Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014"

Transkriptio

1 Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014

2 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita Kuvauksista Relaatioista Grupoidi ja ositus Ryhmistä Permutaatioryhmistä Luupit 10 3 Aliluupit 16 4 Luupin ydin ja keskus 23 5 Käänteisominaisuus 27 6 Homomorsmi 32 7 Kertolaskuryhmät 35 8 Esimerkkejä luupeista 41 Lähdeluettelo 43 1

3 Johdanto Tutkielmassa tutustutaan luuppeihin, niiden ominaisuuksiin sekä siihen, miten ne voidaan linkittää ryhmiin. Ensimmäisen luvun lähteenä on käytetty pääasiassa kurssin Algera I luentomonistetta sekä luentomuistiinpanoja. Lukujen 2, 3, 4, 5 ja 8 lähde on Hala O. Pugfelderin teos Quasigroups and loops introduction. Luvuissa 6 ja 7 lähteinä on käytetty R.H. Bruckin teosta Contriutions to the theory of loops ja Kari Myllylän väitöskirjaa On the solvaility of groups and loops. Ensimmäisessä luvussa esitellään määritelmiä ja tuloksia kuvauksista, relaatioista, grupoidista ja osituksesta sekä hieman ryhmäteoriaa. Näitä perusmääritelmiä ja -tuloksia tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Yksi luvun tärkeimpiä määritelmiä on siirtokuvausten L a ja R a määrittely, sillä näiden avulla määritellään myöhemmin luupit. Toisessa luvussa määritellään luupit kolmella eri tavalla. Lisäksi määritellään siirtokuvausten L a ja R a käänteiskuvaukset L 1 a ja R 1 a. Luvussa osoitetaan luupeille monia hyödyllisiä tuloksia, joita käytetään myöhemmin tutkielmassa. Luvussa kolme tutustutaan aliluuppeihin. Heti luvun alussa todistetaan lause, joka kertoo ne kriteerit, joiden täytyy toteutua, jotta joukko olisi jonkin luupin aliluuppi. Tätä lausetta käytetään tutkielmassa useamman kerran. Lisäksi luvussa esitellään useita aliluuppeihin liittyviä määritelmiä sekä tuloksia. Neljännessä luvussa esitellään luupin ydin ja keskus sekä niihin liittyviä lauseita. Luvussa viisi esitellään luupin oikea ja vasen käänteisalkio. Luupin alkioiden ja käänteisalkioiden avulla määritellään esimerkiksi luupin käänteisominaisuus. Luvussa tutustutaan useisiin erikoistapauksiin luupeista, esimerkiksi käänteisominaisuuden toteuttavaan I.P. -luuppiin. Kuudennessa luvussa määritellään kuvauksen homomorsuus, isomorsuus sekä automorsuus. Lisäksi esitellään homomorsmin ydin ja kuva sekä osoitetaan, että ne ovat luuppeja. Luvussa seitsemän tutustutaan luupin kertolaskuryhmään, joka määritellään ensimmäisessä luvussa määriteltyjen siirtokuvausten avulla. Luvussa esitellään myös sisäinen kertolaskuryhmä sekä monia näihin ryhmiin liittyviä määritelmiä ja tuloksia. Kertolaskuryhmät ja sisäiset kertolaskuryhmät ovat tärkeitä luuppien tutkimisessa, sillä ne yhdistävät luupit ryhmiin. Viimeisessä luvussa esitetään muutama esimerkki luupeista niiden havainnollistamiseksi. Esimerkit liittyvät pääasiassa lukuihin 2 ja 5. 2

4 1 Perusteita Tässä luvussa esitellään määritelmiä ja tuloksia kuvauksista, relaatioista, grupoidista sekä osituksesta. Luvun lopussa on myös hieman ryhmäteoriaa. Lukuun on kerätty vain sellaisia määritelmiä ja lauseita, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. 1.1 Kuvauksista Määritelmä 1.1. Olkoot A ja B joukkoja. Kuvaus f : A B kuvaa jokaisen joukon A alkion täsmälleen yhdeksi joukon B alkioksi. Määritelmä 1.2. Olkoot A ja B joukkoja. Kuvaus f : A B on 1. surjektio, jos sen arvojoukko on koko joukko B, 2. injektio, jos joukon A eri alkioilla on aina eri kuvapisteet eli toisin sanoen jos x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ), 3. ijektio, jos se on surjektio ja injektio. Määritelmä 1.3. Olkoon kuvaus f : A B ijektio. Tällöin voidaan määritellä kuvauksen f käänteiskuvaus f 1 : B A siten, että x = f 1 (y) y = f(x). Lause 1.4. Käänteiskuvaus f 1 on ijektio. Todistus. Olkoon x A mielivaltainen. Tällöin f(x) = y B ja siten x = f 1 (y). Näin ollen käänteisfunktion arvojoukko on A eli f 1 on surjektio. Olkoon f 1 (y 1 ) = f 1 (y 2 ), missä y 1, y 2 B. Koska f : A B on surjektio, niin on olemassa sellaiset x 1, x 2 A, että f(x 1 ) = y 1 ja f(x 2 ) = y 2. Koska f on injektio, saadaan f 1 (y 1 ) = f 1 (y 2 ) f 1 (f(x 1 )) = f 1 (f(x 2 )) x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) y 1 = y 2. Eli f 1 on injektio. Koska f 1 on sekä injektio että surjektio, se on myös ijektio. 3

5 Lause 1.5. Olkoon kuvaus f : A B ijektio ja f 1 : B A sen käänteiskuvaus. Tällöin ja f 1 (f(x)) = x aina, kun x A f(f 1 (y)) = y aina, kun y B. Todistus. Osoitetaan ensin, että f 1 (f(x)) = x aina, kun x A. Nyt f(x) = y f 1 (y) = x. Eli f 1 (f(x)) = f 1 (y) = x aina, kun x A. Osoitetaan seuraavaksi, että f(f 1 (y)) = y aina, kun y B. Nyt f(f 1 (y)) = f(x) = y aina, kun y B. Määritelmä 1.6. Kuvausten f : A B ja g : C A yhdistetty kuvaus on f g : C B. Yhdistetylle kuvaukselle on voimassa aina, kun x C. (f g)(x) = f(g(x)) Määritelmä 1.7. Sellaista kuvausta I A : A A, joka kuvaa jokaisen alkion itselleen, kutsutaan identiteettikuvaukseksi. Siis I A (x) = x aina, kun x A. Joukon B identiteettikuvaus I B määritellään vastaavasti eli I B (y) = y aina, kun y B. Lause 1.8. Olkoon f : A B. Tällöin f 1 f = I A ja f f 1 = I B. Todistus. Olkoon x A. Nyt (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)). Lauseen 1.5 nojalla f 1 (f(x)) = x eli f 1 f = I A. Olkoon sitten y B. Tällöin (f f 1 )(y) = f(f 1 (y)). Lauseen 1.5 perusteella f(f 1 (y)) = y eli f f 1 = I B. Lause 1.9. Olkoot kuvaukset f : A B ja g : C A ijektioita. Tällöin yhdistetty kuvaus f g : C B on ijektio ja (f g) 1 = g 1 f 1. Todistus. Todistetaan ensin, että yhdistetty kuvaus f g on ijektio osoittamalla, että se on sekä surjektio että injektio. Osoitetaan aluksi yhdistetyn kuvauksen f g surjektiivisyys. Olkoon z B mielivaltainen. Koska f on surjektio, niin on olemassa sellainen y A, että z = f(y). Koska myös g on surjektio, niin on olemassa sellainen alkio x C, että y = g(x). Tällöin (f g)(x) = f(g(x)) = f(y) = z. Näin ollen yhdistetty kuvaus f g on surjektio. Osoitetaan seuraavaksi, että yhdistetty kuvaus on injektio. Oletetaan, että (f g)(x) = (f g)(y) joillakin x, y C. Tällöin f(g(x)) = f(g(y)). 4

6 Koska kuvaus f on injektio, niin g(x) = g(y). Toisaalta myös kuvaus g on injektio, joten x = y. Näin ollen yhdistetty kuvaus f g on injektio. Koska yhdistetty kuvaus f g on sekä surjektio että injektio, niin se on myös ijektio. Osoitetaan vielä, että (f g) 1 = g 1 f 1. Olkoon z = (f g)(x) = f(g(x)) ja merkitään y = g(x). Tällöin siis z = f(y), josta määritelmän 1.3 nojalla saadaan y = f 1 (z). Lisäksi yhtälöstä y = g(x) seuraa, että x = g 1 (y). Tällöin x = g 1 (y) = g 1 (f 1 (z)) = (g 1 f 1 )(z). Toisaalta z = (f g)(x), josta määritelmän 1.3 nojalla saadaan x = (f g) 1 (z). Näin ollen (f g) 1 (z) = (g 1 f 1 )(z) aina, kun z B. Siis väite on todistettu. Lause Olkoot g : A B, f : B C ja h : C D. Tällöin pätee h (f g) = (h f) g. Todistus. Määritelmän 1.6 nojalla (h (f g))(x) = h((f g)(x)) = h(f(g(x))). Toisaalta ((h f) g)(x) = (h f)(g(x)) = h(f(g(x))). Näin ollen (h (f g))(x) = ((h f) g)(x). Voidaan siis merkitä h (f g) = (h f) g = h f g. 1.2 Relaatioista Määritelmä Olkoon A ei-tyhjä joukko. Tällöin joukkoa A A = {(a 1, a 2 ) a 1, a 2 A} kutsutaan joukon A karteesiseksi tuloksi itsensä kanssa. Määritelmä Joukon A A osajoukkoa R sanotaan inääriseksi relaatioksi joukossa A. Jos pari (x, y) R, niin sanotaan, että alkio x on relaatiossa R alkion y kanssa. Merkitään xry. Määritelmä Binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio joukossa A, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat. xrx aina, kun x A, jos xry, niin yrx aina, kun x, y A, jos xry ja yrz, niin xrz aina, kun x, y, z A. 5

7 Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukko [a] = {x A xra} on alkion a määräämä ekvivalenssiluokka. Lause Olkoot R ekvivalenssirelaatio ja ar. Tällöin [a] = []. Todistus. Olkoon x [a], jolloin xra. Koska ar, niin määritelmän 1.13 nojalla myös xr. Näin ollen x [] eli [a] []. Oletetaan seuraavaksi, että y [] eli yr. Nyt ar eli Ra, jolloin yra eli y [a]. Siis [] [a]. Nyt [a] [] ja [] [a] eli [a] = []. 1.3 Grupoidi ja ositus Määritelmä Olkoon A ei-tyhjä joukko. Kuvaus : A A A, (a, ) a, on joukon A inäärinen operaatio, eli (a ) A aina, kun a, A ja a on joukon A yksikäsitteinen alkio. Määritelmä Grupoidi on ei-tyhjä joukko G varustettuna inäärisellä operaatiolla ( ). Tällöin käytetään merkintää (G, ). Määritelmä Olkoon G grupoidi ja H joukon G ei-tyhjä osajoukko. Jos H on grupoidi, niin silloin sanotaan, että H on grupoidin G aligrupoidi. Määritelmä Olkoot (G, ) grupoidi ja a joukon G alkio. Tällöin voidaan määritellä seuraavat siirtokuvaukset (translation maps): L a (x) = a x ja R a (x) = x a kaikilla x G. Tästä seuraa, että L a : G G ja R a : G G kaikilla a G. Määritelmä Olkoon G ei-tyhjä joukko. P on joukon G ositus, jos X aina kun X P, G = X P X, X = Y aina, kun X P, Y P ja X Y. 6

8 Lause Olkoon R joukon A ekvivalenssirelaatio ja a A. Tällöin ekvivalenssirelaation R ekvivalenssiluokat [a] ovat joukon A ositus. Todistus. Osoitetaan ensin, että [a]. Nyt ara kaikilla a A. Tällöin a [a], joten [a]. Osoitetaan seuraavaksi, että A = a A [a]. Olkoon a A, jolloin ara eli a [a]. Siten A = a A [a]. Osoitetaan vielä, että jos [a] [] joillakin a, A, niin [a] = []. Oletetaan, että [a] [], jolloin x [a] []. Tällöin xra ja xr, josta seuraa, että arx ja siten ar. Lauseen 1.14 nojalla [a] = []. Eli kun [a] [], niin [a] = []. Näin ollen ekvivalenssirelaation R ekvivalenssiluokat [a] ovat joukon A ositus. 1.4 Ryhmistä Määritelmä Olkoot G ja ( ) inäärinen operaatio joukossa G. Pari (G, ) on ryhmä, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. ( ) on assosiatiivinen eli aina, kun a,, c G. (a ) c = a ( c) 2. Joukossa G on olemassa neutraalialkio e, jolle pätee aina, kun a G. a e = e a = a 3. Aina, kun a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Määritelmä Alkioiden a ja muodostama ryhmä < a, > on pienin sellainen ryhmä, johon alkiot a ja kuuluvat. Tällöin ryhmän määritelmän nojalla ryhmään < a, > kuuluu alkioiden a ja lisäksi näiden käänteisalkiot a 1 ja 1 sekä kaikki alkioiden a,, a 1 ja 1 väliset operaatiot. Määritelmä Olkoot (G, ) ryhmä, H G ja H. Jos (H, ) on ryhmä, niin sitä kutsutaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi. Merkitään (H ) (G, ). 7

9 Lause Olkoot G ryhmä, H G ja H. Tällöin H on ryhmän G aliryhmä, jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Kun a, H, niin a H. 2. Kun a H, niin a 1 H. Todistus. Oletetaan, että H on ryhmän G aliryhmä. Tällöin ehdot toteutuvat, koska aliryhmänä H on myös ryhmä. Oletetaan nyt, että ehdot totetuvat. Täytyy siis osoittaa, että tällöin H on ryhmän G aliryhmä. Todistetaan se osoittamalla, että H on ryhmä näyttämällä, että määritelmän 1.21 ehdot toteutuvat. Nyt kyseessä on inäärinen operaatio, koska ehdon 1 mukaan a H, kun a, H. Operaatio on assosiatiivinen joukossa H, koska se on assosiatiivinen ryhmässä G ja H G. Olkoon nyt a H. Ehdon 2 nojalla a 1 H. Nyt ehdon 1 nojalla aa 1 = e H. Siis joukko H on ryhmä, jolloin se on myös ryhmän G aliryhmä. 1.5 Permutaatioryhmistä Määritelmä Olkoon X. Bijektiota f : X X sanotaan joukon X permutaatioksi. Lause Olkoon S X joukon X kaikkien permutaatioiden joukko. Pari (S X, ), missä ( ) on kuvausten yhdistämisoperaatio, on ryhmä. Todistus. Osoitetaan, että (S X, ) on ryhmä näyttämällä, että kaikki määritelmän 1.21 kohdat toteutuvat. Osoitetaan ensin, että ( ) on inäärinen operaatio joukossa S X. Olkoon α, β S X. Tällöin kuvaukset α : X X ja β : X X ovat ijektioita. Lauseen 1.9 nojalla yhdistetty kuvaus α β : X X on myös ijektio eli α β S X. Siis ( ) on joukon S X inäärinen operaatio. Osoitetaan seuraavaksi, että inäärinen operaatio ( ) on assosiatiivinen. Olkoon α, β, γ S X. Tällöin (α β) γ = α (β γ) eli ( ) on assosiatiivinen. Osoitetaan, että joukossa S X on olemassa neutraalialkio. Nyt identiteettikuvaus I : X X on ijektio eli I S X. Lisäksi I α = α ja α I = α kaikilla α S X, joten I on joukon S X neutraalialkio. 8

10 Osoitetaan vielä, että kun α S X, niin myös käänteisalkio α 1 S X. Olkoon α S X eli α : X X on ijektio. Tällöin on olemassa käänteiskuvaus α 1 ja α 1 : X X on ijektio. Eli α 1 S X. Lisäksi α α 1 = I ja α 1 α = I. Näin ollen α 1 on alkion α S X käänteisalkio. On siis osoitettu, että määritelmän 1.21 kaikki ehdot toteutuvat, joten (S X, ) on ryhmä. Määritelmä Olkoon joukon X kertaluku eli joukon X alkioiden lukumäärä n. Tällöin merkitään S X = S n. Ryhmää S n sanotaan astetta n olevaksi symmetriseksi ryhmäksi. Symmetrisen ryhmän S n aliryhmiä kutsutaan permutaatioryhmiksi. 9

11 2 Luupit Tässä luvussa määritellään luupit kolmella eri tavalla sekä esitellään luuppeihin liittyviä määritelmiä ja tuloksia. Määritelmä 2.1. Olkoon G ei-tyhjä joukko. Pari (G, ) on luuppi, jos ( ) on inäärinen operaatio joukossa G ja kuvaukset L a : G G ja R a : G G ovat ijektioita kaikilla a G. Lisäksi joukossa G täytyy olla neutraalialkio e, jolle pätee e x = x e = x kaikilla x G. Luupit voidaan määritellä myös ilman siirtokuvauksia: Määritelmä 2.2. Olkoot G ei-tyhjä joukko ja ( ) inäärinen operaatio joukossa G. Pari (G, ) on luuppi, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat. 1. Jos yhtälössä x y = z mitkä tahansa kaksi muuttujaa ovat joukon G alkioita, niin silloin myös kolmas muuttuja on joukon G yksikäsitteinen alkio. 2. Joukossa G on olemassa neutraalialkio e, jolle pätee e x = x e = x kaikilla x G. Jatkossa luuppiin (G, ) viitataan vain joukolla G ja inäärinen operaatio ( ) jätetään merkitsemättä luupin laskutoimituksissa. Lause 2.3. Määritelmät 2.1 ja 2.2 ovat yhtäpitäviä. Todistus. Oletetaan ensin, että määritelmä 2.1 on voimassa eli ( ) on inäärinen operaatio joukossa G, joukossa G on olemassa neutraalialkio e ja siirtokuvaukset L a ja R a ovat ijektioita. Huomataan, että ainoaksi todistettavaksi kohdaksi jää määritelmän 2.2 ehto 1. Tarkastellaan nyt yhtälöä xy = z. Oletetaan, että x, y G. Nyt L x (y) G ja L x (y) = xy = z, joten myös z G ja on yksikäsitteinen. Oletetaan seuraavaksi, että y, z G. Koska oletuksen perusteella R y on ijektio eli myös surjektio, niin on olemassa sellainen alkio x G, että R y (x) = z eli xy = z. Koska kuvaus R y on ijektiona myös injektio, niin x on joukon G yksikäsitteinen alkio. Oletetaan sitten, että x, z G. Oletusten nojalla L x on ijektio eli myös surjektio. Täten on olemassa sellainen alkio y G, että L x (y) = z eli xy = z. Koska kuvaus L x on ijektiona myös injektio, niin y on joukon G yksikäsitteinen alkio. Näin määritelmän 2.2 ehto 1 on todistettu. 10

12 Oletetaan seuraavaksi, että määritelmä 2.2 on voimassa eli kun yhtälössä xy = z kaksi muuttujaa kuuluu joukkoon G, niin myös kolmas alkio on joukon G yksikäsitteinen alkio. Tavoitteena on osoittaa, että tällöin siirtokuvaukset L a ja R a ovat ijektioita. Olkoon a joukon G kiinnitetty alkio. Nyt jokaiselle y G on oletuksen mukaan olemassa sellainen x G, että y = ax tai y = xa eli y = L a (x) tai y = R a (x). Näin ollen kuvaukset L a ja R a ovat surjektioita. Oletetaan, että x, y G ja L a (x) = L a (y) eli ax = ay. Tällöin on olemassa z G siten, että ax = z ja ay = z. Oletuksen nojalla näillä yhtälöillä on yksikäsitteiset ratkaisut joukossa G eli x = y. Näin ollen kuvaus L a on injektio. Oletetaan sitten, että x, y G ja R a (x) = R a (y) eli xa = ya. Tällöin joukossa G on olemassa alkio w siten, että xa = w ka ya = w. Oletusten perusteella yhtälöillä on yksikäsitteiset ratkaisut joukossa G eli x = y. Täten myös kuvaus R a on injektio. Koska kuvaukset L a ja R a ovat surjektioita ja injektioita, ne ovat myös ijektioita. Määritelmä 2.4. Luuppi G on assosiatiivinen, jos (xy)z = x(yz) kaikilla x, y, z G. Vastaavasti luuppi G on kommutatiivinen, jos xy = yx kaikilla x, y G. Määritelmä 2.5. Luupin G kertaluku kertoo joukon G alkioiden lukumäärän. Käytetään merkintää G. Määritelmä 2.6. Luuppi G on äärellinen luuppi, jos siinä on äärellinen määrä alkioita. Lause 2.7. Olkoon G luuppi. Tällöin kaikille alkioille a, x, y G on voimassa seuraavat supistamislait. Jos ax = ay, niin x = y. Jos xa = ya, niin x = y. Todistus. Oletetaan, että ax = ay eli L a (x) = L a (y). Koska G on luuppi, niin kuvaus L a on ijektio. Injektiivisyydestä seuraa, että jos ax = ay, niin täytyy olla, että x = y. Oletetaan sitten, että xa = ya eli R a (x) = R a (y). Myös kuvaus R a on ijektio, koska G on luuppi. Täten xa = ya vain jos x = y. 11

13 Lause 2.8. Olkoon (G, ) luuppi. Jos luuppi G on assosiatiivinen, niin se on ryhmä. Todistus. Olkoon luuppi G assosiatiivinen eli (xy)z = x(yz) kaikilla x, y, z G. Nyt täytyy osoittaa, että luuppi G on tällöin myös ryhmä. Tehdään se osoittamalla, että kaikki määritelmän 1.21 ehdot toteutuvat. Koska (G, ) on assosiatiivinen luuppi, niin ( ) on inäärinen ja assosiatiivinen operaatio joukossa G ja joukossa G on olemassa neutraalialkio e. Siis määritelmän 1.21 kaksi ensimmäistä ehtoa toteutuvat. Jää siis todistettavaksi ainoastaan se, että assosiatiivisen luupin jokaisella alkiolla a on olemassa käänteisalkio a 1 G, jolle pätee aa 1 = a 1 a = e. Osoitetaan seuraavaksi, että assosiatiivisen luupin jokaisella alkiolla a on olemassa käänteisalkio a 1 G. Olkoon a G ja olkoot alkiot x ja y sellaiset yksikäsitteiset joukon G alkiot, joille pätee xa = ay = e. Koska luuppi G on assosiatiivinen, niin saadaan x(ax) = (xa)x = ex = x = xe. Eli x(ax) = xe, josta lauseen 2.7 kohdan 2 nojalla saadaan, että ax = e. Nyt ax = e = ay, josta saadaan, että ax = ay. Supistamislakien nojalla x = y. Merkitään x = y = a 1. On siis osoitettu, että kun luuppi G on assosiatiivinen, niin on olemassa käänteisalkio a 1 G, jolle pätee a 1 a = aa 1 = e. Näin ollen assosiatiivinen luuppi on ryhmä. Lause 2.9. Olkoon G luuppi. Tällöin siirtokuvauksilla L a ja R a on olemassa käänteiskuvaukset L 1 a ja Ra 1. Todistus. Määritelmän 2.1 mukaan G on luuppi jos ja vain jos siirtokuvaukset L a ja R a ovat ijektioita ja joukossa G on neutraalialkio e. Koska L a ja R a ovat ijektioita, niin niillä on olemassa myös käänteiskuvaukset L 1 a ja Ra 1 määritelmän 1.3 nojalla. Määritellään kaksi inääristä operaatiota (\) ja (/) joukossa G. Määritelmä Olkoon L x ja R x ijektiivisiä kuvauksia joukossa G. Tällöin L 1 x (y) = x\y ja Rx 1 (y) = y/x kaikilla x, y G. Lause Olkoon x, y, z G. Tällöin x\y = z jos ja vain jos xz = y ja y/x = z jos ja vain jos zx = y. 12

14 Todistus. Oletetaan ensin, että xz = y eli L x (z) = y. Tällöin määritelmän 1.3 mukaan z = L 1 x (y) eli z = x\y. Oletetaan sitten, että z = L 1 x (y) eli z = x\y. Määritelmän 1.3 mukaan L x (z) = y eli xz = y. Oletetaan seuraavaksi, että zx = y eli R x (z) = y. Tällöin z = Rx 1 (y) eli z = y/x. Oletetaan nyt, että z = y/x eli z = Rx 1 (y). Tällöin R x (z) = y eli zx = y. Esimerkki Olkoon (G, ) luuppi ja (/) inäärinen operaatio joukossa G. Millä ehdolla pari (G, /) on luuppi? Ratkaisu. Koska pari (G, ) on luuppi, niin määritelmän 2.2 nojalla kaikilla a, G yhtälöillä x = a, a = y ja z = a on yksikäsitteinen ratkaisu joukossa G. Lauseen 2.11 nojalla a/x =, y/a = ja a/ = z, kun a, G. Tällöin myös näillä yhtälöillä on yksikäsitteinen ratkaisu joukossa G. Nyt luupin määritelmästä 2.2 kaikki muut ehdot paitsi neutraalialkion olemassaolo on tarkasteltu. Koska pari (G, ) on luuppi, niin joukossa G on olemassa neutraalialkio e siten, että xe = ex = x kaikilla x G. Oletetaan ensin, että xe = x kaikilla x G. Tällöin lauseen 2.11 nojalla x/e = x eli tulon neutraalialkio toimii jako-operaation neutraalialkiona oikealta. Jotta tulon neutraalialkio olisi jako-operaation neutraalialkion myös vasemmalta eli e/x = x, niin lauseen 2.11 nojalla x x = e eli x 2 = e. Eli pari (G, /) on luuppi ainoastaan silloin, kun x 2 = e kaikilla x G. Luupit voidaan määritellä myös käyttämällä inäärisiä operaatioita (\) ja (/). Määritelmä Luuppi (G,, /, \) on joukko G varustettuna kolmella inäärisellä operaatiolla ( ), (/) ja (\) siten, että 1. a (a\) =, (/a) a = kaikilla a, G, 2. a\(a ) =, ( a)/a = kaikilla a, G, 3. a\a = / kaikilla a, G. 13

15 Lause Määritelmät 2.1 ja 2.13 ovat yhtäpitäviä. Todistus. Oletetaan ensin, että määritelmä 2.1 on voimassa eli ( ) on inäärinen operaatio joukossa G, kuvaukset L a ja R a ovat ijektioita sekä joukossa G on olemassa neutraalialkio e. Nyt täytyy siis osoittaa, että määritelmän 2.13 kaikki ehdot pätevät. Osoitetaan, että määritelmän 2.10 mukaiset operaatiot toteuttavat määritelmän 2.13 ehdot. Osoitetaan ensin, että a(a\) = kaikilla a, G. Koska L a on ijektio, niin on olemassa käänteiskuvaus L 1 a. Nyt lauseen 1.5 nojalla L a (L 1 a ()) = eli a(l 1 a ()) = kaikilla a, G. Osoitetaan seuraavaksi, että (/a)a = kaikilla a, G. Koska R a on ijektio, niin on olemassa käänteiskuvaus Ra 1. Tällöin R a (Ra 1 ()) = eli (Ra 1 ())a = aina, kun a, G. Osoitetaan sitten, että a\(a) = kaikilla a, G. Nyt L 1 a (L a ()) = eli L 1 a (a) = aina, kun a, G. Osoitetaan vielä, että (a)/a = kaikilla a, G. Nyt Ra 1 (R a ()) = eli Ra 1 (a) = aina, kun a, G. Nyt huomataan, että käänteiskuvaukset L 1 a ja Ra 1 toteuttavat määritelmän 2.13 ehdot. Näin ollen L 1 a () = a\ ja Ra 1 () = a/. Osoitetaan lopuksi, että a\a = / aina, kun a, G. Oletusten mukaan joukossa G on olemassa neutraalialkio e, jolle xe = ex = x aina, kun x G. Nyt a\a = L 1 a (a) = L 1 a (ae) = L 1 a (L a (e)) = e. Samoin / = R 1 () = R 1 (e) = R 1 (R (e)) = e. Eli a\a = e ja / = e, jolloin a\a = /. Oletetaan seuraavaksi, että määritelmä 2.13 on voimassa eli ehdot ovat voimassa. Tällöin pitää osoittaa, että kuvaukset L a ja R a ovat ijektioita sekä joukossa G on olemassa neutraalialkio. Osoitetaan ensin, että kuvaukset L a ja R a ovat injektioita. Oletetaan, että alkiot, c G ja L a () = L a (c). Tällöin a = ac. Operoidaan yhtälöä vasemmalta puolelta alkiolla a käyttäen operaatiota (\), jolloin a\(a) = a\(ac). Määritelmän 2.13 toisen ehdon nojalla tästä seuraa, että = c. Näin ollen kuvaus L a on injektio. Oletetaan sitten, että R a () = R a (c) eli a = ca. Operoidaan yhtälöä oikealta puolelta alkiolla a käyttäen operaatiota (/), jolloin saadaan (a)/a = (ca)/a, josta määritelmän 2.13 toisen ehdon nojalla seuraa, että = c. Eli kuvaus R a on injektio. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvaukset L a ja R a ovat surjektioita. Olkoon a joukon G kiinnitetty alkio. Tällöin jokaiselle G on määritelmän 2.13 ensimmäisen ehdon nojalla olemassa sellainen alkio a\ G, että = a(a\). Tällöin = L a (a\) eli kuvaus L a on surjektio. Toisaalta jokaiselle alkiolle G on olemassa alkio /a G siten, että = (/a)a. Siis = R a (/a), jolloin R a on surjektio. 14

16 Koska kuvaukset L a ja R a ovat injektioita ja surjektioita, ne ovat myös ijektioita. Osoitetaan seuraavaksi neutraalialkion olemassaolo. Nyt määritelmän 2.13 ehdon 3 nojalla a\a = / kaikilla a, G. Nyt erityisesti a\a = a/a kaikilla a G. Merkitään a\a = x ja a/a = x. Lauseen 2.11 nojalla tästä seuraa, että ax = a ja xa = a eli ax = xa = a. Näin ollen x = a\a = a/a on neutraalialkio joukossa G. 15

17 3 Aliluupit Tässä luvussa määritellään luupin G aliluuppi H sekä siihen liittyviä käsitteitä ja tuloksia. Erityisen hyödyllinen on ensimmäinen lause, jossa kerrotaan ne kriteerit, joiden täytyy toteutua, jotta joukko olisi jonkin luupin aliluuppi. Tätä lausetta käytetään useasti myöhemmin tutkielmassa. Määritelmä 3.1. Olkoon (G, ) luuppi ja H joukon G ei-tyhjä osajoukko. Jos H on luuppi, niin sitä sanotaan luupin G aliluupiksi. Lause 3.2. Olkoon G luuppi. Joukon G ei-tyhjä osajoukko H on luupin G aliluuppi, jos ja vain jos (H, ), (H, /) ja (H, \) ovat grupoideja. Todistus. Oletetaan ensin, että H, H G ja H on luupin G aliluuppi. Tällöin täytyy siis osoittaa, että (H, ), (H, /) ja (H, \) ovat grupoideja. Oletuksen mukaan H, joten riittää osoittaa, että operaatiot ( ), (/) ja (\) ovat inäärisiä operaatioita joukossa H. Koska H on aliluuppi, eli myös luuppi, niin määritelmän 2.1 mukaan L a : H H ja R a : H H ovat ijektioita, kun a H. Täten niillä on olemassa käänteiskuvaukset L 1 a : H H ja Ra 1 : H H, jotka ovat myös ijektioita. Joten kun a, x H, niin L a (x) = ax H, Ra 1 (x) = x/a H ja L 1 a (x) = a\x H. Näin ollen operaatiot ( ), (/) ja (\) ovat inäärisiä operaatioita joukossa H. Siis (H, ), (H, /) ja (H, \) ovat grupoideja. Oletetaan sitten, että H, H G sekä (H, ), (H, /) ja (H, \) ovat grupoideja. Täytyy siis osoittaa, että H on luupin G aliluuppi. Osoitetaan se näyttämällä, että kaikki määritelmän 2.2 ehdot toteutuvat. Nyt ( ) on inäärinen operaatio joukossa H, koska oletusten mukaan (H, ) on grupoidi. Olkoon a, H, jolloin a, G. Koska G on luuppi, niin on olemassa yksikäsitteinen alkio x G siten, että a = x. Koska a, H ja (H, ) on grupoidi, niin a H, jolloin x H. Samoin on olemassa yksikäsitteinen alkio y G siten, että ay =. Tällöin a\ = y. Koska a, H ja (H, \) on grupoidi, niin y H. Lisäksi on olemassa yksikäsitteinen alkio z G siten, että za =. Tällöin /a = z. Koska a, H ja (H, /) on grupoidi, niin z H. Näin ollen aina, kun yhtälön xy = z mitkä tahansa kaksi muuttujaa ovat joukon H alkioita, niin myös kolmas alkio on joukon H yksikäsitteinen alkio. Osoitetaan vielä neutraalialkion olemassaolo. Koska G on luuppi, on sillä olemassa neutraalialkio e. Nyt H, joten on olemassa a H. Tällöin (a/a) a = a = e a eli (a/a)a = ea. Käyttämällä lauseen 2.7 toista supistamislakia, saadaan a/a = e. Koska (H, /) on grupoidi ja a H, niin e H, joten joukossa H on olemassa neutraalialkio e. 16

18 Näin ollen lauseen 2.2 nojalla H on luuppi, eli H on luupin G aliluuppi. Lause 3.3. Jos H on luupin G aliluuppi, niin aliluupilla H on sama neutraalialkio kuin luupilla G. Todistus. Olkoon luupin G neutraalialkio e G ja aliluupin H neutraalialkio e H. Nyt kaikilla a H pätee e H a = a. Tällöin myös luupissa G pätee e H a = a. Toisaalta myös e G a = a, jolloin saadaan, että e H a = a = e G a eli e H a = e G a. Tästä saadaan lauseen 2.7 toisen supistamislain nojalla e H = e G. Näin ollen luupilla G ja aliluupilla H on sama neutraalialkio. Lause 3.4. Olkoot G luuppi ja H ja K sen aliluuppeja. Tällöin aliluuppien H ja K leikkaus H Kon luupin G aliluuppi. Todistus. Nyt H K G ja H K, koska ainakin neutraalialkio e H K. Osoitetaan, että leikkaus H K on luupin G aliluuppi käyttämällä lausetta 3.2. Täytyy siis osoittaa, että (H K, ), (H K, \) ja (H K, /) ovat grupoideja. Oletetaan ensin, että a, H K. Tällöin a, H. Koska H on aliluuppi, niin (H, ), (H, \) ja (H, /) ovat grupoideja. Siis a H, a\ H ja a/ H. Toisaalta a, K, sillä a, H K. Koska K on luupin G aliluuppi, niin (K, ), (K, \) ja (K, /) ovat grupoideja. Tällöin a K, a\ K ja a/ K. Ollaan siis saatu, että a H, a\ H ja a/ H sekä a K, a\ K ja a/ K. Tällöin siis a H K, a\ H K ja a/ H K. Näin ollen (H K, ), (H K, \) ja (H K, /) ovat grupoideja. Lauseen 3.2 mukaan H K on luupin G aliluuppi. Lause 3.5. Olkoot (G, ) luuppi, = S G ja T jokin ei-tyhjä luupin G aliluuppien joukko, jolle S H aina, kun H T. Tällöin H T H on luupin G aliluuppi, jolle pätee S H T H. Todistus. Merkitään D = H T H. Koska T, niin D on joukko, jolle pätee S D G. Koska S, niin D, joten = D G. Olkoon nyt a, D. Tällöin a, H aina, kun H T. Koska jokainen H T on luupin G aliluuppi, niin lauseen 3.2 nojalla (H, ), (H, /) ja (H, \) ovat grupoideja. Täten a H, a/ H ja a\ H kaikilla H T. Tästä seuraa, että a, a/ ja a\ ovat joukon D alkioita. Täten (D, ), (D, /) ja (D, \) ovat grupoideja. 17

19 Olkoot G luuppi, S G ja T kaikkien sellaisten luupin G aliluuppien joukko, joiden osajoukko on S. Koska G T, niin T. Lauseen 3.5 mukaan H T H on luupin G aliluuppi ja S H T H. Käytetään merkintää < S >= H T H. Määritelmä 3.6. Olkoot G luuppi ja S G. Olkoon lisäksi T kaikkien niiden luupin G aliluuppien H joukko, joille S G aina, kun H T. Tällöin luupin G aliluuppia < S > kutsutaan joukon S generoimaksi aliluupiksi. Määritelmä 3.7. Olkoot G luuppi, H luupin G aliluuppi ja a G. Joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliluupin H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti joukkoa Ha = {ha h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliluupin H oikeaksi sivuluokaksi. Määritelmä 3.8. Olkoot G luuppi ja H luupin G aliluuppi. Tällöin joukolla G on aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma (left coset decomposition modulo H), jos kaikkien aliluupin H vasempien sivuluokkien määräämä joukko P = {ah a G} on luupin G ositus. Vastaavasti joukolla G on aliluupin H oikeiden sivuluokkien hajotelma (right coset decomposition modulo H), jos kaikkien aliluupin H oikeiden sivuluokkien määräämä joukko P = {Ha a G} on luupin G ositus. Lause 3.9. Olkoot G luuppi ja H luupin G aliluuppi. Tällöin joukolla G on aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma, jos ja vain jos (ah)h = ah kaikilla a G ja h H. Vastaavasti joukolla G on aliluupin H oikeiden sivuluokkien hajotelma, jos ja vain jos H(ha) = Ha kaikilla a G ja h H. Todistus. Oletetaan ensin, että joukolla G on aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma. On siis tarkoitus osoittaa, että (ah)h = ah. Nyt oletuksen nojalla kaikkien aliluupin H vasempien sivuluokkien määräämä joukko P on joukon G ositus. Koska H on aliluuppi, niin on olemassa neutraalialkio e H siten, että xe = ex = x aina, kun x H. Nyt jokaiselle alkiolle a G ja h H pätee, että ah = (ah)e. Täten ah ah (ah)h. Näin ollen ah P, (ah)h P ja (ah)h ah. Koska P on joukon G ositus, niin määritelmän 1.19 kolmannen kohdan nojalla (ah)h = ah aina, kun a G ja h H. Oletetaan seuraavaksi, että (ah)h = ah aina, kun a G ja h H. Tällöin täytyy osoittaa, että joukko P on luupin G ositus. Tämä osoitetaan näyttämällä, että kaikki määritelmän 1.19 ehdot pätevät. Olkoon X P, jolloin X = gh jollakin g G. Tällöin täytyy osoittaa, että X. Koska X = gh ja aliluupilla H on olemassa neutraalialkio e, niin g = ge gh, jolloin X. 18

20 Osoitetaan seuraavaksi, että G = X P X. Nyt jokaiselle g G pätee, että g = ge gh, jolloin G = X P X. Vielä on osoitettava, että kun X P, Y P ja X Y, niin X = Y. Oletetaan, että X Y, jolloin on olemassa g X Y. Täten g = ax = y, joillakin x, y H ja a, G. Oletuksen (ah)h = ah nojalla ah = (ax)h = (y)h = H, josta seuraa, että ah = H eli X = Y. Eli joukko P on luupin G ositus. Jotta todistus olisi täydellinen, täytyy vielä osoittaa, että joukolla G on aliluupin H oikeiden sivuluokkien hajotelma, jos ja vain jos H(ha) = Ha kaikilla a G ja h H. Oletetaan ensin, että joukolla G on aliluupin H oikeiden sivuluokkien hajotelma. Jää siis todistettavaksi, että H(ha) = Ha kaikilla a G ja h H. Nyt kaikkien aliluupin H oikeiden sivuluokkien määräämä joukko P on joukon G ositus ja joukossa H on olemassa neutraalialkio e, jolle pätee xe = ex = x kaikilla x H. Nyt jokaiselle alkiolle a G ja h H pätee ha = e(ha), joten ha Ha H(ha). Tästä seuraa, että Ha P, H(ha) P ja H(ha) Ha. Näin ollen määritelmän 1.19 nojalla H(ha) = Ha aina, kun a G ja h H. Oletetaan seuraavaksi, että H(ha) = Ha aina, kun a G ja h H. Täytyy siis osoittaa, että joukko P on luupin G ositus. Osoitetaan, että X. Oletetaan, että X P, jolloin X = Hg jollakin g G. Tällöin g = eg Hg, jolloin X. Osoitetaan sitten, että G = X P X. Nyt jokaiselle g G pätee, että g = eg Hg, jolloin G = X P X. Osoitetaan vielä, että kun X P, Y P ja X Y, niin X = Y. Oletetaan, että X Y, jolloin on olemassa g X Y. Täten g = xa = y, joillakin x, y H ja a, G. Tällöin Ha = H(xa) = H(y) = H, josta seuraa, että ah = H eli X = Y. Eli joukko P on luupin G ositus. Näin ollen koko lause 3.9 on todistettu. Esimerkki Olkoot G luuppi ja H luupin G aliluuppi. Osoitetaan ekvivalenssirelaatioiden avulla, että jos (ah)h = ah kaikilla a G ja h H, niin joukolla G on aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma. Riittää löytää sellainen ekvivalenssirelaatio R joukossa G, että ekvivalenssirelaation R ekvivalenssiluokka [a] = ah aina, kun a G, sillä lauseen 1.20 nojalla ekvivalenssiluokat ovat luupin G ositus, jolloin joukolla G on aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma. Määritellään joukon G relaatio siten, että joukon G alkio a on relaatiossa joukon G alkion kanssa eli ar, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus L 1 L a 19

21 on joukon H ijektio. Tarkastellaan, onko tämä relaatio ekvivalenssirelaatio käymällä läpi kaikki määritelmän 1.13 ehdot. Tutkitaan ensin, onko ara, kun a G. Täytyy siis tutkia onko yhdistetty kuvaus L 1 a L a ijektio joukossa H. Koska kuvaukset L a ja L 1 a ovat ijektioita, niin lauseen 1.9 perusteella yhdistetty kuvaus L 1 a L a on ijektio. Lauseen 1.8 nojalla L 1 a L a = I G. Täten yhdistetty kuvaus L 1 a L a on ijektio joukossa H, jolloin ara. Oletetaan seuraavaksi, että ar, jolloin L 1 L a on joukon H ijektio. Halutaan siis osoittaa, että tällöin Ra eli yhdistetty kuvaus L 1 a L on joukon H ijektio. Koska oletuksen mukaan yhdistetty kuvaus L 1 L a on ijektio joukossa H, niin sillä on olemassa käänteiskuvaus (L 1 L a ) 1 joukossa H. Lauseen 1.4 nojalla käänteiskuvaus (L 1 L a ) 1 on ijektio joukossa H. Käyttämällä lausetta 1.9 saadaan, että (L 1 L a ) 1 = L 1 a L. Näin ollen kuvaus L 1 a L on ijektio joukossa H eli Ra. Oletetaan nyt, että ar ja Rc eli L 1 L a ja L 1 c L ovat joukon H ijektioita. Tällöin on tarkoitus osoittaa, että arc eli toisin sanoen täytyy osoittaa, että L 1 c L a on joukon H ijektio. Nyt L 1 L a = L 1 L a ja L 1 c L = L 1 c L ja siten (L 1 c L ) (L 1 L a ) = L 1 c L (L 1 L a ) = L 1 c (L (L 1 L a )) = L 1 c ((L L 1 ) L a ) = L 1 c (I G L a ) = L 1 c L a = L 1 c L a Siten L 1 c L a on joukon H ijektio ja tällöin arc. On siis osoitettu, että relaatio ar, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus L 1 on joukon H ijektio, on ekvivalenssirelaatio joukossa G. Lähdetään tutkimaan seuraavaksi, millainen on alkion a G määräämä ekvivalenssiluokka. [a] = {x G xra} = {x G L 1 a L x on ijektio joukossa H} = {x G L 1 a L x () H aina, kun H} = {x G L 1 a (x) = h, missä h on yksikäsitteinen aliluupin H alkio} = {x G a\(x) = h, missä h on yksikäsitteinen aliluupin H alkio ja H} = {x G ah = x, missä h on yksikäsitteinen aliluupin H alkio ja H} = {x G ah = xh} = {x G x ah} = ah 20 L a

22 On siis muodostettu ekvivalenssirelaation R ekvivalenssiluokka [a] = ah. Lauseen 1.20 nojalla ekvivalenssirelaation R ekvivalenssiluokat [a] ovat luupin G ositus, eli joukolla G on vasempien sivuluokkien hajotelma. Määritelmä Olkoon G äärellinen luuppi ja H luupin G aliluuppi. Aliluuppi H on Lagrangen kaltainen (Lagrange-like), jos aliluupin H kertaluku H jakaa luupin G kertaluvun G. Määritelmä Olkoon G äärellinen luuppi. Luupilla G on heikko Lagrangen ominaisuus (weak Lagrange property), jos jokainen luupin G aliluuppi on Lagrangen kaltainen. Määritelmä Olkoon G äärellinen luuppi. Luupilla G on vahva Lagrangen ominaisuus (strong Lagrange property), jos aliluupilla H on heikko Lagrangen ominaisuus aina, kun H on luupin G aliluuppi. Eli toisin sanoen, aina kun H on luupin G aliluuppi, niin aliluupin H aliluupin K kertaluku K jakaa aliluupin H kertaluvun H. Esimerkki Olkoot G äärellinen luuppi, kertaluku G = 12 ja e luupin G neutraalialkio. Olkoot lisäksi luupin G ainoat aliluupit {e}, K ja H siten, että K on myös aliluupin H aliluuppi sekä H = 6 ja K = 4. Nyt huomataan, että sekä aliluupin H että aliluupin K kertaluku jakaa luupin G kertaluvun, mutta aliluupin K kertaluku ei jaa aliluupin H kertalukua. Näin ollen luupilla G on heikko Lagrangen ominaisuus, mutta ei vahvaa Lagrangen ominaisuutta. Lause Olkoot G äärellinen luuppi ja H luupin G aliluuppi. Jos luupilla G on aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma, niin aliluuppi H on Lagrangen kaltainen. Vastaavasti, jos luupilla G on aliluupin H oikeiden sivuluokkien hajotelma, niin aliluuppi H on Lagrangen kaltainen. Todistus. Todistetaan lause siinä tapauksessa, että luupilla G on aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma. Tapaus, jolloin luupilla G on aliluupin H oikeiden sivuluokkien hajotelma menee vastaavasti. Olkoot luupilla G aliluupin H vasempien sivuluokkien hajotelma ja olkoon P kaikkien aliluupin H vasempien sivuluokkien joukko. Täytyy siis osoittaa, että aliluuppi H on Lagrangen kaltainen eli aliluupin H kertaluku H jakaa luupin G kertaluvun G. Koska luupilla G on olemassa vasempien sivuluokkien hajotelma, niin määritelmän 3.8 mukaan P on luupin G ositus. Osituksen määritelmän mukaan X Y =, jos X Y, ja G = X P X. Tästä saadaan, että G = X. X P 21

23 Olkoon nyt X P, jolloin X = ah jollakin a G. Määritellään seuraavaksi kuvaus α : H ah siten, että α(h) = ah kaikilla h H. Osoitetaan, että kuvaus α on ijektio. Kuvauksen α surjektiivisuus seuraa suoraan vasemman sivuluokan määritelmästä, sillä jokaista alkion a G ja h H operaatiota ah kohtaan on olemassa alkio h siten, että α(h) = ah. Oletetaan nyt, että α(h 1 ) = α(h 2 ). Tällöin ah 1 = ah 2. Koska G on luuppi, niin lauseen 2.7 nojalla h 1 = h 2 eli kuvaus α on myös injektio. Kuvaus α on sekä surjektio että injektio, jolloin se on myös ijektio. Kuvauksen α ijektiivisyyden takia H = ah eli H = X. Tästä seuraa, että G = X = P H. X P Täten aliluupin H kertaluku H jakaa luupin G kertaluvun G. Siis aliluuppi H on Lagrangen kaltainen. Lause Olkoot G luuppi ja H luupin G aliluuppi. Jos (ah)h = ah kaikilla a G ja h H, niin aliluuppi H on Lagrangen kaltainen. Vastaavasti jos H(ha) = Ha kaikilla a G ja h H, niin aliluuppi H on Lagrangen kaltainen. Todistus. Lause seuraa suoraan lauseista 3.9 ja Määritelmä Olkoot G luuppi ja H luupin G aliluuppi. Olkoot lisäksi luupilla G aliluupin H vasempien ja oikeiden sivuluokkien hajotelma. Aliluuppia H kutsutaan normaaliksi aliluupiksi, jos xh = Hx, (xh)y = x(hy) ja x(yh) = (xy)h aina, kun x, y G. 22

24 4 Luupin ydin ja keskus Tässä luvussa tutustutaan luupin ytimeen N sekä luupin keskukseen Z. Luvussa osoitetaan, että ydin N ja keskus Z ovat luupin G aliryhmiä. Määritelmä 4.1. Olkoot G grupoidi ja a G. Alkio a on grupoidin G vasen ytimen alkio (left nuclear), jos L ax = L a L x kaikilla x G. Vastaavasti alkio a on grupoidin G keskimmäinen ytimen alkio (middle nuclear), jos L xa = L x L a. Lisäksi alkio a on grupoidin G vasen ytimen alkio (right nuclear), jos R xa = R a R x. Alkio a on grupoidin G ytimen alkio (nuclear), jos a on sekä vasen, keskimmäinen että oikea ytimen alkio. Määritelmä 4.2. Olkoon G grupoidi. Grupoidin G vasen ydin (left nucleus) N λ on kaikkien grupoidin G vasempien ytimen alkioiden joukko. Samoin grupoidin G keskimmäinen ydin (middle nucleus) N µ on kaikkien grupoidin G keskimmäisten ytimen alkioiden joukko. Vastaavasti grupoidin G oikea ydin (right nucleus) N ρ on kaikkien grupoidin G oikeiden ytimen alkioiden joukko. Lisäksi grupoidin G ydin (nucleus) N = N λ N µ N ρ. Nyt N λ = {a G L ax (y) = L a L x (y), x, y G} = {a G (ax)y = a(xy), x, y G}, N µ = {a G L xa (y) = L x L a (y), x, y G} = {a G (xa)y = x(ay), x, y G}, N ρ = {a G R xa (y) = R a R x (y), x, y G} = {a G y(xa) = (yx)a, x, y G}. Lause 4.3. Olkoon G grupoidi. Jos vasen ydin N λ on ei-tyhjä, niin N λ on grupoidin G aligrupoidi. Vastaavasti jos keskimmäinen ydin N µ on ei-tyhjä, niin N µ on grupoidin G aligrupoidi ja jos oikea ydin N ρ on ei-tyhjä, niin N ρ on grupoidin G aligrupoidi. Todistus. Todistetaan väite keskimmäisen ytimen tapauksessa. Kun kyseessä on vasen tai oikea ydin, niin todistus menee vastaavasti. Oletetaan, että N µ ja olkoon a, N µ. Koska a N µ, niin x(a) = (xa) kaikilla x G. Tällöin L x(a) = L (xa) = L xa L = L x L a L = L x L a 23

25 kaikilla x G. Täten määritelmän 4.1 nojalla alkio a on grupoidin G keskimmäisen ytimen alkio. Näin ollen alkio a N µ, jolloin N µ on grupoidin G aligrupoidi. Lause 4.4. Olkoon G luuppi. Tällöin ytimet N λ, N µ ja N ρ ovat luupin G aliryhmiä. Todistus. Olkoon e luupin G neutraalialkio. Osoitetaan, että e N λ N µ N ρ. Osoitetaan ensin, että e N λ. Olkoon x, y G. Koska e on luupin G neutraalialkio, niin e(xy) = xy = (ex)y. Näin ollen e on joukon N λ neutraalialkio. Osoitetaan sitten, että e N µ. Koska e on luupin G neutraalialkio, niin (xe)y = xy = x(ey) kaikilla x, y G. Eli e N µ. Osoitetaan vielä, että e N ρ. Olkoon x, y G. Tällöin (xy)e = xy = x(ye), jolloin e on joukon N ρ neutraalialkio. Saatiin siis osoitettua, että e N λ N µ N ρ. Osoitetaan seuraavaksi, että N µ on luupin G aliluuppi. Todistetaan se käyttämällä lausetta 3.2. Lauseen 4.3 nojalla (N µ, ) on grupoidi, joten riittää osoittaa, että (N µ, /) ja (N µ, \) ovat grupoideja. Olkoon N µ ja olkoot a ja c sellaisia luupin G yksikäsitteisiä alkioita, joille pätee a = c = e. Koska e on myös aligrupoidin N µ neutraalialkio, niin alkiolle N µ pätee a(a) = (a)a = ea = a = ae. Eli a(a) = ae, josta lauseen 2.7 supistamislain nojalla saadaan a = e. Toisaalta myös c = e, jolloin a = c. Käyttämällä lauseen 2.7 supistamislakeja saadaan, että a = c. Merkitään 1 = a = c. Nyt kaikilla N µ ja x G pätee ((x) 1 ) = (x( 1 )) = (xe) = x. Olkoon jokainen y G sellaista muotoa, että y = x. Tällöin (y 1 ) = y kaikilla y G. Huomataan, että y = (y 1 ) = (R 1(y)). Toisaalta (R 1 (y)) = (y/) = y eli (R 1(y)) = (R 1 (y). (y)), josta lauseen 2.7 supistamislakien nojalla saadaan R 1(y) = R 1 Vastaavasti ( 1 (x)) = (( 1 )x) = (ex) = x. Merkitään y = x, jolloin ( 1 y) = y. Nyt y = ( 1 y) = (L 1(y)) ja (L 1 (y)) = (\y) = y. Tällöin (L 1(y)) = (L 1 (y)), josta supistamislain nojalla saadaan, että L 1(y) = L 1 (y) kaikilla N µ ja y G. Osoitetaan, että käänteisalkio 1 N µ. Nyt y = ( 1 y). Operoidaan yhtälöä puolittain alkiolla x 1 vasemmalta puolelta, jolloin saadaan (x 1 )y = (x 1 )(( 1 y)). Koska N µ, niin (x 1 )y = ((x 1 ))( 1 y). Nyt (x 1 ) = x, joten yhtälö saadaan muotoon (x 1 )y = x( 1 y). Näin ollen 1 N µ. Olkoon nyt, c N µ. Nyt c/ = R 1 (c) = R 1(c) = c 1 ja \c = L 1 (c) = L 1(c) = 1 c. Koska 1 N µ, niin lauseen 4.3 nojalla c 1 N µ 24

26 ja 1 c N µ, jolloin myös c/ N µ ja \c N µ. Lauseen 4.3 mukaan N µ on grupoidi, joten aina, kun c, N µ, niin c N µ. Eli (N µ, ), (N µ, /) ja (N µ, \) ovat grupoideja. Lauseen 3.2 nojalla N µ on luupin G aliluuppi. Koska N µ on assosiatiivinen, niin lauseen 2.8 nojalla N µ on myös luupin G aliryhmä. Aligrupoidien N λ ja N ρ todistaminen luupin G aliryhmiksi menee vastaavasti kuin ytimen N µ tapauksessa. Määritelmä 4.5. Olkoon G grupoidi. Joukko Z = {a N L a = R a }, missä N on joukon G ydin, on grupoidin G keskus. Lause 4.6. Olkoon G grupoidi, jolla on ydin N ja keskus Z. Jos ydin N ja keskus Z ovat ei-tyhjiä, niin ne molemmat ovat joukon G aligrupoideja. Lisäksi keskus Z on ytimen N kommutatiivinen aligrupoidi. Todistus. Oletetaan, että N, Z. Osoitetaan ensin, että N on grupoidin G aligrupoidi. Nyt N = N λ N µ N ρ. Olkoon a, N eli a, N λ N µ N ρ. Tällöin a, N λ, a, N µ ja a, N ρ. Lauseen 4.3 nojalla N λ, N µ ja N ρ ovat grupoidin G aligrupoideja, joten tällöin a N λ, a N µ ja a N ρ. Eli a N λ N µ N ρ = N. Näin ollen myös N on luupin G aligrupoidi. Osoitetaan seuraavaksi, että keskus Z on grupoidin G aligrupoidi ja ytimen N kommutatiivinen aligrupoidi. Määritelmän 4.5 mukaan alkio a G on keskuksen Z alkio, jos sille pätee a(xy) = (ax)y, (xa)y = x(ay), (xy)a = x(ya) ja ax = xa kaikilla x, y G. Nyt siis nähdään, että Z on joukon N osajoukko. Koska Z N ja N on grupoidin G aligrupoidi, tarvitsee enää osoittaa, että alkioille a, Z pätee L a (x) = R a (x) eli (a)x = x(a) kaikilla x G. Olkoon a, Z. Tällöin L a (x) = (a)x = a(x) = a(x) = (ax) = (xa) = x(a) = R a (x). Näin ollen Z on grupoidi, eli se on grupoidin G aligrupoidi. Keskuksen määritelmän mukaan L x (y) = xy = yx = R x (y) aina, kun x, y N, joten määritelmän 2.4 mukaan Z on kommutatiivinen grupoidi. Koska Z N, niin keskus Z on ytimen N kommutatiivinen aligrupoidi. Lause 4.7. Olkoon G luuppi, jolla on ydin N ja keskus Z. Tällöin ydin N ja keskus Z ovat luupin G aliryhmiä. Lisäksi Z on ytimen N kommutatiivinen aliryhmä. Todistus. Osoitetaan ensin, että ydin N on luupin G aliryhmä. Nyt lauseen 4.4 mukaan ytimet N λ, N µ ja N ρ ovat luupin G aliryhmiä. Koska ytimet N λ, N µ ja N ρ ovat aliryhmiä, ne ovat myös luupin G aliluuppeja. Lauseen

27 nojalla tällöin myös leikkaus N = N λ N µ N ρ on luupin G aliluuppi. Koska leikkaus N on assosiatiivinen, niin se on luupin G aliryhmä. Osoitetaan, että keskus Z on luupin G aliryhmä näyttämällä, että lauseen 1.24 ehdot toteutuvat. Koska ydin N on luupin G aliryhmä ja Z N, niin riittää osoittaa, että kun a, Z, niin (a)x = x(a) ja kun a Z, niin käänteisalkiolle a 1 N pätee a 1 x = xa 1 kaikilla x G, jolloin a 1 Z. Edellisessä lauseessa osoitettiin, että kun a, Z, niin (a)x = x(a) kaikilla x G. Osoitetaan sitten, että a 1 x = xa 1. Olkoon a Z ja a 1 N. Tällöin a 1 x = a 1 (xe) = a 1 (x(aa 1 )) = a 1 ((xa)a 1 ) = a 1 ((ax)a 1 ) = a 1 (a(xa 1 )) = (a 1 a)(xa 1 ) = xa 1 kaikilla x G. Todistuksessa on hyödynnetty sitä, että a Z ja a 1 N. Lause 4.8. Olkoon G luuppi. Luupin G keskus Z on luupin G normaali aliluuppi. Todistus. Lauseen 4.7 nojalla keskus Z on luupin G aliryhmä. Tällöin keskus Z on myös luupin G aliluuppi. Osoitetaan vielä, että keskus Z on normaali aliluuppi näyttämällä, että määritelmän 3.17 ehdot toteutuvat. Täytyy siis osoittaa, että xz = Zx, (xz)y = x(zy) ja x(yz) = (xy)z aina, kun x, y G. Määritelmän 4.5 mukaan alkio h on keskuksen Z alkio, jos sille pätee h(xy) = (hx)y, (xh)y = x(hy), (xy)h = x(yh) ja xh = hx kaikilla x, y G. Näin ollen kaikille h Z pätee xh = hx, (xh)y = x(hy) ja x(yh) = (xy)h eli xz = Zx, (xz)y = x(zy) ja x(yz) = (xy)z. Joten keskus Z on määritelmän 3.17 nojalla luupin G normaali aliluuppi. 26

28 5 Käänteisominaisuus Tässä luvussa käsitellään luupin vasempia ja oikeita käänteisalkioita sekä määritellään luupin käänteisominaisuus. Lisäksi luvussa määritellään luuppien erikoistapauksia ja esitellään niihin liittyviä tuloksia. Määritelmä 5.1. Olkoot G luuppi ja a G. Alkion a oikea käänteisalkio (right inverse) on sellainen alkio a ρ G, että aa ρ = e, missä e on luupin G neutraalialkio. Vastaavasti alkion a vasen käänteisalkio (left inverse) on sellainen alkio a λ G, että a λ a = e. Lause 5.2. Olkoon G luuppi ja olkoon e luupin G neutraalialkio. Jokaisella alkiolla a G on olemassa yksikäsitteinen vasen käänteisalkio a λ ja yksikäsitteinen oikea käänteisalkio a ρ, joille pätee a λ a = aa ρ = e. Todistus. Olkoot a G ja e luupin G neutraalialkio. Määritelmän 2.2 nojalla on olemassa sellaiset alkiot a λ ja a ρ, että a λ a = e ja aa ρ = e. Koska a, e G, niin määritelmän 2.2 perusteella a λ G ja a ρ G. Lause 5.3. Olkoon G luuppi. Jokaisella luupin G alkiolla a on olemassa eri käänteisalkio, sekä vasen, että oikea. Eli jos a, G ja a, niin a λ λ ja a ρ ρ. Todistus. Osoitetaan väite ensin oikeille käänteisalkioille. Oletetaan, että alkiot a, G ja a. Koska a G niin myös a ρ G. Oletetaan, että kahdella eri alkiolla a, G on sama oikea käänteisalkio a ρ eli aa ρ = a ρ = e. Tällöin voidaan käyttää lauseen 2.7 supistuslakeja, jolloin saadaan a =. Tulos on ristiriidassa oletuksen kanssa, joten jos a, G ja a, niin a ρ ρ. Väite todistetaan vastaavasti myös vasemmille käänteisalkioille. Oletetaan, että a, G ja a, jolloin a λ G. Oletetaan, että a λ a = a λ = e kaikilla a, G. Tällöin lauseen 2.7 nojalla a =, joka on ristiriidassa oletuksen kanssa. Näin ollen, jos a, G ja a, niin a λ λ. Määritelmä 5.4. Olkoon G luuppi. Luupilla G on vasen käänteisominaisuus (left inverse property), jos on olemassa joukon G ijektiivinen kuvaus J λ : a a λ siten, että a λ (ax) = x kaikilla x G. Tällaista luuppia kutsutaan L.I.P. -luupiksi. Vastaavasti luupilla G on oikea käänteisominaisuus (right inverse property), jos on olemassa joukon G ijektiivinen kuvaus J ρ : a a ρ siten, että (xa)a ρ = x kaikilla x G. Tällaista luuppia kutsutaan R.I.P. -luupiksi. Sellaisella luupilla, jolla on sekä vasen että oikea käänteisominaisuus, on käänteisominaisuus (inverse property). Tällaista luuppia sanotaan I.P. -luupiksi. 27

29 Lause 5.5. Jos G on L.I.P. -luuppi tai R.I.P. -luuppi, niin a λ = a ρ = a 1, missä aa 1 = a 1 a = e ja e on luupin G neutraalialkio. Todistus. Olkoon G L.I.P. -luuppi eli luuppi, jolla on vasen käänteisominaisuus ja jonka neutraalialkio on e. Tällöin aa ρ = e, a λ a = e ja a λ (aa ρ ) = a ρ. Toisaalta a λ (aa ρ ) = a λ e = a λ. Siis a λ = a ρ = a 1. Olkoon sitten G R.I.P. -luuppi eli luuppi, jolla on oikea käänteisominaisuus ja jonka neutraalialkio on e. Nyt (a λ a)a ρ = a λ ja (a λ a)a ρ = ea ρ = a ρ, jolloin a ρ = a λ = a 1. On siis osoitettu, että jos G on L.I.P. -luuppi tai R.I.P. -luuppi, niin a λ = a ρ = a 1. Lause 5.6. Olkoon G I.P. -luuppi ja a, G. Tällöin (a) 1 = 1 a 1. Todistus. Olkoon a = c, missä a, G. Koska a,, c G, niin myös a 1, 1, c 1 G. Operoidaan yhtälöä a = c oikealta alkiolla 1, jolloin saadaan (a) 1 = c 1. Koska G on I.P. -luuppi, niin a = c 1. Operoidaan tätä yhtälöä vasemmalta puolelta alkiolla c 1. Nyt c 1 a = c 1 (c 1 ) eli c 1 a = 1. Operoidaan saatua yhtälöä oikealta alkiolla a 1. Tällöin 1 a 1 = (c 1 a)a 1, josta saadaan c 1 = 1 a 1. Aluksi määriteltiin, että c = a, jolloin c 1 = (a) 1. Näin ollen (a) 1 = 1 a 1. Lause 5.7. Olkoot G I.P. -luuppi ja a G. Tällöin (a 1 ) 1 = a. Todistus. Olkoon a G. Koska G on I.P. -luuppi, niin (a 1 ) 1 (a 1 (ax)) = ax. Toisaalta a 1 (ax) = x, jolloin (a 1 ) 1 x = ax. Käyttämällä lauseen 2.7 supistamislakeja saadaan (a 1 ) 1 = a. Lause 5.8. Olkoon luuppi G I.P. -luuppi, eli luuppi, jolla on sekä vasen että oikea käänteisominaisuus. Tällöin ytimille N λ, N ρ ja N µ pätee N λ = N ρ = N µ = N. Todistus. Olkoon N λ, N ρ ja N µ I.P. -luupin G ytimiä. Osoitetaan ensin, että N λ = N ρ. Olkoon l N λ ja r N ρ. Tällöin täytyy osoittaa, että l N ρ ja r N λ. Koska l N λ ja N λ on ryhmä, niin myös käänteisalkio l 1 N λ ja l 1 ( 1 a 1 ) = (l 1 1 )a 1 kaikilla a, G. Ottamalla puolittain käänteisalkio saadaan l 1 ( 1 a 1 ) = (l 1 1 )a 1 eli eli eli (l 1 ( 1 a 1 )) 1 = ((l 1 1 )a 1 ) 1 ( 1 a 1 ) 1 l = a(l 1 1 ) 1 (a)l = a(l). 28

30 Näin ollen l N ρ. Osoitetaan seuraavaksi, että kun r N ρ, niin saadaan r N λ. Olkoon r N ρ, jolloin myös r 1 N ρ ja a 1 ( 1 r 1 ) = (a 1 1 )r 1 kaikilla a, G. Nyt a 1 ( 1 r 1 ) = (a 1 1 )r 1 eli eli eli (a 1 ( 1 r 1 )) 1 = ((a 1 1 )r 1 ) 1 ( 1 r 1 ) 1 a = r(a 1 1 ) 1 (r)a = r(a). Näin ollen r N λ. On siis osoitettu, että kun l N λ ja r N ρ, niin l N ρ ja r N λ eli N ρ = N λ. Osoitetaan seuraavaksi, että N λ = N µ. Olkoon l N λ ja m N µ. Tällöin täytyy osoittaa, että l N µ ja m N λ kaikilla x G. Koska G on I.P. -luuppi, niin a 1 (ax) = x eli L a 1L a (x) = x kaikilla a, x G. Toisaalta L 1 a L a (x) = x kaikilla a, x G. Siis L a 1L a (x) = L 1 a L a (x) kaikilla x G. Tällöin L a 1(y) = L 1 a (y) kaikilla y G eli L a 1 = L 1 a kaikilla a G. Olkoon m N µ, jolloin myös m 1 N µ. Tällöin kaikilla x, y G pätee: eli eli eli eli eli (x 1 m 1 )y = x 1 (m 1 y) L x 1 m 1(y) = L x 1L m 1(y) L 1 x 1 m (y) = L 1 1 m L 1 1 x (y) 1 L (x 1 m 1 ) 1(y) = L (m 1 ) 1L (x 1 ) 1(y) L mx (y) = L m L x (y) (mx)y = m(xy). Näin ollen m N λ. Osoitetaan seuraavaksi, että kun l N λ, niin l N µ. Olkoon siis l N λ, jolloin myös l 1 N λ. Tällöin kaikille x, y G pätee: eli eli eli eli eli (l 1 x 1 )y = l 1 (x 1 y) L l 1 x 1(y) = L l 1L x 1(y) L (xl) 1(y) = L l 1L x 1(y) L 1 xl (y) = L 1 l x L xl (y) = L x L l (y) L 1 (xl)y = x(ly). Näin ollen l N µ. On siis osoitettu, että kun l N λ ja m N µ, niin l N µ ja m N λ eli N µ = N λ. 29 (y)

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Tekijäryhmät ja homomorsmit

Tekijäryhmät ja homomorsmit Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa

Ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Pro gradu -tutkielma Kari Kostama Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Kahden alkion laskutoimitus

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Funktioista. Esimerkki 1

Funktioista. Esimerkki 1 Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa

Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot