TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016"

Viljo Kyllönen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016

2 Sisällys

3 a tiea241/2016/videoiden%20hakemisto

4 Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta matemaattiset tekstit palautetaan harjoitustehtäväpalautuksessa pääsääntöisesti PDF-muodossa voit laatia PDF:n miten ja millä haluat suosittelen L A TEXin käyttöä LATEX ei kuulu kurssin koealueeseen eikä sitä varsinaisesti tällä kurssilla opeteta hyvää luettavaa

5 ja ratkeavuus Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos siinä tulee luokitella syötteitä kahteen luokkaan ( kyllä ja ei ). Päätösongelma on ratkeava (engl. decidable), jos voidaan kirjoittaa tietokoneohjelma, joka (jos koneessa on tarpeeksi muistia), vastaa jokaiselle syötteelle oikein ( kyllä tai ei ).

6 Pysähtymisongelma 1 Engl. halting problem Onko seuraava päätösongelma ratkeava? On annettu tietokoneohjelma ja sille annettava syöte. Pysähtyykö kyseinen tietokoneohjelma kyseisellä syötteellä? 1 Ks myös

7 Joukko ja luokka Joukkoja ja luokkia 2 pidetään modernin matematiikan (ja tietojenkäsittelyteorian) pohjakäsitteenä. Luokka (engl. class) on abstrakti käsite, jonka ainoa ominaisuus on, että sillä on alkioita (engl. elements, members). Jos a on mitä vain ja C on luokka, niin voidaan kirjoittaa a C (luetaan a kuuluu C:hen ) Jos C on luokka, niin a C on aina joko tosi tai epätosi, ei koskaan mitään muuta eikä myöskään koskaan molempia yhtä aikaa. Joukko (engl. set) on luokka, joka kuuluu ainakin yhteen luokkaan. Kaikki käytännössä vastaan tulevat luokat ovat joukkoja. 2 Älä sekoita olio-ohjelmoinnin luokkakäsitteeseen.

8 Tunnettuja joukkoja on tyhjä joukko, jossa ei ole lainkaan alkioita N sisältää kaikki luonnolliset luvut (0, 1, 2,... ) Z sisältää kaikki kokonaisluvut (..., 2, 1, 0, 1, 2,...) Z + sisältää kaikki positiiviset kokonaisluvut (1, 2,... ) Q sisältää kaikki rationaaliluvut (luvut, jotka saadaan jakamalla kokonaisluku kokonaisluvulla) R sisältää kaikki reaaliluvut

9 Väitteet Mikä vain, joka on (kun kaikille muuttujille on annettu yksiselitteinen arvo) yksiselitteisesti joko tosi tai epätosi, on väite (engl. proposition). Jos C on luokka ja a on mitä vain, niin a C on väite (ns. atomaarinen väite). Väitteitä voidaan yhdistellä konnektiiveilla: on negaatio, luetaan ei on konjunktio, luetaan ja on (inklusiivinen) disjunktio, luetaan tai on (materiaalinen) implikaatio, luetaan jos niin on (materiaalinen) ekvivalenssi eli bikonditionaali, luetaan jos ja vain jos tai joss (engl. iff )

10 Totuustaulu P Q P Q P Q P Q P Q P t t t t t t e e e t e e e t e t t e t e e e t t

11 Kvanttorit Jos x on muuttuja ja P on väite (jonka totuusarvo mahdollisesti riippuu x:n arvosta), niin x: P on väite, joka on tosi mikäli P on tosi millä tahansa x:n arvolla (universaalikvanttori) x: P on väite, joka on tosi mikäli P on tosi ainakin yhdellä x:n arvolla (eksistentiaalikvanttori) Lyhennysmerkintöjä: x C: P on sama kuin x: x C P x C: P on sama kuin x: x C P x, y: P on sama kuin x: y: P x, y: P on sama kuin x: y: P ym. (olennaista on tulla ymmärretyksi)

12 Komprehensio Olkoon x muuttuja ja P väite (jonka totuusarvo mahdollisesti riippuu x:n arvosta). Tällöin { x P } (luokkakomprehensio) on kaikkien sellaisten x luokka, jotka kuuluvat johonkin luokkaan ja joille pätee P. Lyhennysmerkintä: { x S P } on sama kuin { x x S P }. Huomioita: { x P } ei välttämättä ole joukko. Jos S on joukko, niin { x S P } on myös joukko.

13 Osajoukot, potenssijoukko Määritellään C D x: x C x D. Olkoon nyt S joukko. Jos C on luokka ja C S, niin C on joukko (S:n osajoukko, engl. subset). Määritellään P(S) = { x x on joukko x S }. P(S) on joukko (S:n potenssijoukko, engl. power set).

14 Joukko-operaatioita Olkoot S ja T joukkoja. Tällöin seuraavat luokat ovat joukkoja: Merkintä Määritelmä Nimi S T { x x S x T } yhdiste S T { x x S x T } leikkaus S \ T { x x S x T } joukkoerotus

15 Joukkojen määrittely luetteloimalla Äärellinen joukko voidaan määritellä luetteloimalla sen alkiot aaltosulkeissa, esim. {1, 2, 3}. järjestyksellä ei ole väliä ei ole merkitystä, kuinka monta kertaa sama alkio mainitaan (kunhan mainitaan) Jos n, m Z ja l Z + niin {n,..., m} = { k Z n k m } {n, n + l,..., m} = { n + kl k N n n + kl m } {n,...} = { k Z n k } {n, n + l,...} = { n + kl k N n n + kl } ym. (olennaista on tulla ymmärretyksi)

16 Todistamisesta 1. Tunnista todistettavan lauseen oletukset ja väite. Usein: Olkoon oletukset. Tällöin väite. Oletuksina voi aina käyttää myös kaikkea, mikä on aiemmin todistettu. 2. Koeta johtaa aukoton päättelyketju oletuksista väitteeseen. Päättelyn tulee olla deduktiivinen: johtopäätöksen tulee päteä aina kuin oletukset pätevät. 3. Esitä päättelyketju selkeällä suomen kielellä niin, että päättelyn looginen rakenne on esityksestä helposti luettavissa.

17 Suoria päättelystrategioita Osa 1 oletukseen vetoaminen: voit aina vedota oletuksiin ja aiemmin todistettuihin teoreemoihin lemmaan vetoaminen: muotoile hankala todistusaskel apulauseeksi eli lemmaksi, jonka todistat erikseen tapauksittainen päättely Jaa väite useaan eri tapaukseen, jotka yhdessä kattavat koko väitteen. Todista jokainen tapaus erikseen.

18 Suoria päättelystrategioita Osa 2 väitteen uudelleen muotoilu: kirjoita väite toiseen mutta samaa tarkoittavaan muotoon, johon muita strategioita on helpompi soveltaa väitteen yleistys Valitse jokin todistettavaa väitettä P yleisempi väite Q Riittää osoittaa, että Q. Tarvittaessa on osoitettava, että Q todella on P:tä yleisempi. Osoita, että Q seuraa oletuksista.

19 Suoria päättelystrategioita Osa 3 päättely mielivaltaisella alkiolla Toimii, jos väite on muotoa x S: P(x) Aloita todistus sanomalla Olkoon x S mielivaltainen. Päättele niin kuin parhaaksi näet, että P(x) pätee tällä mielivaltaisella alkiolla. Voit käyttää x:ää kuten mitä tahansa S:n alkiota. Päättelysi pitää olla pätevä, jos x korvataan millä vain S:n alkiolla! konstruktiivinen päättely Toimii jos väite on muotoa x S: P(x). Anna konkreettinen esimerkki S:n alkiosta, jolle P pätee.

20 Ristiriitatodistus 1. Tee vastaoletus, että väite on epätosi. 2. Johda vastaoletuksesta ristiriita. Voit monessa tapauksessa johtaa konstruktiivisella päättelyllä vastaesimerkin. 3. Päättele tästä, että väite on tosi.

21 Tämän pidemmälle ei keretty. Jatketaan aiheesta maanantaina.

Samankaltaiset tiedostot

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen