Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195"

Transkriptio

1 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195

2 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava päätellä, onko se tietyn joukon alkio vai ei. Esimerkki 1 Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. JYM, Syksy2015 2/195

3 Joukkojen määritteleminen Joukkoja voidaan määritellä eri tavoin: Luettelemalla joukon alkiot, jos joukko on pieni tai selkeästi ymmärrettävä: kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: parilliset kokonaisluvut: { 2, 1, 0, 1, 2} {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} JYM, Syksy2015 3/195

4 Joukkojen määritteleminen Ehdon avulla, jolloin merkintä on muotoa {alkioiden tyyppi ehto, joka alkioilta vaaditaan}. kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: { z œ Z : z Æ2 } parilliset kokonaisluvut: { m œ Z m = 2n missä n œ Z } JYM, Syksy2015 4/195

5 Joukkojen määritteleminen ı rationaalilukujen joukko Q = { m/n m, n œ Z ja n = 0 }. ı reaalilukujen joukko R (pohditaan kurssilla Raja-arvot). ı kompleksilukujen joukko C (opiskellaan tällä kurssilla). JYM, Syksy2015 5/195

6 Joukko ja alkio Määritelmä Jos a on joukon A alkio, sanotaan, että akuuluujoukkoon A, ja merkitään a œ A. Jos a ei ole joukon A alkio, sanotaan, että aeikuulujoukkoon A, ja merkitään a œ A. Esimerkki 2 2 œ N, 3 œ N, 3 œ Z, 6 7 œ Z. JYM, Syksy2015 6/195

7 Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x œ A, jos ja vain jos x œ B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. Esimerkki 3 Mitkä seuraavista joukoista ovat samoja? { x œ Z 3 < x < 1} {0, 2, 1} { 2, 1, 0} {0, 1, 0, 1, 2, 1} JYM, Syksy2015 7/195

8 Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x œ A, jos ja vain jos x œ B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. JYM, Syksy2015 7/185

9 Yhdiste, leikkaus ja erotus Määritelmä Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A fi B = { x x œ A tai x œ B }, leikkaus on joukko A fl B = { x x œ A ja x œ B }, erotus on joukko A r B = { x x œ A ja x œ B }. Huom. ı Matematiikan tai ei ole poissulkeva; yhdisteen A fi B muodostavat kaikki alkiot, jotka kuuluvat ainakin toiseen joukoista A ja B. ı Merkintä A r B luetaan A pois B. JYM, Syksy2015 8/185

10 Yhdiste, leikkaus ja erotus Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. Vennin kaavioiden avulla: A B A [ B A \ B A \ B Kuvassa tummennettuna mainitut joukot. JYM, Syksy2015 9/185

11 Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x œ A pätee myös x œ B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A µ B. Merkintä A µ B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. JYM, Syksy /185

12 Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x œ A pätee myös x œ B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A µ B. Merkintä A µ B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. JYM, Syksy /185

13 Luonnolliset luvut Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla: Luonnollisten lukujen joukolla N on seuraavat ominaisuudet: 1. Nolla on luonnollinen luku; ts. 0 œ N. 2. Jokaista luonnollista lukua n kohti on olemassa täsmälleen yksi luonnollinen luku s(n), jota sanotaan luvun nseuraajaksi. 3. Nolla ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja; ts. 0 = s(n) kaikilla n œ N. 4. Eri luvuilla on eri seuraajat; ts. jos m = n, niins(m) = s(n). 5. Oletetaan, että A µ N. Oletetaanlisäksi,että0œ A, jaettä kaikilla n œ N pätee: jos n œ A, niins(n) œ A. Tällöin A = N. JYM, Syksy /185

14 Induktioperiaate Induktioaksioomasta saadaan johdettua I induktioperiaate, joiden avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä. Lause 3 (I induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. Luvulla 0 on ominaisuus P. 2. Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n on ominaisuus P, niinsitäseuraavallaluvulla n + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy /185

15 Induktioperiaate Havainnollistus: Järjestän (äärettömän määrän) dominonappuloita jonoon niin, että yhden kaatuminen aiheuttaa aina seuraavan kaatumisen. Jos kaadan ensimmäisen, niin kaikki nappulat kaatuvat. JYM, Syksy /185

16 Implikaation totuustaulu A B A æ B JYM, Syksy /185

17 Induktiotodistus Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: ı Tehdään induktio-oletus, että k œ N ja asia P pätee luvulle k. ı Näytetään, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n œ N. JYM, Syksy /185

18 Induktiotodistus Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: ı Tehdään induktio-oletus, että k œ N ja asia P pätee luvulle k. ı Näytetään, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n œ N. JYM, Syksy /186

19 Induktiotodistus Esimerkki 4 Osoita induktiolla, että kaikilla n œ N pätee nÿ j=0 j 3 = n2 (n + 1) 2. 4 JYM, Syksy /186

20 Esimerkki 5 Induktiotodistus Osoita induktiolla, että kaikilla luonnollisilla luvuilla n Ø 1 pätee seuraava: Neliönmuotoinen 2 n 2 n -ruudukko, josta on poistettu yksi ruutu, voidaan peittää L-kirjaimen muotoisilla kolmesta ruudusta koostuvilla palasilla. JYM, Syksy /186

21 Induktioperiaate Induktioaksioomasta saadaan johdettua I induktioperiaate, joiden avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä. Lause 3 (I induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. Luvulla 0 on ominaisuus P. 2. Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n on ominaisuus P, niinsitäseuraavallaluvulla n + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy /186

22 Induktiotodistus Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: ı Tehdään induktio-oletus, että k œ N ja asia P pätee luvulle k. ı Näytetään, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n œ N. JYM, Syksy /186

23 Induktiotodistus? Esimerkki 6 Oletetaan, että f : R æ R on funktio. Yritetään todistaa induktiolla seuraava väite: Jokaista äärellistä, epätyhjää joukkoa A µ R kohti on olemassa sellainen reaaliluku c, ettäf (x) =c kaikilla x œ A. Missä kohdassa todistusta on virhe? JYM, Syksy /186

24 Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x œ A pätee myös x œ B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A µ B. Merkintä A µ B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. JYM, Syksy /160

25 Implikaation totuustaulu A B A æ B JYM, Syksy /160

26 Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x œ A pätee myös x œ B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A µ B. Merkintä A µ B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. JYM, Syksy /160

27 Perusjoukko ja komplementti Usein tarkastellaan jonkin tietyn joukon eri osajoukkoja ja alkioita. Tätä joukkoa, jonka osajoukkoja ja alkoita tutkitaan, sanotaan perusjoukoksi. Määritelmä Olkoon X tarkasteltava perusjoukko. Joukon A µ X komplementti on joukko {A = { x œ X x œ A }. Huom. ı Toisin sanottuna {A = X r A. ı Joukon A komplementille käytetään myös merkintää A c. JYM, Syksy /160

28 Perusjoukko ja komplementti Havainnollistuksia: A {A A [ B {(A [ B) JYM, Syksy /160

29 Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x œ A, jos ja vain jos x œ B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. JYM, Syksy2015 7/159

30 Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x œ A pätee myös x œ B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A µ B. Merkintä A µ B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. JYM, Syksy /159

31 de Morganin lait Lause 7 (de Morganin lait) Oletetaan, että X on joukko ja A, B µ X. Tällöin {(A fi B) ={A fl {B ja {(A fl B) ={A fi {B. Huom. ı Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /159

32 Jos P, niin Q -muotoisen väitteen todistaminen P Q P æ Q Väite jos P, niin Q voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan, että implikaation etujäsen P on tosi. Toisin sanottuna oletetaan, että P pätee. Päätellään, että tällöin myös Q pätee. JYM, Syksy /159

33 de Morganin lait Lause 7 (de Morganin lait) Oletetaan, että X on joukko ja A, B µ X. Tällöin {(A fi B) ={A fl {B ja {(A fl B) ={A fi {B. Huom. ı Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy /159

34 Jos P, niin Q -muotoisen väitteen todistaminen P Q P æ Q Väite jos P, niin Q voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan, että implikaation etujäsen P on tosi. Toisin sanottuna oletetaan, että P pätee. Päätellään, että tällöin myös Q pätee. JYM, Syksy /159

35 Implikaation totuustaulu A B A æ B JYM, Syksy /159

36 Jos P, niin Q -muotoisen väitteen todistaminen P Q P æ Q Väite jos P, niin Q voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan, että implikaation etujäsen P on tosi. Toisin sanottuna oletetaan, että P pätee. Päätellään, että tällöin myös Q pätee. JYM, Syksy /159

37 Oletus: A ja B ovat joukkoja. Väite: jos A µ B, niina fi B = B. Perustelu: Oletetaan, että väitteen jos... -osa pätee eli A µ B. Yritetään osoittaa, että väitteen niin... -osa pitää paikkansa. Koska kysymyksessä on joukkojen identtisyys, osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin. µ : Oletetaan, että x œ A fi B. Tällöin x œ A tai x œ B (yhdisteen määritelmä). Tapaukset: Oletetaan, että x œ A. Lisäksi alun oletuksen mukaan A µ B, joten x œ B. Oletetaan, että x œ B. Tämänenempääeitarvita. Molemmissa tapauksissa x œ B. : Oletetaan, että x œ B. Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla x œ A fi B. Päättelyt µ ja yhdessä osoittavat, että A fi B = B. JYM, Syksy /159

38 Implikaation totuustaulu A B A æ B JYM, Syksy /159

39 Potenssijoukko Määritelmä Oletetaan, että X on joukko. Joukon X potenssijoukko tarkoittaa sen kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa P(X) ={ A A µ X }. JYM, Syksy /159

40 Potenssijoukko Esimerkki 8 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että P(A fl B) =P(A) flp(b). JYM, Syksy /159

41 P, josjavainjosq -muotoisenväitteentodistaminen P Q P Q Väite P, jos ja vain jos Q voidaan todistaa kahdessa osassa: Oletetaan, että P pätee. Näytetään, että tällöin Q pätee. Oletetaan, että Q pätee. Näytetään, että tällöin P pätee. JYM, Syksy /160

42 jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 9 Oletetaan, että n œ Z. Perustele, että 10 n, jos ja vain jos 5 n ja 2 n. JYM, Syksy /160

43 jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 10 Oletetaan, että X on joukko ja A, B µ X. Osoita, että A µ B, jos ja vain jos {A fi B = X. JYM, Syksy /160

44 P, josjavainjosq -muotoisenväitteentodistaminen P Q P Q Väite P, jos ja vain jos Q voidaan todistaa kahdessa osassa: Oletetaan, että P pätee. Näytetään, että tällöin Q pätee. Oletetaan, että Q pätee. Näytetään, että tällöin P pätee. JYM, Syksy /160

45 jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 11 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että A fi B = B, jos ja vain jos A r B = ÿ. JYM, Syksy /160

46 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: A fi B = B, jos ja vain jos A r B = ÿ. Todistus. : Oletetaan, että A fi B = B. Pitää osoittaa, että tällöin A r B = ÿ. Vastaoletus eli antiteesi: oletetaan, että A r B = ÿ. Tämä tarkoittaa, että on olemassa x œ A r B. Tällöin x œ A ja x œ B. Koska x œ A, niinx œ A fi B. OletuksenmukaanA fi B = B, joten x œ B. Päädyttiinristiriitaan:x œ B ja x œ B. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite A r B = ÿ pätee. JYM, Syksy /160

47 : Oletetaan, että A r B = ÿ. Pitää osoittaa, että tällöin A fi B = B. µ : Oletetaan, että x œ A fi B. Tällöin x œ A tai x œ B. Tapaukset: Oletetaan, että x œ A. Päätellään epäsuorasti: Jos x œ B, niin x œ A r B. Kuitenkin oletuksen mukaan A r B = ÿ. Siis välttämättä x œ B. Oletetaan, että x œ B. Enempääeitarvitsepäätellä. Molemmissa tapauksissa x œ B. : Oletetaan, että x œ B. Tällöin x œ A fi B yhdisteen määritelmän nojalla. JYM, Syksy /160

48 Epäsuora päättely: kontrapositiotodistus Implikaatio ja sen kontrapositio ovat loogisesti ekvivalentit: P Q P Q Q P Q P Kontrapositiotodistus väitteelle jos P, niin Q rakentuu seuraavasti: Oletetaan, että Q on tosi. Päätellään, että tällöin myös P on tosi. JYM, Syksy /161

49 Epäsuora päättely: ristiriitatodistus Ristiriitatodistus väitteelle P rakentuu seuraavasti: Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että P on tosi. Päätellään ristiriita C C. Ristiriitatodistuksessa todistetaan implikaatio P (C C). Se on loogisesti ekvivalentti alkuperäisen väitteen P kanssa: P C P C C P (C C) JYM, Syksy /161

50 Määritelmä Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko A B = { (a, b) a A ja b B }. Esimerkki 13 (a) Määritä joukkojen C = {0, 4, 7} ja D = {4, 9} karteesinen tulo C D. C D = {(0, 4), (0, 9), (4, 4), (4, 9), (7, 4), (7, 9)}. (b) Havainnollista koordinaatistossa. JYM, Syksy /161

51 (b) Havainnollistus koordinaatistossa: JYM, Syksy /161

52 Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Esimerkki 14 (a) Osoita, että A (B C)=(A B) (A C) kaikilla joukoilla A, B ja C. (b) Havainnollista kuvan avulla. JYM, Syksy /161

53 (a) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: A (B C)=(A B) (A C). Todistus. : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x =(s, t), missä s A ja t B C. Koska t B C, niint B ja t C. Koska s A ja t B, niinx =(s, t) A B. Vastaavasti koska s A ja t C, niinx =(s, t) A C. Leikkauksenmääritelmän mukaan tällöin x (A B) (A C). : Oletetaan, että y (A B) (A C). Tällöin y A B ja y A C. Siteny =(a, d), missäa A, d B ja d C. Tällöin d B C. Koska a A ja d B C, niin tulojoukon määritelmän mukaan y =(a, d) A (B C). JYM, Syksy /161

54 Määritelmä Kuvaus (eli funktio) Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus (eli funktio) joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Sama asia voidaan merkitä myös X f Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö(eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen fmaali. Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitäänf (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. JYM, Syksy /161

55 Havainnollistuksia: X Y Y x f f(x) f(x) x X JYM, Syksy /161

56 Määritelmä Kuvaus (eli funktio) Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus (eli funktio) joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Sama asia voidaan merkitä myös X f Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö(eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen fmaali. Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitäänf (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. JYM, Syksy /162

57 II induktioperiaate II induktioperiaate poikkeaa tavallisesta induktioperiaatteesta induktio-oletuksen osalta. Lause 16 (II induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: (a) Luvulla 0 on ominaisuus P. (b) Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n ja kaikilla sitä pienemmillä luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P, niinluvullan + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy /162

58 Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k ja sitä pienemmille luonnollisille luvuille. Osoitetaan, että tällöin asia P pätee myös luvulle k Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa II induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n N. JYM, Syksy /162

59 II induktioperiaate II induktioperiaate poikkeaa tavallisesta induktioperiaatteesta induktio-oletuksen osalta. Lause 16 (II induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: (a) Luvulla 0 on ominaisuus P. (b) Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n ja kaikilla sitä pienemmillä luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P, niinluvullan + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy /162

60 Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k ja sitä pienemmille luonnollisille luvuille. Osoitetaan, että tällöin asia P pätee myös luvulle k Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa II induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n N. JYM, Syksy /162

61 Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Esimerkki 17 Määritellään lukujono (z n ) rekursiivisesti asettamalla z 0 = 2, z 1 = 1 ja z n = z n 1 + 2z n 2 kaikilla n 2. (a) Laske z 2, z 3 ja z 4. (b) Keksi kaava, jolla z n voidaan laskea, jos n on annettu. Osoita kaava oikeaksi induktiota käyttäen. JYM, Syksy /162

62 (a) Lasketaan: z 2 = z 1 + 2z 0 = 5, z 3 = z 2 + 2z 1 = 7, z 4 = z 3 + 2z 2 = 17. (b) Arvaus: z n = 2 n +( 1) n kaikilla n N. Osoitetaan arvaus oikeaksi induktiolla. JYM, Syksy /162

63 Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon Akuvakuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy /162

64 Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon Akuvakuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy /162

65 Alkukuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että B Y. Joukon Balkukuvakuvauksessa f on joukko f B = { x X f (x) B }. Huom. Alkukuvan f B muodostavat siis ne lähdön alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon B. Määritelmä tarkoittaa, että t f B, jos ja vain jos t X ja f (t) B. JYM, Syksy /162

66 Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon Akuvakuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy /162

67 Alkukuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että B Y. Joukon Balkukuvakuvauksessa f on joukko f B = { x X f (x) B }. Huom. Alkukuvan f B muodostavat siis ne lähdön alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon B. Määritelmä tarkoittaa, että t f B, jos ja vain jos t X ja f (t) B. JYM, Syksy /162

68 Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla x 1, x 2 X yhtälöstä f (x 1 )=f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2. Lause 28 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos ja vain jos lähdön eri alkioilla on eri kuva-alkiot; ts. kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 = x 2,niinf (x 1 ) = f (x 2 ). JYM, Syksy /162

69 Injektio Esimerkki 29 Ovatko seuraavat kuvaukset injektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy /162

70 (a) Oletetaan, että x 1, x 2 R {1} ja f (x 1 )=f (x 2 ). Tällöin x 1 x 1 1 = x 2 x 2 1. Kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjillä saadaan x 1 (x 2 1)=x 2 (x 1 1). Tästä seuraa, että x 1 x 2 x 1 = x 1 x 2 x 2 ja edelleen x 1 = x 2.Siisx 1 = x 2. Näin ollen kuvaus f on injektio. JYM, Syksy /162

71 (b) g : R R, jolle g(x)=x 2. Kuvaus g ei ole injektio, sillä esimerkiksi 2, 2 R ja 2 = 2, mutta g( 2)=4 = g(2). JYM, Syksy /162

72 Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla x 1, x 2 X yhtälöstä f (x 1 )=f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2. Lause 28 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos ja vain jos lähdön eri alkioilla on eri kuva-alkiot; ts. kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 = x 2,niinf (x 1 ) = f (x 2 ). JYM, Syksy /162

73 Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, ettäf (x)=y. Lause 30 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos fx= Y. JYM, Syksy /162

74 Surjektio Esimerkki 31 Ovatko seuraavat kuvaukset surjektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy /162

75 Tutkitaan asiaa: Oletetaan, että y R ja tutkitaan yhtälöä f (x)=y: x = y x = y(x 1) x = yx y x 1 x yx = y (1 y)x = y. Havaitaan, että jos y = 1, päädytään yhtälöön 0x = 1, jolla ei ole ratkaisua. Ongelmallinen maalin alkio on siis y = 1. Näin vaikuttaa siltä, että f (x) = 1kaikillax R {1}. JYM, Syksy /162

76 Varsinainen perustelu: Osoitetaan, että f ei ole surjektio. Vastaoletus: Oletetaan, että f on surjektio. Tällöin on olemassa erityisesti sellainen x R {1}, ettäf (x)=1eli x x 1 = 1. Tästä seuraa, että x = x 1jaedelleen0= 1. Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee. Näin ollen f ei ole surjektio. JYM, Syksy /162

77 (b) g : R R, jolle g(x)=x 2. Kuvaus g ei ole surjektio: Havaitaan, että g(x)=x 2 0 kaikilla x R. Siten esimerkiksi g(x) = 1 kaikilla x R. JYM, Syksy /162

78 Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, ettäf (x)=y. Lause 30 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos fx= Y. JYM, Syksy /162

79 (c) τ : R [0, [, jolle τ(x)=x 2. y y Oletetaan, että y [0, [. Tällöin y on määritelty ja y R. Lisäksi Siis τ on surjektio. τ( y)=( y) 2 = y. JYM, Syksy /162

80 (d) h: R R, jolle h(x)= 1 2 x + 1. y Huom. 2y 2 Oletetaan, että y R. Tällöin 2y 2 R ja lisäksi h(2y 2)= 1 (2y 2)+1 = y = y. 2 Siis h on surjektio. Alkio 2y 2 R löydetään ratkaisemalla x yhtälöstä h(x)=y eli yhtälöstä 1 2 x + 1 = y. JYM, Syksy /162

81 Kuvauksien samuus Määritelmä Kuvaukset f : X Y ja g : V W ovat samat, jos niillä on sama lähtö eli X = V, niillä on sama maali eli Y = W, f (z) = g(z) kaikilla yhteisen lähdön alkioilla z. Huom. Tällä kurssilla käytetään tätä tiukkaa määritelmää, jotta vältytään epämääräisyyksiltä myöhemmin injektion ja surjektion käsitteiden yhteydessä. JYM, Syksy /162

82 Yhdistetty kuvaus Määritelmä Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla x g(f (x)). Toisin sanottuna yhdistetty kuvaus g f : X Z määritellään asettamalla (g f )(x)=g(f (x)) kaikilla x X. Huom. Huomaa kuvausten järjestys: ensimmäinen kuvaus kirjoitetaan oikealle puolelle lähimmäs lähdön alkiota. JYM, Syksy /162

83 Yhdistetty kuvaus Huom. Joskus vain toinen kuvauksista g f ja f g on määritelty. Usein g f = f g, vaikka molemmat ovat määriteltyjä. JYM, Syksy /162

84 Identtinen kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X on mikä tahansa joukko. Joukon Xidenttinen kuvaus id X tarkoittaa kuvausta X X, jolla x x kaikilla x X. Toisin sanottuna joukon X identtinen kuvaus id X : X X määritellään asettamalla id X (x)=x kaikilla x X. Huom. Esimerkin 32 b-kohdan kuvaus f f : R R on joukon R identtinen kuvaus id R,sillä(f f )(x)=x kaikilla x R. JYM, Syksy /162

85 Yhdistetyt kuvaukset ja injektiot Esimerkki 34 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat injektioita. Osoita, että g f : X Z on injektio. JYM, Syksy /162

86 Yhdistetyt kuvaukset ja surjektiot Esimerkki 35 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat surjektioita. Osoita, että g f : X Z on surjektio. JYM, Syksy /162

87 Identtinen kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X on mikä tahansa joukko. Joukon Xidenttinen kuvaus id X tarkoittaa kuvausta X X, jolla x x kaikilla x X. Toisin sanottuna joukon X identtinen kuvaus id X : X X määritellään asettamalla id X (x)=x kaikilla x X. Huom. Esimerkin 32 b-kohdan kuvaus f f : R R on joukon R identtinen kuvaus id R,sillä(f f )(x)=x kaikilla x R. JYM, Syksy /162

88 Määritelmä Käänteiskuvaus Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. JYM, Syksy /162

89 Käänteiskuvaus Esimerkki 37 Oletetaan, että f : R R ja g : R R ovat kuvauksia, joilla f (x)=4 3x ja g(x)= x. Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x)=g(f (x)) = g(4 3x)= (4 3x) 3 = x = x = id R(x). JYM, Syksy /162

90 Tämä tarkoittaa, että kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi ( 4 (f g)(x)=f (g(x)) = f 3 1 ) ( 4 3 x = ) 3 x = x = x = id R (x). Tämä tarkoittaa, että kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Siis g f = id R ja f g = id R, joten g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Voidaan merkitä g = f 1. JYM, Syksy /162

91 Määritelmä Käänteiskuvaus Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. JYM, Syksy /162

92 Käänteiskuvaus Esimerkki 38 Oletetaan, että h: R {1} R {2} on kuvaus, jolle x 2x x 1. Määritä kuvauksen h käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa. JYM, Syksy /162

93 Oletetaan, että y R {2} ja tutkitaan yhtälöä h(x)=y: h(x)=y 2x = y 2x = y(x 1) x 1 2x = yx y 2x yx = y (2 y)x = y x = y 2 y. Huomaa, että viimeisessä askeleessa tarvittiin oletusta y R {2}. JYM, Syksy /162

94 Esimerkin 38 varsinainen ratkaisu: Määritellään g : R {2} R {1} asettamalla t t 2 t. Huomaa, että tässä käytetään lauseketta, joka saatiin edellä ratkaisemalla x yhtälöstä h(x)= y. Näin saadaan hyvin määritelty kuvaus, sillä jos t R {2}, niin osamäärä t/(2 t) on määritelty; on yksikäsitteinen; kuuluu maaliin R {1}: jos olisi t/(2 t)=1, niin t = 2 t eli 0 = 2, ristiriita! JYM, Syksy /162

95 Osoitetaan, että g on kuvauksen h käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R {2}. Tällöin ( x (h g)(x)=h(g(x)) = h 2 x = 2x 2 x x 2 x 2 x 2 x = ( ) ) = 2 x 2x 2 x x (2 x) 2 x 2 x x 2 x 1 = 2x 2 x 2 x x 2 + x = 2x 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset h g : R {2} R {2} ja id: R {2} R {2} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy /162

96 Oletetaan, että x R {1}. Tällöin ( 2x ) (g h)(x)=g(h(x)) = g = 2x x 1 x 1 2 2x x 1 = 2(x 1) x 1 2x x 1 2x x 1 = 2x x 1 2x 2 2x x 1 = 2x x 1 x 1 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset g h: R {1} R {1} ja id: R {1} R {1} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy /162

97 Näin on osoitettu, että h g = id R {2} ja g h = id R {1}. Siis kuvaus g on kuvauksen h käänteiskuvaus eli g = h 1. JYM, Syksy /162

98 Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos kuvaus f on sekä injektio että surjektio, niin sanotaan, että kuvaus f on bijektio. Esimerkki 39 Esimerkeissä 29 ja 31 tarkasteltu kuvaus h: R R, jolle h(x)= 1 2x + 1, on bijektio. JYM, Syksy /162

99 Relaatio Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R X Y,niin sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R X X, niin sanotaan, että R on joukon X relaatio. Jos R on relaatio, niin merkintä arb tarkoittaa, että (a, b) R; toisin sanottuna alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa. Huom. Usein relaatiota merkitään kirjaimen R sijasta jollakin symbolilla kuten esimerkiksi <,,, = tai. Relaatio tarkoittaa siis tulojoukon osajoukkoa. JYM, Syksy /162

100 Relaatio Esimerkki 42 Merkitään A = {1, 2, 3, 4, 5}. Määritellään joukon A relaatio R seuraavasti: R = { (x, y) A A x + y < 6 }. Tällöin esimerkiksi luku 2 on relaatiossa R luvun 3 kanssa, sillä < 6. Tämä voidaan merkitä 2R3 tai(2, 3) R. (a) Esitä relaatio R luettelemalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. (b) Esitä relaatio R koordinaatistossa. (c) Esitä relaatio R nuolikaavioina. JYM, Syksy /162

101 Relaatio Esimerkki 43 Merkitään A = {1, 2}. Määritellään joukkojen A ja P(A) välinen relaatio T seuraavasti: T = { (x, Y ) A P(A) x Y }. Tällöin esimerkiksi luku 1 on relaatiossa T alkion A P(A) kanssa, sillä 1 A. (a) Esitä relaatio T luettelemalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. (b) Esitä relaatio T nuolikaavioina. JYM, Syksy /162

102 Relaation refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus Määritelmä Oletetaan, että R on joukon X relaatio. Relaatio R on refleksiivinen, jos kaikilla x X pätee xrx eli (x, x) R. symmetrinen, jos seuraava ehto toteutuu: jos a, b X ja arb, niinbra. transitiivinen, jos seuraava ehto toteutuu: Huom. jos a, b, c X ja arb ja brc, niinarc. Refleksiivisyys: jokaisen alkion on oltava relaatiossa itsensä kanssa. Huomaa symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdon jos..., niin... -rakenne. JYM, Syksy /162

103 Relaatio Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R X Y,niin sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R X X, niin sanotaan, että R on joukon X relaatio. Jos R on relaatio, niin merkintä arb tarkoittaa, että (a, b) R; toisin sanottuna alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa. Huom. Usein relaatiota merkitään kirjaimen R sijasta jollakin symbolilla kuten esimerkiksi <,,, = tai. Relaatio tarkoittaa siis tulojoukon osajoukkoa. JYM, Syksy /162

104 Relaation refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus Määritelmä Oletetaan, että R on joukon X relaatio. Relaatio R on refleksiivinen, jos kaikilla x X pätee xrx eli (x, x) R. symmetrinen, jos seuraava ehto toteutuu: jos a, b X ja arb, niinbra. transitiivinen, jos seuraava ehto toteutuu: Huom. jos a, b, c X ja arb ja brc, niinarc. Refleksiivisyys: jokaisen alkion on oltava relaatiossa itsensä kanssa. Huomaa symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdon jos..., niin... -rakenne. JYM, Syksy /162

105 Relaation refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus Esimerkki 46 Määritellään joukon Z relaatio ehdolla a b, jos erotus a b on jaollinen luvulla 5. Onko refleksiivinen? Entä symmetrinen? Entä transitiivinen? Kertaa tarvittaessa jaollisuuden määritelmä (ennen esimerkkiä??). JYM, Syksy /162

106 Osoitetaan, että relaatio on refleksiivinen. Oletetaan, että a Z. Tällöin a a = 0 = 5 0, joten 5 (a a). Siisa a. Tämä päättely pätee millä tahansa kokonaisluvulla, joten jokainen kokonaisluku on relaatiossa itsensä kanssa. Osoitetaan, että relaatio on symmetrinen. Oletetaan, että a, b Z ja a b. Tällöin a b = 5k jollakin k Z. Kertomalla tätä yhtälöä molemmin puolin luvulla 1 saadaan yhtälö b a = 5 ( k), missä k Z. Näin ollen 5 (b a). Siis b a. Osoitetaan, että relaatio on transitiivinen. Oletetaan, että a, b, c Z ja lisäksi a b ja b c. Tällöin a b = 5k jollakin k Z ja b c = 5m jollakin m Z. Siten a c = a b + b c = 5k + 5m = 5(k + m), missä k + m Z. Näin5 (a c). Siisa c. JYM, Syksy /162

107 Ekvivalenssirelaatio Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A relaatio. Jos R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, niin sanotaan, että R on ekvivalenssirelaatio. Huom. Tärkeä esimerkki ekvivalenssirelaatiosta löytyy edellisestä esimerkistä (esimerkki 46). JYM, Syksy /162

108 Ekvivalenssirelaatio Esimerkki 48 Olkoon S kaikkien suomen kielen sanojen muodostama joukko. Määritellään joukon S relaatio T seuraavasti: T = {(a, b) S S sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b }. Anna esimerkki alkioista a ja b, joille pätee (a, b) T. Onko T ekvivalenssirelaatio? Esimerkiksi ( kissa, koira ) T, sillä sana kissa alkaa samalla kirjaimella kuin sana koira. JYM, Syksy /162

109 Relaatio T on refleksiivinen, sillä jokainen sana on itsensä kanssa relaatiossa T. Nimittäin millä tahansa sanalla on sama alkukirjain kuin sillä itsellään. Relaatio T on symmetrinen:jos sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b, niin sana b alkaa samalla kirjaimella kuin sana a. Relaatio T on transitiivinen:jos sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b ja sana b alkaa samalla kirjaimella kuin sana c, niin kaikilla kolmella sanalla on sama alkukirjain.erityisesti sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana c. Relaatio T on siis refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, joten se on ekvivalenssirelaatio. JYM, Syksy /162

110 Ekvivalenssiluokat Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio ja a A. Niiden alkioiden joukkoa, jotka ovat ekvivalenssirelaatiossa R alkion a kanssa, kutsutaan alkion a ekvivalenssiluokaksi ja merkitään [a] R. Toisin sanottuna [a] R = { b A (b, a) R } = { b A bra }. Kaikkien ekvivalenssiluokkien muodostamaa joukkoa merkitään A/R. Siis A/R = { [a] R a A }. JYM, Syksy /162

111 Ekvivalenssirelaatio Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A relaatio. Jos R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, niin sanotaan, että R on ekvivalenssirelaatio. Huom. Tärkeä esimerkki ekvivalenssirelaatiosta löytyy edellisestä esimerkistä (esimerkki 46). JYM, Syksy /162

112 Ekvivalenssiluokat Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio ja a A. Niiden alkioiden joukkoa, jotka ovat ekvivalenssirelaatiossa R alkion a kanssa, kutsutaan alkion a ekvivalenssiluokaksi ja merkitään [a] R. Toisin sanottuna [a] R = { b A (b, a) R } = { b A bra }. Kaikkien ekvivalenssiluokkien muodostamaa joukkoa merkitään A/R. Siis A/R = { [a] R a A }. JYM, Syksy /162

113 Ekvivalenssiluokat Huom. Ekvivalenssirelaatio on refleksiivinen, joten jokainen joukon A alkio on ekvivalenssirelaatiossa itsensä kanssa. Siten a [a] R. Alkiota a sanotaan ekvivalenssiluokan [a] R edustajaksi. JYM, Syksy /162

114 Ekvivalenssiluokat Esimerkki 49 Esimerkissä 48 määriteltiin kaikkien suomen kielen sanojen muodostaman joukon S relaatio T seuraavasti: T = {(a, b) S S sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b }. Osoittautui, että T on ekvivalenssirelaatio. Mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? Tarkastellaan aluksi sanaa aasi. Määritelmän mukaan [ aasi ] T = { s S (s, aasi ) T } = { s S sana s alkaa kirjaimella a } JYM, Syksy /162

115 Havaitaan, että sanan aasi ekvivalenssiluokan muodostavat kaikki a-kirjaimella alkavat sanat. Vastaavalla tavalla päättelemällä huomataan, että relaation T ekvivalenssiluokat ovat [ aasi ], [ banaani ], [ celsius ], [ demokratia ],...,[ öljy ]. Jokaisen ekvivalenssiluokan muodostavat siis kaikki tietyllä kirjaimella alkavat sanat. Edellä esimerkiksi sana demokratia on kaikkien d-kirjaimella alkavien sanojen edustaja. Kaikkien ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään S/T = { [ aasi ], [ banaani ], [ celsius ],...,[ öljy ] } JYM, Syksy /162

116 Ekvivalenssiluokat Esimerkki 50 Esimerkissä 46 määriteltiin joukon Z relaatio ehdolla a b, jos erotus a b on jaollinen luvulla 5, ja osoitettiin, että on ekvivalenssirelaatio. Mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? JYM, Syksy /162

117 Ekvivalenssiluokan määritelmän mukaan [0] = { z Z z 0 } = { z Z z 0 = 5k missä k Z } = { z Z z = 5k missä k Z } = { 5k k Z} Luvun 0 ekvivalenssiluokan muodostavat siis kaikki viidellä jaolliset luvut. Vastaavasti [1] = { z Z z 1 } = { z Z z 1 = 5k missä k Z } = { z Z z = 5k + 1missäk Z } = { 5k + 1 k Z} Luvun 1 ekvivalenssiluokan muodostavat ne luvut, joiden jakojäännös viidellä jaettaessa on 1. JYM, Syksy /162

118 Samaan tapaan voidaan osoittaa, että [2] = { 5k + 2 k Z}, [3] = { 5k + 3 k Z}, [4] = { 5k + 4 k Z} Viidellä jaettaessa mahdolliset jakojäännökset ovat 0, 1, 2, 3 ja 4, joten tässä ovat kaikki ekvivalenssiluokat. Kaikkien ekvivalenssiluokkien joukko on siis Z/ = {[0], [1], [2], [3], [4] }. Jokaisen ekvivalenssiluokan muodostavat kaikki ne kokonaisluvut, joilla on sama jakojäännös luvulla 5 jaettaessa. JYM, Syksy /162

119 Ekvivalenssiluokkien edustajiksi voidaan valita mitkä tahansa sopivat luvut. Esimerkiksi Z/ = {[15], [21], [17], [38], [ 11] }. Voit itse tarkistaa, että näillä edustajilla saadaan kaikki mahdolliset jakojäännökset. Esimerkiksi 11 = eli luvun 11 jakojäännös viidellä jaettaessa on 4. Jakojäännöksiin liittyviä asioita opiskellaan tällä kurssilla myös tietojenkäsittely- ja tilastotieteen matematiikan osuudessa. JYM, Syksy /162

120 Merkitään A = {n N n 20}. Määritellään joukon P(N) relaatio asettamalla X Y, jos X Y A. Väite: on joukon P(N) ekvivalenssirelaatio. Muista symmetrisen erotuksen määritelmä: X Y =(X Y ) (Y X). 63/65

121 Esimerkiksi joukoilla X = {18, 19, 180, 190} ja Y = {1, 8, 9, 10, 180, 190} pätee X Y,sillä X Y = {18, 19} {1, 8, 9, 10} A. 64/65

122 Joukkojen mahtavuus Määritelmä Joukot A ja B ovat yhtä mahtavat, jos on olemassa bijektio joukosta A joukkoon B. Joukko A on äärellinen, jos se on tyhjä joukko tai yhtä mahtava joukon {k N 1 k n} kanssa jollakin n Nr{0}. Joukko A on numeroituva, jos se on äärellinen tai yhtä mahtava kuin joukko N. Joukko A on ylinumeroituva, jos ei ole numeroituva. JYM, Syksy /163

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

1 Perusasioita joukoista

1 Perusasioita joukoista 1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan

Johdatus yliopistomatematiikkaan Johdatus yliopistomatematiikkaan Lotta Oinonen 1. maaliskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Perusasioita joukoista................................ 1 1.1 Merkintöjä..................................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.

Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla. Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot