Ryhmäteoria. Markku Koppinen Turun yliopisto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ryhmäteoria. Markku Koppinen Turun yliopisto"

Transkriptio

1 Ryhmäteoria Markku Koppinen Turun yliopisto

2 6. toukokuuta 2011 Alkusanat Tämä ryhmäteorian kurssi käsittelee enimmäkseen ryhmien esitysteoriaa, mutta kuten tulemme näkemään, esitysteoria liittyy niin läheisesti ryhmien rakenneteoriaan, ettei niitä kahta voi erottaa. Usein puhutaankin rakenne- ja esitysteoriasta. Kurssin sisältö on lähinnä kirjasta 1. J.-P. Serre: Linear representations of nite groups (1977) ensimmäinen kolmannes. Muita lähteitä ja hyvää jatkolukemistoa ovat seuraavat: 2. W. Adkins, S. T. Weintraub: Algebra: an approach via module theory (1992). 3. J. L. Alperin, R. B. Bell: Groups and representations (1995). 4. C. W. Curtis, I. Reiner: Representation theory of nite groups and associative algebras (1962). 5. B. Huppert: Endliche Gruppen I (1967). 6. I. M. Isaacs: Character theory of nite groups (1976). 7. W. R. Scott: Group theory (1964). 8. J. J. Rotman: The theory of groups (1965). Monistetta on muutettu vuoden 2008 monisteesta karsimalla asioita, joita ei kuitenkaan ehdittäisi kunnolla käsitellä. Tarkoitus on oppia sekä ryhmien laskennallisia puolia (karakterit) että jonkin verran taustalla olevaa teoriaakin. Kurssilla tarvitaan perustietoina Lineaarialgebra ja Algebran peruskurssit I ja II (luvussa 1 on ryhmistä hiukan kertaustakin). Modulien tunteminen on hyödyksi (Algebran kurssi) muttei välttämätöntä. Lineaarialgebran ja Algebran peruskurssien I ja II pohjaltakin tätä kurssia pystyy seuraamaan, kunhan varautuu siihen, että taso saattaa tuntua kovemmalta kuin noilla kursseilla. i

3 Sisältö 1 Ryhmäteorian peruskäsitteitä Ryhmä, aliryhmä, isomora Sivuluokat, tekijäryhmä, isomoratuloksia Ryhmien suora tulo Ryhmien puolisuora tulo Konjugaattiluokat ja sentralisoijat Ryhmän operointi joukossa Ryhmien esitysteorian perusteita Ryhmän esitys, matriisiesitys ja moduli Johdatteleva esimerkki Ryhmän matriisiesitys Ryhmän lineaarinen esitys Lineaarisen esityksen matriisimuoto Ryhmän moduli Aliesitys ja alimoduli Alimoduli Aliesitys Isomorsmit ja homomorsmit Modulien isomora Esitysten isomora Matriisiesitysten isomora Modulihomomorsmit Suora summa Maschken lause Schurin lemma Sovellus keskuksen alkioihin Schurin relaatiot Tensoritulo Vektoriavaruuksien tensoritulo Modulien ja esitysten tensoritulo ii

4 SISÄLTÖ iii Matriisiesitysten tensoritulo Duaaliesitys ja duaalimoduli Karakterit Ominaisarvoista ja jäljestä Esityksen karakteri Suoran summan, tensoritulon ja duaaliesityksen karakterit Karakterien ortogonaalisuus Luokkafunktioavaruus Karakteritaulu Modulin kanoninen hajotelma Suoran tulon esitykset Karakteriryhmä. Abelin ryhmän esitykset Permutaatioesityksistä Restriktio ja induktio Esityksen ja karakterin restriktio Indusoitu karakteri Indusoitu moduli Restriktio normaaliin aliryhmään Indusoidun modulin konstruktio Ryhmäalgebra Assosiatiivinen algebra Määritelmä ja esimerkkejä Algebroja koskevia perusasioita Algebran modulit ja esitykset Algebran idempotenteista ja suorasummahajotelmista Ryhmäalgebra Ryhmän ja ryhmäalgebran esitysten yhteys Ryhmäalgebran idempotenteista Ryhmäalgebran rakenne Ryhmäalgebran keskus ja keskusidempotentit Abelin ryhmän ryhmäalgebra

5 Luku 1 Ryhmäteorian peruskäsitteitä Tämä luku on osittain Algebran peruskurssien kertausta. 1.1 Ryhmä, aliryhmä, isomora Määritelmä Joukkoa G, jossa on määritelty binäärioperaatio (kuvaus G G G, merkitään (a, b) ab), sanotaan ryhmäksi, jos (ab)c = a(bc) a, b, c G (assosiatiivisuus), on sellainen alkio 1 = 1 G G, että 1a = a1 = a a G kun a G, niin on sellainen a 1 G, että a 1 a = aa 1 = 1 Jos lisäksi ab = ba a, b, c G (kommutatiivisuus), niin G on kommutatiivinen ryhmä eli Abelin ryhmä. (neutraalialkio), (käänteisalkio). Neutraalialkiota kutsutaan myös ykkösalkioksi. Abelin ryhmiä merkitään usein additiivisesti, ja silloin puhutaan nolla-alkiosta ja vasta-alkioista. Esimerkki R ja C ovat yhteenlaskun suhteen ryhmiä, neutraalialkiona 0 ja alkion a käänteisalkiona eli vasta-alkiona a. R = R \ {0} ja C = C \ {0} ovat kertolaskun suhteen ryhmiä, ykkösalkiona luku 1 ja alkion a 0 käänteisalkiona käänteisluku a 1 = 1/a. Esimerkki (Yleinen lineaarinen ryhmä) Käytetään kompleksisten n n-matriisien joukolle merkintää M n (C) = {(a ij ) n n a ij C i, j}. Säännöllisten n n-matriisien joukko GL n (C) = {A M n (C) det(a) 0} on ryhmä matriisikertolaskun suhteen, ykkösalkiona identiteettimatriisi I. Sitä kutsutaan yleiseksi lineaariseksi (matriisi)ryhmäksi (yli C:n). 1

6 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Esimerkki Samoin määritellään ryhmä GL n (K) yli mielivaltaisen kunnan K. Jos K on äärellinen (esimerkiksi K = Z p = Z/pZ, p alkuluku), niin GL n (K) on äärellinen ryhmä. Esimerkki (Symmetrinen ryhmä) Joukon J n = {1, 2,..., n} permutaatioiden joukko S n = {α : J n J n α on bijektio} on ryhmä kuvaustulon (kuvausten yhdistämisen) suhteen, ykkösalkiona identiteettikuvaus. Sanotaan, että S n on n:n alkion symmetrinen ryhmä (#S n = n!). Yleisemmin määritellään mielivaltaisen joukon X symmetrinen ryhmä Σ(X) = {f : X X f on bijektio (eli X:n permutaatio)}. Esimerkki Kerrataan symmetristä ( ryhmää S n Algebran ) peruskurssista II. Permutaatiolle α S n käytetään merkintää n α = k 1 k 2... k n, kun α(j) = kj (j = 1,..., n). Toinen tärkeä merkintätapa ( on sykliesitys, ) jossa α kirjoitetaan erillisten syklien tulona; esimerkiksi S 6 :ssa α = kirjoitetaan myös α = (1 4 2)(3 6)(5) tai α = (1 4 2)(3 6) (1-syklit eli kiintopisteet jätetään yleensä merkitsemättä). Algebran peruskurssissa II määriteltiin permutaation α merkki sign(α); sen voi laskea sykliesityksestä, sillä sign on ryhmähomomorsmi S n {1, 1} (määritelmä ) ja r-syklin merkki on ( 1) r 1 ; esimerkiksi, kun α = (1 4 2)(3 6), niin sign(α) = ( 1) 3 1 ( 1) 2 1 = 1. Permutaatio on parillinen, jos sen merkki on +1. Määritelmä Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, jos se on ryhmä G:n ryhmäoperaation restriktion suhteen; tällöin merkitään H G. Olkoon = H G. Tunnetusti H G jos ja vain jos ab H a, b H, a 1 H a H ja 1 G H, eli ekvivalentisti, jos ja vain jos ab 1 H a, b H. Kun H on äärellinen, ehto voidaan yksinkertaistaa muotoon ab H a, b H. Ryhmän G osajoukko S generoi aliryhmän S = S H G H. (1.1) Helposti nähdään, että S on kaikkien tulojen s ±1 1 s ±1 k (s i S) joukko (tyhjä tulo on 1). Merkitään lyhyesti a = {a} ja yleisemmin a 1,..., a m = {a 1,..., a m }. Alkion a G kertaluku on ord(a) = # a. Algebran peruskurssista muistetaan, että jos ord(a) = n <, niin ord(a k ) = n/ syt(n, k). Esimerkki (Erityinen lineaarinen ryhmä) Yleisellä lineaarisella ryhmällä GL n (C) on aliryhmänä erityinen lineaarinen ryhmä SL n (C) = {A M n (C) det(a) = 1}.

7 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 3 Esimerkki (Alternoiva ryhmä) Symmetrisellä ryhmällä S n on aliryhmänä alternoiva ryhmä A n = {α S n sign(α) = +1}. Esimerkki Tason R 2 isometria on bijektio R 2 R 2, joka säilyttää pisteiden etäisyydet. Tason isometrioita on vain neljää tyyppiä: translaatiot, kierrot, peilaukset ja siirtopeilaukset (Geometrian kurssi). Tason isometriat muodostavat ryhmän. Se on peilausten generoima. Esimerkiksi kierto pisteen O ympäri kulman α verran saadaan kahden peilauksen tulona, joiden akselit kulkevat pisteen O kautta ja muodostavat kulman α/2. Tason isometrioiden ryhmällä on useita mielenkiintoisia aliryhmiä. Eräs on niiden isometrioiden joukko, jotka pitävät O:n paikallaan. Nämä isometriat ovat O-keskiset kierrot ja peilaukset, joiden akseli kulkee O:n kautta. Määritelmä Kuvaus f : G 1 G 2 ryhmien G 1 ja G 2 välillä on (ryhmä)homomor- smi, jos f(ab) = f(a)f(b) a, b G 1. Bijektiivinen homomorsmi on isomorsmi. Jos on olemassa isomorsmi G 1 G 2, niin G 1 ja G 2 ovat isomorset, merkitään G 1 G 2. Esimerkki (Syklinen ryhmä) Ryhmä on syklinen, jos se on yhden alkion generoima. Samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat isomorset. Merkitään C n :llä yleistä syklistä ryhmää, jonka kertaluku on n (n = 1, 2,... tai n = ). Esimerkki Ryhmässä C alkio ζ = ζ n = e 2πi/n on eräs n:s ykkösenjuuri eli ζ n = 1. Se generoi aliryhmän {1, ζ, ζ 2,..., ζ n 1 } C n. Esimerkki (Kleinin neliryhmä) Neljän alkion epäisomorsia ryhmiä on kaksi, nimittäin syklinen ryhmä C 4 = a, a 4 = 1, ja Kleinin neliryhmä V 4 = {1, a, b, ab}, a 2 = b 2 = 1, ab = ba. Esimerkki (Diedriryhmä) Tulemme usein käyttämään esimerkeissä diedriryhmää D n (n 3). Se on ryhmä, joka toteuttaa ehdot D n = a, b, a n = 1, b 2 = 1, bab = a 1, #D n = 2n. (1.2) Toisin sanoen D n :llä on generoijat a, b, jotka toteuttavat relaatiot a n = 1, b 2 = 1 ja bab = a 1, ja jossa on 2n alkiota. Seuraa, että D n = {1, a, a 2,..., a n 1, b, ab, a 2 b,..., a n 1 b} ja että tässä listatut alkiot ovat eri alkioita; siis jokaisella D n :n alkiolla g on yksikäsitteinen esitys muodossa g = a i b j (i {0,..., n 1}, b {0, 1}). Voidaan osoittaa, että ehdot (1.2) määräävät D n :n isomoraa vaille yksikäsitteisesti. Esimerkissä nähdään, että ryhmä D n on olemassa, konstruoimalla eräs sellainen konkreettisesti. (Huom. Joissakin kirjoissa ryhmää D n merkitään D 2n :llä.) Esimerkki Diedriryhmä D n (n 3) voidaan konstruoida säännöllisen n-kulmion peittoryhmänä eli symmetriaryhmänä, siis niiden tason isometrioiden ryhmänä, jotka kuvaavat monikulmion itselleen. Voidaan osoittaa, että ryhmän generoimiseen riittää yksi kierto

8 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 4 ja yksi peilaus; esimerkiksi, kun. r = kierto O keskuksena kulman 2π/n verran vastapäivään, s = peilaus monikulmion symmetria-akselin l suhteen, niin r n = 1, s 2 = 1, srs = r 1. Lisäksi kuvaukset r i s j (0 i... l O n 1, 0 j 1) ovat kaikki erisuuria. Seuraa, että ko. symmeriaryhmä on r, s D n. 1.2 Sivuluokat, tekijäryhmä, isomoratuloksia Jatkossa G tarkoittaa aina ryhmää. Toistaiseksi G saa olla ääretönkin. Olkoon H G. Alkion a G vasen sivuluokka on ah = {ah h H}. Kun a, b G, niin ah = bh a bh b 1 a H. Lisäksi aina joko ah = bh tai ah bh =. Valitsemalla vasempien sivuluokkien edustajisto D (otetaan yksi alkio kustakin eri sivuluokasta) saadaan G:n partitio G = d D dh. Vastaava on voimassa oikeille sivuluokille. Aliryhmän H indeksi G:ssä [G : H] on vasempien sivuluokkien lukumäärä, joka on sama kuin oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Kun #G <, niin [G : H] = #G/#H (Lagrangen lause). Siis #H jakaa #G:n. Esimerkki Jos #G on alkuluku p, niin G C p. Nimittäin, kun a G, a 1, niin # a jakaa p:n; siis # a = p, joten a = G. Esimerkki Ryhmän D n = a, b (merkinnät kuten aikaisemmin) vasen sivuluokkahajotelma aliryhmän a suhteen on D n = a b a. Aliryhmä H G on normaali, merkitään H G, jos an = Na a G. Tunnetusti tämä on ekvivalentti sen kanssa, että ana 1 N a G (aliryhmän normaalisuuskriteeri). Esimerkki Jos [G : H] = 2, niin sivuluokkahajotelmat ovat G = H ah ja G = H Ha, missä a G \ H. Tällöin ah = G \ H = Ha, ja siis H on normaali aliryhmä. Esimerkki Ryhmän D n = a, b aliryhmä a on normaali. Sen sijaan b = {1, b} ei ole normaali, koska esimerkiksi aba 1 = ba 2 b (n 3). Esimerkki A n S n. Esimerkki Symmetrisessä ryhmässä S 4 on syklirakenteeltaan (eli tyypiltään) viidenlaisia alkioita: 1, (ij), (ij)(kl), (ijk), (ijkl) missä i, j, k, l {1, 2, 3, 4} ovat erisuuria; merkit ovat vastaavasti +1, 1, +1, +1, 1. Näin ollen A 4 :n muodostavat muotoa 1, (ij)(kl), (ijk) olevat alkiot. Merkitään K 4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, T = {1, (123), (132)}. Osoitetaan, että nämä ovat A 4 :n aliryhmiä ja että K 4 S 4 mutta T A 4.

9 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 5 Kun N G, sivuluokkien joukosta tulee ryhmä, tekijäryhmä G/N, kun määritellään tulo: (an)(bn) = abn. (Normaalisuusoletusta tarvitaan, että tulo olisi hyvin määritelty.) Kuvaus π : G G/N, π(a) = an a G, on ryhmähomomorsmi; sitä sanotaan kanoniseksi projektioksi tai kanoniseksi homomorsmiksi. Esimerkki S n /A n C 2 kun n 2. Esimerkki A 4 /K 4 C 3. Esimerkki SL n (C) GL n (C). Kun A GL n (C), sivuluokka A SL n (C) koostuu niistä matriiseista, joiden determinantti on = det(a). Ryhmähomomorsmin f : G G ydin Ker(f) = {a G f(a) = 1} on G:n normaali aliryhmä ja kuva Im(f) on G :n aliryhmä, ja on voimassa G/ Ker(f) Im(f) (homomoralause). Isomorsmi F : G/ Ker(f) Im(f) on F (a Ker(f)) = f(a) a G. f G. G.. π.... G/ Ker(f). Im(f) F Esimerkki Homomoralause antaa isomomorsmit GL n (C)/SL n (C) C (f = det) ja S n /A n C 2 (f = sign; n 2). Kun H G ja K G, merkitään HK = {hk h H, k K}. Tämä ei yleensä ole aliryhmä. Jos kuitenkin esimerkiksi K G, niin (hk)(h k ) = (h(kh k 1 ))(kk ) HK ja samoin saadaan (hk) 1 HK, joten HK G; itse asiassa HK = KH = H K. Kun H G ja K G, niin H/(H K) HK/K (suunnikassääntö).. H G HK.. H K Todistus tapahtuu soveltamalla homomoralausetta kuvaukseen H HK/K, h hk. Kun f : G G on ryhmähomomorsmi ja Ker(f) H G, niin G/H f(g)/f(h); todistetaan soveltamalla homomoralausetta kuvaukseen G f(g)/f(h), a f(a)f(h). Kun H G ja K G sekä K H, niin edellisestä saadaan ottamalla f = π : G G/K G/H (G/K)/(H/K) Seuraavat seikat on helppo todeta oikeiksi: (tekijäryhmien isomoralaki). Jos f : G 1 G 2 ja g : G 2 G 3 ovat ryhmähomomorsmeja, niin g f : G 1 G 3 on ryhmähomomorsmi. Se on isomorsmi, jos f ja g ovat isomorsmeja. Ryhmäisomorsmin käänteiskuvaus on ryhmäisomorsmi.. K

10 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 6 Isomorsmeja G G sanotaan G:n automorsmeiksi. Yo. ominaisuuksista seuraa, että G:n automorsmit muodostavat ryhmän, tulona kuvausten yhdistäminen (Σ(G):n aliryhmä). Sitä kutsutaan G:n automorsmiryhmäksi ja merkitään Aut(G). Esimerkki Eräs ryhmän C n = a automorsmi on a i a i (i = 0,..., n 1). Tarkalleen kaikki homomorsmit C n C n ovat kuvaukset f 1,..., f n, missä f k (a i ) = a ik (i, k = 1,..., n). Huomaa, että homomorsmi määräytyy jo generoijan a kuvasta, ja f k :lle se on f k (a) = a k. Automorsmit C n C n ovat ne f k :t, joilla syt(n, k) = 1. Nimittäin, koska Im(f) = f(c) = c k, niin f k on bijektio jos ja vain jos se on surjektio, jos ja vain jos ord(c k ) = n, jos ja vain jos syt(n, k) = 1. Olkoon a G. Osoitetaan, että kuvaus i a : G G, joka määritellään i a (x) = axa 1 x G, (1.3) on G:n automorsmi. Ensinnäkin se on ryhmähomomorsmi G G, sillä i a (xy) = axya 1 = axa 1 aya 1 = i a (x)i a (y). Toiseksi sillä i a1 (i a2 (x)) = a 1 a 2 xa 1 2 a 1 1 = i a1 a 2 (x). Erityisesti i a1 i a2 = i a1a 2 (a 1, a 2 G), (1.4) i a i a 1 = i aa 1 = i 1 = id G, i a 1i a = id G, (1.5) joten i a 1 on i a :n käänteiskuvaus, i a 1 = i 1 a. Siis i a on bijektio. Näin ollen i a Aut(G). Kuvauksia i a kutsutaan G:n sisäisiksi automorsmeiksi. Yhtälö (1.4) merkitsee, että kuvaus G Aut(G), a i a a G, (1.6) on ryhmähomomorsmi. Sen kuva on Aut(G):n aliryhmä, merkitään ja sen ydintä sanotaan G:n keskukseksi Z(G); siis Inn(G) = { i a a G } Aut(G), (1.7) Z(G) = { a G i a = id G } = { a G ax = xa x G }. (1.8) Keskus on normaali aliryhmä. Homomoralauseen mukaan Esimerkki Inn(G) Aut(G). G/Z(G) Inn(G). (1.9) Esimerkki a) Z(GL n (C)) = {ai a C }. b) Z(SL n (C)) =?

11 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ Ryhmien suora tulo Määritelmä Olkoot A ja B ryhmiä. Niiden (ulkoinen) suora tulo on karteesinen tulo A B = {(a, b) a A, b B} varustettuna tulolla (a, b)(a, b ) = (aa, bb ) (a, a A, b, b B). (1.10) On helppo nähdä, että A B on ryhmä, ykkösalkiona (1 A, 1 B ) ja alkion (a, b) käänteisalkiona (a 1, b 1 ). Suoraan tuloon liittyy projektiokuvaukset p A : A B A ja p B : A B B sekä upotukset i A : A A B ja i B : B A B, { p A (a, b) = a, p B (a, b) = b, { i A (a) = (a, 1), i B (b) = (1, b). Nämä ovat ryhmähomomorsmeja, p A ja p B ovat surjektioita ja i A ja i B injektioita. Lisäksi p A i A = id A ja p B i B = id B. Kun A ja B on merkitty additiivisesti, puhutaan suorasta summasta ja merkitään A B. A.. i A p A.. A B Esimerkki R 2 = R R (additiivisten ryhmien R ja R suora summa). Esimerkki Ryhmän C 2 = a ulkoinen suora tulo itsensä kanssa on C 2 C 2 = {(1, 1), (1, a), (a, 1), (a, a)}, missä (1, 1) on ykkösalkio ja muiden alkioiden tulot ovat (1, a)(1, a) = (1, 1), (1, a)(a, 1) = (a, a), (1, a)(a, a) = (a, 1), ja niin edelleen. Osoittautuu, että C 2 C 2 V 4. Määritelmä Ryhmä G on aliryhmiensä H ja K (sisäinen) suora tulo, merkitään G = H K, kun seuraavat kolme ehtoa on voimassa: G = HK, H K = {1}, hk = kh h H, k K. (1.11) Määritelmän ehdoille on seuraavat hyödylliset, ekvivalentit muodot: Olkoon H G ja K G. Silloin kahdelle ensimmäiselle ehdolle saadaan ekvivalentti ehto: { G = HK { jokaisella G:n alkiolla a on yksikäsitteinen esitys muodossa a = hk, h H, k K. H K = {1} (1.12) Kun nämä ehdot ovat voimassa, niin kolmannelle ehdolle on seuraava ekvivalentti ehto: hk = kh h H, k K H G ja K G. (1.13) On helppo todeta, että kun G = H K, niin G/H K ja G/K H. Ulkoisella suoralla tulolla A B on aliryhmät i A (A) A ja i B (B) B, ja A B on näiden aliryhmien sisäinen suora tulo, siis (A B)ulkoinen = (i A (A) i B (B))sisäinen. Kääntäen, jos G on aliryhmiensä sisäinen suora tulo, G = (H K)sisäinen, niin kuvaus hk (h, k) (h H, k K) on ryhmäisomorsmi G:stä ulkoiseen suoraan tuloon (H K)ulkoinen; siis G = (H K)sisäinen (H K)ulkoinen. Kun samaistetaan isomorset ryhmät, niin ulkoinen ja sisäinen suora tulo voidaan siis samaistaa.. p B i B.. B

12 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 8 Esimerkki Todettiin, että C 2 C 2 V 4 (ulkoinen suora tulo). Seuraa, että V 4 voidaan myös hajottaa kahden aliryhmänsä C 2 sisäiseksi suoraksi tuloksi. Todellakin, ryhmällä V 4 = {1, a, b, ab} on aliryhmät a, b C 2, ja saadaan V 4 = a b (sisäinen suora tulo). Muitakin suoratulohajotelmia V 4 :llä on: V 4 = a ab = b ab. Huomaa, että #(H K) = (#H)(#K). Esimerkki Ryhmää S 3 ei voi hajottaa epätriviaalilla tavalla suoraksi tuloksi. Nimittäin #S 3 = 6, mutta kertalukuja 2 ja 3 olevia aliryhmiä on vain C 2 ja C 3, ja C 2 C 3 on kommutatiivinen eikä siis isomornen S 3 :n kanssa. Esimerkki C 6 = a = a 2 a 3 C 3 C 2. Esimerkki D 6 = a, b = a 2, b a 3 D 3 C 2 (a ja b kuten aikaisemmin). Huomautus Yleisemmin määritellään, että ryhmä G on aliryhmiensä G 1,..., G n suora tulo, jos jokaisella G:n alkiolla on yksikäsitteinen esitys muodossa a 1 a n (a i G i i) ja jos eri G i :den alkiot kommutoivat keskenään (jälkimmäisen ehdon voi korvata ehdolla G i G i). 1.4 Ryhmien puolisuora tulo Määritelmä Ryhmä G on aliryhmiensä H ja K (sisäinen) puolisuora tulo (semidirect product), merkitään G = H K, kun H G, G = HK, H K = {1}. (1.14) Ekvivalenssin (1.12) mukaan G = H K tarkalleen silloin kun H G ja kun jokaisella G:n alkiolla a on yksikäsitteinen esitys muodossa a = hk (h H, k K). (1.15) Olkoon G = H K. Toisin kuin suorassa tulossa H:n alkiot eivät yleensä kommutoi K:n alkioiden kanssa. Sen sijaan alkioiden järjestyksen vaihto tapahtuu säännöllä: h H, k K = kh = h k, missä h = khk 1 H, (1.16) ja yleisesti, kun h 1, h 2 H ja k 1, k 2 K, niin (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) = h 1 k 1 h 2 k 2 = (h 1 (k 1 h 2 k 1 1 ))(k 1k 2 ) = (h 1 h 2)(k 1 k 2 ), (1.17) missä h 2 = k 1 h 2 k 1 1 H. Esimerkki D n = a, b = a b (a ja b kuten aikaisemmin). Esimerkki S n = A n (12) (n 2).

13 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 9 Esimerkki Osoitetaan, että esimerkissä on A 4 = K 4 T. Lause Olkoon G = H K. Jokainen ryhmähomomorsmi f : K L voidaan laajentaa ryhmähomomorsmiksi F : G L. Todistus. Määritellään F (hk) = f(k), kun h H, k K. Tämä on hyvinmääritelty kuvaus, koska G:n alkioiden esitykset muodossa hk ovat yksikäsitteiset, ja ryhmähomomorsmi, koska F ((h 1 k 1 )(h 2 k 2 )) = F ((h 1 h 2)(k 1 k 2 )) = f(k 1 k 2 ) = f(k 1 )f(k 2 ) = F (h 1 k 1 )F (h 2 k 2 ), missä h i H, k i K ja h 2 = k 1 h 2 k1 1 H. Lisäksi F on f:n laajennus, sillä F (k) = f(k) kun k K. 1.5 Konjugaattiluokat ja sentralisoijat Ryhmän G alkiot a ja b ovat konjugoituja, eli a ja b ovat konjugaattialkioita, jos b = cac 1 jollain alkiolla c G (toisin sanoen, jos b = i c (a); sisäistä automorsmia i c kutsutaankin myös c:llä konjugoinniksi). Alkion a G konjugaattiluokka on [a] = { cac 1 c G } = { i c (a) c G }. (1.18) Lause Kun a, b G, niin [a] = [b] tai [a] [b] =. Lisäksi G = a G [a]. Siis, kun kustakin konjugaattiluokasta valitaan edustajaksi yksi alkio a i (i I), G:lle saadaan partitio G = i I [a i]. Todistus. Koska a = 1a1 1 [a], niin G = a G [a]. Olkoon a, b G ja [a] [b]. Silloin on sellaiset c 1, c 2 G, että c 1 ac 1 1 = c 2 bc 1 2, josta b = (c 1 2 c 1)a(c 1 2 c 1) 1. Kun c G, niin cbc 1 = (cc 1 2 c 1)a(cc 1 2 c 1) 1 [a], joten [b] [a]. Samoin saadaan [a] [b]. Esimerkki Abelin ryhmässä [a] = {a} a. Huomautus ) Z(G) = {a G [a] = {a}}. 2) Kun a ja b ovat konjugoituja, niin ord(a) = ord(b). 3) Aliryhmä H G on normaali jos ja vain jos se koostuu kokonaisista G:n konjugaattiluokista. Esimerkki Tarkastellaan symmetristä ryhmää S n. Algebran peruskurssissa II osoitettiin, että α, β S n ovat konjugoituja jos ja vain jos ne ovat samaa tyyppiä (niiden sykliesityksien syklit samanpituisia). Kerrataan tämän perustelu: Olkoon α:n sykliesitys α = α 1 α k (α i :t erillisiä syklejä). Kun γ S n, niin γαγ 1 = (γα 1 γ 1 ) (γα k γ 1 ), ja jos α i = (a 1... a r ) on eräs sykleistä, niin γα i γ 1 = (γ(a 1 )... γ(a r )) on samanpituinen sykli. Siis α ja γαγ 1 ovat samaa tyyppiä. Toisaalta, jos α ja β ovat samaa tyyppiä, löydetään γ S n, joka vaihtaa α:n sykliesityksen syklit β:n sykliesityksen sykleiksi. Silloin β = γαγ 1. Näin ollen S n :n konjugaattiluokka koostuu kaikista samaa tyyppiä olevista permutaatioista. Esimerkiksi S 3 :n konjugaattiluokat ovat {1}, {(12), (13), (23)}, {(123), (321}),

14 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 10 ja edustajiksi voidaan ottaa 1, (12), (123). Esimerkiksi [(123)] = {(123), (321}). Esimerkki a) Ryhmän S 4 konjugaattiluokat ovat [1], [(12)], [(12)(34)], [(123)], [(1234)], joiden kertaluvut ovat 1, 6, 3, 8, 6. Esimerkiksi [(123)] koostuu kaikista 3-sykleistä; siis [(123)] = {(123), (243), (142), (134), (132), (143), (234), (124)}. b) Ryhmän A 4 konjugaattiluokat ovat [1], [(12)(34)], [(123)], [(132)], joiden kertaluvut ovat 1, 3, 4, 4. Esimerkiksi [(123)] = {(123), (243), (142), (134)} ja [(132)] = {(132), (143), (234), (124)}. Huomaa, etteivät (123) ja (132) ole konjugoituja A 4 :ssä. c) Miten S 4 :n ja A 4 :n konjugaattiluokat suhtautuvat toisiinsa? Merkitään alkioiden α konjugaattiluokkia [α] S4 ja [α] A4 (jälkimmäinen on määritelty vain kun α A 4 ). Jos α, β A 4 ovat konjugoituja A 4 :ssä, niin triviaalisti ne ovat konjugoituja S 4 :ssä. (Nimittäin β = γαγ 1, γ A 4, ja γ S 4.) Siis [α] A4 [α] S4 kun α A 4. Edellisestä nähdään myös, että jos α A 4, niin [α] S4 = [α 1 ] A4 [α r ] A4 joillain alkioilla α i A 4. Jos α / A 4 niin [α] S4 A 4 =. (Tässä tarvitaan, että A 4 S 4.) Laskemalla todetaan: [1] S4 = [1] A4 = {1}, [(12)] S4 ei leikkaa A 4 :ää, [(12)(34)] S4 = [(12)(34)] A4, [(123)] S4 = [(123)] A4 [(132)] A4, [(1234)] S4 ei leikkaa A 4 :ää. Esimerkki Etsitään ryhmän D 4 konjugaattiluokat. Kun H G, merkitään G/H:lla H:n vasempien sivuluokkien joukkoa silloinkin kun H ei ole normaali aliryhmä. Siis G/H on joukko G/H = {ah a G} (ei ehkä ryhmä). Myös G/H = {dh d D} kun D on ko. sivuluokkien edustajisto. Määritelmä Alkion x G sentralisoija on C G (x) = {a G ax = xa}. Siis keskus on Z(G) = x G C G(x). Helposti todetaan, että C G (x):t ovat aliryhmiä. Lause Olkoon x G. Kuvaus G G, a axa 1 a G, indusoi bijektion C G (x):n vasempien sivuluokkien joukon ja konjugaattiluokan [x] välille. Tarkemmin sanoen kuvaus on bijektio. G/C G (x) [x], ac G (x) axa 1, (1.19)

15 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 11 Todistus. Merkitään f:llä kuvausta G G, f(a) = axa 1. Koska Im(f) = [x], on vain osoitettava, että f(a) = f(b) ac G (x) = bc G (x). Saadaan f(a) = f(b) axa 1 = bxb 1 (b 1 a)x = x(b 1 a) b 1 a C G (x) ac G (x) = bc G (x). Seuraus Kun G on äärellinen, #[x] = [G : C G (x)]; erityisesti #[x] jakaa #G:n. Esimerkki Tapauksessa G = S 3 ja α = (12) saadaan [S 3 : C S3 (α)] = #[α] = 3 (esimerkki 1.5.4), joten #C S3 (α) = 6 3 = 2. Toisaalta 1, α C S 3 (α). Siis C S3 (α) = {1, α}. 1.6 Ryhmän operointi joukossa Määritelmä Olkoon G ryhmä ja X joukko, X. Sanotaan, että G operoi joukossa X, jos on annettuna ryhmähomomorsmi σ : G Σ(X). Käytämme myös merkintää σ(a)(x) = a x (a G, x X). (1.20) Se, että σ on ryhmähomomorsmi, tarkoittaa, että σ(ab) = σ(a)σ(b) a, b G. Tästä ehdosta seuraa tunnetusti σ(1) = id X. Toista merkintää käyttäen nämä kuuluvat ab x = a (b x) a, b G, x X, 1 x = x x X. (1.21) Lisäksi σ(a 1 ) = σ(a) 1, eli kuvaukset x a x ja x a 1 x ovat toistensa käänteiskuvauksia X X. Esimerkki ) Ryhmä G operoi joukossa X = G vasemmalta kertomalla: a x = ax a, x G. 2) G operoi aliryhmänsä H vasempien sivuluokkien joukossa G/H säännöllä a xh = axh a, x G. 3) G operoi joukossa X = G konjugoimalla: a x = axa 1 a, x G. Tällöin σ(a) = i a. 4) G operoi aliryhmiensä joukossa konjugoimalla: a K = aka 1 a G, K G. 5) Automorsmiryhmä Aut(G) operoi G:ssä. Se operoi myös G:n konjugaattiluokkien joukossa. 6) Ryhmä S n operoi joukossa {1,..., n} määritelmänsä mukaisesti, samoin siis sen aliryhmät, esimerkiksi A n. Pykälässä 1.5 konjugaattiluokat ja sentralisoijat syntyivät G:n konjugointioperoinnista G:ssä (esimerkki 1.6.2: 3)). Määrittelemme nyt vastaavat käsitteet yleiselle operoinnille. Oletetaan, että ryhmä G operoi joukossa X. Alkion x X rata (orbit) on [x] = { a x a G } = { σ(a)(x) a G }. (1.22) Lause yleistyy helposti: Ensinnäkin x = 1 x [x], joten X = x X [x]. Toiseksi, kun x, y X ja [x] [y], niin [x] = [y]. Nimittäin, valitsemalla z [x] [y] saadaan

16 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 12 z = c 1 x = c 2 y, siis c 1 2 c 1 x = y, joten kun c G, niin c y = cc 1 2 c 1 x [x]. Siis [y] [x], ja koska samoin saadaan [x] [y], niin [x] = [y]. Näin ollen: Kun ryhmä G operoi joukossa X, niin radat [x] muodostavat X:n partition. Pisteen x X stabilisoija G:n operoinnissa on G:n aliryhmä (harj.) G x = { a G a x = x }. (1.23) Esimerkki Kun operointina on G:n konjugointi G:ssä (esimerkki 1.6.2: 3)), radat ovat konjugaattiluokat ja stabilisoijat ovat sentralisoijat. Lause Operoikoon ryhmä G joukossa X ja olkoon x X. Kun a, b G, niin a x = b x jos ja vain jos bg x = ag x. Todistus. a x = b x a 1 b x = x a 1 b G x bg x = ag x. Seuraus Kuvaus G/G x [x], ag x a x, on bijektio. Seuraus Kun G ja X ovat äärellisiä, #[x] = [G : G x ]; erityisesti #[x] jakaa #G:n. Esimerkki Tarkastellaan ryhmän S 3 operointia joukossa X = {1, 2, 3, 4}, missä S 3 :n alkiot operoivat alkioihin 1, 2, 3 kuten tavallisesti ja pitävät alkion 4 paikallaan. Silloin x = 1 = [x] = {1, 2, 3}, G x = {1, (23)}, [S 3 : (S 3 ) x ] = 6 2 = 3 = #[x], x = 4 = [x] = {4}, G x = S 3, [S 3 : (S 3 ) x ] = 1 = #[x]. Esimerkki Kun K G, joukot aka 1 = {aka 1 k K} ovat G:n aliryhmiä; niitä sanotaan K:n konjugaattialiryhmiksi. Tämä antaa G:lle operoinnin aliryhmiensä joukossa: a K = aka 1 kun a G ja K G. Aliryhmän H rata on H:n konjugaattialiryhmien joukko, ja H:n stabilisoija on H:n normalisoija N G (H) = {a G aha 1 = H}. Seurauksen mukaan H:n konjugaattialiryhmien lukumäärä on [G : N G (H)], kun G on äärellinen. Sanotaan, että x X on operoinnin kiintopiste, jos [x] = {x} eli jos a x = x a G. Esimerkki Esimerkin operoinnin kiintopisteet ovat normaalit aliryhmät. Myöhemmin tarvitsemme seuraavia merkintöjä: Kun a G, niin X a = {x X a x = x}. Kun H G, niin X H = {x X a x = x a H} = Erikoistapauksena H = G saadaan kiintopisteiden joukko X G = {x X a x = x a G}. a H X a.

17 Luku 2 Ryhmien esitysteorian perusteita Jatkossa G tarkoittaa aina äärellistä ryhmää, ellei toisin mainita. Käsittelemme vain äärellisasteisia esityksiä ja rajoitumme esityksiin yli kompleksilukukunnan C, vaikka suuri osa teoriasta pätee yleisemminkin. 2.1 Ryhmän esitys, matriisiesitys ja moduli Tässä pykälässä määritellään ryhmien esitysteorian peruskäsite, ja se tehdään peräti kolmella eri tavalla, kolmesta eri näkökulmasta: määritellään 1) ryhmän esitys, 2) ryhmän matriisiesitys, 3) ryhmän moduli. Nämä ovat sikäli ekvivalentit, että esitysteoria voidaan muotoilla käyttäen niistä mitä tahansa yhtä; ne ovat ikään kuin kolme eri kieltä saman asian esittämiseen. Kaikki kolme ovat kuitenkin hyödyllisiä, koska tilanteesta riippuu, mikä niistä on mukavin käyttää tai mikä antaa selvimmän kuvan Johdatteleva esimerkki Tarkastellaan diedriryhmää D 4 = a, b, a 4 = b 2 = 1, bab = a 1. Se on kahdeksan alkion ryhmä, joukkona D 4 = {1, a, a 2, a 3, b, ab, a 2 b, a 3 b}. ( ) ( ja 0 1 B = 1 0 ) Suoraan laskemalla nähdään, että 2 2-matriisit A = totetuttavat samat relaatiot A 4 = B 2 = I ja BAB = A 1. Tästä seuraa, että niiden generoima aliryhmä ryhmässä GL 2 (C) on A, B = {1, A, A 2, A 3, B, AB, A 2 B, A 3 B}. Ryhmä A, B sisältää esimerkiksi matriisin A 3 BA 2, mutta sehän on = A 3 BABBABB = A 3 A 1 A 1 B = AB. Lisäksi laskemalla nämä kahdeksan matriisia nähdään, että ne ovat eri matriiseja. Tästä on helppo päätellä, että kuvaus R : D 4 GL 2 (C), joka määritellään R(a i b j ) = A i B j (i = 0, 1, 2, 3, j = 0, 1), on ryhmähomomorsmi ja siis antaa D 4 Im(R) = 13

18 LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA 14 A, B GL 2 (C). Näin D 4 tulee esitetyksi konkreettisena ( matriisiryhmänä. ) Esimerkiksi alkiota a 2 b saadaan vastaamaan matriisi R(a 2 b) = A B = 1 0. Tämä kuvaus R : D 4 GL 2 (C) on eräs ryhmän D 4 matriisiesitys; matriisit R(a i b j ) ovat esitysmatriiseja. (Katso määritelmä jäljempänä.) Toinen näkökulma samaan tilanteeseen: Merkitään C 2 = {( xy ) x, y C } ; tämä on 2-ulotteinen vektoriavaruus yli C:n tavalliseen tapaan. Lineaarialgebran kurssista muistetaan, että säännölliset matriisit M 2 (C) vastaavat bijektiivisiä lineaarikuvauksia C 2 C 2. Tarkemmin: matriisi ( ) a b c d antaa kuvauksen C 2 C 2, ( ) ( ) ( ) x a b xy y c d (matriisitulo). Koska edellä saatiin D 4 kuvattua matriisiryhmänä, niin jokainen sen alkio määrää kuvauksen C 2 C 2. Tarkemmin: Merkitään matriisin R(a i b j ) = A i B j määräämää ( ) lineaarikuvausta ρ(a i b j ) : C 2 C 2. Toisin sanoen ρ(a i b j )(v) = A i B j v, missä xy v =. Silloin ρ(a) ja ρ(b) ovat seuraavia kuvauksia C 2 C 2 : (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy xy xy 0 1 xy y ρ(a) = R(a) = A = 1 0 = x, (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy xy xy 0 1 xy yx ρ(b) = R(b) = B = 1 0 =. Samoin saadaan kaikki kahdeksan lineaarikuvausta ρ(a i b j ); esimerkiksi (( )) ( ) ( ) ρ(a 2 xy b) = R(a 2 xy b) = A 2 xy B = ( ) ( ) 0 1 xy 1 0 = ( ) x y. Tämä antaa ryhmähomomorsmin ρ : D 4 GL(C 2 ), missä GL(C 2 ) tarkoittaa C 2 :n bijektiivisten lineaarikuvausten ryhmää (määritelmä alla). Saadaan, että D 4 Im(ρ) GL 2 (C 2 ), ja Im(ρ) on kahdeksan lineaarikuvauksen ryhmä. Näin D 4 on esitetty eräänä lineaarikuvausten muodostamana ryhmänä. Kuvaus ρ : D 4 GL(C 2 ) on eräs ryhmän D 4 lineaarinen esitys; C 2 on vastaava esitysavaruus. (Katso määritelmä ) Vielä kolmaskin näkökulma: Avaruus C 2 on eräs ryhmän D 4 moduli, jossa D 4 operoi säännöllä a i b j v = A i B j v (määritelmä ) Ryhmän matriisiesitys Muistetaan yleinen lineaarinen ryhmä (esimerkki 1.1.3) GL n (C) = {A M n (C) det(a) 0}. Määritelmä Olkoon G ryhmä. Sen n-asteinen matriisiesitys on ryhmähomomorsmi R : G GL n (C). Jos R on injektio, esitys on uskollinen (faithful). Esimerkki Edellä löydetty R : D 4 GL 2 (C) on D 4 :n 2-asteinen matriisiesitys. Se on uskollinen. Määrittelemällä R 0 : D 4 GL 2 (C), R 0 (a i b j ) = I i, j, saadaan D 4 :n triviaali 2-asteinen matriisiesitys. Se ei tietenkään ole uskollinen.

19 LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA 15 Esimerkki Tarkastellaan ryhmää C 2 = a = {1, a}, a 2 = 1. Sillä on ainakin seuraavat kolme 2-asteista matriisiesitystä R, R, R : C 2 GL 2 (C): R(1) = I, ( ) 0 1 R(a) = ; 1 0 R (1) = I, ( ) R 1 0 (a) = ; 0 1 R (1) = I, ( ) R 1 0 (a) =. 2 1 (Tarkista, että nämä toteuttavat homomoraehdon. Oikeastaan ainoat epätriviaalit tarkistettavat ehdot ovat R(a) 2 = I = R (a) 2 = R (a) 2.) Ne ovat kaikki uskollisia, ja C 2 :lle saadaan kolme esitystä matriisiryhmänä: C 2 {( ), ( )} {( ) 1 0, 0 1 ( )} {( ) 1 0, 0 1 ( )} Jos matriisiesitys R : G GL n (C) on uskollinen, niin G Im(R) GL n (C). Yleisesti R:n ei tarvitse olla injektio, ja saadaan vain G/ Ker(R) Im(R) GL n (C) (homomoralause); siis yleisesti Im(R) on vain G:n homomornen kuva Ryhmän lineaarinen esitys Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan C, dim V <. Kuvaus τ : V V on lineaarinen, jos τ(rv + sw) = rτ(v) + sτ(w) kun r, s C, v, w V. Eräs tällainen on identiteettikuvaus id V. Määritelmä Yleinen lineaarinen ryhmä on ryhmä GL(V ) = {τ : V V τ on bijektiivinen lineaarikuvaus }, ryhmäoperaationa kuvaustulo eli kuvausten yhdistäminen; V on jokin äärellisulotteinen vektoriavaruus yli C:n. (Vertaa esimerkkiin ) On helppo osoittaa, että GL(V ) todella on ryhmä (Σ(V ):n aliryhmä); ykkösalkio on id V. Määritelmä Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus yli C:n. Ryhmähomomorsmi ρ : G GL(V ) on ryhmän G esitys avaruudessa V. Dimensio n = dim V on esityksen aste (eli esitys on n-asteinen) ja V on esitysavaruus. Näitä esityksiä kutsutaan myös G:n lineaarisiksi esityksiksi. Vaatimus, että ρ on ryhmähomomorsmi, merkitsee tarkalleen, että ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kun g, h G; homomorsmi toteuttaa lisäksi ρ(1 G ) = id V ja ρ(g 1 ) = ρ(g) 1 (käänteiskuvaus). Huomaa, ettei vaadita, että esitys ρ olisi injektiivinen. Siis ei seuraa G Im(ρ) (kuten pykälän esimerkissä kävi), vaan yleisesti Im(ρ) on vain G:n homomornen kuva, Im(ρ) G/ Ker(ρ). Esitystä ρ sanotaan uskolliseksi, jos ρ on injektio; tällöin G Im(ρ) GL(V ).

20 LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA 16 Esimerkki Tarkastellaan ryhmää C 2 = a = {1, a}, a 2 = 1. Olkoon V = C 2. Määritellään ρ : C 2 GL(C 2 ), ρ(1) = id, ( ( x y ρ(a) = y) x) x, y C. Tämä on C 2 :n esitys, sillä on helppo tarkistaa, että ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kun g, h C 2. (Oikeastaan ainoa epätriviaali tarkistettava ehto on ρ(a 2 ) = ρ(a) 2.) Samalle ryhmälle saadaan samassa avaruudessa paljon muitakin esityksiä, esimerkiksi ρ : C 2 GL(C 2 ): tai ρ : C 2 GL(C 2 ): ρ (1) = id, ρ (1) = id, ( ( ρ x x (a) = y) y) ( ( ) ρ x x (a) = y) 2x y x, y C, x, y C. Esimerkki (Nollaesitys) Jos n = 0, niin V = {0} ja GL(V ) = {id V }. Siis G:n ainoa 0-asteinen esitys on kuvaus ρ : G {id}, ρ(g) = id g G. Tämä on G:n nollaesitys. Esimerkki (Triviaalit esitykset) Ryhmällä G on jokaisessa avaruudessa V triviaali esitys, joka määritellään ρ : G GL(V ), ρ(g) = id V g G. Triviaalia 1-asteista esitystä sanotaan ykkösesitykseksi (unit representation). Esimerkki (1-asteiset esitykset) Olkoon ρ : G GL(V ) 1-asteinen esitys. Siis dim V = 1. Silloin jokainen ρ(g) : V V merkitsee kertomista jollain skalaarilla 0; toisin sanoen, kun skalaaria merkitään γ(g):llä, ρ(g)(v) = γ(g)v g G, v V. (2.1) Koska ρ(gh) = ρ(g)ρ(h), niin γ(gh) = γ(g)γ(h) kun g, h G. Siis γ on ryhmähomomorsmi G C (missä C on C:n multiplikatiivinen ryhmä C \ {0}). Kääntäen, jos on annettuna ryhmähomomorsmi γ : G C, niin määrittelemällä ρ yhtälöllä (2.1) saadaan G:n esitys 1-ulotteisessa avaruudessa V. Todetaan siis, että G:n 1-asteiset esitykset vastaavat ryhmähomomorsmeja G C. (Vastaavuus ei ole yksikäsitteinen, sikäli että 1-ulotteisia avaruuksia on äärettömän paljon.) Esimerkki (C 2 :n 1-asteiset esitykset) Ryhmällä C 2 = a = {1, a} on kaksi ryhmähomomorsmia γ 0, γ 1 : C 2 C, nimittäin γ 0 (1) = γ 0 (a) = 1 (triviaali homomorsmi) ja γ 1 (1) = 1, γ 1 (a) = 1. Näin ollen C 2 :lla on kaksi 1-asteista esitystä ρ 0, ρ 1 : C 2 GL(C). (Tässä esitysavaruudeksi on merkitty C). Ne ovat: ρ 0 (1)(x) = ρ 0 (a)(x) = x x C, sekä ρ 1 (1)(x) = x ja ρ 1 (a)(x) = x x C. Olkoon γ : G C ryhmähomomorsmi. Merkitään n = #G. Kun g G, niin g n = 1, joten γ(g) n = 1; siis γ(g) C on n:s ykkösenjuuri. Tunnetusti tämä merkitsee, että γ(g) = e 2πim/n jollain m:llä, 0 m < n. Muistetaan, että e 2πim/n = (e 2πi/n ) m = cos(2πm/n) + i sin(2πm/n).

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Permutaatioista alternoivaan ryhmään

Permutaatioista alternoivaan ryhmään Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Tarkistusmerkkijärjestelmistä algebrallisissa ryhmissä. Jukka Jylänki jukkajyl@mail.student.oulu.

Tarkistusmerkkijärjestelmistä algebrallisissa ryhmissä. Jukka Jylänki jukkajyl@mail.student.oulu. Tarkistusmerkkijärjestelmistä algebrallisissa ryhmissä Jukka Jylänki jukkajyl@mail.student.oulu. Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Perusteita 4 3 Tarkisteyhtälö

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Simpleksiset kompleksit. Marjo-Riitta Kuha

Simpleksiset kompleksit. Marjo-Riitta Kuha Simpleksiset kompleksit Marjo-Riitta Kuha 17. toukokuuta 2013 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä/Författare Author Laitos/Institution Department Matematiikan

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt 9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot