Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet"

Transkriptio

1 TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa, joka riittää suurelle osalle perusmatematiikkaa. Erityisesti todennäköisyyslaskennassa sovellettavaa joukko-opin osaa käsitellään liitteen kolmessa ensimmäisessä kappaleessa sekä kolmessa viimeisessä kappaleessa Joukko-oppi >> TKK () Ilkka Mellin (2004) 3 TKK () Ilkka Mellin (2004) 4 Mitä opimme? 1/2 vainsanat ksiomaattinen joukko-oppi lkio Joukko Joukkojen samuus Joukkoon kuuluminen Joukko-opin paradoksit Joukko-opin relaatiot Joukko-oppi Joukon määritteleminen Lukujoukot Naiivi joukko-oppi Numeroituva joukko Osajoukko Perusjoukko Tyhjä joukko Venn-diagrammi Ylinumeroituva joukko Äärellinen joukko Ääretön joukko Tarkastelemme tässä kappaleessa joukko-opin peruskäsitteitä ja -relaatioita ns. naiivin joukko-opin muodostamassa kehikossa. ovat joukon ja sen alkioiden käsitteet. Joukko-opissa on kaksi perusrelaatioita: (i) Joukon ja sen alkioiden välinen relaatio on kuulua joukkoon. (ii) Joukkojen välinen relaatio on olla osajoukko. TKK () Ilkka Mellin (2004) 5 TKK () Ilkka Mellin (2004) 6

2 TKK () Ilkka Mellin (2004) 7 Mitä opimme? 2/2 Joukko ja sen alkiot 1/2 Opimme, että joukkoja ja niiden välisiä operaatioita on aina tarkasteltava jonkin hyvin määritellyn perusjoukon osajoukkoina. Siten perusjoukko muodostaa kehikon, jossa joukko-opin perusrelaatioita ja -operaatioita tarkastellaan. Näemme myös kuinka joukko-opin relaatioita ja operaatioita voidaan havainnollistaa Venn-diagrammien avulla. Joukko on kokoelma olioita, joita kutsutaan joukon alkioiksi. Joukkoja merkitään tavallisesti isoilla kirjaimilla, B,, S,, X, ja joukon alkioita pienillä kirjaimilla a, b,, s,, x, Joukko on hyvin määritelty, jos jokaisesta oliosta s voidaan sanoa onko se joukon alkio vai ei. Joukko on hyvin määritelty, jos sen alkiot tunnetaan. TKK () Ilkka Mellin (2004) 8 Joukko ja sen alkiot 2/2 Joukon määritteleminen Merkitään joukon ja sen alkioiden välistä relaatiota seuraavasti: s ja sanotaan: s on joukon alkio tai s kuuluu joukkoon Vastaavasti merkitään sitä, että s ei ole joukon alkio eli s ei kuulu joukkoon seuraavasti: s Joukko määritellään tavallisesti kuvailemalla sen alkioiden ominaisuudet. Joukon alkioiden ominaisuudet määrittelevä lause kirjoitetaan tavallisesti lainausmerkkien väliin: = Joukon alkioiden ominaisuudet määrittelevä lause TKK () Ilkka Mellin (2004) 9 TKK () Ilkka Mellin (2004) 10 Joukon määritteleminen: Esimerkkejä Määritellään seuraavat joukot: = Kansanedustajien joukko B = Teknilliseen korkeakouluun vuonna 2002 hyväksyttyjen uusien opiskelijoiden joukko C = Rahanheiton tulosvaihtoehtojen joukko D = Lottoarvonnan tulosvaihtoehtojen joukko E = Yhtälön sin(x) = 0 ratkaisujen joukko, kun x on reaaliluku F = Yhtälön x 2 = 1 ratkaisujen joukko, kun x on kompleksiluku Joukon määritteleminen ehtolauseiden avulla Joukon alkioiden ominaisuudet kuvaillaan tavallisesti antamalla ehto, joka alkioiden on toteutettava. Oletetaan, että olio s on joukon alkio eli s, jos oliota s koskeva ehtolause P() s on tosi. Tällöin joukko voidaan määritellä kirjoittamalla = s P() s { } TKK () Ilkka Mellin (2004) 11 TKK () Ilkka Mellin (2004) 12

3 TKK () Ilkka Mellin (2004) 13 Joukon määritteleminen ehtolauseiden avulla: Esimerkki 1/2 Olkoon niiden reaalilukuparien (x, y) joukko, jotka toteuttavat ehdon 2 2 x + y = 1 Joukko on siis origokeskisen yksikkösäteisen ympyrän kehän pisteiden joukko tasossa. Joukko voidaan määritellä kirjoittamalla 2 2 = { ( x, y ) x, y, x + y = 1 } jossa on reaalilukujen joukko. Joukon määritteleminen ehtolauseiden avulla: Esimerkki 2/2 Esimerkiksi lukupari 3 4, (, ),, 2 2 = x y x y x + y = koska 2 2 { } = + = Sen sijaan lukupari 1,1 = ( x, y) x, y, x 2 + y 2 = 1 koska = 1+ 1= 2 1 ( ) { } TKK () Ilkka Mellin (2004) 14 Äärelliset joukot Jos joukko on äärellinen, se voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot. Olkoot joukon alkiot s 1, s 2,, s n, jolloin siis s 1, s 2,, s n Joukko voidaan määritellä kirjoittamalla = {s 1, s 2,, s n } Äärelliset joukot: Esimerkkejä Olkoon rahanheiton tulosvaihtoehtojen joukko. Rahanheiton tuloksena on joko Kruuna tai Klaava. Joukko voidaan määritellä kirjoittamalla = {Kruuna, Klaava} Olkoon B nopanheiton tulosvaihtoehtojen joukko. Nopanheiton tuloksena on jokin silmäluvuista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Joukko B voidaan määritellä kirjoittamalla B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} TKK () Ilkka Mellin (2004) 15 TKK () Ilkka Mellin (2004) 16 Numeroituvasti äärettömät joukot 1/2 Numeroituvasti äärettömät joukot 2/2 Jos joukon alkiot voidaan järjestää jonoon, joukkoa sanotaan numeroituvaksi. Äärelliset joukot ovat aina numeroituvia. Äärettömiä numeroituvia joukkoja kutsutaan numeroituvasti äärettömiksi. Esimerkkejä: Voidaan osoittaa, että luonnollisten lukujen joukko, kokonaislukujen joukko ja rationaalilukujen joukko ovat kaikki numeroituvasti äärettömiä ja siten yhtä mahtavia. Numeroituvasti äärettömät joukot määritellään usein luettelemalla joukon alkioiden muodostamasta jonosta muutama ensimmäisen alkio. Esimerkkejä: {1, 2, 3, } = positiivisten kokonaislukujen eli luonnollisten lukujen joukko {1, 3, 5, } = parittomien positiivisten kokonaislukujen joukko {2, 4, 6, } = parillisten positiivisten kokonaislukujen joukko TKK () Ilkka Mellin (2004) 17 TKK () Ilkka Mellin (2004) 18

4 TKK () Ilkka Mellin (2004) 19 Ylinumeroituvat joukot Jos joukko on ääretön ja sen alkioita ei voida järjestää jonoon, joukkoa sanotaan ylinumeroituvaksi. Esimerkki: Voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva ja siten mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko. Joukon käsite ja sen määritteleminen: Kommentteja Tässä esityksessä joukko on määritelty kokoelmana joukon alkioiksi sanottuja olioita. Tämä naiivin joukko-opin määritelmä joukolle ei ole matemaattisesti täsmällinen, koska se on kehämääritelmä: Kokoelma Joukko Joukon käsitteen epätäsmällisestä määritelmästä seuraa se, että naiivissa joukko-opissa on mahdollista määritellä joukkoja, joilla on ristiriitaisia ominaisuuksia. TKK () Ilkka Mellin (2004) 20 Joukko-opin paradoksit 1/2 Joukko-opin paradoksit 2/2 Joukot eivät ole yleensä itsensä alkioita. Olkoon Z kaikkien niiden joukkojen joukko, jotka eivät ole itsensä alkiota: Z = { X X X} Kysymys: Onko joukko Z itsensä alkio vai ei? Kysymykseen voidaan antaa kaksi vastausta, joihin kumpaankin sisältyy ristiriita: (i) Jos Zonjoukon Z alkio, Z ei kuuluu joukkoon Z joukon Z määritelmän mukaan. (ii) Jos Z ei ole joukon Z alkio, Z kuuluu joukkoon Z joukon Z määritelmän mukaan. Joukon Z määritelmästä johdettua ristiriitaa kutsutaan Russellin paradoksiksi. Naiivissa joukko-opissa voidaan johtaa useita erilaisia paradokseja. Paradoksit perustuvat siihen, että naiivissa joukko-opissa voidaan määritellä joukkoja, joilla on ristiriitaisia ominaisuuksia. Tämä merkitsee sitä, että naiivi joukko-oppi suhtautuu liian vapaamielisesti joukkojen määrittelemiseen. Paradokseja ei synny, jos ristiriitaisilla ominaisuuksilla varustettujen joukkojen määritteleminen estetään. Ristiriitaisilla ominaisuuksilla varustettujen joukkojen määritteleminen saadaan estetyksi kehittämällä joukko-oppi aksiomaattiseksi järjestelmäksi. TKK () Ilkka Mellin (2004) 21 TKK () Ilkka Mellin (2004) 22 Naiivi vs aksiomaattinen joukko-oppi Joukkojen samuus Naiivin joukko-opin ongelmat voidaan välttää kehittämällä joukko-oppi aksiomaattiseksi järjestelmäksi. Naiivi joukko-oppi riittää kuitenkin perustaksi kaikissa joukko-opin tavanomaisissa sovelluksissa ja siksi tässä esityksessä ei käytetä aksiomaattista esitystapaa. Joukot ovat samat, jos niillä on samat alkiot. Siten joukot ja B ovat samat, jos jokaiselle oliolle s pätee: s s B Merkitään sitä, että joukot ja B ovat samat seuraavasti: = B TKK () Ilkka Mellin (2004) 23 TKK () Ilkka Mellin (2004) 24

5 TKK () Ilkka Mellin (2004) 25 Joukkojen samuus: Esimerkki Olkoon yhtälön x 2 = 4 ratkaisujen joukko reaalilukujen joukossa : 2 = { x x = 4} Olkoon B = { 2, +2} Tällöin = B Osajoukot Joukko B on joukon osajoukko eli joukko B sisältyy joukkoon, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon eli s B s Merkitään sitä, että joukko B on joukon osajoukko seuraavasti: B tai B TKK () Ilkka Mellin (2004) 26 Osajoukko-relaatio idot osajoukot Olla osajoukko on kahden joukon välinen relaatio. Jos joukko B ei olejoukon osajoukko, merkitään B Tällöin joukossa B on ainakin yksi alkio, joka ei kuulu joukkoon. Jos ja B ovat kaksi mielivaltaista joukkoa, kummankaan ei tarvitse olla toisen osajoukko. Joukko B on joukon aito osajoukko, jos B mutta B Tällöin jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon, mutta joukossa on ainakin yksi alkio, joka ei kuulu joukkoon B. TKK () Ilkka Mellin (2004) 27 TKK () Ilkka Mellin (2004) 28 Tyhjä joukko Perusjoukko Joukko on tyhjä, jos siihen ei kuulu yhtään alkiota. Merkitään tyhjää joukkoa symbolilla Jos joukko on tyhjä, ei ole olemassa yhtään oliota s, jolle s Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko eli mielivaltaiselle joukolle pätee: Sekaannuksien välttämiseksi joukkoja sekä niiden välisiä relaatioita ja operaatioita on aina syytä tarkastella hyvin määritellyssä perusjoukossa. Merkitsemme perusjoukkoa usein kirjaimella S Tällöin kaikille tarkasteltaville joukoille, B, pitää päteä: S, B S, TKK () Ilkka Mellin (2004) 29 TKK () Ilkka Mellin (2004) 30

6 TKK () Ilkka Mellin (2004) 31 Perusjoukon määrittelemisen merkitys: Esimerkki Venn-diagrammit Perusjoukon eksplisiittinen tai implisiittinen määritteleminen on sekaannuksien välttämiseksi välttämätöntä. Jos kirjoitetaan 2 = { x x = 1} ei voida olla varmoja siitä, mikä joukko on. Jos kirjoitetaan 2 { } 2 { } B= x x = 1, jossa on reaalilukujen joukko C = x x = 1, jossa on kompleksilukujen joukko tiedetään, että B = ja C = { i, + i}, jossa i = 1 Joukko-opin operaatioita ja laskusääntöjä voidaan havainnollistaa ns. Venndiagrammien avulla. Olkoon tarkasteltava joukko perusjoukon S osajoukko. Perusjoukkoa S kuvataan suorakaiteella. Joukkoa S kuvataan suorakaiteen osa-alueella. Tavallisesti tarkasteltava joukko varjostetaan. S TKK () Ilkka Mellin (2004) 32 Venn-diagrammit: Kommentteja Venn-diagrammit: Kuulua joukkoon Joukko-opin laskusäännön havainnollistus Venndiagrammin avulla ei sisällä säännön todistusta. Venn-diagrammien avulla voidaan havainnollistaa kätevästi myös todennäköisyyslaskennan peruslaskusääntöjä. Olkoot x ja y perusjoukon S alkioita ja olkoon perusjoukon S osajoukko: x S, y S, S Viereinen Venn-diagrammi kuvaa tilannetta, jossa alkio x kuuluu joukkoon, mutta alkio y ei kuulu: x, y x y S TKK () Ilkka Mellin (2004) 33 TKK () Ilkka Mellin (2004) 34 Venn-diagrammit: Olla osajoukko Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja: S ja B S Viereinen Venn-diagrammi kuvaa tilannetta, jossa joukko B on joukon (aito) osajoukko: B Lukujoukot 1/2 Tavalliset lukujoukot: Luonnollisten lukujen joukko: { } = 1, 2,3, Kokonaislukujen joukko: { } =, 3, 2, 1,0, + 1, + 2, + 3, Rationaalilukujen joukko: m = qq=, m, n, n 0 n Reaalilukujen joukko: TKK () Ilkka Mellin (2004) 35 TKK () Ilkka Mellin (2004) 36

7 TKK () Ilkka Mellin (2004) 37 Lukujoukot 2/2 Lukujoukkojen keskinäiset suhteet Kompleksilukujen joukko: { zz x iy, x, y, i 1} = = + = Huomautus: Joukot, ja ovat numeroituvasti äärettömiä ja yhtä mahtavia, kun taas joukot ja ovat ylinumeroituvia ja siten mahtavampia kuin luonnollisten lukujen joukko. Lukuja tarkasteltaessa perusjoukkona käytetään tavallisesti kompleksilukujen joukkoa, koska lukujoukkojen välillä on seuraavat (aidot) osajoukkorelaatiot: ja lisäksi yksikään seuraavista laskutoimituksista ei vie kompleksilukujen joukon ulkopuolelle: yhteenlasku vähennyslasku kertolasku jakolasku juurenotto TKK () Ilkka Mellin (2004) 38 Joukko-oppi >> vainsanat Erotus Joukko Komplementti Leikkaus Pistevieraat joukot Symmetrinen erotus Yhdiste eli unioni TKK () Ilkka Mellin (2004) 39 TKK () Ilkka Mellin (2004) 40 Mitä opimme? Komplementtijoukko Tarkastelemme tässä kappaleessa seuraavia joukko-opin perusoperaatioita: (i) Joukon komplementtijoukon muodostaminen. (ii) Kahden joukon yhdisteen eli unionin muodostaminen. (iii) Kahden joukon leikkauksen muodostaminen. (iv) Kahden joukon erotuksen muodostaminen. (v) Kahden joukon symmetrisen erotuksen muodostaminen. Olkoon S perusjoukon S osajoukko. Joukon komplementtijoukko eli komplementti on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon : = {s S s } S TKK () Ilkka Mellin (2004) 41 TKK () Ilkka Mellin (2004) 42

8 TKK () Ilkka Mellin (2004) 43 Yhdiste eli unioni Leikkaus Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B yhdiste eli unioni B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon tai joukkoon B tai molempiin: B = {s S s tai s B} B B Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B leikkaus B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon ja joukkoon B: B = {s S s ja s B} TKK () Ilkka Mellin (2004) 44 Yhdiste ja leikkaus Pistevieraat joukot Joukkojen ja B yhdiste B voidaan esittää joukon ja joukon B komplementtien leikkauksen komplementtina: B = ( B ) Joukkojen ja B leikkaus B voidaan esittää joukon ja joukon B komplementtien yhdisteen komplementtina: B = ( B ) B Jos joukoilla ja B ei ole yhteisiä alkioita, sanotaan, että joukot ja B ovat pistevieraita. Joukot ja B ovat pistevieraita, jos ja vain jos B = B S TKK () Ilkka Mellin (2004) 45 TKK () Ilkka Mellin (2004) 46 Pistevieraat joukot: Esimerkki eduskunnasta Kansanedustaja ei voi olla kahden puolueen jäsen. Määritellään perusjoukko: S = Kansanedustajien joukko Määritellään Kokoomuspuolueen ja Vasemmistoliiton kansanedustajien joukot: K = {s S s on Kokoomuspuolueen kansanedustaja} V = {s S s on Vasemmistoliiton kansanedustaja} Tällöin joukot K ja V ovat pistevieraita: K V = Erotus 1/2 Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B erotus \ B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon, mutta eivät kuulu joukkoon B: \ B = {s S s ja s B} TKK () Ilkka Mellin (2004) 47 TKK () Ilkka Mellin (2004) 48

9 TKK () Ilkka Mellin (2004) 49 Erotus 2/2 Komplementti ja erotus Joukkojen ja B erotus \ B voidaan esittää joukon ja joukon B komplementin leikkauksena: \ B = B Perustelu: s \ B s ja s B s ja s B s B Joukon komplementti voidaan esittää perusjoukon S ja joukon erotuksena: = S \ Perustelu: s s S ja s s S \ S TKK () Ilkka Mellin (2004) 50 Symmetrinen erotus 1/3 Symmetrinen erotus 2/3 Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B symmetrinen erotus B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon tai joukkoon B, mutta eivät molempiin: B = { s S s tai s B, mutta s B TKK () Ilkka Mellin (2004) 51 } B B Joukkojen ja B symmetrinen erotus voidaan esittää joukkojen ja B yhdisteen ja leikkauksen erotuksena: B = ( B) \ ( B) Perustelu: s B s tai s B, mutta s B s B, mutta s B s ( B) \ ( B) B B TKK () Ilkka Mellin (2004) 52 Symmetrinen erotus 3/3 Yhdiste vs symmetrinen erotus 1/2 Joukkojen ja B symmetrinen erotus voidaan esittää joukkojen ja B erotuksen ja joukkojen B ja erotuksen yhdisteenä: B = ( \ B) ( B\ ) Perustelu: s B s tai s B, mutta s B s, mutta s B tai s B, mutta s s \ B tai s B\ s ( \ B) ( B\ ) \ B B B B \ Huomaa joukkojen ja B yhdisteen ja symmetrisen erotuksen ero: B = { s S s tai s B} B = { s S s tai s B, mutta s B } B B TKK () Ilkka Mellin (2004) 53 TKK () Ilkka Mellin (2004) 54

10 TKK () Ilkka Mellin (2004) 55 Yhdiste vs symmetrinen erotus 2/2 Yhdiste pistevieraiden joukkojen yhdisteenä Yhdisteen määritelmän mukaan: s B s tai s B Yhdisteessä perusjoukon S alkio s on joko joukon alkio tai joukon B alkio tai molempien alkio. Symmetrisen erotuksen määritelmän mukaan: s B s tai s B, mutta s B Symmetrisessä erotuksessa perusjoukon S alkio s on joko joukon alkio tai joukon B alkio, mutta ei molempien alkio. B B Joukkojen ja B yhdiste voidaan esittää seuraavilla tavoilla pareittain pistevieraiden joukkojen \ B, B \ ja B yhdisteenä: B = (B \ ) = B ( \ B) = ( \ B) ( B) (B \ ) TKK () Ilkka Mellin (2004) 56 Joukko-oppi >> vainsanat ssosiatiivisuus De Morganin lait Distributiivisuus Idempotenttisuus Identiteetti-lait Joukko Joukkojen algebra Joukko-opin operaatio Kommutatiivisuus Komplementti-lait Osajoukko-relaatio TKK () Ilkka Mellin (2004) 57 TKK () Ilkka Mellin (2004) 58 Mitä opimme? Osajoukko-relaation ominaisuudet Olemme koonneet tähän kappaleeseen tärkeimmät osajoukkorelaation ominaisuudet sekä laskusäännöt joukko-opin perusoperaatioille. Kaikille joukoille, B, C pätee: (1) (2) B ja B = B (3) B ja B C C TKK () Ilkka Mellin (2004) 59 TKK () Ilkka Mellin (2004) 60

11 TKK () Ilkka Mellin (2004) 61 Joukko-opin operaatiot ja osajoukko-relaatio 1/3 Joukko-opin operaatiot ja osajoukko-relaatio 2/3 Kaikille joukoille, B pätee: (4a) ( B) (4b) B ( B) (5a) ( B) (5b) ( B) B (6) ( B) ( B) Kaikille joukoille, B pätee: (7a) ( \ B) (7b) (B \ ) B (8) ( B) ( B) (9a) ( \ B) ( B) (9b) ( B\ ) ( B) TKK () Ilkka Mellin (2004) 62 Joukko-opin operaatiot ja osajoukko-relaatio 3/3 Joukkojen algebran säännöt 1/3 Kaikille joukoille, B pätee: (10) B B (11) B B = B (12) B B = (13) B \ B = (14) B (B \ ) = B (15) B ( B) = B\ Kaikille joukoille, B, C pätee: Idempotenttisuus (1a) = (1b) = ssosiatiivisuus (2a) ( B) C = (B C) (2b) ( B) C = (B C) Kommutatiivisuus (3a) B = B (3b) B = B TKK () Ilkka Mellin (2004) 63 TKK () Ilkka Mellin (2004) 64 Joukkojen algebran säännöt 2/3 Joukkojen algebran säännöt 3/3 Kaikille joukoille, B, C pätee: Distributiivisuus (4a) (B C) = ( B) ( C) (4b) (B C) = ( B) ( C) Identiteetti-lait (5a) = (5b) S =, jossa on perusjoukon S osajoukko (6a) S = S, jossa on perusjoukon S osajoukko (6b) = Kaikille joukoille, B pätee: Komplementti-lait (7a) = S, jossa on perusjoukon S osajoukko (7b) = (8a) ( ) = (8b) S = ja = S, jossa S on perusjoukko De Morganin lait (9a) ( B) = B (9b) ( B) = B TKK () Ilkka Mellin (2004) 65 TKK () Ilkka Mellin (2004) 66

12 TKK () Ilkka Mellin (2004) 67 Joukko-oppi >> vainsanat lkukuva rvoalue Bijektio Funktio eli kuvaus Funktioiden samuus Funktioiden yhdistäminen Funktion arvo Identtinen funktio Injektio Kuva Käänteisalkio Käänteisfunktio Määrittelyalue Surjektio Vakiofunktio Yhdistetty funktio TKK () Ilkka Mellin (2004) 68 Mitä opimme? eli kuvaukset Tarkastelemme tässä kappaleessa funktion ja käänteisfunktion määrittelemistä sekä funktioiden yhdistämistä. Olkoon f sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon yksikäsitteisen joukon B alkion. Tällöin sanotaan, että f on funktio eli kuvaus joukosta joukkoon B. Jos f on funktio joukosta joukkoon B, merkitään tai f B TKK () Ilkka Mellin (2004) 69 TKK () Ilkka Mellin (2004) 70 Kuva Funktion arvo Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Jos funktio f liittää joukon alkioon a joukon B alkion b, merkitään f(a) = b tai f a f( a) = b ja sanotaan, että funktio f kuvaa joukon alkion a joukon B alkiolle b. lkiota f(a) = b B kutsutaan on alkion a kuvaksi kuvauksessa f. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Jos siis a, niin f(a) = b B. Erityisesti siinä tapauksessa, että ja B ovat lukujoukkoja, sanotaan, että funktio f saa arvon f(a) = b pisteessä a. TKK () Ilkka Mellin (2004) 71 TKK () Ilkka Mellin (2004) 72

13 TKK () Ilkka Mellin (2004) 73 Funktion määrittelyalue ja arvoalue Funktioiden samuus Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Tällöin joukkoa sanotaan funktion f määrittelyalueeksi. Niiden joukon B alkioiden joukkoa, jotka ovat jonkin määrittelyalueen alkion kuvia kuvauksessa f, sanotaan funktion f arvoalueeksi. Funktion arvoalue f() voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f() = {b B On olemassa a siten, että f(a) = b} Funktion f: B arvoalue f() on joukon B osajoukko: f() B Olkoot f ja g kaksi funktiota, joilla on sama määrittelyalue. f ja g ovat samat, jos ne saavat samat arvot. Olkoon siis funktioiden f ja g määrittelyalue. f ja g ovat samat, jos f(a) = g(a) kaikille a. Jos funktiot f ja g ovat samat, kirjoitetaan f = g TKK () Ilkka Mellin (2004) 74 Surjektiot Injektiot Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on surjektio, jos joukon B jokainen alkio on jonkin joukon alkion kuva eli funktion f arvoalueena on koko joukko B. Siten funktio on surjektio, jos f() = B Tällöin sanotaan, että funktio f kuvaa joukon joukolle B. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on injektio, jos yksikään joukon B alkio ei ole kahden tai useamman joukon alkion kuva. Siten funktio on injektio, jos f(a) = f(a ) a = a tai yhtäpitävästi a a f(a) f(a ) TKK () Ilkka Mellin (2004) 75 TKK () Ilkka Mellin (2004) 76 Bijektiot Identtiset funktiot Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on bijektio eli kääntäen yksikäsitteinen kuvaus, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) f on surjektio: f() = B (ii) f on injektio: f(a) = f(a ) a = a tai yhtäpitävästi: a a f(a) f(a ) Olkoon f funktio joukosta joukkoon : f : Funktio f on identtinen funktio tai kuvaus joukossa, jos se kuvaa joukon jokaisen alkion itselleen. Siten funktio f : on identtinen funktio joukossa, jos f(a) = a kaikille a. Merkitään identtistä funktiota joukossa seuraavasti: 1 TKK () Ilkka Mellin (2004) 77 TKK () Ilkka Mellin (2004) 78

14 TKK () Ilkka Mellin (2004) 79 Vakiofunktiot Yhdistetyt funktiot 1/3 Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on vakiofunktio tai -kuvaus, jos se kuvaa joukon jokaisen alkion samalle joukon B alkiolle. Siten funktio on vakiofunktio, jos on olemassa b B niin, että f(a) = b kaikille a. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: ja g funktio joukosta B joukkoon C: g : B C. Kuvaus f liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon B alkion b: a f(a) = b B Kuvaus g liittää jokaiseen joukon B alkioon b yksikäsitteisen joukon C alkion : b B g(b) = C TKK () Ilkka Mellin (2004) 80 Yhdistetyt funktiot 2/3 Yhdistetyt funktiot 3/3 Soveltamalla kuvauksia f ja g peräkkäin saadaan sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon C alkion. Jos siis a, niin f(a) = b B. Soveltamalla kuvausta g joukon B alkioon f(a) = b saadaan jokin joukon C alkio : g(f(a)) = g(b) = C Tätä kuvausten yhdistämistä voidaan kuvata seuraavalla kaaviolla: f g a f( a) = b g( f( a)) = g( b) = Olkoot siis ja g : B C funktioita. Oletetaan, että a. Tällöin f(a) = b B ja g(f(a)) = g(b) = C Määritellään funktioiden f ja g yhdistetty funktio ( g f): C kaavalla ( g f)( a) = g( f( a)) TKK () Ilkka Mellin (2004) 81 TKK () Ilkka Mellin (2004) 82 Funktioiden yhdistämissääntöjä 1/2 Funktioiden yhdistämissääntöjä 2/2 Olkoon funktio. Olkoot 1 : identtinen funktio joukossa ja 1 B : B B identtinen funktio joukossa B. Tällöin pätee: f 1 = f 1 f = f B Olkoot f: B, g: B C ja h: C D funktioita. Yhdistetään funktiot f, g ja h seuraavilla tavoilla: (i) Muodostetaan ensin yhdistetty funktio g f ja sitten yhdistetty funktio h ( g f). (ii) Muodostetaan ensin yhdistetty funktio h gja sitten yhdistetty funktio ( h g) f. Näin muodostetut yhdistetyt funktiot ovat samat: ( h g) f = h ( g f) TKK () Ilkka Mellin (2004) 83 TKK () Ilkka Mellin (2004) 84

15 TKK () Ilkka Mellin (2004) 85 Käänteisalkio lkukuva Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Joukon alkio a on joukon B alkion b käänteisalkio kuvauksessa f, jos f(a) = b. Joukon B alkiolla voi olla useita käänteisalkioita, mutta toisaalta kaikilla joukon B alkiolla ei ole välttämättä yhtään käänteisalkiota. Jos funktio f on surjektio, joukon B jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Jos joukon B alkiolla on käänteisalkio ja funktio f on injektio, käänteisalkio on yksikäsitteinen. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Joukon B osajoukon D alkukuva kuvauksessa f on niiden joukon alkioiden a joukko, jotka f kuvaa joukolle D. Jos siis ja D B, niin joukon D alkukuva f 1 (D) kuvauksessa f voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f 1 ( D) = { a f( a) = b D} Joukon B osajoukon D alkukuva f 1 (D) on joukon osajoukko: f 1 (D) Joukon B osajoukon D alkukuva f 1 (D) voi olla tyhjä. TKK () Ilkka Mellin (2004) 86 Yhden alkion alkukuva Käänteisfunktiot 1/2 Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Joukon B alkion b alkukuva kuvauksessa f on niiden joukon alkioiden a joukko, jotka f kuvaa alkiolle b. Jos siis ja b B, niin alkion b alkukuva f 1 (b) kuvauksessa f voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f 1 ( b) = { a f( a) = b} Joukon B alkion b alkukuva f 1 (b) on joukon osajoukko: f 1 (b) Joukon B alkion b alkukuva f 1 (b) voi koostua yhdestä tai useammasta joukon alkiosta tai voi olla tyhjä. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Tällöin joukon B alkion b alkukuva f 1 ( b) = { a f( a) = b} kuvauksessa f on joukon osajoukko, joka voi koostua yhdestä tai useammasta joukon alkiosta tai voi olla tyhjä. Jos f on bijektio, joukon B jokaisen alkion b alkukuva f 1 (b) koostuu täsmälleen yhdestä pisteestä a. Tällöin jokaiseen joukon B alkioon b voidaan liittää yksikäsitteinen käänteisalkio f 1 (b) = a. TKK () Ilkka Mellin (2004) 87 TKK () Ilkka Mellin (2004) 88 Käänteisfunktiot 2/2 Käänteisfunktioiden ominaisuuksia 1/2 Olkoon siis f bijektio joukosta joukkoon B: Sääntö, joka liittää jokaiseen joukon B alkioon b yksikäsitteisen käänteisalkion f 1 (b) = a määrittelee funktion f käänteisfunktion f 1 joukosta B joukkoon : f 1 : B Oletetaan, että funktio on bijektio, jolloin funktiolla f on käänteisfunktio f 1 : B 1 Tällöin yhdistetty funktio ( f f) on identtinen funktio 1 joukossa ja yhdistetty funktio ( f f ) on identtinen funktio joukossa B: 1 ( f f) = 1 1 ( f f ) = 1 B TKK () Ilkka Mellin (2004) 89 TKK () Ilkka Mellin (2004) 90

16 TKK () Ilkka Mellin (2004) 91 Käänteisfunktioiden ominaisuuksia 2/2 Joukko-oppi Olkoot ja g : B Oletetaan, että yhdistetty funktio ( g f): on identtinen funktio joukossa ja yhdistetty funktio ( f g): B B on identtinen funktio joukossa B. Tällöin g on funktion f käänteisfunktio: g = f 1. >> TKK () Ilkka Mellin (2004) 92 Mitä opimme? vainsanat Funktio Funktion kuvaaja Järjestetty pari Karteesinen tulo Tulojoukko Yleistetyt karteesiset tulot Tarkastelemme tässä kappaleessa karteesisen tulon määrittelemistä sekä funktion kuvaajan esittämistä karteesisen tulon määrittelemässä tulojoukossa. TKK () Ilkka Mellin (2004) 93 TKK () Ilkka Mellin (2004) 94 Järjestetyt parit Tulojoukot Olioiden a ja b järjestetty pari on (a, b) jossa a = parin 1. alkio b = parin 2. alkio Järjestetyt parit (a, b) ja (, d) ovat samat, jos a = ja b = d Olkoot ja B joukkoja. Joukkojen ja B tulojoukko eli karteesinen tulo B muodostuu kaikista järjestetyistä pareista (a, b), joissa a ja b B: B = {(a, b) a, b B} TKK () Ilkka Mellin (2004) 95 TKK () Ilkka Mellin (2004) 96

17 TKK () Ilkka Mellin (2004) 97 Funktion kuvaaja Funktioiden kuvaajien ominaisuuksia Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktion f kuvaaja f * on kaikkien niiden järjestettyjen parien (a, b) joukko, joissa a ja b = f(a): f * = {(a, b) a, b = f(a)} Siten funktion f kuvaaja f * on tulojoukon B osajoukko: f * B Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktion f kuvaajalla f * = {(a, b) a, b = f(a)} on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos a ja f(a)=b, niin järjestetty pari (a, b) f *. (ii) Jokainen a voi olla ensimmäisenä alkiona vain yhdessä joukkoon f * kuuluvassa järjestetyssä parissa: Jos (a, b) f * ja (a, ) f *, niin b =. TKK () Ilkka Mellin (2004) 98 järjestettyjen parien joukkoina 1/4 järjestettyjen parien joukkoina 2/4 Olkoon f * joukkojen ja B karteesisen tulon B = {(a, b) a, b B} osajoukko: f * B Oletetaan, että joukolla f * on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos a, niin on olemassa b B siten, että järjestetty pari (a, b) f *. (ii) Jokainen a voi olla ensimmäisenä alkiona vain yhdessä joukkoon f * kuuluvassa järjestetyssä parissa: Jos (a, b) f * ja (a, ) f *, niin b =. Tällöin f * määrittelee säännön, joka liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon B alkion b: Ominaisuus (i) takaa sen, että jokaiseen joukon alkioon a liittyy jokin joukon B alkio b. Ominaisuus (ii) takaa sen, että joukon alkioon a liittyvä joukon B alkio b on yksikäsitteinen. Siten f * määrittelee funktion f joukosta joukkoon B. TKK () Ilkka Mellin (2004) 99 TKK () Ilkka Mellin (2004) 100 järjestettyjen parien joukkoina 3/4 järjestettyjen parien joukkoina 4/4 Edellä esitetty merkitsee sitä, että jokaista funktiota vastaa kääntäen yksikäsitteisesti karteesisen tulon B osajoukko f *, joka toteuttaa ehdot (i) Jos a, niin on olemassa b B siten, että järjestetty pari (a, b) f *. (ii) Jos (a, b) f * ja (a, ) f *, niin b =. Siten funktiot ja ehdot (i) ja (ii) toteuttavat karteesisten tulojen osajoukot voidaan samastaa. Tämä merkitsee sitä, että funktiota ja sen kuvaajaa ei normaalisti tarvitse erottaa toisistaan. voidaan siis määritellä myös seuraavalla tavalla: Karteesisen tulon B = {(a, b) a, b B} osajoukko f määrittelee funktion joukosta joukkoon B, jos jokainen a on ensimmäisenä alkiona täsmälleen yhdessä joukkoon f kuuluvassa järjestetyssä parissa. TKK () Ilkka Mellin (2004) 101 TKK () Ilkka Mellin (2004) 102

18 TKK () Ilkka Mellin (2004) 103 Yleistetyt karteesiset tulot 1/2 Yleistetyt karteesiset tulot 2/2 Olkoot 1, 2,, n joukkoja ja a 1, a 2,, a n niiden alkioita siten, että a 1 1, a 2 2,, a n n Kutsutaan alkioiden a 1, a 2,, a n järjestettyä jonoa (a 1, a 2,, a n ) n-tuppeliksi. Joukkojen 1, 2,, n karteesinen tulo 1 2 n on kaikkien joukkojen 1, 2,, n alkioiden a 1, a 2,, a n n-tuppeleiden eli järjestettyjen jonojen (a 1, a 2,, a n ) muodostama joukko: 1 2 n = {(a 1, a 2,, a n ) a 1 1, a 2 2,, a n n } TKK () Ilkka Mellin (2004) 104 Joukko-oppi >> vainsanat Distribuutio-lait Indeksoitu joukkoperhe Joukkoperhe Leikkaus Ositus Potenssijoukko Yhdiste Yhdistetty joukko-operaatio TKK () Ilkka Mellin (2004) 105 TKK () Ilkka Mellin (2004) 106 Mitä opimme? Joukkoperheet Tarkastelemme tässä kappaleessa joukko-opin perusoperaatioiden laajentamista useamman kuin kahden joukon tapaukseen. Määrittelemme lisäksi seuraavat käsitteet: (i) Joukkoperhe. (ii) Joukon kaikkien osajoukkojen perhe eli potenssijoukko. (iii) Joukon ositus. Joukkojen kokoelmaa eli joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja kutsutaan tavallisesti joukkoperheeksi. Joukkoperhe on siis joukkojen muodostama joukko. TKK () Ilkka Mellin (2004) 107 TKK () Ilkka Mellin (2004) 108

19 TKK () Ilkka Mellin (2004) 109 Potenssijoukko Potenssijoukko: Esimerkki Olkoon joukko perusjoukon S osajoukko. Joukon kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä kutsutaan joukon potenssijoukoksi. Joukon potenssijoukkoa merkitään seuraavasti: 2 Joukon potenssijoukko 2 voidaan määritellä seuraavalla tavalla: 2 = { CC } Olkoon = {1, 2, 3} Tällöin joukon potenssijoukko on 2 = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Joukon potenssijoukko 2 on joukkoperhe, jonka alkioina ovat tyhjä joukko kaikki joukon yhden alkion osajoukot kaikki joukon kahden alkion osajoukot joukko itse TKK () Ilkka Mellin (2004) 110 Indeksoidut joukkoperheet Olkoon jokin joukkoperhe eli joukkojen kokoelma. Olkoon I joukko. Indeksoitu joukkoperhe { i } on funktio i I f : I jossa joukkoa I kutsutaan indeksijoukoksi, joukon I alkiota i indeksiksi ja joukkoa i indeksoiduksi joukoksi. Indeksoidut joukkoperheet: Esimerkkejä Jos indeksijoukkona I on luonnollisten lukujen joukko, on indeksoitu joukkoperhe { } = { 1, 2, i 3, } i Jos indeksijoukkona I on joukko {1, 2,, n} (n ensimmäistä positiivista kokonaislukua), on indeksoitu joukkoperhe { } = i { 1, 2,, n} i I TKK () Ilkka Mellin (2004) 111 TKK () Ilkka Mellin (2004) 112 Yleistetyt joukko-operaatiot { } Olkoon i indeksoitu joukkoperhe. i I Joukkojen i, i I yhdiste i I i on niiden alkioiden x joukko, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista i, i I: i = { x On olemassa i I siten, että x i} i I Joukkojen i, i I leikkaus i I i on niiden alkioiden x joukko, jotka kuuluvat jokaiseen joukoista i, i I: i = { xx i kaikille i I } i I TKK () Ilkka Mellin (2004) 113 Yleistetyt joukko-operaatiot: Erikoistapauksia 1 { } Olkoon i indeksoitu joukkoperhe, jossa indeksijoukko I on luonnollisten lukujen joukko. Joukkojen i, i yhdiste voidaan määritellä i I muodossa i= 1 { i = x On olemassa i, i = 1,2,3, siten, että x Joukkojen i, i leikkaus voidaan määritellä muodossa i i= 1 { i kaikille 1,2,3, } = x x i= TKK () Ilkka Mellin (2004) 114 i }

20 TKK () Ilkka Mellin (2004) 115 Yleistetyt joukko-operaatiot: Erikoistapauksia 2 { } Olkoon i indeksoitu joukkoperhe, jossa indeksijoukko I on joukko {1, 2,, n}. i I Joukkojen i, i I yhdiste voidaan määritellä muodossa n i= 1 { i = x On olemassa i, i = 1,2,, n siten, että x Joukkojen i, i I leikkaus voidaan määritellä muodossa n i i= 1 { i kaikille 1,2,, } = xx i= n i } Yleistetyt joukko-operaatiot ja distribuutiolait Olkoon i indeksoitu joukkoperhe ja B mielivaltainen i I joukko. Tällöin ja { } ( i) ( i) B = B i I i I ( i) ( i) B = B i I i I TKK () Ilkka Mellin (2004) 116 Ositukset Joukko-oppi Olkoon perusjoukon S osajoukko. Olkoot B i, i I joukon epätyhjiä osajoukkoja: B i, i I. Joukot B i, i I muodostavat joukon osituksen, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) B i I i = >> (ii) B i B j =, jos i j TKK () Ilkka Mellin (2004) 117 TKK () Ilkka Mellin (2004) 118 Mitä opimme? vainsanat Boolen algebra Erotusjoukko Joukko-opin operaatio Joukkoperhe Leikkausjoukko Perusjoukko Tarkastelemme tässä kappaleessa Boolen algebroita. Boolen algebran aksioomat muodostavat perustan joukkoopin aksiomaattiselle käsittelylle ja joukko-opin peruslaskusäännöt voidaan todistaa Boolen algebran aksioomien avulla. ovat suljettuja äärellisen monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. muodostavat teoreettisen perustan mm. propositiologiikalle ja äärellisten todennäköisyyskenttien tapahtuma-algebralle. TKK () Ilkka Mellin (2004) 119 TKK () Ilkka Mellin (2004) 120

21 TKK () Ilkka Mellin (2004) 121 Boolen algebra: Määritelmä 1/2 Olkoon S joukko. Olkoon F jokin joukon S osajoukkojen muodostama joukkoperhe. Jos siis joukko on joukkoperheen F alkio, niin on joukon S osajoukko: F S Boolen algebra: Määritelmä 2/2 Joukkoperhe F on Boolen algebra, jos (i) (ii) F F (iii) F, B F B F F TKK () Ilkka Mellin (2004) 122 Boolen algebra ja joukko-opin operaatiot 1/2 Boolen algebra ja joukko-opin operaatiot 2/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot F ja B F Boolen algebran aksioomien mukaan,, B, B F Lisäksi voidaan osoittaa, että S, B, \ B, B\ F Boolen algebra on suljettu äärellisen monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. Tällä tarkoitetaan siitä, että tavanomaiset joukko-opin operaatiot eivät vie Boolen algebran ulkopuolelle: Jos Boolen algebran F joukkoihin sovelletaan korkeintaan äärellinen määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen Boolen algebraan F. TKK () Ilkka Mellin (2004) 123 TKK () Ilkka Mellin (2004) 124 Joukko-opin operaatiot Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Todistetaan seuraavat joukko-opin tulokset: (i) Joukko S F (ii) Jos F, B F, niin B F (iii) Jos F, B F, niin \ B F Joukko-opin operaatiot: Perusjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Tällöin perusjoukko S kuuluu joukkoperheeseen F : S F TKK () Ilkka Mellin (2004) 125 TKK () Ilkka Mellin (2004) 126

22 TKK () Ilkka Mellin (2004) 127 Joukko-opin operaatiot: Perusjoukko 2/2 Väite seuraa, siitä että S = Todistetaan siis, että F ksiooman (i) mukaan F ksiooman (ii) mukaan = S F Joukko-opin operaatiot: Leikkausjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot F, B F Tällöin joukkojen ja B leikkaukselle pätee: B F TKK () Ilkka Mellin (2004) 128 Joukko-opin operaatiot: Leikkausjoukko 2/2 Väite seuraa siitä, että DeMorganin lain mukaan B = ( B ) Todistetaan siis, että F, B F ( B ) F ksiooman (ii) mukaan F, B F F, B F ksiooman (iii) mukaan F, B F B F Vihdoin aksiooman (ii) mukaan B F ( B ) F Joukko-opin operaatiot: Erotusjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot F, B F Tällöin joukkojen ja B erotukselle pätee: \ B F TKK () Ilkka Mellin (2004) 129 TKK () Ilkka Mellin (2004) 130 Joukko-opin operaatiot: Erotusjoukko 2/2 Väite seuraa siitä, että \ B = B Todistetaan siis, että F, B F B F ksiooman (ii) mukaan B F B F Leikkausjoukkoa koskevan tuloksen mukaan F, B F B F Boolen algebra: Esimerkki Olkoon S mielivaltainen joukko. Olkoon S mielivaltainen joukon S osajoukko. Tällöin joukkoperhe F = {,,, S} muodostaa Boolen algebran joukossa S, koska (i) F (ii) B F B F (iii) B F, C F B C F Kohdissa (ii) ja (iii) joukot B ja C voivat olla mitkä tahansa joukoista,,, S. TKK () Ilkka Mellin (2004) 131 TKK () Ilkka Mellin (2004) 132

23 TKK () Ilkka Mellin (2004) 133 Joukko-oppi >> vainsanat Boolen algebra Joukko-opin operaatiot Joukkoperhe σ-algebra TKK () Ilkka Mellin (2004) 134 Mitä opimme? σ-algebran määritelmä 1/2 Tarkastelemme tässä kappaleessa σ-algebroita. ovat Boolen algebroiden laajennuksia. ovat suljettuja numeroituvan monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. Kaikki joukko-opin laskusäännöt, jotka voidaan johtaa Boolen algebran aksioomista pätevät myös σ- algebroille. muodostavat teoreettisen perustan mm. yleiselle mittateorialle ja siten myös todennäköisyyslaskennalle. Olkoon S joukko. Olkoon F jokin joukon S osajoukkojen muodostama joukkoperhe. Jos siis joukko on joukkoperheen F alkio, niin on joukon S osajoukko: F S TKK () Ilkka Mellin (2004) 135 TKK () Ilkka Mellin (2004) 136 σ-algebran määritelmä 2/2 ja joukko-opin operaatiot 1/2 Joukkoperhe F on σ-algebra, jos (i) (ii) F F (iii),,, F F F i i= 1 Olkoon F joukossa S määritelty σ-algebra. Olkoot i F, i = 1,2,3, σ-algebran aksioomien mukaan F, i= 1,2,3, ja F i Lisäksi voidaan osoittaa, että i i= 1 F i i= 1 TKK () Ilkka Mellin (2004) 137 TKK () Ilkka Mellin (2004) 138

24 TKK () Ilkka Mellin (2004) 139 ja joukko-opin operaatiot 2/2 vs σ-algebra on suljettu numeroituvan monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. Tällä tarkoitetaan siitä, että numeroituva määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita ei vie σ-algebran ulkopuolelle: Jos σ-algebran F joukkoihin sovelletaan korkeintaan numeroituva määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen σ-algebraan F. Jos joukon S osajoukkojen perhe F toteuttaa σ-algebran aksioomat, niin se toteuttaa myös Boolen algebran aksioomat. Siten jokainen Boolen algebran aksioomista johdettu joukko-opin sääntö pätee myös σ-algebroille, mutta ei kääntäen. TKK () Ilkka Mellin (2004) 140

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449

Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

1 Perusasioita joukoista

1 Perusasioita joukoista 1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 0 Harjoitus, ratkaisuista. Esitä seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot: a) := { y y = ( ) n n+ n+, n N } b) := { n Z n = k, k Z } c) := { sin( nπ ) n N } Ratkaisut.

Lisätiedot

1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan

Johdatus yliopistomatematiikkaan Johdatus yliopistomatematiikkaan Lotta Oinonen 1. maaliskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Perusasioita joukoista................................ 1 1.1 Merkintöjä..................................

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

JOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN JOHDATUS DISKREETTIIN MATEMATIIKKAAN SISÄLLYSLUETTELO LUKU I JOUKOT 1. Joukon määritelmä. Osajoukko, tyhjä joukko, potenssijoukko...1. Yhdistys, leikkaus ja erotus..... 6 3. Perusjoukko ja komplementti....

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 3: Funktiot 4.3 Funktiot Olkoot A ja B joukkoja. Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää yksikäsitteisesti määrätyn

Lisätiedot

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet

Lisätiedot

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot