Ryhmäteoria. Markku Koppinen Turun yliopisto

Transkriptio

1 Ryhmäteoria Markku Koppinen Turun yliopisto

2 6. toukokuuta 2011 Alkusanat Tämä ryhmäteorian kurssi käsittelee enimmäkseen ryhmien esitysteoriaa, mutta kuten tulemme näkemään, esitysteoria liittyy niin läheisesti ryhmien rakenneteoriaan, ettei niitä kahta voi erottaa. Usein puhutaankin rakenne- ja esitysteoriasta. Kurssin sisältö on lähinnä kirjasta 1. J.-P. Serre: Linear representations of nite groups (1977) ensimmäinen kolmannes. Muita lähteitä ja hyvää jatkolukemistoa ovat seuraavat: 2. W. Adkins, S. T. Weintraub: Algebra: an approach via module theory (1992). 3. J. L. Alperin, R. B. Bell: Groups and representations (1995). 4. C. W. Curtis, I. Reiner: Representation theory of nite groups and associative algebras (1962). 5. B. Huppert: Endliche Gruppen I (1967). 6. I. M. Isaacs: Character theory of nite groups (1976). 7. W. R. Scott: Group theory (1964). 8. J. J. Rotman: The theory of groups (1965). Monistetta on muutettu vuoden 2008 monisteesta karsimalla asioita, joita ei kuitenkaan ehdittäisi kunnolla käsitellä. Tarkoitus on oppia sekä ryhmien laskennallisia puolia (karakterit) että jonkin verran taustalla olevaa teoriaakin. Kurssilla tarvitaan perustietoina Lineaarialgebra ja Algebran peruskurssit I ja II (luvussa 1 on ryhmistä hiukan kertaustakin). Modulien tunteminen on hyödyksi (Algebran kurssi) muttei välttämätöntä. Lineaarialgebran ja Algebran peruskurssien I ja II pohjaltakin tätä kurssia pystyy seuraamaan, kunhan varautuu siihen, että taso saattaa tuntua kovemmalta kuin noilla kursseilla. i

3 Sisältö 1 Ryhmäteorian peruskäsitteitä Ryhmä, aliryhmä, isomora Sivuluokat, tekijäryhmä, isomoratuloksia Ryhmien suora tulo Ryhmien puolisuora tulo Konjugaattiluokat ja sentralisoijat Ryhmän operointi joukossa Ryhmien esitysteorian perusteita Ryhmän esitys, matriisiesitys ja moduli Johdatteleva esimerkki Ryhmän matriisiesitys Ryhmän lineaarinen esitys Lineaarisen esityksen matriisimuoto Ryhmän moduli Aliesitys ja alimoduli Alimoduli Aliesitys Isomorsmit ja homomorsmit Modulien isomora Esitysten isomora Matriisiesitysten isomora Modulihomomorsmit Suora summa Maschken lause Schurin lemma Sovellus keskuksen alkioihin Schurin relaatiot Tensoritulo Vektoriavaruuksien tensoritulo Modulien ja esitysten tensoritulo ii

4 SISÄLTÖ iii Matriisiesitysten tensoritulo Duaaliesitys ja duaalimoduli Karakterit Ominaisarvoista ja jäljestä Esityksen karakteri Suoran summan, tensoritulon ja duaaliesityksen karakterit Karakterien ortogonaalisuus Luokkafunktioavaruus Karakteritaulu Modulin kanoninen hajotelma Suoran tulon esitykset Karakteriryhmä. Abelin ryhmän esitykset Permutaatioesityksistä Restriktio ja induktio Esityksen ja karakterin restriktio Indusoitu karakteri Indusoitu moduli Restriktio normaaliin aliryhmään Indusoidun modulin konstruktio Ryhmäalgebra Assosiatiivinen algebra Määritelmä ja esimerkkejä Algebroja koskevia perusasioita Algebran modulit ja esitykset Algebran idempotenteista ja suorasummahajotelmista Ryhmäalgebra Ryhmän ja ryhmäalgebran esitysten yhteys Ryhmäalgebran idempotenteista Ryhmäalgebran rakenne Ryhmäalgebran keskus ja keskusidempotentit Abelin ryhmän ryhmäalgebra

5 Luku 1 Ryhmäteorian peruskäsitteitä Tämä luku on osittain Algebran peruskurssien kertausta. 1.1 Ryhmä, aliryhmä, isomora Määritelmä Joukkoa G, jossa on määritelty binäärioperaatio (kuvaus G G G, merkitään (a, b) ab), sanotaan ryhmäksi, jos (ab)c = a(bc) a, b, c G (assosiatiivisuus), on sellainen alkio 1 = 1 G G, että 1a = a1 = a a G kun a G, niin on sellainen a 1 G, että a 1 a = aa 1 = 1 Jos lisäksi ab = ba a, b, c G (kommutatiivisuus), niin G on kommutatiivinen ryhmä eli Abelin ryhmä. (neutraalialkio), (käänteisalkio). Neutraalialkiota kutsutaan myös ykkösalkioksi. Abelin ryhmiä merkitään usein additiivisesti, ja silloin puhutaan nolla-alkiosta ja vasta-alkioista. Esimerkki R ja C ovat yhteenlaskun suhteen ryhmiä, neutraalialkiona 0 ja alkion a käänteisalkiona eli vasta-alkiona a. R = R \ {0} ja C = C \ {0} ovat kertolaskun suhteen ryhmiä, ykkösalkiona luku 1 ja alkion a 0 käänteisalkiona käänteisluku a 1 = 1/a. Esimerkki (Yleinen lineaarinen ryhmä) Käytetään kompleksisten n n-matriisien joukolle merkintää M n (C) = {(a ij ) n n a ij C i, j}. Säännöllisten n n-matriisien joukko GL n (C) = {A M n (C) det(a) 0} on ryhmä matriisikertolaskun suhteen, ykkösalkiona identiteettimatriisi I. Sitä kutsutaan yleiseksi lineaariseksi (matriisi)ryhmäksi (yli C:n). 1

6 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Esimerkki Samoin määritellään ryhmä GL n (K) yli mielivaltaisen kunnan K. Jos K on äärellinen (esimerkiksi K = Z p = Z/pZ, p alkuluku), niin GL n (K) on äärellinen ryhmä. Esimerkki (Symmetrinen ryhmä) Joukon J n = {1, 2,..., n} permutaatioiden joukko S n = {α : J n J n α on bijektio} on ryhmä kuvaustulon (kuvausten yhdistämisen) suhteen, ykkösalkiona identiteettikuvaus. Sanotaan, että S n on n:n alkion symmetrinen ryhmä (#S n = n!). Yleisemmin määritellään mielivaltaisen joukon X symmetrinen ryhmä Σ(X) = {f : X X f on bijektio (eli X:n permutaatio)}. Esimerkki Kerrataan symmetristä ( ryhmää S n Algebran ) peruskurssista II. Permutaatiolle α S n käytetään merkintää n α = k 1 k 2... k n, kun α(j) = kj (j = 1,..., n). Toinen tärkeä merkintätapa ( on sykliesitys, ) jossa α kirjoitetaan erillisten syklien tulona; esimerkiksi S 6 :ssa α = kirjoitetaan myös α = (1 4 2)(3 6)(5) tai α = (1 4 2)(3 6) (1-syklit eli kiintopisteet jätetään yleensä merkitsemättä). Algebran peruskurssissa II määriteltiin permutaation α merkki sign(α); sen voi laskea sykliesityksestä, sillä sign on ryhmähomomorsmi S n {1, 1} (määritelmä ) ja r-syklin merkki on ( 1) r 1 ; esimerkiksi, kun α = (1 4 2)(3 6), niin sign(α) = ( 1) 3 1 ( 1) 2 1 = 1. Permutaatio on parillinen, jos sen merkki on +1. Määritelmä Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, jos se on ryhmä G:n ryhmäoperaation restriktion suhteen; tällöin merkitään H G. Olkoon = H G. Tunnetusti H G jos ja vain jos ab H a, b H, a 1 H a H ja 1 G H, eli ekvivalentisti, jos ja vain jos ab 1 H a, b H. Kun H on äärellinen, ehto voidaan yksinkertaistaa muotoon ab H a, b H. Ryhmän G osajoukko S generoi aliryhmän S = S H G H. (1.1) Helposti nähdään, että S on kaikkien tulojen s ±1 1 s ±1 k (s i S) joukko (tyhjä tulo on 1). Merkitään lyhyesti a = {a} ja yleisemmin a 1,..., a m = {a 1,..., a m }. Alkion a G kertaluku on ord(a) = # a. Algebran peruskurssista muistetaan, että jos ord(a) = n <, niin ord(a k ) = n/ syt(n, k). Esimerkki (Erityinen lineaarinen ryhmä) Yleisellä lineaarisella ryhmällä GL n (C) on aliryhmänä erityinen lineaarinen ryhmä SL n (C) = {A M n (C) det(a) = 1}.

7 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 3 Esimerkki (Alternoiva ryhmä) Symmetrisellä ryhmällä S n on aliryhmänä alternoiva ryhmä A n = {α S n sign(α) = +1}. Esimerkki Tason R 2 isometria on bijektio R 2 R 2, joka säilyttää pisteiden etäisyydet. Tason isometrioita on vain neljää tyyppiä: translaatiot, kierrot, peilaukset ja siirtopeilaukset (Geometrian kurssi). Tason isometriat muodostavat ryhmän. Se on peilausten generoima. Esimerkiksi kierto pisteen O ympäri kulman α verran saadaan kahden peilauksen tulona, joiden akselit kulkevat pisteen O kautta ja muodostavat kulman α/2. Tason isometrioiden ryhmällä on useita mielenkiintoisia aliryhmiä. Eräs on niiden isometrioiden joukko, jotka pitävät O:n paikallaan. Nämä isometriat ovat O-keskiset kierrot ja peilaukset, joiden akseli kulkee O:n kautta. Määritelmä Kuvaus f : G 1 G 2 ryhmien G 1 ja G 2 välillä on (ryhmä)homomor- smi, jos f(ab) = f(a)f(b) a, b G 1. Bijektiivinen homomorsmi on isomorsmi. Jos on olemassa isomorsmi G 1 G 2, niin G 1 ja G 2 ovat isomorset, merkitään G 1 G 2. Esimerkki (Syklinen ryhmä) Ryhmä on syklinen, jos se on yhden alkion generoima. Samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat isomorset. Merkitään C n :llä yleistä syklistä ryhmää, jonka kertaluku on n (n = 1, 2,... tai n = ). Esimerkki Ryhmässä C alkio ζ = ζ n = e 2πi/n on eräs n:s ykkösenjuuri eli ζ n = 1. Se generoi aliryhmän {1, ζ, ζ 2,..., ζ n 1 } C n. Esimerkki (Kleinin neliryhmä) Neljän alkion epäisomorsia ryhmiä on kaksi, nimittäin syklinen ryhmä C 4 = a, a 4 = 1, ja Kleinin neliryhmä V 4 = {1, a, b, ab}, a 2 = b 2 = 1, ab = ba. Esimerkki (Diedriryhmä) Tulemme usein käyttämään esimerkeissä diedriryhmää D n (n 3). Se on ryhmä, joka toteuttaa ehdot D n = a, b, a n = 1, b 2 = 1, bab = a 1, #D n = 2n. (1.2) Toisin sanoen D n :llä on generoijat a, b, jotka toteuttavat relaatiot a n = 1, b 2 = 1 ja bab = a 1, ja jossa on 2n alkiota. Seuraa, että D n = {1, a, a 2,..., a n 1, b, ab, a 2 b,..., a n 1 b} ja että tässä listatut alkiot ovat eri alkioita; siis jokaisella D n :n alkiolla g on yksikäsitteinen esitys muodossa g = a i b j (i {0,..., n 1}, b {0, 1}). Voidaan osoittaa, että ehdot (1.2) määräävät D n :n isomoraa vaille yksikäsitteisesti. Esimerkissä nähdään, että ryhmä D n on olemassa, konstruoimalla eräs sellainen konkreettisesti. (Huom. Joissakin kirjoissa ryhmää D n merkitään D 2n :llä.) Esimerkki Diedriryhmä D n (n 3) voidaan konstruoida säännöllisen n-kulmion peittoryhmänä eli symmetriaryhmänä, siis niiden tason isometrioiden ryhmänä, jotka kuvaavat monikulmion itselleen. Voidaan osoittaa, että ryhmän generoimiseen riittää yksi kierto

8 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 4 ja yksi peilaus; esimerkiksi, kun. r = kierto O keskuksena kulman 2π/n verran vastapäivään, s = peilaus monikulmion symmetria-akselin l suhteen, niin r n = 1, s 2 = 1, srs = r 1. Lisäksi kuvaukset r i s j (0 i... l O n 1, 0 j 1) ovat kaikki erisuuria. Seuraa, että ko. symmeriaryhmä on r, s D n. 1.2 Sivuluokat, tekijäryhmä, isomoratuloksia Jatkossa G tarkoittaa aina ryhmää. Toistaiseksi G saa olla ääretönkin. Olkoon H G. Alkion a G vasen sivuluokka on ah = {ah h H}. Kun a, b G, niin ah = bh a bh b 1 a H. Lisäksi aina joko ah = bh tai ah bh =. Valitsemalla vasempien sivuluokkien edustajisto D (otetaan yksi alkio kustakin eri sivuluokasta) saadaan G:n partitio G = d D dh. Vastaava on voimassa oikeille sivuluokille. Aliryhmän H indeksi G:ssä [G : H] on vasempien sivuluokkien lukumäärä, joka on sama kuin oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Kun #G <, niin [G : H] = #G/#H (Lagrangen lause). Siis #H jakaa #G:n. Esimerkki Jos #G on alkuluku p, niin G C p. Nimittäin, kun a G, a 1, niin # a jakaa p:n; siis # a = p, joten a = G. Esimerkki Ryhmän D n = a, b (merkinnät kuten aikaisemmin) vasen sivuluokkahajotelma aliryhmän a suhteen on D n = a b a. Aliryhmä H G on normaali, merkitään H G, jos an = Na a G. Tunnetusti tämä on ekvivalentti sen kanssa, että ana 1 N a G (aliryhmän normaalisuuskriteeri). Esimerkki Jos [G : H] = 2, niin sivuluokkahajotelmat ovat G = H ah ja G = H Ha, missä a G \ H. Tällöin ah = G \ H = Ha, ja siis H on normaali aliryhmä. Esimerkki Ryhmän D n = a, b aliryhmä a on normaali. Sen sijaan b = {1, b} ei ole normaali, koska esimerkiksi aba 1 = ba 2 b (n 3). Esimerkki A n S n. Esimerkki Symmetrisessä ryhmässä S 4 on syklirakenteeltaan (eli tyypiltään) viidenlaisia alkioita: 1, (ij), (ij)(kl), (ijk), (ijkl) missä i, j, k, l {1, 2, 3, 4} ovat erisuuria; merkit ovat vastaavasti +1, 1, +1, +1, 1. Näin ollen A 4 :n muodostavat muotoa 1, (ij)(kl), (ijk) olevat alkiot. Merkitään K 4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, T = {1, (123), (132)}. Osoitetaan, että nämä ovat A 4 :n aliryhmiä ja että K 4 S 4 mutta T A 4.

9 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 5 Kun N G, sivuluokkien joukosta tulee ryhmä, tekijäryhmä G/N, kun määritellään tulo: (an)(bn) = abn. (Normaalisuusoletusta tarvitaan, että tulo olisi hyvin määritelty.) Kuvaus π : G G/N, π(a) = an a G, on ryhmähomomorsmi; sitä sanotaan kanoniseksi projektioksi tai kanoniseksi homomorsmiksi. Esimerkki S n /A n C 2 kun n 2. Esimerkki A 4 /K 4 C 3. Esimerkki SL n (C) GL n (C). Kun A GL n (C), sivuluokka A SL n (C) koostuu niistä matriiseista, joiden determinantti on = det(a). Ryhmähomomorsmin f : G G ydin Ker(f) = {a G f(a) = 1} on G:n normaali aliryhmä ja kuva Im(f) on G :n aliryhmä, ja on voimassa G/ Ker(f) Im(f) (homomoralause). Isomorsmi F : G/ Ker(f) Im(f) on F (a Ker(f)) = f(a) a G. f G. G.. π.... G/ Ker(f). Im(f) F Esimerkki Homomoralause antaa isomomorsmit GL n (C)/SL n (C) C (f = det) ja S n /A n C 2 (f = sign; n 2). Kun H G ja K G, merkitään HK = {hk h H, k K}. Tämä ei yleensä ole aliryhmä. Jos kuitenkin esimerkiksi K G, niin (hk)(h k ) = (h(kh k 1 ))(kk ) HK ja samoin saadaan (hk) 1 HK, joten HK G; itse asiassa HK = KH = H K. Kun H G ja K G, niin H/(H K) HK/K (suunnikassääntö).. H G HK.. H K Todistus tapahtuu soveltamalla homomoralausetta kuvaukseen H HK/K, h hk. Kun f : G G on ryhmähomomorsmi ja Ker(f) H G, niin G/H f(g)/f(h); todistetaan soveltamalla homomoralausetta kuvaukseen G f(g)/f(h), a f(a)f(h). Kun H G ja K G sekä K H, niin edellisestä saadaan ottamalla f = π : G G/K G/H (G/K)/(H/K) Seuraavat seikat on helppo todeta oikeiksi: (tekijäryhmien isomoralaki). Jos f : G 1 G 2 ja g : G 2 G 3 ovat ryhmähomomorsmeja, niin g f : G 1 G 3 on ryhmähomomorsmi. Se on isomorsmi, jos f ja g ovat isomorsmeja. Ryhmäisomorsmin käänteiskuvaus on ryhmäisomorsmi.. K

10 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 6 Isomorsmeja G G sanotaan G:n automorsmeiksi. Yo. ominaisuuksista seuraa, että G:n automorsmit muodostavat ryhmän, tulona kuvausten yhdistäminen (Σ(G):n aliryhmä). Sitä kutsutaan G:n automorsmiryhmäksi ja merkitään Aut(G). Esimerkki Eräs ryhmän C n = a automorsmi on a i a i (i = 0,..., n 1). Tarkalleen kaikki homomorsmit C n C n ovat kuvaukset f 1,..., f n, missä f k (a i ) = a ik (i, k = 1,..., n). Huomaa, että homomorsmi määräytyy jo generoijan a kuvasta, ja f k :lle se on f k (a) = a k. Automorsmit C n C n ovat ne f k :t, joilla syt(n, k) = 1. Nimittäin, koska Im(f) = f(c) = c k, niin f k on bijektio jos ja vain jos se on surjektio, jos ja vain jos ord(c k ) = n, jos ja vain jos syt(n, k) = 1. Olkoon a G. Osoitetaan, että kuvaus i a : G G, joka määritellään i a (x) = axa 1 x G, (1.3) on G:n automorsmi. Ensinnäkin se on ryhmähomomorsmi G G, sillä i a (xy) = axya 1 = axa 1 aya 1 = i a (x)i a (y). Toiseksi sillä i a1 (i a2 (x)) = a 1 a 2 xa 1 2 a 1 1 = i a1 a 2 (x). Erityisesti i a1 i a2 = i a1a 2 (a 1, a 2 G), (1.4) i a i a 1 = i aa 1 = i 1 = id G, i a 1i a = id G, (1.5) joten i a 1 on i a :n käänteiskuvaus, i a 1 = i 1 a. Siis i a on bijektio. Näin ollen i a Aut(G). Kuvauksia i a kutsutaan G:n sisäisiksi automorsmeiksi. Yhtälö (1.4) merkitsee, että kuvaus G Aut(G), a i a a G, (1.6) on ryhmähomomorsmi. Sen kuva on Aut(G):n aliryhmä, merkitään ja sen ydintä sanotaan G:n keskukseksi Z(G); siis Inn(G) = { i a a G } Aut(G), (1.7) Z(G) = { a G i a = id G } = { a G ax = xa x G }. (1.8) Keskus on normaali aliryhmä. Homomoralauseen mukaan Esimerkki Inn(G) Aut(G). G/Z(G) Inn(G). (1.9) Esimerkki a) Z(GL n (C)) = {ai a C }. b) Z(SL n (C)) =?

11 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ Ryhmien suora tulo Määritelmä Olkoot A ja B ryhmiä. Niiden (ulkoinen) suora tulo on karteesinen tulo A B = {(a, b) a A, b B} varustettuna tulolla (a, b)(a, b ) = (aa, bb ) (a, a A, b, b B). (1.10) On helppo nähdä, että A B on ryhmä, ykkösalkiona (1 A, 1 B ) ja alkion (a, b) käänteisalkiona (a 1, b 1 ). Suoraan tuloon liittyy projektiokuvaukset p A : A B A ja p B : A B B sekä upotukset i A : A A B ja i B : B A B, { p A (a, b) = a, p B (a, b) = b, { i A (a) = (a, 1), i B (b) = (1, b). Nämä ovat ryhmähomomorsmeja, p A ja p B ovat surjektioita ja i A ja i B injektioita. Lisäksi p A i A = id A ja p B i B = id B. Kun A ja B on merkitty additiivisesti, puhutaan suorasta summasta ja merkitään A B. A.. i A p A.. A B Esimerkki R 2 = R R (additiivisten ryhmien R ja R suora summa). Esimerkki Ryhmän C 2 = a ulkoinen suora tulo itsensä kanssa on C 2 C 2 = {(1, 1), (1, a), (a, 1), (a, a)}, missä (1, 1) on ykkösalkio ja muiden alkioiden tulot ovat (1, a)(1, a) = (1, 1), (1, a)(a, 1) = (a, a), (1, a)(a, a) = (a, 1), ja niin edelleen. Osoittautuu, että C 2 C 2 V 4. Määritelmä Ryhmä G on aliryhmiensä H ja K (sisäinen) suora tulo, merkitään G = H K, kun seuraavat kolme ehtoa on voimassa: G = HK, H K = {1}, hk = kh h H, k K. (1.11) Määritelmän ehdoille on seuraavat hyödylliset, ekvivalentit muodot: Olkoon H G ja K G. Silloin kahdelle ensimmäiselle ehdolle saadaan ekvivalentti ehto: { G = HK { jokaisella G:n alkiolla a on yksikäsitteinen esitys muodossa a = hk, h H, k K. H K = {1} (1.12) Kun nämä ehdot ovat voimassa, niin kolmannelle ehdolle on seuraava ekvivalentti ehto: hk = kh h H, k K H G ja K G. (1.13) On helppo todeta, että kun G = H K, niin G/H K ja G/K H. Ulkoisella suoralla tulolla A B on aliryhmät i A (A) A ja i B (B) B, ja A B on näiden aliryhmien sisäinen suora tulo, siis (A B)ulkoinen = (i A (A) i B (B))sisäinen. Kääntäen, jos G on aliryhmiensä sisäinen suora tulo, G = (H K)sisäinen, niin kuvaus hk (h, k) (h H, k K) on ryhmäisomorsmi G:stä ulkoiseen suoraan tuloon (H K)ulkoinen; siis G = (H K)sisäinen (H K)ulkoinen. Kun samaistetaan isomorset ryhmät, niin ulkoinen ja sisäinen suora tulo voidaan siis samaistaa.. p B i B.. B

12 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 8 Esimerkki Todettiin, että C 2 C 2 V 4 (ulkoinen suora tulo). Seuraa, että V 4 voidaan myös hajottaa kahden aliryhmänsä C 2 sisäiseksi suoraksi tuloksi. Todellakin, ryhmällä V 4 = {1, a, b, ab} on aliryhmät a, b C 2, ja saadaan V 4 = a b (sisäinen suora tulo). Muitakin suoratulohajotelmia V 4 :llä on: V 4 = a ab = b ab. Huomaa, että #(H K) = (#H)(#K). Esimerkki Ryhmää S 3 ei voi hajottaa epätriviaalilla tavalla suoraksi tuloksi. Nimittäin #S 3 = 6, mutta kertalukuja 2 ja 3 olevia aliryhmiä on vain C 2 ja C 3, ja C 2 C 3 on kommutatiivinen eikä siis isomornen S 3 :n kanssa. Esimerkki C 6 = a = a 2 a 3 C 3 C 2. Esimerkki D 6 = a, b = a 2, b a 3 D 3 C 2 (a ja b kuten aikaisemmin). Huomautus Yleisemmin määritellään, että ryhmä G on aliryhmiensä G 1,..., G n suora tulo, jos jokaisella G:n alkiolla on yksikäsitteinen esitys muodossa a 1 a n (a i G i i) ja jos eri G i :den alkiot kommutoivat keskenään (jälkimmäisen ehdon voi korvata ehdolla G i G i). 1.4 Ryhmien puolisuora tulo Määritelmä Ryhmä G on aliryhmiensä H ja K (sisäinen) puolisuora tulo (semidirect product), merkitään G = H K, kun H G, G = HK, H K = {1}. (1.14) Ekvivalenssin (1.12) mukaan G = H K tarkalleen silloin kun H G ja kun jokaisella G:n alkiolla a on yksikäsitteinen esitys muodossa a = hk (h H, k K). (1.15) Olkoon G = H K. Toisin kuin suorassa tulossa H:n alkiot eivät yleensä kommutoi K:n alkioiden kanssa. Sen sijaan alkioiden järjestyksen vaihto tapahtuu säännöllä: h H, k K = kh = h k, missä h = khk 1 H, (1.16) ja yleisesti, kun h 1, h 2 H ja k 1, k 2 K, niin (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) = h 1 k 1 h 2 k 2 = (h 1 (k 1 h 2 k 1 1 ))(k 1k 2 ) = (h 1 h 2)(k 1 k 2 ), (1.17) missä h 2 = k 1 h 2 k 1 1 H. Esimerkki D n = a, b = a b (a ja b kuten aikaisemmin). Esimerkki S n = A n (12) (n 2).

13 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 9 Esimerkki Osoitetaan, että esimerkissä on A 4 = K 4 T. Lause Olkoon G = H K. Jokainen ryhmähomomorsmi f : K L voidaan laajentaa ryhmähomomorsmiksi F : G L. Todistus. Määritellään F (hk) = f(k), kun h H, k K. Tämä on hyvinmääritelty kuvaus, koska G:n alkioiden esitykset muodossa hk ovat yksikäsitteiset, ja ryhmähomomorsmi, koska F ((h 1 k 1 )(h 2 k 2 )) = F ((h 1 h 2)(k 1 k 2 )) = f(k 1 k 2 ) = f(k 1 )f(k 2 ) = F (h 1 k 1 )F (h 2 k 2 ), missä h i H, k i K ja h 2 = k 1 h 2 k1 1 H. Lisäksi F on f:n laajennus, sillä F (k) = f(k) kun k K. 1.5 Konjugaattiluokat ja sentralisoijat Ryhmän G alkiot a ja b ovat konjugoituja, eli a ja b ovat konjugaattialkioita, jos b = cac 1 jollain alkiolla c G (toisin sanoen, jos b = i c (a); sisäistä automorsmia i c kutsutaankin myös c:llä konjugoinniksi). Alkion a G konjugaattiluokka on [a] = { cac 1 c G } = { i c (a) c G }. (1.18) Lause Kun a, b G, niin [a] = [b] tai [a] [b] =. Lisäksi G = a G [a]. Siis, kun kustakin konjugaattiluokasta valitaan edustajaksi yksi alkio a i (i I), G:lle saadaan partitio G = i I [a i]. Todistus. Koska a = 1a1 1 [a], niin G = a G [a]. Olkoon a, b G ja [a] [b]. Silloin on sellaiset c 1, c 2 G, että c 1 ac 1 1 = c 2 bc 1 2, josta b = (c 1 2 c 1)a(c 1 2 c 1) 1. Kun c G, niin cbc 1 = (cc 1 2 c 1)a(cc 1 2 c 1) 1 [a], joten [b] [a]. Samoin saadaan [a] [b]. Esimerkki Abelin ryhmässä [a] = {a} a. Huomautus ) Z(G) = {a G [a] = {a}}. 2) Kun a ja b ovat konjugoituja, niin ord(a) = ord(b). 3) Aliryhmä H G on normaali jos ja vain jos se koostuu kokonaisista G:n konjugaattiluokista. Esimerkki Tarkastellaan symmetristä ryhmää S n. Algebran peruskurssissa II osoitettiin, että α, β S n ovat konjugoituja jos ja vain jos ne ovat samaa tyyppiä (niiden sykliesityksien syklit samanpituisia). Kerrataan tämän perustelu: Olkoon α:n sykliesitys α = α 1 α k (α i :t erillisiä syklejä). Kun γ S n, niin γαγ 1 = (γα 1 γ 1 ) (γα k γ 1 ), ja jos α i = (a 1... a r ) on eräs sykleistä, niin γα i γ 1 = (γ(a 1 )... γ(a r )) on samanpituinen sykli. Siis α ja γαγ 1 ovat samaa tyyppiä. Toisaalta, jos α ja β ovat samaa tyyppiä, löydetään γ S n, joka vaihtaa α:n sykliesityksen syklit β:n sykliesityksen sykleiksi. Silloin β = γαγ 1. Näin ollen S n :n konjugaattiluokka koostuu kaikista samaa tyyppiä olevista permutaatioista. Esimerkiksi S 3 :n konjugaattiluokat ovat {1}, {(12), (13), (23)}, {(123), (321}),

14 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 10 ja edustajiksi voidaan ottaa 1, (12), (123). Esimerkiksi [(123)] = {(123), (321}). Esimerkki a) Ryhmän S 4 konjugaattiluokat ovat [1], [(12)], [(12)(34)], [(123)], [(1234)], joiden kertaluvut ovat 1, 6, 3, 8, 6. Esimerkiksi [(123)] koostuu kaikista 3-sykleistä; siis [(123)] = {(123), (243), (142), (134), (132), (143), (234), (124)}. b) Ryhmän A 4 konjugaattiluokat ovat [1], [(12)(34)], [(123)], [(132)], joiden kertaluvut ovat 1, 3, 4, 4. Esimerkiksi [(123)] = {(123), (243), (142), (134)} ja [(132)] = {(132), (143), (234), (124)}. Huomaa, etteivät (123) ja (132) ole konjugoituja A 4 :ssä. c) Miten S 4 :n ja A 4 :n konjugaattiluokat suhtautuvat toisiinsa? Merkitään alkioiden α konjugaattiluokkia [α] S4 ja [α] A4 (jälkimmäinen on määritelty vain kun α A 4 ). Jos α, β A 4 ovat konjugoituja A 4 :ssä, niin triviaalisti ne ovat konjugoituja S 4 :ssä. (Nimittäin β = γαγ 1, γ A 4, ja γ S 4.) Siis [α] A4 [α] S4 kun α A 4. Edellisestä nähdään myös, että jos α A 4, niin [α] S4 = [α 1 ] A4 [α r ] A4 joillain alkioilla α i A 4. Jos α / A 4 niin [α] S4 A 4 =. (Tässä tarvitaan, että A 4 S 4.) Laskemalla todetaan: [1] S4 = [1] A4 = {1}, [(12)] S4 ei leikkaa A 4 :ää, [(12)(34)] S4 = [(12)(34)] A4, [(123)] S4 = [(123)] A4 [(132)] A4, [(1234)] S4 ei leikkaa A 4 :ää. Esimerkki Etsitään ryhmän D 4 konjugaattiluokat. Kun H G, merkitään G/H:lla H:n vasempien sivuluokkien joukkoa silloinkin kun H ei ole normaali aliryhmä. Siis G/H on joukko G/H = {ah a G} (ei ehkä ryhmä). Myös G/H = {dh d D} kun D on ko. sivuluokkien edustajisto. Määritelmä Alkion x G sentralisoija on C G (x) = {a G ax = xa}. Siis keskus on Z(G) = x G C G(x). Helposti todetaan, että C G (x):t ovat aliryhmiä. Lause Olkoon x G. Kuvaus G G, a axa 1 a G, indusoi bijektion C G (x):n vasempien sivuluokkien joukon ja konjugaattiluokan [x] välille. Tarkemmin sanoen kuvaus on bijektio. G/C G (x) [x], ac G (x) axa 1, (1.19)

15 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 11 Todistus. Merkitään f:llä kuvausta G G, f(a) = axa 1. Koska Im(f) = [x], on vain osoitettava, että f(a) = f(b) ac G (x) = bc G (x). Saadaan f(a) = f(b) axa 1 = bxb 1 (b 1 a)x = x(b 1 a) b 1 a C G (x) ac G (x) = bc G (x). Seuraus Kun G on äärellinen, #[x] = [G : C G (x)]; erityisesti #[x] jakaa #G:n. Esimerkki Tapauksessa G = S 3 ja α = (12) saadaan [S 3 : C S3 (α)] = #[α] = 3 (esimerkki 1.5.4), joten #C S3 (α) = 6 3 = 2. Toisaalta 1, α C S 3 (α). Siis C S3 (α) = {1, α}. 1.6 Ryhmän operointi joukossa Määritelmä Olkoon G ryhmä ja X joukko, X. Sanotaan, että G operoi joukossa X, jos on annettuna ryhmähomomorsmi σ : G Σ(X). Käytämme myös merkintää σ(a)(x) = a x (a G, x X). (1.20) Se, että σ on ryhmähomomorsmi, tarkoittaa, että σ(ab) = σ(a)σ(b) a, b G. Tästä ehdosta seuraa tunnetusti σ(1) = id X. Toista merkintää käyttäen nämä kuuluvat ab x = a (b x) a, b G, x X, 1 x = x x X. (1.21) Lisäksi σ(a 1 ) = σ(a) 1, eli kuvaukset x a x ja x a 1 x ovat toistensa käänteiskuvauksia X X. Esimerkki ) Ryhmä G operoi joukossa X = G vasemmalta kertomalla: a x = ax a, x G. 2) G operoi aliryhmänsä H vasempien sivuluokkien joukossa G/H säännöllä a xh = axh a, x G. 3) G operoi joukossa X = G konjugoimalla: a x = axa 1 a, x G. Tällöin σ(a) = i a. 4) G operoi aliryhmiensä joukossa konjugoimalla: a K = aka 1 a G, K G. 5) Automorsmiryhmä Aut(G) operoi G:ssä. Se operoi myös G:n konjugaattiluokkien joukossa. 6) Ryhmä S n operoi joukossa {1,..., n} määritelmänsä mukaisesti, samoin siis sen aliryhmät, esimerkiksi A n. Pykälässä 1.5 konjugaattiluokat ja sentralisoijat syntyivät G:n konjugointioperoinnista G:ssä (esimerkki 1.6.2: 3)). Määrittelemme nyt vastaavat käsitteet yleiselle operoinnille. Oletetaan, että ryhmä G operoi joukossa X. Alkion x X rata (orbit) on [x] = { a x a G } = { σ(a)(x) a G }. (1.22) Lause yleistyy helposti: Ensinnäkin x = 1 x [x], joten X = x X [x]. Toiseksi, kun x, y X ja [x] [y], niin [x] = [y]. Nimittäin, valitsemalla z [x] [y] saadaan

16 LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ 12 z = c 1 x = c 2 y, siis c 1 2 c 1 x = y, joten kun c G, niin c y = cc 1 2 c 1 x [x]. Siis [y] [x], ja koska samoin saadaan [x] [y], niin [x] = [y]. Näin ollen: Kun ryhmä G operoi joukossa X, niin radat [x] muodostavat X:n partition. Pisteen x X stabilisoija G:n operoinnissa on G:n aliryhmä (harj.) G x = { a G a x = x }. (1.23) Esimerkki Kun operointina on G:n konjugointi G:ssä (esimerkki 1.6.2: 3)), radat ovat konjugaattiluokat ja stabilisoijat ovat sentralisoijat. Lause Operoikoon ryhmä G joukossa X ja olkoon x X. Kun a, b G, niin a x = b x jos ja vain jos bg x = ag x. Todistus. a x = b x a 1 b x = x a 1 b G x bg x = ag x. Seuraus Kuvaus G/G x [x], ag x a x, on bijektio. Seuraus Kun G ja X ovat äärellisiä, #[x] = [G : G x ]; erityisesti #[x] jakaa #G:n. Esimerkki Tarkastellaan ryhmän S 3 operointia joukossa X = {1, 2, 3, 4}, missä S 3 :n alkiot operoivat alkioihin 1, 2, 3 kuten tavallisesti ja pitävät alkion 4 paikallaan. Silloin x = 1 = [x] = {1, 2, 3}, G x = {1, (23)}, [S 3 : (S 3 ) x ] = 6 2 = 3 = #[x], x = 4 = [x] = {4}, G x = S 3, [S 3 : (S 3 ) x ] = 1 = #[x]. Esimerkki Kun K G, joukot aka 1 = {aka 1 k K} ovat G:n aliryhmiä; niitä sanotaan K:n konjugaattialiryhmiksi. Tämä antaa G:lle operoinnin aliryhmiensä joukossa: a K = aka 1 kun a G ja K G. Aliryhmän H rata on H:n konjugaattialiryhmien joukko, ja H:n stabilisoija on H:n normalisoija N G (H) = {a G aha 1 = H}. Seurauksen mukaan H:n konjugaattialiryhmien lukumäärä on [G : N G (H)], kun G on äärellinen. Sanotaan, että x X on operoinnin kiintopiste, jos [x] = {x} eli jos a x = x a G. Esimerkki Esimerkin operoinnin kiintopisteet ovat normaalit aliryhmät. Myöhemmin tarvitsemme seuraavia merkintöjä: Kun a G, niin X a = {x X a x = x}. Kun H G, niin X H = {x X a x = x a H} = Erikoistapauksena H = G saadaan kiintopisteiden joukko X G = {x X a x = x a G}. a H X a.

17 Luku 2 Ryhmien esitysteorian perusteita Jatkossa G tarkoittaa aina äärellistä ryhmää, ellei toisin mainita. Käsittelemme vain äärellisasteisia esityksiä ja rajoitumme esityksiin yli kompleksilukukunnan C, vaikka suuri osa teoriasta pätee yleisemminkin. 2.1 Ryhmän esitys, matriisiesitys ja moduli Tässä pykälässä määritellään ryhmien esitysteorian peruskäsite, ja se tehdään peräti kolmella eri tavalla, kolmesta eri näkökulmasta: määritellään 1) ryhmän esitys, 2) ryhmän matriisiesitys, 3) ryhmän moduli. Nämä ovat sikäli ekvivalentit, että esitysteoria voidaan muotoilla käyttäen niistä mitä tahansa yhtä; ne ovat ikään kuin kolme eri kieltä saman asian esittämiseen. Kaikki kolme ovat kuitenkin hyödyllisiä, koska tilanteesta riippuu, mikä niistä on mukavin käyttää tai mikä antaa selvimmän kuvan Johdatteleva esimerkki Tarkastellaan diedriryhmää D 4 = a, b, a 4 = b 2 = 1, bab = a 1. Se on kahdeksan alkion ryhmä, joukkona D 4 = {1, a, a 2, a 3, b, ab, a 2 b, a 3 b}. ( ) ( ja 0 1 B = 1 0 ) Suoraan laskemalla nähdään, että 2 2-matriisit A = totetuttavat samat relaatiot A 4 = B 2 = I ja BAB = A 1. Tästä seuraa, että niiden generoima aliryhmä ryhmässä GL 2 (C) on A, B = {1, A, A 2, A 3, B, AB, A 2 B, A 3 B}. Ryhmä A, B sisältää esimerkiksi matriisin A 3 BA 2, mutta sehän on = A 3 BABBABB = A 3 A 1 A 1 B = AB. Lisäksi laskemalla nämä kahdeksan matriisia nähdään, että ne ovat eri matriiseja. Tästä on helppo päätellä, että kuvaus R : D 4 GL 2 (C), joka määritellään R(a i b j ) = A i B j (i = 0, 1, 2, 3, j = 0, 1), on ryhmähomomorsmi ja siis antaa D 4 Im(R) = 13

18 LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA 14 A, B GL 2 (C). Näin D 4 tulee esitetyksi konkreettisena ( matriisiryhmänä. ) Esimerkiksi alkiota a 2 b saadaan vastaamaan matriisi R(a 2 b) = A B = 1 0. Tämä kuvaus R : D 4 GL 2 (C) on eräs ryhmän D 4 matriisiesitys; matriisit R(a i b j ) ovat esitysmatriiseja. (Katso määritelmä jäljempänä.) Toinen näkökulma samaan tilanteeseen: Merkitään C 2 = {( xy ) x, y C } ; tämä on 2-ulotteinen vektoriavaruus yli C:n tavalliseen tapaan. Lineaarialgebran kurssista muistetaan, että säännölliset matriisit M 2 (C) vastaavat bijektiivisiä lineaarikuvauksia C 2 C 2. Tarkemmin: matriisi ( ) a b c d antaa kuvauksen C 2 C 2, ( ) ( ) ( ) x a b xy y c d (matriisitulo). Koska edellä saatiin D 4 kuvattua matriisiryhmänä, niin jokainen sen alkio määrää kuvauksen C 2 C 2. Tarkemmin: Merkitään matriisin R(a i b j ) = A i B j määräämää ( ) lineaarikuvausta ρ(a i b j ) : C 2 C 2. Toisin sanoen ρ(a i b j )(v) = A i B j v, missä xy v =. Silloin ρ(a) ja ρ(b) ovat seuraavia kuvauksia C 2 C 2 : (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy xy xy 0 1 xy y ρ(a) = R(a) = A = 1 0 = x, (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy xy xy 0 1 xy yx ρ(b) = R(b) = B = 1 0 =. Samoin saadaan kaikki kahdeksan lineaarikuvausta ρ(a i b j ); esimerkiksi (( )) ( ) ( ) ρ(a 2 xy b) = R(a 2 xy b) = A 2 xy B = ( ) ( ) 0 1 xy 1 0 = ( ) x y. Tämä antaa ryhmähomomorsmin ρ : D 4 GL(C 2 ), missä GL(C 2 ) tarkoittaa C 2 :n bijektiivisten lineaarikuvausten ryhmää (määritelmä alla). Saadaan, että D 4 Im(ρ) GL 2 (C 2 ), ja Im(ρ) on kahdeksan lineaarikuvauksen ryhmä. Näin D 4 on esitetty eräänä lineaarikuvausten muodostamana ryhmänä. Kuvaus ρ : D 4 GL(C 2 ) on eräs ryhmän D 4 lineaarinen esitys; C 2 on vastaava esitysavaruus. (Katso määritelmä ) Vielä kolmaskin näkökulma: Avaruus C 2 on eräs ryhmän D 4 moduli, jossa D 4 operoi säännöllä a i b j v = A i B j v (määritelmä ) Ryhmän matriisiesitys Muistetaan yleinen lineaarinen ryhmä (esimerkki 1.1.3) GL n (C) = {A M n (C) det(a) 0}. Määritelmä Olkoon G ryhmä. Sen n-asteinen matriisiesitys on ryhmähomomorsmi R : G GL n (C). Jos R on injektio, esitys on uskollinen (faithful). Esimerkki Edellä löydetty R : D 4 GL 2 (C) on D 4 :n 2-asteinen matriisiesitys. Se on uskollinen. Määrittelemällä R 0 : D 4 GL 2 (C), R 0 (a i b j ) = I i, j, saadaan D 4 :n triviaali 2-asteinen matriisiesitys. Se ei tietenkään ole uskollinen.

19 LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA 15 Esimerkki Tarkastellaan ryhmää C 2 = a = {1, a}, a 2 = 1. Sillä on ainakin seuraavat kolme 2-asteista matriisiesitystä R, R, R : C 2 GL 2 (C): R(1) = I, ( ) 0 1 R(a) = ; 1 0 R (1) = I, ( ) R 1 0 (a) = ; 0 1 R (1) = I, ( ) R 1 0 (a) =. 2 1 (Tarkista, että nämä toteuttavat homomoraehdon. Oikeastaan ainoat epätriviaalit tarkistettavat ehdot ovat R(a) 2 = I = R (a) 2 = R (a) 2.) Ne ovat kaikki uskollisia, ja C 2 :lle saadaan kolme esitystä matriisiryhmänä: C 2 {( ), ( )} {( ) 1 0, 0 1 ( )} {( ) 1 0, 0 1 ( )} Jos matriisiesitys R : G GL n (C) on uskollinen, niin G Im(R) GL n (C). Yleisesti R:n ei tarvitse olla injektio, ja saadaan vain G/ Ker(R) Im(R) GL n (C) (homomoralause); siis yleisesti Im(R) on vain G:n homomornen kuva Ryhmän lineaarinen esitys Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan C, dim V <. Kuvaus τ : V V on lineaarinen, jos τ(rv + sw) = rτ(v) + sτ(w) kun r, s C, v, w V. Eräs tällainen on identiteettikuvaus id V. Määritelmä Yleinen lineaarinen ryhmä on ryhmä GL(V ) = {τ : V V τ on bijektiivinen lineaarikuvaus }, ryhmäoperaationa kuvaustulo eli kuvausten yhdistäminen; V on jokin äärellisulotteinen vektoriavaruus yli C:n. (Vertaa esimerkkiin ) On helppo osoittaa, että GL(V ) todella on ryhmä (Σ(V ):n aliryhmä); ykkösalkio on id V. Määritelmä Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus yli C:n. Ryhmähomomorsmi ρ : G GL(V ) on ryhmän G esitys avaruudessa V. Dimensio n = dim V on esityksen aste (eli esitys on n-asteinen) ja V on esitysavaruus. Näitä esityksiä kutsutaan myös G:n lineaarisiksi esityksiksi. Vaatimus, että ρ on ryhmähomomorsmi, merkitsee tarkalleen, että ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kun g, h G; homomorsmi toteuttaa lisäksi ρ(1 G ) = id V ja ρ(g 1 ) = ρ(g) 1 (käänteiskuvaus). Huomaa, ettei vaadita, että esitys ρ olisi injektiivinen. Siis ei seuraa G Im(ρ) (kuten pykälän esimerkissä kävi), vaan yleisesti Im(ρ) on vain G:n homomornen kuva, Im(ρ) G/ Ker(ρ). Esitystä ρ sanotaan uskolliseksi, jos ρ on injektio; tällöin G Im(ρ) GL(V ).

20 LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA 16 Esimerkki Tarkastellaan ryhmää C 2 = a = {1, a}, a 2 = 1. Olkoon V = C 2. Määritellään ρ : C 2 GL(C 2 ), ρ(1) = id, ( ( x y ρ(a) = y) x) x, y C. Tämä on C 2 :n esitys, sillä on helppo tarkistaa, että ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kun g, h C 2. (Oikeastaan ainoa epätriviaali tarkistettava ehto on ρ(a 2 ) = ρ(a) 2.) Samalle ryhmälle saadaan samassa avaruudessa paljon muitakin esityksiä, esimerkiksi ρ : C 2 GL(C 2 ): tai ρ : C 2 GL(C 2 ): ρ (1) = id, ρ (1) = id, ( ( ρ x x (a) = y) y) ( ( ) ρ x x (a) = y) 2x y x, y C, x, y C. Esimerkki (Nollaesitys) Jos n = 0, niin V = {0} ja GL(V ) = {id V }. Siis G:n ainoa 0-asteinen esitys on kuvaus ρ : G {id}, ρ(g) = id g G. Tämä on G:n nollaesitys. Esimerkki (Triviaalit esitykset) Ryhmällä G on jokaisessa avaruudessa V triviaali esitys, joka määritellään ρ : G GL(V ), ρ(g) = id V g G. Triviaalia 1-asteista esitystä sanotaan ykkösesitykseksi (unit representation). Esimerkki (1-asteiset esitykset) Olkoon ρ : G GL(V ) 1-asteinen esitys. Siis dim V = 1. Silloin jokainen ρ(g) : V V merkitsee kertomista jollain skalaarilla 0; toisin sanoen, kun skalaaria merkitään γ(g):llä, ρ(g)(v) = γ(g)v g G, v V. (2.1) Koska ρ(gh) = ρ(g)ρ(h), niin γ(gh) = γ(g)γ(h) kun g, h G. Siis γ on ryhmähomomorsmi G C (missä C on C:n multiplikatiivinen ryhmä C \ {0}). Kääntäen, jos on annettuna ryhmähomomorsmi γ : G C, niin määrittelemällä ρ yhtälöllä (2.1) saadaan G:n esitys 1-ulotteisessa avaruudessa V. Todetaan siis, että G:n 1-asteiset esitykset vastaavat ryhmähomomorsmeja G C. (Vastaavuus ei ole yksikäsitteinen, sikäli että 1-ulotteisia avaruuksia on äärettömän paljon.) Esimerkki (C 2 :n 1-asteiset esitykset) Ryhmällä C 2 = a = {1, a} on kaksi ryhmähomomorsmia γ 0, γ 1 : C 2 C, nimittäin γ 0 (1) = γ 0 (a) = 1 (triviaali homomorsmi) ja γ 1 (1) = 1, γ 1 (a) = 1. Näin ollen C 2 :lla on kaksi 1-asteista esitystä ρ 0, ρ 1 : C 2 GL(C). (Tässä esitysavaruudeksi on merkitty C). Ne ovat: ρ 0 (1)(x) = ρ 0 (a)(x) = x x C, sekä ρ 1 (1)(x) = x ja ρ 1 (a)(x) = x x C. Olkoon γ : G C ryhmähomomorsmi. Merkitään n = #G. Kun g G, niin g n = 1, joten γ(g) n = 1; siis γ(g) C on n:s ykkösenjuuri. Tunnetusti tämä merkitsee, että γ(g) = e 2πim/n jollain m:llä, 0 m < n. Muistetaan, että e 2πim/n = (e 2πi/n ) m = cos(2πm/n) + i sin(2πm/n).