = B todistusta? A. Oletetaan, että x œ A fi B. B. Oletetaan, että x œ A. C. Oletetaan, että x œ B. D. Oletetaan, että A fi B = B. E. Oletetaan, että A µ B. Keskustele naapurin kanssa. 22/65

23 Päättelyn suunta Tarkastellaan päättelyä A... B. Mitä sen perusteella voidaan sanoa? A. Jos A on totta, niin B on totta. B. Jos A ei ole totta, niin B ei ole totta. C. Jos B on totta, niin A on totta. D. Jos B ei ole totta, niin A ei ole totta. Keskustele naapurin kanssa. 23/65

24 Potenssijoukko Merkitään X = {1, {2}, 3}. Mitkäseuraavistaovat potenssijoukon P(X) alkioita? A. {{1}} B. {{2}} C. {{1}, {3}} D. {{2}, 3} E. ÿ 24/65

25 Suora ja epäsuora todistus Oletetaan, että n œ Z. Merkitäänk = n 2 6n + 5. Tarkastellaan väitettä jos k on parillinen, niin n on pariton. Tämä väite voidaan perustella olettamalla, että A. k on parillinen, ja näyttämällä, että n on pariton. B. n on pariton, ja näyttämällä, että k on parillinen. C. k ei ole parillinen, ja näyttämällä, että n ei ole pariton. D. n ei ole pariton, ja näyttämällä, että k ei ole parillinen. Keskustele naapurin kanssa. 25/64

26 Epäsuora todistus Pitäisi todistaa epäsuoralla päättelyllä seuraava tulos: Oletetaan, että a, b œ Z ja a, b > 0. Tällöin a 2 b 2 = 1. Mitkä seuraavista pitävät paikkansa? A. Vastaoletus on, että a Æ 0jab Æ 0. B. Vastaoletus on, että a Æ 0taib Æ 0. C. Vastaoletus on, että a 2 b 2 = 1. D. Ristiriitaan päätyminen osoittaa väitteen vääräksi. E. Ristiriitaan päätyminen osoittaa väitteen oikeaksi. Keskustele naapurin kanssa. 26/64

27 Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Tarkastellaan joukkoja {1, 2} ja {0, 3}. Niiden karteesinen tulo {1, 2} {0, 3} on... A. {(1, 0), (2, 3)}. B. {(1, 2), (1, 3), (0, 2), (0, 3)}. C. {0, 3, 2, 6}. D. {(1, 2), (1, 3), (1, 0), (0, 2), (0, 3), (0, 1)}. E. {(1, 0), (1, 3), (2, 0), (2, 3)}. 27/64

28 Kuvauksen määritelmä Mitkä seuraavista säännöistä ovat kuvauksia X æ Y? A B C X Y X Y X Y D E 33/64

29 Kuvauksen lähtö ja maali Halutaan määritellä kuvaus f,jollax æ x x + 1. Kuvauksen lähtö ja maalijoukko voidaan määritellä sanomalla, että f on kuvaus A. R æ R. B. Rr{ 1} ær. C. Rr{ 1} ærr{1}. D. N æ N. E. N æ R. 34/64

30 Kuvauksen määritelmä Mitkä seuraavista ovat kuvauksia? A. f : R æ R, jollaf (x) = Ô x. B. g : R æ R, jollag(x) = Ô x 2. C. h : N æ N, jollah(n) =n 2 2n. 3 4 a D. F : Q æ Q, jollaf = a b b a 2 + b a E. G : Q æ Q, jollag = a b 2b. 36/64

31 Kuvauksen määritelmä Mitkä seuraavista ovat kuvauksia? A. f : R R, jolla f (x)= x. B. g : R R, jolla g(x)= x 2. C. h: N N, jolla h(n)=n 2 2n. ( ) a D. F : Q Q, jolla F = a b b a 2 + b. 2 ( ) a E. G : Q Q, jolla G = a b 2b. 36/64

32 Havainnollistuksia Tarkastellaan kuvausta f : R R, jolla f (x)=0,5x + 2. Mikä seuraavista havainnollistuksista on paras? A B C R R R R 3 f (x) x f (x) x f (x) x 2 35/64

33 Rekursiivinen lukujono Määritellään jono kokonaislukuja rekursiivisesti asettamalla z 0 = 2, z 1 = 1 ja z n+1 = z n + 2z n 1 kaikilla n 1. Tällöin z 2, z 3 ja z 4 ovat A. 3, 5, 8. B. 4, 6, 14. C. 4, 8, 16. D. 5, 7, 17. E. 5, 12, /64

34 Induktio-oletus II induktioperiaatteessa Mitkä seuraavista induktio-oletuksista ovat oikein, jos todistuksessa käytetään II induktioperiaatetta? Oletetaan, että... A. k, j N, j k ja z j = 2 j +( 1) j. B. k N ja z j = 2 j +( 1) j kaikilla j {0,...,k}. C. k N ja z k = 2 k +( 1) k kaikilla 0 j k. D. k N ja jos j N ja j k, niinz j = 2 j +( 1) j. E. k N ja z j = 2 j +( 1) j luonnollisilla luvuilla 0 j k. 45/64

35 Osajoukon kuva Mitkä seuraavista havainnollistuksista ovat oikein? A B C U fu U fu U fu X Y X Y X Y 40/64

36 Osajoukon kuva Merkitään A =[ 1, 2]. Tarkastellaan kuvausta f : R R. Mitkä seuraavista väitteistä ovat totta? A. Jos f (x)=2x, niin fa =[ 2, 4]. B. Jos f (x)=x 2, niin fa =[1, 4]. C. Jos f (x)=x 3, niin fa =[ 1, 8]. D. Jos f (x)=x 2 x, niin fa =[0, 2]. E. Jos f (x)= x 1, niin fa =[1, 2]. 39/64

37 Osajoukon alkukuva Mitkä seuraavista havainnollistuksista ovat oikein? A B C f V V f V V f V V X Y X Y X Y 42/64

38 Kuva ja alkukuva Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja A X, B Y. Mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa? A. A f [fa]. B. B f [f B]. C. f [f B] B. D. f [fa] A. E. Mikään edellisistä ei pidä paikkaansa. 43/64

39 Injektio Mitkä seuraavista säännöistä ovat injektioita? A B C X Y X Y X Z D E 46/64

40 Surjektio Mitkä seuraavista säännöistä ovat surjektioita? A B C X U X Y X Z D E 47/64

41 Yhdistetty kuvaus Tarkastellaan kuvauksia f : R R, jollaf (x)=2 x, ja g :[0, [ R, jollag(x)= x 1. Mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa? A. g f ei ole määritelty. B. f g ei ole määritelty. C. (f g)(x)=3 x. D. (g f )(x)= 2 x 1. E. (f f )(x)=x. 49/64

42 Käänteiskuvaus Tarkastellaan kuvausta f : R R, jollaf (x)=4 3x. Mitkä seuraavista ovat kuvauksen f käänteiskuvauksia? A. g : R R, jollag(x)=3 4x. B. h: R {4/3} R, jollah(x)= 1 4 3x. C. k : R R, jollak(x)= x. D. G : R R, jollag(x)= x. E. H : R R, jollah(x)= x. 53/64

43 Käänteiskuvaus ja bijektio Tarkastellaan kuvausta f : X Y.Mitkäseuraavista väitteistä ovat tosia? A. Jos f on injektio, niin on olemassa käänteiskuvaus f 1. B. Jos f on surjektio, niin ei ole olemassa f 1. C. Jos käänteiskuvaus f 1 on olemassa, niin f on injektio. D. Jos f 1 ei ole olemassa, niin f ei ole surjektio. E. Jos f ei ole injektio, niin ei ole olemassa f 1. 54/64

44 Relaation refleksiivisyys Mitkä seuraavista joukon X = {1, 2, 3, 4} relaatioista ovat refleksiivisiä? A. {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. B. {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. C. {(2, 4), (4, 2)}. D. {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}. E. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. 55/64

45 Relaation symmetrisyys Mitkä seuraavista joukon X = {1, 2, 3, 4} relaatioista ovat symmetrisiä? A. {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. B. {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. C. {(2, 4), (4, 2)}. D. {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}. E. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. 56/64

46 Relaation transitiivisuus Mitkä seuraavista joukon X = {1, 2, 3, 4} relaatioista ovat transitiivisia? A. {(2, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. B. {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. C. {(2, 4), (4, 2)}. D. {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}. E. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. 57/64

47 Ekvivalenssiluokat Tarkastellaan luentojen esimerkistä 56 tuttua joukon S ekvivalenssirelaatiota T. Mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa? A. [tiistai] T =[torstai] T. B. kirahvi [keskiviikko] T. C. Joukossa S/T on 29 alkiota. D. Joukossa [maanantai] T on 29 alkiota. E. [lauantai] T = {lauantai}. 58/64

48 Ekvivalenssiluokat Tarkastellaan joukon Z ekvivalenssirelaatiota, joka on määritelty asettamalla a b, jos(javainjos)5 (a b). Mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa? A. Joukossa Z/ on äärettömän monta alkiota. B. Joukossa [3] on äärettömän monta alkiota. C. Z/ = {[ 5], [2], [8], [14], [16] }. D. 3 Z/. E. 3 [8]. 59/64

49 Ekvivalenssiluokat Oletetaan, että on joukon X = {n N n 10} ekvivalenssirelaatio. Mitkä seuraavista joukoista saattaisivat olla joukko X/? A. {{0, 2, 4}, {1, 3, 5}, {7, 8, 9, 10}} B. {{0, 1, 2, 3}, {5, 7, 9}, {2, 4, 6, 8, 10}} C. {{0, 1, 10}, {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}. D. {, {0, 1, 2}, {3, 4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10}}. E. {{0, 3, 6, 9}, {1, 2, 4}, {5, 7}, {8, 10}}. 60/64

50 Joukkojen mahtavuus Mitkä seuraavista joukoista ovat yhtä mahtavia kuin joukko N? A. Kokonaislukujen joukko Z. B. Kolmella jaollisten luonnollisten lukujen joukko 3N = {3n n N}. C. Rationaalilukujen joukko Q. D. Reaalilukujen joukko R. E. Väli [0, 1]. 65/65