Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Transkriptio

1 Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä vaan tyydytään ns. naiviin joukko oppiin. Joukko tunnetaan luettelemalla/määrittelemällä sen alkiot. x A x on A:n alkio (kuuluu A:han). Esimerkiksi joukko R = {x x reaaliluku }; N = {x x luonnollinen luku } = {0, 1, 2, 3,...}; A = {a, b, c, d} Määritelmiä Joukot A ja B ovat samat, eli A = B, jos niiden alkiot ovat samat. Kun alkio x A niin x B ja kun y B niin y A Kun kaikki A:n alkiot kuuluvat B:hen, niin A on B osajoukko. A B (tai A B), kun x A, niin x B. Ylläoleva A = B:n määritelmä merkitsee sitä, että A = B (A B ja B A). Selvästi A A. Jos A B, mutta joukot A ja B eivät ole samat, niin joukko A on silloin joukon B aito osajoukko.

2 Joukko, joka ei sisällä alkioita on tyhjä joukko. Joukko on äärellinen jos se sisältää äärellisen määrän alkioita. Muulloin joukko on ääretön. Olkoon A joukon äärellisen joukon A alkioiden lukumäärä. Aina kun A on joukko, A. Potenssijoukko Joukko voi olla myös joukkojen joukko eli sen alkiot ovat joukkoja: Esimerkiksi {, {a}, {b}, {a, b}} on joukkojen joukko. Joukon A potenssijoukko P(A) on kaikkien A:n osajoukkojen muodostama joukko. Esimerkki 6.1. Joukon A = {a, b, c} potenssijoukko on P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Lause 6.1. Jos joukossa A on n alkiota, niin P(A):ssa on 2 n alkiota. Tod....

3 Joukkojen toimituksia Unioni : A B = {x x A tai x B} Leikkaus : A B = {x x A ja x B} Komplementti : A = {x x A}; tällöin ajatellaan A:n olevan jonkin perusjoukon U osajoukko ja siis A A = U. Erotus \: A\B = {x x A ja x B} Esimerkki 6.2. A = {a, b, c, d} ja B = {b, c, e, f } A B = {a, b, c, d, e, f } A B = {b, c} A \ B = {a, d} B \ A = {e, f }. Jos lisäksi perusjoukko U = {a, b, c, d, e, f, g}, niin joukko A = {e, f, g} ja joukko B = {a, d, g}. Joukot ja Boolen algebra Perusjoukon U osajoukot muodostavat toimitusten, ja suhteen Boolen algebran missä = 0 ja U = 1. Silloin esimerkiksi de Morganin lait: (A B) = (A ) (B ) (A B) = (A ) (B ) ovat voimassa.

4 6.2. Suhteet eli relaatiot A ja B ovat joukkoja. Karteesinen tulo A B on järjestettyjen alkioparien joukko: A B = {(a, b) a A ja b B}. Taso on kahden lukusuoran karteesinen tulo. Yleensä A B B A (koska A B:n pareissa ensin A:n alkiot ja sitten B:n alkiot ja B A:n pareissa ensin B:n alkiot ja sitten A:n alkiot); poikkeuksia saadaan kun A = B ja kun A = tai B =. Relaation määritelmä Olkoot A ja B joukkoja. Kaksipaikkainen suhde eli relaatio R A:sta B:hen on A B:n osajoukko: R A B. Tällöin tieto a on suhteessa R b:hen merkitään (a, b) R tai arb, ja kun a ei ole suhteessa R b:hen, merkitään (a, b) R ja a Rb. Merkinnän arb takana on reaaliluvuista tuttu suhde, jolla merkitään (tai 95 13). Merkintä (100, 103) on outo.

5 Kun A = B, niin suhdetta R A:sta B:hen sanotaan lyhyesti suhteeksi joukossa A (esim. on suhde joukossa R). Esimerkiksi R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} on suhde joukossa {a, b, c} {1, 2, 3}, {(x, x 2 ) x R} on suhde joukossa R. Spesiaalisuhteita Suhde (=relaatio) R joukossa A on (i)refleksiivinen jos (a, a) R aina kun a A, (ii) symmetrinen jos aina kun a, b A on voimassa (a, b) R (b, a) R, (iii) antisymmetrinen, jos aina kun a, b A ja a b on voimassa (a, b) R (b, a) / R. (iv) transitiivinen, jos aina kun a, b, c A on voimassa (a, b), (b, c) R (a, c) R.

6 Esimerkki 6.3. Olkoon joukko A = {1, 2, 3, 4}. Mitkä seuraavista relaatioista ovat refleksiivisiä, symmetrisiä, antisymmetrisiä, transitiivisia. R 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 1), (1, 4)} Ei ole refleksiivinen, koska (3, 3) / R1. On symmetrinen. (1, 2), (2, 1) R 1, joten ei ole antisymmetrinen. (3, 4), (4, 3) R 1, mutta (3, 3) / R 1, joten ei ole transitiivinen. R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} Ei ole refleksiivinen, koska (3, 3) / R 3. On symmetrinen. (1, 2), (2, 1) R2, joten ei ole antisymmetrinen. On transitiivinen R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} On refleksiivinen On symmetrinen (1, 2), (2, 1) R3, joten ei ole antisymmetrinen. On transitiivinen. R 4 = {(3, 4)} Ei ole refleksiivinen,. Ei ole symmetrinen. On antisymmetrinen On transitiivinen

7 Suhteen matriisiesitys (Kaksipaikkainen) suhde R voidaan (kun A ja B äärelliset) aina esittää matriisina M R. Järjestetään A:n alkiot: a 1,..., a n ja B:n alkiot b 1,..., b m, nimetään M R :n rivit a 1,..., a n :llä ja sarakkeet b 1,..., b m. Saadaan esitys: (a i, b j ) R M R : n alkio ij on 1 (a i, b j ) R M R : n alkio ij on 0 Esimerkki 6.4. Esitä esimerkin 6.3. suhteet matriiseina. Ratk. R 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 1), (1, 4)} M R1 = R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} M R2 =

8 R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} M R3 = R 4 = {(3, 4)} M R4 = N-paikkaiset relaatiot Sopivat tietokannat voidaan kuvitella n-paikkaisiksi relaatioiksi, kun kentän i määrittelyalue tulkitaan joukoksi A i, niin jokainen tietue (a 1, a 2,..., a n ) on suhteen R alkio. Koska relaatiot joukkoja, niitä voidaan käsitellä soveltamalla niihin joukko opillisia laskutoimituksia.

9 6.3. Ekvivalenssisuhde Ositus: Miten sopivalla yhdistelmällä edelläolevia suhteiden ominaisuuksia voidaan jakaa joukko "samankaltaisiin alkioihin"? A 1, A 2,..., A n on joukon A ositus (partition), jos A i A, i = 1, 2,... n ovat A:n epätyhjiä osajoukkoja, joille n i=1 A i = A ja A i A j = aina kun i j. {1, 2, 4}, {3, 5}, {6} on joukon {1, 2, 3, 4, 5, 6} ositus. Ekvivalenssisuhde 2-paikkainen suhde R on ekvivalenssi(suhde) joukossa A, jos R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

10 Esimerkki 6.6. Onko suhde R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} ekvivalenssisuhde joukossa {1, 2, 3, 4}? Entä joukossa {1, 2, 3, 4, 5}? Esimerkki 6.7. Olkoot m positiivinen kokonaisluku. Osoita, että suhde R = {(a, b) a:n ja b:n jakojäännös luvulla m jaettaessa on sama} on ekvivalenssisuhde ei-negatiivisten kokonaislukujen joukossa. Ratk....

11 Ekvivalenssiluokat Esimerkki. Suhde: (a, b) R jos ja vain jos a:lla ja b:llä on sama opintojen aloitusvuosi. R on ekvivalenssisuhde opiskelijoiden joukossa R jakaa kaikki opiskelijat joukkoihin, jotka kukin muodostuu samana vuonna opiskelunsa aloittaneista opiskelijoista. Jokainen opiskelija voi kuulua vain yhteen joukkoon, eli joukot erillisiä. Kyseessä suhteen R ekvivalenssiluokat. R on ekvivalenssisuhde joukossa A. Joukon A alkioon a liittyvä ekvivalenssiluokka: [a] R on kaikki joukon A alkiot b, jotka ovat alkion a kanssa suhteessa R. Siis [a] R = {b (a, b) R}. Esimerkki 6.8. R = {(a, b) a:n ja b:n jakojäännös luvulla 3 jaettaessa on sama} Määrää ekvivalenssiluokka [7] R. Ratk. Nyt 7 = , joten. [7] R = {a a:n jakojäännös on 1} = {1, 4, 7, 10, 13,...}

12 Ekvivalenssiluokkien yhtenevyys Lause 6.1. Olkoot R ekvivalenssisuhde joukossa A. Silloin [a] R = [b] R täsmälleen silloin kun (a, b) R. Tod. (1) Oletus:[a] R = [b] R. Väite: (a, b) R. Koska a [a] R = [b] R, niin (a, b) R. (2)Oletus: (a, b) R. Väite: [a] R = [b] R. Osoitetaan aluksi, että [a] R [b] R. Olkoon x [a] R mielivaltainen. (a, x) R eli myös (x, a) R (R on symmetrinen). Koska (a, b) R oletuksen perusteella ja koska R on transitiivinen, niin myös (x, b) R, eli x [b] R. Siis [a] R [b] R. Vaihtamalla yllä a:n ja b:n paikkoja voidaan todistaa, että [b] R [a] R. Siis [a] R = [b] R. Tulosten (1) ja (2) perusteella Lauseen tulos on voimassa.

13 Ositukset ja ekvivalenssiluokat sama asia Lause 6.2. Seuraavat ehdot ovat voimassa: (i)ekvivalenssisuhde joukossa A määrää joukon A osituksen. (ii)jokainen joukon A ositus määrää ekvivalenssisuhteen joukossa A. Tod. (i) Olkoon R ekvivalenssisuhde joukossa A. [x] R on R:n ekvivalenssiluokka aina kun x A Jokainen alkio x A kuuluu ainakin yhteen suhteen R ekvivalenssiluokkaan. Jos x kuuluu kahteen ekvivalenssiluokkaan [a] R ja [b] R, niin silloin (a, x) R ja (x, b) R. Transitiivisuus: (a, b) R. Edellinen lause: [a] R = [b] R. Jokainen A:n alkio kuuluu korkeintaan yhteen ekvivalenssiluokkaa. Siis jokainen joukon A alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan. Ekvivalenssiluokat muodostavat joukon A osituksen. (ii) Väite:Jokainen joukon A ositus määrää ekvivalenssisuhteen joukossa A. Olkoon A 1, A 2,... A n joukon A ositus. Määritellään suhde R joukossa A seuraavasti: (a, b) R täsmälleen silloin kun a ja b molemmat ovat saman joukon A i alkioita, jollakin i = 1, 2,..., n. Selvästi (a, a) R aina kun a A, eli R on refleksiivinen. Jos (a, b) R, niin (b, a) R, eli R on symmetrinen. Jos (a, b), (b, c) R, niin (a, c) R, eli R on transitiivinen. Siis R on ekvivalenssisuhde. Lisäksi joukot A 1, A 2,..., A n ovat suhteen R ekvivalenssiluokat.

14 Esimerkki 6.9. Määrää suhteen R = {(a, b) a:n ja b:n jakojäännös luvulla 6 jaettaessa on sama } määräämä ositus ei-negatiivisille kokonaislvuille. Ratk...